精品解析：湖南省邵阳市隆回县2023-2024学年九年级上学期拔尖创新人才早期培养学科知识竞赛数学试卷

2023年拔尖创新人才早期培养九年级学科知识竞赛 数学 温馨提示： 1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分； 2．请你将自己的姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上； 3．请你在答题卡上作答，做在本试题卷上的答案无效． A卷（90分） 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 关于的一元二次方程总有实数根，则应满足的条件是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根；进而得出△=b2-4ac=4-4（k-1）≥0，再求出答案． 【详解】∵关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0总有实数根， ∴△=b2-4ac=4-4（k-1）≥0， 解得：k≤2， 且k-1≠0， 则k应满足的条件是：k≤2且k≠1． 故选：B． 【点睛】此题考查根的判别式，正确得出关于k的不等关系是解题关键． 2. 已知点在反比例的数的图象上．其中．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据反比例函数为可得函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，进而得到的大小关系． 【详解】∵反比例函数， ∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 3. 某校年学生数比年增长了，年学生数又比年增长了，设、这两年该校学生数平均增长率为，则满足的方程是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设该校年的学生人数为人，则年的学生人数为人，年的学生人数为人，利用该校年的学生人数该校年的学生人数、这两年该校学生数平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设该校年的学生人数为人，则年的学生人数为人，年的学生人数为人， 根据题意得：， 即． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4. 如图，在中，为上一点，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，设，则．作于点E，根据列方程求解即可． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 设，则． 如图，作于点E， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得，（舍去）． 故选A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 5. 如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】【分析】设直角三角形的直角边长分别为x、y（x>y），根据大正方形的面积为169，小正方形的面积为49可得关于x、y的方程组，解方程组求得x、y的值，然后利用正弦、余弦的定义进行求解即可得. 【详解】设直角三角形的直角边长分别为x、y（x>y），由题意得， 解得：或（舍去）， ∴直角三角形的斜边长为13， ∴sinα-cosα=， 故选D. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意求出直角三角形的三边长是解题的关键. 6. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A. B. ﹣1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值. 【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝， 故选：B. 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形. 二、填空题（每题4分，共16分） 7. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比，堤高米，那么坡面的长度是________米． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据坡比求出的长度，然后根据勾股定理求出的长度． 【详解】解：∵迎水坡的坡比， ∴ ∵堤高米， ∴米， ∴米， 故答案为：． 【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，熟记坡比的定义是解题的关键． 8. 数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】解：点是的黄金分割点，线段的长为， ， ， 故答案为：． 9. 点是反比例函数图象在第一象限内的一点，连接交函数的图象于点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义以及相似三角形的性质得出，进而求出的值即可． 【详解】解：如图，过点A、点分别作轴的垂线，垂足分别为、， ∵， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数系数的几何意义以及相似三角形的性质是正确解答的前提． 10. 已知一次函数与反比例函数的图象有交点，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由于一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象有交点，则说明有解． 【详解】解：令，变形得：， ∵图象有交点， ∴有解， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题运用了方程组的知识和一元二次方程根的判别式的有关内容，注意函数图像的交点问题和对应一元二次方程的根的关系． 三、解答题（每题10分，共50分） 11. 用不同的方法解下列方程： （1）（配方法） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，包括配方法、因式分解法和公式法． 熟练掌握配方法的步骤、因式分解的技巧以及求根公式的应用是解题的关键． （1）先将二次项系数化为，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，最后求解方程． （2）尝试因式分解法，将方程左边分解为两个一次式的乘积，然后令每个一次式等于，求解方程． 【小问1详解】 解： ∴，； 【小问2详解】 解： 或 ∴ ，． 12. 如图，直线与双曲线相交于两点． （1）求直线和双曲线的解析式； （2）求的面积； （3）观察图像，请直接写出当时，x的取值的范围． 【答案】（1），； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法分别求解直线与双曲线的解析式； （2）先设直线与x轴交于点M，将分解成以为底的与面积之和求解即可； （3）观察图像，用数形结合的方法求解． 【小问1详解】 解：直线与双曲线相交于两点， 将两点坐标代入双曲线， ， ， ，． 将两点坐标代入直线线， ， ， ． 故直线的解析式为：，双曲线的解析式为：． 【小问2详解】 解：令直线与x轴交于点M， 令y=0，， ， ， ， = =． 故的面积为． 【小问3详解】 解：观察图像，当时， x的取值的范围是：或． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的图像与性质，熟练掌握并运用待定系数法求解析式、三角形面积的求法、数形结合的方法等是解此题的关键． 13. 某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台每降价1元，商场平均每天可多售出2台． （1）在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）每台空气加湿器应降价20元； （2）不能，理由如下： 设每台空气加湿器应降价y元，则每台盈利（50-y）元，每天可以售出（30+2y）台， 依题意得：（50-y）（30+2y）=2500， 整理得：y2-35y+500=0． ∵Δ=（-35）2-4×1×500=1225-2000=-775＜0， ∴该方程无实数根， ∴商场平均每天盈利不能达到2500元． 【解析】 【分析】（1）设每台空气加湿器应降价x元，则每台盈利（50-x）元，每天可以售出（30+2x）台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽快减少库存，即可确定x的值； （2）设每台空气加湿器应降价y元，则每台盈利（50-y）元，每天可以售出（30+2y）台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ=-775＜0可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元． 【详解】解：（1）设每台空气加湿器应降价x元，则每台盈利（50-x）元，每天可以售出（30+2x）台， 依题意得：（50-x）（30+2x）=2100， 整理得：x2-35x+300=0， 解得：x1=15，x2=20． ∵尽快减少库存， ∴x的值应为20． 答：每台空气加湿器应降价20元； （2）略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”． 14. 如图，在中，，垂足为H，且，E为延长线上一点，过点E作，分别交于F，M． （1）求证； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，垂足为H，且， ∴ 是的垂直平分线． ∴ ． ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）证明直线是的垂直平分线即可． （2）先证明，再判定，证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ，， ∴ ． ∵ ，， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴ ． ∴ ． ∴ ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 15. 如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为．已知山坡的坡度，米，米，求这块宣传牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米．参考数据：，） 【答案】米 【解析】 【详解】解：作于点F，于点G 在中 ∵， ∴， ∵山坡的坡度，， ∴， ， ∴， ∵ ∴ ∴ 答：这块宣传牌的高度为米． B卷（60分） 一、选择题（每题4分，共16分） 16. 若反比例函数的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数y=-x+m的图象上，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知反比例函数的图象上的点关于y轴的对称的点在函数上，由此可知反比例函数的图象与一次函数y=-x+m的图象有两个不同的交点，继而可得关于x的一元二次方程，再根据根的判别式即可求得答案. 【详解】∵反比例函数上有两个不同的点关于y轴对称的点在一次函数y=-x+m图象上， ∴反比例函数与一次函数y=-x+m有两个不同的交点， 联立得，消去y得：， 整理得：， ∵有两个不同的交点 ∴有两个不相等的实数根， ∴△=m2-8＞0， ∴或， 故选C. 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握相关内容、正确理解题意是解题的关键. 17. 已知m为方程的根，那么的值为（ ） A. B. 0 C. 2022 D. 4044 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意有，即有，据此即可作答． 【详解】∵m为的根， ∴，且m≠0， ∴， 则有原式=， 故选：B． 【点睛】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为得到是解答本题的关键． 18. 如图，在中，，，，平分，点D是的中点，与交于点O，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过C作交延长线于N，过E作交于M，推出，由相似三角形的性质得到，由平行线分线段成比例定理，得到，而，由此，于是即可解决问题． 【详解】解：过C作交延长线于N，过E作交于M， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，关键是通过平行线的性质，角平分线定义得到，由相似三角形的性质求出． 19. 如图，在中，．作交边于点E，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，根据三角函数以及勾股定理求出的长度，然后根据三角形面积公式得出的长度，结果可得． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，含的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握解直角三角形以及勾股定理是解本题的关键． 二、填空题（每题4分，共16分） 20. 如图，在矩形ABCD中，，，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则的最小值为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过A作于，延长，使，过作于，交于，则最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解即可得到答案． 【详解】解：如图，过A作于，延长，使，过作于，交于，则最短， 四边形为矩形，，， 即的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，同时考查利用轴对称与垂线段最短求线段和的最小值问题，解题的关键是掌握以上知识． 21. 如图，，，动点，分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直移到点为止（点到达点后，点继续运动），当____时，与相似． 【答案】或 【解析】 【分析】分，两种情况，根据相似三角形的性质求出所用的时间． 【详解】解：当时， ①若，则有， ， ，，，， ，解得：， ②，若，则有 ， ， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，点与重合， ，只有当时，有， ， ， 解得：， 综上，或7时，与相似． 故答案为：或7． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点，分类讨论是解题关键． 22. 如图，在矩形中，，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将矩形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在矩形的对角线上时，点运动的距离为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分点落在对角线上和点落在对角线上两种情况分别进行讨论求解，即可得出点运动额的距离． 【详解】解：分两种情况： ①当点落在对角线上时，连接，如图1所示： ∵将矩形沿折叠，点的对应点为点，且点恰好落在矩形的对角线上， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， 根据折叠的性质可知：， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴点是的中点， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴点运动的距离为； ②当点落在对角线上时，作于，则，四边形为矩形，如图2所示： 在矩形中，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴点 运动的距离为； 综上所述：点运动的距离为或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质，三角形函数的应用等知识，熟练掌握矩形的性质、熟记翻折变换的性质是解题的关键． 23. 已知、是方程的两个根，且，且_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得出和的值，再由方程得到与的关系，逐步推导的表达式，结合与的关系，最后计算的值．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及方程的求解，熟练掌握根与系数的关系和一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴，，且，即． ∵， ∴， 将代入上式得 ． ∴． 解方程，， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 三、解答题（第9题8分，其余每题10分，共28分） 24. 已知关于x的方程． （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积． 【答案】（1） 证明：， ， 在实数范围内，无论取何值，，即， 关于的方程恒有两个不相等的实数根； （2）方程的另一根为；或 【解析】 【分析】本题综合考查了勾股定理、一元二次方程根的判别式、一元二次方程解的定义．解答（2）时，采用了“分类讨论”的数学思想． （1）根据关于的方程的根的判别式的符号来证明结论； （2）根据一元二次方程的解的定义求得值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1、3时，即可求得直角三角形的面积为；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为，即可求得直角三角形的面积为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意，得 ， 解得， ， ， 或， 则方程的另一根为； ①当该直角三角形的两直角边是1、3时， 该直角三角形的面积为； ②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时， 该直角三角形的另一直角边为； 该直角三角形的面积为； 综上，该直角三角形的面积为或． 25. 若，且，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先对已知方程变形，判断、是同一方程的根，再利用根与系数关系得出与的和与积，结合二次根式性质化简求值．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系以及二次根式的化简求值，熟练掌握根与系数的关系和二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：且，方程两边除以，得．且，即， ，是方程的两个不相等实数根． ∴，． ∴，． ∴． 26. 综合与实践 问题提出 （1）如图①，请你在直线l上找一点P，使点P到两个定点A和B的距离之和最小，即的和最小（保留作图痕迹，不写作法）； 思维转换 （2）如图②，已知点E是直线l外一定点，且到直线l的距离为4，MN是直线l上的动线段，，连接，求的最小值．小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将线段看作静线段，则点E在平行于直线l的直线上运动”，请你参考小敏的思路求的最小值； 拓展应用 （3）如图③，在矩形中，，连接，点E、F分别是边、上的动点，且，分别过点E、F作，，垂足分别为M、N，连接，请直接写出周长的最小值． 【答案】（1）如图①，点即为所求， （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）作点A的对称点，由两点之间线段最短即可求解； （2）将M、N看作定点，E看作动点，由（1）作法可解； （3）由相似得出为定值，再根据（2）作法求出的最值，即可求解． 【详解】解：（1）作法：作点A关于的对称点， 连接，交直线于点，由对称可得， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最短，即最短； （2）如图②，过点作直线，作点关于的对称点，连接，交于点，则的值即是的最小值， ∵点到直线的距离为， ∴ ∵ ∴， ∴，即的最小值为； （3）如图③，过作，，作关于直线的对称点，连接， 由（2）可得，为的最小值， ∵，， ∴， ∴ ∴， 设，由题意可得：， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∴ 由题意可得：， ∴ ∴，即 解得， ∴ ∵， ∴ ∴， 周长的最小值 【点睛】本题考查了线段和最值作法的应用，三角形相似的判定与性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年拔尖创新人才早期培养九年级学科知识竞赛 数学 温馨提示： 1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分； 2．请你将自己的姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上； 3．请你在答题卡上作答，做在本试题卷上的答案无效． A卷（90分） 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 关于的一元二次方程总有实数根，则应满足的条件是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 2. 已知点在反比例的数的图象上．其中．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某校年学生数比年增长了，年学生数又比年增长了，设、这两年该校学生数平均增长率为，则满足的方程是(　　) A. B. C. D. 4. 如图，在中，为上一点，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则（ ） A. B. C. D. 6. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A. B. ﹣1 C. D. 二、填空题（每题4分，共16分） 7. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比，堤高米，那么坡面的长度是________米． 8. 数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为______cm． 9. 点是反比例函数图象在第一象限内的一点，连接交函数的图象于点，若，则______． 10. 已知一次函数与反比例函数的图象有交点，则的取值范围是________. 三、解答题（每题10分，共50分） 11. 用不同的方法解下列方程： （1）（配方法） （2） 12. 如图，直线与双曲线相交于两点． （1）求直线和双曲线的解析式； （2）求的面积； （3）观察图像，请直接写出当时，x的取值的范围． 13. 某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台每降价1元，商场平均每天可多售出2台． （1）在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 14. 如图，在中，，垂足为H，且，E为延长线上一点，过点E作，分别交于F，M． （1）求证； （2）若，求的长． 15. 如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为．已知山坡的坡度，米，米，求这块宣传牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米．参考数据：，） B卷（60分） 一、选择题（每题4分，共16分） 16. 若反比例函数的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数y=-x+m的图象上，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 17. 已知m为方程的根，那么的值为（ ） A. B. 0 C. 2022 D. 4044 18. 如图，在中，，，，平分，点D是的中点，与交于点O，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 19. 如图，在中，．作交边于点E，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共16分） 20. 如图，在矩形ABCD中，，，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则的最小值为___________________． 21. 如图，，，动点，分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直移到点为止（点到达点后，点继续运动），当____时，与相似． 22. 如图，在矩形中，，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将矩形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在矩形的对角线上时，点运动的距离为______． 23. 已知、是方程的两个根，且，且_____． 三、解答题（第9题8分，其余每题10分，共28分） 24. 已知关于x的方程． （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积． 25. 若，且，，求的值． 26. 综合与实践 问题提出 （1）如图①，请你在直线l上找一点P，使点P到两个定点A和B的距离之和最小，即的和最小（保留作图痕迹，不写作法）； 思维转换 （2）如图②，已知点E是直线l外一定点，且到直线l的距离为4，MN是直线l上的动线段，，连接，求的最小值．小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将线段看作静线段，则点E在平行于直线l的直线上运动”，请你参考小敏的思路求的最小值； 拓展应用 （3）如图③，在矩形中，，连接，点E、F分别是边、上的动点，且，分别过点E、F作，，垂足分别为M、N，连接，请直接写出周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $