精品解析：山东省潍坊市诸城市繁华初级中学2025--2026学年9月 八年级上学期开学考试数学试卷

2024级初二第一学期暑假学情检测数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 某种病毒的最大直径为，则将还原为原数时，原数中“0”的个数是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 直角三角形斜边大于直角边 D. 所有的等边三角形全等 3. 如果一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的边数为（ ） A. 七 B. 八 C. 九 D. 十 4. 如图，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（ ） A. B. C. D. 5. 若的展开式中不含x的一次项，则实数m的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 8 D. 15 6. 《孙子算经》中有这样一道题：今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？其大意是：现有若干人和车，若3人坐一辆车，则空余两辆车；若2人坐一辆车，则有9人步行，问：人与车各多少？设车有x辆，人有y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 抖空竹是国家级非物质文化遗产之一，图（1）是某人抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图（2）所示的数学问题：已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，点在的边上，用尺规作图： 以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点； 以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点； 以点为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点； 作射线． 下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图统计图：则下面结论中不正确的是（ ） A. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 B. 新农村建设后，种植收入减少 C. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 D. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果） 11. 若，，则______． 12. 如图，在和中，，，若要证明，还需要添加一个条件：___________．（写出一种即可） 13. 如图，在中，于点D，点E是上一点，连接，，，若，，则的长为_____． 14. 已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是______． 15. 杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学的杰出研究成果之一，比法国数学家帕斯卡发现这一规律要早约400年．观察下列各式及其展开式，请写出展开式中的第三项__________． 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 …… 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）分解因式：； （2）化简求值：，其中，． 17. 证明：等角的补角相等． 18. 教育部要求中小学生原则上不得将个人手机带入校园，学校为了解七年级学生课外手机使用情况，从七年级学生中随机抽取部分学生对他们平均每周使用手机的时间（单位：小时）进行调查，并对调查数据进行整理后分为五组：组“”；组“”；组“”；组“”；组“”．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）该校抽样调查的学生人数为______人，并补全条形统计图． （2）在扇形统计图中，组对应的圆心角度数为______． （3）若该校七年级共有学生720人，试估计该校七年级学生平均每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数． 19. 如图，BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H．∠GFH+∠BHC=180°，求证：． 20. 如图，在中，，，，与相交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 21. 如图，将长为，宽为的长方形对折后再对折，展开得到如图所示的图形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图所示的图形． （1）通过两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，可得到关于，的等量关系为________ （2）根据中的等量关系，解决下列问题： 若，，则的值为________； 将边长分别为，的正方形，正方形按图3摆放，若，，求图中阴影部分面积的和． 22. 北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小明和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： 小明：我买了1件甲种飞船模型和2件乙种飞船模型，共花了55元． 小红：我买了2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型，共花了95元． （1）求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ （2）若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 23. 如图，线段，交于点，点为直线上一点（不与点，重合），在的右侧，作射线，过点作直线，交于点（与不重合）． （1）若点在线段上， ①如图①，若为钝角，，嘉嘉过点作了辅助线求出的度数．你试着完成求解过程． ②如图②，若为锐角，判断与的数量关系并说明理由． （2）若点在线段的延长线上，直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级初二第一学期暑假学情检测数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 某种病毒的最大直径为，则将还原为原数时，原数中“0”的个数是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法．科学记数法是指一个数可以写成的形式，其中，n为正整数，根据科学记数法的方法进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴原数中“0”的个数是8． 故选：D． 2. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 直角三角形斜边大于直角边 D. 所有的等边三角形全等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，以及全等三角形的性质，熟练掌握以上性质是解决本题的关键． 逐一分析各选项的正确性，结合不等式的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，以及全等三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：选项A：若，则， 当，时，，但，因此命题不成立，不符合题意； 选项B：两条直线被第三条直线所截，同位角相等， 当两条直线平行时成立，若两直线不平行，同位角不相等，因此命题不成立，不符合题意； 选项C：直角三角形斜边大于直角边， 根据勾股定理，斜边（为直角边），显然且，命题正确，符合题意； 选项D：所有的等边三角形全等， 等边三角形仅保证边长相等或成比例，但全等需保证所有对应边相等，因此命题错误，不符合题意； 故选：C． 3. 如果一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的边数为（ ） A. 七 B. 八 C. 九 D. 十 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和，解题的关键是熟练掌握多边形外角和为．由题意可知，该多边形的每个外角相等，结合多边形外角和求解即可． 【详解】解：∵该多边形的每一个外角都等于， ∴该多边形的边数为， 故选：C． 4. 如图，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积为，新的图形面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论． 【详解】解：图中剩余部分的面积等于两个正方形的面积之差，即， 剩余部分通过割补拼成的长方形的面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴， 故选：D． 5. 若的展开式中不含x的一次项，则实数m的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 8 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于0．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，不含的一次项，就是该项系数为，进而求出的值．掌握多项式乘多项式的法则和合并同类项是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵展开式中不含x的一次项， ∴， ∴， ∴实数m的值为15． 故选：D． 6. 《孙子算经》中有这样一道题：今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？其大意是：现有若干人和车，若3人坐一辆车，则空余两辆车；若2人坐一辆车，则有9人步行，问：人与车各多少？设车有x辆，人有y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解∶根据题意，得， 故选∶B． 7. 抖空竹是国家级非物质文化遗产之一，图（1）是某人抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图（2）所示的数学问题：已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质三角形的外角的性质，延长交于点，先利用平行线的性质可得，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可求解． 【详解】解：如图：延长交于点， ，， ， 是的一个外角， ， 故选：B． 8. 一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法SSS，即可解答． 【详解】解：由“”可以判定两个三角形全等， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 9. 如图，点在的边上，用尺规作图： 以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点； 以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点； 以点为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点； 作射线． 下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质，根据尺规作图可证，故D选项正确，利用三角形的性质可知A选项和B选项正确，只有当时，，故C选项不一定正确． 【详解】解：由作图可知，，， 在和中，， ， 故D选项正确； ， ， 故A选项正确； ， ， 故B选项正确； 只有当时，， 不一定正确． 故选：C． 10. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图统计图：则下面结论中不正确的是（ ） A. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 B. 新农村建设后，种植收入减少 C. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 D. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 设建设前经济收入为，建设后经济收入为，通过选项逐一分析新农村建设前后经济收入情况，利用数据推出结果即可． 【详解】解：设建设前经济收入为，建设后经济收入为， A、建设后，养殖收入为，建设前，养殖收入为，因为，故A选项正确； B、建设后，种植收入为，建设前，种植收入为，因为，所以新农村建设后，种植收入增加，故B选项错误； C、建设后，养殖收入与第三产业收入的总和为，经济收入为，因为，故C选项正确； D、建设后，其他收入为，建设前，其他收入为，因为，故D选项正确； 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果） 11. 若，，则______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用和幂的乘方的逆用等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据，，结合同底数幂的乘法的逆用和幂的乘方的逆用，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴原式． 故答案为：16． 12. 如图，在和中，，，若要证明，还需要添加一个条件：___________．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法： ． 由全等三角形的判定方法，即可得到答案． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴要证明，还需要添加一个条件：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，在中，于点D，点E是上一点，连接，，，若，，则的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解答的关键． 证明，利用全等三角形的对应边相等即可求解． 【详解】解：， ， 在和中， ， ，， ，， ， 故答案为：6． 14. 已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意可得x+y＝0，它与方程组中的第二个方程组成一个新的方程组，先求出x、y的值，再代入组中第一个方程求出k． 【详解】解：∵x，y的二元一次方程组的解互为相反数， ∴x+y＝0． 解方程组，得． 把x＝3，y＝﹣3代入方程3x+2y＝k+1，得9﹣6＝k+1， 解得k＝2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解决本题的关键． 15. 杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学的杰出研究成果之一，比法国数学家帕斯卡发现这一规律要早约400年．观察下列各式及其展开式，请写出展开式中的第三项__________． 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 …… 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律问题．每个单项式的次数都等于左边式子的次数，第一个单项式的底数为a，各项是按a的降幂，b的升幂排列的，系数依次为杨辉三角中的数，依此规律写出即可． 【详解】解：根据杨辉三角中的数字规律可得， ∴， ∴展开式中的第三项是， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）分解因式：； （2）化简求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，平方差公式，完全平方公式与求代数式的值，熟练掌握相关方法是解题的关键． （1）先转化为平方差公式的形式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式去括号，合并化简，再将a和b的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ， 当，时， ． 17. 证明：等角的补角相等． 【答案】 已知：，，． 求证：． 证明：，（已知）， （等量代换）， （等式的性质）． （已知）， （等式的性质）， （等量代换）． 【解析】 【分析】本题考查了补角性质的证明；由等式的性质得，，即可得证． 【详解】略 18. 教育部要求中小学生原则上不得将个人手机带入校园，学校为了解七年级学生课外手机使用情况，从七年级学生中随机抽取部分学生对他们平均每周使用手机的时间（单位：小时）进行调查，并对调查数据进行整理后分为五组：组“”；组“”；组“”；组“”；组“”．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）该校抽样调查的学生人数为______人，并补全条形统计图． （2）在扇形统计图中，组对应的圆心角度数为______． （3）若该校七年级共有学生720人，试估计该校七年级学生平均每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数． 【答案】（1） 补全条形图如下： （2） （3）人． 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）组人数除以所占的比例求出总人数，进而求出E组人数，补全条形图即可； （2）用360度乘以D组人数所占的比例进行求解即可； （3）用总人数乘以抽查的七年级学生平均每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数的占比即可求出答案． 【小问1详解】 解：（人）； 即该校抽样调查的学生人数为人， 故答案为： E组人数为：（人） 【小问2详解】 即在扇形统计图中，组对应的圆心角度数为， 故答案为： 【小问3详解】 （人）， 即估计该校七年级学生平均每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数为人． 19. 如图，BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H．∠GFH+∠BHC=180°，求证：． 【答案】 ∵∠GFH+∠BHC=180°，∠BHC=∠FHD ∴∠GFH+∠FHD =180° ∴FG//BD ∴∠1=∠ABD ∵BD平分∠ABC ∴∠2=∠ABD ∴∠1=∠2． 【解析】 【分析】求出∠GFH＋∠FHD＝180°，根据平行线的判定得出FG∥BD，根据平行线的性质得出∠1＝∠ABD，求出∠2＝∠ABD即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义，对顶角相等的应用，主要考查学生的推理能力． 20. 如图，在中，，，，与相交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）可得，则有，然后根据三角形的面积公式可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 如图，将长为，宽为的长方形对折后再对折，展开得到如图所示的图形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图所示的图形． （1）通过两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，可得到关于，的等量关系为________ （2）根据中的等量关系，解决下列问题： 若，，则的值为________； 将边长分别为，的正方形，正方形按图3摆放，若，，求图中阴影部分面积的和． 【答案】（1）； （2）； ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全平方公式的几何意义，解决本题的关键是根据图形的面积关系得到两个完全平方公式之间的关系，再利用这个关系解决问题． 根据图形中的阴影面积可以用大正方形的面积减去长方形的面积表示为，也可根据小长方形的摆放位置用代数式表示出阴影正方形的边长，利用正方形的面积公式直接表示出阴影的面积为，根据两种表示方法表示的是同一个图形的面积，可得； 由可知，把和代入计算即可求出的值； 从图中两个正方形的位置可以得出，从而可得，根据中得到的公式可知，两边同时开方求出的值，即可得到阴影部分的面积． 【小问1详解】 解：由图可知：阴影正方形的边长为， 阴影的面积为：， 阴影的面积也可以看作是大正方形的面积减去长为、宽为的长方形的面积， 阴影的面积也可以表示为：， 可得到关于，的等量关系为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由可知， 当，时， ， 故答案为：； 解：如下图所示， 四边形和四边形为正方形，且边长分别为和， ，， ， ， 由可知， 或(舍去)， ． 22. 北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小明和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： 小明：我买了1件甲种飞船模型和2件乙种飞船模型，共花了55元． 小红：我买了2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型，共花了95元． （1）求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ （2）若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 【答案】（1）甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元 （2）有2种购买方案 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键． （1）设甲种飞船模型每件的售价为元，乙种飞船模型每件的售价为元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买件甲种飞船模型和件乙种飞船模型，根据题意列出二元一次方程，然后根据，均为正整数求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种飞船模型每件的售价为元，乙种飞船模型每件的售价为元， 根据题意，得； 解得 答：甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元 【小问2详解】 解：设购买件甲种飞船模型和件乙种飞船模型 根据题意，得 ∴ ∵，均为正整数， ∴当时，； 当时，， ∴有2种购买方案如下： ①购买5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型； ②购买2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型． 23. 如图，线段，交于点，点为直线上一点（不与点，重合），在的右侧，作射线，过点作直线，交于点（与不重合）． （1）若点在线段上， ①如图①，若为钝角，，嘉嘉过点作了辅助线求出的度数．你试着完成求解过程． ②如图②，若为锐角，判断与的数量关系并说明理由． （2）若点在线段的延长线上，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）①；②，理由如下： 如图，过点C作， 则； ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； ②，理由如下： 如图，过点C作， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解的和差运算，作出平行线的辅助线是解题的关键． （1）①过点C作，则得，从而求得；再由得，由同旁内角互补即可求解； ②过点C作，则得，从而求得；再由得，进而即可得到答案； （2）过点C作，则得，从而求得；再由得，由同旁内角互补即可求解； 【小问1详解】 解：①略； 【小问2详解】 解：；理由： 如图，过点C作， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $