精品解析：重庆市第一中学校2025-2026学年高二上学期开学适应性训练数学试题

重庆一中高2027届高二上期适应性训练 数学试题卷 【考试时间：9月1日14：00-16：00】 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则的外接圆半径为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 1 4. 一条光线从点射出，经过直线反射后，反射光线经过椭圆的右焦点，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 3 7. 如图，在直三棱柱中，为腰长为2的等腰直角三角形，且，，，为平面内一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，，，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，边上的高为2，则（ ） A. B. C. 的周长为 D. 的面积为3 10. 已知椭圆的上、下顶点分别为，，焦距为，P是椭圆上不与A，B重合的一点.若椭圆内有一点满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 椭圆方程为 C. 若，分别是直线，的斜率，则有 D. 当直线的斜率时，点落在轴上 11. 已知正方体的棱长为2，P，Q为底面ABCD内的两个动点，且满足．设与平面ABCD所成的角为，当取得最大值时，，则下列说法正确的是（ ） A. P的轨迹是圆（部分） B. 的最大值为 C. D. 取最大值时，Q的轨迹是椭圆（部分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆左右焦点为，，椭圆上点满足，__________. 13. 已知复数满足，则复数在复平面上对应的点不可能位于第__________象限. 14. 设椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，点在椭圆的内部，椭圆上存在点使得成立，则椭圆的离心率的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 四棱锥中，四边形为菱形，，，平面平面. （1）证明：； （2）若，且棱的中点，三棱锥的高，求与平面所成角. 16. 已知椭圆的短半轴长是，A、B两点分别为的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线上，且C在第一象限. （1）设F是椭圆的右焦点，且，求的标准方程； （2）若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆上，并说明理由. 17. 在中，角，，的对边分别为，，.已知，，. （1）求边AC上的中线BE长； （2）在边BC上取一点D，使得，求. 18. 如图，直棱柱中，，，，. （1）试问棱柱有无外接球，并说明理由； （2）过作与平面平行的平面，若平面，平面，求直线，所成的角的余弦值； （3）求四面体与四面体的公共部分的体积. 19. 已知圆心在原点，且与直线相切，它与x轴分别相交于A，B，过点的直线l交圆O于M，N. （1）求弦长MN的最小值，并求此时直线l的方程； （2）当的面积取得最大值时，将圆沿轴折成直二面角，如图，在上半圆上是否存在点，使平面与平面的夹角的正弦值为，若存在，求的长，若不存在，说明理由； （3）在圆上任取一点，过作轴的垂线段，为垂足，当在圆上运动时，线段的中点的轨迹记为曲线，曲线与直线交于，直线与直线相交于，在定直线上，直线与直线相交于，在定直线上，判断直线，的位置关系，并证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中高2027届高二上期适应性训练 数学试题卷 【考试时间：9月1日14：00-16：00】 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程得斜率，再根据斜率和倾斜角的关系，即可求得倾斜角. 【详解】直线的斜率是， 设倾斜角为，则， ∴. 故选：C. 2. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则的外接圆半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理公式求解即可 【详解】因为正弦定理 所以 即. 故选： 3. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件列方程求得的值，然后检验，排除两直线重合的情况. 【详解】由题意得,即,解得或. 当时，两直线方程都为，两直线重合，不合题意，舍去； 当时，两直线方程分别为和，此时两直线平行，符合题意. 故选：C. 4. 一条光线从点射出，经过直线反射后，反射光线经过椭圆的右焦点，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得关于直线的对称点，椭圆的右焦点，从而求得反射光线所在直线方程. 【详解】设关于直线的对称点为， ，解得， 椭圆的右焦点， 直线也即反射光线所在直线方程为. 故选：C 5. 点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，， 因为为的中点， 所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以， 则，即， 则点轨迹方程为. 故选：A. 6. 直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心和半径，得到到的距离为，从而得到到直线距离为1的点的个数为3. 【详解】，故圆心为，半径为3， 到的距离为， 又，故过点作垂直与圆交于点，在上取点，使得， 过点作⊥，交圆于点， 所以圆上到直线距离为1的点的个数为3，分别为. 故选：D 7. 如图，在直三棱柱中，为腰长为2的等腰直角三角形，且，，，为平面内一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设关于平面的对称点为，利用对称点、到平面距离相等，得出关于平面的对称点为，利用对称点求出最短路径即可. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设关于平面的对称点为， 则， 设平面的一个法向量， 则，即，令，则， 所以与到平面的距离， 即①，又，所以②， 所以由①②得，又由可得，所以， 所以， 当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为． 故选：B． 8. 已知，，，，，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，，，将题干翻译成对应点的轨迹，再根据平面几何知识即可求解. 【详解】如图：不妨设，，，，， 又，即， 也即动点到两定点的距离之和等于，故点的轨迹为线段， 又因，即，即， 故点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆， 而， 当且仅当为的延长线与圆的交点时等号成立（即图中的或处）， 故要求的最大值，只需求的最大值，由图可知，当与或重合时最大， 此时，故的最大值为. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，边上的高为2，则（ ） A. B. C. 的周长为 D. 的面积为3 【答案】AB 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化，再由三角恒等变换可判断A，由正弦定理边角互化可判断B，由同角三角函数的关系和余弦定理可判断C，由三角形面积公式可判断D. 【详解】对于A，由，根据正弦定理得， 因为，则， ，因为，所以，得到，则，故A正确； 对于B，由，可得，故B正确； 对于C，由，且，因为，， 所以，可得， ，化简得，解得（舍）或， 所以的周长为，故C错误； 对于D，的面积为，故D错误. 故选：AB. 10. 已知椭圆的上、下顶点分别为，，焦距为，P是椭圆上不与A，B重合的一点.若椭圆内有一点满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 椭圆方程为 C. 若，分别是直线，的斜率，则有 D. 当直线的斜率时，点落在轴上 【答案】ACD 【解析】 【分析】由勾股定理可判断A，由椭圆方程可判断B，设直线，联立直线和椭圆方程可得点坐标，由直线斜率公式得到，计算可判断C，由可得直线方程，联立直线和椭圆方程求出点坐标，从而得到方程，最后联立方程可判断D. 【详解】对于A，由，可得， 即，故A正确； 对于B，由题意可得，，，， 所以椭圆方程为，故B错误； 对于C，设直线， 联立，可得，从而， 则，则， 则，所以，故C正确； 对于D，若，则， 联立，可得，所以，，，则， 由，可得，， 联立，解得，所以当直线的斜率时，点落在轴上，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知正方体的棱长为2，P，Q为底面ABCD内的两个动点，且满足．设与平面ABCD所成的角为，当取得最大值时，，则下列说法正确的是（ ） A. P的轨迹是圆（部分） B. 的最大值为 C. D. 取最大值时，Q的轨迹是椭圆（部分） 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据求得点的轨迹可判断A；要使得与底面所成的角最大，从而点在上，再由直线与平面的夹角可得，从而可得出最大值可判断B；根据三角形面积计算可判断C；由，可知点到的距离为，即点在以为轴，半径为的圆柱与底面ABCD内的交线上，利用圆柱的斜截面为椭圆即可得出结论. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设，则， 因为，所以， 即， 所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆与正方体底面的交线，故A正确； 要使得与底面所成的角最大，则最短， 此时， 从而，所以的最大值为，故B正确； ，故C错误； 设点到的距离为， 因为， 所以点在以为轴，半径为的圆柱与底面ABCD内的交线上， 又圆柱的轴与底面ABCD的夹角为， 所以点的轨迹是椭圆（部分）. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆左右焦点为，，椭圆上点满足，__________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程可得，再由椭圆的定义及条件求出，可得，即可得解. 【详解】由椭圆可知，， 所以，， 又，， 解得， 所以， 所以，即， 故答案为： 13. 已知复数满足，则复数在复平面上对应的点不可能位于第__________象限. 【答案】三 【解析】 【分析】根据复数的模求出复数对应点的轨迹即可得解. 【详解】设， 由， 所以， 即复数在复平面上对应的点的轨迹为圆， 如图， 所以复数在复平面上对应的点不可能位于第三象限. 故答案为：三 14. 设椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，点在椭圆的内部，椭圆上存在点使得成立，则椭圆的离心率的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据在椭圆内部、椭圆的定义列不等式，化简求得椭圆离心率的取值范围. 【详解】点在椭圆的内部，则， . 因为， 当是的延长线与椭圆的交点时等号成立， 由于椭圆上存在点使得成立， 所以， 综上所述，离心率的取值范围是. 故答案为： 【点睛】求解点和椭圆位置关系问题，如果点在椭圆上，则，如果在椭圆外，则，如果在椭圆内，则.要求椭圆的离心率的范围，可以考虑直接求得的范围，也可以先求的范围，再转化为的范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 四棱锥中，四边形为菱形，，，平面平面. （1）证明：； （2）若，且棱的中点，三棱锥的高，求与平面所成角. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质可得平面，再由线面垂直的性质即可证得； （2）由，可得，再由面面垂直的性质可得平面，又棱的中点，则三棱锥的高为，得到，根据定义得就是与平面所成角，求出即可求解. 【小问1详解】 因为四边形ABCD为菱形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以. 【小问2详解】 设相交于点，连接， 四边形ABCD为菱形，则为中点，又，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为棱的中点，三棱锥的高，所以， 又平面，所以就是与平面所成角， 又四边形为菱形，，， 所以为等边三角形，即， ，，所以， 所以与平面所成角为. 16. 已知椭圆的短半轴长是，A、B两点分别为的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线上，且C在第一象限. （1）设F是椭圆的右焦点，且，求的标准方程； （2）若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆上，并说明理由. 【答案】（1） （2）直线与直线的交点在椭圆上 【解析】 【分析】（1）根据条件可得，解出，利用，求得，即可求得答案； （2）分别表示出此时直线、直线的方程，求出其交点，验证即可解答. 【小问1详解】 由题可得，， 因为，所以，解得， 所以，故的标准方程为； 【小问2详解】 直线与直线的交点在椭圆上，理由如下： 由题可得此时，，，， 则直线，即， 直线，即， 联立，得， 所以直线AD与直线BC的交点坐标为， 因为，满足椭圆的方程， 所以直线与直线的交点在椭圆上. 17. 在中，角，，的对边分别为，，.已知，，. （1）求边AC上的中线BE长； （2）在边BC上取一点D，使得，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，应用向量数量积的运算律可求的长. （2）先利用余弦定理求边，再利用正弦定理求，进而得到，即为. 【小问1详解】 因为为的中点，所以， 两边平方得：. 所以. 【小问2详解】 由余弦定理：， 所以. 在中，由正弦定理可得：. 又，所以为锐角，所以. 又，且为三角形内角，所以. 所以. 所以 18. 如图，直棱柱中，，，，. （1）试问棱柱有无外接球，并说明理由； （2）过作与平面平行的平面，若平面，平面，求直线，所成的角的余弦值； （3）求四面体与四面体的公共部分的体积. 【答案】（1）棱柱无外接球，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）确定上下底面直角梯形是否有外接圆，即可判断棱柱是否存在外接球； （2）建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量求法求解； （3）作出图形确定两个四面体的公共部分为八面体，然后利用锥体体积公式求解体积即可. 【小问1详解】 在梯形中，， 则为锐角，， 因此，所以梯形无外接圆， 同理梯形也没有外接圆，所以棱柱没有外接球； 【小问2详解】 在直棱柱中，平面， 又，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 平面，平面，平面平面，则， 记，连接，平面平面，同理， 因此直线所成的角等于直线所成的角，由，得， 则，， 所以，所以直线，所成的角的余弦值为； 【小问3详解】 令， 则点是直棱柱所在侧面矩形的中心， 则，所以四边形是平行四边形， 又平面，则平面，同理平面， 而，平面，因此平面平面， 因为，，所以四边形为平行四边形，所以， 所以平面，所以平面， 则四面体与四面体的公共部分为八面体， 因为四边形的面积， 所以四面体与四面体的公共部分的体积为. 19. 已知圆心在原点，且与直线相切，它与x轴分别相交于A，B，过点的直线l交圆O于M，N. （1）求弦长MN的最小值，并求此时直线l的方程； （2）当的面积取得最大值时，将圆沿轴折成直二面角，如图，在上半圆上是否存在点，使平面与平面的夹角的正弦值为，若存在，求的长，若不存在，说明理由； （3）在圆上任取一点，过作轴的垂线段，为垂足，当在圆上运动时，线段的中点的轨迹记为曲线，曲线与直线交于，直线与直线相交于，在定直线上，直线与直线相交于，在定直线上，判断直线，的位置关系，并证明. 【答案】（1）最小值为， （2）存在， （3）重合，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由与直线相切得到圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离求出圆的半径，从而得到圆O的方程，分别按照直线l的斜率为0和斜率不为分别求解，当斜率不为时，设，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，则代入数值及的范围得解； （2）易知直线l的斜率不为0，设，即，由（1）知，，求出，利用对勾函数的单调性可以得到，建立空间直角坐标系，如图，求出平面BMN的法向量和平面ONQ的法向量为，利用向量的数量积求出，得到的坐标，从而得到的值. （3）法一：设，，，通过联立和，消去得到的一元二次方程，求出，利用韦达定理得到，，计算得到，设出直线的方程，这两个方程通过联立方程组解得的值，结合，得到的值，从而得到点T在定直线上，求出的方程，代入，得到的一元二次方程，设，，利用根与系数的关系求出，，计算得到，从而得到S在定直线上，从而得到与重合.法二：写出直线的方程，过定点，从而得到，，，通过联立方程组得到；写出直线的方程，过定点，从而得到，，，通过联立方程组得到，从而得到与重合. 【小问1详解】 由题意得圆的半径，则圆O的方程为， 当直线l的斜率为0时，此时， 当直线l的斜率不为0，设，即， 则圆心到直线的距离， 又，当且仅当时等号成立， 此时直线l的方程为， 所以弦长MN的最小值为，直线l的方程为. 【小问2详解】 易知直线l的斜率不为0，设，即， 由（1），，， 又，化简得， 令，则，所以， 又，故最大时，由对勾函数的单调性可得，故此时， 建立空间直角坐标系，如图，则，，， 所以，， 设平面BMN的法向量为， 则，即，取，则， 设，其中， 则，， 设平面ONQ的法向量为， 则，即，取， 易得， 所以， 解得，所以，则. 【小问3详解】 法一：设，，，联立， 化简得， ，所以，， 所以， 设，，联立， 得， 又，代入得， 即点T在定直线上， 设线段的中点为，则， 因为在圆上，则有 ， 联立，化简得， 设，，则，， 所以，同理，S在定直线上，所以与重合. 法二： ，过定点， 所以，，，联立得：； ，过定点， 所以，，，联立得：； 所以与重合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $