精品解析：黑龙江省哈尔滨德强学校2025--2026学年上学期八年级开门考数学试题

哈尔滨德强学校2025——2026学年度（上） 学科素养测评 八年级数学学科 （分值：120分 总时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程组中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在数轴上表示不等式x－1＜0的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 在和，，补充条件后仍不一定能保证是，则补充的这个条件是（ ） A. B. C. D. 5. 画出一边上的高，下列画法正确的是（） A. B. C. D. 6. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长等于（ ） A. 12 B. 12或15 C. 15或18 D. 15 8. 对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，，则满足条件的和的值是（ ） A. B. C. D. 9. 某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（ ） A. B. C. D. 10. 下面说法正确的个数有（ ） ①三条线段组成的图形叫三角形；②如果，那么是直角三角形；③三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内部；④如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形；⑤三角形的一个外角大于任何一个内角． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 当_____________时，代数式为负数． 12. 在二元一次方程中，如果，那么_____________． 13. 16的平方根是______． 14. 将点向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____________． 15. 一副三角尺，如图所示叠放在一起，则图中的度数是___________． 16. 如图，在中，于点，于点，，，则_____________． 17. 如图，，延长交于，交于，，，，则_____________度． 18. 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作偏等积三角形，如图，在中，，，，为上一点，当_____________时，与是偏等积三角形． 19. AD为△ABC的中线，AE为△ABC的高，△ABD的面积为10，AE＝5，CE＝1，则DE的长为_____． 20. 如图，在中，，分别平分，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，若，则_____________． 三、解答题（其中21~22题各8分，23题6分，24题8分，25~27题各10分，共60分） 21. 解下列二元一次方程组． （1） （2） 22. 解不等式和不等式组，并把解集在数轴上表示出来． （1） （2） 23. 如图，方格纸中每个小正方形都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上． （1）把向左平移5个单位，再向上平移4个单位，得到； （2）点坐标为，请根据题意建立平面直角坐标系； （3）把、、各点的横坐标加4，纵坐标加1，画出平移后得到的． 24. 如图，四边形中，，，为上一点，，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 25. 学校为数学竞赛准备了若干钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为竞赛的奖品．若购买2支钢笔和3本笔记本需62元，购买5支钢笔和1本笔记本需90元． （1）购买一支钢笔和一本笔记本各需多少钱？ （2）若学校准备购买钢笔和笔记本共80件奖品，并且购买的费用不超过1100元，则学校最多可以购买多少支钢笔？ 26. 在中，于点． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，点为线段上一点，连接，若，求证：平分； （3）如图3，在（2）的条件下，点为外一点，连接，，作的平分线交的延长线于点，若，，时，求的度数． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，点A和点B分别为轴和轴正半轴上一点，若，的面积为8． （1）直接写出点A和点B的坐标； （2）点为射线上一点，连接，设点P的纵坐标为，的面积为，用含的式子表示，不要求写出的取值范围； （3）如图2，在（2）的条件下，当点P在线段的延长线上且时，过点、点分别作、的垂线，两条直线交于点，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨德强学校2025——2026学年度（上） 学科素养测评 八年级数学学科 （分值：120分 总时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程组中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．据此求解即可． 【详解】解：A．含有三个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； B．未知数项最高次数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； C．不是整式方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； D．是二元一次方程，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 在数轴上表示不等式x－1＜0的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】x－1＜0的解集为x＜1， 它在数轴上表示如图所示， 故选B． 3. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限点的坐标符号规律即可直接判断． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，各象限内点的坐标符号特征为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限， 又∵点的横坐标，纵坐标，符合第四象限点的坐标特征， ∴点位于第四象限． 4. 在和，，补充条件后仍不一定能保证是，则补充的这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，结合逐项分析即可． 【详解】解：如图， A、若添加，可利用进行全等的判定，故本选项错误； B、若添加，可利用进行全等的判定，故本选项错误； C、若添加，不能进行全等的判定，故本选项正确； D、若添加，可利用进行全等的判定，故本选项错误； 故选：C． 5. 画出一边上的高，下列画法正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查作图基本作图，三角形高的定义，三角形高的定义对各选项进行判断，掌握三角形高的定义是解题的关键． 【详解】解：根据三角形高的定义可判断C选项符合题意， 故选：C． 6. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；（2）不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，熟记不等式的基本性质是解题的关键． 根据不等式的性质依次判断即可． 【详解】解：A、则，原写法错误，不符合题意； B、则，原写法正确，符合题意； C、则，原写法错误，不符合题意； D、则，原写法错误，不符合题意； 故选：B． 7. 已知等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长等于（ ） A. 12 B. 12或15 C. 15或18 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】由于等腰三角形的两边长分别是3和6，没有直接告诉哪一条是腰，哪一条是底边，所以有两种情况，分别利用三角形的周长的定义计算即可求解．此题主要考查了三角形三边关系，也利用了等腰三角形的性质，同时也利用了分类讨论的思想 【详解】解：等腰三角形的两边长分别是3和6， ①当腰为6时，三角形的周长为：； ②当腰为3时，，三角形不成立； 此等腰三角形的周长是． 故选D． 8. 对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，，则满足条件的和的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的乘法，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用题中的新定义得到二元一次方程组，求出与的值即可． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 即满足条件的一组和的值是， 故选：A 9. 某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，此题中的等量关系有：①某年级学生共有246人，则；②男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 【详解】解：根据某年级学生共有246人，则； 男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 可列方程组为． 故选：B． 10. 下面说法正确的个数有（ ） ①三条线段组成的图形叫三角形；②如果，那么是直角三角形；③三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内部；④如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形；⑤三角形的一个外角大于任何一个内角． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的定义，三角形内角和定理，三角形的高和平分线，三角形的外角的性质，根据三角形定义，三角形高的概念，三角形的外角与内角的性质，逐项判断． 【详解】解：①不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形，故①错误； ②如果，根据得到，解得，，那么是锐角三角形，故②错误； ③三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内部，故③正确； ④如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形是钝角三角形或直角三角形，故④错误； ⑤三角形的一个外角大于不相邻的任何一个内角，故⑤错误； ∴正确的命题有③，共1个， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 当_____________时，代数式为负数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的求解，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键． 根据题目中“代数式的值是负数”这一条件列出不等式，然后求解该不等式得到的取值范围． 【详解】解：已知代数式为负数，可列出不等式， 即， 解得． 故答案为：． 12. 在二元一次方程中，如果，那么_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的代入消元，一元一次方程的求解，熟练掌握方程的解法是解决本题的关键． 先求解的值，再将代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， 把代入，得， ． 故答案为：． 13. 16的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义，若一个数满足，则称为的平方根，据此找出平方等于的数即可． 【详解】解：， 的平方根是． 14. 将点向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移规律.直接利用平移中点的变化规律求解即可，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】将点向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度得到点， 则点的坐标为，即 故答案为：． 15. 一副三角尺，如图所示叠放在一起，则图中的度数是___________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，三角板中的角度计算，根据三角尺可知，，由三角形外角的定义可知，进而可求出，再根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：根据三角尺可知：，， 由三角形外角的定义可知：， 即 ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在中，于点，于点，，，则_____________． 【答案】  【解析】 【分析】本题考查了三角形面积的计算，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 根据三角形面积计算公式即可解题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： ． 17. 如图，，延长交于，交于，，，，则_____________度． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解决本题的关键． 先由，可得，，再根据周角可求解的度数，根据三角形内角和可求解，即可求解的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：80 ． 18. 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作偏等积三角形，如图，在中，，，，为上一点，当_____________时，与是偏等积三角形． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了偏等积三角形和全等三角形的概念，正确掌握偏等积三角形的概念是解决本题的关键． 分别计算出与面积，再由偏等积三角形的概念可得，由此可解． 【详解】解：设点B到的距离为h， 则， ∵与是偏等积三角形． ∴， ∴， ∵，且为上一点， ∴， 又∵，， 即， ∴与不全等， ∴当时，与是偏等积三角形． 故答案为： ． 19. AD为△ABC的中线，AE为△ABC的高，△ABD的面积为10，AE＝5，CE＝1，则DE的长为_____． 【答案】5或3 【解析】 【分析】利用面积法求出BD，即可求得CD，再利用CE=1求出DE即可． 【详解】∵AE⊥BC，△ABD的面积为10，AE=5， ∴•BD•AE=10， ∴BD==4， ∵AD为△ABC的中线， ∴CD=BD=4， 如图1，当△ABC是锐角三角形时， DE=CD-CE=4-1=3； 如图2，当△ABC是钝角三角形时， DE=CD+CE=4+1=5； ∴DE=5或3， 故答案为5或3. 【点睛】本题考查三角形的面积，以及分类讨论的数学思想，分两种情况求解是解答本题的关键． 20. 如图，在中，，分别平分，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，若，则_____________． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的外角定理，理解角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角定理是解题的关键．首先根据角平分线的定义及平角的定义证明，然后根据三角形外角定理得，据此求解． 【详解】解：∵，分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： ． 三、解答题（其中21~22题各8分，23题6分，24题8分，25~27题各10分，共60分） 21. 解下列二元一次方程组． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，包括代入消元法和加减消元法，熟练掌握求解方法是解决本题的关键． （1）将代入中求解x的值，再将x的值代回求解y的值即可； （2）将乘3，将乘2，两式相加可求解x的值，再将x的值代回求解y的值即可． 【小问1详解】 解：， 将代入中，可得， 即， 解得， 将代入中，可得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 将乘3，可得， 将乘2，， 两式相加可得，， 解得， 将代入中，可得， 解得， ∴方程组的解为． 22. 解不等式和不等式组，并把解集在数轴上表示出来． （1） （2） 【答案】（1），数轴见解析 （2），数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了不等式和不等式组的求解，熟练掌握不等式的解法是解决本题的关键 （1）先不等号两边同乘6先去分母，去括号再移项并合并同类项，求解x的不等式并在数轴上表示即可； （2）对于不等式去括号求解即可，对于不等式去分母求解即可，并在数轴上表示即可． 【小问1详解】 解：不等式为：， 去分母可得，， 去括号可得，， 移项并合并同类项可得，， 解得， ∴不等式的解为， 在数轴上表示为： 【小问2详解】 解：不等式为：， 不等式， 去括号可得，， 移项并合并同类项可得，， 解得； 不等式， 去分母可得，， 移项并合并同类项可得，， 解得， ∴不等式组的解为， 在数轴上表示为： 23. 如图，方格纸中每个小正方形都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上． （1）把向左平移5个单位，再向上平移4个单位，得到； （2）点坐标为，请根据题意建立平面直角坐标系； （3）把、、各点的横坐标加4，纵坐标加1，画出平移后得到的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查平移作图，建立平面直角坐标系； （1）根据平移方式找到对应点连接即可； （2）根据点坐标为确定原点，再建立平面直角坐标系即可； （3）把、、各点的横坐标加4，纵坐标加1，画出平移后得到的对应点，再依次连接即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：建立平面直角坐标系如图所示； 【小问3详解】 解：如图所示． 24. 如图，四边形中，，，为上一点，，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键． （1）由角角边的证明方法证明与全等，由此可证； （2）设，由边长可表示与，再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴． 在与中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， 在和中， 由勾股定理可知：，， ∴， 即， ∴，解得， ∴线段的长为5． 25. 学校为数学竞赛准备了若干钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为竞赛的奖品．若购买2支钢笔和3本笔记本需62元，购买5支钢笔和1本笔记本需90元． （1）购买一支钢笔和一本笔记本各需多少钱？ （2）若学校准备购买钢笔和笔记本共80件奖品，并且购买的费用不超过1100元，则学校最多可以购买多少支钢笔？ 【答案】（1）一支钢笔16元，一本笔记本10元．（2）学校最多可以购买50支钢笔． 【解析】 【分析】（1）根据相等关系“购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，购买5支钢笔和1本笔记本共需90元”，列方程组求出未知数的值，即可得解； （2）设购买钢笔的数量为x，则笔记本的数量为80﹣x，根据总费用不超过1100元，列出不等式解答即可． 【详解】解：（1）设一支钢笔需x元，一本笔记本需y元，由题意得：， 解得：； 答：一支钢笔需16元，一本笔记本需10元； （2）设购买钢笔的数量为x，则笔记本的数量为80﹣x，由题意得：16x+10（80﹣x）≤1100，解得：x≤50． 答：工会最多可以购买50支钢笔． 26. 在中，于点． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，点为线段上一点，连接，若，求证：平分； （3）如图3，在（2）的条件下，点为外一点，连接，，作的平分线交的延长线于点，若，，时，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角和定理，角平分线的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键． （1）由，可得，再由，可得，即，由此可证； （2）根据三角形的内角和的性质，可得，再由，可得，再结合，可求解，再根据三角形的外角和，即，由此可证； （3）根据，设，由此可表示三角形中的角，再根据三角形的内角为计算即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：在中，， ∵， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平分； 【小问3详解】 解：连接，记与的交点为O，如图， 设， ∵，且， ∴，解得, ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，即， 在中，， ∴的度数为 27. 如图1，在平面直角坐标系中，点A和点B分别为轴和轴正半轴上一点，若，的面积为8． （1）直接写出点A和点B的坐标； （2）点为射线上一点，连接，设点P的纵坐标为，的面积为，用含的式子表示，不要求写出的取值范围； （3）如图2，在（2）的条件下，当点P在线段的延长线上且时，过点、点分别作、的垂线，两条直线交于点，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质与图像，一次函数与几何综合，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用，的面积为8，分别求出长度，则问题可求； （2）为射线上一点，点P的纵坐标为，可用t表示P点横坐标，进而可表示的面积； （3）利用点P在线段的延长线上且，求出P点坐标，设，利用勾股定理在和中分别表示，列方程求得Q的纵坐标，进而可证明，求出线段，得出Q的横坐标． 【小问1详解】 解：∵，的面积为8， ∴， ， ； 【小问2详解】 设解析式为，代入， ， 解得， ∴解析式为， ∵点为射线上一点，点P的纵坐标为， 则， ， ∴， ， ， ； 【小问3详解】 ∵点P在线段的延长线上且， ∴， 解得， ， 作轴交y轴于M，作轴交y轴于N ，， ∴， ∴， ， 设 由勾股定理得， ，在中， ， ，在中， ， ， ， 整理得：， ， 则， ∴， ∵轴，轴， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵点Q在第四象限， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $