第十七章 因式分解综合练习-2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十七章 因式分解综合练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列式子从左到右变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列多项式能运用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 3．给出下面四个多项式：①；②；③；④．其中含因式的多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．多项式用提公因式法分解因式时提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 5．下列因式分解正确的是（　　） A．6 B． C． D．5 6．有4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则满足（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．分解因式： ． 8．因式分解： ． 9．已知，，则代数式的值是 ． 三、解答题 10．因式分解： (1)； (2)． 11．已知，求代数式的值． 12．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)图2大正方形的面积既可以表示为 ，又可以表示为 ，所以可得等式 ． (2)请利用A型，B型，C型若干张拼出一个面积为的长方形，并在图3的方框中画出示意图．研究拼图发现可将因式分解为 ． 13．阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）因式分解：，其中，则________，________． （3）若，则________． 【拓展延伸】 （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为，请写出的值：________． （5）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 14．【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 15．阅读与思考 生命是充满奇迹的，新生命的诞生代表着新希望．把一个人出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差我们可以称为这个人的“欢乐年份”． 例如：“共和国勋章”获得者，中国工程院院士，被誉为“世界杂交水稻之父”的生物学家袁隆平出生于1930年，他的“欢乐年份”是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)①某人出生于1987年，则他的“欢乐年份”是________； ②你出生于________年，你的“欢乐年份”是________． (2)观察猜想：这些“欢乐年份”都能被________（填数字）整除，请你用所学的知识证明你的猜想（假设出生年份均为四位数）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十七章 因式分解综合练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B C B D B 1．D 【分析】由因式分解的定义求解即可． 【详解】A、，等式左边不是多项式，右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、，等式左边是单项式，不是多项式，不是因式分解，不符合题意； C、，等式右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、，是因式分解，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了因式分解的定义，解题的关键是熟记因式分解的定义． 2．B 【分析】本题考查因式分解，熟记完全平方公式是解答的关键．根据完全平方公式为，判断各选项是否符合该结构即可． 【详解】解：A、平方项为和，中间项应为，但实际为，不符合完全平方公式，故此选项不符合题意； B、可写为，符合形式，分解为，故此选项符合题意； C、平方项为和，中间项应为，但实际为，不符合完全平方公式，故此选项不符合题意； D、常数项为负数，无法构成完全平方公式，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．C 【分析】本题考查提取公因式和公式分解因式，先分解因式，再做判断，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 【详解】解：①； ②； ③； ④不能分解因式； 其中含有因式的多项式为：①②③，共3个， 故选C． 4．B 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，解题关键是准确找出各项的公因式．根据提公因式法，找出各项的公因式即可． 【详解】解：， 应提取的公因式为， 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．根据提公因式法、公式法分别分解因式判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了完全平方公式在图形中的应用，因式分解的应用． 先根据多项式的乘法求出，，再根据列出等式，因式分解即可． 【详解】解：由题意可知：， 正方形面积， ∴ ∵ ∴， 即， ∴ ∴或（舍去） 故选：B． 7． 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 8． 【分析】本题考查了因式分解，掌握分解因式的方法是解题关键．先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．12 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将代数式进行因式分解，再利用整体代入法进行求解即可． 【详解】解：， ∵，， ∴原式； 故答案为：12． 10．(1) (2) 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解； （1）提取公因式，进行分解即可； （2）原式先提取公因式2，再运用完全平方公式进行分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 11．0 【分析】本题考查整式的混合运算及代数式求值，熟记乘法公式并正确化简是解答的关键．先根据乘法公式化简所求代数式，再整体代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 12．(1)， ， (2)作图见解析， 【分析】本题考查几何背景下的整式的乘法与因式分解，掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）图2可看作是边长为的正方形，也可以看作4个部分组成，可分别表示出面积，再根据二者面积相等，即可作答； （2）拼成的大长方形需要2张A种纸片，1张B种纸片，3张C种纸片，据此即可作图，再由面积关系即可解答． 【详解】（1）解：图2大正方形的面积既可以表示为，又可以表示为，所以可得等式． 故答案为： ， ， ． （2）解：如图， 由图可知，拼成的大长方形的长为，宽为，即， ∴可将因式分解为． 故答案为： 13．（1） （2）1，2 （3） （4） （5）1，7，13，29 【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，数形结合思想和多项式乘以多项式法则是解题的关键． （1）根据大长方形的面积等于四个小长形面积和，列式即可； （2）根据，得到，，解之即可求解； （3）根据即可求解； （4）设，根据，得，，解之即可求解； （5）设，得，，，再根据a、b、m、n为整数，求解即可． 【详解】解：（1）由图可得， 故答案为：； （2）∵， ∴，， 解得：或， ∵ ∴， 故答案为：1；2． （3）∵ ∴ 故答案为：； （4）设， 则 ∴，， 解得：，， 故答案为：； （5）设 ∴，，， ∵a、b、m、n为整数， ∴或或或或或或或或或或或， ∵k为正整数， ∴． ∴正整数的值为1，7，13，29． 14．（1）；（2）①；②；（3）①；② 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键． （1）利用如图1、图2，仿图3的“十字”可以对进行因式分解； （2）①利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解；②利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （3）①利用题中的“十字”可以对多项式进行因式分解；②利用如图4所示的“十字”可以对多项式进行因式分解为，然后结合有理数的乘法运算分析求解即可． 【详解】 解：（1）， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①∵ ∴； ②∵ ∴， ∴， 故答案为：； （3）①根据题意得： ∴， 故答案为：； ②， ∴， ∴， ∵、均为整数， ∴为奇数，不能为3的倍数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴． 15．(1)①1962；②2000年（答案不唯一），1998（答案不唯一）； (2)9，见解析 【分析】本题考查了整式的运算和因式分解，正确理解“欢乐年份”的概念是关键； （1）根据“欢乐年份”的计算方法求解即可； （2）设出生年份的的四位数为，则这个四位数可表示为，根据“欢乐年份”的定义列式计算即可得到结论 【详解】（1）解：①某人出生于1987年，则他的“欢乐年份”是； 故答案为：1962； ②你出生于2000年（答案不唯一），则你的“欢乐年份”是（答案不唯一）； 故答案为：2000年（答案不唯一），1998（答案不唯一）； （2）观察猜想：这些“欢乐年份”都能被9整除； 证明：设出生年份的的四位数为，则这个四位数可表示为， 则其“欢乐年份”是 ， 所以这些“欢乐年份”都能被9整除； 故答案为：9. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$