2026高考数学一轮复习-第10周数列求和、数列的综合应用训练题

第10周 数列求和、数列的综合应用 一、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在等比数列中，为其前项和，若，则的值为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 2．已知数列满足an=n2，则a1+a2+a3+…+a2n+1= (　　) A.- B. C.-n D.n 3．已知两个等差数列与的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”:自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件.已知第一层货物单价为1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是25-(万元)，则n的值为 (　　) A.7 B.8 C.9 D.10 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 5．古埃及人在进行分数运算时,只使用分子是1的分数,因此这种分数叫作埃及分数,或者叫单分子分数.下列埃及分数求和正确的是 (　　) A.+++++= B.+++…+= C.+++…+= D.++…+= 6．已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A．是递减数列 B．， C． D． 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 7．已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则 ． 8．对于数列，定义为的“优值”，已知某数列的“优值”为，记数列的前n项和为，若对任意的n恒成立，则实数k的取值范围为 . 四、解答题：本题共2小题，共32分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9．（本小题满分 15分） 已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 10．（本小题满分 17分） 对于，，不是10的整数倍，且，则称为级十全十美数.已知数列满足：，，. (1)若为等比数列，求； (2)求在，，，…，中，3级十全十美数的个数. 参考答案 1．C 【解析】因为为等比数列，所以成等比数列， 即成等比数列，可得，所以. 故选C. 2．A 【解析】a1+a2+a3+…+a2n+1 =-12+22-32+42-52+…+(2n)2-(2n+1)2 =-1+(22-32)+(42-52)+…+[(2n)2-(2n+1)2] =-1-(2+3)-(4+5)-…-(2n+2n+1) =- =-=-(n+1)(2n+1). 3．A 【解析】因为为整数， 所以的值可以为：1，5，16. 故选A. 4．A 【解析】由题意 总价Sn=1+2×+3×+…+，Sn=+2×+3×+…+n， 所以Sn=1+++…+-n=5-(n+5)， 所以Sn=25-5(n+5)=25-60·，解得n=7. 5．ACD 【解析】+++++=+++++==,故A正确; 因为==, 所以+++…+=(1-+-+-+…+-)==,故B错误; +++…+=+++…+=+++…+=1-=,故C正确; 因为===2,所以++…+=2=2=,故D正确. 6．BCD 【解析】，， ∴， ， ∴，， ∴，，且，故B、C正确； ∴公差，等差数列是递增数列，故A错误； 因为，，所以时，取得最小值， 所以，故D正确. 故选BCD. 7．370 【解析】设等差数列的公差为．由，得①， 由得②， 联立①②，，解得， 所以． 则， 所以 ． 8． 【解析】由题意知， 当时，， 则， 则，对也成立，故，则， 则数列为等差数列， 故对任意的恒成立可化为： . 9．【解析】（1）设的公差为，由题意知，即， 即有，因为，可得，， 所以； （2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ， 所以． 10．【解析】（1）解：设的公比为， 则，即， 由，可得，解得或， 所以或. （2）解：由（1）知，当时，， 当时，， 两式相减得. 当为奇数时，的个位数为1或9，的个位数不可能为0； 当为偶数时，设，则， 要想末尾3个数字为0，需满足被整除， 当时，均不符合题意； 当时，， 自，以后各项均可被125整除， 故只需考虑能否被125整除， 其中不是5的倍数， 故若原式能被整除，需为偶数且能被整除，即需是50的倍数， 在1，2，3，…，2024中，50的倍数有40个：50，100，150，…，2000， 故在，，…，中，3级十全十美数的个数为40. 学科网（北京）股份有限公司 $$