第03讲 平面向量的线性运算（6大知识点+4大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025-2026学年九年级上册数学衔接讲义（沪教版）

第03讲 平面向量的线性运算（6大知识点+4大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 向量的相关概念 典型例题二 实数与向量相乘 典型例题三 向量的线性运算 典型例题四 平面向量的综合应用 知识点01 向量的概念 1、向量:既有大小又有方向的量叫做向量. 2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 知识点02 向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的表示方法: ①字母表示法：如等. 3、几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 知识点03 向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 知识点04 向量的减法运算 1、相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 零向量. 2、向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法. 3、向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以 表示 知识点05 向量的加法运算 1、向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. 2、多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 知识点06 向量的数乘运算 1、向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反. 2、向量的数乘的运算律 设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+. 特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-. 3、向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有( )=. 【典型例题一 向量的相关概念】 【例1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列命题正确的是（   ） A．若是单位向量，是实数，则； B．若； C．若（为非零向量），则存在唯一实数，使； D．若，则或． 【答案】D 【分析】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关键．根据零向量和平行向量的知识分析即可． 【详解】解：A．若是单位向量，时，则，故原说法不正确； B．若，故原说法不正确； C．若（为非零向量），则所有非零实数，使，故原说法不正确； D．若，则或，正确． 故选D． 【例2】（2025九年级上·上海·专题练习）已知一个单位向量，设是非零向量，那么下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． B、，计算正确，故本选项符合题意． C、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． D、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． 故选：B． 【例3】（2025·上海黄浦·模拟预测）任何向量都平行于0向量，这是一个 ．（选填“真命题”或“假命题”） 【答案】真命题 【分析】本题考查了真命题及0向量，了解0向量的特征是解题的关键，根据零向量的特点作答即可。 【详解】解：因为0向量平行于任何向量，所以任何向量都平行于0向量，这是一个真命题． 故答案为：真命题。 【例4】（2025·上海松江·模拟预测）如图，点、在平行四边形的对角线上，且，则图中与互为相反向量的向量是    【答案】或 【分析】本题考查平面向量知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据相等平面向量的意义即可判断； 【详解】解： ， ， 图中与互为相反向量的向量是或． 故答案为：或． 【例5】（24-25九年级上·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、、的坐标分别为、、． (1)计算：______，______ (2)在图1中求作（写出结果，不要求写作法） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）向量的大小的计算方法为：末点横纵坐标分别减去起点横纵坐标，计算它们各自的差的平方和的算术平方根即可．根据此方法解答即可． （2）先作出向量，然后作得到向量，将它平移，得到以坐标原点为起点的向量，再分别以向量和为邻边作平行四边形，连接对角线并指向点的向量即为向量． 【详解】（1）（1）， ． 故答案为：，； （2）解：先作出向量，然后作得到向量， 将它平移，得到以坐标原点为起点的向量， 再分别以向量和为邻边作平行四边形， 连接对角线并指向点的向量即为向量． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的坐标和向量．一定学会如何用坐标表示向量，以及向量的运算法则． 【例6】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知中，，，点D在边AB上，． (1)求的值． (2)在图中求作向量：在、方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）过点D作于点E．易证，即得出，结合题意又可得出．设，则，从而可求出．根据，可求出，最后根据求解即可； （2）过点C作于点E，过点A作交的延长线于点F．再根据分向量的概念即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点E． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点C作于点E，过点A作交的延长线于点F． ∴在、方向上的分向量分别为、． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，解直角三角形，平面向量的相关知识．利用数形结合的思想是解题关键． 1．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知、和都是非零向量，下列结论中不能判定的是（   ） A．， B． C． D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面向量的知识，理解并掌握平行向量的定义是解题关键． 根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、∵，，∴，故本选项不符合题意； B、，但不一定平行，故本选项符合题意； C、∵，∴，故本选项不符合题意； D、∵，，∴，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，矩形的对角线和交于点O，下列选项中错误的是（   ）        A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质和向量的大小、方向判断即可． 【详解】解：四边形为矩形， ， 和大小相同、方向相同， ，故A选项正确，不符合题意； 和大小相同、方向相反， ，故B选项正确，不符合题意； 和大小相同、方向相反， ，故C选项错误，符合题意； 和大小相同、方向相同， ，故D选项正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平面向量的知识，解题的关键是注意注意向量的大小和方向． 3．（24-25九年级上·上海青浦·期中）下列说法：①如果（是实数），那么；②若，，则；③单位向量都相等；④一个向量与零相乘，乘积为零；其中正确的是 ． 【答案】① 【分析】本题考查了平行向量，单位向量，零向量等知识．熟练掌握平行向量，单位向量，零向量是解题的关键． 根据平行向量，单位向量，零向量的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，如果（是实数），那么，正确，故①符合要求； 当时，若，，则错误，故②不符合要求； 单位向量方向不同，单位向量不都相等，故③不符合要求； 一个向量与零相乘，乘积为零向量，故④不符合要求； 故答案为：①． 4．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，矩形中，对角线、相交于，那么图中与相等的向量是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面向量，矩形的性质，根据矩形的性质推知即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在矩形中，．则图中与相等的向量是． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，已知两个不平行的向量、，求作，满足． （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量．） 【答案】见解析 【分析】本题考查本题主要考查了平面向量，注意：三角形法则在解题过程中的应用． 根据平面向量的加减运算法则求出，再由平面向量的几何意义作图． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 作图如下： 其中，，则，为所求向量． 6．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，已知平行四边形，，点E在边上，平分． (1)写出与相等的向量是 ； (2)求作：（要求保留作图痕迹）； (3)连接，如果，那么＝ ． 【答案】(1)； (2)答案见详解； (3)8． 【分析】（1）根据向量相等的概念：大小相等，方向相同的两个向量是相等向量，即可得解； （2）根据向量的减法的三角形法则作图即可； （3）由于=，取中点F，根据等腰三角形性质可知，然后证明，则，最后用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， ， ， ， 故与相等的向量是：； 故答案为：． （2）解：=， 如图1所示，向量为所作． （3）解：如图2，取中点F，连接， ， ， ， ， ，， ， ， 又 ， ， ． 故==8． 故答案为：8． 【点睛】此题考查了向量相等的概念、向量减法三角形法则的作图、三角形相似的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关概念、运算法则、判定与性质是解题的关键． 【典型例题二 实数与向量相乘】 【例1】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知，，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面向量，等式的性质等知识点，熟练掌握平面向量的基本知识是解题的关键． 根据平行向量的性质即可解决问题． 【详解】解：，，且和的方向相反， ， ， 故选：． 【例2】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知是非零向量，与同方向的单位向量记作，下列式子中，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】单位向量是指模等于1的向量．由于是非零向量，单位向量具有确定的方向． 一个非零向量除以它的模，可得与其方向相同的单位向量． 单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同． 【详解】解：A、 ，原式计算错误，故本选项不符合题意； B、，原式计算正确，故本选项符合题意； C、，原式计算错误，故本选项不符合题意； D、 ，原式计算错误，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面向量的模与向量的一些基础知识，应熟练掌握一个非零向量除以它的模，可得与其方向相同的单位向量． 【例3】（2025·上海杨浦·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了向量计算，根据实数与向量的运算进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知关系式，那么向量 ．（用，表示） 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键．根据平面向量的运算法则求解即可． 【详解】∵ ∴ ． 故答案为：． 【例5】（24-25九年级·上海·假期作业）已知非零向量，求作，．    【答案】见解析 【分析】作向量，向量即可． 【详解】解：如图，向量和向量即为所作． 本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握向量基础知识，属于中考常考题型． 【例6】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知平行四边形ABCD，=，=． （1）=　　　　　；（用，的式子表示） （2）=　　　　　　　；（用，的式子表示） （3）若AC⊥BD，||=4，||=6，则|+|=　　　　　　． 【答案】（1）﹣+；（2）+；（3）2． 【分析】（1）（2）根据平面向量的加法法则计算即可解决问题； （3）利用勾股定理计算即可； 【详解】解：（1）=﹣+； （2）==+； （3）∵AC⊥BD，||=4，||=6， ∴|+|=． 故答案为（1）﹣+；（2）+；（3）2． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．平面向量的加法法则等知识，解题的关键是熟练掌握三角形加法法则，属于中考常考题型． 1．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如果点、分别在的边上， , ，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可得，，进而可得，即可求解． 【详解】解：如图， ， 故选：D 【点睛】本题考查了相似三角形的性质以及平面向量知识点，掌握相似三角形的面积之比等于对应边比的平方是解题关键． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列命题中，错误命题的个数有（  ） ①如图，若，则； ②已知一个单位向量，设是非零向量，则； ③在中，在边上，在边上，且和相似，若，，，则它们的相似比为或； ④在中，，，边上的高，则，． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理、平面向量的定义、相似三角形的性质、解直角三角形的有关定理和性质分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】①∵，∴AD∥BE∥CF，故本选项正确； ②得出的是的方向不是单位向量，故本选项错误； ③当△ADE∽△ABC时，则， 当△ADE∽△ACB时，则， 故本选项正确； ④∵，AC＝2，BC边上的高， ∴当△ABC是锐角三角形时，， ∴∠B＝30°， ∴，， ∴BC＝4，∠B＝30°， 当△ABC是钝角三角形时，同理可求BC＝2，∠B＝30°， 故本选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、平面向量的定义、相似三角形的性质、解直角三角形，熟练掌握有关定理和性质是解题的关键，注意运用分类讨论的思想． 3．（24-25九年级·上海·假期作业）计算：     ； ；      ． 【答案】 【分析】（1）根据实数与向量相乘的运算定律计算即可； （2）根据实数与向量相乘的运算定律计算即可； （3）根据实数与向量相乘的运算定律计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 【点睛】此题主要考查实数与向量相乘的运算定律，以及去括号法则，掌握运算定律是解决问题的关键． 4．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，在梯形中，，，对角线与交于点O，设，，那么 ．（结果用、表示）    【答案】 【分析】由，即可证得，又由，即可求得和，再运用向量的和差即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查向量的和差、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握数形结合思想的应用以及明确向量是有方向的是解题的关键． 5．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，在矩形中，于点，，且． (1)求的长； (2)如果，，试用、表示向量． 【答案】(1)的长为 (2) 【分析】（1）根据，可得，再由，求得； （2）根据向量的表示法进行求解即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的性质和向量的表示，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 6．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，在梯形中，，且，点是边的中点，联结交对角线于点，若，． (1)直接用、表示 ； ； ； (2)求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 【答案】(1)，， (2)图见解析，是在方向上的分向量，是在方向上的分向量 【分析】（1）由可得，进而可得，，由可证得，于是可得，进而可得，于是可得； （2）按照作分向量的方法作出在、方向上的分向量，并指出所作图中表示结论的分向量即可． 【详解】（1）解：，且， ， ， ， ， 点是边的中点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，，； （2）解：如图，，即为所求： 图中表示结论的分向量： 是在方向上的分向量， 是在方向上的分向量． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，实数与向量相乘，向量的线性运算，相似三角形的判定与性质，过直线外一点作已知直线的平行线等知识点，熟练掌握向量的相关知识和运算法则并运用数形结合思想是解题的关键． 【典型例题三 向量的线性运算】 【例1】（2025·上海·模拟预测）已知，为非零向量，下面式子可以判断与方向相同的是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了向量的方向判定，熟练掌握向量方向的判定方法是解题的关键． 根据向量方向的判定方法逐项判断即可． 【详解】解∶A．当为零向量时，零向量与任意向量平行， 根据，不能确定与方向相同，故该选项不符合题意； B． ， ， ， ， 与方向相反， 故该选项不符合题意； C．根据不能确定与的方向关系， 故该选项不符合题意； D． ， ， ， 与方向相同， 故该选项符合题意； 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·上海徐汇·期末）如图，已知平行四边形的对角线和交于点O，设， ，那么向量、、、关于、的分解式中，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是利用三角形法则解决问题． 利用平行四边形的性质，三角形法则求解即可． 【详解】四边形是平行四边形 ， ，故A选项不符合题意 ，故B选项符合题意 ，故C选项不符合题意 ，故D选项不符合题意 故选：B 【例3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）在菱形中，，，那么 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，向量的有关计算，连接和，由菱形的性质得出，，，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，进而求出最后根据即可得出答案． 【详解】解：如下图：连接和， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【例4】 （2025·上海奉贤·模拟预测）如图，在中，点D是线段上的点，且，若，，那么 ．（用、的线性组合表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了平面向量，三角形法则，解题的关键是掌握三角形法则． 利用三角形法则求解即可． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【例5】（24-25九年级上·上海闵行·期中）\如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：． 【答案】 【分析】本题考查向量的线性计算，向量作图，根据向量的线性计算法则进行计算，再根据三角形法则，作图即可． 【详解】解：； 如图，即为所求； 【例6】 （2025九年级上·上海·专题练习）如图，在四边形中，，，在上，． (1)写出图中的所有相反向量； (2)如果，求； (3)写出． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】本题主要考查平面向量的运算，熟练掌握平面向量的运算的法则是解决本题的关键． （1）根据相反向量的定义即可直接求解． （2）根据已知条件可知，即可求出． （3）根据平面向量的运算法则即可直接求解． 【详解】（1）解：图中所有的相反向量为，． （2）解：∵，， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ． （3）解：四边形为平行四边形， ． ． 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在菱形中，对角线把菱形分割为左右两个小三角形． 、分别为、的重心． 设那么可用和的线性组合表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查向量的线性计算，重心的性质，根据重心的性质，菱形的性质，求出，再根据三角形法则求出即可． 【详解】解：设交于点， ∵菱形， ∴，， ∵、分别为、的重心， ∴点、在上，且， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选B． 2．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在等腰梯形中， ，，，设，用向量表示，结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面向量的线性运算、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，注意向量的方向是解答的关键．如图，过点A作交于点H．证明，求出，再根据求解． 【详解】解：如图，过点A作交于点H． 在等腰梯形中，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：B． 3．（2025·上海·模拟预测）在菱形中，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，向量的有关计算，连接和，由菱形的性质得出，，，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，进而求出最后根据即可得出答案． 【详解】解：如下图：连接和， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 4．（2025·上海静安·模拟预测）如图，点是的重心，已知，，那么向量 ．（用向量、表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平面向量的线性运算、三角形法则、三角形重心的性质等知识点，掌握向量的运算法则成为解题的关键． 如图：延长交于点D，则，即，再利用三角形法则求出，然后利用三角形重心的性质求解即可． 【详解】解：如图：延长交于点D， ∵点是的重心， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·上海·期中）如图，平行四边形中，点E为中点，把图中的线段都画成有向线段． (1)填空：在这些有向线段表示的向量中，与相等的向量是_______，与互为相反向量的向量是_______； (2)在图中求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结论） 【答案】(1)；、 (2)见解析 【分析】本题考查了向量的加减法，相等向量、相反向量的定义，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据两个向量模一样，方向一样即为相等向量，两个向量模一样，方向相反即为相反向量进行求解即可； （2）由题意得，则化为，即可作图． 【详解】（1）解：∵点E为中点， ∴， ∵与方向相同，且模一样 ∴与相等的向量是， ∵、与方向相反，且模一样， ∴与互为相反向量的向量是、， 故答案为：；、； （2）解：如图：即为所求： 6．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，在中，点、分别在边、延长线上，，，已知，． (1)用向量、分别表示向量、； (2)作出向量分别在、方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）． 【答案】(1)， (2)图见解析，， 【分析】本题考查了平面向量的知识与平行线分线段成比例定理．熟练掌握三角形法则，平行四边形法则是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理可得出，，即可得出，根据即可得答案； （2）过点分别作，，可得、是向量分别在、方向上的分向量，根据平行线分线段成比例定理求出和即可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵与的方向相同，，与的方向相同，， ∴，， ∴． （2）解：如图，过点分别作，，则、是向量分别在、方向上的分向量， ∵，， ∴，， ∴，， ∵与的方向相同，与的方向相反， ∴，． 【典型例题四 平面向量的综合应用】 【例1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）三条直线a，b，c，若，，则a与b的位置关系是（） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，平行公理及推理的应用，能熟记知识点（平行于同一直线的两直线平行）是解此题的关键．根据平行线的判定得出即可． 【详解】解：∵三条直线a，b，c，若，，， ∴， 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，矩形的对角线与相交于点O，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平面向量的加减法则，根据三角形法则求出，再根据矩形的性质，即可解决问题，熟练掌握平面向量的加减法则是解决此题的关键． 【详解】∵，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故选：A． 【例3】 （2025·上海崇明·模拟预测）如图，在中，点是边中点，点是线段中点，设，那么 ．（结果用含、的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平面向量的知识点，运用三角形法则是解题的关键．先用、的线性组合表示，再表示即可． 【详解】解：在中， ，， 是边中点， ， 在中， ， 点是线段中点， ， 在中， ， 故答案为：． 【例4】 （24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，点D在边AB上，，，，设，，那么 ．（用向量，的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，向量的线性运算，求得是银题的关键． 先证明，得，从而求得，继而求得，即，再根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【例5】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，，相交于点F． (1)求的值； (2)如果 ，试用a，b表示 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平面向量等知识， （1）利用相似三角形的判定与性质即可解决问题； （2）利用三角形法则即可解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【例6】 （24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，在中，点E为中点，点D在边上，，，． (1)求的长； (2)设，用向量、表示向量，即______． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）运用，，证明，再把，代入，进行计算，即可作答． （2）求出，，再利用三角形法则求解． 本题考查相似三角形的判定与性质，平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，属于中考常考题型． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴， ∵点E为中点，，． ∴ 则 解得． （2）解：由（1）得， ， ， ∵，， ，， 是的中点， ， ∴， 则． 故答案为：． 1．（2025·上海·模拟预测）如图，在中，点D是在边上一点，且，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，求得的值，然后结合平面向量的三角形法则求得的值． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 又， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了平面向量的知识，解此题的关键是注意平面向量的三角形法则与数形结合思想的应用． 2．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD的中点，CE交对角线BD于点F．如果，那么用的线性组合表示向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A作AQ//EC交BD于点P，证四边形AQCE是平行四边形，再通过三角形法则进行求解即可； 【详解】解：过点A作AQ//EC交BD于点P， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE//QC， 又∵AQ//EC， ∴四边形AQCE是平行四边形， ∵E是边AD的中点， ∴F为边PD的中点， 同理，P是边BF的中点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题主要考查向量的加减，掌握向量的运算法则是解题的关键． 3．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，在梯形中，，点是边的中点，连接交于点，设，那么用向量、表示向量是 ． 【答案】 【分析】本题考查平面向量、梯形、平行四边形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．依题意得出，四边形为平行四边形，则，进而得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：点是边的中点， ， ， ， ， ，四边形为平行四边形， ， 点是边的中点， 故答案为：． 4．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，在中，点E和点F分别在和上，，将沿直线翻折，点D落在边上的点G处，若则= （用表示） 【答案】 【分析】根据翻折的性质、相似三角形的性质、相似三角形是判定及比例的性质求解．本题考查了翻折变换，掌握翻折的性质、相似三角形的性质、相似三角形是判定及比例的性质是解题的关键． 【详解】解：连接交于，交于点， 将沿直线翻折，点落在边上的点处， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ∴ 故答案为：． 5．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，已知中，． (1)求线段的长： (2)设．请直接写出： ①向量关于的分解式，______； ②向量关于的分解式，______． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查平面向量，相似三角形的性质与判定；解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由题意得，得出，即即可求解． （2）①由题意得，再根据，即可求解． ②由题意得，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ， ，， ． ． （2）①由（）知， 故答案为：． ② ∴ 故答案为：． 6．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，已知在中，，垂足为点，，，，点是边的中点，连接交于点． (1)若，，则________．（用，表示） (2)求的余切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，向量的线性运算，难度较大，正确表示出与的数量关系是解题的关键． （1）先解直角三角形求出，过点E作于点，则， 通过，得到，继而再利用向量的加减法即可求解； （2）求出，则，继而可进行等角转化求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， 过点E作于点，则， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴由勾股定理得：， ∵为中点， ∴， ∴， ∴． 1．（2025九年级上·上海·专题练习）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面向量的三角形法则，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．根据三角形法则即可判断． 【详解】解：A、，，即，原等式错误，不符合题意； B、，原等式错误，不符合题意； C、，原等式错误，不符合题意； D、，原等式正确，符合题意， 故选：D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列说法中，错误的是（   ） A．设为单位向量，那么； B．如果，那么或； C．如果，其中，那么； D．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解． 【答案】B 【分析】本题考查平面向量，根据平面向量的运算法则和向量的模的定义逐一判断即可． 【详解】解：A. 设为单位向量，那么，说法正确； B. 如果，只能说明向量的模是向量的模的3倍，方向不一定是相同或相反，所以不能说明或，故说法错误； C.∵，（为非零向量）， ∴， 即， ∴， ∴与平行，故说法正确； D. 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，说法正确． 故选：B． 3．（24-25九年级上·上海虹口·期末）如图，在梯形中，，点是边的中点，连接，，下列向量中，不是的相反向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面向量，平行四边形的性质，平行向量，相反向量等知识，解题的关键是平行向量，相反向量的定义，属于中考常考题型．根据相反向量，平行向量的定义一一判断即可． 【详解】解：A、与是相反的向量，本选项不符合题意； B、与是相反的向量，本选项不符合题意． C、与互为相反向量，本选项不符合题意． D、与是平行向量，方向相同，不是相反向量，本选项符合题意． 故选：D． 4．（24-25九年级上·上海松江·期中）规定：在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为（m，n），向量可以用点P的坐标表示为：＝（m，n）．已知＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2＝0，那么与互相垂直，在下列四组向量中，互相垂直的是（　　） A．＝（3，20190），＝（﹣3﹣1，1） B．＝（﹣1，1），＝（+1，1） C．＝（），＝（（﹣）2，8） D．＝（+2，），＝（﹣2，） 【答案】A 【分析】根据向量互相垂直的定义作答． 【详解】A、由于3×（﹣3﹣1）+20190×1＝﹣1+1＝0，则与互相垂直，故本选项符合题意． B、由于（﹣1）（+1）+1×1＝2﹣1+1＝2≠0，则与不垂直，故本选项不符合题意． C、由于×（﹣）2+×8＝4+4＝8≠0，则与不垂直，故本选项不符合题意． D、由于（+2）（﹣2）+×＝5﹣4+1＝2≠0，则与不垂直，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了平面向量，解题的关键是掌握向量垂直的定义. 5．（2025·上海金山·模拟预测）如图，已知点、分别在的边、上，，，，，那么等于（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据相似三角形的判定与性质求出DE与BC的数量关系，再根据向量的定义即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴=． 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及向量的定义，向量用有向线段来表示，有向线段长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向． 6．（24-25九年级上·上海·阶段练习）计算：＝ ． 【答案】 【分析】本题考查向量的线性计算，根据向量的线性计算法则，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 7．（2025·上海奉贤·模拟预测）点在线段上，设，，那么用向量、表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了向量线性运算，根据向量线性运算性质即可求解． 【详解】解：∵，，则 ∴ 故答案为：． 8．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，正六边形中，，，那么 （用含，的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查平面向量，正六边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则． 首先得出，然后根据三角形法则求解即可． 【详解】∵正六边形中， ∴， ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在梯形中，，，是梯形中位线，设，，那么向量用向量，表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，平面向量的问题，熟练掌握三角形法则和平行四边形法则是解题的关键，本题还考查了梯形的中位线等于上底与下底和的一半． 根据梯形的中位线等于上底与下底和的一半表示出，然后根据向量的三角形法则解答即可． 【详解】解：∵是梯形中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 由三角形法则得，． 故答案为：． 10．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，在菱形中，．在其内部作形状、大小都相同的菱形和菱形，使点E，F，G，H分别在边上，点M，N在对角线上．若，则= ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出合适的辅助线，求出和的长． 连接交于点O，作于点I，作交的延长线于点J，根据菱形的性质和锐角三角函数，可以求得和的长，然后结合图形及向量，即可得出结果． 【详解】解：连接交于点O，作于点I，作交的延长线于点J，如图所示， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵菱形和菱形大小相同， ∴， ∴， ∴，   ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∵与方向相反， ∴ 故答案为：． 11．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知：如图，两个不平行的向量和，先化简，再求作：（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量） 【答案】，作图见解析 【分析】本题考查了向量的减法运算，作和向量；掌握向量的运算法则是关键．按照整式加减的方法去括号，再合并即可；在平面内任取点O，作，利用三角形法则作，则． 【详解】解：原式 ． 作图如下：在平面内任取点O，作，作，则． 12．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，是以点O为起点的两个非零向量，且，在图中作，，并求的模长．    【答案】作图见解析；的模长为3． 【分析】如图1：过点A作=，连接OC，则即为所求；如图2，作=，过点A作=，连接DC，则即为所求； 首先连接AB，由，易得△OAB是等边三角形，△OAC是等腰三角形，然后由三角函数的性质，求得答案． 【详解】解：如图1：过点A作=， 连接OC， 则=， 即为所求； 如图2，作=， 过点A作=， 连接DC， 则=， 即为所求； 连接AB， 则=﹣， ∵， ∴OA=OB=AB=， ∴∠AOB=60°， ∵， ∴AC∥OB，AC=OB， ∴∠C=∠COB， ∵OA=OB， ∴OA=OC， ∴∠C=∠AOC， ∴∠AOC=∠COB=∠AOB=30°， ∴OD⊥AB， ∴OD=OA•cos∠AOD=×，CD=AC•cos∠C==×， ∴OC=3， ∴的模长为3．    【点睛】本题考查平行四边形的性质，向量等知识，解题的关键是理解向量的定义以及向量和差定义，属于中考常考题型． 13．（24-25九年级上·上海·期末）如图，已知在梯形中，，点在边上，连接，． (1)填空： ； ； (2)在图中求作：．（不要求写作法，但要写出结论） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了平面向量，三角形法则； （1）利用三角形法则和多边形法则求解即可； （2）作交于T，连接即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）如图，作交于T，连接，则即为所求． 14．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）如图，在中，是的重心，联结并延长交于点． (1)如果，，那么=________________(用向量、表示)； (2)已知，，点在边上，且，求的长． 【答案】(1) (2)3； 【分析】本题主要考查了平面向量，三角形的重心，相似三角形的判定与性质， （1）利用平面向量的定义解答即可； （2）利用三角形的重心的定义和相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）解：，， 是的重心，联结并延长交于点， 为的边上的中线， 即点为的中点， ， 故答案为：． （2）是的重心， ． ，， ， 15．（24-25九年级上·上海徐汇·单元测试）如图，已知正方形网格中每个小正方形的边长为1，点、、、、、都是小正方形的顶点． （1）记向量，，试在该网格中作向量．计算：______； （2）连接，求证：∽； （3）填空：______度；连接，比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】（1）作图见解析，；（2）证明见解析；（3）；∠BDC=∠ACB.理由见解析. 【分析】（1）根据平行四边形法则作向量,小正方形的两条对角线的长度即为所求； （2）根据三角形三边对应成比例证明相似； （3）由图可知； 由AC=CD可得∠CAD=∠CDA，再通过△ABD∽△CBA得到∠ADB=∠CAB，即可得到结果． 【详解】解：（1）如图，作向量, ∴. （2）∵，，． ∴． ∴∽． （3）由图可知, ∠BDC=∠ACB.理由如下： 经计算得，AC=CD=， ∴∠CAD=∠CDA， 又△ABD∽△CBA， ∴∠ADB=∠CAB， ∴∠CAD-∠CAB=∠CDA-∠ADB， 即∠BAD=∠BDC， ∵∠BAD=∠BCA， ∴∠BDC=∠ACB. 【点睛】本题主要考查了平面向量、相似三角形的判定与性质．本题的综合性比较强，掌握向量的运算法则和相似三角形的判定与性质是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 平面向量的线性运算（6大知识点+4大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 向量的相关概念 典型例题二 实数与向量相乘 典型例题三 向量的线性运算 典型例题四 平面向量的综合应用 知识点01 向量的概念 1、向量:既有大小又有方向的量叫做向量. 2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 知识点02 向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的表示方法: ①字母表示法：如等. 3、几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 知识点03 向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 知识点04 向量的减法运算 1、相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 零向量. 2、向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法. 3、向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以 表示 知识点05 向量的加法运算 1、向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. 2、多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 知识点06 向量的数乘运算 1、向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反. 2、向量的数乘的运算律 设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+. 特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-. 3、向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有( )=. 【典型例题一 向量的相关概念】 【例1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列命题正确的是（   ） A．若是单位向量，是实数，则； B．若； C．若（为非零向量），则存在唯一实数，使； D．若，则或． 【例2】（2025九年级上·上海·专题练习）已知一个单位向量，设是非零向量，那么下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·上海黄浦·模拟预测）任何向量都平行于0向量，这是一个 ．（选填“真命题”或“假命题”） 【例4】（2025·上海松江·模拟预测）如图，点、在平行四边形的对角线上，且，则图中与互为相反向量的向量是    【例5】（24-25九年级上·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、、的坐标分别为、、． (1)计算：______，______ (2)在图1中求作（写出结果，不要求写作法） 【例6】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知中，，，点D在边AB上，． (1)求的值． (2)在图中求作向量：在、方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）． 1．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知、和都是非零向量，下列结论中不能判定的是（   ） A．， B． C． D．， 2．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，矩形的对角线和交于点O，下列选项中错误的是（   ）        A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海青浦·期中）下列说法：①如果（是实数），那么；②若，，则；③单位向量都相等；④一个向量与零相乘，乘积为零；其中正确的是 ． 4．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，矩形中，对角线、相交于，那么图中与相等的向量是 ． 5．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，已知两个不平行的向量、，求作，满足． （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量．） 6．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，已知平行四边形，，点E在边上，平分． (1)写出与相等的向量是 ； (2)求作：（要求保留作图痕迹）； (3)连接，如果，那么＝ ． 【典型例题二 实数与向量相乘】 【例1】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知，，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知是非零向量，与同方向的单位向量记作，下列式子中，正确的是（  ） A． B． C． D． 【例3】（2025·上海杨浦·模拟预测）计算： ． 【例4】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知关系式，那么向量 ．（用，表示） 【例5】（24-25九年级·上海·假期作业）已知非零向量，求作，．    【例6】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知平行四边形ABCD，=，=． （1）=　　　　　；（用，的式子表示） （2）=　　　　　　　；（用，的式子表示） （3）若AC⊥BD，||=4，||=6，则|+|=　　　　　　． 1．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如果点、分别在的边上， , ，那么等于（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列命题中，错误命题的个数有（  ） ①如图，若，则； ②已知一个单位向量，设是非零向量，则； ③在中，在边上，在边上，且和相似，若，，，则它们的相似比为或； ④在中，，，边上的高，则，． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（24-25九年级·上海·假期作业）计算：     ； ；      ． 4．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，在梯形中，，，对角线与交于点O，设，，那么 ．（结果用、表示）    5．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，在矩形中，于点，，且． (1)求的长； (2)如果，，试用、表示向量． 6．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，在梯形中，，且，点是边的中点，联结交对角线于点，若，． (1)直接用、表示 ； ； ； (2)求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 【典型例题三 向量的线性运算】 【例1】（2025·上海·模拟预测）已知，为非零向量，下面式子可以判断与方向相同的是（   ） A．， B．， C． D． 【例2】（24-25九年级上·上海徐汇·期末）如图，已知平行四边形的对角线和交于点O，设， ，那么向量、、、关于、的分解式中，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）在菱形中，，，那么 【例4】 （2025·上海奉贤·模拟预测）如图，在中，点D是线段上的点，且，若，，那么 ．（用、的线性组合表示） 【例5】（24-25九年级上·上海闵行·期中）\如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：． 【例6】 （2025九年级上·上海·专题练习）如图，在四边形中，，，在上，． (1)写出图中的所有相反向量； (2)如果，求； (3)写出． 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在菱形中，对角线把菱形分割为左右两个小三角形． 、分别为、的重心． 设那么可用和的线性组合表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在等腰梯形中， ，，，设，用向量表示，结果正确的是（  ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·模拟预测）在菱形中，，，那么 ． 4．（2025·上海静安·模拟预测）如图，点是的重心，已知，，那么向量 ．（用向量、表示） 5．（24-25九年级上·上海·期中）如图，平行四边形中，点E为中点，把图中的线段都画成有向线段． (1)填空：在这些有向线段表示的向量中，与相等的向量是_______，与互为相反向量的向量是_______； (2)在图中求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结论） 6．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，在中，点、分别在边、延长线上，，，已知，． (1)用向量、分别表示向量、； (2)作出向量分别在、方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）． 【典型例题四 平面向量的综合应用】 【例1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）三条直线a，b，c，若，，则a与b的位置关系是（） A． B． C．或 D．无法确定 【例2】（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，矩形的对角线与相交于点O，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【例3】 （2025·上海崇明·模拟预测）如图，在中，点是边中点，点是线段中点，设，那么 ．（结果用含、的式子表示） 【例4】 （24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，点D在边AB上，，，，设，，那么 ．（用向量，的式子表示） 【例5】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，，相交于点F． (1)求的值； (2)如果 ，试用a，b表示 【例6】 （24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，在中，点E为中点，点D在边上，，，． (1)求的长； (2)设，用向量、表示向量，即______． 1．（2025·上海·模拟预测）如图，在中，点D是在边上一点，且，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD的中点，CE交对角线BD于点F．如果，那么用的线性组合表示向量为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，在梯形中，，点是边的中点，连接交于点，设，那么用向量、表示向量是 ． 4．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，在中，点E和点F分别在和上，，将沿直线翻折，点D落在边上的点G处，若则= （用表示） 5．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，已知中，． (1)求线段的长： (2)设．请直接写出： ①向量关于的分解式，______； ②向量关于的分解式，______． 6．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，已知在中，，垂足为点，，，，点是边的中点，连接交于点． (1)若，，则________．（用，表示） (2)求的余切值． 1．（2025九年级上·上海·专题练习）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列说法中，错误的是（   ） A．设为单位向量，那么； B．如果，那么或； C．如果，其中，那么； D．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解． 3．（24-25九年级上·上海虹口·期末）如图，在梯形中，，点是边的中点，连接，，下列向量中，不是的相反向量的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·上海松江·期中）规定：在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为（m，n），向量可以用点P的坐标表示为：＝（m，n）．已知＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2＝0，那么与互相垂直，在下列四组向量中，互相垂直的是（　　） A．＝（3，20190），＝（﹣3﹣1，1） B．＝（﹣1，1），＝（+1，1） C．＝（），＝（（﹣）2，8） D．＝（+2，），＝（﹣2，） 5．（2025·上海金山·模拟预测）如图，已知点、分别在的边、上，，，，，那么等于（      ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·上海·阶段练习）计算：＝ ． 7．（2025·上海奉贤·模拟预测）点在线段上，设，，那么用向量、表示为 ． 8．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，正六边形中，，，那么 （用含，的式子表示）． 9．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在梯形中，，，是梯形中位线，设，，那么向量用向量，表示为 ． 10．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，在菱形中，．在其内部作形状、大小都相同的菱形和菱形，使点E，F，G，H分别在边上，点M，N在对角线上．若，则= ． 11．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知：如图，两个不平行的向量和，先化简，再求作：（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量） 12．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，是以点O为起点的两个非零向量，且，在图中作，，并求的模长．    13．（24-25九年级上·上海·期末）如图，已知在梯形中，，点在边上，连接，． (1)填空： ； ； (2)在图中求作：．（不要求写作法，但要写出结论） 14．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）如图，在中，是的重心，联结并延长交于点． (1)如果，，那么=________________(用向量、表示)； (2)已知，，点在边上，且，求的长． 15．（24-25九年级上·上海徐汇·单元测试）如图，已知正方形网格中每个小正方形的边长为1，点、、、、、都是小正方形的顶点． （1）记向量，，试在该网格中作向量．计算：______； （2）连接，求证：∽； （3）填空：______度；连接，比较与的大小，并证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $$