精品解析：福建省三明市清流县第一中学2025-2026学年高三上学期开学摸底考试数学试题

2025届暑期摸底考试高三数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先分别求出集合 ，再求交集即可. 【详解】, 所以 故选：B 【点睛】本题考查指数函数的值域问题，集合求交集运算，属于基础题. 2. 已知：“函数在上是增函数”，：“”，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出命题p对应的a的取值范围，利用集合的包含关系即可判断. 【详解】由函数在上是增函数， 因为的对称轴为，开口向上，所有，即， ， 是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集； （3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含． 3. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象可知函数为奇函数，且在上不单调，然后利用排除法分析判断即可 【详解】由图象知函数图象关于原点对称，则函数是奇函数， 对于A，定义域为，因为，所以此函数是偶函数，不满足条件，排除A， 对于D，定义域为，因为，且， 所以此函数是非奇非偶函数，不满足条件，排除D， 对于C，因为和在上为增函数，所以在上为增函数，不满足条件，排除C， 对于B，定义域为，因为，所以此函数是奇函数，当时，，则，所以当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减； 又因为，且时，，故B选项符合题意. 故选：B． 4. 已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数的性质求出当时函数的解析式，然后求导，利用导数的几何意义进行求解即可. 【详解】当时，，函数是偶函数， 当时，，， 当时，， ，即曲线在处切线的斜率为-5. 而，所以曲线在处的切线方程为：. 所求即为. 故选：A. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得到在上单调递增，则，然后再逐个分析判断即可. 【详解】因为， 所以， 令， 因为和在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以由，得， 对于A，当时，满足，而，所以A错误， 对于B，当时，满足，而，所以B错误， 对于C，当时，满足，而，所以C错误， 对于D，因为，所以，因为在上单调递增，所以，所以D正确， 故选：D 6. 已知，若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数运算可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，若，，且， 所以，， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 7. 已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件推导出函数周期为4，，可求. 【详解】由，令得． 令，得，，． 因为为偶函数，，即，曲线关于直线对称． 又，图像关于点中心对称， ， 可得，即， 又， 的周期． ，， ． 故选：A． 8. 若函数的图象上存在两点关于直线对称，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断两点分别在分段函数的两段解析式上，再由对称推得且，构造函数，则，利用导数求得的单调性及最值，从而求得的取值范围. 【详解】因为，在各自的定义域上单调递增，所以存在的关于直线对称的这两点不可能都在同一个解析式上， 不妨设这两点为，且在上，在上， 则，，，且， 所以，，， 由得，即，故， 又由得， 令，则， 所以在上单调递增，故， 因为，所以，即. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设，若，则实数的值可以为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求集合A，然后根据集合间的关系分类讨论计算即可. 【详解】由题，得，因为，所以， 当时，无解，此时，满足题意； 当时，得，所以或，解得或， 综上，实数的值可以为. 故选：ABD 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，作差法得到，结合，得到结论；B选项，可举出反例；CD选项，作差法比较大小. 【详解】对于A，，又，故，A正确； 对于B，不妨设，则，故B错误. 对于C，， ∵，∴，，， ∴，∴，所以C错误. 对于D，， ∵，∴，，∴， ∴，所以D正确. 故选：AD 11. 已知定义域为R的函数满足，，且为奇函数，则（ ） A. B. 函数的一个周期为4 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据奇函数的性质得到，利用赋值法判断A，令，结合，即可得到为偶函数，推出的周期，即可判断B、C，再由利用并项求和判断D. 【详解】因为为定义域为R上奇函数，所以，即， 在，令，可得，故A错误； 令，因为，所以，即， 所以为偶函数， 又为奇函数，所以， 即，所以， 所以，即， 所以，则，所以， 所以是以为周期的周期函数， 所以，则，故B、C正确； 由与得， 所以， 所以，，， ，， ，， ，， ， 所以 ，故D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是令，利用赋值法及所给条件一一计算. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若为奇函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的性质令，求出函数的定义域，又奇函数的定义域关于原点对称得到方程，求出的值，再代入检验. 【详解】对于函数， 令，解得或， 所以函数的定义域为， 又为奇函数，所以，所以， 此时，定义域为， 且，满足为奇函数. 故答案为： 13. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性，得出每一段函数单调递增，且在处，左侧函数值小于等于右侧函数值. 【详解】依题意函数在上单调递增，此二次函数开口向下， 所以对称轴，解得； 函数在上单调递增，所以； 把分别代入两段函数，则，解得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 若实数满足，则称为函数与 的“关联数”.若与在实数集上有且只有3个“关联数”，则实数的取值范围为__________. 【答案】或， 【解析】 【分析】由题意可得仅有3个解，即仅有3个解，由此构造函数，利用导数判断其单调性，结合函数奇偶性，可作出函数图象，进而将方程的解转化为函数图象的交点问题，数形结合，列出不等式，即可求得答案. 【详解】由题意可知与在实数集上有且只有3个“关联数”， 即仅有3个解，即仅有3个解， 显然不是该方程的解，则，即仅有3个解， 设，定义域关于原点对称，且满足。 即为奇函数， 考虑时的情况，，， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 则函数极大值为，且当时，；当时，； 结合函数为奇函数，即可作出函数的图象如图示： 由于仅有3个解，故与函数的图象仅有3个交点， 结合图象可得或， 即或， 故答案为：或 【点睛】方法点睛：根据题意将“关联数”转化为方程的解，进而将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，结合方程的特征构造函数，利用导数判断其单调性，作出图象，数形结合，即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，曲线在点处的切线方程为 （1）求a，b的值； （2）求在上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值为13，最小值为. 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义列方程组求解 （2）由导数分析单调性后求解 【小问1详解】 依题意可知点为切点，代入切线方程可得 ∴，即， 又由得，， 而由切线的斜率可知 ∴，即， 由，解得 【小问2详解】 由（1）知 ， 令，得或， 当x变化时，，的变化情况如下表： x 2 0 0 ＋ 13 单调递减 单调递增 13 ∴最大值为13，最小值为 16. 已知命题，为真命题. （1）求实数的取值集合A； （2）设为非空集合，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把给定命题转化为不等式恒成立，再利用判别式求解． （2）由已知结合集合的包含关系列出不等关系，求解即可． 【小问1详解】 依题意，关于的不等式恒成立， 于是得，解得， 所以实数的取值的集合． 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，所以为的真子集． 又为非空集合， 所以， 得， 所以实数的取值范围为. 17. 春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象．已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足，．经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为．求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数. 【答案】，4200人 【解析】 【分析】分和，得到求解. 【详解】当时，设，，则， 当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人， ． 则， 故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人． 18. 设区间是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点，例如的“不动点”满足，即的“不动点”是.设函数，. （1）若，求函数的不动点； （2）若函数在上不存在不动点，求实数的取值范围. 【答案】（1）不动点为1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据“不动点”定义，令，结合指数方程的解法求不动点； （2）问题化为在上无解，令，，进一步有在区间上无解，右侧构造函数求值域，结合对数函数性质列不等式组求参数范围. 【小问1详解】 由“不动点”定义知：当时，， 所以，则或（舍去），所以， 所以函数在上的不动点为1. 【小问2详解】 根据已知，得在上无解， 所以在上无解，令，， 所以，即在上无解， 所以在上无解， 设，在上单调递增，故 所以或，可得或， 又在上恒成立， 所以在上恒成立，则，则. 综上，实数的取值范围是. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设函数有两个极值点，证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出定义域，再求导，根据确定或，再对进行分类讨论，讨论求出函数的单调性； （2）对求导，结合的极值点个数得到在上有两个不等实根，得到，，，表达出，只需证，构造，，研究其单调性，求出，由对勾函数的单调性证明出结论. 【小问1详解】 定义域为，且 ， 令得，或， ①当时，与，，单调递增， ，，单调递减， ②当时，，在单调递增， ③当时，与，，单调递增， ，，单调递减， 综上，当时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减； 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间，上单调递增，在区间单调递减； 【小问2详解】 由已知，，则， 函数有两个极值点，，即在上有两个不等实根， 令，只需，故， 又，， 所以 ， 要证，即证， 只需证， 令，， 则， 令，则恒成立， 所以在上单调递减， 又，， 由零点存在性定理得，使得， 即， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 则， ∵由对勾函数知在上单调递增， ∴， ∴，即，得证． 【点睛】隐零点的处理思路： 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数； 第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届暑期摸底考试高三数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知：“函数在上是增函数”，：“”，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的图象上存在两点关于直线对称，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设，若，则实数的值可以为（ ） A. B. 0 C. D. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知定义域为R的函数满足，，且为奇函数，则（ ） A. B. 函数的一个周期为4 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若为奇函数，则__________. 13. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是___________. 14. 若实数满足，则称为函数与 的“关联数”.若与在实数集上有且只有3个“关联数”，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，曲线在点处的切线方程为 （1）求a，b的值； （2）求在上的最大值和最小值. 16. 已知命题，为真命题. （1）求实数的取值集合A； （2）设为非空集合，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. 春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象．已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足，．经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为．求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数. 18. 设区间是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点，例如的“不动点”满足，即的“不动点”是.设函数，. （1）若，求函数的不动点； （2）若函数在上不存在不动点，求实数的取值范围. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设函数有两个极值点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $