4.4 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 课件-2025-2026学年青岛版八年级数学上册

第4章 图形的轴对称 平面图形 轴对称 ………… 青岛版 八年级上册 内容提要 轴对称及其基本性质 轴对称图形 线段、角、等腰三角形的轴对称性 轴对称图形 图形的变化 我们学过的基本几何图形中，哪些是轴对称图形？ 对称轴：线段的垂直平分线 1.线段 ： A B .P 垂直平分线性质： 温故而知新 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 垂直平分线判定： 2.角： 对称轴：角平分线所在的直线。 A C B .P M N 角平分线性质： 角平分线上的点，到这个角两边的距离相等。 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 角平分线判定： 温故而知新 思考：任意画一个三角形，它是轴对称图形吗？ 如果是等腰三角形呢？它是不是轴对称图形？ A C B A B C 创设情境 导入新课 青岛版数学 八年级上册 第4章 图形的轴对称 4.4 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 A B C 1.等腰三角形: 有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形. 相等的两条边叫做腰, 另一条边叫做底边, 底边与腰的夹角叫做底角. 两腰所夹的角叫做顶角, 腰 腰 底边 顶角 底角 探究一 等腰三角形的性质 如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折, 并剪去绿色部分, 再把它展开,得到的△ABC有什么特点? A B C AB=AC 等腰三角形 探究一 等腰三角形的性质 观察与发现 如图，是我们剪出来的等腰三角形的纸片, 其中AB=AC。 等腰三角形ABC 是轴对称图形吗? 探究一 等腰三角形的性质 观察与发现 是轴对称图形 由于AB=AC,可将纸片对折,使两腰AB 与AC 重合, 记折痕与底边BC 的交点为D，如图。 直线AD 两旁的图形能 够 完 全 重 合, 因 此,等 腰 三 角 形ABC 是轴对称图形。 探究一 等腰三角形的性质 A B C D 重合的线段 重合的角 等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的其他性质吗? AB=AC BD=CD AD=AD ∠B=∠C ∠ADB=∠ADC ∠BAD=∠CAD 探究一 等腰三角形的性质 (1)在图中,有哪些相等的角和线段? 线段AD 有什么特殊性? 思考与交流 1.等腰三角形的两个底角相等。 探究一 等腰三角形的性质 2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的 中线及底边上的高互相重合。 D 如何证明？ (2)经过折叠,折痕AD 把△ABC 分割为 两个全等三角形。 类似地,把△ABC 分割为两个全等三角形 也可以通过作辅助线的方法实现。 如何作辅助线？ 探究一 等腰三角形的性质 思考与交流 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B =∠C. A B C 等腰三角形的两个底角相等。 D 方法一：作底边上的中线 探究一 等腰三角形的性质 A B C D 证明： 作底边的中线AD，则BD=CD ∴ △BAD ≌ △CAD (SSS). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等). AB=AC ( 已知 ) BD=CD ( 已作 ) AD=AD (公共边) 在△BAD和△CAD中 探究一 等腰三角形的性质 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B =∠C. A B C 等腰三角形的两个底角相等。 探究一 等腰三角形的性质 方法二：作顶角的平分线 D A B C D 证明： 作顶角的平分线AD，则∠1=∠2 ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等). AB=AC ( 已知 ) ∠1=∠2 ( 已作 ) AD=AD (公共边) 在△BAD和△CAD中 1 2 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B =∠C. A B C 等腰三角形的两个底角相等。 D 探究一 等腰三角形的性质 方法三：作底边的高线 A B C D 证明： 作底边的高线AD， 则∠BDA=∠CDA=90° ∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAD (HL). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等). AB=AC ( 已知 ) AD=AD (公共边) 在Rt△BAD和Rt△CAD中 探究一 等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质定理1 几何语言：在△ABC中， ∵AB=AC ∴∠B=∠C（等边对等角） 等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角”） 探究一 等腰三角形的性质 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及 底边上的高互相重合。(简写成“三线合一”） 2.等腰三角形的性质定理2 由 △BAD ≌ △CAD . 1 2 探究一 等腰三角形的性质 得∠1=∠2；BD = △CD ；∠ADB=∠ADC ∴线段AD 有特殊性。 1.等腰三角形的顶角的平分线， 既是底边上的中线，又是底边上的高。 ∵AB＝AC ,∠1＝∠2 ∴BD＝DC , AD⊥BC 2.等腰三角形的底边上中线， 既是底边上的高，又是顶角平分线。 ∵AB＝AC BD＝DC ∴AD⊥BC ∠1＝∠2 3.等腰三角形的底边上的高， 既是底边上的中线，又是顶角平分线。 ∵AB＝AC AD⊥BC ∴BD＝DC ∠1＝∠2 1 2 探究一 等腰三角形的性质 例1、如图,AB=AC,点D,E 在BC 上,且AD=AE。 求证:BD=CE。 ∴BF-DF=CF-EF。 ∴BD=CE。 A B C D E 证明:如图,作AF⊥BC,垂足是点F。 ∵AB=AC,AF⊥BC, ∴AF 是底边BC 上的中线(三线合一)。 ∴BF=CF。 同理DF=EF。 F 例题讲析 1.顶角是直角的等腰三角形叫作等腰直角三角形。 求等腰直角三角形底角的度数。 解:等腰直角三角形的每个底角都为45°。理由:如图 ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠A=90°,AB=AC, ∴∠B=∠C。 又∵∠A+∠B+∠C=180°, ∴90°+2∠B=180°,∴2∠B=90°, 即∠B=45°。∴∠B=∠C=45°。 A B C 巩固练习 2.证明等边三角形的性质定理: 等边三角形的各角都等于60°。 A B C 证明:如图所示, ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角)。 ∵AB=BC,∴∠A=2C(等边对等角), ∴∠A=∠B=∠C。 又∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴3∠A=180°,∴∠A=60°, ∴∠A=∠B=∠C=60°。 巩固练习 3.等腰三角形的一个内角为40°。 求另外两个内角的度数。 解:分两种情况: (1)当40°的角为等腰三角形的顶角时,两个底角的度数为 （180°-40°）=70° (2)当40°的角为等腰三角形的底角时,另一个底角也为40°，顶角为180°-40°-40°=100°。 综上,等腰三角形的另外两个内角的度数为70°，70° 或40°,100°。 巩固练习 在一个三角形中，不相等的边所对的角之间的大小有怎样的关系? 大边所对的角也大吗? 分析：1.把大边对大角的问题转化为等边对等角问题 。 2.在AB上截取AE=AC,作∠BAC的平分线AD 交BC于点D. A B C 探究与挑战 本节课你有什么收获？ 1.[2024济南中考]如图，已知 l1∥l2 ，△ABC是等腰直角 三角形， ∠BAC=90°，顶点A，B分别在 l1, l2 上， 当∠1= 70°时，∠2=_____ 当堂检测 2.如图，在△ABC中，AB=AC， ∠BAC=130°， DA ⊥ AC，则 ∠ADB的度数为（ ） A.100° B.115° C.130° D.145° 3. 如图，在△ABC 中，AB = AC，AE 是 BC 边上的中线，BF 是角平分线，∠C = 70°. 求∠BAE 和∠1 的度数. $$