精品解析：甘肃省定西市渭源县第四高级中学2025-2026学年高三上学期开学质量检测数学试题

2025-2026年渭源县第四高级中学开学质量检测卷 高三数学 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据的幂次规律，，把化为复数标准形式，其虚部即为前 的系数. 【详解】因为， 代入原式得：， 所以复数标准形式中，虚部为3. 故选：D. 2. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得集合A,B的并集，根据补集的概念和运算，即可求得答案. 【详解】∵ ，，, 故， ∴， 故选：C． 3. 某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（   ） A. 60种 B. 90种 C. 120种 D. 150种 【答案】D 【解析】 【分析】先将论文分成3组，再分配给专家. 【详解】先将5篇论文分成3组且每组至少一篇，只有两种分组方法：和 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法； 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法. 因此总计种分配方式. 故选：D 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二倍角正弦公式及同角三角函数关系，将目标式化为，即求值. 【详解】由 . 故选：C 5. 已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次函数性质结合题意列出关于的不等式组，解不等式组即可得解. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以. 故选：A 6. 为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，由全概率公式可求得结果. 【详解】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”， ，，， 由全概率公式可得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用全概率公式计算事件的概率，解题的关键就是弄清第球与第球投进与否之间的关系，结合全概率公式进行计算. 7. 已知函数的部分图象如图所示，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数的解析式，然后由得出的值，最后利用二倍角公式求出的值. 【详解】由题图可知相邻对称轴间的距离为，可得， 因此，， 当时，，，故，． 由可得， 由函数的最大值为3可得，因此， 由，得， ∴． 故选：A． 8. 已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形为等边三角形确定点的坐标，然后可求出的中点的坐标，然后将其代入双曲线中解得离心率. 【详解】因为，所以正三角形的边长为. 所以点在轴上，且，所以. 所以的中点. 因为的中点在双曲线上，所以. 化简得，继续化简得， 解得. 所以解得. 故选：C. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 对于独立性检验，的值越大，说明两事件的相关程度越大 B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和0.3 C. 在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程中，，则 D. 通过回归直线及回归系数，可以精确反映变量的取值和变化趋势 【答案】ABC 【解析】 【分析】 根据独立性检验、非线性回归方程以及回归直线方程相关知识进行判断. 【详解】对于，根据独立性检验的性质知，的值越大，说明两个事件的相关程度越大，故A正确； 对于，由，两边取自然对数，可得， ，则，因为，所以则故B正确； 对于，由于回归直线过点，故C正确； 对于，通过回归直线及回归系数，可预测变量的取值和变化趋势，故D错误. 故选：ABC. 10. 若，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用基本不等式、换元法逐一判断即可. 【详解】因为，所以有. A：因为，， 所以，当且仅当时，取等号， 即当时，取等号，故本选项结论正确； B：因为，， 所以有，当且仅当时，取等号， 即当时，取等号，故本选项结论正确； C：因，，所以 ， 即，当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，故本选项结论不正确； D：令，所以且， 于是， ， 即，当且仅当时取等号，即时取等号， 因此，即时取等号，所以本选项结论正确， 故选：ABD 11. 某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查.已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（ ） A. 从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人 B. 随机变量 C. 随机变量的数学期望为 D. 若事件“抽取的3人都感兴趣”，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用分层抽样方法来判断A，利用超几何分布概率公式及期望公式可判断BCD. 【详解】根据分层抽样的方法，可得： 从甲社团抽取的人数为； 从乙社团抽取的人数为； 从丙社团抽取的人数为；故A正确； 由于抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣， 用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则的可能取值有， 则， 此时服从超几何分布，故B错误， 则随机变量的数学期望为， 故C正确； 若事件“抽取的3人都感兴趣”，则，故D错误； 故选：AC. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知函数在处取得极小值，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】求得，根据，求得的值，结合实数的值，利用函数的单调性与极值点的概念，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为处函数极小值，可得，解得或， 若时，可得， 当时，；当时，；当时，， 此时函数在单调递增，在上单调递减， 所以，当时，函数取得极大值，不符合题意，（舍去）； 若时，可得， 当时，；当时，；当时，， 此时函数在单调递增，在上单调递减， 所以，当时，函数取得极小值，符合题意， 综上可得，实数的值为. 故答案为：. 13. 已知长方体中，，，，则该长方体的外接球（长方体的八个顶点都在球面上）的表面积等于___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据长方体的外接球的直径是长方体的体对角线，求得外接球的半径即可. 【详解】因为长方体中，，，， 且长方体的外接球的直径是长方体的体对角线， 所以， 解得， 所以外接球的表面积为 ， 故答案为： 14. 七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲、乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法种数为______． 【答案】192 【解析】 【分析】先将甲乙捆绑成一个单元，再讨论其所排位置，运算求解. 【详解】由题意可知，丙排第4位，则甲乙两人可能在第1、2或2、3或5、6或6、7位， 故不同的排法有种. 故答案为：192. 四、解答题（共77分） 15. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求角； （2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用诱导公式和两角和的正弦公式化简得，再利用辅助角公式求角即可； （2）由是中点可得，两边平方结合数量积公式和运算律可得，再利用均值不等式求出的最大值，代入三角形的面积公式即可. 【小问1详解】 在中，， 代入整理得， 又因，，所以， 所以，解得， 因为，所以，解得. 【小问2详解】 因为是中点，所以， 两边平方得， 所以，即， 又由均值不等式可得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 16. 小明为了了解不同性别的观众对蛇年春晚小品类节目的喜欢情况，随机选取了200名观看蛇年春晚的观众，得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男性 45 45 90 女性 110 合计 80 200 （1）求； （2）在所有喜欢蛇年春晚小品类节目的观众中随机选1人，记该观众是男性观众的概率为，求出的估计值； （3）根据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与喜欢与否有关联？ 附：，其中．. 【答案】（1） （2） （3）性别因素与喜欢与否有关联 【解析】 【分析】（1）根据男性不喜欢人数及合计，可得s值，根据总数可得t值； （2）根据喜欢蛇年春晚小品类节目的观众总数及男性观众人数，结合古典概型公式，即可得答案； （3）完成列联表，进行独立性检验时，提出零假设，计算，根据与临界值的大小关系，即可得结论. 【小问1详解】 由题意得，. 【小问2详解】 由（1）得，喜欢蛇年春晚小品类节目的观众总数为120人，男性观众喜欢人数为45人， 所以在所有喜欢蛇年春晚小品类节目的观众中随机选1人，该观众是男性观众的概率为. 【小问3详解】 完成列联表，可得 喜欢 不喜欢 合计 男性 45 45 90 女性 75 35 110 合计 120 80 200 零假设：性别因素与喜欢与否无关联， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为性别因素与喜欢与否有关联. 17. 如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）求到平面的距离； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系利用坐标法求得点到平面的距离； （2）设，利用坐标法结合两平面夹角余弦值列方程，解得即可. 【小问1详解】 取的中点，连接，， 为等边三角形， ， 又平面平面，平面平面， 平面， 如图所示，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 设平面的法向量为， ，，即，令，则， 又， 故到平面的距离； 【小问2详解】 设，，， ， 则，， 设平面的法向量为， ，，则，令，则， 又平面的法向量为， 于是， 化简得，又，得， 即， 故存在点，此时. 18. 已知坐标平面内一动圆过点，且在轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程． （2）设直线与曲线交于两点，，直线与直线的倾斜角互补． ①求的值； ②若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）设圆心为，根据题意结合两点距离公式和弦长公式求解即可； （2）①设，，利用斜率的坐标运算公式写出直线与直线的斜率表达式，将直线方程和曲线方程联立，再利用韦达定理化简并计算求出即可；②利用韦达定理和点到直线的距离公式得到面积的表达式，求导，利用导数求面积的最大值即可. 【小问1详解】 设圆心为， 由题意可得，整理得， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 ①设，， 因为两点在曲线上，则，， 则，同理， 联立，消去得，所以，， 因为直线与直线的倾斜角互补， 所以， 将，代入得，解得. ②由①可知联立，消去得，所以，， 又，解得，所以， 因为 ， 点到直线的距离， 所以的面积， 令，则，由得， 所以，则， 令解得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，的面积最大，最大值为. 19. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 若，在上单调递增；若，在上单调递增，在上单调递减;(2) 【解析】 【分析】（1）的定义域为，， 对实数分情况讨论，得出单调性；（2） ，令，所以 令， ，再分情况讨论，求出实数的取值范围． 【详解】（1）的定义域为，， 若，则恒成立，∴在上单调递增； 若，则由， 当时，；当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减． 综上可知：若，在上单调递增； 若，在上单调递增，在上单调递减． （2）， 令，， ，令， ①若，，在上单调递增， ， ∴在上单调递增,， 从而不符合题意． ②若，当，， ∴在上单调递增， 从而， ∴在上单调递增,， 从而不符合题意． ③若，在上恒成立， ∴在上单调递减，， ∴在上单调递减,， 综上所述，a的取值范围是． 【点睛】本题主要考查函数单调性的求法，满足条件的实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，解题时应注意导数性质的合理利用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年渭源县第四高级中学开学质量检测卷 高三数学 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 3 2. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（   ） A. 60种 B. 90种 C. 120种 D. 150种 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（ ） A B. C. D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，若，则（    ） A. B. C. D. 8. 已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是（ ） A B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 对于独立性检验，值越大，说明两事件的相关程度越大 B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和0.3 C. 在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程中，，则 D. 通过回归直线及回归系数，可以精确反映变量的取值和变化趋势 10. 若，则（ ） A. B. C. 最小值为 D. 的最小值为 11. 某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查.已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（ ） A. 从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人 B. 随机变量 C. 随机变量的数学期望为 D. 若事件“抽取的3人都感兴趣”，则 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知函数在处取得极小值，则__________. 13. 已知长方体中，，，，则该长方体的外接球（长方体的八个顶点都在球面上）的表面积等于___________. 14. 七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲、乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法种数为______． 四、解答题（共77分） 15. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求角； （2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值． 16. 小明为了了解不同性别的观众对蛇年春晚小品类节目的喜欢情况，随机选取了200名观看蛇年春晚的观众，得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男性 45 45 90 女性 110 合计 80 200 （1）求； （2）在所有喜欢蛇年春晚小品类节目的观众中随机选1人，记该观众是男性观众的概率为，求出的估计值； （3）根据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与喜欢与否有关联？ 附：，其中．. 17. 如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）求到平面的距离； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知坐标平面内一动圆过点，且在轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程． （2）设直线与曲线交于两点，，直线与直线的倾斜角互补． ①求的值； ②若，求面积的最大值． 19. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，恒成立，求实数取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $