第19章实数章节复习提升 2025-2026学年沪教版（五四制）数学八年级上册

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第19章实数章节复习提升 知识点 1 算术平方根 算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。例如，169的算术平方根是13.（规定0的算术平方根是0） 算术平方根的表示方法：a的算术平方根记为，2是根指数，通常将这个“2”省略不写， 记为，读作“根号a”，a叫做被开方数. 【补充】算术平方根等于它本身的数只有0和1. 性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根. 知识点 2 平方根 平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根. 平方根的表示方法：非负数a的平方根记作±，读作“正、负根号a”，其中a叫做被开方数. 性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根. 【补充】平方根等于本身的数只有0. 知识点 3 立方根 立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根. 如果，则x叫做a的立方根. 立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”.其中a叫被开方数，3是根指数，注意中的根指数3不能省略. 立方根的性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 【补充】1）正数，负数，0都有立方根，所以中a的取值范围是任意数； 2）任意数都只有一个立方根，且与这个数的符号相同(0的立方根是0). 3）互为相反数的两数，它们的立方根也互为相反数.即=-. 4）立方根等于本身的有0和±1. 知识点 4 无理数 无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数. 常见的无理数： 1） 开方开不尽的数，如： 、等； [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.如. 2）含圆周率π有关的数，如5π，3+π，等； 3）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 4）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 知识点 5 实数的分类及性质 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 实数的分类： 实数的性质 1）相反数：数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. 2）绝对值：正实数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负实数的绝对值是它的相反数，即a表示一个实数，则. 3）倒数：实数a（a≠0）的倒数是. 知识点 6 实数的运算 实数的运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 1. 实数的加法法则：1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2. 实数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 3. 实数的乘方法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 4. 实数的除法法则：1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5. 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 【注意】 1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 考点01：算术平方根、平方根、立方根的概念 1. 的算术平方根是 ，的立方根是 ． 2. 64的立方根是 ；的算术平方根是 ；的平方根是 ． 3．下列说法正确的是（   ） A．是16的一个平方根 B．16的平方根是4 C．的算术平方根是 D．的算术平方根是4 4．下列说法正确的是（    ） A．平方根等于它本身的数是0，1 B．倒数等于它本身的数只有1 C．算术平方根等于它本身的数是0，1 D．的平方根为 5.下列语句正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数只有 D． 6. 下列说法正确的有（   ） ①一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根；②64的平方根是，立方根是；③表示a的平方根，表示a的立方根；④不一定是负数． A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④ 7.已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分，求的平方根． 考点02：算术平方根、平方根、立方根的性质 8.若正数m的两个不同的平方根分别为和，则的立方根为 ． 9.已知，则的值为 10.若实数a，b满足，则a﹣b的平方根是 ． 11．已知，，z是9的算术平方根，求的平方根． 12.若，则的平方根是 ． 考点03：开平方与开立方 13. 的值是（   ） A． B．45 C． D．5 14.下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 15.以下计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 题型04:利用平方根/立方根解方程 17.解方程： (1)； (2)． 18.解方程：． 考点05：有理数的小数形式与无理数 19.把循环小数写成分数形式为： ． 20.其中，无理数的个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 21.如果，那么整数　　． 22．若，则满足条件的可能是（    ） A．8 B．9 C．15 D．18 考点06：实数的概念及分类、性质 23.关于实数，下列说法错误的是（    ） A．有理数与无理数统称实数 B．实数与数轴上的点一一对应 C．无理数就是无限不循环小数 D．带根号的数都是无理数 24.已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 25.如图，在数轴上，点与点关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是（     ）    A． B． C． D． 26.如图，在数轴上点、、所表示的数分别为，，，点到点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的实数为．    (1)求出实数的值 (2)求的值． 考点07：实数的大小比较 27.比较大小： _____ ．（填写“”、“”或“”） 28.比较大小： ________；________；________；________． 29.若是实数，且，则下列关系式成立的是（     ） A． B． C． D． 30.当时，a，，，之间的大小关系是 （用“＞”连接）． 考点08：实数的运算 31.计算： (1) (2) 32.计算： (1) (2) 33.程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，当输入的值为64时，输出的值是__________． 34.定义一种运算：对于任意实数，都有，则的值为_________． 35.在正实数范围内定义一种运算“”：当时， ；当时，．则方程的解是___________． 考点09：科学记数法 36．科技兴则民族兴，科技强则国家强．近几年我国一直在芯片工艺上进行技术攻坚，目前，我国科学家研发出一款芯片拥有近6000个晶体管，每个晶体管只有3个原子厚，即厚度约为，则数字“0.00000000065”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 37．记者从河南省文化和旅游厅获悉：2024年元旦假日期间，全省统计接待游客1613.7万人次，旅游收入78.7亿元．数据“78.7亿”用科学记数法表示为 ． 38．某款无人机的影像传感器像素点间距为0.0000024米，能够捕捉到丰富的细节．数据0.0000024用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 39．用科学记数法表示的数写成小数是 ． 考点10：有关的规律探索题 40．已知，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 41.若，，，则= ． 42.阅读下列解题过程： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________． (2)利用这一规律计算：． 考点11：平方根、立方根的实际应用 43.如图，摆钟的钟摆自由摆动，摆动一个来回所用的时间（单位：s）与钟摆的长度（单位：）之间满足．当钟摆的长度为时，摆动一个来回所用的时间是多少秒？（取，取，结果保留小数点后两位） 44.在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 45.某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为． (1)求该长方形的长宽各为多少? (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由． 考点12：阅读理解题 46.我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中m、n为有理数，x为无理数，那么，运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中m、n为有理数，求m和n的值； (2)如果，其中m、n为有理数，求的立方根； (3)若m、n均为有理数，且，求的算术平方根． 47.阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 48.探索与应用． (1)先填写下表，通过观察后再回答问题： ．．． 0.0001 0.01 1 100 10000 ．．． ．．． 0.01 1 100 ．．． ①表格中________；_________； ②从表格中探究与的数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： 已知，若，则___________． 已知，则___________． (2)阅读例题，然后回答问题： 例题：设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得，因为都是有理数，所以也是有理数，由于是无理数，所以，所以，所以． 问题：设都是有理数，且满足，求的值． 考点13：平方根、算术平方根与立方根的相关新定义问题 49.定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． (1)点，，中，不是“理想点”的是_____． (2)若点是“理想点”，求x的值． (3)是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 50.定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“数”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请直接判断4，16，25是不是“数”______； (2)①请证明2，8，50这三个数是“数”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；②请根据做题经验，任意写出一条你写“数”的心得． (3)已知，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第19章实数章节复习提升 知识点 1 算术平方根 算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。例如，169的算术平方根是13.（规定0的算术平方根是0） 算术平方根的表示方法：a的算术平方根记为，2是根指数，通常将这个“2”省略不写， 记为，读作“根号a”，a叫做被开方数. 【补充】算术平方根等于它本身的数只有0和1. 性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根. 知识点 2 平方根 平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根. 平方根的表示方法：非负数a的平方根记作±，读作“正、负根号a”，其中a叫做被开方数. 性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根. 【补充】平方根等于本身的数只有0. 知识点 3 立方根 立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根. 如果，则x叫做a的立方根. 立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”.其中a叫被开方数，3是根指数，注意中的根指数3不能省略. 立方根的性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 【补充】1）正数，负数，0都有立方根，所以中a的取值范围是任意数； 2）任意数都只有一个立方根，且与这个数的符号相同(0的立方根是0). 3）互为相反数的两数，它们的立方根也互为相反数.即=-. 4）立方根等于本身的有0和±1. 知识点 4 无理数 无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数. 常见的无理数： 1） 开方开不尽的数，如： 、等； [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.如. 2）含圆周率π有关的数，如5π，3+π，等； 3）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 4）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 知识点 5 实数的分类及性质 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 实数的分类： 实数的性质 1）相反数：数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. 2）绝对值：正实数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负实数的绝对值是它的相反数，即a表示一个实数，则. 3）倒数：实数a（a≠0）的倒数是. 知识点 6 实数的运算 实数的运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 1. 实数的加法法则：1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2. 实数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 3. 实数的乘方法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 4. 实数的除法法则：1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5. 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 【注意】 1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 考点01：算术平方根、平方根、立方根的概念 1. 的算术平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根与立方根．根据算术平方根、立方根的意义，即可解答． 【详解】解：解：∵，3的算术平方根是； ∴的算术平方根是； ∴的立方根是． 故答案为：，． 2. 64的立方根是 ；的算术平方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 4 4 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念及其运用．注意题中给出的数需要计算后再求其平方根或立方根． 分别根据平方根、算术平方根和立方根的概念直接计算即可求解． 【详解】解：64的立方根是4；的算术平方根是4；的平方根是， 故答案为：4；4；． 3．下列说法正确的是（   ） A．是16的一个平方根 B．16的平方根是4 C．的算术平方根是 D．的算术平方根是4 【答案】A 【分析】本题考查平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、是16的一个平方根，原说法正确，符合题意； B、16的平方根是，原说法错误，不符合题意； C、的算术平方根是4，原说法错误，不符合题意； D、的算术平方根是2，原说法错误，不符合题意； 故选A． 4．下列说法正确的是（    ） A．平方根等于它本身的数是0，1 B．倒数等于它本身的数只有1 C．算术平方根等于它本身的数是0，1 D．的平方根为 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根和倒数的概念，熟练掌握平方根，算术平方根和倒数相关概念是解题的关键． 根据平方根，算术平方根，和倒数的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．平方根等于它本身的数是0，故本选项不符合题意； B．倒数等于它本身的数有，故本选项不符合题意； C．算术平方根等于它本身的数是0，1，故本选项符合题意； D．的平方根为，故本选项不符合题意； 故选：C． 5.下列语句正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数只有 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方根的概念和求一个数的立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此逐一求解判断即可． 【详解】解：∵正数、0和负数都有立方根， ∴选项A不符合题意； ∵64的立方根是4， ∴选项B不符合题意； ∵立方根等于本身的数有和0， ∴选项C不符合题意； ∴， ∴选项D符合题意， 故选：D． 6. 下列说法正确的有（   ） ①一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根；②64的平方根是，立方根是；③表示a的平方根，表示a的立方根；④不一定是负数． A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④ 【答案】C 【分析】考查了平方根、立方根的定义及其表示方法， ①根据一对相反数的立方根仍是一对相反数即可判定；②分别求出64的立方根与平方根，然后即可判定；③理清非负数平方根的表示方法；实数立方根的表示方法即可判定；④考虑数0即可判定． 【详解】解：①一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根，故说法①正确； ②64的立方根是4，故说法②错误； ③表示a的算术平方根，故说法③错误； ④，则不一定是负数，故说法④正确； 故选：C． 7.已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分，求的平方根． 【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出、、的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【解答】解：的立方根是3，的算术平方根是4， ，， ，， 是的整数部分， ， ， 的平方根是． 【点评】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可． 考点02：算术平方根、平方根、立方根的性质 8.若正数m的两个不同的平方根分别为和，则的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义和立方根的定义，根据平方根的定义可得出，解一元一次方程求出x，再求出m，代入代数式求出代数式的值，再根据立方根的定义求出立方根即可． 【详解】解：∵正数m的两个不同的平方根分别为和， ∴， 解得：， ∴， ∴， ， 故答案为： 9.已知，则的值为 【答案】或2或3 【分析】本题考查立方根的性质，根据题意得到，结合立方根等于本身的数有，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或或； 故答案为：或2或3． 10.若实数a，b满足，则a﹣b的平方根是 ． 【答案】±3 【分析】根据 和有意义得出a＝5，b＝﹣4，再代入求解即可． 【详解】∵ 和有意义，则a＝5， 故b＝﹣4， 则， ∴a﹣b的平方根是：±3． 故答案为：±3． 11．已知，，z是9的算术平方根，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、平方根，解答本题的关键是明确它们各自的含义和计算方法． 根据，，z是9的算术平方根，可以求得x、y、z的值，从而可以解答本题． 【详解】解：∵，，z是9的算术平方根， ∴，，， ∴．　　 故的平方根是． 12.若，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是立方根及平方根的定义，掌握立方根及平方根的定义是解题的关键．根据题意列出关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解：， ， 解得：， 的平方根是， 故答案为：． 考点03：开平方与开立方 13. 的值是（   ） A． B．45 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，解题关键是熟练算术平方根定义． 根据算术平方根的定义直接解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 14.下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值、立方根、算术平方根的性质解决此题． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根，以及绝对值，正确的计算是解题的关键． 15.以下计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可以先求出的值，再求它的算术平方根；一个数的立方根只有一个；先算出的值，再添加号；负数的偶数次方等于正数． 【详解】A．=25，，不符合题意； B．，不符合题意； C．，，符合题意； D．，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了立方根和算术平方根，熟练掌握各自的定义是解题的关键． 题型04:利用平方根/立方根解方程 17.解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根解方程和立方根解方程，熟练掌握其概念是解题关键． （1）先将常数项移到等式右边，再将二次项系数化为1，最后根据平方根的定义即可求解； （2）根据立方根的定义即可求解． 【详解】（1）解： 或； （2）解： 解： 18.解方程：． 【答案】 【分析】先把看成一个整体，求出它的值，然后再求原方程的值 【详解】原方程变形为 解得 原方程的解为： 【点睛】本题考查了立方根，将看成一个整体是解题的关键． 考点05：有理数的小数形式与无理数 19.把循环小数写成分数形式为： ． 【答案】 【分析】利用换元的方法即可求解，具体过程见详解． 【详解】解：设，① ∴，② 用②①得，， ∴，即， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查无限循环小数化分数的方法，掌握换元法求无限循环小数化分数的方法是解题的关键． 20.其中，无理数的个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：0是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 0.10100100001是有限小数，属于有理数； 是循环小数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 无理数有，，共2个． 故选：． 【点评】本题主要考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 21.如果，那么整数　　． 【分析】根据，推出，推出，，求出即可． 【解答】解：， ， ， ，， 即， 故答案为：2． 【点评】本题考查了无理数和二次根式的性质，关键是求出的范围． 22．若，则满足条件的可能是（    ） A．8 B．9 C．15 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的意义成为解题的关键． 先根据算术平方根的意义确定a的取值范围，然后结合选项即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即选项C符合题意． 故选C． 考点06：实数的概念及分类、性质 23.关于实数，下列说法错误的是（    ） A．有理数与无理数统称实数 B．实数与数轴上的点一一对应 C．无理数就是无限不循环小数 D．带根号的数都是无理数 【答案】D 【分析】根据实数的分类，无理数的意义，实数与数轴，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、有理数与无理数统称实数，选项正确，故不符合题意； B、实数与数轴上的点一一对应，选项正确，故不符合题意； C、无理数就是无限不循环小数，选项正确，故不符合题意； D、带根号的数不一定都是无理数，例如：是有理数，选项错误，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了实数，实数与数轴，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 24.已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质。是解决问题的关键． 根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得． 【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①项错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②项正确； 实数与数轴上的点一一对应，故③项正确； 整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数， ∴无理数也有无限个，故④项错误． ∴正确的是②③． 故选：B． 25.如图，在数轴上，点与点关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点C所对应的实数是x，根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解． 【详解】解：设点C所对应的实数是x． 则有， 解得，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是数轴上两点间距离的定义，根据题意列出关于x的方程是解答此题的关键． 26.如图，在数轴上点、、所表示的数分别为，，，点到点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的实数为．    (1)求出实数的值 (2)求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求出，再根据题意可得，则或； （2）分和两种情况，去绝对值求解即可． 【详解】（1）解：，表示的数分别为，， ， 点表示的数为，且点到点的距离与点到点的距离相等 ， 或； （2）解：当时， ； 当时， ； 综上，原式的值为． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 考点07：实数的大小比较 27.比较大小： _____ ．（填写“”、“”或“”） 【答案】 【分析】利用作差法进行求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知作差法比较大小是解题的关键． 28.比较大小： ________；________；________；________． 【答案】 【分析】分别计算的值即可得出；利用作差法即可得出；判断，，即可得出；得到，即可得出． 【详解】解：∵，∴； ∵，∴； ∵，∴；∵，∴，∴； ∵，∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握解答的方法是关键． 29.若是实数，且，则下列关系式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根，立方根，不等式的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵是实数，且， A. 当时，，故该选项不正确，不符合题意； B. 当时，，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. 当时，，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，不等式的性质，实数的大小比较，熟练掌握以上知识是解题的关键． 30.当时，a，，，之间的大小关系是 （用“＞”连接）． 【答案】 【分析】根据a的取值范围利用不等式的基本性质判断出，，进而得出，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，即， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 考点08：实数的运算 31.计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：原式=； （2）解：原式=． 【点睛】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键． 32.计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查立方根、算术平方根及实数的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据立方根、算术平方根及实数的运算可进行求解； （2）根据立方根、算术平方根可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 33.程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，当输入的值为64时，输出的值是__________． 【答案】 【分析】根据程序框图进行运算求解即可． 【详解】解：由题意知，，取算术平方根为， 8是有理数，取立方根， 2是有理数，取算术平方根， 是无理数，输出， 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根、立方根，无理数、有理数，程序框图．解题的关键在于理解框图以及对知识的熟练掌握． 34.定义一种运算：对于任意实数，都有，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据题目所给的定义得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键． 35.在正实数范围内定义一种运算“”：当时， ；当时，．则方程的解是___________． 【答案】或 【分析】直接利用当时，当时，分别得出等式，进而得出答案． 【详解】解：， 当时， ， 故， 解得：， 当时， ， ， 故， 解得：， 综上所述：或． 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查了新定义运算，实数的运算，正确分情况讨论是解题关键． 考点09：科学记数法 36．科技兴则民族兴，科技强则国家强．近几年我国一直在芯片工艺上进行技术攻坚，目前，我国科学家研发出一款芯片拥有近6000个晶体管，每个晶体管只有3个原子厚，即厚度约为，则数字“0.00000000065”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数字“0.00000000065”用科学记数法表示为． 故选：C． 37．记者从河南省文化和旅游厅获悉：2024年元旦假日期间，全省统计接待游客1613.7万人次，旅游收入78.7亿元．数据“78.7亿”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：亿． 故答案为：． 38．某款无人机的影像传感器像素点间距为0.0000024米，能够捕捉到丰富的细节．数据0.0000024用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解． 【详解】解：． 故选：B． 39．用科学记数法表示的数写成小数是 ． 【答案】 【分析】利用科学记数法逆运算把数写成小数形式． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学记数法的逆运算，将科学记数法表示的数，还原成通常表示的数，就是把的小数点向左移动位所得到的数． 考点10：有关的规律探索题 40．已知，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，根据被开方数的小数点每向右（左）移动两位，其算术平方根的小数点每向右（左）移动一位进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ，这两个式子都不成立， 故选：A． 41.若，，，则= ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．依据被开方数小数向左或向右移动3位时，则对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 42.阅读下列解题过程： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________． (2)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可； （2）原式变形后，仿照上式得出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ∴第4个等式为：； 故答案为：； （2）． 【点睛】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键． 考点11：平方根、立方根的实际应用 43.如图，摆钟的钟摆自由摆动，摆动一个来回所用的时间（单位：s）与钟摆的长度（单位：）之间满足．当钟摆的长度为时，摆动一个来回所用的时间是多少秒？（取，取，结果保留小数点后两位） 【答案】 【分析】本题考查求代数式的值，把代入代数式，计算即可． 【详解】解：当时，， 即． 答：当钟摆的长度为时，摆动一个来回所用的时间是秒． 44.在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根以及平方根的实际应用，根据题意正确列出含平方根、立方根的式子是解答本题的关键． （1）设正方体棱长为，根据正方体的体积公式得，解出的值即可； （2）设直径为，根据“用量筒量得从杯中溢出的水的体积为”得，解出的值，即可解答． 【详解】（1）解：设正方体棱长为， 则， 解得：， 答：正方体棱长； （2）解：设直径为， 则， 解得：，不符合实际， 直径为， 答：直径为． 45.某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为． (1)求该长方形的长宽各为多少? (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由． 【答案】(1)长方形的长30米，宽20米 (2)不能改造出这样两块不相符的实验田，见解析 【分析】（1）按照设计的花坛长宽之比为设长为米，宽为米，以面积为600平方米作等量关系列方程，解得x的值即可得出答案； （2）设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，根据面积之和为500m2，列出方程求出y，得到大正方形的边长和小正方形的边长，即可求解． 【详解】（1）解：长方形长宽之比为， 设该长方形花坛长为米，宽为米， 依题意得：， ， ∴或（不合题意，舍去） ， 答：该长方形的长30米，宽20米； （2）解：不能改造出这样两块不相符的实验田，理由如下： 两个小正方形的边长比为， 设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，依题意得：， ， ， 或（不合题意，舍去） ， ， 所以不能改造出这样两块不相符的实验田． 【点睛】本题主要考查了平方根的应用，运用方程解决实际问题，关键是找出题目的两个相等关系． 考点12：阅读理解题 46.我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中m、n为有理数，x为无理数，那么，运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中m、n为有理数，求m和n的值； (2)如果，其中m、n为有理数，求的立方根； (3)若m、n均为有理数，且，求的算术平方根． 【答案】(1) (2)2 (3)或 【分析】本题考查了实数的运算、立方根与算术平方根、二元一次方程组的应用，熟练掌握实数的运算法则是解题关键． （1）根据实数的运算法则可得，由此即可得； （2）先根据实数的运算法则可得，解方程组可得的值，再根据立方根的性质求解即可得； （3）先根据实数的运算法则可得，解方程组可得的值，再根据算术平方根的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵为有理数， ∴为有理数， ∵， ∴， 解得． （2）解：∵， ∴， ∵为有理数， ∴， 解得， ∴， 则的立方根是． （3）解：∵， ∴， ∵为有理数， ∴， 解得或， 则或， 所以的算术平方根是或． 47.阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) (3)的相反数为 【分析】本题考查了无理数的估算，相反数等知识．解题关键是确定无理数的整数部分和小数部分． （1）由，即可得的整数部分与小数部分； （2）由，则可得的小数部分为a，同理可得的整数部分为b，代入则可求得值； （3）估算出的整数部分与小数部分，则得到x与y的值，从而可求得的相反数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为4，的小数部分为； 故答案为：4；； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为； ∵， ∴， ∴的整数部分为； ∴； （3）（3）∵， ∴， 即的整数部分为11，小数部分为， ∴， ∴， ∵的相反数为， ∴的相反数为． 48.探索与应用． (1)先填写下表，通过观察后再回答问题： ．．． 0.0001 0.01 1 100 10000 ．．． ．．． 0.01 1 100 ．．． ①表格中________；_________； ②从表格中探究与的数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： 已知，若，则___________． 已知，则___________． (2)阅读例题，然后回答问题： 例题：设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得，因为都是有理数，所以也是有理数，由于是无理数，所以，所以，所以． 问题：设都是有理数，且满足，求的值． 【答案】(1)①，；②；； (2) 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、利用平方根解方程 【分析】本题考查算术平方根的规律探究，实数的运算，利用平方根的含义解方程，解题的关键是弄清题中给出的解答方法，然后运用类比的思想进行解答． （1）①根据表格信息可得：算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，从而可得答案； ②根据①中规律解答即可； （2）把化为，可得，，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：①由题意可得：表格中；； ②∵，， ∴； ∵， ∴． （2）解： 移项得：， 是无理数， ，， 解得：，　　 ； ∴或． 考点13：平方根、算术平方根与立方根的相关新定义问题 49.定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． (1)点，，中，不是“理想点”的是_____． (2)若点是“理想点”，求x的值． (3)是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)和 (2)； (3)的值为0或． 【分析】本题主要考查了算术平方根应用，理解题意，掌握“理想点”的定义是解题的关键． （1）根据“理想点”的定义，计算即可判断； （2）根据“理想点”的定义，列出方程，解方程即可求解； （3）根据“理想点”的定义，求得的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴点是“理想点”； ∵，， 又∵， ∴点不是“理想点”； ∵，， 又∵， ∴点是“理想点”； 故答案为：和； （2）解：∵点是“理想点”， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵点是“理想点”， ∴，整理可得， ∴或， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为0或． 50.定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“数”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请直接判断4，16，25是不是“数”______； (2)①请证明2，8，50这三个数是“数”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；②请根据做题经验，任意写出一条你写“数”的心得． (3)已知，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求的值． 【答案】(1)是 (2)①证明见解析最小算术平方根是4，最大算术平方根是20，②任意两个数的乘积都是完全平方数 (3)81 【分析】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是理解并掌握新定义的运算法则． （1）根据“数”的定义，分别求解算术平方根进行判断即可； （2）根据“数”的定义分别求解算术平方根即可；根据新定义直接写出结论即可 （3）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：，，， ∵结果分别为8，10，20，都是整数， ∴4，16，25是“数”， 故答案为：是； （2），，，其结果分别为4，10，20，都是整数， 所以2，8，50三个数是“数”，其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是20． ②任意两个数的乘积都是完全平方数； （3）解：分三种情况：①当时，，解得（舍去）； ②当时，，解得（舍去）； ③当时，，解得． 综上所述，的值为81． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$