专题24.6 向量的线性运算（7大题型+能力提升） 2025-2026学年沪教版（上海）数学九年级第一学期

2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题24.6 向量的线性运算 知识点一 实数与向量相乘 1.实数与向量相乘的意义 一般地，设为正整数，为向量，那么我们用表示个相加;用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 注意：设为一个正数，实际上就是将的长度进行放缩，而方向保持不变;也是将的长度进行放缩，但方向变为反向. 2.实数与向量相乘的运算的规定 设是一个实数,是向量,那么与相乘所得的积是一个向量,记作. 如果 ,且,那么的长;的方向:当时与同方向;当时与反方向.如果或,那么. 根据实数与向量相乘的意义，可知 注意：也表示实数与向量相乘的运算.规定应把实数写在向量前面并省略乘号; （1） 注意不要将表示向量的箭头写在数字上面. 知识点二 实数与向量相乘满足的运算律 1.实数与向量相乘满足的分配律 设为实数，则（1）;（2） 2.实数与向量相乘满足的结合律 设为实数,则. 注意：或为零以及或为零向量时，等式依然成立. 知识点三 平行向量定理 如果向量与非零向量平行,那么存在唯一的实数,使. 注意：满足，关于的符号，是由与同向或反向来确定的，当与方向相同时，的符号为正号；当与方向相反时，的符号为负号. 知识点四 单位向量 长度为1的向量叫做单位向量.设为单位向量,则. 注意：在实数中,0和1是特殊的数;在向量中,和是特殊的向量,其中单位向量有无数个,不同的单位向量,是指它们的方向不同.对于任意非零向量,与它同向的单位向量记作.由实数与向量的乘积,可知=,=. 知识点五 向量的线性运算与线性组合 1. 向量的线性运算 向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 2.向量的线性组合 如果、是两个不平行的向量，是实数，那么叫做、的线性组合.一般来说，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式. 知识点六 向量的分解 1.向量的分解 根据向量加法的意义，所得的和向量是向量与的合成.如果与是两个不平行的向量，（是实数），那么向量就是与的合成.用与的线性组合表示向量，也就是说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量在与方向上的分向量,是向量关于与的分解式. 注意：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解. 2.将一个向量分解成两个已知基向量的线性组合的方法 将一个向量分解成两个已知基向量的线性组合的方法可以利用向量加法的平行四边形法则得出. 题型01：向量数乘的意义 【例1】（2023春·上海普陀·九年级校考期中）已知，，且与的方向相反，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的性质即可解决问题． 【详解】∵，而且和的方向相反 ∴. 故选D． 【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【例2】（23-24九年级上·上海崇明·期中）已知（其中k为实数）．下列说法中错误的是（    ） A．若，那么 B．若，那么一定是非零向量 C．若，那么与的方向相反 D．若是单位向量，那么的模是 【答案】B 【分析】本题考查了平面向量，根据零向量的意义，共线向量以及模的定义进行判断即可．解题的关键是掌握平面向量的性质，平面向量既有大小，也有方向． 【详解】解：A、若，那么，故本选项正确； B、若，则可能是零向量，也可能是非零向量， ∴可能是零向量，也可能是非零向量，故本选项错误； C、若，那么与的方向相反，故本选项正确； D、若是单位向量，那么的模是，故本选项正确； 故选：B． 【例3】（2023春·上海闵行·九年级校考期中）下列命题中，错误的是（    ） A．如果或，那么 B．如果、为实数，那么 C．如果（为实数），那么 D．如果或，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查平面向量，解题的关键是熟练掌握平面向量的性质， 根据平面向量的性质一一判断即可． 【解析】解：A．如果或，那么，正确，故本选项不符合题意． B．如果、为实数，那么，正确，故本选项不符合题意． C． 如果（为实数），那么，错误，时，不成立，故本选项符合题意． D． 如果或，那么，正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 【例4】（2023·上海·一模）下列命题正确的个数是（    ） ①设是一个实数，是向量，那么与相乘的积是一个向量； ②如果，，那么的模是； ③如果，或，那么； ④如果，的方向与的方向相反． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据实数与向量的乘积结合向量的定义，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：①设是一个实数，是向量，那么与相乘的积是一个向量，故①正确； ②如果，，那么的模是，故②正确； ③如果，或，那么，故③错误； ④如果，的方向与的方向相反，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了实数与向量的乘积，熟练掌握平面向量的定义是解题关键． 【例5】．（2024·上海杨浦·三模）已知在梯形中，，点、分别是边、的中点，，设，那么 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，梯形中位线定理；由梯形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵，点、分别是边、的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【例6】（2024春上海九年级阶段练习）如图，在平行四边形中，E、F、G、H分别为各边的中点，与相交于点O．设，，试用向量或表示向量、，并写出图中与相等的向量．    【答案】，与相等的向量有 【分析】根据平行四边形的性质得到相应条件，从而判定四边形，，，是平行四边形，从而得到相等和平行线段，再根据向量的定义判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵E、F、G、H分别是各边中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，同理，， ∴四边形是平行四边形，同理：四边形，，是平行四边形， ∴、、互相平行且相等，、、互相平行且相等，与互相平分于点O， ∴，， 与相等的向量有五个． 【点睛】此题考查的是平行四边形的判定和性质、平面向量等知识，掌握其性质及概念是解决此题的关键． 题型02：向量数乘的运算律 【例7】（2025·上海长宁·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查向量加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 先去括号，然后根据向量加减法进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【例8】（2025·上海虹口·一模）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平面向量的计算，解题的关键是掌握平面向量的计算方法，根据平面向量的加减法计算法则和去括号法则进行计算． 【详解】解：． 故答案为：． 【例9】（2025·上海崇明·一模）计算： 【答案】 【分析】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．根据平面向量的加法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【例10】（2025·上海黄浦·一模） ． 【答案】/ 【分析】本题考查了向量的知识，熟练掌握以上知识是解题关键． 按照向量的线性运算计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【例11】（2024·上海普陀·一模）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与向量相乘，根据其运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【例12】（2024·上海杨浦·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了向量计算，正确掌握运算的法则是解题的关键． 【详解】 ． 题型03：平面向量定理的应用 【例13】（2025·上海杨浦·三模）已知、和都是非零向量，下列结论中不能判定的是（   ） A．， B． C． D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面向量的知识，理解并掌握平行向量的定义是解题关键． 根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、∵，，∴，故本选项不符合题意； B、，但不一定平行，故本选项符合题意； C、∵，∴，故本选项不符合题意； D、∵，，∴，故本选项不符合题意． 故选：B． 【例14】（2025·上海静安·一模）已知都是非零向量，下列条件中不能判定的是（    ） A．， B． C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查了向量平行的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 根据向量平行的判定，向量模的理解进行判定即可求解． 【详解】解：A、，则，能判定，不符合题意； B、，则，能判定，不符合题意； C、模相等，不一定平行，故不能判定，符合题意； D、，则， ∴，能判定，不符合题意； 故选：C ． 【例15】（2025·上海松江·校级模拟）已知，，且是非零向量．那么下列说法中正确的是（   ） A． B．，与不平行 C．，与不平行 D．，与不平行 【答案】A 【分析】本题考查平面向量，解题的关键是掌握平面向量平行的判定方法．判断出可得结论． 【详解】 ∵是非零向量， 故选：A． 【例16】（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知向量与是互不平行的非零向量，如果，那么向量与是否平行？答： ． 【答案】否 【分析】本题主要考查了向量的线性运算，若向量与平行，则（k为常数，且），据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴（k为常数，且）， ∴向量与不平行， 故答案为：否． 题型04：单位向量的概念 【例17】（2025·上海奉贤·一模）已知是单位向量，向量与的方向相反，且长度为，那么用表示是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与向量相乘，熟练掌握向量的定义、表示方法及运算法则是解题的关键． 根据向量的表示方法进行解答即可． 【详解】解：∵的长度为，向量是单位向量， ∴， 又∵向量与的方向相反， ∴， 故答案为：． 【例18】（2023·上海杨浦·一模）已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． B、，计算正确，故本选项符合题意． C、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． D、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【例19】（2023·上海徐汇·一模）已知和都是单位向量，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的性质进行一一分析判断即可． 【详解】解：A、单位向量的模相等，故该选项正确； B、单位向量与单位向量方向相同时，该等式才成立，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项错误，不符合题意； D、单位向量与单位向量方向相同时，该等式才成立，故该选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向． 【例20】（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）已知一个单位向量，设向量、是非零向量，则下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量相等的基本概念，对选项逐个判断即可，向量相等是指向量的模相等而且方向相同． 【详解】解：A，与的方向不一定相同，选项错误，不符合题意； B、与的方向不一定相同，选项错误，不符合题意； C、与的方向不一定相同，选项错误，不符合题意； D、与的方向相同，而且，两个向量的模相等，选项正确，符合题意． 故选：D 【点睛】此题考查了向量的有关概念，解题的关键是熟练掌握向量的有关概念． 【例21】（2024春上海九年级阶段练习）已知是非零向量，如果与同方向的单位向量记作，那么下列式子中正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实数与向量相乘，对各选项进行判断作答即可． 【解析】解：由题意知，，A错误，故不符合要求； ，B错误，故不符合要求； ，C正确，故符合要求； ，D错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与向量相乘．解题的关键在于熟练掌握实数与向量相乘结果是向量． 题型05：平面向量的线性运算 【例22】（23-24九年级下·上海·阶段练习） 【答案】 【分析】本题考查了向量的加减，根据向量的加减运算法则计算即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【例23】（2024·上海静安·三模）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查向量的加减运算，根据向量加减运算法则求解即可 【详解】解： ， 故答案为：． 【例24】（2022秋·上海崇明·九年级校考期中）已知向量关系式，如果用向量、表示向量，可以表示为 ． 【答案】 【分析】根据运算法则可得，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查的是平面向量，掌握平面向量法则是解决此题的关键． 【例25】已知、都是已知向量，、都是未知向量，且+，，求、． 【答案】=； 【分析】由向量的线性运算的运算法则进行计算，即可得到答案． 【详解】解：∵+， ∴=； ∵， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了向量的加减的运算和向量的几何意义，属于基础题．解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 【例26】（2024春上海九年级阶段练习）如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【答案】化简得﹣+2；作图见解析． 【分析】首先利用平面向量的加减运算法则化简原式，再利用三角形法则画出图形． 【解析】解：==﹣+2． 如图：=2，=﹣， 则=﹣+2， 即即为所求． 【点睛】此题考查了平面向量的运算法则以及作法．注意作图时准确利用三角形法则是关键． 【例27】（2024春上海九年级阶段练习）如图，已知两个不平行的向量和向量．先化简，再求作：． 【答案】 【分析】 此题考查了平面向量的运算．注意掌握三角形法则是解答本题的关键．首先利用平面向量的运算法则，化简原式，再利用三角形法则画出向量． 【解析】 解：原式 ． 如图： ，， 则即为所求． 题型06：用两个（不平行）向量的线性组合表示向量 【例28】（2025·上海金山·一模）在中，如果，这个三角形的重心为点，设，，那么向量用向量、表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形重心的性质， 向量的线性运算等知识点，熟练掌握三角形法则和平行四边形法则是解题的关键． 根据“三角形重心的性质重心到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍”可得，然后根据向量的三角形法则可得，由可得，于是得解． 【详解】解：如图， ∵G是的重心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由三角形法则可得：， ∵D为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【例29】（2025·上海长宁·一模）如图，已知在中，中线、交于点，交于点． (1)如果，求和的长； (2)如果，，那么________．（用含向量、的式子表示） 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了三角形的重心，平面向量，相似三角形的性质与判定，掌握三角形的重心是解题的关键． （1）根据三角形的重心，再证明，得出比例式，即可求解； （2）先求出，即可得到． 【详解】（1）解：中线、交于点， 点为重心， ， ， ， ， ，， ， ； （2）解：， ， ，， ， 故答案为：． 【例30】．（2024·上海·中考真题）如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则 （结果用含，的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平面向量的知识，解答本题的关键是先确定各线段之间的关系．先求出，从而可得． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． 是上一点，， ， ， ， 故答案为：． 【例31】（2025·上海松江·一模）如图，梯形中，，，设，，那么可以用、表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查向量的线性计算．熟练掌握三角形法则，是解题的关键．先根据，，，得出，然后利用三角形法则，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【例32】（2024春上海九年级阶段练习）如图，在梯形中，，对角线、相交于点O，，． (1)求的长； (2)如果，，试用表示向量． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平面向量，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据，得出，则，进而得出，最后根据即可求解； （2）先得出，则，进而得出，由（1）可得，则，进而得出，即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴． 【例33】（2024·上海·三模）如图，在正六边形中，如果向量，，那么向量为 （用向量，表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查了向量的线性运算，菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，正六边形的性质等等，设正六边形的中心为点O，连接，先证明都是等边三角形，进而证明四边形和四边形都是菱形，即可推出，，据此可得答案． 【详解】解：设正六边形的中心为点O，连接， 由正六边形的性质可得， ∴， ∴A、O、D三点共线， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴四边形和四边形都是菱形， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型07：画出平面向量的分向量 【例34】（2023·上海青浦·一模）如图，已知中，，，，． 设， (1)请直接写出向量、关于、的分解式，______；______． (2)连接，在图中作出向量分别在、方向上的分向量．【可以不写作法，但必须写出结论】 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）过点A作的平行线，过点C作的平行线，两直线相交于点F，得出，，进而得出，通过证明，根据相似三角形对应边成比例即可进行解答； （2）连接，过点E作的平行线，交于点G，即可进行解答． 【详解】（1）解：过点A作的平行线，过点C作的平行线，两直线相交于点F， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则，， ∴，， 故答案为：，． （2）如图所示：向量分别在、方向上的分向量为、． 【点睛】此题考查了向量、向量的平行四边形法则和三角形法则、相似三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． 【例35】如图，在平行四边形中，点为上的一点，，与相交于点，如果，， (1)用向量、分别表示下列向量； ； ； (2)在图中求作分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 【答案】(1)；； (2)见解析． 【分析】本题考查了向量的线性计算，平行四边形的性质，相似三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知条件得出，根据三角形法则得出，根据相似三角形得出，，即可求解； （2）根据平行四边形法则构造平行四边形，即可求解． 【解析】（1）解：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴； ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴； （2）如图，即为分别在、方向上的分向量． 【例36】（2022秋·上海浦东新·九年级校考阶段练习）如图，已知在平行四边形中，E、F分别是边的中点，设．    (1)求向量（用向量表示）； (2)求作向量在方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）． 【答案】(1)， (2)画图见解析，向量是向量在方向上的分量，向量是向量在方向上的分量 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再根据线段中点的定义得到，则； （2）如图所示，分别以为圆心，为半径画弧，二者交于H，过点H作于G，则向量是向量在方向上的分量，向量是向量在方向上的分量． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E、F分别是边的中点， ∴， ∴； （2）解：如图所示，分别以为圆心，为半径画弧，二者交于H，过点H作于G，则向量是向量在方向上的分量，向量是向量在方向上的分量．    【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，向量的线性运算，熟知向量的相关知识是解题的关键． 一、选择题 1.．已知非零向量，下列条件中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面向量，主要利用了向量平行的判定，解题关键是对向量性质的理解．根据向量的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解析】解：A、只能判定的模的数量关系，不能判定，符合题意； B、，能判定，不符合题意； C、，根据平行的传递性得到，不符合题意； D、，得到，平行的传递性得到，不符合题意； 故选A． 2.（2022秋·上海静安·九年级上海市华东模范中学校考期中）已知非零向量、和，下列条件中不能判定的是（    ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】根据向量平行向量的定义“方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量”进行逐一判定即可． 【详解】A选项，由于，所以、的方向相反，由于，故、的方向相同，所以，不符题意； B选项，因为，所以和的方向相同，由于，所以、、的方向相同，所以，不符题意； C选项，因为，所以、的方向相反，故的，不符题意； D选项，因为，所以、的方向不能确定，故不能判定其位置关系，符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查的是向量平行向量的定义，理解向量的定义是解决问题的关键． 3.（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）下列命题中，错误的是（    ） A．如果或，那么 B．如果、为实数，那么 C．如果（为实数），那么 D．如果，那么或 【答案】C 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A、如果或，那么，故本选项正确，不符合题意； B、如果、为实数，那么，故本选项正确，不符合题意； C、如果（为实数），那么，故本选项错误，符合题意； D、如果，那么或，故本选项正确，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握平面向量的性质，属于中考常考题型． 4．下列命题中，正确的是（    ） A．如果或，那么 B．如果，那么 C．如果和都是单位向量，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据平面向量的性质，逐项判断即可求解． 【解析】解：如果或，那么，故本选项错误，不符合题意； B、如果，那么或，故本选项错误，不符合题意； C、如果和都是单位向量，那么或，故本选项错误，不符合题意； D、如果，那么，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了平面向量的性质，熟练掌握平面向量的性质是解题的关键． 5．（2022·上海·九年级专题练习）已知非零向量和单位向量，那么下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的模只有大小，没有方向，向量既有长度也有方向对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A. 向量的模只有大小，没有方向，则不成立，故该选项不正确，不符合题意；     B. 单位向量与向量方向不一定相同，则，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. 单位向量与向量方向不一定相同，则，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查了向量的运算，向量的问题一定要注意从方向与模两方面考虑． 6．（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知是非零向量，如果与同方向的单位向量记作，那么下列式子中正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实数与向量相乘，对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，A错误，故不符合要求； ，B错误，故不符合要求； ，C正确，故符合要求； ，D错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与向量相乘．解题的关键在于熟练掌握实数与向量相乘结果是向量． 7．如图，在中，点D是在边上一点，且，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，求得的值，然后结合平面向量的三角形法则求得的值． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 又， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了平面向量的知识，解此题的关键是注意平面向量的三角形法则与数形结合思想的应用． 8．已知点D、E分别在的边、的延长线上，，，设，那么用向量表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明，从而推出，则，由，可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，向量的计算，证明，从而推出是解题的关键． 2、 填空题 9．（2025·上海崇明·一模）已知与单位向量方向相反，且长度为5，那么 ．（用含向量式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，涉及相反向量，向量的模．根据长度为5，得到，再根据与单位向量方向相反即可求解． 【详解】解：∵与单位向量方向相反，且长度为5， ∴， ∴， 故答案为：． 10.（2023·上海长宁·统考一模）如果向量与单位向量的方向相反，且，那么用向量表示向量为 ． 【答案】 【分析】根据向量的表示方法可直接得出答案． 【详解】解： ，向量是单位向量， ， 向量与单位向量的方向相反， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查平面向量有关知识，难度较小，解题的关键是掌握单位向量的定义． 11．＝ ，＝ ，＝ ． 【答案】 【分析】根据向量的加减运算法则进行运算． 【解析】； ； ． 故答案是：；；． 【点睛】本题考查向量的加减运算法则，需要注意向量的加减运算法则和数的加减运算有所区别． 12．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查向量的加减运算，根据向量加减运算法则求解即可 【解析】解： ， 故答案为：． 13．如果向量、和满足，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是平面向量，正确利用等式的性质是解题的关键．根据等式的性质变形，得到答案． 【解析】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如果，那么用、表示为 ． 【答案】 【分析】根据向量方程的求解方法，可以先移项，再系数化一，即可求得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平面向量的知识，解题的关键是掌握向量方程的求解方法． 15．（2024·上海青浦·二模）如图，在中，中线相交于点F，设，那么向量用向量表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，三角形法则等知识．根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质可得，利用三角形法则求出即可． 【详解】解：连接， ∵中线相交于点F， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， 故答案为：． 16．如图，在平行四边形中，点是边中点，点是边上的点，且设，，那么可用、表示为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的知识点是向量的线性运算、平行四边形的性质，解题关键是熟练掌握向量的线性运算． 首先由四边形是平行四边形，求得，又由点是边中点，点是边上的点，且，求得与，再利用三角形法则求解即可． 【解析】解：四边形是平行四边形， ， 点是边中点，点是边上的点，且， ，， ． 故答案为：． 17．（2024·上海普陀·二模）如图，梯形中，，过点作分别交、于点、，，设，，那么向量用向量、表示为 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，相似三角形的性质与判定，平面向量的线性运算，先证明四边形是平行四边形，根据已知得出，进而证明得出，，进而根据三角形法则，进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，则， ∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题 19．已知、．    (1)化简：． (2)求作，使． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了实数与向量相乘，向量的线性运算．熟练掌握向量的运算是解题的关键． （1）先计算实数与向量相乘，然后进行线性运算即可； （2）根据，作图即可． 【解析】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， 如图，即为所求；    18．（2025·上海崇明·一模）如图，四边形中，，与相交于点，，，．      (1)求的长； (2)设，，试用、表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质和向量的知识，掌握了以上知识是解题的关键； （1）利用已知条件证出，再得出，然后代入计算即可求解． （2）先求得，再根据，然后即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，   解得：； （2）解：∵， ∴， 又∵与同向， ∴， ∵，   ∴； 19．（2025·上海黄浦·一模）如图，在四边形中，，，，对角线、交于点． (1)设，，试用、的线性组合表示向量． (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）证明，即得，得到，进而得到，，再根据向量的加减法则计算即可； （）由正切可得，得到，再由勾股定理得，进而由，得到，即得，最后由正弦的定义计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，向量的线性运算，锐角三角函数，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 20．（2025·上海奉贤·一模）如图，，与相交于点，点F在上，． (1)求的长； (2)设，用含的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及平面向量的加减运算． （1）根据可得，得出根据得出，进而根据相似三角形的性质，即可得出结论； （2）根据（1）可得，则，根据相似三角形的性质可得，结合平面向量的加减运算即可得出结论即可求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． ， ∵与高相同， ∴． ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． ∴ （2）∵，，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵，则， ∴ ∴， ∴ 21.（2023·上海·一模）如图，已知在中，点D、E分别在边、上，且，． (1)求证：； (2)设，，试用向量、表示向量． 【答案】(1)见解析． (2) 【分析】（1）由平行线分线段成比例进行证明． （2）由三角形法则求得，然后由与的比例关系求得向量． 【详解】（1）证明： （2）， ∴ 【点睛】本题主要考查了平面向量，解题的关键在于掌握平行线的判定和三角形法则． 22．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，在四边形中，，对角线交于点． (1)设，试用的线性组合表示向量． (2)如果，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题． （1）根据题意可得，然后利用平行四边形法则得到即可； （2）过点D作交的延长线于点F，则有，得到，求出长，然后利用勾股定理得到长计算面积即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）过点D作交的延长线于点F， ∵， ∴为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去） ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题24.6 向量的线性运算 知识点一 实数与向量相乘 1.实数与向量相乘的意义 一般地，设为正整数，为向量，那么我们用表示个相加;用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 注意：设为一个正数，实际上就是将的长度进行放缩，而方向保持不变;也是将的长度进行放缩，但方向变为反向. 2.实数与向量相乘的运算的规定 设是一个实数,是向量,那么与相乘所得的积是一个向量,记作. 如果 ,且,那么的长;的方向:当时与同方向;当时与反方向.如果或,那么. 根据实数与向量相乘的意义，可知 注意：也表示实数与向量相乘的运算.规定应把实数写在向量前面并省略乘号; （1） 注意不要将表示向量的箭头写在数字上面. 知识点二 实数与向量相乘满足的运算律 1.实数与向量相乘满足的分配律 设为实数，则（1）;（2） 2.实数与向量相乘满足的结合律 设为实数,则. 注意：或为零以及或为零向量时，等式依然成立. 知识点三 平行向量定理 如果向量与非零向量平行,那么存在唯一的实数,使. 注意：满足，关于的符号，是由与同向或反向来确定的，当与方向相同时，的符号为正号；当与方向相反时，的符号为负号. 知识点四 单位向量 长度为1的向量叫做单位向量.设为单位向量,则. 注意：在实数中,0和1是特殊的数;在向量中,和是特殊的向量,其中单位向量有无数个,不同的单位向量,是指它们的方向不同.对于任意非零向量,与它同向的单位向量记作.由实数与向量的乘积,可知=,=. 知识点五 向量的线性运算与线性组合 1. 向量的线性运算 向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 2.向量的线性组合 如果、是两个不平行的向量，是实数，那么叫做、的线性组合.一般来说，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式. 知识点六 向量的分解 1.向量的分解 根据向量加法的意义，所得的和向量是向量与的合成.如果与是两个不平行的向量，（是实数），那么向量就是与的合成.用与的线性组合表示向量，也就是说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量在与方向上的分向量,是向量关于与的分解式. 注意：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解. 2.将一个向量分解成两个已知基向量的线性组合的方法 将一个向量分解成两个已知基向量的线性组合的方法可以利用向量加法的平行四边形法则得出. 题型01：向量数乘的意义 【例1】（2023春·上海普陀·九年级校考期中）已知，，且与的方向相反，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·上海崇明·期中）已知（其中k为实数）．下列说法中错误的是（    ） A．若，那么 B．若，那么一定是非零向量 C．若，那么与的方向相反 D．若是单位向量，那么的模是 【例3】（2023春·上海闵行·九年级校考期中）下列命题中，错误的是（    ） A．如果或，那么 B．如果、为实数，那么 C．如果（为实数），那么 D．如果或，那么 【例4】（2023·上海·一模）下列命题正确的个数是（    ） ①设是一个实数，是向量，那么与相乘的积是一个向量； ②如果，，那么的模是； ③如果，或，那么； ④如果，的方向与的方向相反． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例5】．（2024·上海杨浦·三模）已知在梯形中，，点、分别是边、的中点，，设，那么 ．（用含的式子表示） 【例6】（2024春上海九年级阶段练习）如图，在平行四边形中，E、F、G、H分别为各边的中点，与相交于点O．设，，试用向量或表示向量、，并写出图中与相等的向量．    题型02：向量数乘的运算律 【例7】（2025·上海长宁·一模）计算： ． 【例8】（2025·上海虹口·一模）计算： ． 【例9】（2025·上海崇明·一模）计算： 【例10】（2025·上海黄浦·一模） ． 【例11】（2024·上海普陀·一模）化简： ． 【例12】（2024·上海杨浦·一模）计算： ． 题型03：平面向量定理的应用 【例13】（2025·上海杨浦·三模）已知、和都是非零向量，下列结论中不能判定的是（   ） A．， B． C． D．， 【例14】（2025·上海静安·一模）已知都是非零向量，下列条件中不能判定的是（    ） A．， B． C． D．， 【例15】（2025·上海松江·校级模拟）已知，，且是非零向量．那么下列说法中正确的是（   ） A． B．，与不平行 C．，与不平行 D．，与不平行 【例16】（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知向量与是互不平行的非零向量，如果，那么向量与是否平行？答： ． 题型04：单位向量的概念 【例17】（2025·上海奉贤·一模）已知是单位向量，向量与的方向相反，且长度为，那么用表示是 ． 【例18】（2023·上海杨浦·一模）已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【例19】（2023·上海徐汇·一模）已知和都是单位向量，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例20】（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）已知一个单位向量，设向量、是非零向量，则下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【例21】（2024春上海九年级阶段练习）已知是非零向量，如果与同方向的单位向量记作，那么下列式子中正确的是（        ） A． B． C． D． 题型05：平面向量的线性运算 【例22】（23-24九年级下·上海·阶段练习） 【例23】（2024·上海静安·三模）化简： ． 【例24】（2022秋·上海崇明·九年级校考期中）已知向量关系式，如果用向量、表示向量，可以表示为 ． 【例25】已知、都是已知向量，、都是未知向量，且+，，求、． 【例26】（2024春上海九年级阶段练习）如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【例27】（2024春上海九年级阶段练习）如图，已知两个不平行的向量和向量．先化简，再求作：． 题型06：用两个（不平行）向量的线性组合表示向量 【例28】（2025·上海金山·一模）在中，如果，这个三角形的重心为点，设，，那么向量用向量、表示为 ． 【例29】（2025·上海长宁·一模）如图，已知在中，中线、交于点，交于点． (1)如果，求和的长； (2)如果，，那么________．（用含向量、的式子表示） 【例30】．（2024·上海·中考真题）如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则 （结果用含，的式子表示）． 【例31】（2025·上海松江·一模）如图，梯形中，，，设，，那么可以用、表示为 ． 【例32】（2024春上海九年级阶段练习）如图，在梯形中，，对角线、相交于点O，，． (1)求的长； (2)如果，，试用表示向量． 【例33】（2024·上海·三模）如图，在正六边形中，如果向量，，那么向量为 （用向量，表示） 题型07：画出平面向量的分向量 【例34】（2023·上海青浦·一模）如图，已知中，，，，． 设， (1)请直接写出向量、关于、的分解式，______；______． (2)连接，在图中作出向量分别在、方向上的分向量．【可以不写作法，但必须写出结论】 【例35】如图，在平行四边形中，点为上的一点，，与相交于点，如果，， (1)用向量、分别表示下列向量； ； ； (2)在图中求作分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 【例36】（2022秋·上海浦东新·九年级校考阶段练习）如图，已知在平行四边形中，E、F分别是边的中点，设．    (1)求向量（用向量表示）； (2)求作向量在方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）． 一、选择题 1.．已知非零向量，下列条件中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 2.（2022秋·上海静安·九年级上海市华东模范中学校考期中）已知非零向量、和，下列条件中不能判定的是（    ） A．， B．， C． D． 3.（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）下列命题中，错误的是（    ） A．如果或，那么 B．如果、为实数，那么 C．如果（为实数），那么 D．如果，那么或 4．下列命题中，正确的是（    ） A．如果或，那么 B．如果，那么 C．如果和都是单位向量，那么 D．如果，那么 5．（2022·上海·九年级专题练习）已知非零向量和单位向量，那么下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知是非零向量，如果与同方向的单位向量记作，那么下列式子中正确的是（        ） A． B． C． D． 7．如图，在中，点D是在边上一点，且，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 8．已知点D、E分别在的边、的延长线上，，，设，那么用向量表示为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 9．（2025·上海崇明·一模）已知与单位向量方向相反，且长度为5，那么 ．（用含向量式子表示） 10.（2023·上海长宁·统考一模）如果向量与单位向量的方向相反，且，那么用向量表示向量为 ． 11．＝ ，＝ ，＝ ． 12．化简： ． 13．如果向量、和满足，那么 ． 14．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如果，那么用、表示为 ． 15．（2024·上海青浦·二模）如图，在中，中线相交于点F，设，那么向量用向量表示为 ． 16．如图，在平行四边形中，点是边中点，点是边上的点，且设，，那么可用、表示为 ． 17．（2024·上海普陀·二模）如图，梯形中，，过点作分别交、于点、，，设，，那么向量用向量、表示为 ．    三、解答题 19．已知、．    (1)化简：． (2)求作，使． 18．（2025·上海崇明·一模）如图，四边形中，，与相交于点，，，．      (1)求的长； (2)设，，试用、表示． 19．（2025·上海黄浦·一模）如图，在四边形中，，，，对角线、交于点． (1)设，，试用、的线性组合表示向量． (2)已知，，求的值． 20．（2025·上海奉贤·一模）如图，，与相交于点，点F在上，． (1)求的长； (2)设，用含的式子表示． 21.（2023·上海·一模）如图，已知在中，点D、E分别在边、上，且，． (1)求证：； (2)设，，试用向量、表示向量． 22．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，在四边形中，，对角线交于点． (1)设，试用的线性组合表示向量． (2)如果，求四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$