湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高二上学期入学考试数学试卷

数 学 命题人：李迎归吴海波审题人：余希 时量：120分钟 满分：150分 得分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A={x|一3≤x<0},B={x|x<a}.若A∩B≠，则实数a的 取值范围是 A.{al-3<a≤0} B.(ala>0} 却 C{ala≥-3} D.{aa>-3} 架 2.设数据1,2,3,4，m的下四分位数为m,则实数m的取值范围是 製 A.[1,2] B.(1,2] C.[3,4] D.(2) 的 3已知复数：-头，则：在复平面中对应的点的位置是 A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(★)若f(x)=(x十a)ln 为偶函数，则a A-1 B.0 c D.1 5.已知关于x的方程x2-xcos Acos B十2sin2 号=0的两根之和等于两根 之积的一半，则△ABC一定是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 数学试题（一中版）第1页（共8页） 6.(★)如图所示，在正方体ABCD-A1B,CD中，点P为线段AC上的 动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是 A DD B.AC C.AD D.B C 7.已知a=0.913,b=1.30,9,c=log23,则 A.a<c<b B.c<a<b C.a<b<c Dc<b<a 8.在平行四边形ABCD中，|AB1=3,若 +惑 BA BC BAI lACI= A.23 B.35 C.43 D.3 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个 选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分 分，有选错的得0分 9.若a,b,c∈R,则下列命题正确的是 A若ab+0且a<b,则2>方 B.若0<a<1,则a2<a C若6>a>0且c>0,则叶9> a十ca D.a2+62+1>2(a-2b-2) 数学试题（一中版）第2页（共8页） 10.(大)已知sm(弩+。)=号，则下列说法正确的是 Acos(。-}=5 Bos(2&-5)=-司 Ccos(a+）=-号 D.若a∈(0，)，则c0sa=23-5 6 11.一个盒子中有6个大小质地完全相同的小球，其中2个红球，2个黄 球，2个白球，随机从盒中依次不放回地摸出2个球，则下列事件相互 独立的是 A“摸出的第一个球是红球”与“摸出的两个球颜色不同” B.“摸出的第二个球是黄球”与“摸出的两个球颜色相同” C.“摸出的两个球颜色相同”与“摸出的球没有黄球” D.“摸出的两个球颜色不同”与“摸出的球有红球” 选择题答题卡 题号 2 6 9 10 11 得分 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.（★已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,bc,A-号角A的 平分线交BC边于点D.若AD=1,则4钻十c的最小值为 13.在四面体ABCD中，P为空间中一点，且满足3PA+P+P元+PD- 0,若四面体ABCD的体积为4，则四面体PBCD的体积为 14(大)已知正三棱台ABC-A1BC的体积为号，AB=6,AB=2,则 A1A与平面ABC所成角的正切值为 数学试题（一中版）第3页（共8页） 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16,17题15分，第18,19 题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,O为其外心，且满足 Aδ.BC=BO.CA (1)证明：a2十b=2c2； (2)求角C的最大值 16.(★)（本小题满分15分） 高一社团组织知识竞赛活动.比赛共有两轮答题，第一轮从5个生物问 题中任选两题作答，答对其中一题得20分，两题均答对可得50分；第 二轮从5个化学问题中任选两题作答，每答对一题可得30分.甲、乙两 位同学同时参赛，甲同学回答出每个问题的概率均为04，乙同学能回 答出生物问题中的3道题，能回答出每道化学问题的概率为0.3.经过 两轮比赛后总得分达到80分的同学可以获得一个奖品： (1)求甲同学在第一轮得分为20分的概率； (2)甲、乙两位同学谁获得奖品的概率更大？请说明理由 11.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=√x2十a一x(a>0). (1)若函数g(x)=lnf(x)为奇函数，求实数a的值； (2)判断并证明函数f(x)的单调性； (3)若函数h(x)=2f(x)十f(一x)在区间[1,2]上的最小值为6，求实 数a的值 三4 71 4 18.(本小题满分17分) 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,ACLBD, AB=2DC=2√2，AC∩BD=O,△PAB为正三角形，且平面PACL⊥平 面PBD,设M为线段PB上一动点， (1)当MC∥平面PAD时，求PM的值； (2)当OM最小时，求AM与BD所成角的余弦值； (3)当二面角M-AD-P的大小为无时，求PM的值. D 19.(本小题满分17分) 我们知道，二维平面中的点在坐标系中有x,y两个分量，可以用数组 (x,y)表示该点的坐标，三维空间中的点在坐标系中有x,y,之三个分 量，可以用数组(x,y,z)表示该点的坐标，类似地，在n维空间中的点 在坐标系中同样有n个分量，可以用数组(，x2,·,xn)表示该点的坐 标.现考虑n维空间的一个点集S={(x1,x2,…,xm)|x:∈{0,1}，i=1,， 2,…,n,对于S中的两点X(x,x2,…,xn),Y(,y2,…,yn),定义X, Y之间的距离d(X,Y)=|一y+|x2一y|十…+|xn一y. (1)当n=4时，设A(1,1,1,1),若点B满足d(A,B)=2,求点B所有 可能的坐标； (2)设点X,Y,Z∈S,且X的每个分量均为1，若d(X,Y)=d(X,Z)= m(m≤n),求d(Y,Z)的最大值； (3)设点集M为S的一个k元子集，满足M中任意两个点之间的最短 距离为t(t≤n),求证：k≤2m-+.