专题21.9 二次函数与反比例函数常考几何模型专训（16大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年沪科版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题21.9 二次函数与反比例函数常考几何模型专训（16大题型+15道拓展培优题） 题型一 的图象和性质 题型二 的图象和性质 题型三 的图象和性质 题型四 的图象和性质 题型五 画的图象 题型六 的图象与性质 题型七 二次函数图象与各项系数符号 题型八 一次函数、二次函数图象综合判断 题型九 反比例函数、二次函数图象综合判断 题型十 利用二次函数对称性求最短路径 题型十一 二次函数图象的平移 题型十二 二次函数的几何问题 题型十三 判断（画）反比例函数图象 题型十四 判断反比例函数图象所在象限 题型十五 反比例函数与几何综合 题型十六 一次函数与反比例函数图象综合判断 【经典例题一 的图象和性质】 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出函数与的图象． (1)列表： x … 0 1 3 … … … … … (2)描点并连线． (3)写出这两个图象的位置关系：______________． 1．（24-25九年级上·北京房山·期中）已知某抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … (1)在坐标系中画出该抛物线的图象； (2)该抛物线的对称轴是______． 2．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．    (1)则k的值为____；对称轴为_____． (2)若点A的坐标为，则该图象上点A的对称点的坐标为______． (3)请画出该函数图象． 3．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大．    (1)求的值，并画出它的图象； (2)如果点是此二次函数的图象上一点，若，求的取值范围． 【经典例题二 的图象和性质】 【例2】（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2) 由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，画出抛物线的图象． 2．（23-24九年级上·湖北孝感·开学考试）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．    (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象回答下列问题． （1）抛物线向________平移________个单位得到抛物线； （2）抛物线开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________； （3）抛物线，当x________时，函数随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________． 【经典例题三 的图象和性质】 【例3】（2023九年级下·江苏·专题练习）已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 1．（23-24九年级上·上海松江·期末）已知一个二次函数图象的顶点为(1，0)，与y轴的交点为(0，1)． (1)求这个二次函数的解析式； (2)在所给的平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象． 2．（2023九年级下·全国·专题练习）已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线． （1）求出a、h、k的值； （2）在同一坐标系中，画出与的图象； （3）观察的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减小，并求出函数的最值； （4）观察的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗? 3．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知二次函数．    (1)完成下表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； … 0 … … … (2)该函数图象的顶点坐标为__________； (3)结合图象，请直接写出当取何值时，随的增大而减小． 【经典例题四 的图象和性质】 【例4】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）请在同一坐标系中 (1)画出二次函数①；②的图象． (2)说出两条抛物线之间是如何通过图形的变换得到的，指出②的开口方向、对称轴和顶点． (3)当时，求二次函数的最大值． 1．（24-25九年级上·湖北黄石·阶段练习）已知二次函数． (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； (3)当随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 2．（23-24九年级上·福建漳州·期中）已知二次函数． (1)完成下表： x … 0 1 2 3 … y … … (2)根据（1）所列的表，描点（5个点），在下面网格中画出抛物线的图象．    (3)将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线C（此处不作图）． ①直接写出抛物线C的表达式； ②请判断抛物线C是否经过点，并说明理由． 3．（23-24九年级上·北京西城·期中）已知二次函数图象过点．    (1)求此二次函数的表达式，并用配方法将其化为的形式； (2)画出此函数的图象； (3)借助图象，若，则y的取值范围是_________． 【经典例题五 画的图象】 【例5】（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知二次函数，解决以下问题： (1)将其化成的形式：______； (2)用“五点法”画函数图象，先填表再画图； 0 1 2 3 6 (3)增减性：当 ______时，随增大而增大；当 ______时，随增大而减小． 1．（24-25九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系xOy中画出这个二次函数的图象； (2)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： ①函数时，的取值范围是____________； ②方程的根是_______________； ③试写出此函数的一条性质； ④已知点，，都在此二次函数的图象上，则的大小关系是_________（用“＜”连接）． 2．（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中，用五点法画出这个二次函数的图象； (2)结合图象直接写出当时，的取值范围． 3．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中利用五点法画出这个函数图象． (2)观察函数图象：当时，函数值y的取值范围是：________． 【经典例题六 的图象与性质】 【例6】（24-25九年级上·北京通州·期中）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (2)当时，直接写出函数值y的取值范围． 1．（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数． (1)画出函数的图象； ①把下表补充完整： x … 0 1 … y … … ②在所给的直角坐标系中，画出此函数图象． (2)根据所画的图象直接写出当时，的取值范围． 2．（24-25九年级上·山东烟台·期中）操作与探究： (1)在如图的平面直角坐标系中画出函数的图象； (2)仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题： ①当函数值时，自变量x的取值范围是___________； ②当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是___________； ③当时，函数值，直接写出n的取值范围___________． 3．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）已知二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 5 … (1)画出函数图象； (2)当 ______时，随的增大而减小； (3)当时，的取值范围为______ 【经典例题七 二次函数图象与各项系数符号】 【例7】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）小浩根据学习函数的经验，对函数的图像和性质进行深入探究，过程如下，请补充完整． 自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应数值如下表： … 0 0．5 1 1．5 2 … … 0 0 … 表中的值是_______． （2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中部分对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图像． （3）类比抛物线，试从图像的轴对称性、增减性、有无最值三个方面分别说明函数具有的性质：（各写一条即可） ___________________________________________________________________________ （4）进一步探究函数图像发现： ①函数图像与轴有_______个交点，所以对应的方程有______个实数根； ②方程有_______个实数根； ③对关于的方程，模仿②写出一个真命题． _____________________________________________________________ 1．（24-25九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝mx2+2mx+m﹣1（m≠0）与y轴交于点C，抛物线G的顶点为D，直线：y＝mx+m﹣1（m≠0）． （1）当m＝1时，画出直线和抛物线G，并直接写出直线被抛物线G截得的线段长． （2）随着m取值的变化，判断点C，D是否都在直线上并说明理由． （3）若直线被抛物线G截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m的取值范围． 2．（2024·北京顺义·一模）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： (1)该函数的自变量的取值范围是______； (2)同学们先找到与的几组对应值，然后在下图的平面直角坐标系中，描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质：_______________． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知函数中，，，，画出函数的大致图象． 【经典例题八 一次函数、二次函数图象综合判断】 【例8】（23-24九年级下·云南红河·阶段练习）设k≠0，若函数y1＝kx+3，y2＝（x﹣k）2+k和y3＝（x+k）2﹣k的图象与y轴依次交于A，B和C三点，设函数y2，y3的图象的顶点分别为D，E． （1）当k＝1时，请在直角坐标系中，分别画出函数y1，y2，y3的草图，并根据图象，写出你发现的两条结论； （2）BC长与k之间是正比例函数关系吗？请作出判断，并说明理由； （3）若△ADE的面积等于9，求y2随x的增大而减小时，x的取值范围． 1．（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）图①是数值转换机的示意图，图②是小亮按照其对应关系画出的y与x的函数图象．已知点A的坐标为(0，3)，点B的横坐标为4． (1)求m、n的值． (2)求输出y的最小值． (3)当y=4时，求x的值． 2．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），D（﹣1，0）和C（4，5）三点． （1）求二次函数的解析式； （2）在同一坐标系中画出直线y＝x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值． 3．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图7，在平面直角坐标系中，已知某个二次函数的图像经过点A（1，m），B（2，n），C（4，t），且点B是该二次函数图像的顶点．请在图7中描出该函数图像上另外的两个点，并画出图像． 【经典例题九 反比例函数、二次函数图象综合判断】 【例9】（2024·河南南阳·一模）数学活动课上，老师出示了如下问题：如图1，在矩形中，，，点E是边上一动点（不与点A，D重合），连接，过点E作，交边于点F，点G在边上，且．当时，求的长． 某个小组的探究过程如下，请补充完整． （1）初步分析：当点E在边上运动时，设，则______，______．（用含x的代数式表示） （2）建立函数模型：“当时，求的长”可以转化为求二次函数______（）与反比例函数的图象的交点的横坐标． （3）画出函数图象 在如图2所示的平面直角坐标系中已经画出了（2）中的反比例函数的图象，描出了（2）中二次函数图象上的部分点，参照自变量x的取值范围请用平滑曲线画出该二次函数的图象． （4）得出结论：结合函数图象可知，当时，的长约为______．（结果精确到0.1） 1．（2023·河南商丘·一模）中考复习中，小明对初中学习过的三个函数进行总结，并把三种函数组合成分段函数 小明对这个分段函数利用函数的学习方法进行分析，以下是小明的分析过程，请补充完整： (1)列表： x 0 1 2 3 4 y 1 2 3 2 1 0 2 n 0 解析式中的______，表格中的______； (2)描点，连线： 请画出函数图象； (3)分析图象：根据函数图象，写出函数的一条性质：____________； (4)拓展研究： ①若直线与该函数图象有一个交点，则k的取值范围：____________； ②若直线与该函数图象有两个交点，则k的取值范围：____________； ③若直线与该函数图象有三个交点，则k的取值范围：____________； ④若直线与该函数图象有四个交点，则k的取值范围：____________； ⑤若直线与该函数图象有四个交点，则k的取值范围：____________． 2．（23-24八年级下·山东临沂·期末）在学习函数的中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． （1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象； … 0 1 2 3 4 5 … … 0 3 … （2）根据函数图象，小明写出了该函数性质； ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴是轴； ②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值； ③该函数图象与坐标轴只有一个交点； ④当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；其中正确的是__（只写序号） （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留一位小数，误差不超过0.2） 3．（2024·重庆·二模）小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题： （1）函数的自变量的取值范围是______；下表是与的几组对应值．表中的值为______，的值为______，请在平面直角坐标系中，根据描出的点，画出函数的大致图象； … 0 1 2 3 4 … … 2 4 2 … （2）结合函数图象，请写出函数的一条性质：____________； （3）解决问题：结合函数图像，直接解不等式，则的解集为______．（保留1位小数，误差不超过0.2） 【经典例题十 利用二次函数对称性求最短路径】 【例10】（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，二次函数的图象的对称轴为直线l，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹） （1）作出点C关于对称轴l的对称点D． （2）在抛物线对称轴l上作点P，使的值最大． 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）二次函数的图象经过点，． （1）求b，c的值； （2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴； （3）在所给直角坐标系中画出二次函数的图象，并根据图象在抛物线的对称轴上找点P，使得的周长最短（直接写出点P的坐标）． 2．（24-25九年级上·重庆渝中·期中）已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0）、B（1，0），与y轴的交点是C，且经过点D（2，8）． （1）求该抛物线的解析式； （2）作出该抛物线的简图（自建坐标系）； （3）在抛物线对称轴上求一点E，使EC+EB最小． 3．（23-24八年级下·江西南昌·期末）作图题：在图（1）（2）所示抛物线中，抛物线与轴交于、，与轴交于，点是抛物线的顶点，过平行于轴的直线是它的对称轴，点在对称轴上运动．仅用无刻度的直尺画线的方法，按要求完成下列作图：             （1）在图①中作出点，使线段最小； （2）在图②中作出点，使线段最大. 【经典例题十一 二次函数图象的平移】 【例11】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【探究】如图，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： (2)该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； (3)当时，的取值范围是______． 1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）利用五点法可以绘制二次函数图象，请完成下列问题： … 1 0 1 2 3 … … 2 1 2 1 2 … (1)通过描点，在平面直角坐标系中画出的图象． (2)将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，直接写出所得新抛物线的解析式 ． 2．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）已知二次函数解析式：，完成下列表格，并在坐标系中描点画出函数图形并回答问题： (1)完成填表并画出函数图像： 0 1 2 (2)把二次函数先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度后，新的解析式为_____________． 3．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）把的图象向上平移2个单位，向左平移1个单位，然后画出新函数的图象．并回答相关问题． (1)根据平移规律得到新函数的解析式为________；确定顶点坐标为________；对称轴是直线________； (2)画出所得到函数的图象； 利用图象的对称性列表： x … … y … … 在平面直角坐标系中描点画图： (3)该函数具有最________值，最值是________，此时对应的x的值为________． 【经典例题十二 二次函数的几何问题】 【例12】（2025·山西·模拟预测）有一桥孔的形状是一条开口向下的抛物线的一部分． (1)在如图的平面直角坐标系中画出这条抛物线； (2)当水面与抛物线顶点的距离为时，利用图象求水面的宽； (3)当水面宽为时，水面与抛物线顶点的距离是多少？ 1．（24-25八年级下·广西南宁·期末）综合与实践： 某数学小组为了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查阅资料获得以下信息： 材料一：由于司机的反应和惯性的作用，从发现情况到刹车停止前汽车还要继续向前行驶一段距离，这段距离称为制动非安全距离．从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，这段距离总共需要的反应时间为秒．从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离． 材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过）进行测试，测得数据如下表： 制动时车速 制动距离 探究任务： (1)以车速为横坐标，制动距离为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点，已知与满足函数关系式，请根据上面提供的数据，求出的值； (2)若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为，请通过计算估计该款汽车制动时车速； (3)若某司机驾驶这种新型汽车以的速度在快速路上行驶，发现前方处有一障碍物，司机紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由． 2．（2025·广西·一模）已知抛物线过点． (1)求抛物线的解析式． (2)抛物线C如图所示，小正方形的边长均为1个单位长度． ①求抛物线C的顶点坐标，并在图中补全平面直角坐标系； ②若，是抛物线C上不同的两点，且，求n的值； ③图中有一个矩形框（四个顶点的横、纵坐标都是整数），将抛物线C中对应的曲线记为图象G，并将图象G沿y轴竖直向上平移t个单位长度得到图象，当图象在矩形框内（包括边界）时，请直接写出t的取值范围． 3．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）已知二次函数． (1)根据列表在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象．    (2)求二次函数图象的顶点坐标； (3)抛物线与轴交于两点，若是抛物线位于轴下方的一点，且，直接写出点的坐标． 【经典例题十三 判断（画）反比例函数图象】 【例13】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知：反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； (2)求当，且时，自变量的取值范围． 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）在如图所示的平面直角坐标系中，分别画出下面函数的图像： ①． ②． 2．（24-25八年级下·吉林长春·期末）老师要求全班同学每人制作一个面积为的矩形学具．设矩形的宽为，长为，求与宽之间的函数关系式，并在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象． 3．（24-25八年级下·河南南阳·期中）在中，的长为x，边上的高为y，的面积为2． (1)y关于x的函数关系式是________，x的取值范围是________； (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象； (3)过图象上一点的直线与y轴交于点D，点P是x轴上的点，的面积等于面积的，求点P的坐标． 【经典例题十四 判断反比例函数图象所在象限】 【例14】（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）通过对一次函数和反比例函数的学习，我们积累了一些研究函数的经验，借鉴这些经验，我们来探索函数的图象和性质． (1)填写表格，并画出函数的图象： x …… …… y …… …… (2)观察图象，下列结论中，正确的有______（填写所有正确结论的序号）． ①图象在第一、三象限；②图象在第一、二象限；③图象关于原点对称；④图象关于y轴对称；⑤当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而增大；⑥当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大． (3)结合图象，直接写出方程的解的个数． 1．（2023·山东临沂·一模）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像与性质后，进一步研究了函数的图像与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图像，如图． 列表： x … … y … … 描点，连线得到函数图像： (2)观察图像并分析表格，回答下列问题： ①当时，y随x增大而__________；（填“增大”或“减小”） ②函数的图像是由函数的图像向__________平移_____个单位长度而得到； ③函数的图像关于点__________成中心对称；（填点的坐标） (3)设、是函数的图像上的两点，且，试求的值． 2．（2024·河南漯河·一模）某数学兴趣小组的同学在研究函数的图象时，先对函数的图象进行了如下探索． ①列表：列出与的几组对应值如下： ··· ··· ··· ··· ②描点：根据表中数据描点如图所示；    ③连线：请在图中画出函数的图象； ④观察图象，写出两条关于该函数的性质． 根据以上探究结果，完成下列问题： ①函数中，自变量的取值范围为 ； ②函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到? ③写出两条关于函数的性质； ④直接写出不等式的解集． 3．（24-25九年级上·全国·期末）反比例函数的图象经过点． 求的值； 画出该函数的图象； 根据图象，当时，求的取值范围． 【经典例题十五 反比例函数与几何综合】 【例15】（2025·河北秦皇岛·一模）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点．    (1)求这个反比例函数的表达式； (2)画出反比例函数的图象； (3)将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离为多少？ 1．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）通过对一次函数和反比例函数的学习，我们积累了一些研究函数的经验，借鉴这些经验，我们来探索函数的图像与性质. （1）填写表格，并画出函数的图像： （2）观察图像，下列结论中，正确的有 （填写所有正确结论的序号）. ①图象在第一、三象限；②图象在第一、二象限；③图象关于轴对称；④图象关于轴对称；⑤当时，随增大而增大. （3）结合图像，直接写出方程的解的个数. 2．（2023·北京·一模）如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），反比例函数y=与直线的交点A、B均在格点上，根据所给的直角坐标系（O是坐标原点），解答下列问题： （1）分别写出点A、B的坐标后，把直线AB向右平移5个单位，再向上平移5个单位，画出平移后的直线A′B′； （2）若点C在函数y=的图象上，△ABC是以AB为底的等腰三角形，请写出点C的坐标． 3．（2024·湖北武汉·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）、B（﹣3，0），将线段AB沿x轴正方向平移n个单位得到菱形ABCD． （1）画出菱形ABCD，并直接写出n的值及点D的坐标； （2）已知反比例函数y＝的图象经过点D，▱ABMN的顶点M在y轴上，N在y＝的图象上，求点M的坐标； （3）若点A、C、D到某直线l的距离都相等，直接写出满足条件的直线解析式． 【经典例题十六 一次函数与反比例函数图象综合判断】 【例16】（24-25九年级上·北京房山·期末）在平面直角坐标系xOy中的第一象限内，点在双曲线上． (1)求m的值； (2)已知点P在x轴上，过点P作平行于y轴的直线与，的图象分别相交于点N，M，点N，M的距离为，点N，M中的某一点与点P的距离为，如果，在下图中画出示意图．并且直接写出点P的坐标． 1．（23-24九年级上·重庆·期中）初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． （1）函数的自变量x的取值范围是_____； （2）函数列表如下，其中________，__________； x … 0 2 3 4 5 … y … m 1 7 5 n … （3）在平面直角坐标系中，通过描点，连线的方式画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：________； （4）请结合函数图象，直接写出不等式的解集_____________． 2．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）初中阶段研究新函数的性质往往需要首先确定函数的解析式，再经历列表、描点连线画出函数图象、观察分析函数图象特征等过程．如表是函数y＝的部分信息： x …… ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …… y …… m ﹣3 ﹣4 ﹣5 0 n 4 3 …… 请结合已有的学习经验，探究上述函数的图象与性质，并解决问题： （1）m＝　 　，n＝　 　； （2）在平面直角坐标系中，结合已有学习经验，用你喜欢的方法补全函数图象，观察函数图象，并请写出该函数的一条性质：　 　； （3）已知函数y2＝的图象如图所示，根据函数图象，直接写出不等式y1＜y2的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 3．（2024八年级下·全国·专题练习）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：______，______； x … 0 2 3 … y … m 0 n 2 … (3)在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象． (4)结合函数的图象，解决问题： ①方程的解为：______； ②当函数值时，x的取值范围是：______． 1．（24-25九年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，在四边形中，，于点E，，，．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点E出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点D时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积小于3时x的取值范围． 2．（24-25九年级下·山东·期末）函数揭示了两个变量之间的关系，它的表示方法有三种：列表法、图象法、解析式法，请你根据学习函数的经验，完成对函数的探究：下表是函数y与自变量x的几组对应值： x … -3 -2 -1 0 2 3 4 5 … y … -0.5 -1 -2 -5 7 4 3 2.5 … (1)函数的自变量x的取值范围为 ； (2)根据表格中的数据，求出k，m的值，并在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象； (3)请根据画出的函数图象，直接写出该函数的一条性质． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）用描点法画出函数的图象，结合图象，回答下列问题： （1）该抛物线可由抛物线向_____平移_____个单位得到； （2）当时，y随x的增大而_____； （3）当x_____时，； （4）当时，y的取值范围是_____ 4．（2025·江西宜春·三模）如图，点在反比例函数的图象上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，作点A关于点O的对称点； (2)在图2中，若点B的坐标为，请作出直线． 5．（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合与实践 如图，在左边托盘A（固定）中放置一个重物，在右边托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘B与点O的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到如表： 托盘B与点O的距离 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来； (2)观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式； (3)当砝码质量为时，求托盘B与点O的距离； (4)当托盘 B 向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘B中的砝码质量． 6．（23-24九年级上·广东梅州·期末）在数学活动课上，老师布置了一个数学题：在平面直角坐标系中，用描点法画函数的图象，下面是小康同学的部分解答过程： ①列表： x … 0 2 3 4 … y … 12 6 3 2 … ②描点、连线…… 任务： (1)请在如图所示的坐标系内完成小康剩余的部分； (2)根据你画出的图象，写出该函数的一条性质． 7．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）某次数学活动时，数学兴趣小组成员小明研究了函数的图象和性质． (1)下表是函数值与自变量的几组对应值： … 0 1 2 3 4 5 6 … … 3 3 3 … 其中，的值为________． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点，画出该函数图象． (3)根据函数图象回答下列问题： ①该图象的对称轴为：直线________， ②该函数的增减性为： 当________时，随的增大而增大， 当________时，随的增大而减小． ③当________时，函数取得最大值，且最大值为________． 8．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，点为格点，反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)请先描出这个反比例函数图象上的格点，再画出反比例函数的图象． (3)正比例函数的图象与此反比例函数图象交于点，点，请画出此正比例函数的图象，并直接写出不等式的解集为________． 9．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数的图象经过，，顶点为． (1)用待定系数法求抛物线的解析式； (2)求出顶点的坐标，并补全函数图象，标明顶点以及点A，B关于对称轴的对称点E，F； (3)若一动点在抛物线上，，则的取值范围是______． 10．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，正方形的一个顶点在反比例函数的图像上，请根据下列条件试用无刻度的直尺分别在图1和图2中按要求画四边形，使、、都在双曲线上． (1)在图1中，画一个平行四边形，并说明画法； (2)当点的坐标为时，在图2中画一个矩形，并证明四边形为矩形． 11．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图像经过格点，，，，及非格点． (1)求的值，并补全反比例函数的图像； (2)根据反比例函数的图像，直接写出当时，的取值范围． 12．（24-25八年级下·福建泉州·期末）【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂=动力×动力臂，如图1，即），受桔槔汲水的启发，小明同学组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A．      10 20 30 40 50 … … 8 a 2 b … (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B对绳子的拉力为______N； (2)为了让装置有更多的使用空间，小明同学准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的拉力为，的长度为．则： ①y关于x的函数解析式是____________． ②完成表格：______；______． ③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）中所求函数的图象上存在点C，当阻力臂移动到某个位置时，点C到原点O的距离最小，请确定点C的坐标，并说明理由． 13．（2025·广东佛山·三模）已知二次函数． 【特例分析】 （1）当，，2时，其图象对应为图中的，，，请在图中画出当时的函数图象； 【性质探究】 （2）观察图象，发现二次函数恒过定点______，对称轴为______； 【性质运用】 （3）将函数图象向下平移个单位，若所得图象的顶点落在x轴上，求m的值； （4）设点，在该二次函数的图象上，且，实数m的取值范围为______； （5）已知点，，线段与此函数图象有且只有一个公共点，m的取值范围为______； 14．（2025·重庆·模拟预测）如图1，在矩形中，，，对角线，交于点．动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发，沿着D→C→B运动，同时点Q从点D出发，以相同的速度沿射线 运动，当点P到达点B时，点P，Q同时停止，设点P运动的时间为x，的面积为，的面积为4，的长度为 (1)直接写出，与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)在图2所示的平面直角坐标系中，画出，的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质；根据函数图象，直接写出时x的取值范围．（近似值精确到，误差不超过） 15．（22-23九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在四边形中，，，E是线段上从点A向点B运动的一个动点（不含A、B），F是线段上从点B向点C运动的一个动点（不含B、C），点E、F同时开始运动，当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动．连接．已知点E在其运动路径上的速度始终为每秒1个单位长度，点F在其运动路径上的速度始终为每秒2个单位长度，设点E的运动时间为x秒，△BEF的面积为y1，△DFC的面积为y2    (1)请求出和关于x的函数解析式，并说明x的取值范围； (2)在图2中画出关于x的函数图象，并写出一条这一函数的性质：______； (3)若，请结合函数图象直接写出x的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.9 二次函数与反比例函数常考几何模型专训（16大题型+15道拓展培优题） 题型一 的图象和性质 题型二 的图象和性质 题型三 的图象和性质 题型四 的图象和性质 题型五 画的图象 题型六 的图象与性质 题型七 二次函数图象与各项系数符号 题型八 一次函数、二次函数图象综合判断 题型九 反比例函数、二次函数图象综合判断 题型十 利用二次函数对称性求最短路径 题型十一 二次函数图象的平移 题型十二 二次函数的几何问题 题型十三 判断（画）反比例函数图象 题型十四 判断反比例函数图象所在象限 题型十五 反比例函数与几何综合 题型十六 一次函数与反比例函数图象综合判断 【经典例题一 的图象和性质】 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出函数与的图象． (1)列表： x … 0 1 3 … … … … … (2)描点并连线． (3)写出这两个图象的位置关系：______________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)关于x轴对称 【分析】本题主要考查二次函数图象的绘制及性质．本题先通过代入计算得到函数值完成列表，再根据函数性质判断图象位置关系． （1）根据函数表达式，将给定的值代入计算和的值； （2）直接根据（1）的表格数据描点并连线即可； （3）通过观察所绘制的图象得出两个图象的位置关系． 【详解】（1）解：列表如下： x … 0 1 3 … … 3 0 3 … … 0 … （2）解：如图所示． （3）解：观察图像可知：关于x轴对称． 1．（24-25九年级上·北京房山·期中）已知某抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … (1)在坐标系中画出该抛物线的图象； (2)该抛物线的对称轴是______． 【答案】(1)见解析 (2)轴 【分析】本题考查了画函数图象，二次函数的性质； （1）根据描点法画出函数图象； （2）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：描点连线如图所示， （2）解：对称轴为轴， 故答案为：轴． 2．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．    (1)则k的值为____；对称轴为_____． (2)若点A的坐标为，则该图象上点A的对称点的坐标为______． (3)请画出该函数图象． 【答案】(1)，轴 (2) (3)图像见解析 【分析】（1）根据二次函数定义以及当时，随的增大而增大．可得出结论； （2）根据函数的对称性求点对称点的坐标即可； （3）根据二次函数的解析式画出函数图象即可． 【详解】（1）解：由是二次函数，且当时，随的增大而增大，得 ， 解得：， 二次函数的解析式为， 对称轴为轴， 故答案为：，轴； （2）点， 当时，， 点 点的对称点的坐标为， 故答案为：； （3）如图    【点睛】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质，关键是求函数解析式． 3．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大．    (1)求的值，并画出它的图象； (2)如果点是此二次函数的图象上一点，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数定义以及当时，y随x的增大而增大．可得出函数解析式，再描点画图即可； （2）当时，，当时，，当时，n取最大值，，并结合函数图象求出n的取值范围． 【详解】（1）解：由是二次函数，且当时，y随x的增大而增大，得 ， 解得：或（舍去）； 二次函数的解析式为， 如图所示：    （2）解：点是此二次函数的图象上一点，， 当时，， 当时，， 当时，n取最大值，， ∴当时，． 【点睛】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质，熟练的利用二次函数的定义求解二次函数的解析式是解本题的关键． 【经典例题二 的图象和性质】 【例2】（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2) 由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)向下；y轴；；减小； (3) 【分析】本题考查二次函数的基础知识点， （1）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可； （2）观察函数图象求解即可； （3）观察函数图象求解即可； 解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象画法，通过数形结合求解． 【详解】（1）解：如下表所示： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 0 … 函数图象如图所示： （2）根据函数图象得：抛物线开口方向为向下；对称轴为y轴；顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小； 故答案为：向下；y轴；；减小； （3）有函数图象可得：当时，y的取值范围是， 故答案为：． 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，画出抛物线的图象． 【答案】图见详解 【分析】根据函数表达式画出函数图象即可；本题主要考查画二次函数图象，正确画出二次函数图象是解题的关键． 【详解】，则的顶点坐标为， 画抛物线的图象如图所示： 2．（23-24九年级上·湖北孝感·开学考试）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．    (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到． 【答案】(1)答案见解析 (2)上，3 【分析】（1）直接利用二次函数的性质以及与的关系分析得出答案； （2）直接利用二次函数的性质以及与的图象特点分析即可． 【详解】（1）解：如图所示，    ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为： +1，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为：； （2）解：函数与函数的图象形状完全相同，开口方向相同， 相当于向上平移3个单位得到． 故答案为：上；． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，正确把握二次函数的性质是解题关键． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象回答下列问题． （1）抛物线向________平移________个单位得到抛物线； （2）抛物线开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________； （3）抛物线，当x________时，函数随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________． 【答案】图象见解析；（1）下，l ；（2）向下，轴，；（3），，大，大，1． 【分析】（1）先利用描点法画出两个函数的图象即可；根据两个函数图象即可得平移方式； （2）根据函数图象即可得出抛物线的开口方向、对称轴、以及顶点坐标； （3）根据函数图象即可得出函数的增减性和最值． 【详解】解：函数与的图象如图所示： （1）抛物线向下平移1个单位得到抛物线， 故答案为：下，1； （2）抛物线开口方向是向下，对称轴为轴，顶点坐标为， 故答案为：向下，轴，； （3）抛物线当时，函数随x的增大而减小；当时，函数有最大值，其最大值是1， 故答案为：，，大，大，1． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 【经典例题三 的图象和性质】 【例3】（2023九年级下·江苏·专题练习）已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位； (4)见解析 【分析】（1）根据“五点法”可画函数图象； （2）根据二次函数的性质可进行求解； （3）根据二次函数的平移可进行求解； （4）根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位； （4）解：当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 1．（23-24九年级上·上海松江·期末）已知一个二次函数图象的顶点为(1，0)，与y轴的交点为(0，1)． (1)求这个二次函数的解析式； (2)在所给的平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）设抛物线解析式为，将代入解析式求解； （2）根据二次函数解析式作图即可． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 将代入得：， ∴； （2）二次函数图像如下图所示： 【点睛】本题考查二次函数的图像以及用待定系数法求二次函数，掌握顶点式的形式是解题的关键． 2．（2023九年级下·全国·专题练习）已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线． （1）求出a、h、k的值； （2）在同一坐标系中，画出与的图象； （3）观察的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减小，并求出函数的最值； （4）观察的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗? 【答案】（1），，；（2）见解析；（3）当时，y随x的增大而增大；当时，y随x增大而减小，当x＝1时，函数y有最大值是2．（4）y≤2． 【分析】（1）先写出抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线的解析式，再根据顶点式的特点可得答案； （2）先列表，再描点，最后用平滑的曲线连接即可； （3）结合图象可得对称轴左侧与右侧的函数图象的变化情况，从而可得答案； （4）结合图象可得函数图象顶点在直线上，其余部分在直线的下方，从而可得答案. 【详解】解：（1）∵  抛物线向上平移2个单位长度， 再向右平移1个单位长度得到的抛物线是， ∴  ，，． （2）列表： 描点并连线： （3）观察的图象知，当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x增大而减小，当x＝1时，函数y有最大值是2． （4）由图象知，对于一切x的值，总有函数值y≤2． 【点睛】本题考查的是二次函数图象的平移，画二次函数的图象，二次函数的性质，掌握“画二次函数的图象以及根据图象总结二次函数的性质”是解题的关键. 3．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知二次函数．    (1)完成下表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； … 0 … … … (2)该函数图象的顶点坐标为__________； (3)结合图象，请直接写出当取何值时，随的增大而减小． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当时，随的增大而减小． 【分析】（1）列表，描点，连线，画出抛物线； （2）根据图象回答问题即可； （3）根据图象回答问题即可． 【详解】（1） … 0 … … 0 … 画图如下：    （2）根据图象可得， 该函数图象的顶点坐标为； （3）根据图象可得， 当时，随的增大而减小． 【点睛】本题考查用二次函数图象的画法及利用函数图象法求一元二次方程的解，解题的关键是看函数图象与x轴交点的位置． 【经典例题四 的图象和性质】 【例4】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）请在同一坐标系中 (1)画出二次函数①；②的图象． (2)说出两条抛物线之间是如何通过图形的变换得到的，指出②的开口方向、对称轴和顶点． (3)当时，求二次函数的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，最值，平移，解题的关键是正确的画出函数的图象． （1）根据列表、描点、连线即可画出图象； （2）根据“左加右减”即可确定出平移方式，根据顶点式即可获取开口方向，对称轴，顶点坐标； （3）由直线比直线更远离抛物线的对称轴，则当，函数取得最大值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：列表： 0 1 2 3 4 2 0.5 0 0.5 2 2 0.5 0 0.5 2 描点： 连线，如图． （2）解：抛物线向右平移2个单位得到抛物线（或抛物线向左平移2个单位得到抛物线），中， 故开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：∵对称轴为直线，， ∴直线比直线更远离抛物线的对称轴， ∴当，函数取得最大值，， ∴最大值为． 1．（24-25九年级上·湖北黄石·阶段练习）已知二次函数． (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； (3)当随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据的对称轴为直线，顶点坐标为即可得； （2）列表、描点、连线即可画图； （3）根据增减性解答即可． 【详解】（1）解：的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：列表： 描点画图，得： （3）解：由抛物线开口向上，对称轴为直线， 则当随的增大而减小时，的取值范围为． 2．（23-24九年级上·福建漳州·期中）已知二次函数． (1)完成下表： x … 0 1 2 3 … y … … (2)根据（1）所列的表，描点（5个点），在下面网格中画出抛物线的图象．    (3)将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线C（此处不作图）． ①直接写出抛物线C的表达式； ②请判断抛物线C是否经过点，并说明理由． 【答案】(1)表格见详解 (2)图象见详解 (3)①；②不经过，理由见详解 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握画函数图象及其性质是解题的关键；因此： （1）把，，，，分别代入二次函数解析式进行求解即可； （2）根据五点描法可画出函数图象； （3）①直接根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解；②把代入抛物线C去验证即可． 【详解】（1）解：表格如下： 0 1 2 3 4 1 0 1 4 （2）解：图象如下所示：    （3）解：①由抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线C的表达式为； ②把代入抛物线C的表达式得：， ∴抛物线C不经过点． 3．（23-24九年级上·北京西城·期中）已知二次函数图象过点．    (1)求此二次函数的表达式，并用配方法将其化为的形式； (2)画出此函数的图象； (3)借助图象，若，则y的取值范围是_________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求得解析式，然后用配方法将其化为的形式； （2）描点、连线画出函数图象即可； （3）根据图象即可求得． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点． ∴，解得， ∴二次函数的表达式为：， = =， ∴ （2）由（2）可知，画出函数图象如图所示：    （3）由图象可知，对称轴为，若， 当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为， 则的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，掌握数形结合的方法是解题的关键． 【经典例题五 画的图象】 【例5】（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知二次函数，解决以下问题： (1)将其化成的形式：______； (2)用“五点法”画函数图象，先填表再画图； 0 1 2 3 6 (3)增减性：当 ______时，随增大而增大；当 ______时，随增大而减小． 【答案】(1) (2)填表见解析；画图见解析 (3)； 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）用配方法将二次函数解析式化为顶点式即可； （2）将x对应的值代入函数解析式求出y的值，然后描点，画出函数图象即可； （3）根据函数的增减性，得出答案即可． 【详解】（1）解：； （2）解：填表如下： 0 1 2 3 6 3 2 3 6 描点，连线，画出函数图象，如图所示： （3）解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大；当时，随增大而减小． 1．（24-25九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系xOy中画出这个二次函数的图象； (2)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： ①函数时，的取值范围是____________； ②方程的根是_______________； ③试写出此函数的一条性质； ④已知点，，都在此二次函数的图象上，则的大小关系是_________（用“＜”连接）． 【答案】(1)见解析； (2)①；②；③当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；④． 【分析】此题考查了二次函数的图象及性质和画二次函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用画函数图象的步骤即可求解； （）根据二次函数的图象及性质逐一解答即可． 【详解】（1）解：列表： 0 1 2 3 4 描点，连线，如图， ； （2）解：①根据图象可知，函数时，的取值范围是； ②方程即的根是； ③根据图象可知，此函数的一条性质为：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； ④根据图象可知，抛物线的对称轴为直线，开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴． 2．（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中，用五点法画出这个二次函数的图象； (2)结合图象直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质与图象，根据点的坐标画出函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键． （1）计算出根据表格数据，描点连线绘制的数图象即可； （2）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：列表： 0 1 0 0 描点、连线、画函数图象如图： （2）当时，的取值范围当． 3．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中利用五点法画出这个函数图象． (2)观察函数图象：当时，函数值y的取值范围是：________． 【答案】(1)图象见解析 (2) 【分析】本题主要考查二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，作出函数图象并利用图象是解题关键． （1）先列表，再描点连线即可； （2）观察图象即可得出结论． 【详解】（1）列表如下， 描点，连线， （2）由图可知，当时， 的最小值为，的最大值为， 此时函数值y的取值范围是． 【经典例题六 的图象与性质】 【例6】（24-25九年级上·北京通州·期中）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (2)当时，直接写出函数值y的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质： （1）根据列表，描点，连线，画出二次函数图象； （2）直接观察图象，即可得出结论． 【详解】（1）解：列表， 0 1 0 3 4 3 0 描点，连线，函数图象，如下图： ； （2）解：观察函数图象得：当时，的取值范围为． 1．（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数． (1)画出函数的图象； ①把下表补充完整： x … 0 1 … y … … ②在所给的直角坐标系中，画出此函数图象． (2)根据所画的图象直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)或 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． （1）将分别代入二次函数即可补充表格； （2）由函数图象即可得出结论． 【详解】（1）解：①表格补充如下： … 0 1 … … 0 0 … 画出图象如下图：   ； （2）解：由图象可知： 当时，则或， 故答案为：或． 2．（24-25九年级上·山东烟台·期中）操作与探究： (1)在如图的平面直角坐标系中画出函数的图象； (2)仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题： ①当函数值时，自变量x的取值范围是___________； ②当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是___________； ③当时，函数值，直接写出n的取值范围___________． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象． （1）按照列表，描点，连线的步骤即可画出函数图象； （2）根据画出的函数图象，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意列出表格如下： x …… 0 1 …… y …… 0 3 4 3 0 …… 画出函数图象如图所示： （2）解：由图可知： ①当函数值时，自变量x的取值范围是； ②当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是； ③当时，函数值，直接写出n的取值范围． 3．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）已知二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 5 … (1)画出函数图象； (2)当 ______时，随的增大而减小； (3)当时，的取值范围为______ 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）据表格数据，描点、连线，画出函数图象，即可作答； （2）根据图象即可求得； （3）根据表格数据，结合图象即可求解． 本题考查了二次函数的图象和性质以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：根据给定点的坐标画出函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，数形结合． 【详解】（1）解：依题意，描点、连线，画出图形如图所示． （2）解：观察函数图象可知：当时，随的增大而减小； 故答案为：； （3）解：当时，的取值范围为． 故答案为：． 【经典例题七 二次函数图象与各项系数符号】 【例7】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）小浩根据学习函数的经验，对函数的图像和性质进行深入探究，过程如下，请补充完整． 自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应数值如下表： … 0 0．5 1 1．5 2 … … 0 0 … 表中的值是_______． （2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中部分对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图像． （3）类比抛物线，试从图像的轴对称性、增减性、有无最值三个方面分别说明函数具有的性质：（各写一条即可） ___________________________________________________________________________ （4）进一步探究函数图像发现： ①函数图像与轴有_______个交点，所以对应的方程有______个实数根； ②方程有_______个实数根； ③对关于的方程，模仿②写出一个真命题． _____________________________________________________________ 【答案】（1）3；（2）图象见解析；（3）①该函数的图象不具有对称性；②当x＜0时，y随x的增大而增大（合理即可）；③该函数没有最大值和最小值．（4）①2，2；②2；③当-4＜a＜0时，关于x的方程，x3-3x2=a有三个实数根； 【分析】（1）当y=0时，x3-3x2=0，x2（x-3）=0，所以x=0，x=3 （2）描点连线画出图形 （3）观察图象即可 （4）观察图象即可 【详解】（1）当y=0时，x3-3x2=0，x2（x-3）=0，所以x=0(舍去)，x=3 故答案为：3. （2）图象如图所示 （3）①该函数的图象不具有对称性； ②当x＜0时，y随x的增大而增大（合理即可）； ③该函数没有最大值和最小值． （4）根据函数图象可得：①2，2 ②2 ③答案不唯一，如当-4＜a＜0时，关于x的方程 x3-3x2=a有三个实数根 【点睛】此题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，解题关键在于注意数形结合的思想. 1．（24-25九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝mx2+2mx+m﹣1（m≠0）与y轴交于点C，抛物线G的顶点为D，直线：y＝mx+m﹣1（m≠0）． （1）当m＝1时，画出直线和抛物线G，并直接写出直线被抛物线G截得的线段长． （2）随着m取值的变化，判断点C，D是否都在直线上并说明理由． （3）若直线被抛物线G截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）无论m取何值，点C，D都在直线上，见解析；（3）m的取值范围是m≤﹣或m≥． 【分析】（1）当m＝1时，抛物线G的函数表达式为y＝x2+2x，直线的函数表达式为y＝x，求出直线被抛物线G截得的线段，再画出两个函数的图象即可； （2）先求出C、D两点的坐标，再代入直线的解析式进行检验即可； （3）先联立直线与抛物线的解析式，求出它们的交点坐标，再根据这两个交点之间的距离不小于2列出不等式，求解即可． 【详解】（1）当m=1时，抛物线G的函数表达式为y=x2+2x，直线的函数表达式为y=x， 直线被抛物线G截得的线段长为， 画出的两个函数的图象如图所示： （2）无论m取何值，点C，D都在直线上．理由如下： ∵抛物线G：y=mx2+2mx+m-1（m≠0）与y轴交于点C， ∴点C的坐标为C（0，m-1）， ∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1， ∴抛物线G的顶点D的坐标为（-1，-1）， 对于直线：y=mx+m-1（m≠0）， 当x=0时，y=m-1， 当x=-1时，y=m×（-1）+m-1=-1， ∴无论m取何值，点C，D都在直线上； （3）解方程组， 得 ，或， ∴直线与抛物线G的交点为（0，m-1），（-1，-1）． ∵直线被抛物线G截得的线段长不小于2， ∴≥2， ∴1+m2≥4，m2≥3， ∴m≤-或m≥， ∴m的取值范围是m≤-或m≥． 【点睛】此题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于掌握两函数交点坐标的求法，函数的图象． 2．（2024·北京顺义·一模）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： (1)该函数的自变量的取值范围是______； (2)同学们先找到与的几组对应值，然后在下图的平面直角坐标系中，描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质：_______________． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)函数有最大值(答案不唯一). 【分析】(1)分式的分母不等于零； (2)根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可； (3)观察图象即可得出该函数的其他性质． 【详解】(1)由知，，即，所以变量的取值范围是． 故答案是：； (2)如图 (3)该函数的一条性质是：函数有最大值(答案不唯一)． 【点睛】本题综合考查了二次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知函数中，，，，画出函数的大致图象． 【答案】图见解析 【分析】根据已知条件“，，，”判断出该函数图象的开口方向、与x轴和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来画出该函数的大致图象． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口方向向下． ∵，，则， ∴该抛物线的对称轴在轴的右侧． ∵， ∴该抛物线与轴交于负半轴． ∵， ∴该抛物线与轴没有交点， 故其图象如图所示： 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质，关键是掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；还可以决定开口大小，越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于．④决定抛物线与x轴交点个数． 【经典例题八 一次函数、二次函数图象综合判断】 【例8】（23-24九年级下·云南红河·阶段练习）设k≠0，若函数y1＝kx+3，y2＝（x﹣k）2+k和y3＝（x+k）2﹣k的图象与y轴依次交于A，B和C三点，设函数y2，y3的图象的顶点分别为D，E． （1）当k＝1时，请在直角坐标系中，分别画出函数y1，y2，y3的草图，并根据图象，写出你发现的两条结论； （2）BC长与k之间是正比例函数关系吗？请作出判断，并说明理由； （3）若△ADE的面积等于9，求y2随x的增大而减小时，x的取值范围． 【答案】（1）见解析，直线与两抛物线始终有两个交点；B点在C点上方；（2）BC长与k之间是正比例函数关系，见解析；（3）x≤3． 【分析】（1）当k=1时，分别求出它们的解析式，画出图象； （2）求出B与C的坐标，求出BC=2k，可知BC与k是正比例函数； （3）构造矩形求△BDE的面积，利用面积求k的值，进而求出y2的函数解析式，从而求解． 【详解】解：（1）当k＝1时，y1＝x+3，y2＝（x﹣1）2+1和y3＝（x+1）2﹣1． 如图， 直线与两抛物线始终有两个交点；B点在C点上方； （2）B（0，k2+k），C（0，k2﹣k）， ∴BC＝（k2+k）﹣（k2﹣k）＝2k， ∴BC长与k之间是正比例函数关系； （3）由表达式可知：D（k，k），E（﹣k，﹣k）， 过D，E分别向x轴作垂线，过A，E分别向y轴作垂线，交点为O，P，E，N， 则由OPEN构造长方形， ∴S△ADE＝SPONE﹣S△APE﹣S△AOD﹣S△EDN＝2k（3+k）﹣k•（3+k）﹣2k•2k﹣k•（3﹣k）＝3k， ∵△ADE的面积等于9， ∴3k＝9， ∴k＝3， ∴y2＝（x﹣k）2+k＝（x﹣3）2+3， ∴对称轴是x＝3， 当y2随x的增大而减小时，x≤3． 故答案为（1）见解析，直线与两抛物线始终有两个交点；B点在C点上方；（2）BC长与k之间是正比例函数关系，见解析；（3）x≤3． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象；正比例函数的判别；二次函数顶点，对称轴；三角形面积．能够将一次函数，正比例函数，二次函数三个函数的图象与解析式结合解题，同时数形结合思想的运用起到关键作用． 1．（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）图①是数值转换机的示意图，图②是小亮按照其对应关系画出的y与x的函数图象．已知点A的坐标为(0，3)，点B的横坐标为4． (1)求m、n的值． (2)求输出y的最小值． (3)当y=4时，求x的值． 【答案】（1）m=3，n=2；（2）2；（3），6-，6+ 【分析】（1）根据题意把A(0，3)代入y=x+m，求得m的值，进而得到直线的函数解析式，再求得B点坐标，然后代入y=(x﹣6)2+n中，求得n的值即可； （2）分别求出当0≤x≤4时，x>4时，y的最小值，然后取较小的值即可； （3）分别求出当0≤x≤4时，x>4时，两种情况的x的值即可. 【详解】解：(1)把A(0，3)代入y=x+m中，得m=3， ∴y=x+3， ∵点B的横坐标为4， ∴, y=×4+3=6， ∴B(4，6)， 把B(4，6)代入y=(x﹣6)2+n中，得n=2， 即m=3，n=2； (2)当0≤x≤4时，y的最小值是3； 当x>4时，y的最小值是2， ∴输出y的最小值是2； (3)若x+3=4， 解得x=； 若(x﹣6)2+2=4， 解得x1=6﹣，x2=6+， 经检验：上述过程求出的x的值均符合题意， 综上所述：当y=4时，x的值为、6﹣、6+. 【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的性质，解此题的关键在于读懂题意准确得到一次函数与二次函数的解析式. 2．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），D（﹣1，0）和C（4，5）三点． （1）求二次函数的解析式； （2）在同一坐标系中画出直线y＝x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值． 【答案】（1）y＝x2﹣x﹣1；（2）图详见解析，﹣1＜x＜4． 【分析】（1）根据二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点，代入得出关于a，b，c的三元一次方程组，求得a，b，c，从而得出二次函数的解析式； （2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，令y=0，解一元二次方程，求得x的值，从而得出与x轴的另一个交点坐标；画出图象，再根据图象直接得出答案． 【详解】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点， ∴ ∴a＝，b＝﹣，c＝﹣1， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣1； （2）当y＝0时，得x2﹣x﹣1＝0； 解得x1＝2，x2＝﹣1， ∴点D坐标为（﹣1，0）； ∴图象如图， ∴当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣1＜x＜4． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及一次函数的图象、抛物线与x轴的交点问题，是中档题，要熟练掌握． 3．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图7，在平面直角坐标系中，已知某个二次函数的图像经过点A（1，m），B（2，n），C（4，t），且点B是该二次函数图像的顶点．请在图7中描出该函数图像上另外的两个点，并画出图像． 【答案】答案见解析． 【分析】由B点坐标，可得到函数的对称轴方程，所以可以得到A的对称点，C的对称点，从而画出函数图像． 【详解】解：∵点B是该二次函数图像的顶点， ∴抛物线对称轴为x=2， ∵C（4，t）， ∴C关于对称轴对称的点C′在y轴上， ∵A（1，m）， ∴A关于对称轴对称的点A′横坐标为3，利用描点法可画出函数图像，如图所示． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数图像是关于对称轴对称的点到对称轴的距离相等且纵坐标相等． 【经典例题九 反比例函数、二次函数图象综合判断】 【例9】（2024·河南南阳·一模）数学活动课上，老师出示了如下问题：如图1，在矩形中，，，点E是边上一动点（不与点A，D重合），连接，过点E作，交边于点F，点G在边上，且．当时，求的长． 某个小组的探究过程如下，请补充完整． （1）初步分析：当点E在边上运动时，设，则______，______．（用含x的代数式表示） （2）建立函数模型：“当时，求的长”可以转化为求二次函数______（）与反比例函数的图象的交点的横坐标． （3）画出函数图象：在如图2所示的平面直角坐标系中已经画出了（2）中的反比例函数的图象，描出了（2）中二次函数图象上的部分点，参照自变量x的取值范围请用平滑曲线画出该二次函数的图象． （4）得出结论 结合函数图象可知，当时，的长约为______．（结果精确到0.1） 【答案】（1），；（2）；（3）答案见解析；（4）3.6或8.1． 【分析】(1)设，根据，，，，进而求得； (2) 当时，，求AE的长，可转化为求二次函数与反比例函数的图象的交点的横坐标，即可得出结论； (3) 根据二次函数，即可求得图象； (4) 当时，求AE的长，可结合函数图象解答即可． 【详解】解：（1）设， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ； （2）故(1)可知，， 当时，， 即， ∴当时，求AE的长，可转化为求二次函数与反比例函数的图象的交点的横坐标， 故答案为：． （3）∵二次函数， ∴图象如图所示：（注：和处用空心圆圈） （4）当时，求AE的长，可转化为求二次函数与反比例函数的图象的交点的横坐标， 观察函数图象可得或， 故答案：3.6或8.1（可以有0.1-0.2的误差）． 【点睛】本题主要考查了二次函数与反比例函数的综合，正确作出辅助线，理解题意是解题的关键． 1．（2023·河南商丘·一模）中考复习中，小明对初中学习过的三个函数进行总结，并把三种函数组合成分段函数 小明对这个分段函数利用函数的学习方法进行分析，以下是小明的分析过程，请补充完整： (1)列表： x 0 1 2 3 4 y 1 2 3 2 1 0 2 n 0 解析式中的______，表格中的______； (2)描点，连线： 请画出函数图象； (3)分析图象：根据函数图象，写出函数的一条性质：____________； (4)拓展研究： ①若直线与该函数图象有一个交点，则k的取值范围：____________； ②若直线与该函数图象有两个交点，则k的取值范围：____________； ③若直线与该函数图象有三个交点，则k的取值范围：____________； ④若直线与该函数图象有四个交点，则k的取值范围：____________； ⑤若直线与该函数图象有四个交点，则k的取值范围：____________． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)该函数有最大值3（答案不唯一） (4)①3；②或；③或；④；⑤ 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先描点，然后连线即可； （3）根据（2）中所画函数图象进行求解即可； （4）根据函数图象进行求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴， ∴， 当时，， 故答案为：，； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由函数图象可知，该函数有最大值3； 故答案为：该函数有最大值3（答案不唯一）； （4）解：①由函数图象可知，当时，直线与该函数图象有一个交点， 故答案为：3； ②由函数图象可知，当 或，直线与该函数图象有两个交点， 故答案为：或； ③由函数图象可知，当或时，直线与该函数图象有三个交点， 故答案为：或； ④由函数图象可知，当时，直线与该函数图象有四个交点， 故答案为：； ④由函数图象可知，当，即时，直线与该函数图象有四个交点， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数，反比例函数综合，正确画出对应的函数图象是解题的关键． 2．（23-24八年级下·山东临沂·期末）在学习函数的中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． （1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象； … 0 1 2 3 4 5 … … 0 3 … （2）根据函数图象，小明写出了该函数性质； ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴是轴； ②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值； ③该函数图象与坐标轴只有一个交点； ④当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；其中正确的是__（只写序号） （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1），，见解析；（2）②③④；（3）或 【分析】（1）分别代入x求y． （2）观察图象，逐条分析判断即可． （3）根据图象及不等式分类讨论x＞0与x＜0解集． 【详解】解：（1）当x=-3时， 当x=3时， 故填：， 补全图象． （2）①该函数图象不是轴对称图形，故此条性质不正确； ②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值，正确； ③该函数图象与坐标轴只有一个交点，正确； ④当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，正确； 故答案为：②③④； （3）由图象得，或 【点睛】本题考查函数与不等式的关系，解题关键是结合图象求不等式． 3．（2024·重庆·二模）小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题： （1）函数的自变量的取值范围是______；下表是与的几组对应值．表中的值为______，的值为______，请在平面直角坐标系中，根据描出的点，画出函数的大致图象； … 0 1 2 3 4 … … 2 4 2 … （2）结合函数图象，请写出函数的一条性质：____________； （3）解决问题：结合函数图像，直接解不等式，则的解集为______．（保留1位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1）全体实数，，，图象见解析；（2）当时，该函数有最大值4；（3）或． 【分析】（1）根据分式有意义的条件即可求出自变量的取值范围，再代入m，n即可求出对应的x，y的值，再描点画图即可求解； （2）观察函数图象，即可得到函数的最值特点； （3）根据题意在同一坐标系中作出与，根据图象的特点即可判断． 【详解】（1）∵ ∴自变量x的取值范围是全体实数； 当y=，则 解得x=-1或x=3（舍去） ∴； 当x=4，则= ∴ 故答案为：全体实数：，； 函数图像如图所示； （2）由图可知，当时，该函数有最大值4； 故答案为：当时，该函数有最大值4； （3）在同一坐标系中作出与如下： ∴的解集为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、分式方程的解的综合应用，解决此题的关键是能根据列表法、图象法观察图象，从而得到结论． 【经典例题十 利用二次函数对称性求最短路径】 【例10】（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，二次函数的图象的对称轴为直线l，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹） （1）作出点C关于对称轴l的对称点D． （2）在抛物线对称轴l上作点P，使的值最大． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）连接BC交y轴于点E，连接AE并延长与抛物线的交点即为所求点； （2）连接AC并延长与对称轴的交点即为所求点． 【详解】解：（1）如图所示： （2）如图所示： ． 【点睛】本题考查了作对称点和求对短路径，掌握作对称点和画最短路径的方法是解答本题的关键． 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）二次函数的图象经过点，． （1）求b，c的值； （2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴； （3）在所给直角坐标系中画出二次函数的图象，并根据图象在抛物线的对称轴上找点P，使得的周长最短（直接写出点P的坐标）． 【答案】（1）b=-4，c=3；（2）顶点坐标为，对称轴是直线；（3）图详见解析，点P的坐标为． 【分析】（1）将点A，C的坐标代入二次函数的解析式，即可求解； （2）根据配方法，可得答案； （3）描出五点，用平滑的曲线连接可画出二次函数的图象，根据轴对称的性质，两点之间线段最短，可得答案． 【详解】【解】（1）将点A，C的坐标代入二次函数的解析式，得， 解得， ∴b=-4，c=3； （2）由（1）知二次函数的解析式为． 所以二次函数图象的顶点坐标为，对称轴是直线； （3）令，则， 解得：， ∴A点坐标为（1，0），B点坐标为（3，0）， 令，则， ∴C点坐标为（0，3）， 由（2）知顶点坐标为E（2，1）， 先描出点，C（0，3），A（1，0），E（2，1），B（3，0），F（4，3）， 将上述五点在直角坐标系内画出，然后用平滑的曲线连接即可, 如图的抛物线就是所求作的： ∵A与B关于对称轴对称，PA=PB， PA+PB=BC，△PAC的周长最小， 设直线BC的解析式为， 把B（3，0），代入得：， ∴直线BC的解析式为， 当时， 即P点坐标为（2，1）． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，利用二次函数的性质得出PA+PB=BC是解题的关键． 2．（24-25九年级上·重庆渝中·期中）已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0）、B（1，0），与y轴的交点是C，且经过点D（2，8）． （1）求该抛物线的解析式； （2）作出该抛物线的简图（自建坐标系）； （3）在抛物线对称轴上求一点E，使EC+EB最小． 【答案】（1）y＝2x2+2x﹣4；（2）抛物线图象如图所示见解析；（3）E（，﹣3）. 【分析】（1）设函数的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣1），将点D的坐标代入上式，即可求解； （2）根据函数表达式描点、画图即可； （3）点A是点B关于函数对称轴的对称点，连接AC交函数对称轴于点E，点E为所求点，求出直线AC的解析式，即可得到点E坐标． 【详解】（1）设函数的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣1）， 将点D的坐标代入上式得：8＝a（2+2）（2﹣1）， 解得：a＝2， 故抛物线的表达式为：y＝2（x+2）（x﹣1）＝2x2+2x﹣4； （2）抛物线图象如下图： （3）由题意可得：抛物线对称轴为：，C（0，－4）， 点A是点B关于函数对称轴的对称点，连接AC交函数对称轴于点E，点E为所求点， 设直线AC的解析式为：y＝kx+b， 将点A、C的坐标代入得：，解得：， 故直线AC的表达式为：y＝﹣2x﹣4， 当x＝﹣时，y＝﹣3，则点E（﹣，﹣3）． 【点睛】本题考查的是待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法是解题关键.． 3．（23-24八年级下·江西南昌·期末）作图题：在图（1）（2）所示抛物线中，抛物线与轴交于、，与轴交于，点是抛物线的顶点，过平行于轴的直线是它的对称轴，点在对称轴上运动．仅用无刻度的直尺画线的方法，按要求完成下列作图：             （1）在图①中作出点，使线段最小； （2）在图②中作出点，使线段最大. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）作A关于对称轴的对称点B,连接BC，与对称轴的交点即为P点； （2）由于点A和点B关于对称轴对称，则PA=PB,那么只要P、A、C三点共线即可，即连接AC并延长与对称轴的交点，就是所求的P点. 【详解】解：如图：（1）作A关于对称轴的对称点B,连接BC，与对称轴的交点即为P点；       点即为所求作         （2）如图：延长AC与对称轴的交点即为P点.         点即为所求作 【点睛】本题在函数图像中考查了两点之间直线最短和轴对称方面的知识，考查方式新颖，灵活运用所学知识成为解答本题的关键. 【经典例题十一 二次函数图象的平移】 【例11】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【探究】如图，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： (2)该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； (3)当时，的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)上，4 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移的规律，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意可知，该抛物线开口向下，顶点坐标为，经过点，，，，即可画出大致图象； （2）根据律抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行求解即可； （3）先求得和时，的值，然后结合（1）中图象即可得出结论． 【详解】（1）解：， 该抛物线的顶点坐标为，开口向下， 令，则，即该抛物线经过点，， 令，则，即该抛物线经过点，， 所以此抛物线的大致图象如下图即为所求： （2）解：由上加下减的原则可得，向上平移4个单位可得出． 故答案为：上，4． （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， 结合（1）中图象可知，当时，的取值范围为：或． 故答案为：或． 1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）利用五点法可以绘制二次函数图象，请完成下列问题： … 1 0 1 2 3 … … 2 1 2 1 2 … (1)通过描点，在平面直角坐标系中画出的图象． (2)将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，直接写出所得新抛物线的解析式 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查画二次函数图象及二次函数图象的平移，正确画出函数图象是解答本题的关键． （1）通过描点，连线即可得出函数图象，； （2）先将二次函数解析式化为顶点式，再根据平移规律可解答本题． 【详解】（1）解：描点，连线得， （2）解：∵ ∴将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，直接写出所得新抛物线的解析式为， 即， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）已知二次函数解析式：，完成下列表格，并在坐标系中描点画出函数图形并回答问题： (1)完成填表并画出函数图像： 0 1 2 (2)把二次函数先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度后，新的解析式为_____________． 【答案】(1)5，0，，，；图象见解析 (2) 【分析】本题考查了画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）将横坐标代入解析式求得纵坐标，再在坐标系中描点，再连线即可作图； （2）根据“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】（1）解：， 填表如下： 0 1 2 5 0 图象如图： （2）解：先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度后，新的解析式为：，即， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）把的图象向上平移2个单位，向左平移1个单位，然后画出新函数的图象．并回答相关问题． (1)根据平移规律得到新函数的解析式为________；确定顶点坐标为________；对称轴是直线________； (2)画出所得到函数的图象； 利用图象的对称性列表： x … … y … … 在平面直角坐标系中描点画图： (3)该函数具有最________值，最值是________，此时对应的x的值为________． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)大，2， 【分析】本题考查二次函数的平移，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的平移规则，五点法作图，是解题的关键： （1）根据平移规则求出函数解析式，进而求出顶点坐标和对称轴即可； （2）利用五点法，列表，画图即可； （3）根据图象确定最值即可． 【详解】（1）解：把的图象向上平移2个单位，向左平移1个单位，得到：， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为：，对称轴为直线； 故答案为：，，； （2）列表如下： x … 0 1 … y … 1 2 1 … 画图如下： （3）由图象可知，该函数有最大值，最值为，此时； 故答案为：大，2，． 【经典例题十二 二次函数的几何问题】 【例12】（2025·山西·模拟预测）有一桥孔的形状是一条开口向下的抛物线的一部分． (1)在如图的平面直角坐标系中画出这条抛物线； (2)当水面与抛物线顶点的距离为时，利用图象求水面的宽； (3)当水面宽为时，水面与抛物线顶点的距离是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）利用描点法画出函数的图象即可得； （2）求出当时，的值，由此即可得； （3）先求出抛物线的顶点坐标为，其对称轴为轴，再求出当时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，． 利用描点法，在平面直角坐标系中画出这条抛物线如下： ． （2）解：当水面与抛物线顶点的距离为时，则， 如图，将代入抛物线得：， 解得或， 则水面的宽为， 答：水面的宽为． （3）解：抛物线的顶点坐标为，其对称轴为轴， 当水面宽为时，将代入得：， 则， 答：水面与抛物线顶点的距离是． 1．（24-25八年级下·广西南宁·期末）综合与实践： 某数学小组为了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查阅资料获得以下信息： 材料一：由于司机的反应和惯性的作用，从发现情况到刹车停止前汽车还要继续向前行驶一段距离，这段距离称为制动非安全距离．从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，这段距离总共需要的反应时间为秒．从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离． 材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过）进行测试，测得数据如下表： 制动时车速 制动距离 探究任务： (1)以车速为横坐标，制动距离为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点，已知与满足函数关系式，请根据上面提供的数据，求出的值； (2)若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为，请通过计算估计该款汽车制动时车速； (3)若某司机驾驶这种新型汽车以的速度在快速路上行驶，发现前方处有一障碍物，司机紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由． 【答案】(1)作图见解析， (2) (3)有碰撞危险，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用．一元二次方程的应用，根据所给表格和函数图象判断出相应的函数为哪种函数是解决本题的易错点；关键是理解并应用得到的函数解析式． （1）根据题意描点连线，即可求解； 观察函数和表格中的数据可猜测函数关系式为过原点的抛物线，根据设出抛物线解析式，把表格中的任意一点代入可得的值，即可求得函数表达式； （2）取，代入（1）中得到的函数解析式，求得合适的的值即可； （3）取，代入（1）中得到的函数解析式，求得制动距离的值，进而计算出制动非安全距离与所给的比较即可得到是否有碰撞危险． 【详解】（1）解：描点，连线如图所示： 将，代入， ∴， 解得， 这个函数的表达式为：； （2）当时，， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：制动距离约为15m时该款汽车制动时车速约为50； （3）有碰撞危险， 理由如下：当时，． 又∵反应距离为， ∴制动非安全距离为：， ∵， ∴有碰撞危险． 2．（2025·广西·一模）已知抛物线过点． (1)求抛物线的解析式． (2)抛物线C如图所示，小正方形的边长均为1个单位长度． ①求抛物线C的顶点坐标，并在图中补全平面直角坐标系； ②若，是抛物线C上不同的两点，且，求n的值； ③图中有一个矩形框（四个顶点的横、纵坐标都是整数），将抛物线C中对应的曲线记为图象G，并将图象G沿y轴竖直向上平移t个单位长度得到图象，当图象在矩形框内（包括边界）时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)①顶点坐标为，补全图形见解析；②；③t的取值范围为 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用二次函数的图象解题是关键． （1）把点代入得，再解方程可得答案； （2）①求解抛物线C的顶点坐标为，再画图即可；②把代入得，结合，可得，再进一步求解即可；③由题意得，平移后的解析式为．当时，；当时，；当时，；再进一步解答即可． 【详解】（1）解：把点代入得， 解得， 函数解析式为． （2）解：①， 抛物线C的顶点坐标为， 补全平面直角坐标系如图所示． ②把代入得， ， ， ，是抛物线上不同的两点， ，关于对称轴直线对称， ， ． ③由题意得，平移后的解析式为． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，由图象需在矩形框内可得， 解得或时， 图象在矩形框内，但均不满足，舍去． 当时， 如图， 由图象需在矩形框内可得， 解得， 综上，当时，图象在矩形框内． 3．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）已知二次函数． (1)根据列表在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象．    (2)求二次函数图象的顶点坐标； (3)抛物线与轴交于两点，若是抛物线位于轴下方的一点，且，直接写出点的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2) (3)或 【分析】（）根据表格中的对应值描点、连线即可； （）根据所作图象即可求解； （）由图象可知，抛物线与轴的交点坐标为和，即得，设，根据的面积及点的位置列出方程即可求解； 本题考查了画二次函数的图象，根据图象求顶点坐标，二次函数的几何应用，正确画出图象是解题的关键． 【详解】（1）解：画二次函数的图象如下：    （2）解：由二次函数图象可知，顶点坐标坐标为； （3）解：由图象可知，抛物线与轴的交点坐标为和， ∴， 设， ∵，是抛物线位于轴下方的一点， ∴， 整理得，， 解得或， 当时，； 当时，； ∴点的坐标为或． 【经典例题十三 判断（画）反比例函数图象】 【例13】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知：反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； (2)求当，且时，自变量的取值范围． 【答案】(1)，画图见详解 (2)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数关系式，利用图象及反比例函数性质解不等式，掌握解法是解题的关键． （1）把点代入，即可求出，再根据表达式补全图象，即可求解； （2）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， 补充其函数图象如下： （2）解：当时，， 由图象得当时，， 当时，， 当，且时，或． 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）在如图所示的平面直角坐标系中，分别画出下面函数的图像： ①． ②． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数图像的画法，熟练掌握画图方法是解题的关键．画反比例函数的图像，首先分别取点，取点时注意，然后用平滑的曲线把这些点连起来即可． 【详解】解：列表： x … 1 2 4 … … 2 1 0.5 … … 1.25 2.5 5 … 描点，连线，分别画出函数的图像如图所示： 2．（24-25八年级下·吉林长春·期末）老师要求全班同学每人制作一个面积为的矩形学具．设矩形的宽为，长为，求与宽之间的函数关系式，并在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象． 【答案】与宽之间的函数关系式为，函数图象见解析． 【分析】本题考查反比例函数的应用，画反比例函数的图象，解题的关键是根据题意写出函数关系式． 根据距形的面积公式即可得与宽之间的函数关系式，描点连线即可得函数的图象． 【详解】解：∵矩形的宽为，长为，面积为， ∴，， ∴， 答：与宽之间的函数关系式为． 函数图象如下图： 3．（24-25八年级下·河南南阳·期中）在中，的长为x，边上的高为y，的面积为2． (1)y关于x的函数关系式是________，x的取值范围是________； (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象； (3)过图象上一点的直线与y轴交于点D，点P是x轴上的点，的面积等于面积的，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据题意在平面直角坐标系中画出该函数图象即可； （3）求得于的坐标，利用条件所给等量关系求得的长度，再分点在原点左边和右边两种情况求出点P坐标即可． 本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的应用，根据三角形的面积公式求出反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：在中， 的长为边上的高为y, 的面积为2， ． ， ∴y关于x的函数关系式是． 故答案为：；． （2）解：列表得： 1 2 4 6 6 4 2 1 描点，连线，在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示． （3）解：把代入， 得， 故点E为， 再把代入， 得：， 则一次函数解析式为：． 令 求得： 故． ∵ ∴ 又点在轴上，所以以为底的三角形的高固定为4, ∴， 由 且有点P在原点左边和右边两种情况如图： 故点P坐标为：或． 【经典例题十四 判断反比例函数图象所在象限】 【例14】（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）通过对一次函数和反比例函数的学习，我们积累了一些研究函数的经验，借鉴这些经验，我们来探索函数的图象和性质． (1)填写表格，并画出函数的图象： x …… …… y …… …… (2)观察图象，下列结论中，正确的有______（填写所有正确结论的序号）． ①图象在第一、三象限；②图象在第一、二象限；③图象关于原点对称；④图象关于y轴对称；⑤当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而增大；⑥当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大． (3)结合图象，直接写出方程的解的个数． 【答案】(1)，1，2，4，4，2，1，，图象见详解 (2)②④⑥ (3)3个 【分析】本题考查反比例函数的性质和图象和一次函数的图象， （1）根据题目中的函数解析式可以将表格填写完整，并利用描点法画出函数图象； （2）根据函数图象可以判断各个小题中的结论是否正确； （3）根据函数图象可以解答本题． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时， ， 故答案为：，1，2，4，4，2，1，；见上图， （2）解：有图象可得， 图象在第一、二象限，故①错误，②正确， 图象关于y轴对称，故③错误，④正确， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，故⑤错误，⑥正确． 故答案为②④⑥； （3）解：由图象可得， 方程有3个解． 1．（2023·山东临沂·一模）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像与性质后，进一步研究了函数的图像与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图像，如图． 列表： x … … y … … 描点，连线得到函数图像： (2)观察图像并分析表格，回答下列问题： ①当时，y随x增大而__________；（填“增大”或“减小”） ②函数的图像是由函数的图像向__________平移_____个单位长度而得到； ③函数的图像关于点__________成中心对称；（填点的坐标） (3)设、是函数的图像上的两点，且，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①减小；②下，1；③ ； (3)． 【分析】（1）列表、描点，用平滑的曲线进行连接即可； （2）根据图像进行解答即可； （3）将点代入解析式，结合进行计算即可． 【详解】（1）解：列表： x … 1 2 3 4 … y … 3 1 0 … 描点、连线，如图： （2）解：由图像知， ①当时，y随x增大而减小； ②， ∴函数的图像是由函数的图像向下平移1个单位长度而得到； ③∵的图像关于原点对称， ∴的图像关于对称． 故答案为：减小；下，1；； （3）解：把、代入函数得： ，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数的图像的平移和性质．根据列表、描点、连线画出函数图像，根据图像得到函数的性质是解题的关键． 2．（2024·河南漯河·一模）某数学兴趣小组的同学在研究函数的图象时，先对函数的图象进行了如下探索． ①列表：列出与的几组对应值如下： ··· ··· ··· ··· ②描点：根据表中数据描点如图所示；    ③连线：请在图中画出函数的图象； ④观察图象，写出两条关于该函数的性质． 根据以上探究结果，完成下列问题： ①函数中，自变量的取值范围为 ； ②函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到? ③写出两条关于函数的性质； ④直接写出不等式的解集． 【答案】（1）③见解析；④该函数图象关于轴对称；当时，随增大而减小，当时，随增大而增大；（2）①；②函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，可得到函数的图象；③图象关于直线对称；图象在直线上侧；④或 【分析】(1)③根据描出的点画图即可； ④根据图像写出性质即可； (2) ①根据分母不能为0写出取值范围即可；②根据研究结果，即可得到变换；③函数的性质类推写出即可；④结合图像和性质直接写出来即可； 【详解】(1) ③图如下所示：    ④ 根据函数图像可知以下性质：a.该函数图象关于轴对称； b．当时，随增大而减小，当时，随增大而增大； c．该函数图象在轴上方．(答案不唯一，答对两条即可) (2) ①∵函数， ∴， ∴（分母不能为0）； ②函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，可得到函数的图象． ③a.图象关于直线对称； b．当时，随x增大而减小，当时，随增大而增大； e．图象在直线上侧．(答案不唯一，答对两条即可) ④根据下面函数图像，直接写出解集为：或，    【点睛】本题只要考查了函数问题综合以及函数增减性以及对称性等相关知识，结合已知函数解析式画图是解题的关键． 3．（24-25九年级上·全国·期末）反比例函数的图象经过点． 求的值； 画出该函数的图象； 根据图象，当时，求的取值范围． 【答案】 ;详见解析;当时，则． 【分析】（1）利用待定系数法把（1，-2）代入反比例函数y=即可得到m的值； （2）根据反比例函数解析式，计算出反比例函数所经过的点，再画出图象即可； （3）根据函数的图象即可求得． 【详解】解：把点代入，得 ， 解得． 由知，该反比例函数为，即该反比例函数图象上点的横、纵坐标的乘积为，其图象如图所示： 由图象可知，当时，则． 【点睛】考查反比例函数的图象及反比例函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数等于反比例函数上的点的横纵坐标的积． 【经典例题十五 反比例函数与几何综合】 【例15】（2025·河北秦皇岛·一模）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点．    (1)求这个反比例函数的表达式； (2)画出反比例函数的图象； (3)将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离为多少？ 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数综合以及反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键． （1）将A点坐标代入即可求解； （2）分别找出三个整数点即可画出函数图象； （3）由，当时，，从而得到平移距离． 【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点， 将代入得解析式得， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）解：三个整数点，如图所示：    （3）解：由题意可知， 当时，， 将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为． 1．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）通过对一次函数和反比例函数的学习，我们积累了一些研究函数的经验，借鉴这些经验，我们来探索函数的图像与性质. （1）填写表格，并画出函数的图像： （2）观察图像，下列结论中，正确的有 （填写所有正确结论的序号）. ①图象在第一、三象限；②图象在第一、二象限；③图象关于轴对称；④图象关于轴对称；⑤当时，随增大而增大. （3）结合图像，直接写出方程的解的个数. 【答案】（1）答案见详解； （2）②④⑤； （3）3 【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以将表格填写完整，并画出函数图象； （2）根据函数图象可以判断各个小题中的结论是否正确； （3）根据函数图象可以解答本题． 【详解】解：（1）∵， ∴当x＝−6时，y＝，当x＝−4时，y＝1，当x＝−2时，y＝2，当x＝−1时，y＝4，当x＝1时，y＝4，当x＝2时，y＝2，当x＝4时，y＝1，当x＝6时，y＝， 故答案为，1，2，4，4，2，1，； 函数图象如右图所示； （2）由图象可得， 图象在第一、二象限，故①错误，②正确， 图象关于y轴对称，故③错误，④正确， 当x＞0时，y随x增大而减小，当x＜0时，y随x增大而增大，故⑤正确， 故答案为②④⑤； （3）由图象可得， 方程6−x＝有3个解． 【点睛】本题考查反比例函数的性质和图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2．（2023·北京·一模）如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），反比例函数y=与直线的交点A、B均在格点上，根据所给的直角坐标系（O是坐标原点），解答下列问题： （1）分别写出点A、B的坐标后，把直线AB向右平移5个单位，再向上平移5个单位，画出平移后的直线A′B′； （2）若点C在函数y=的图象上，△ABC是以AB为底的等腰三角形，请写出点C的坐标． 【答案】（1）A（-1，-4）、B（-4，-1），作图见解析；（2）C点的坐标为C1（-2，-2）或C2（2，2）． 【详解】试题分析：（1）根据两点所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标，进而把两点做相应的平移，连接即可； （2）看AB的垂直平分线与双曲线哪两点相交即可． 试题解析：（1）A（-1，-4）、B（-4，-1） 平移后的直线为A′B′； （2）C点的坐标为C1（-2，-2）或C2（2，2）． 考点：1.反比例函数综合题；2.一次函数图象与几何变换． 3．（2024·湖北武汉·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）、B（﹣3，0），将线段AB沿x轴正方向平移n个单位得到菱形ABCD． （1）画出菱形ABCD，并直接写出n的值及点D的坐标； （2）已知反比例函数y＝的图象经过点D，▱ABMN的顶点M在y轴上，N在y＝的图象上，求点M的坐标； （3）若点A、C、D到某直线l的距离都相等，直接写出满足条件的直线解析式． 【答案】（1）n＝5，点D坐标为（5，4）；（2）M（0，）；（3）y＝﹣2x+9． 【分析】（1）由勾股定理和菱形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD＝5，即可求n的值及点D的坐标； （2）过点N作NH⊥OA于点H，由平行四边形的性质可得AN＝BM，AN∥BM，可得∠BMO＝∠NAH，由“AAS”可证△ANH≌△MBO，可得HN＝BO＝3，MO＝AH，即可求点M坐标； （3）由点A、C、D到某直线l的距离都相等，可得直线l是△ACD的中位线所在直线，由待定系数法可求直线解析式． 【详解】解：（1）如图， ∵点A（0，4）、B（﹣3，0）， ∴AO＝4，BO＝3， ∴AB＝＝5， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝5， ∵将线段AB沿x轴正方向平移n个单位得到菱形ABCD， ∴n＝5，点C坐标为（2，0），点D坐标为（5，4）； （2）∵反比例函数y＝的图象经过点D， ∴k＝4×5＝20， ∵N在y＝的图象上， ∴设点N（a，）， 如图，过点N作NH⊥OA于点H， ∵四边形ABMN是平行四边形 ∴AN＝BM，AN∥BM， ∴∠BMA＝∠NAM， ∴∠BMO＝∠NAH，且AN＝BM，∠BOM＝∠NHA＝90°， ∴△ANH≌△MBO（AAS）， ∴HN＝BO＝3，MO＝AH， ∴HN＝a＝3，HO＝， ∴OM＝AH＝HO﹣AO＝， ∴点M（0，）； （3）∵点A、C、D到某直线l的距离都相等， ∴直线l是△ACD的中位线所在直线， 如图所示： 若直线l过线段AC，CD中点， ∴直线l的解析式为：y＝2， 若直线l过线段AD，AC中点，即直线l过点（，4），点（1，2）， 设直线l的解析式为：y＝mx+n ∴ ， 解得：m＝，n＝， ∴直线l的解析式为：y＝， 若直线l过线段AD，CD中点，即直线l过点（，4），点（，2）， 设直线l解析式为：y＝kx+b ∴， 解得：k＝﹣2，b＝9， ∴直线l的解析式为：y＝﹣2x+9. 【点睛】本题为函数与四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，待定系数法求解析式，熟练运用这些性质进行推理是解题的关键． 【经典例题十六 一次函数与反比例函数图象综合判断】 【例16】（24-25九年级上·北京房山·期末）在平面直角坐标系xOy中的第一象限内，点在双曲线上． (1)求m的值； (2)已知点P在x轴上，过点P作平行于y轴的直线与，的图象分别相交于点N，M，点N，M的距离为，点N，M中的某一点与点P的距离为，如果，在下图中画出示意图．并且直接写出点P的坐标． 【答案】(1)8 (2)点P的坐标为（2，0）或（4，0）或（-2，0）或（-4，0）． 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）画出函数的图象，根据图象即可求得． 【详解】（1）解：∵点A（2，4）在双曲线（m≠0）上， ∴m=2×4=8， ∴m的值为8； （2）解：如图： 由图象可知，点P的坐标为（2，0）或（4，0）或（-2，0）或（-4，0）． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 1．（23-24九年级上·重庆·期中）初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． （1）函数的自变量x的取值范围是_____； （2）函数列表如下，其中________，__________； x … 0 2 3 4 5 … y … m 1 7 5 n … （3）在平面直角坐标系中，通过描点，连线的方式画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：________； （4）请结合函数图象，直接写出不等式的解集_____________． 【答案】（1）x≠1；（2）2，4；（3）图象见解析，当x＞1时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（4）0≤x＜1或x≥3 【分析】（1）由分母不为零可求； （2）将x=-1、x=3分别时代入y=+3即可； （3）描点，连线画出该函数的图象，结合图象可得函数的性质； （4）根据图象即可求得． 【详解】解：（1）∵x-1≠0， ∴x≠1， 故答案为：x≠1； （2）当x=-1时，y=+3=+3=2， 当x=3时，y=+3=+3=4， ∴m=2，n=4， 故答案为：2，4； （3）描点，连线画出该函数的图象如图所示： 观察图象，可知：当x＞1时，y随x的增大而减小． 故答案为：当x＞1时，y随x的增大而减小（答案不唯一）； （4）由图象可得，不等式+3≤x+1的解集为0≤x＜1或x≥3， 故答案为：0≤x＜1或x≥3． 【点睛】本题考查反比例函数的图象；掌握描点法画函数图象的方法，数形结合解题是关键． 2．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）初中阶段研究新函数的性质往往需要首先确定函数的解析式，再经历列表、描点连线画出函数图象、观察分析函数图象特征等过程．如表是函数y＝的部分信息： x …… ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …… y …… m ﹣3 ﹣4 ﹣5 0 n 4 3 …… 请结合已有的学习经验，探究上述函数的图象与性质，并解决问题： （1）m＝　 　，n＝　 　； （2）在平面直角坐标系中，结合已有学习经验，用你喜欢的方法补全函数图象，观察函数图象，并请写出该函数的一条性质：　 　； （3）已知函数y2＝的图象如图所示，根据函数图象，直接写出不等式y1＜y2的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1）﹣，5；（2）图见解析，函数的图象关于原点对称，答案不唯一；（3）﹣3＜x＜0.4或x＞2 【分析】（1）将x＝﹣3，0分别代入解析式即可得m、n的值； （2）画出函数的图象，观察图象即可得到； （3）根据图象求得即可． 【详解】解：（1）x＝﹣4、1分别代入y＝得m＝＝﹣，n＝＝5， 故答案为：﹣，5； （2）画出函数的图象如图： 观察图象可知，函数的图象关于原点对称； 故答案为：函数的图象关于原点对称，答案不唯一． （3）由函数图像可得不等式y1＜y2的解集为﹣3＜x＜0.4或x＞2． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质、解一元一次不等式是解题的关键． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：______，______； x … 0 2 3 … y … m 0 n 2 … (3)在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象． (4)结合函数的图象，解决问题： ①方程的解为：______； ②当函数值时，x的取值范围是：______． 【答案】(1) (2)，3 (3)见解析 (4)①，；② 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确理解题意并掌握一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件进行求解即可； （2）分别把，代入到函数解析式中求出对应的函数值即可得到答案； （3）先描点，再连线即可； （4）画出对应的函数图象，然后利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：∵要有意义， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：，3； （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：①由下图函数图象可知， 直线与函数交于点和， ∴方程的解为， 故答案为：； ②由下图函数图象可知当时，函数的图象在直线的上方， ∴当时，， 故答案为：． 1．（24-25九年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，在四边形中，，于点E，，，．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点E出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点D时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积小于3时x的取值范围． 【答案】(1) (2)作图见解析，性质：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大（不唯一） (3)或或 【分析】本题是动点函数图象题，考查了三角形的面积公式，二次函数与一次函数的图象与性质，画出函数图象是解题的关键． （1）先判断两点的运动状态，再分段利用三角形的面积公式求解； （2）根据题意画出图象，根据图象写出性质即可； （3）分两种情况讨论，列出等式可求解，再结合图象即可得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 可知P、Q两点同时停止运动， ∵，， ∴， 可知P、Q两点分别同时到达、， 当时，如图，，， ， ， 当时，， ， 综上所述：； （2）解：如图： 该函数的性质：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； （3）解：如图， 当，时，则， 或3， 当，时，则， ， 综上所述：△的面积小于3时，的取值范围为或或． 2．（24-25九年级下·山东·期末）函数揭示了两个变量之间的关系，它的表示方法有三种：列表法、图象法、解析式法，请你根据学习函数的经验，完成对函数的探究：下表是函数y与自变量x的几组对应值： x … -3 -2 -1 0 2 3 4 5 … y … -0.5 -1 -2 -5 7 4 3 2.5 … (1)函数的自变量x的取值范围为 ； (2)根据表格中的数据，求出k，m的值，并在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象； (3)请根据画出的函数图象，直接写出该函数的一条性质． 【答案】(1) (2)，，见解析 (3)当时，y随x的增大而减小 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，用描点法画反比例函数的图象. （1）依据函数表达式中分母不等于0，即可得到自变量的取值范围； （2）把，代入函数解析式即可得到和的值，依据表格得点的坐标描点连线即可得到函数图象； （3）依据函数的图象可得函数的增减性． 【详解】（1）解：， ， ∴函数自变量x的取值范围为． 故答案为：； （2）解：把，代入函数得： ， 解得，； 画出该函数图象如图所示： （3）解：由图象可知，当时，随的增大而减小（答案不唯一）． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）用描点法画出函数的图象，结合图象，回答下列问题： （1）该抛物线可由抛物线向_____平移_____个单位得到； （2）当时，y随x的增大而_____； （3）当x_____时，； （4）当时，y的取值范围是_____ 【答案】图象见解析；（1）向下，1；（2）增大；（3）；（4） 【分析】本题考查的是画二次函数的图象，二次函数的性质； （1）先利用描点法画二次函数的图象，再结合平移规律可得答案； （2）由二次函数的图象结合增减性可得答案； （3）由二次函数的图象与轴的交点坐标可得答案； （4）结合二次函数的图象与可得答案． 【详解】解：列表如下： 0 1 2 0 0 3 函数图象如图， （1）该抛物线可由抛物线向下平移1个单位得到， 故答案为：向下，1； （2）当时，y随x的增大而增大， 故答案为：增大； （3）∵， 解得：， ∴当时，， 故答案为：； （4）由图象可得：当时，y的取值范围是， 故答案为：． 4．（2025·江西宜春·三模）如图，点在反比例函数的图象上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，作点A关于点O的对称点； (2)在图2中，若点B的坐标为，请作出直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，一次函数的图象和性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，坐标与图形变化-旋转，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）连接，延长交反比例函数图象于点，点即为所求； （2）同法作出点，连接交反比例函数图象于点C，连接，延长交反比例函数图象于点D，连接，延长交y轴于点，作直线即可． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求． （2）解：如图2，直线即为所求． 5．（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合与实践 如图，在左边托盘A（固定）中放置一个重物，在右边托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘B与点O的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到如表： 托盘B与点O的距离 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来； (2)观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式； (3)当砝码质量为时，求托盘B与点O的距离； (4)当托盘 B 向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘B中的砝码质量． 【答案】(1)详见解析 (2)y与x的函数关系式为： (3)当砝码质量为时，活动托盘B与点O的距离是 (4)在移动前托盘B中的砝码质量 【分析】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图象，正确得出反比例函数解析式是解此题的关键． （1）根据表格中的数据，描点，连线即可； （2）根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （3）当时，，求解即可； （4）设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：如图： （2）解：由图象猜测y与x之间是反比例函数关系， ∴设，将代入，得， 解得， ∴， ∴y与x的函数关系式为：； （3）解：当时，代入得，， 解得， ∴当砝码质量为时，活动托盘B与点O的距离是； （4）解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离， 由题意得：， 解得． ∴在移动前托盘B中的砝码质量． 6．（23-24九年级上·广东梅州·期末）在数学活动课上，老师布置了一个数学题：在平面直角坐标系中，用描点法画函数的图象，下面是小康同学的部分解答过程： ①列表： x … 0 2 3 4 … y … 12 6 3 2 … ②描点、连线…… 任务： (1)请在如图所示的坐标系内完成小康剩余的部分； (2)根据你画出的图象，写出该函数的一条性质． 【答案】(1)见解析 (2)在第一象限内，y随着x的增大而减小 【分析】本题考查了反比例函数图象的画法及性质，解题的关键是熟练运用描点法画函数图象并准确分析函数性质． （1）按照列表中的坐标，在坐标系准确描点，再用平滑曲线连接； （2）观察画出的图象，总结函数性质． 【详解】（1） 解： （2）解：在第一象限内，y随着x的增大而减小 7．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）某次数学活动时，数学兴趣小组成员小明研究了函数的图象和性质． (1)下表是函数值与自变量的几组对应值： … 0 1 2 3 4 5 6 … … 3 3 3 … 其中，的值为________． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点，画出该函数图象． (3)根据函数图象回答下列问题： ①该图象的对称轴为：直线________， ②该函数的增减性为： 当________时，随的增大而增大， 当________时，随的增大而减小． ③当________时，函数取得最大值，且最大值为________． 【答案】(1) (2)见详解 (3)①；②或；或；③1或3； 【分析】本题考查分段的二次函数图象，可以根据自变量的取值范围分别作出对应的函数图象即可得出整个函数的图象．解题时要注意数形结合思想的运用． （1）把代入函数表达式，即可得出n的值； （2）把表格中 7 个点画在坐标系中，根据点的变化趋势，即可画出此函数的图象； （3）结合图象，可得图象的增减性以及关于直线对称且最大值为 3．5 ． 【详解】（1）解：当时，，即， 故答案为：； （2）解：图象如图所示： （3）解：根据（2）中图象可得： ①图象关于直线对称； ②当或时，随的增大而增大； 当或时，随的增大而减小； ③当或 3 时，函数取得最大值，且最大值为； 故答案为：或或或3，． 8．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，点为格点，反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)请先描出这个反比例函数图象上的格点，再画出反比例函数的图象． (3)正比例函数的图象与此反比例函数图象交于点，点，请画出此正比例函数的图象，并直接写出不等式的解集为________． 【答案】(1) (2)图见解析 (3)图见解析，或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． （1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）列表描点画出反比例函数图象即可； （3）数形结合直接写出不等式的解集即可． 【详解】（1）解： 反比例函数的图象经过点， ， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：列表得： x ⋯ 1 2 4 ⋯ y ⋯ 1 2 4 ⋯ 描点，连线，则反比例函数图象如图： （3）解：如图，根据正比例函数图象与反比例函数图象关于原点成中心对称图形， ∴，， 由函数图象可知：不等式的解集为或． 故答案为：或． 9．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数的图象经过，，顶点为． (1)用待定系数法求抛物线的解析式； (2)求出顶点的坐标，并补全函数图象，标明顶点以及点A，B关于对称轴的对称点E，F； (3)若一动点在抛物线上，，则的取值范围是______． 【答案】(1) (2)，图见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，用待定系数法求二次函数的解析式，画二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）先用配方法求二次函数的顶点坐标，然后利用二次函数的轴对称性求出点A，B关于对称轴的对称点E，F的坐标，再画出图形即可； （3）先求出s的取值范围得或，然后分别令和，求出t的值得，再根据图形可得答案． 【详解】（1）解：把，的坐标分别代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解： 顶点的坐标， 点A，B关于对称轴的对称点E，F的坐标分别为，， 补全函数图象如下： （3）解：点在抛物线上， ， ， 或， 解得或， 当时，， 当时，， 时，的取值范围是， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，正方形的一个顶点在反比例函数的图像上，请根据下列条件试用无刻度的直尺分别在图1和图2中按要求画四边形，使、、都在双曲线上． (1)在图1中，画一个平行四边形，并说明画法； (2)当点的坐标为时，在图2中画一个矩形，并证明四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的判定，矩形的判定，两点距离计算公式，熟知相关知识是解题的关键． （1）在第二象限内，反比例函数图象上任取一点，作直线交反比例函数图象于点，作直线，交反比例函数图象于点，则四边形为平行四边形； （2）同（1）作出平行四边形，再由两点距离计算公式可证明，进而得到，据此可证明四边形为矩形． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； 作法：在第二象限内，反比例函数图象上任取一点，作直线交反比例函数图象于点，作直线，交反比例函数图象于点，则、，所以四边形为平行四边形 （2）解：如图所示，四边形即为所求； 作法：在第二象限内，反比例函数图象上任取一点，作直线交反比例函数图象于点，作直线，交反比例函数图象于点，则、，所以四边形为平行四边形； 根据勾股定理得，， ∴， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴， ∴， 四边形是矩形． 11．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图像经过格点，，，，及非格点． (1)求的值，并补全反比例函数的图像； (2)根据反比例函数的图像，直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)，图像见解析； (2)． 【分析】本题考查反比例函数图像和性质，待定系数法求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出值，根据对称性，补全图像即可； （2）图像法求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图像可知，点在反比例函数图像上， ∴， 画出关于原点的对称点，补全反比例函数的图像如图： （2）由图像可知：当时，． 12．（24-25八年级下·福建泉州·期末）【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂=动力×动力臂，如图1，即），受桔槔汲水的启发，小明同学组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A．      10 20 30 40 50 … … 8 a 2 b … (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B对绳子的拉力为______N； (2)为了让装置有更多的使用空间，小明同学准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的拉力为，的长度为．则： ①y关于x的函数解析式是____________． ②完成表格：______；______． ③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）中所求函数的图象上存在点C，当阻力臂移动到某个位置时，点C到原点O的距离最小，请确定点C的坐标，并说明理由． 【答案】(1) (2)①②4，（或1.6）③见解析 (3)点C坐标为或，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，求得函数的解析式是解答的关键． （1）根据题意，直接根据求解即可； （2）①由公式可得关于的函数解析式；②将和代入①中解析式中求解即可；③根据表格数据进行描点、连线即可画出图象； （3）由题意，设点C的坐标为，可得点C到原点的距离：，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∴重物B所受拉力为， （2）解：①由得，则， ∴y关于x的函数解析式为， 故答案为：； ②当时，； 当时，，故答案为：4，（或1.6）； ③列表如下． … 10 20 30 40 50 … … 8 4 2 … 描点：3．连线，可得该函数的图象，如下图即为所求： （3）解：∵点C在函数的图像上； ∴设点C的坐标为； 则点C到原点的距离： 当且仅当，时，d取最小值为（或）； ∴（或）； ∴点C坐标为或； 13．（2025·广东佛山·三模）已知二次函数． 【特例分析】 （1）当，，2时，其图象对应为图中的，，，请在图中画出当时的函数图象； 【性质探究】 （2）观察图象，发现二次函数恒过定点______，对称轴为______； 【性质运用】 （3）将函数图象向下平移个单位，若所得图象的顶点落在x轴上，求m的值； （4）设点，在该二次函数的图象上，且，实数m的取值范围为______； （5）已知点，，线段与此函数图象有且只有一个公共点，m的取值范围为______； 【答案】（1）见解析；（2）和，直线；（3）的值为或；（4）且；（5）或或． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，图象的画法，图象过定点问题，图象和平移规律，二次函数的函数值大小，二次函数与线段的交点问题（动线段），熟练掌握以上知识点并学会分类讨论是解题的关键． （1）当时，，画出图象即可； （2）因为，令，则或2，此时，从而可求得定点坐标，继而由对称性可得对称轴； （3）由可知抛物线的顶点为，由平移可知，再根据和时，分别解方程即可； （4）由题意可知，，从而，进而可得且； （5）当时，只要当时，，且当时，，即可满足线段与此函数图象有且只有一个公共点，可列不等式组解得；或者当时，，且当时，，即可满足线段与此函数图象有且只有一个公共点，可列不等式组解得；当时，可得线段与此函数图象恒有且只有一个公共点，即可求解． 【详解】解：（1）当时，，图象如图所示： （2），令， 则或2，此时， 故二次函数恒过定点和， 由对称性可知对称轴为直线， 故答案为：和，直线； （3）由可知抛物线的顶点为， 由平移可知， 当时，解得； 当时，解得， 综上，的值为或； （4）由题意可知，， ， ， ，从而， 即， 故答案为：且， （5）当时， ①当时，，且当时，，即可满足线段与此函数图象有且只有一个公共点， 即， 解得； ②当时，，且当，，即可满足线段与此函数图象有且只有一个公共点， 即， 解得， 当时， 当时，；当时，， 因为， 则， 线段与此函数图象恒有且只有一个公共点， 综上所述，的取值范围为或或． 14．（2025·重庆·模拟预测）如图1，在矩形中，，，对角线，交于点．动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发，沿着D→C→B运动，同时点Q从点D出发，以相同的速度沿射线 运动，当点P到达点B时，点P，Q同时停止，设点P运动的时间为x，的面积为，的面积为4，的长度为 (1)直接写出，与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)在图2所示的平面直角坐标系中，画出，的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质；根据函数图象，直接写出时x的取值范围．（近似值精确到，误差不超过） 【答案】(1)， (2)图像见解析；函数的性质：当时，随的增大而增大；当时， 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据矩形性质求得，，，，然后分当点在或上时两种情况讨论，然后即可求解； （2）根据（1）所得解析式进行描点作图，然后分析图像，即可得到函数的性质，在分别联立方程组，求出交点坐标，即可求解； 【详解】（1）解：∵在矩形中，，，对角线，交于点， ∴，，， 作，，垂足分别为点和点，如图： ∴，， ∴，， 即， 解得：，， 当点在上时，，即， ，即， 当点在上时，作，垂足为，连接和，如图： ∴， 即，解得：， ，即， 综上所述：，； （2）解：如图： 函数的性质：当时，随的增大而增大， 联立函数：，解得：， ∵， ∴， 当时，，即和在第一象限的交点坐标为， 联立函数：，解得：，， ∵， ∴，即和在第一象限的交点坐标为， 综上所述：当时，； 15．（22-23九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在四边形中，，，E是线段上从点A向点B运动的一个动点（不含A、B），F是线段上从点B向点C运动的一个动点（不含B、C），点E、F同时开始运动，当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动．连接．已知点E在其运动路径上的速度始终为每秒1个单位长度，点F在其运动路径上的速度始终为每秒2个单位长度，设点E的运动时间为x秒，△BEF的面积为y1，△DFC的面积为y2    (1)请求出和关于x的函数解析式，并说明x的取值范围； (2)在图2中画出关于x的函数图象，并写出一条这一函数的性质：______； (3)若，请结合函数图象直接写出x的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1)， (2)当时，函数有最大值（答案不唯一） (3) 【分析】（1）作于G，可得四边形为矩形，，由题意可知：，则，再根据，，可得函数解析式，由其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动，可得x的取值范围； （2）利用描点法画出图形即可，由，根据最值或增减性可得函数性质； （3）由，可得，结合图象只需在图象中找到在上方部分对应的x的值即可． 【详解】（1）作于G，    ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由题意可知：，则， ∴的面积， 的面积：， ∵当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动， 则点E运动时间最多为：秒，点F运动时间最多为：秒， ∴，，； （2）列表： x 1 2 3 4 5 5 8 9 8 5 描点（用空心圆圈）， 画出关于x的函数图象如图所示：    ， 由此可知：①当时，函数有最大值9； ②当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小； 故答案为：当时，函数有最大值9（答案不唯一）； （3）∵， ∴，即，即：， 只需在图象中找到在上方部分对应的x的值即可， 由图可知两函数的交点横坐标约为，其右侧部分在上方， ∴当时，x的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数函数的图象与性质，涉及根据函数图象解不等式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$