专题21.8 二次函数与反比例函数190道计算题专项训练（19大题型）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（沪科版2012）

专题21.8 二次函数与反比例函数190道计算题专项训练（19大题型） 题型一 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型二 根据二次函数的对称性求函数值 题型三 的最值 题型四 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型五 抛物线与x轴的交点问题 题型六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型七 求x轴与抛物线的截线长 题型八 图象法确定一元二次方程的近似根 题型九 图象法解一元二次不等式 题型十 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型十一 根据交点确定不等式的解集 题型十二 由反比例函数值求自变量 题型十三 已知反比例函数的图象，判断其解析式 题型十四 已知反比例函数的增减性求参数 题型十五 比较反比例函数值或自变量的大小 题型十六 已知比例系数求特殊图形的面积 题型十七 根据图形面积求比例系数（解析式） 题型十八 求反比例函数解析式 题型十九 一次函数与反比例函数的交点问题 【经典计算题一 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 1．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数在和时的函数值相等，求a的值． 2．（23-24九年级上·甘肃陇南·阶段练习）在二次函数 (a，b，c是常数)中，列表表示几组自变量x与函数值y的对应值： x … 0 1 2 … y＝ax2＋bx＋c … m 0 3 n 3 … (1)根据以上信息，可得该二次函数的图象开口向_______，对称轴为_______； (2)求的值． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知抛物线经过点，． (1)求该抛物线的对称轴． (2)自变量在什么范围内时，随的增大而减小？ 4．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）根据下列条件，分别求出对应的二次函数表达式： (1)已知图象的顶点在坐标原点，且图象经过点； (2)已知抛物线经过点，； (3)点，在同一条抛物线上，与y轴交点的纵坐标为9，且经过点． 5．（22-23九年级上·广东东莞·期中）已知二次函数的图象与x轴交于，函数的最大值为5， (1)求这个二次函数的对称轴； (2)求这个二次函数的解析式． 6．（24-25九年级上·北京平谷·期末）如图，二次函数的图象过点A（0，3），B（2，3），C（-1，0）则 （1）该抛物线的对称轴为_________； （2）该抛物线与x轴的另一个交点为_______； （3）求该抛物线的表达式． 7．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，点是抛物线上任意一点． (1)若，求该抛物线的对称轴； (2)已知点在该抛物线上，若存在，恰好使．比较的大小，并说明理由． 8．（24-25九年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，，为抛物线上任意两点，其中，设抛物线的对称轴为直线． (1)若，，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围． 9．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若点，也在抛物线上，请通过计算比较，的大小． 10．（24-25九年级上·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线经过点． (1)当时，若，则a的值为 ； (2)若对于任意的都满足，求a的取值范围． 【经典计算题二 根据二次函数的对称性求函数值】 1．（23-24九年级上·陕西安康·期末）二次函数中的自变量x和函数值y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 10 3 m … (1)这个二次函数的对称轴是直线________； (2)m的值为________； (3)当时，y的取值范围为________． 2．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 m 12 … (1)在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该图象的一条性质； (2)的值为______； (3)求这个二次函数的解析式. 3．（23-24九年级上·北京通州·期中）已知二次函数在和时的函数值相等． (1)求二次函数图像的对称轴； (2)过作x轴的平行线与二次函数的图像交于不同的两点M、N．当时，求b的值． 4．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知二次函数，函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 4 1 0 m n …    (1)m=___________，n=___________，顶点坐标为___________． (2)在图中画出二次函数的图像． (3)当x___________时，y随x增大而减小，当x___________时，y随x增大而增大． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知抛物线的对称轴是轴． (1)求的值； (2)求出抛物线的解析式并说明抛物线的增减性． 6．（22-23九年级上·河北沧州·期末）如图，已知点，在二次函数的图象上，图象经过点且． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若，求顶点到直线的距离． 7．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）若，当时；当时． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)当时，y的值． 8．（24-25九年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1) （用含a的式子表示）； (2)已知点，在抛物线上，若，求出a的值； (3)已知点，，在抛物线上，比较，，的大小，并说明理由． 9．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线 (1)该抛物线的对称轴为 ； (2)若， 设点， 在该抛物线上，若 ，求m的取值范围． 10．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，，是抛物线上两点． (1)将写成的形式； (2)若，比较，的大小，并说明理由． 【经典计算题三 的最值】 1．（24-25九年级下·江苏南京·期中）已知二次函数（是常数） (1)若， ①该函数的顶点坐标为___________； ②当时，该函数的最大值___________； ③当时，该函数的最大值为___________； (2)当时，该函数的最大值为4，则常数的值为___________． 2．（22-23九年级上·山东济南·期末）已知二次函数有最小值为0，求m的值． 3．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若当时，的最小值是，求当时，的最大值； 4．（24-25九年级上·广西梧州·期中）求二次函数的最小值． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数，当时，求y的最大值和最小值． 6．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数，当时，求y的最大值与最小值之差． 7．（23-24九年级下·江苏淮安·阶段练习）已知二次函数（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； (2)当时，y的最小值为；当时，y的最小值为3，求二次函数的表达式； (3)点，，在二次函数的图象上，当时，结合函数图象，求m的取值范围． 8．（24-25九年级下·湖南岳阳·开学考试）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数 M，对于任意的函数值y ，都满足 ，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的 M 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数 是有上界函数，其上确界是 2 ． (1)函数① 和② 中是有上界函数的为 （只填序号即可）， 其上确界为 ； (2)若反比例函数的上确界是 ，且该函数的最小值为 2 ，求 a、b的值； (3)如果函数是以 6 为上确界的有上界函数，且满足，求实数a的值． 9．（2025·浙江杭州·二模）二次函数的图象与x轴交于点，且． (1)当，且时， ①求b，c的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为10，求t的值； (2)若，求的最小值． 10．（2025·山东临沂·二模）已知抛物线． (1)求该二次函数图象与x轴的交点坐标及对称轴； (2)若该二次函数的图象过点，，且，，求n的值； (3)若当时，该函数的最小值为-8，求a的值． 【经典计算题四 已知二次函数的函数值求自变量的值】 1．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）已知函数．当时，记的最小值为． (1)求的表达式； (2)是否存在，使得？若存在，求出；若不存在，请说明理由． 2．（24-25九年级上·全国·阶段练习）已知抛物线经过点． (1)求抛物线的函数表达式，并判断点是否在该抛物线上． (2)若点在该抛物线上，求m的值． 3．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）二次函数的经过点、． (1)求该函数的表达式； (2)若点，也在函数的图象上，求、的值． 4．（24-25九年级上·广东珠海·阶段练习）若抛物线与x轴的两个交点为和，且过点， (1)求抛物线的解析式； (2)求出这条抛物线上纵坐标为的点的坐标． 5．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点在该函数图象上，求点的坐标． 6．（23-24九年级上·四川泸州·期中）若函数是以x为自变量的二次函数． (1)求k的值； (2)当函数值时，求自变量x的值． 7．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，求自变量的值． 8．（23-24九年级上·广东潮州·期中）已知抛物线与x轴交于点A和点B，且点A在点B的左侧． (1)求点A和点B的坐标． (2)若点P为x轴上方抛物线上的一点，且，求点P的坐标． 9．（22-23九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，杭州亚运会上某运动员站在点O处练习发排球，将球从O点正上的A点处发出，把球看成点，其运行的路线近似看作是抛物线的一部分．已知球与O点的水平距离为时，达到最高，球场的边界距O点的水平距离为． (1)请确定排球运行的高度与运行的水平距离满足的函数关系式； (2)请判断排球第一次落地是否出界？请通过计算说明理由． 10．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）已知二次函数中，函数与的部分对应值如下表： … … … … (1)求二次函数的解析式． (2)填空：______，______ 【经典计算题五 抛物线与x轴的交点问题】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数 (1)函数图象过，，求b、c的值 (2)若，是否存在实数x，使得相应的y的值为1，请说明理由； (3)若，y在上的最小值是，求b的值． 2．（24-25九年级上·吉林·期中）如图：在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴的两个交点分别为，点P是抛物线上一点，其横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是________________； (3)将抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点）记为图象G，设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的值． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）二次函数的图象如图，根据图象解答下列问题： (1)方程的两个根为___________； (2)若，则自变量的取值范围为___________； (3)若方程有两个不相等的实数根，的取值范围是___________． 4．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）已知抛物线与轴有两个不同的交点，试求的取值范围． 5．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知二次函数．求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点． 6．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知抛物线与轴只有一个交点，求该交点的坐标． 7．（2025·广东广州·模拟预测）已知抛物线与轴有两个不同的交点， (1)求的取值范围． (2)若为正整数，化简并求值：． 8．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知二次函数（m为常数）． (1)求二次函数的图象与x轴的公共点的个数； (2)若点在二次函数的图象上，求二次函数的表达式． 9．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）抛物线与x轴交于，两点，且．求的值． 10．（25-26九年级上·全国·周测）已知二次函数． (1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点． (2)当m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？ 【经典计算题六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 1．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）已知抛物线经过点，且． (1)求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）； (2)证明：直线与该抛物线有两个不同的交点． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知抛物线的表达式为，且抛物线经过，，三点，直线的表达式为． (1)求抛物线的表达式． (2)求证：抛物线与直线无公共点． (3)若与直线平行的直线与抛物线只有一个公共点，求点的坐标． 3．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）已知二次函数的图象过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)已知二次函数与直线交于点，，请结合图象直接写出方程的解． 4．（23-24九年级上·天津西青·期中）已知关于的一元二次方程．    (1)若方程有实数根，求的取值范围． (2)已知二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，利用图象解答下列各题：    (1)方程的根是________； (2)方程的根是________； (3)方程的根是________； (4)方程的根是________； (5)方程的根的情况怎样？ 6．（22-23九年级·全国·假期作业）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)点B的坐标为 ； (2)y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为 ； (3)方程的两个根为 ． 7．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： (1)写出方程的解为___________，___________； (2)当时，直接写出的取值范围为___________； (3)当时，直接写出的取值范围是___________． 8．（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）二次函数的图像如图所示，根据图像解答下列问题： (1)写出方程的两个根； (2)当为何值时，，又为何值时，？ 9．（23-24九年级上·四川广安·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，图象顶点为，与轴的一个交点，则： (1)方程的根是 ______________； (2)不等式的解集是___________； (3)若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 10．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题： (1)方程的两个根为______，______； (2)当时，则的取值范围为______；当时，自变量的取值范围为______； (3)若方程有实数根，取值范围是______． 【经典计算题七 求x轴与抛物线的截线长】 1．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 2．（23-24九年级上·吉林松原·期中）已知抛物线，若抛物线与轴的两个交点为A，，求线段的长． 3．（23-24九年级上·天津·期中）已知二次函数． （1）如果二次函数的图象与轴有两个交点，求的取值范围； （2）若抛物线在轴上截得的线段长为，求的值． 4．（22-23九年级上·广东东莞·阶段练习）已知抛物线． (1)求出它的顶点坐标和对称轴； (2)若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，抛物线， （1）求证：不论k取何值时，抛物线与x轴总有两个交点； （2）若已知抛物线与x轴有一个交点A（1，0），另一交点B，求k的值及线段AB的长． 6．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）已知二次函数的图象经过点、、，且与x轴交于A、B两点． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)判断点是否在这个二次函数的图象上，如果在，请求出的面积；如果不在，请说明理由． 7．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）  如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）．    (1)若为二次函数的图象上一点，求的值； (2)求的长． 8．（22-23九年级上·江西上饶·阶段练习）（1）解方程：； （2）已知抛物线在轴上所截线段的长为4，顶点坐标为，求此抛物线的解析式． 9．（2023·湖南永州·一模）如图，若对于函数，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点．请回答下列问题； (1)图象的对称轴，顶点坐标各是什么？ (2)若P为二次函数图象上一点，且，求点P的坐标． 10．（22-23九年级上·天津宝坻·期中）已知二次函数． (1)如果二次函数与x轴有一个交点，求a的值． (2)若抛物线在x轴截得的线段长为3，求a的值． 【经典计算题八 图象法确定一元二次方程的近似根】 1．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）已知二次函数中函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 3 … y … 9 21 9 … 根据表格填空： (1)该函数图象的开口方向________，对称轴为________； (2)方程的正根的范围为________； (3)不等式解集是________． 2．（23-24九年级上·广西贺州·期中）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题 (1)写出方程的两个根； (2)写出不等式的解集 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）画出二次函数的图象． （1）利用图象求方程的近似很（结果精确到）； （2）设该抛物线的顶点为M，它与直线y=－3的两个交点分别为C、D，求△MCD的面积． 4．（22-23九年级上·北京朝阳·期末）可以用如下方法估计方程的解： 当x=2时，=-2<0， 当x=-5时，=5>0， 所以方程有一个根在-5和2之间． （1）参考上面的方法，找到方程的另一个根在哪两个连续整数之间； （2）若方程有一个根在0和1之间，求c的取值范围． 5．（23-24九年级上·全国·单元测试）利用函数图象求出一元二次方程的近似根，也可以在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象，根据两个图象交点的横坐标找出一元二次方程的近似根，请试一试． 6．（23-24九年级下·全国·课后作业）利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 7．（24-25九年级上·福建厦门·期中）我们可以通过下列步骤估计方程x2﹣2x﹣2=0方程的根所在的范围． 第一步：画出函数y=x2﹣2x﹣2=0的图象，发现函数图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在0，﹣1之间． 第二步：因为当x=0时，y=﹣2＜0，当x=﹣1时，y=1＞0， 所以可确定方程x2﹣2x﹣2=0的一个根x1所在的范围是﹣1＜x1＜0 第三步：通过取0和﹣1的平均数缩小x1所在的范围： 取x=，因为当x=对，y＜0．又因为当x=﹣1时，y＞0，所以 （1）请仿照第二步，通过运算验证方程x2﹣2x﹣2=0的另一个根x2所在的范围是2＜x2＜3 （2）在2＜x2＜3的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在的范围缩小至a＜x2＜b，使得． 8．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数 （a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 3 4 … y … 0 4 m 0 … (1)直接写出m的值，并求该二次函数的解析式； (2)当时，求函数值y的取值范围． (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围． 9．（24-25九年级上·北京通州·期末）有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 嘉瑶根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是嘉瑶的探究过程，请补充完整： （1）函数的图象与轴 交点；（填写“有”或“无”） （2）下表是y与x的几组对应值： x … … y … n … 则n的值为 ； （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，嘉瑶描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助嘉瑶画出该函数的大致图象； （4）请你根据探究二次函数与一元二次方程关系的经验，结合图象直接写出方程的根约为 ．（结果精确到0.1） 10．（2023九年级上·全国·专题练习）利用二次函数的图象，求下列一元二次方程的近似根． （1）； （2）； （3）； （4）． 【经典计算题九 图象法解一元二次不等式】 1．（24-25九年级上·广西梧州·阶段练习）小明想用描点法画抛物线． (1)请帮小明完成下面的表格，并根据表中数据在所给的图平面直角坐标系中画出此抛物线； x ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 0 0 ．．． (2)当时，请观察函数图像，直接写出的取值范围 2．（22-23九年级上·河南周口·阶段练习）函数的图象如图，那么： 方程的根是 　　　； 不等式的解集是 　　　； 不等式的解集是 　　　． 3．（23-24九年级上·天津·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数的解析式． (2)求该二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标； (3)观察图象，直接写出不等式的解集． 4．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知二次函数y=x2﹣4x+3． （1）用配方法求出顶点坐标； （2）求该二次函数与坐标轴的交点坐标； （3）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线y＝x2-2x-3的图象如图所示． （1）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标； （2）根据图象回答：当x取何值时，y＞0？当x取何值时，y＜0？ 6．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）已知y是x的函数，下表中给出了几组x、y的对应值： x … 0 1 5 … y … 3 m 0 3 … (1)建立直角坐标系，以表中各对对应值为坐标描出各点，用平滑曲线顺次连接，由图象可知，它是我们学过的哪类函数？求出函数表达式，并直接写出m的值； (2)结合图象回答问题：当x的取值范围是____________时，． 7．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，二次函数经过点，． (1)求该二次函数的解析式； (2)利用图象的特点填空： ①当________时，方程； ②不等式的解集为________． 8．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知二次函数经过点和点，    (1)求该二次函数的解析式； (2)如图，若一次函数经过B、C两点，直接写出不等式的解； (3)点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求的面积． 9．（24-25九年级上·广东东莞·期中）已知二次函数 (1)如果二次函数的图象与x轴交于点B、C，其中点，则___________，B（___________，___________）； (2)如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点A，抛物线的对称轴上有一动点P，是否存在一点P使最短？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围． 10．（22-23九年级上·广西河池·期中）如图，抛物线与轴、轴分别交于两点． (1)求两点的坐标； (2)直线经过两点．若，观察图像，直接写出的取值范围． 【经典计算题十 利用不等式求自变量或函数值的范围】 1．（24-25九年级上·浙江·期中）已知二次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象． (2)根据图象，直接写出当时自变量的取值范围． 2．（22-23九年级上·广东汕头·期末）抛物线与y轴交于点)． (1)求的值及抛物线与轴的交点坐标； (2)直接写出：当取什么值时，抛物线在轴下方？ 3．（22-23九年级上·湖北黄冈·期中）已知二次函数． (1)求函数图象的顶点坐标，当函数值y为正数时，自变量x的取值范围； (2)当时，求函数值y的取值范围． 4．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标； (3)当时，二次函数值的取值范围是 ． 5．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标是，且过点． (1)求二次函数关系式； (2)二次函数图象与y轴交点坐标是___________； (3)当时，y的取值范围是___________． 6．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，已知抛物线的对称轴为，请你解答下列问题： (1) ，抛物线与x轴的交点为 ． (2)x取什么值时，y的值随x的增大而减小？ (3)x取什么值时，． 7．（2025·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，已知，，，是抛物线上的四个点，且任意两点都不重合． (1)直接写出抛物线与轴的交点坐标（可用含的代数式表示）； (2)将抛物线在点，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，并将抛物线在，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，若，求的取值范围． 8．（2025·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两个点，且总成立，求的取值范围． 9．（2023·浙江·模拟预测）已知函数． (1)若，求对应x值； (2)若，求对应x的取值范围． 10．（22-23九年级上·湖北荆门·期中）如图，利用函数的图象，直接回答： (1)方程的解是___________； (2)当x___________时，y随x的增大而减小； (3)当x满足___________时，函数值大于0； (4)当时，y的取值范围是___________． 【经典计算题十一 根据交点确定不等式的解集】 1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知二次函数，在直角坐标系中画出它的图象，并根据图象，写出时，自变量的取值范围． 2．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，直线和抛物线交于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)求不等式的解集（直接写出答案）． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线过点和点．抛物线的对称轴为直线． (1)当时，比较的大小； (2)已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 4．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）如图，抛物线与直线相交于和，    (1)求和的值，及抛物线的解析式： (2)结合图象直接写出不等式的解集． 5．（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数（a为常数）． (1)求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点； (2)该函数图象必过两个定点，它们的坐标分别为 、 ； (3)当时，，直接写出a的取值范围． 6．（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）二次函数的图象如图所示，    根据图象解答下列问题： (1)写出方程的两个根； (2)写出不等式的解集； 7．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，过，两点的直线． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标为 ； (2)当时，函数值的取值范围； (3)当时，自变量的取值范围． 8．（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知二次函数图象经过点和 ． (1)求该二次函数的表达式及图象的对称轴． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 9．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出函数的顶点坐标； (2)写出方程的两个根； (3)写出不等式的解集． 10．（24-25九年级下·浙江杭州·开学考试）已知二次函数经过点和点． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，请直接写出x的取值范围． 【经典计算题十二 由反比例函数值求自变量】 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知y与x成反比例关系，并且当时，． (1)写出y与x之间的函数关系式． (2)分别求出当时y的值以及当时，x的值． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）经过实验获得两个变量（），（）的一组对应值如下表： x 1 2 3 4 5 6 y 6 2.9 2.1 1.5 1.2 1 (1)画出相应函数的图象． (2)求这个函数的表达式． (3)求当时，x的值． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知是的正比例函数，是的反比例函数．且当时，；当时，．求关于的函数关系式． 4．（2025九年级下·全国·专题练习）已知与成反比例，当时，． (1)求y与x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 5．（23-24九年级上·吉林·期末）已知是的反比例函数，并且时，． (1)求这个反比例函数的解析式． (2)若此反比例函数的图象经过点，求的值． 6．（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点和点． (1)求该反比例函数的解析式和a的值． (2)若点A先向左平移个单位长度，再向下平移m个单位长度得到点，点仍落在该反比例函数的图象上，如图所示，求m的值． 7．（2025·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交点是． (1)求n和k的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出m的取值范围． 8．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)连接，直接写出的面积． 9．（2024·浙江宁波·模拟预测）科学课中，同学们用如图电路做《探究电流与电压、电阻的关系》的实验，采用控制变量法，发现当U（V）一定时，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数关系．小甬所在小组控制电压不变，测得当电阻时，电流． (1)求I与R的函数关系式． (2)调节变阻器，测得电流为，求此时电阻的值． 10．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）已知 (1)化简Q． (2)若点在反比例函数的图象上，求Q的值． 【经典计算题十三 已知反比例函数的图象，判断其解析式】 1. （24-25九年级下·全国·单元测试）已知反比例函数． 求： （1）关于的函数解析式； （2）当时函数的值． 2．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）图所示曲线是反比例函数的图像的一支． (1)这个反比例函数图像的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ (2)若一次函数的图像与反比例函数图像交于点A，与x轴交于点B，的面积为2，求n的值． 3．（22-23九年级上·安徽·开学考试）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作为的整数）．反比例函数的图象为曲线．    (1)若过点，求反比例函数的解析式； (2)若过点，则它必定还过另一点，求的坐标； (3)若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，求出所有满足条件的整数． 4．（22-23九年级上·四川巴中·阶段练习）反比例函数和一次函数的图象如图所示，化简： 5．（2023·江苏常州·一模）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，点B的坐标为（4，﹣2），反比例函数y（x＞0）的图象经过AB的中点D，交BC于点E． (1)求k的值； (2)若F是OC上一点，且△AFE的面积为3，求直线EF的函数表达式． 6．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于第一、三象限内的、两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，，，点的纵坐标为4． （1）求反比例函数和一次函数的函数表达式； （2）连接，求四边形的面积； （3）在（1）的条件下，根据图像直接写出反比例函数的值小于一次函数的值时，自变量的取值范围． 7．（24-25八年级下·北京东城·期末）有这样一个问题:探究函数的图象与性质. 小亮根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小亮的探究过程，请补充完整: (1)函数中自变量x的取值范围是_________. (2)下表是y与x的几组对应值. x … -3 -2 -1 0 2 3 4 5 … y … - - -4 -5 -7 m -1 -2 - - … 求m的值； (3)在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； (4)根据画出的函数图象，发现下列特征:该函数的图象与直线x=1越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线_________越来越靠近而永不相交. 8．（2024·江苏·一模）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求该反比例函数的表达式． （2）当气体体积为1m3时，气球内气体的气压是多少？ （3）当气球内的气压大于200kPa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球内气体的体积应不小于多少？ 9．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数y＝的图象于点B，AB＝.求反比例函数的解析式． 10．（24-25九年级下·全国·单元测试）已知函数的图象是双曲线．   求的值； 若该函数的图象经过第二、四象限，求函数的表达式． 【经典计算题十四 已知反比例函数的增减性求参数】 1．（23-24九年级上·吉林·期中）已知反比例函数（为常数）． (1)若函数图象经过点，求的值； (2)若时，随的增大而减小，求的取值范围． 2．（23-24九年级上·湖南益阳·阶段练习）函数是反比例函数，且当时，y随x的增大而减小，求m的值 3．（2024·浙江湖州·一模）已知一辆货车上装有20吨货物，货车到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）． （1）求v关于t的函数表达式． （2）若要求不超过4小时卸完车上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？ 4．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）已知反比例函数的图像经过第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限内的两点、且，直接写出的取值范围． 5．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知反比例函数的图象，当时，y随x的增大而增大，求k的取值范围． 6．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）已知反比例函数（为常数，且）的图象在每个象限内随的增大而增大，求的取值范围． 7．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知点在反比例函数的图象上． (1)求的值： (2)当时，求的取值范围． 8．（24-25九年级上·吉林·期中）已知反比例函数（a为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； (2)当时，y随x的增大而减小，求a的取值范围． 9．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系中，画出反比例函数的图象，并写出当时，y的取值范围. 10．（2024·甘肃庆阳·二模）已知函数，它的图象犹如老师的打钩，因此人们称它为对钩函数（的一支）．下表是y与x的几组对应值． x … 1 2 3 4 … y … 2 … 请你根据学习函数的经验，利用上述表格中所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行探究． （1）如图，在平面直角坐标系中，已描出了上表中各组对应值在坐标上的点，请根据描出的点，画出该函数的图象． （2）请根据图象写出该函数的一条性质：________________________________． （3）当时，y的取值范围为，则a的取值范围为________． 【经典计算题十五 比较反比例函数值或自变量的大小】 1．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求反比例函数的的取值范围． 2．（23-24九年级上·广东东莞·期末）已知是的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)若，，，是，，，分别是2，8，，时的函数值，请比较大小： ， （填“”“”或“”）； (3)若，分别是，的函数值，当时，比较与的大小关系． 3．（23-24八年级下·河南周口·期中）已知反比例函数的图象经过第一、三象限． (1)求的取值范围． (2)若，此函数的图象经过，两点，且，求的取值范围． 4．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过作轴的垂线，垂足为，且的面积为1． (1)求m和k的值； (2)若点也在这个函数的图象上，当时，求y取值范围 5．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知反比例函数，其函数图象位于第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若点是该反比例函数图象上的两点，试比较的大小． 6．（23-24九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知函数为反比例函数． (1)求k的值； (2)求出时，y的取值范围． 7．（24-25八年级下·浙江·期末）已知，是反比例函数图象上的两点． (1)若，，求的值． (2)若，关于原点中心对称，求的值． (3)当，，时，求的取值范围． 8．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）平面直角坐标系中，直线与双曲线的一个交点为． (1)求k的值； (2)分别是该双曲线上的两点，直接写出当时，n的取值范围． 9．（2025·广东·二模）【阅读材料】给出如下定义：在平面直角坐标系中，点的纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横差”．在某范围内某函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为；当时，的最大值为，所以函数（）的“纵横极差”为． 【问题解决】根据阅读材料中的定义，解答下列问题： (1)求点的“纵横差”； (2)求函数的“纵横极差”； (3)若为实数，函数的“纵横极差”为，求的值． 10．（2025·湖北·二模）如图，点、在反比例函数的图象上，轴，轴，垂足分别为、，与相交于点． (1)由图象直接写出、的大小关系，并通过计算加以验证； (2)若四边形的面积为2，求的值． 【经典计算题十六 已知比例系数求特殊图形的面积】 1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点 是反比例函数 的图象上一点，过点作轴，垂足为点 ，线段交反比例函数 的图象于点，求的面积． 2．（23-24九年级上·吉林长春·期末）在反比例函数的图象上有不重合的两点、，点的纵坐标为2． (1)求点的横坐标； (2)过点向轴作垂线，垂足是，试求． 3．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，矩形的边在x轴上，顶点A在双曲线上，顶点B在双曲线上，求矩形的面积．    4．（22-23八年级上·上海松江·阶段练习）已知反比例函数的图像在第一象限内经过点A、B，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别P、Q，过点B作垂直于x轴，垂足为点H，若，，求这个反比例函数的解析式和的面积． 5．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，P是y轴正半轴上的一点，过点P作直线AB//x轴，分别与双曲线y＝﹣（x＜0）、y＝（x＞0）相交于点A、B，连接OA、OB，求△AOB的面积． 6．（22-23九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点B在函数y1＝（x＞0）的图象上，边AB与函数y2＝（x＞0）的图象交于点D．求四边形ODBC的面积． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，过反比例函数的图象上任意两点A、B，分别作轴的垂线，垂足为，连接OA，OB，与OB的交点为P，记△AOP与梯形的面积分别为，试比较的大小． 8．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，过点P作轴交反比例函数的图象于点M，作轴交反比例函数的图象于点N，连接． (1)求k的值； (2)求的面积． 9．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，点在轴的正半轴上，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交轴于点，记四边形的面积为． (1)若点的纵坐标为2，求的值； (2)求证：无论点在轴正半轴的何处，的值不变． 10．（2024九年级·全国·竞赛）如图，过反比例函数图象上的点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点． (1)求四边形周长的最小值，并求出此时点的坐标； (2)过点右边的另一点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点，如果点的横坐标分别为，试比较四边形与四边形周长的大小． 【经典计算题十七 根据图形面积求比例系数（解析式）】 1．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）反比例函数在第一象限的图象，如图，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，连接，若，求k的值． 2．（2024·四川绵阳·二模）如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，，求点所在的反比例函数解析式． 3．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值． 4．（23-24九年级上·湖南郴州·期中）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，且的面积为3． (1)试求的值； (2)若，点的坐标． 5．（22-23八年级·上海·假期作业）反比例函数的图像经过点，过点A作轴于点B，的面积为，求k和m的值． 6．（2024·广西百色·一模）如图，点A，B关于y轴对称，S△AOB＝8，点A在双曲线y＝，求k的值． 7．（24-25九年级上·广西贺州·期末）如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，若△OAB的面积为2，求该反比例函数的解析式． 8．（23-24九年级上·河南·期末）如图，在反比例函数图象上取点，过点作轴于点，点在轴上，的面积为． (1)求反比例函数的解析式； (2)若，点在该反比例函数的图象上，求的面积． 9．（2023九年级上·全国·专题练习）（1）若P是反比例函数图像上的一点，轴，垂足为点Q，若，求k的值； （2）已知反比例函数的图像上有一点A，过A点向轴，y轴分别作垂线，垂足分别为点，且四边形的面积为15，求这个反比例函数解析式． 10．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足为B，． (1)求k的值： (2)点C在这个反比例函数图像上，且，求OC的长． 【经典计算题十八 求反比例函数解析式】 1．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段练习）已知，与成正比例，与成反比例，并且当时，，当时，，求关于的函数关系式． 2．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知反比例函数的图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大． (1)求k的取值范围； (2)若点在该函数的图象上，求k的值． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）已知 与x 成反比例．当 时，；当 时，． (1)求y与x的函数表达式； (2)当时，求 y的值． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）已知函数 ，与x成反比例关系， 与 成反比例关系．当 时， ，当 时， 求y关于x的函数表达式． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，的取值范围． 6．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）已知反比例函数的图象经过点． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)点，在这个函数的图象上吗？ 7．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图所示的曲线表示温度与时间之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支，过点． (1)求该曲线对应的函数解析式； (2)若，直接写出自变量的取值范围． 8．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与轴交于点，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点． (1)求的值和这个反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出的取值范围． 9．（2025九年级下·江西·专题练习）如图，点，在反比例函数 的图象上，轴于点 C， 于点 D． (1)若，求直线的解析式； (2)若的面积为4，求 k的值． 10．（2025·江苏苏州·三模）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标． 【经典计算题十九 一次函数与反比例函数的交点问题】 1．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，已知直线与反比例函数的图象相交于点，并且与轴相交于点B． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 2．（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点、两点． (1)求一次函数的表达式； (2)连接并延长交反比例函数的图象于点，连接，求的面积． 3．（24-25九年级下·全国·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出在第一象限内，一次函数大于反比例函数y=的x的取值范围． 4．（24-25九年级上·贵州黔西·期末）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 5．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，正比例函数（常数）的图象与反比例函数（常数）的图象交于A、B两点，且点A的坐标为． (1)求反比例函数表达式，并直接写出点B的坐标． (2)根据函数图象，直接写出满足方程的x的值． 6．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． (1)分别求出反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)若点是轴上的一动点，当时，求点的坐标． 7．（2025·全国·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象都经过点． (1)求点A的坐标及反比例函数的解析式； (2)结合图象写出在第一象限内时的x的取值范围． 8．（24-25九年级下·四川自贡·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与轴，轴分别交于、两点，点，点为线段的中点，连接、． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点为线段上一动点（不与点、重合），过点作直线，使得，交于点．若与的面积比为，求点的坐标． 9．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接、． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 10．（2025·贵州·二模）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． (1)求这个反比例函数的表达式及的值； (2)观察图象，直接写出关于的不等式的解集． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.8 二次函数与反比例函数190道计算题专项训练（19大题型） 题型一 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型二 根据二次函数的对称性求函数值 题型三 的最值 题型四 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型五 抛物线与x轴的交点问题 题型六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型七 求x轴与抛物线的截线长 题型八 图象法确定一元二次方程的近似根 题型九 图象法解一元二次不等式 题型十 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型十一 根据交点确定不等式的解集 题型十二 由反比例函数值求自变量 题型十三 已知反比例函数的图象，判断其解析式 题型十四 已知反比例函数的增减性求参数 题型十五 比较反比例函数值或自变量的大小 题型十六 已知比例系数求特殊图形的面积 题型十七 根据图形面积求比例系数（解析式） 题型十八 求反比例函数解析式 题型十九 一次函数与反比例函数的交点问题 【经典计算题一 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 1．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数在和时的函数值相等，求a的值． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．先求出抛物线的对称轴是直线，计算即可求出答案. 【详解】解：二次函数在和时函数值相等， 对称轴为直线， ， 解得． 2．（23-24九年级上·甘肃陇南·阶段练习）在二次函数 (a，b，c是常数)中，列表表示几组自变量x与函数值y的对应值： x … 0 1 2 … y＝ax2＋bx＋c … m 0 3 n 3 … (1)根据以上信息，可得该二次函数的图象开口向_______，对称轴为_______； (2)求的值． 【答案】(1)下，直线 (2)9 【分析】（1）观察表格中的数据，得到和时，y值相等都为3，且时，，可得出抛物线开口方向及对称轴； （2）把三点坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值确定出解析式，进而求出m与n的值即可． 【详解】（1）解：根据表格信息，得到和时，y值相等都为3，且时，， 可知抛物线开口向下，对称轴为直线； 故答案为：下，直线； （2）解：把代入得： ， 解得： ， ∴抛物线解析式为， 当时，， 当时，， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知抛物线经过点，． (1)求该抛物线的对称轴． (2)自变量在什么范围内时，随的增大而减小？ 【答案】(1)直线 (2)时，随的增大而减小 【分析】（1）根据抛物线的对称性以及抛物线与坐标轴的交点，即可求解； （2）根据抛物线开口向上，对称轴为直线，可得时，随的增大而减小，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线，，开口向上， 则时，随的增大而减小 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）根据下列条件，分别求出对应的二次函数表达式： (1)已知图象的顶点在坐标原点，且图象经过点； (2)已知抛物线经过点，； (3)点，在同一条抛物线上，与y轴交点的纵坐标为9，且经过点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可设二次函数表达式为，把代入，即可求解； （2）把点，代入，即可求解； （3）设二次函数表达式为，根据题意可得，解出即可． 【详解】（1）解：∵图象的顶点在坐标原点， ∴可设二次函数表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴二次函数表达式为； （2）解：把点，代入，得： ，解得：， ∴二次函数表达式为； （3）解：设二次函数表达式为， ∵点，在同一条抛物线上， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵与y轴交点的纵坐标为9， ∴， 又∵二次函数图象经过点， ∴，解得：， ∴二次函数表达式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 5．（22-23九年级上·广东东莞·期中）已知二次函数的图象与x轴交于，函数的最大值为5， (1)求这个二次函数的对称轴； (2)求这个二次函数的解析式． 【答案】(1)对称轴为直线 (2) 【分析】（1）根据二次函数与x轴交于，即可求得对称轴， （2）根据题意设，将顶点坐标代入即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数与x轴交于， ∴这个二次函数的对称轴为直线； （2）解：对称轴为直线，函数的最大值为， ∴顶点坐标为， ∵二次函数与x轴交于， 设，将代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为， 即． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，求得对称轴是解题的关键． 6．（24-25九年级上·北京平谷·期末）如图，二次函数的图象过点A（0，3），B（2，3），C（-1，0）则 （1）该抛物线的对称轴为_________； （2）该抛物线与x轴的另一个交点为_______； （3）求该抛物线的表达式． 【答案】（1）x=1；（2）（3，0）；（3） 【分析】（1）根据坐标即可确定对称轴，根据函数值相等即可确定对称轴； （2）根据对称轴以及C点的坐标即可确定另一个交点； （3）根据待定系数法求解析式即可． 【详解】（1） A（0，3），B（2，3） 该抛物线的对称轴为x=1 故答案为： （2），对称轴为 该抛物线与x轴的另一个交点为（3,0）; 故答案为：（3,0） （3）∵抛物线过点（0,3）、（-1,0）、（2,3） 设二次函数的解析式为 由题意得， 解得， ∴ 【点睛】本题考查了根据二次函数的对称性求对称轴，根据对称轴求与轴的交点问题，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键． 7．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，点是抛物线上任意一点． (1)若，求该抛物线的对称轴； (2)已知点在该抛物线上，若存在，恰好使．比较的大小，并说明理由． 【答案】(1)直线 (2)，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据抛物线的增减性求解． （1）把点代入求得，即可根据对称轴公式求得答案； （2）根据各点到对称轴的距离判断y值大小． 【详解】（1）解：，，点是抛物线上任意一点， 抛物线过点， 即， 抛物线对称轴为直线，即该抛物线的对称轴为直线； （2）理由如下： 设抛物线对称轴为直线则抛物线上点关于对称轴的对称点为， 存在，恰好使， ， 抛物线开口向下， 在对称轴的左侧y随x增大而增大． 又关于对称轴的对称点为且， 点，，都在对称轴左侧，且 8．（24-25九年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，，为抛物线上任意两点，其中，设抛物线的对称轴为直线． (1)若，，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意，将，代入解析式，得，从而得到，即可求解； （2）根据题意，，连线的中垂线与轴的交点坐标大于，根据二次函数的性质即可判断． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： 当时，都有 ， ∴满足条件的值为：． 9．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若点，也在抛物线上，请通过计算比较，的大小． 【答案】(1)直线 (2)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查二次函九图像与性质， （1）将点代入得出的关系与的关系，即可得出结论； （2）分，，三种情况讨论即可； 掌握二次函数的增减性及分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线； （2）∵， ∴抛物线的图像开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越近其函数值越小， 当时，， 此时点与点关于直线对称， ∴； 当时，点离直线更近，则； 当时，点离直线更近，则； 综上所述，当时，；当时，；当时，． 10．（24-25九年级上·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线经过点． (1)当时，若，则a的值为 ； (2)若对于任意的都满足，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，掌握二次函数图像和性质，数形结合是解答本题的关键． （1）当时，抛物线经过点，若，即点和点关于的对称轴对称，则，即可求解； （2）分两种情况结合图形，即可求解． 【详解】（1）解：当时，抛物线经过点， 若，即点和点关于的对称轴对称， ∴， 解得， 故答案为： （2）∵对于任意的都满足，抛物线对称轴为直线， ∴点A，B，C存在如下情况： 情况1，如示意图，当时，可知， ∴， 解得. 情况2，如示意图，当时，可知， ∴， ∴，解得. 综上所述，或. 【经典计算题二 根据二次函数的对称性求函数值】 1．（23-24九年级上·陕西安康·期末）二次函数中的自变量x和函数值y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 10 3 m … (1)这个二次函数的对称轴是直线________； (2)m的值为________； (3)当时，y的取值范围为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）根据表中x、y的对应值可知，与时y的值相等，所以此两点关于抛物线的对称轴对称，由中点坐标公式即可得出对称轴的直线方程； （2）根据抛物线的对称性求得即可； （3）根据表格中数据即可得出结论． 【详解】（1）解：∵由表中x、y的对应值可知，当与时y的值相等 ∴对称轴是直线 故答案为：； （2）解：∵点关于直线的对称点为 ∴， 故答案为：； （3）解：由表格数据可知，y随x的增大先减小后增大， ∴抛物线开口向上， 又对称轴是直线 ∴当时， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 m 12 … (1)在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该图象的一条性质； (2)的值为______； (3)求这个二次函数的解析式. 【答案】(1)见解析，性质：对称轴为直线（答案不唯一） (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，求二次函数解析式，画二次函数图象，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据题意画出函数图象，根据图象写出一条性质即可； （2）根据抛物线的对称性可知当时和当时的函数值相同，则和时函数值相等解题即可； （3）根据顶点坐标，利用待定系数法求解即可； 【详解】（1）解：这个函数的图象如图所示： 性质为：对称轴为直线； （2）解：∵对称轴为， ∴当和时函数值相等，根据表格可得， 故答案为：； （3）设函数解析式为， 把代入得， 解得， ∴． 3．（23-24九年级上·北京通州·期中）已知二次函数在和时的函数值相等． (1)求二次函数图像的对称轴； (2)过作x轴的平行线与二次函数的图像交于不同的两点M、N．当时，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据对称轴为对称点横坐标和的一半计算即可． (2)设，，根据对称轴为直线，，得到，求得值后，利用对称轴和点的坐标计算即可； 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）∵二次函数在和时函数值相等， ∴对称轴为直线． （2）∵过作x轴的平行线与二次函数的图像交于不同的两点M、N， 设点M在点N的左侧，设，， ∵对称轴为直线，， ∴， 解得， ∴点M的坐标为，点N的坐标为 ∴，， ∴，． 4．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知二次函数，函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 4 1 0 m n …    (1)m=___________，n=___________，顶点坐标为___________． (2)在图中画出二次函数的图像． (3)当x___________时，y随x增大而减小，当x___________时，y随x增大而增大． 【答案】(1)，， (2)图像见解析 (3)； 【分析】（1）将，分别代入即可得到、的值，然后根据二次函数的顶点式得出顶点坐标； （2）用描点法画出二次函数的图像即可； （3）由二次函数的解析式可知，对称轴为直线：，然后根据图像利用二次函数的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，，即， 由二次函数得，顶点坐标为：， 故答案为：，，； （2）如图，    （3）观察问题（2）图像可知： 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质、图像的画法、函数值的计算，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知抛物线的对称轴是轴． (1)求的值； (2)求出抛物线的解析式并说明抛物线的增减性． 【答案】(1) (2)当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大 【分析】（1）根据题意得，进行计算即可得； （2）根据得抛物线的解析式为，根据二次函数的性质即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是轴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的解析式为， ∴当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． 6．（22-23九年级上·河北沧州·期末）如图，已知点，在二次函数的图象上，图象经过点且． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若，求顶点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点（3，1）代入二次函数的解析式求出a即可； （2）判断出M，N关于抛物线的对称轴对称，求出点M的纵坐标，可得结论； 【详解】（1）解：将点代入中， ，解得∶， 二次函数的表达式为：； （2）解：∵， ∴二次函数图象的解析式为直线，顶点坐标为， ∵ ∴点M，N关于对称轴对称， ∴ 又， ∴，， ，即直线为：， 又二次函数的顶点坐标为， 顶点到的距离为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 7．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）若，当时；当时． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)当时，y的值． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）先将两组未知数的值代入关系式，得出关于a，b的二元一次方程组，求出解即可得出答案； （2）将代入关系式计算即可． 【详解】（1）将，；，代入，得 解得， 所以y与x之间的函数关系式为； （2）当时，． 【点睛】本题主要考查了求二次函数关系式，解二元一次方程组等，待定系数法是求函数关系式的常用方法． 8．（24-25九年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1) （用含a的式子表示）； (2)已知点，在抛物线上，若，求出a的值； (3)已知点，，在抛物线上，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要涉及到二次函数的开口方向、对称性以及增减性，熟知二次函数的基本性质是解决函数问题的关键． （1）根据二次函数的对称轴公式求解即可； （2）首先根据，得出点，关于对称轴直线对称，据此列式求解即可； （3）根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线； 故答案为：； （2）解：∵点，在抛物线上，且， ∴对称轴为直线， 由题意得，解得； （3）解：∵， ∴当时，y随x的增大而减小． ∵， ∴， ∵关于的对称点为， ∴， ∴． 9．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线 (1)该抛物线的对称轴为 ； (2)若， 设点， 在该抛物线上，若 ，求m的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)或 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴； （2）根据关于对称轴的对称点为，根据二次函数的性质确定m的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴对称轴为直线． 故答案为：直线． （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为． ∵，， ∴当时，抛物线开口向上，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小， ∴或． 10．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，，是抛物线上两点． (1)将写成的形式； (2)若，比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了配方法将二次函数一般式化为顶点式、函数值的比较等知识． （1）利用配方法进行变形即可求解； （2）当时，抛物线为，将点A、B的坐标代入求出，，问题得解． 【详解】（1）解：； （2）解：当时，抛物线为， 则，， ∴． 【经典计算题三 的最值】 1．（24-25九年级下·江苏南京·期中）已知二次函数（是常数） (1)若， ①该函数的顶点坐标为___________； ②当时，该函数的最大值___________； ③当时，该函数的最大值为___________； (2)当时，该函数的最大值为4，则常数的值为___________． 【答案】(1)①；②2；③ (2)2或． 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质并灵活应用是解题的关键． （1）根据函数表达式求最值，判断二次函数图象的增减区间，即可求解； （2）分析抛物线对称轴的不同位置判断最值并求解即可； 【详解】（1）解：当时，则二次函数 ①二次函数图像的顶点坐标为：； ②该抛物线的对称轴为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，当时，函数取得最大值为2； ∴当时，该二次函数的最大值为2； ③当时，该二次函数的最大值为． 故答案为：①；②2；③ （2）二次函数的对称轴为：，开口向下， 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：； 综上，常数m的值为或． 故答案为：或． 2．（22-23九年级上·山东济南·期末）已知二次函数有最小值为0，求m的值． 【答案】m的值为1 【分析】本题考查了解分式方程，二次函数的图象性质，结合二次函数有最小值为0，得出且，再解方程，即可作答． 【详解】解：∵有最小值0， ∴且 解得或（舍去） 经检验：是该方程的解．即m的值为1． 3．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若当时，的最小值是，求当时，的最大值； 【答案】(1)直线 (2)11 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）根据对称轴为直线代入求解即可． （2）根据二次函数的图像和性质可得出当时，，进而求出a的值，再得出当时，取的最大值，代入计算即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线： ． （2）解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵对称轴为直线， ∴当时，y有最小值， ∵当时，的最小值是， ∴当时，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵当比当离对称轴近， ∴当时，取的最大值， 此时． 4．（24-25九年级上·广西梧州·期中）求二次函数的最小值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求二次函数的最值，把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为2． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数，当时，求y的最大值和最小值． 【答案】y的最大值为6，最小值为 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值，依据题意，由二次函数为，从而当时，y取最小值为，再结合到对称轴距离越远值越大求最大值即可． 【详解】解：二次函数为， 抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，y取最小值为， 又，即到对称轴的距离比大， ∴当时，有最大值，最大值； 当时，y的最大值为6，最小值为． 6．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数，当时，求y的最大值与最小值之差． 【答案】当时，y的最大值与最小值之差为9 【分析】本题考查求二次函数的最值，根据二次函数的增减性，求出时，函数的最大值和最小值即可． 【详解】解：， 抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ， 当时，y取得最小值，此时； 当时，y取得最大值，此时． ， 当时，y的最大值与最小值之差为9． 7．（23-24九年级下·江苏淮安·阶段练习）已知二次函数（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； (2)当时，y的最小值为；当时，y的最小值为3，求二次函数的表达式； (3)点，，在二次函数的图象上，当时，结合函数图象，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键． （1）令，可得出x的两个解，且两个解不相等即可得出结论； （2）先求出对称轴为，开口向上，再得出，根据题意得出y的最小值为3时，，得出，求解即可得出答案； （3）分别求出，，，利用，得出关于m的不等式，求出m的值即可． 【详解】（1）证明：令，则． ∴，． ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根． ∴不论m为何值，该函数图象与x轴有两个不同的公共点． （2）∵， ∴对称轴为，开口向上， ∵当时，y的最小值为， ∴二次函数的顶点，即， ∴， ∵当时，y的最小值为3， ∴y的最小值为3时，， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去） ∴ ∴二次函数的表达式为； （3）解：由题意可知，， ， ， ∵， ∴，即， ∵， ∴m，，，的负数有奇数个，且， 当负数有1个时，且， ∴； 当负数有3个时，且， ∴， ∴m的取值范围为：或． 8．（24-25九年级下·湖南岳阳·开学考试）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数 M，对于任意的函数值y ，都满足 ，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的 M 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数 是有上界函数，其上确界是 2 ． (1)函数① 和② 中是有上界函数的为 （只填序号即可）， 其上确界为 ； (2)若反比例函数的上确界是 ，且该函数的最小值为 2 ，求 a、b的值； (3)如果函数是以 6 为上确界的有上界函数，且满足，求实数a的值． 【答案】(1)②；7 (2)， (3)2 【分析】本题考查新定义，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题转化为求二次函数的最大值问题是解题的关键． （1），则函数是没有上界函数；时，则函数是有上界函数，上确界为7； （2）由题意可得，则，，分别求出、即可； （3）根据，根据，，则当时，有最大值，再根据6为上确界，得，解得或(舍去)即可． 【详解】（1）解： ， ， 没有上界函数； ， ， 有上界函数，上确界为7， 故答案为：②，7； （2）解：， 当时，有最大值，当时，有最小值， ， 函数上确界是， ， 函数的最小值为2， ， ， ； （3）解：， 又∵，， 当时，有最大值， ∵6为上确界， ， 或（舍去）； ． 9．（2025·浙江杭州·二模）二次函数的图象与x轴交于点，且． (1)当，且时， ①求b，c的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为10，求t的值； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的最值． （1）①将，代入，求出b，c的值即可； ②由①得，二次函数为，可知二次函数图象的顶点坐标为，当时，，进而可得当时，，即，求出t的值即可． （2）若，则二次函数解析式为，可得，，则，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：①当，时，，， 将，代入， 得， 解得， ②由①得，二次函数解析式为， ∴二次函数图象的顶点坐标为， 当时，， ∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为10， ∴当时，， 即， 解得，（舍去）， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴，， ∴， ∴当时，取得最小值为． 10．（2025·山东临沂·二模）已知抛物线． (1)求该二次函数图象与x轴的交点坐标及对称轴； (2)若该二次函数的图象过点，，且，，求n的值； (3)若当时，该函数的最小值为-8，求a的值． 【答案】(1)与x轴的交点坐标为或，对称轴为 (2) (3)a的值为或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质的综合，抛物线与坐标轴的交点问题等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． （1）令，解方程求出x值即可得到与x轴交点坐标，根据抛物线的对称性求出对称轴即可； （2）由题可知两点在上，然后联立根据根与系数的关系求出n的值即可； （3）对a进行分类讨论，根据二次函数的增减性解答即可； 【详解】（1）解：令，则， 解得：，， ∴二次函数图象与x轴的交点坐标为或； ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵点，在直线上， 则联立两解析式得，整理得， ∵，， ∴， 解得； （3）解：当时，开口向上， 对称轴在， ∴当时，y取最小值，为， 解得； 当时，开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， 即当时，y取最小值为， 解得； 综上所述，a的值为或． 【经典计算题四 已知二次函数的函数值求自变量的值】 1．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）已知函数．当时，记的最小值为． (1)求的表达式； (2)是否存在，使得？若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（）分和两种情况解答即可； （）根据（）的结果，由列出方程解答即可求解； 本题考查了复合函数的有关问题，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：， ①当时，在时为增函数， ∴在时的最小值为； ②当时，； 综上所述，； （2）解：由（）知，当时，， ∴当时，， 由得，， 即， 整理得，， 解得或， 又∵， ∴， 即存在，使得成立． 2．（24-25九年级上·全国·阶段练习）已知抛物线经过点． (1)求抛物线的函数表达式，并判断点是否在该抛物线上． (2)若点在该抛物线上，求m的值． 【答案】(1)，在 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值，注意计算的准确性即可． （1）将点代入抛物线即可求得解析式，将点 代入抛物线即可判断点是否在抛物线上； （2）求解方程即可； 【详解】（1）解：将点代入抛物线中得：， 所以抛物线的函数表达式为：， 将点 代入抛物线中得：， ∴点在该抛物线上； （2）解：将点代入抛物线中得： ， 解得：. 3．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）二次函数的经过点、． (1)求该函数的表达式； (2)若点，也在函数的图象上，求、的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）将A与B坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，即可确定出二次函数解析式； （2）将C与D坐标代入二次函数解析式即可求出m与n的值． 【详解】（1）将点、代入得： ， 解得：， 则二次函数解析式为； （2）将，代入二次函数解析式得：， 将，代入二次函数解析式得：，即． 4．（24-25九年级上·广东珠海·阶段练习）若抛物线与x轴的两个交点为和，且过点， (1)求抛物线的解析式； (2)求出这条抛物线上纵坐标为的点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，已知函数值求自变量的值，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，代入点，求出a的值即可得出答案； （2）把代入抛物线的解析式，求出x的值，即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴的两个交点为和， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：把代入抛物线的解析式得： ， 解得：， ∴这条抛物线上纵坐标为的点的坐标为． 5．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点在该函数图象上，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)B点坐标为或． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将点代入求解即可． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 抛物线解析式为； （2）把代入得， 解得，， 点坐标为或． 6．（23-24九年级上·四川泸州·期中）若函数是以x为自变量的二次函数． (1)求k的值； (2)当函数值时，求自变量x的值． 【答案】(1)3 (2)， 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，求二次函数的自变量； （1）根据二次函数的定义得出，求出k的值即可； （2）把代入函数解析式中得出，再把代入得出，解关于x的方程即可． 解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，一般地,我们把形如 (其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数． 【详解】（1）解：依题意有， 解得：， ∴k的值为3； （2）解：把代入函数解析式中得：， 当时，， 解得：，． 7．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，求自变量的值． 【答案】(1)二次函数的表达式为； (2)或． 【分析】（）根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式； （）把函数值代入解析式，解方程即可求得． 【详解】（1）将，代入， 得：， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）当时，则， 解得或． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式． 8．（23-24九年级上·广东潮州·期中）已知抛物线与x轴交于点A和点B，且点A在点B的左侧． (1)求点A和点B的坐标． (2)若点P为x轴上方抛物线上的一点，且，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）令，得，解出x即可求出点A和点B坐标； （2）根据求出，代入抛物线解析式求出对应的x的值即可． 【详解】（1）解：令，得， 解得，， 点A在点B的左侧， ，； （2）解：，， ， 点P为x轴上方抛物线上的一点，且， ， ， 令， 整理，得， 解得，， 点P的坐标为或． 9．（22-23九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，杭州亚运会上某运动员站在点O处练习发排球，将球从O点正上的A点处发出，把球看成点，其运行的路线近似看作是抛物线的一部分．已知球与O点的水平距离为时，达到最高，球场的边界距O点的水平距离为． (1)请确定排球运行的高度与运行的水平距离满足的函数关系式； (2)请判断排球第一次落地是否出界？请通过计算说明理由． 【答案】(1)函数关系式为 (2)排球第一次落地没出界，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先根据图象得出该抛物线顶点为，设，代入即可作答； （2）设第一次落地点为B，令，则，解方程即可求解． 【详解】（1）由题意可知：该抛物线顶点为， ∴， 把的坐标代入解析式，得， 解得， ∴函数关系式为； （2）没有出界，理由如下： 设第一次落地点为B，令，则， 解之得：（舍），， ∵， ∴排球第一次落地没出界． 10．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）已知二次函数中，函数与的部分对应值如下表： … … … … (1)求二次函数的解析式． (2)填空：______，______ 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）结合表格中数据设出二次函数一般式代入求解即可； （2）分别把及代入二次函数解析式即可得解． 【详解】（1）解：∵，过点，，，， ∴ ∴， ∴函数解析式为； （2）解：当时，， 当时，， 故答案为；，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数以及求函数值，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式式的解题的关键． 【经典计算题五 抛物线与x轴的交点问题】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数 (1)函数图象过，，求b、c的值 (2)若，是否存在实数x，使得相应的y的值为1，请说明理由； (3)若，y在上的最小值是，求b的值． 【答案】(1) (2)存在，理由见解析 (3)3或 【分析】本题考查了二次函数的性质以及函数的最值，注意讨论对称轴的位置是解决本题的关键． （1）利用待定系数法求解； （2）令，判断所得方程的判别式大于0即可求解； （3）先根据解析式得出对称轴为直线，分，和三种情况，根据最小值为，分别计算即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得； （2）解：存在，理由如下： 若，则， 令，则， ， ， 有实数解， 若，存在实数x，使得相应的y的值为1． （3）解：若，则，对称轴为直线， 当时，抛物线在处取最小值， 即， 解得； 当时，抛物线在处取最小值， 即， 解得， 此时，不合题意，舍去； 当时，抛物线在处取最小值， 即， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）； 综上可知，b的值为3或． 2．（24-25九年级上·吉林·期中）如图：在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴的两个交点分别为，点P是抛物线上一点，其横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是________________； (3)将抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点）记为图象G，设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析、二次函数的最值、二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与思想是解此题的关键． （1）将，代入抛物线解析式，得出，求出的值即可得出答案； （2）根据抛物线的解析式可得对称轴为直线，由根据抛物线开口向下得出当时，有最大值，此时，计算出当时，，由此即可得出答案； （3）分中情况：当时，图象在处最大，在处最小；当时，图象在处最大，在处最小；当时，图象在顶点处最大，在处最小；分别计算即可得出答案； 【详解】（1）解：抛物线（为常数）与轴的两个交点分别为，， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，此时， 当时，， 当时，的取值范围是， 故答案为：； （3）解：点是抛物线上一点，其横坐标为， ， 分种情况进行讨论， 当时，图象在处最大，在处最小， ， ， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ； 当时，图象在处最大，在处最小， ， ， ， 整理得：， ， 此方程无解； 当时，图象在顶点处最大，在处最小， ， ， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ； 综上所述，的值为或． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）二次函数的图象如图，根据图象解答下列问题： (1)方程的两个根为___________； (2)若，则自变量的取值范围为___________； (3)若方程有两个不相等的实数根，的取值范围是___________． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与不等式之间的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）二次函数与x轴的交点的横坐标，即为二次函数对应的一元二次方程的解，据此可得答案； （2）把解析式设为顶点式，利用待定系数法求出解析式，再联立二次函数解析式和直线的解析式，求出对应的交点坐标即可得到答案； （3）根据题意可得二次函数与直线有两个不同的交点，据此结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数与x轴的两个交点坐标为， ∴方程的两个根为； （2）解：二次函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴二次函数解析式为， 联立，解得或， ∴当时，或； （3）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数与直线有两个不同的交点， ∴． 4．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）已知抛物线与轴有两个不同的交点，试求的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数图像与轴交点问题，根据抛物线与轴有两个不同的交点，得出且，进而求出的取值范围． 【详解】解：抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴且， 解得：且． 5．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知二次函数．求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点． 【答案】见解析 【分析】题目主要考查二次函数与坐标轴的交点问题，令，然后根据一元二次方程根的判别式即可证明． 【详解】证明：令，则， ， ∴方程总有两个不相等的实数根， ∴不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点． 6．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知抛物线与轴只有一个交点，求该交点的坐标． 【答案】或． 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根的判别式．根据抛物线与轴只有一个交点，可知一元二次方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式可得：或，分别求出抛物线与轴的交点，时抛物线与轴的交点即可． 【详解】解：抛物线与轴只有一个交点， 一元二次方程有两个相等的实数根， 整理得：， 其中，，， ， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：或， 当时，方程为， 解得：， 抛物线与轴的交点坐标为； 当时，方程为， 解得：， 抛物线与轴的交点坐标为； 综上所述，交点的坐标是或． 故答案为：或． 7．（2025·广东广州·模拟预测）已知抛物线与轴有两个不同的交点， (1)求的取值范围． (2)若为正整数，化简并求值：． 【答案】(1) (2)；当时，原式 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴交点问题，分式的化简求值． （1）根据二次函数与x轴有两个不相同的交点，即对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求解即可； （2）先将化简，结合（1）中的取值范围取到m的值， 代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意：， 解得：； （2）解： ； 由（1）知：， ∵为正整数，且， ∴， ∴， 当时，原式． 8．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知二次函数（m为常数）． (1)求二次函数的图象与x轴的公共点的个数； (2)若点在二次函数的图象上，求二次函数的表达式． 【答案】(1)二次函数的图象与x轴有2个公共点 (2) 【分析】本题考查抛物线与x轴交点问题，待定系数法求抛物线解析式．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系和待定系数法求抛物线解析式是解题的关键． （1）令，则：，利用根的判别式判定一元二次方程根的情况，即可得出结论； （2）用待定系数法求出抛物线解析式即可． 【详解】（1）解：令，则， 由题意知：，，， ∴， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数的图象与x轴有2个公共点． （2）解：将点代入中得 ， 解得∶， ∴二次函数的表达式为． 9．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）抛物线与x轴交于，两点，且．求的值． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点问题，令，求出的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：令，则． ． 或， ，且， ，， ． 10．（25-26九年级上·全国·周测）已知二次函数． (1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点． (2)当m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？ 【答案】(1)见解析 (2)当时，这两个交点都在原点的左侧 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据题意只需要证明即可； （2）设二次函数的图象与x轴的两个交点坐标为，则，根据根与系数的关系得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）证明：令，则． ， 此抛物线与x轴必有两个不同的交点． （2）解：设二次函数的图象与x轴的两个交点坐标为， ∴和为关于x的方程，的两个不相等的实数根，且， ，解得， 当时，这两个交点都在原点的左侧． 【经典计算题六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 1．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）已知抛物线经过点，且． (1)求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）； (2)证明：直线与该抛物线有两个不同的交点． 【答案】(1)抛物线顶点的坐标为 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与一元二次方程的关系， （1）将点M的坐标代入关系式，用含有a的代数式表示b，再配方得出顶点式，可得答案； （2）将两个函数关系式联立得出一元二次方程，再求出根的判别式，根据结果分析得出答案． 【详解】（1）解：抛物线过点， ∴， 解得， ∴， 抛物线顶点的坐标为； （2）证明：联立直线与抛物线解析式， 得， 即：， 可得， ∴， 由（1）知，且， ， ， ∴直线与该抛物线有两个不同的交点． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知抛物线的表达式为，且抛物线经过，，三点，直线的表达式为． (1)求抛物线的表达式． (2)求证：抛物线与直线无公共点． (3)若与直线平行的直线与抛物线只有一个公共点，求点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的与一次函数的交点问题： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）联立两函数解析式可得，利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （3）联立两函数解析式可得，利用一元二次方程根的判别式，可得到，即可求解． 【详解】（1）解：把，，代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：联立：，得：， 整理得：， ∵， ∴方程没有实数根， ∴抛物线与直线无公共点； （3）解：联立：，得：， 整理得：， ∵直线与抛物线只有一个公共点， ∴方程只有一个实数根， ∴， 解得：， ∴原方程为， 解得：， 即点P的横坐标为， ∴点P的坐标为． 3．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）已知二次函数的图象过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)已知二次函数与直线交于点，，请结合图象直接写出方程的解． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法． （1）利用待定系数法求出函数解析式； （2）根据函数图象求出的解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点和， ∴， 解得， 因此，二次函数解析式为：． （2）解：∵二次函数与直线交于点，， ∴方程的解为，． 4．（23-24九年级上·天津西青·期中）已知关于的一元二次方程．    (1)若方程有实数根，求的取值范围． (2)已知二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由即可列不等式得到答案； （2）根据抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点，即可得到答案． 【详解】（1）解：一元二次方程有实数根， ，即， ， 的取值范围为； （2）二次函数图象的对称轴为直线， 抛物线与轴两个交点关于直线对称， 由图可知抛物线与轴一个交点为， 另一个交点为， 一元二次方程的解为，． 【点睛】本题考查一元二次方程及二次函数与二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线的对称性． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，利用图象解答下列各题：    (1)方程的根是________； (2)方程的根是________； (3)方程的根是________； (4)方程的根是________； (5)方程的根的情况怎样？ 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) (5)方程无实数根 【分析】（1）看二次函数与x轴交点的横坐标，然后结合图象即可求出答案； （2）看二次函数与直线交点的横坐标，然后结合图象即可求出答案； （3）看二次函数与直线交点的横坐标，然后结合图象即可求出答案； （4）看二次函数与直线交点的横坐标，然后结合图象即可求出答案； （5）看二次函数与直线交点的情况，然后结合图象即可求出答案． 【详解】（1）由图象可得， 二次函数与x轴交于点和 ∴的根为，； （2）由图象可得， 二次函数与直线交于点和 ∴的根为，； （3）由图象可得， 二次函数与直线交于点和 ∴的根为，； （4）由图象可得， 二次函数与直线交于点 ∴的根为； （5）由图象可得， 二次函数与直线没有交点 ∴无实数根． 【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想求解，属于中考常考题型． 6．（22-23九年级·全国·假期作业）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)点B的坐标为 ； (2)y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为 ； (3)方程的两个根为 ． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）由图可得：、到直线的距离相等，根据的坐标，即可求出点坐标； （2）利用图象得出函数对称轴进而得出随的增大而减小的自变量的取值范围； （3）根据方程，即图象与轴交点，进而得出方程的两个根； 【详解】（1）由图可得：、到直线的距离相等， 点坐标为： 故答案为：； （2）随的增大而减小的自变量的取值范围是：； 故答案为：； （3）方程的两个根是：，； 故答案为：，； 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与坐标轴交点以及方程根与不等式等知识，正确利用数形结合得出是解题关键． 7．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： (1)写出方程的解为___________，___________； (2)当时，直接写出的取值范围为___________； (3)当时，直接写出的取值范围是___________． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系． （1）解方程即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）当时，当时，y取得最小值，y在顶点处取得最大值，即可求解． 【详解】（1）解： ，， 故答案为：，； （2）解：的根为，， 二次函数的图象与轴交于点，， 由图象可得，时，的取值范围为， 故答案为：； （3）解：， 时，的最大值为， 把代入得，， 把代入得，， 当时，的取值范围是， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）二次函数的图像如图所示，根据图像解答下列问题： (1)写出方程的两个根； (2)当为何值时，，又为何值时，？ 【答案】(1) (2)当时，；当或时， 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，二次函数图像与轴交点等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）结合二次函数图像分析求解即可； （2）结合二次函数图像与轴点，观察图像总在轴的上方和图像总在轴的下方时的取值范围，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于点， ∴的根为； （2）解：∵二次函数的图像与轴交于点， 观察图像可知：当时，图像总在轴的上方， ∴当时，． 观察图像可知：当或时，图像总在轴的下方， 当或时，． 9．（23-24九年级上·四川广安·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，图象顶点为，与轴的一个交点，则： (1)方程的根是 ______________； (2)不等式的解集是___________； (3)若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由函数图象可得，二次函数的对称轴为直线，求出二次函数与轴的另一个交点为，即可得解； （2）根据二次函数的图象即可得解； （3）根据二次函数的图象即可得解． 【详解】（1）解：由函数图象可得，二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数与轴的一个交点， ∴二次函数与轴的另一个交点为，即， ∴方程的根是或； （2）解：由图象可得，不等式的解集是或； （3）解：∵图象顶点为，二次函数的图象开口向上， ∴若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是． 10．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题： (1)方程的两个根为______，______； (2)当时，则的取值范围为______；当时，自变量的取值范围为______； (3)若方程有实数根，取值范围是______． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象结合当时，即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可得：方程的两个根为，； （2）解：由图象可得：当时，则的取值范围为， ∵， ∴当时，， ∴当时，自变量的取值范； （3）解：若方程有实数根，取值范围是． 【经典计算题七 求x轴与抛物线的截线长】 1．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）当时，令，得，解方程即可得出抛物线与轴的两个交点和的横坐标，即可求解； （2）令，得，利用根的判别式判断一元二次方程根的情况即可得出抛物线与轴交点的情况． 【详解】（1）解：∵， ∴， 令， 得：， 解得：，， ∴； （2）证明：令， 则：， ∵，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴抛物线与轴必有两个交点． 2．（23-24九年级上·吉林松原·期中）已知抛物线，若抛物线与轴的两个交点为A，，求线段的长． 【答案】 【分析】令，即，通过解方程求得该方程的两个解，即抛物线与x轴的两个交点横坐标，然后利用两点间的距离公式作答． 【详解】解：当时，， 解得：，， ∴， 所以线段AB的长为． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 3．（23-24九年级上·天津·期中）已知二次函数． （1）如果二次函数的图象与轴有两个交点，求的取值范围； （2）若抛物线在轴上截得的线段长为，求的值． 【答案】（1）m＞-1；（2）8 【分析】（1）根据抛物线与x轴有两个交点知Δ=b2-4ac＞0可得； （2）令y=0，得到方程，再根据根与系数的关系，结合抛物线在轴上截得的线段长为列出关于m的方程，解之即可． 【详解】解：（1）根据题意知，22-4×（-1）×m＞0， 解得：m＞-1； （2）令y=0，则， ∴，， ∵抛物线在轴上截得的线段长为， ∴==6， 解得：m=8． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，抛物线与x轴的交点，能够将抛物线在x轴截得的线段转化为根与系数的关系是解题的关键． 4．（22-23九年级上·广东东莞·阶段练习）已知抛物线． (1)求出它的顶点坐标和对称轴； (2)若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长． 【答案】(1)，对称轴为x=1 (2) 【分析】（1）将解析式化为顶点式即可求解； （2）令，解方程得交点坐标，进而即可求解． 【详解】（1）解： ∴顶点坐标为；对称轴为x=1； （2）解：令，即， 解得， ∴的长为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的截线的长，掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，抛物线， （1）求证：不论k取何值时，抛物线与x轴总有两个交点； （2）若已知抛物线与x轴有一个交点A（1，0），另一交点B，求k的值及线段AB的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）列出判别式，根据判别式的值的情况进行证明即可； （2）通过A点代入求解得k，进而求出完整解析式，求出B的坐标即可计算AB的长度． 【详解】（1）由题意：==， 不论k取何值时，抛物线与x轴总有两个交点； （2）将A(1，0)代入解析式得：，解得：， 此时抛物线得解析式为：， 令，解得，，故， ． 【点睛】本题考查二次函数与轴交点的问题，熟练掌握求解判别式及二次函数与一元二次方程之间的关系是解题关键． 6．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）已知二次函数的图象经过点、、，且与x轴交于A、B两点． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)判断点是否在这个二次函数的图象上，如果在，请求出的面积；如果不在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点在函数图象上，的面积为6． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入解析式，得，即可得点在函数图象上，令，求得的坐标，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）设二次函数为，把、、代入二次函数解析式， 得：， 解得． ∴二次函数的解析式为：； （2）把代入解析式，可得：， ∴点在函数图象上． 当，， 解得：， ∴ ∴． 7．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）  如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）．    (1)若为二次函数的图象上一点，求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入二次函数解析式，即可求解； （2）令，可求出，，即可求解． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：当时， ， 解得：，， ，， ． 【点睛】本题考查了函数图象上的点坐标，函数图象与坐标轴的交点，图象与x轴的截线长，理解函数图象上点的坐标意义及坐标求法是解题的关键． 8．（22-23九年级上·江西上饶·阶段练习）（1）解方程：； （2）已知抛物线在轴上所截线段的长为4，顶点坐标为，求此抛物线的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可； （2）把抛物线解析式设为顶点式，抛物线与x轴的两个交点横坐标分别为，解方程得到，，根据题意有，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，即， ∴， ∴或， 解得； （2）设抛物线解析式为，抛物线与x轴的两个交点横坐标分别为， 当时，则， 解得或， ∴，， ∵抛物线在轴上所截线段的长为4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键． 9．（2023·湖南永州·一模）如图，若对于函数，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点．请回答下列问题； (1)图象的对称轴，顶点坐标各是什么？ (2)若P为二次函数图象上一点，且，求点P的坐标． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)P的坐标为或或或 【分析】（1）把解析式化为顶点式，即可求解； （2）首先可求得的长，设点P的坐标为，根据三角形面积公式，可求得，再分两种情况，解一元二次方程，即可分别求解． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：令，则，解得：，， 点A在点B的左侧， ，， ， 设点P的坐标为， ， ， ，， 当时，解得：， 当时，解得：， 故所求点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了把二次函数的解析式化为顶点式，求二次函数图象与x轴的交点坐标，解一元二次方程，熟练掌握和运用二次函数图象和性质是解决本题的关键． 10．（22-23九年级上·天津宝坻·期中）已知二次函数． (1)如果二次函数与x轴有一个交点，求a的值． (2)若抛物线在x轴截得的线段长为3，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出判别式，根据题意可得，判别式的值等于0，即可求解； （2）求出该函数与x轴的两个交点坐标，根据截得的线段长为3可得两交点距离为3，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数与x轴有一个交点， ∴方程有两个相同是实数根， ∴，解得：． （2）∵抛物线在x轴截得的线段长为3， ∴抛物线与x轴有两个交点，且两交点距离为3， ∴方程的根为：， 即：，，∴两交点坐标分别为：， ∴，整理得：， ∵，∴， 由（1）可得：， ∴，解得：． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握二次函数与x轴有一个交点，则对应一元二次方程有两个相等的实数根；次函数与x轴有两个交点，则对应一元二次方程有两个不相等的实数根；次函数与x轴没有交点，则对应一元二次方程没有实数根． 【经典计算题八 图象法确定一元二次方程的近似根】 1．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）已知二次函数中函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 3 … y … 9 21 9 … 根据表格填空： (1)该函数图象的开口方向________，对称轴为________； (2)方程的正根的范围为________； (3)不等式解集是________． 【答案】(1)向下， (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）根据表格中的数据，并结合二次函数图象的性质求解即可； （2）根据二次函数的图象与性质进行求解即可； （3）找到点关于对称轴的对称点为，再由二次函数的图象过点和，即可求解． 【详解】（1）解：∵当，时，函数值都是9， ∴该函数图象的对称轴为直线， ∵当时，函数值随着的增大而增大， ∴该函数图象的开口向下， 故答案为：向下，； （2）解：∵点、关于对称轴的对称点为、， ∴方程的正根的范围为， 故答案为：； （3）解：∵点关于对称轴的对称点为，且该函数图象的开口向下， ∴不等式解集是， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·广西贺州·期中）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题 (1)写出方程的两个根； (2)写出不等式的解集 【答案】(1) (2)-2<x<4 【分析】（1）根据二次函数的图象和性质求出函数图象与x轴的两个交点坐标，再根据二次函数的图象利用图象法求解即可． （2）根据二次函数的图象利用图象法求解不等式即可． 【详解】（1）如图所示，二次函数交于点，对称轴为 故另一个交点坐标为 故方程的两个根为 （2）如图所示，当时， 故不等式的解集为-2<x<4 【点睛】此题考查了利用图象法求解的问题，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质、用图象法解一元二次方程和不等式． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）画出二次函数的图象． （1）利用图象求方程的近似很（结果精确到）； （2）设该抛物线的顶点为M，它与直线y=－3的两个交点分别为C、D，求△MCD的面积． 【答案】（1）x=−1.4或3.4；（2）； 【分析】（1）根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解． （2）解方程x2-2x-5=-3，根据根与系数的关系得出x1+x2=2，x1•x2=-2，因为抛物线与直线y=-3的两个交点C、D的横坐标就是方程的两个根，所以进而求得CD=|x1-x2|= ，然后根据三角形的面积公式求得即可． 【详解】方程x2−2x−5=0根是函数y=x2−2x−5与x轴交点的横坐标． 作出二次函数y=x2−2x−5的图象，如图所示， (1)由图象可知方程有两个根，一个在−2和−1之间，另一个在3和4之间. 先求−2和−1之间的根， 当x=−1.4时，y=−0.24；当x=−1.5时，y=0.25； 因此，x=−1.4是方程的一个近似根， 同理，x=3.4是方程的另一个近似根. 故一元二次方程x2−2x−5=0的近似根为x=−1.4或3.4. (2)根据题意,得x2−2x−5=−3， 整理得x2−2x−2=0， ∴x1+x2=2,x1⋅x2=−2， ∴CD=|x1−x2|= ∴在△CDM中,S△CDM= ∴三角形CDM的面积是. 【点睛】此题考查图象法求一元二次方程的近似根，解题关键在于根据题意画出函数图象. 4．（22-23九年级上·北京朝阳·期末）可以用如下方法估计方程的解： 当x=2时，=-2<0， 当x=-5时，=5>0， 所以方程有一个根在-5和2之间． （1）参考上面的方法，找到方程的另一个根在哪两个连续整数之间； （2）若方程有一个根在0和1之间，求c的取值范围． 【答案】（1）方程另一个根在2和3之间；（2）-3<c<0. 【分析】（1）分别计算出x=2和x=3时x2+2x-10的值即可得出答案； （2）根据方程x2+2x+c=0有一个根在0和1之间知或，解之可得． 【详解】（1）∵当x=2时，= -2 <0， 当x=3时，= 5 >0， ∴方程另一个根在2和3之间． （2）∵方程有一个根在0和1之间， ∴或     解得． 【点睛】本题主要考查估算一元二次方程的近似解，解题的关键是理解题意，并熟练掌握近似解的估算办法． 5．（23-24九年级上·全国·单元测试）利用函数图象求出一元二次方程的近似根，也可以在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象，根据两个图象交点的横坐标找出一元二次方程的近似根，请试一试． 【答案】，． 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．建立平面直角坐标系，根据网格结构作出函数和的图象，然后找出两函数图象的交点坐标，从而得解． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中作出函数和的图象，如图所示： 由图可知，交点坐标为，， 所以一元二次方程的近似根为，． 6．（23-24九年级下·全国·课后作业）利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程根的联系，解题的关键是根据一元二次方程对应的二次函数为，画出函数图象，与轴的交点，即为一元二次方程的根，即可． 【详解】∵对应的函数是，在平面直角坐标系内画出函数图象，如下： ∵函数与轴的交点坐标为，， ∴的近似根为：，． 7．（24-25九年级上·福建厦门·期中）我们可以通过下列步骤估计方程x2﹣2x﹣2=0方程的根所在的范围． 第一步：画出函数y=x2﹣2x﹣2=0的图象，发现函数图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在0，﹣1之间． 第二步：因为当x=0时，y=﹣2＜0，当x=﹣1时，y=1＞0， 所以可确定方程x2﹣2x﹣2=0的一个根x1所在的范围是﹣1＜x1＜0 第三步：通过取0和﹣1的平均数缩小x1所在的范围： 取x=，因为当x=对，y＜0．又因为当x=﹣1时，y＞0，所以 （1）请仿照第二步，通过运算验证方程x2﹣2x﹣2=0的另一个根x2所在的范围是2＜x2＜3 （2）在2＜x2＜3的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在的范围缩小至a＜x2＜b，使得． 【答案】（1）答案见解析；（2）2.625＜x2＜2.75． 【分析】（1）确定当x=2或 x=3时y的正负由此即可验证； （2）取第三步2和3的平均数x=2.5，计算y的值可得2.5＜x2＜3，再进一步取2.5和3的平均数x=2.75，计算y的值可得2.5＜x2＜2.75，再一次取平均数直到即可. 【详解】解：（1）因为当x=2时，y=﹣2＜0，当x=3时，y=1＞0， 所以可确定方程x2﹣2x﹣2=0的一个根x2所在的范围是2＜x2＜3； （2）取x==2.5，因为当x=2.5时，y＜0． 又因为当x=3时，y＞0，所以2.5＜x2＜3， 取x==2.75，因为当x=2.75时，y＞0． 又因为当x=2.5时，y＜0，所以2.5＜x2＜2.75， 因为2.75﹣2.5=． 取x==2.625，因为当x=2.625时，y＜0． 又因为当x=2.75时，y＞0，所以2.625＜x2＜2.75， 因为2.75﹣2.625=0.125=＜， 所以2.625＜x2＜2.75即为所求x2 的范围 【点睛】本题考查了利用取平均数的方法确定一元二次方程的近似值，正确理解题目中所给的方法并会灵活运用是解题的关键. 8．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数 （a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 3 4 … y … 0 4 m 0 … (1)直接写出m的值，并求该二次函数的解析式； (2)当时，求函数值y的取值范围． (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的根的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据表中数据可得二次函数图象的对称轴，由轴对称性可得m的值，再用待定系数法，即可求得答案； （2）根据二次函数的增减性和轴对称性可知，当时，y取最大值，当时，y取最小值，由此即得答案； （3）根据二次函数的增减性，即得答案； （4）方程有两个不相等的实数根，等价于二次函数与直线有两个交点，根据图象即得答案． 【详解】（1）由表中数据可知，当和时，， 该二次函数的图象的对称轴为， 和时，， ； 将，；，；，分别代入， 得，解得， 该二次函数的解析式为； （2）当时，， 当时，， 当时，， ， 抛物线开口向下， 当时，； （3）， 抛物线开口向下， 当时，y随x的增大而减小； （4）方程有两个不相等的实数根， 二次函数与直线有两个交点， ． 9．（24-25九年级上·北京通州·期末）有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 嘉瑶根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是嘉瑶的探究过程，请补充完整： （1）函数的图象与轴 交点；（填写“有”或“无”） （2）下表是y与x的几组对应值： x … … y … n … 则n的值为 ； （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，嘉瑶描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助嘉瑶画出该函数的大致图象； （4）请你根据探究二次函数与一元二次方程关系的经验，结合图象直接写出方程的根约为 ．（结果精确到0.1） 【答案】（1）无；（2）-4；（3）见解析；（4），或 【分析】（1）根据函数式满足的条件判断出，所以与y轴没有交点；               （2）把x=1代入函数式即可；                     （3）根据表格坐标点描点连线即可； （4）将表示为函数的形式，找函数图像与x轴的交点即可． 【详解】由题意可得：，故与y轴无交点； 故填：无； 把x=1代入函数式，得：n=−4 ； 故填：； 根据表中数据描点连线如图： 将表示为函数的形式，即函数与x轴的交点，根据图像可得：，或； 故填：，或． 【点睛】此题考查函数与方程的关系，会根据函数表达式做函数图像，观察函数图象找出其与坐标轴的交点． 10．（2023九年级上·全国·专题练习）利用二次函数的图象，求下列一元二次方程的近似根． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4）无实数解 【分析】（1）画出二次函数的图象，函数图象与x轴的交点的横坐标即方程的根； （2）画出二次函数的图象，函数图象与x轴的交点的横坐标即方程的根； （3）画出二次函数的图象，函数图象与x轴的交点的横坐标即方程的根； （4）画出二次函数的图象，函数图象与x轴无交点，即方程无实数根． 【详解】解：（1）将变形为一般式：， 画出函数的图象，如图， 图象与x轴相交于两点， 观察图象，这两个点的横坐标约为和， ∴方程的近似根为，； （2）将变形为一般式：， 画出函数的图象，如图， 图象与x轴相交于两点， 观察图象，这两个点的横坐标约为和， ∴方程的近似根为，； （3）画出函数的图象，如图， 图象与x轴相交于两点， 观察图象，这两个点的横坐标约为和， ∴方程的近似根为，； （4）将变形为一般式：， 画出函数的图象，如图， 图象与x轴无交点， ∴方程无实数根． 【点睛】本题考查用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是掌握一元二次方程的解和二次函数图象与x轴交点的关系． 【经典计算题九 图象法解一元二次不等式】 1．（24-25九年级上·广西梧州·阶段练习）小明想用描点法画抛物线． (1)请帮小明完成下面的表格，并根据表中数据在所给的图平面直角坐标系中画出此抛物线； x ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 0 0 ．．． (2)当时，请观察函数图像，直接写出的取值范围 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了画二次函数图象，利用图象解不等式； （1）求出函数值，描点、连线，即可求解； （2）根据图象，即可求解； 会画二次函数图象，并会利用图象解不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 x ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 0 0 ．．． 图象如下： （2）解：由图象得， ． 2．（22-23九年级上·河南周口·阶段练习）函数的图象如图，那么： 方程的根是 　　　； 不等式的解集是 　　　； 不等式的解集是 　　　． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）根据函数与x轴的交点写出即可；（2）根据函数图象写出x轴上方的x的取值范围即可；（3）根据函数图象写出x轴下方的x的取值范围即可． 【详解】解：（1）∵二次函数与x轴的交点坐标为， ∴方程的的根是； （2）∵抛物线在x轴上方时，或， ∴不等式的解集是或， （3）∵抛物线在x轴下方时，， ∴不等式的解集是，． 故答案为：（1）；（2）或；（3）． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，抛物线与x轴的交点，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便． 3．（23-24九年级上·天津·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数的解析式． (2)求该二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标； (3)观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据点，， 利用待定系数法求解即可得； （2）令，求出的值即可得； （3）找出二次函数的图象位于轴下方时， 的取值范围即可得． 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得， 则二次函数的解析式为． （2）解：对于二次函数， 当时，， 解得或， 则该二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标是． （3）解：不等式表示的是二次函数的图象位于轴的下方， 则由函数图象得：， 即不等式的解集为． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数与不等式、二次函数与轴的交点坐标， 熟练掌握待定系数法和函数图象法是解题关键． 4．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知二次函数y=x2﹣4x+3． （1）用配方法求出顶点坐标； （2）求该二次函数与坐标轴的交点坐标； （3）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围． 【答案】（1）顶点坐标为（2，-1）；（2）该二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0）；（3）当y＜0时，1＜x＜3． 【分析】（1）把y=x2-4x+3通过配方得到y=（x-2）2-1，从而得到抛物线的顶点坐标； （2）通过解方程x2-4x+3=0得该二次函数与x轴的交点坐标； （3）利用描点法画出二次函数图形，然后利用函数图形，写出图象在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：（1）因为y=x2-4x+3=x2-4x+4-1=（x-2）2-1， 所以抛物线的顶点坐标为（2，-1）； （2）当y=0时，x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3， 所以该二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0）； （2）当x=0时，y=3，当x=4时，y= 42-44+3=3， 描点，连线，函数图象如图： 由图象可知，当y＜0时，1＜x＜3． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线y＝x2-2x-3的图象如图所示． （1）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标； （2）根据图象回答：当x取何值时，y＞0？当x取何值时，y＜0？ 【答案】（1）抛物线与x轴交点为（-1，0）、（3，0）；与y轴交点为（0，-3）；（2）x＜-1或x＞3时，y＞0；当-1＜x＜3时，y＜0 【分析】（1）令y＝0得到关于x的方程，从而可求得抛物线与x轴的交点坐标，再令x＝0，则y＝﹣3，由此可求得抛物线与y轴的交点坐标； （2）根据图象可得：当y＞0时，抛物线位于（﹣1，0）的左侧或（3，0）的右侧，当y＜0时，抛物线位于（﹣1，0）与（3，0）之间，由此即可确定出相应的自变量的取值范围． 【详解】解：（1）令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0， ∴（x+1）（x﹣3）＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3． ∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3）． （2）观察图象得：当x＜﹣1或 x＞3时，y＞0；当﹣1＜x＜3时，y＜0． 【点睛】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点、函数与不等式的关系，熟练运用数形结合思想是解决本题的关键． 6．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）已知y是x的函数，下表中给出了几组x、y的对应值： x … 0 1 5 … y … 3 m 0 3 … (1)建立直角坐标系，以表中各对对应值为坐标描出各点，用平滑曲线顺次连接，由图象可知，它是我们学过的哪类函数？求出函数表达式，并直接写出m的值； (2)结合图象回答问题：当x的取值范围是____________时，． 【答案】(1)画图见解析，它是二次函数，函数得表达式为， (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，画二次函数的图象，图象法解一元二次不等式，数形结合是解题的关键； （1）建立直角坐标系，以表中各对对应值为坐标描出各点，用平滑曲线顺次连接即可作图，根据所作图形可判断函数类型，再根据待定系数求解析式，把代入所求解析式即可求m； （2）根据图象可知，取x轴上及其上方的图象对应的x的取值范围即可． 【详解】（1）解：如图， 由图象可知，它是我们学过的二次函数， 设二次函数的解析式为：， 把代入得， ， 解得， 二次函数的解析式为， 当时，； （2）解： 由图象可知，抛物线与x轴的交点为：， 结合图象可知：当或时，， 故答案为：或． 7．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，二次函数经过点，． (1)求该二次函数的解析式； (2)利用图象的特点填空： ①当________时，方程； ②不等式的解集为________． 【答案】(1)； (2)①1；②且 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和抛物线与轴的交点问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①先利用配方法得到，则当时，有最小值； ②写出函数图象在轴下方所对应的自变量的范围，并且自变量不取顶点的横坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：①， 当时，有最小值， 即时，方程， 故答案为：1； ②不等式的解集为且． 故答案为：且． 8．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知二次函数经过点和点，    (1)求该二次函数的解析式； (2)如图，若一次函数经过B、C两点，直接写出不等式的解； (3)点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，利用函数图象解不等式，能熟练掌握待定系数法是解决问题的关键． （1）用待定系数法求解即可． （2）根据二次函数图象可得出结论． （3）先求出点A得坐标，从而得出的值，利用三角形面积即可得出结论． 【详解】（1）将和点代入二次函数得：， 解得：， ∴二次函数解析式为：． （2）∵当时，的图象在的下方， ∴不等式的解集为：． （3）当时，， 解得， ∴， ∴． ∴． 9．（24-25九年级上·广东东莞·期中）已知二次函数 (1)如果二次函数的图象与x轴交于点B、C，其中点，则___________，B（___________，___________）； (2)如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点A，抛物线的对称轴上有一动点P，是否存在一点P使最短？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围． 【答案】(1)3，，0 (2)存在， (3)或 【分析】（1）将点C代入二次函数表达式，求出m值，得到表达式，令，求出x值，可得点B坐标； （2）分析得出当点P为直线和对称轴交点时，最短，求出直线的表达式，令，可得点P坐标； （3）一次函数值大于二次函数值即直线位于抛物线的上方部分x的取值范围，结合图像求解即可． 【详解】（1）解：将代入中，得： ， 解得：， ∴， 令，则， 解得：，， ∴， 故答案为：3，，0； （2）由（1）可得：抛物线的对称轴为直线， 令，则， ∴， 若要最短，则点P为直线和对称轴的交点， 设直线的表达式为：， 将A，C代入，得：， 解得：， ∴直线AC的表达式为：， 令，则， ∴点P的坐标为； （3）∵一次函数和二次函数交于，， 由图可知：当或时，一次函数图像在二次函数图像上， ∴x的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象和性质，两点之间线段最短，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 10．（22-23九年级上·广西河池·期中）如图，抛物线与轴、轴分别交于两点． (1)求两点的坐标； (2)直线经过两点．若，观察图像，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）分别令，解方程，即可求得的坐标； （2）根据（1）的结论，观察图像，直接写出的取值范围． 【详解】（1）解：由，令，解得，则， 令，即，解得：， 根据图像可知； （2）∵，，直线经过两点． 观察图像可知，当时，或． 【点睛】本题考查了求二次函数与坐标轴交点，根据函数图像求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 【经典计算题十 利用不等式求自变量或函数值的范围】 1．（24-25九年级上·浙江·期中）已知二次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象． (2)根据图象，直接写出当时自变量的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查二次函数的性质，画二次函数图象； （1）根据题意画出图象即可； （2）由图象可得出答案． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中画出的图象． 步骤一：列表 步骤二：根据表中数值描点，画图． （2）解：由图象可知，当时． 2．（22-23九年级上·广东汕头·期末）抛物线与y轴交于点)． (1)求的值及抛物线与轴的交点坐标； (2)直接写出：当取什么值时，抛物线在轴下方？ 【答案】(1)，交点坐标为， (2)或 【分析】（1）将点(0，3)代入得，，进而得出解析式，令得：，解方程得出抛物线与x轴的交点坐标为，； （2）根据（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）解：将点(0，3)代入得，， 则二次函数的解析式为， 令得：， 解得，，则抛物线与x轴的交点坐标为，； （2）∵，抛物线与x轴的交点坐标为，； ∴抛物线开口向下， ∴当或时，抛物线在x轴下方． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标，根据二次函数的图象求不等式的解集，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（22-23九年级上·湖北黄冈·期中）已知二次函数． (1)求函数图象的顶点坐标，当函数值y为正数时，自变量x的取值范围； (2)当时，求函数值y的取值范围． 【答案】(1)；当时，函数值y为正数 (2) 【分析】（1）利用配方法得到顶点式，即可得出顶点坐标，然后利用函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可； （2）利用函数图象，确定当时函数值的变化范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为， 当时，，解得，， 画出图形， 由图象知，当时，函数值y为正数； （2）解：当时，； 当时，； 当时，y有最大值，最大值为4， 由图象知，当时，． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化解．关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质． 4．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标； (3)当时，二次函数值的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据顶点坐标，设二次函数关系式为，将点代入解析式，待定系数法求解析式即可求解； （2）令，即可求得抛物线与轴的交点坐标； （3）根据抛物线的对称轴，开口方向确定最小值，再根据离对称轴越远，函数值越大，确定最大值，进而即可求解． 【详解】（1）解：设二次函数关系式为， 图象过点， ，解得， 二次函数关系式为． （2）∵二次函数关系式为． 当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为：． 又抛物线经过， ∴抛物线与坐标轴的交点为：，； （3）解：∵， ∴，对称轴为直线，抛物线开口向上， ∵顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值， ∵， ∴当时，， ∴当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数与轴的交点坐标，根据自变量的范围求函数值的范围，掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标是，且过点． (1)求二次函数关系式； (2)二次函数图象与y轴交点坐标是___________； (3)当时，y的取值范围是___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据顶点坐标，设二次函数关系式为，将点代入解析式，待定系数法求解析式即可求解； （2）令，即可求得抛物线与轴的交点坐标； （3）根据抛物线的对称轴，开口方向确定最小值，再根据离对称轴越远，函数值越大，确定最大值，进而即可求解． 【详解】（1）解：设二次函数关系式为， 图象过点， ，解得， 二次函数关系式为． （2）∵二次函数关系式为． 当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为：． 故答案为：， （3）解：∵， ∴，对称轴为直线，抛物线开口向上， ∵顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值， ∵， ∴当时，， ∴当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数与轴的交点坐标，根据自变量的范围求函数值的范围，掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，已知抛物线的对称轴为，请你解答下列问题： (1) ，抛物线与x轴的交点为 ． (2)x取什么值时，y的值随x的增大而减小？ (3)x取什么值时，． 【答案】(1)m＝2    （2，0）（－1，0） (2)x＞ (3)－1＜x＜2 【分析】（1）利用抛物线的对称轴方程得到−=，解方程得到m的值，从而得到y＝−x2＋x＋2，然后解方程−x2＋x＋2＝0得抛物线与x轴的交点； （2）根据二次函数的性质求解； （3）结合函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）抛物线的对称轴为直线x＝−=， ∴m＝2， 抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2， 当y＝0时，﹣x2+x+2＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝2， ∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（2，0）； 故答案为：2，（﹣1，0），（2，0）； （2）由函数图象可知，当x＞时，y的值随x的增大而减小； （3）由函数图象可知，－1＜x＜2时． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 7．（2025·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，已知，，，是抛物线上的四个点，且任意两点都不重合． (1)直接写出抛物线与轴的交点坐标（可用含的代数式表示）； (2)将抛物线在点，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，并将抛物线在，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)且且且 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，二次函数与x轴交点，对称轴的概念，以及代入求值等知识点，解决此题的关键是要分类讨论． （1）令，解方程即可得解； （2）由题意，点在点的左侧，点与关于对称轴对称，，再根据，，，四点中，任意两点不重合，得到且且且，分时，时，两种情况，结合二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：令，即， 解得：， ∴抛物线与轴的交点坐标为，； （2）解：抛物线的对称轴为直线． 由题意，点在点的左侧，点与关于对称轴对称，． ∵，，，四点中，任意两点不重合， ∴且且且． ∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． ①当时， ∵， ∴． ∴． 由知，不符合题意． ②当时，点在对称轴的左侧． 点关于直线的对称点为． ∵， ∴． ∴且． ∴． 综上所述，的取值范围是且且且． 8．（2025·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两个点，且总成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． （1）将点A代入解析式即可求出a的值，进而得到解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）先求出，令，则，求出的值，根据，求出或，分，两种情况，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵在抛物线上， ∴， ∵在抛物线上， ∴， 令，则， ∴或， ∴当时，结合函数的图象可得或， 当时，结合函数的图象可得， 当时，结合函数的图象可得或， ∵， ∴， 综上所述，的取值范围是或． 9．（2023·浙江·模拟预测）已知函数． (1)若，求对应x值； (2)若，求对应x的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或或 【分析】（1）将带入及，解二元一次方程即可求解． （2）将时，带入和，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：将带入得：， 解得：， 将带入得：， 解得：，（舍去）， x值为：或． （2）当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：或， 综上所述：x的取值范围为：或或． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 10．（22-23九年级上·湖北荆门·期中）如图，利用函数的图象，直接回答： (1)方程的解是___________； (2)当x___________时，y随x的增大而减小； (3)当x满足___________时，函数值大于0； (4)当时，y的取值范围是___________． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）根据函数图象，可以得到方程的解； （2）根据函数图象，可以写出当x为何值时y随x的增大而减小； （3）根据函数图象可以写出，当x为何值时，函数值大于0； （4）根据函数图象和二次函数的性质，可以得到当时，y的取值范围． 【详解】（1）由图象可得： 当时，或， 故方程的解是， 故答案为：； （2）由图象可得： 函数的对称轴是直线，当时， y随x的增大而减小， 故答案为：； （3）由图象可得： 当或时，函数值大于0， 故答案为：或； （4）由图象可得： 函数的对称轴是直线，当时， 该函数取得最小值， ∴当时，取得最小值，时y的值为8， 即当时，y的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 【经典计算题十一 根据交点确定不等式的解集】 1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知二次函数，在直角坐标系中画出它的图象，并根据图象，写出时，自变量的取值范围． 【答案】见解析，或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与不等式，关键是掌握二次函数顶点式坐标的求法及二次函数与不等式的关系． 将二次函数表达式化为顶点式，即可得出顶点；通过列表、描点、连线，即可画图；即抛物线在x轴上方部分，根据图象即可进行解答； 【详解】解：，顶点为． 列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 0 5 … 描点，连线．如图所示． 根据图象可得，当时，自变量的取值范围是或． 2．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，直线和抛物线交于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)求不等式的解集（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、图象法求不等式的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入，到，利用待定系数法即可求解； （2）观察二次函数的图象在直线上方时对应的范围即可． 【详解】（1）解：代入，到，得， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由图象得，当或时，， ∴不等式的解集为或． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线过点和点．抛物线的对称轴为直线． (1)当时，比较的大小； (2)已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，解不等式组，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）根据可得抛物线上的点离对称轴越近，其纵坐标越小，据此即可解答； （2）同理，根据抛物线上的点离对称轴越近，其纵坐标越小，列得，计算即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线中，， ∴抛物线开口向上， ∵点和点在抛物线上，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴； （2）解：∵抛物线开口向上，且，都有， ∴点在对称轴的左侧，点在对称轴上或对称轴的右侧，点在对称轴的右侧，且点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，大于点到对称轴的距离， ∴，解得， ∴的取值范围是． 4．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）如图，抛物线与直线相交于和，    (1)求和的值，及抛物线的解析式： (2)结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，理解函数与方程、不等式之间的关系是解题的关键． （1）根据抛物线和直线都经过点，利用待定系数法可以求得抛物线和一次函数的解析式； （2）不等式，表示抛物线图象在直线上方，结合图象，直接写出解集即可； 【详解】（1）将代入得， ， 解得， ， 将代入得， ， 将和分别代入得 ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）由图可知：当或时抛物线在直线上方， 所以不等式的解集为或． 5．（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数（a为常数）． (1)求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点； (2)该函数图象必过两个定点，它们的坐标分别为 、 ； (3)当时，，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)或． 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用根的判别式即可解决问题． （2）函数图象过定点，即表示与的取值无关，据此即可解决问题． （3）利用分类讨论的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）证明：由题知， ， 因为， 所以， 故该函数的图象与轴总有两个公共点； （2）解：因为， 又因为函数图象必过两个定点， 即与的取值无关， 所以， 解得或4， 所以定点的坐标为和． 故答案为：，； （3）解：因为抛物线过定点和， 若，时， 此时抛物线都在轴下方，满足． 若，时， 当时的函数值小于4， 即， 解得， 所以． 综上所述，或． 6．（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）二次函数的图象如图所示，    根据图象解答下列问题： (1)写出方程的两个根； (2)写出不等式的解集； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）观察图形可以看出抛物线与轴交于和，即可解题； （2）根据抛物线，求得的取值范围即可解题． 【详解】（1）解：图中可以看出抛物线与轴交于和， 方程的两个根为，； （2）不等式时，通过图中可以看出：当时，的值， 不等式的解集为； 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练掌握利用图象法求一元二次方程的解与不等式解集是解题的关键． 7．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，过，两点的直线． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标为 ； (2)当时，函数值的取值范围； (3)当时，自变量的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，包括利用交点求函数解析式、求函数最值以及根据函数值大小确定自变量范围等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）对于求抛物线解析式，可利用抛物线与轴交点坐标，代入抛物线表达式求解系数，再将抛物线解析式化为顶点式求顶点坐标； （2）求函数值的取值范围，先分析抛物线的开口方向和对称轴，再根据给定的范围确定函数值的最值情况； （3）求时自变量的取值范围，先求出直线的解析式，再联立抛物线与直线方程，求出交点横坐标，结合图像确定范围． 【详解】（1）解：∵ 抛物线过、 ∴ 解方程组可得 ∴ 抛物线解析式为 ∵ ∴ 顶点坐标为 故答案为：，． （2）解：∵ 抛物线中 ∴ 抛物线开口向上，对称轴为 当时，取得最小值 当时， 当时， ∵ 距离对称轴的距离大于距离对称轴的距离 ∴ 当时，的取值范围是． （3）解：∵ 抛物线与轴交于点，令，则 ∴ ∵ 直线过、 ∴ 解得 ∴ 直线的解析式为 联立 即 解得， 由图像可知，当时，或． 8．（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知二次函数图象经过点和 ． (1)求该二次函数的表达式及图象的对称轴． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【答案】(1)，直线 (2)当时，x的范围是 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键． （1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得对称轴； （2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和． ∴，解得：， ∴抛物线为， ∴图象的对称轴为直线； （2）当时，， ∴ 解得：，， 如图，当时， ∴． 9．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出函数的顶点坐标； (2)写出方程的两个根； (3)写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练掌握利用图象法求一元二次方程的解与不等式解集是解题的关键． （1）根据函数图象的最高点得到顶点坐标； （2）观察图形可以看出抛物线与轴交于(和，即可解题； （3）根据抛物线的图象，得到在x轴上方的自变量x的取值范围解答即可． 【详解】（1）解：由图象可得函数图象的最高点坐标为， ∴函数的顶点坐标为； （2）解：图中可以看出抛物线与轴交于(和， ∴方程的两个根为，； （3）解：通过图中可以看出：当时，图象在x轴上方， ∴不等式的解集为． 10．（24-25九年级下·浙江杭州·开学考试）已知二次函数经过点和点． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，请直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的解析式，图象法解不等式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． （1）代入、到，利用待定系数法即可求解； （2）由可知二次函数图象开口向上，令求出对应的值，再结合二次函数的性质即可求出当时x的取值范围． 【详解】（1）解：代入、到，得， 解得：， 二次函数的解析式为． （2）解：， 二次函数的图象开口向上， 令，则， 解得：，， 当时，x的取值范围为或． 【经典计算题十二 由反比例函数值求自变量】 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知y与x成反比例关系，并且当时，． (1)写出y与x之间的函数关系式． (2)分别求出当时y的值以及当时，x的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求反比例函数解析式、求自变量的值、求函数值等知识点，将自变量、函数值代入求解是解题关键． （1）根据待定系数法，将自变量、函数值代入求解即可； （2）分别把、代入（1）中的解析式求解即可． 【详解】（1）解：y与x成反比例关系， 设， 把代入，得：，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为． （2）解：当时，． 当时，，解得． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）经过实验获得两个变量（），（）的一组对应值如下表： x 1 2 3 4 5 6 y 6 2.9 2.1 1.5 1.2 1 (1)画出相应函数的图象． (2)求这个函数的表达式． (3)求当时，x的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先描点，再连线即可得到函数图象； （2）根据（1）所画图象可知该函数近似于是个反比例函数，利用待定系数法求解即可； （3）根据（2）所求解析式，代入进行求解即可． 【详解】（1）解：描点、连线，可得函数图象如下： （2）解：由（1）所画函数图象可知，该函数近似于是个反比例函数，设函数解析式为， 代入点得，， ∴函数解析式为； （3）当时，． 【点睛】本题主要考查了画反比例函数图象，求反比例函数解析式和自变量的值，正确画出该函数函数图象是解题的关键． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知是的正比例函数，是的反比例函数．且当时，；当时，．求关于的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了正比例和反比例函数的定义，并且考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握正比例和反比例的定义是解题的关键． 根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出自变量和函数的对应值求出待定的系数则可． 【详解】解：设，，则 时，；时， ， 解得， ∴y关于x的函数关系式是． 4．（2025九年级下·全国·专题练习）已知与成反比例，当时，． (1)求y与x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的关系式． （1）根据与成反比例关系，且当时，求出k的值，进而可得出反比例函数的解析式； （2）把代入求出x的值即可 【详解】（1）解：∵与成反比例关系， ∴， ∵当时，，即， 解得， ∴y与x的关系式为； （2）解：∵由（1）知y与x的关系式为， ∴当时，， 解得：． 5．（23-24九年级上·吉林·期末）已知是的反比例函数，并且时，． (1)求这个反比例函数的解析式． (2)若此反比例函数的图象经过点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）将点代入解析式求解即可． 【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为 把代入，得 ， 解得， ∴． （2）解：把代入，得 ， 解得． 6．（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点和点． (1)求该反比例函数的解析式和a的值． (2)若点A先向左平移个单位长度，再向下平移m个单位长度得到点，点仍落在该反比例函数的图象上，如图所示，求m的值． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式和点的平移变化．主要利用求的值，要注意的取值范围． （1）待定系数法求反比例函数解析式，代入点，求； （2）将点平移后所得点的坐标代入函数解析式求． 【详解】（1）将点代入，得： ， 反比例函数解析式为：， 把点代入得：， ． （2）将点先向左平移个单位，再向下平移个单位后得点：， 把点代入，得：， 解得：（舍，或． ． 7．（2025·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交点是． (1)求n和k的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)n的值是1，k的值是2 (2) 【分析】此题考查反比例函数和一次函数交点问题，数形结合是解题的关键． （1）先利用反比例函数求出，得到，把代入求出； （2）在同一坐标系中画出函数图象，根据图象进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意将代入， 得， 解得：； 将代入， 得， 解得： ∴n的值是1，k的值是2； （2）解：由（1）可知，函数即为函数， 当时，， 当过点时，， 解得，即， 如图： 当时，为，与平行， 如图， 根据图象可知，当时，对于x的每个值，函数既大于函数的值，又小于函数的值，此时． 8．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)连接，直接写出的面积． 【答案】(1)一次函数解析式为；反比例函数解析式为 (2)6 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）把点A的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求解即可； （2）先分别求出C、D的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得， ∴一次函数的解析式为； 把代入中得：， 解得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵轴，， ∴点C和点D的纵坐标都为2， 在中，当时，，即； 在中，当时，，即； ∴， ∵， ∴． 9．（2024·浙江宁波·模拟预测）科学课中，同学们用如图电路做《探究电流与电压、电阻的关系》的实验，采用控制变量法，发现当U（V）一定时，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数关系．小甬所在小组控制电压不变，测得当电阻时，电流． (1)求I与R的函数关系式． (2)调节变阻器，测得电流为，求此时电阻的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求函数自变量的值等知识．熟练掌握反比例函数的应用，求函数自变量的值是解题的关键． （1）设，将，，代入得，，计算求解，然后作答即可； （2）当时，，计算求解即可． 【详解】（1）解：设， 将，，代入得，， 解得，， ∴与的函数关系式为． （2）解：当时，， 解得，， ∴电阻的值为． 10．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）已知 (1)化简Q． (2)若点在反比例函数的图象上，求Q的值． 【答案】(1) (2)当时，，当时，． 【分析】（1）先计算括号内的分式的加法，再把除法化为乘法，再约分即可； （2）根据反比例函数的性质先求解a的值，再代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， 当时，原式， 当时，原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，反比例函数的性质，掌握分式的混合运算的运算顺序与反比例函数的性质是解本题的关键． 【经典计算题十三 已知反比例函数的图象，判断其解析式】 1. （24-25九年级下·全国·单元测试）已知反比例函数． 求： （1）关于的函数解析式； （2）当时函数的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）将x=-3，y=代入y＝ (k≠0)，即利用待定系数法求该函数的解析式； （2）将x=-4代入（1）中的反比例函数解析式，求y值即可． 【详解】解：（1）根据题意，得 ， 解得，； ∴该反比例函数的解析式是； （2）由（1）知，该反比例函数的解析式是， ∴当时，，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．在解答该题时，还借用了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上． 2．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）图所示曲线是反比例函数的图像的一支． (1)这个反比例函数图像的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ (2)若一次函数的图像与反比例函数图像交于点A，与x轴交于点B，的面积为2，求n的值． 【答案】(1)第四象限； (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质可求得反比例函数的图象分布在第二、第四象限，所以即可求解； （2）由一次函数可求出，利用△AOB的面积求出点的纵坐标， 再由一次函数可求得点， 则， 解此方程求出n即可． 【详解】（1）解：图像的另一支位于第四象限； 由图知，解得． （2）过作轴的垂线，垂足为，如图． 在中，令，则， 解得： 即． 由得， ∴， 即A点的纵坐标为． 将代入，求得， 即． ∴ ∴． 3．（22-23九年级上·安徽·开学考试）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作为的整数）．反比例函数的图象为曲线．    (1)若过点，求反比例函数的解析式； (2)若过点，则它必定还过另一点，求的坐标； (3)若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，求出所有满足条件的整数． 【答案】(1) (2) (3)，，，，，，． 【分析】（1）由题意可求这些点的坐标，将点的坐标代入解析式可求解； （2）将点的坐标代入解析式可求的值，将点代入可求解； （3）由曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，可得，，，与，，，在曲线的两侧，即可求解． 【详解】（1）解：每个台阶的高和宽分别是1和2， ，，，，，，，， 过点， ， 反比例函数的解析式为； （2）过点， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 在反比例函数图象上， 的坐标为； （3）若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点， ， 所有满足条件的整数，，，，，，． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，求出各点的坐标是解决问题的关键． 4．（22-23九年级上·四川巴中·阶段练习）反比例函数和一次函数的图象如图所示，化简： 【答案】 【分析】先由反比例和一次函数图像确定a和b的取值范围，把化为，利用再根据范围去绝对值号完成化简即可． 【详解】解：由图像可得：， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图像与系数的关系，去绝对值号去二次根号，注意符号变化是解决问题的关键． 5．（2023·江苏常州·一模）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，点B的坐标为（4，﹣2），反比例函数y（x＞0）的图象经过AB的中点D，交BC于点E． (1)求k的值； (2)若F是OC上一点，且△AFE的面积为3，求直线EF的函数表达式． 【答案】(1)-4 (2)yx+1 【分析】（1）求得线段AB的中点D的坐标，再利用待定系数法求k的值； （2）先求得点E坐标，然后根据题意求得点F坐标，利用待定系数法求直线EF的解析式． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为（4，﹣2），AB的中点为D， ∴D（2，﹣2）， ∵反比例函数y（x＞0）的图象经过AB的中点D， ∴k＝2×（﹣2）＝﹣4， 故k的值为﹣4； （2）解：由（1）可得， 把x＝4代入y得，y＝﹣1， ∴E（4，﹣1）， 连接AF，设F（m，0）， 则OF＝m，CF＝4﹣m， ∴S△AOFOF•OAm， S△CEF（4﹣m）×1＝2m， ∵S梯形OAEC（1+2）×4＝6，△AFE的面积为3， ∴S△AFE＝S梯形OAEC﹣S△AOF﹣S△CEF＝6﹣m﹣（2m）＝3， 解得m＝2， ∴F（2，0）， 设直线EF的解析式为y＝ax+b， 把E（4，﹣1），F（2，0）代入 得， 解得， ∴直线EF的函数表达式为yx+1． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，求得E、F的坐标是解题关键． 6．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于第一、三象限内的、两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，，，点的纵坐标为4． （1）求反比例函数和一次函数的函数表达式； （2）连接，求四边形的面积； （3）在（1）的条件下，根据图像直接写出反比例函数的值小于一次函数的值时，自变量的取值范围． 【答案】（1）反比例函数解析式为；一次函数解析式为；（2）4； （3）或． 【分析】（1）根据BM⊥轴，可知△BMO为等腰直角三角形，可求得点B的坐标，将其代入反比例函数，求出，即可知反比例函数解析式，已知点A的纵坐标，代入求得的反比例函数解析式，可求得点A的横坐标，再利用待定系数法，即可求得一次函数解析式； （2）一次函数与y轴交于点C，可求得C的坐标，易证四边形MBOC是平行四边形，OM即为高，四边形的面积即可求解； （3）要使反比例函数的值小于一次函数的值，反比例函数图像一定在一次函数图像的下方，观察图像，即可求解自变量的取值范围． 【详解】解：（1）∵BM⊥轴，且BM=OM， ∴△BMO为等腰直角三角形， ∵OB=， ∴BM=OM=2， ∴点B的坐标为（-2，-2）， ∵点B在双曲线上，代入 ，可求得， 故反比例函数的解析式为， ∵点A 也是反比例函数上的点，且A点的纵坐标为4，代入， 求得A点坐标为（1，4）， ∵点A、B也是直线上的点， ∴ ，解得 ． 故一次函数的解析式为． （2）∵ 一次函数与轴交于点C， 将代入解析式，可求得C点的坐标为（0，2） ∴ BM=OC，又∵BM//OC， ∴四边形MBOC是平行四边形，OM即为平行四边形MBOC的高， ∴四边形MBOC的面积， 故四边形MBOC的面积为4． （3）根据图像观察可知，要使反比例函数的值小于一次函数的值时，反比例函数图像一定在一次函数图像的下方，包括A（1，4）的右侧，以及B（-2，-2）到轴这两部分，从而可知，自变量的取值范围是：或． 故答案为：或． 【点睛】本题目考查函数的综合，难度一般，涉及知识点有反比例函数、一次函数，待定系数法等，熟练掌握两种函数的性质是顺利解题的关键． 7．（24-25八年级下·北京东城·期末）有这样一个问题:探究函数的图象与性质. 小亮根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小亮的探究过程，请补充完整: (1)函数中自变量x的取值范围是_________. (2)下表是y与x的几组对应值. x … -3 -2 -1 0 2 3 4 5 … y … - - -4 -5 -7 m -1 -2 - - … 求m的值； (3)在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； (4)根据画出的函数图象，发现下列特征:该函数的图象与直线x=1越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线_________越来越靠近而永不相交. 【答案】(1)  ；（2）1；（3）见解析；（4）y=-3. 【分析】（1）根据分母不为0即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论； （2）将x=3代入函数解析式中求出m值即可； （3）连点成线即可画出函数图象； （4）观察函数图象即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：x-1≠0， 解得：x≠1． 故答案为x≠1； （2）当x=时，m=-3=4-3=1， 即m的值为1； （3）图象如图所示： （4）根据画出的函数图象，发现下列特征： 该函数的图象与直线x=1越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线y=3越来越靠近而永不相交， 故答案为y=3． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数自变量的取值范围以及函数图象，连点成曲线画出函数图象是解题的关键． 8．（2024·江苏·一模）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求该反比例函数的表达式． （2）当气体体积为1m3时，气球内气体的气压是多少？ （3）当气球内的气压大于200kPa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球内气体的体积应不小于多少？ 【答案】（1） ；（2）96kPa；（3） . 【分析】(1)设出反比例函数解析式,把A坐标代入可得函数 解析式; (2)把v=1代入(1)得到的函数解析式,可得p; (3)把P=200代入得到V即可 【详解】解：（1）设ρ=，由题意知120=，所以k=96，故ρ=（v＞0）； （2）当v=1m3时，ρ==96，∴气球内气体的气压是96kPa； （3）当p=200kPa时，v==． 所以为了安全起见，气体的体积应不少于m3． 【点睛】此题综合考查了一元一次不等式的应用和反比例函数的应用，解题关键在于把已知的值代入到解析式里面 9．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数y＝的图象于点B，AB＝.求反比例函数的解析式． 【答案】反比例函数的解析式为y＝－. 【分析】根据平移及AB的长度求出点B坐标即可得答案. 【详解】∵将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A， ∴OA=2， ∵AB//y轴，AB=， ∴B点坐标为：（-2，）， 把B（-2，），代入y＝中，得到k＝－3， ∴反比例函数的解析式为y＝－. 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，根据平移及AB的长度求出B点坐标是解题关键. 10．（24-25九年级下·全国·单元测试）已知函数的图象是双曲线．   求的值； 若该函数的图象经过第二、四象限，求函数的表达式． 【答案】；． 【分析】（1）根据反比例函数的定义列出方程求解即可； （2）根据反比例函数的性质，确定m的值，即可求得解析式． 【详解】根据题意得：， 解得：； ∵函数的图象经过第二、四象限， ∴， 解得， ∴， ∴函数的表达式． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义和性质．对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大． 【经典计算题十四 已知反比例函数的增减性求参数】 1．（23-24九年级上·吉林·期中）已知反比例函数（为常数）． (1)若函数图象经过点，求的值； (2)若时，随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数图象上点的坐标特征． （1）将点A的坐标代入即可求得m的值； （2）根据增减性确定的符号，从而确定m的取值范围． 【详解】（1）∵函数图象经过点， ∴， 解得：， ∴m的值是2； （2）∵若时，y随x的增大而减小， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是 2．（23-24九年级上·湖南益阳·阶段练习）函数是反比例函数，且当时，y随x的增大而减小，求m的值 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义和增减性得到且，即可得到m的值． 【详解】解：∵函数是反比例函数，且当时，y随x的增大而减小， ∴且， 解得且， ∴． 【点睛】此题考查了反比例函数的定义和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 3．（2024·浙江湖州·一模）已知一辆货车上装有20吨货物，货车到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）． （1）求v关于t的函数表达式． （2）若要求不超过4小时卸完车上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？ 【答案】（1）；（2）5吨 【分析】（1）根据货物吨数=平均卸货速度×时间计算即可； （2）反比例函数的基本性质求解即可 【详解】（1）由， 得：， （2）∵， 当t=4时，， ∵， ∴在第一象限，v随t的增大而减小， 当时， ∴ 答：平均每小时至少卸货5吨． 【点睛】本题考查了反比例函数的表达式，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 4．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）已知反比例函数的图像经过第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限内的两点、且，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键． （1）根据反比例函数的图像经过第一、三象限可得，由此即可得； （2）根据反比例函数的增减性可得，再结合即可得． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴， 解得． （2）解：对于反比例函数，在第一象限内，随的增大而减小， ∵这个函数的图像经过第一象限内的两点、且， ∴， 解得， 又∵， ∴的取值范围为． 5．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知反比例函数的图象，当时，y随x的增大而增大，求k的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 先根据当时，y随x的增大而增大判断出的符号，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象，y随x的增大而增大， ∴， 解得：． 6．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）已知反比例函数（为常数，且）的图象在每个象限内随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 【详解】解：∵反比例函数（为常数，且）的图象在每个象限内随的增大而增大， ∴， ∴． 7．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知点在反比例函数的图象上． (1)求的值： (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点代入函数解析式即可求解； （2）根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得：； （2）解：∵反比例函数，， ∴在每一象限内，y随着x的增大而减小， ∵，且当时，，时，， ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，属于基础题型，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 8．（24-25九年级上·吉林·期中）已知反比例函数（a为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； (2)当时，y随x的增大而减小，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，然后求解即可； （2）当时，y随x的增大而减小，得到，，然后求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得， a的取值范围是； （2）解：反比例函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小， ， 解得， a的取值范围是． 9．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系中，画出反比例函数的图象，并写出当时，y的取值范围. 【答案】图象见解析，或. 【分析】本题考查了反比例函数的图像及性质及画函数图像， 描点画出图形， 进而即可写出当时， y的取值范围． 【详解】解：列表如下： x … 1 2 3 6 … y … 6 3 2 1 … 函数图象如下： . 当时，或.    . 10．（2024·甘肃庆阳·二模）已知函数，它的图象犹如老师的打钩，因此人们称它为对钩函数（的一支）．下表是y与x的几组对应值． x … 1 2 3 4 … y … 2 … 请你根据学习函数的经验，利用上述表格中所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行探究． （1）如图，在平面直角坐标系中，已描出了上表中各组对应值在坐标上的点，请根据描出的点，画出该函数的图象． （2）请根据图象写出该函数的一条性质：________________________________． （3）当时，y的取值范围为，则a的取值范围为________． 【答案】（1）见解析；（2）当0＜x≤1时，y随x的增大而减小；（3）≤a＜1． 【分析】（1）根据描出的点，画出该函数的图象即可； （2）①当x=1时，求得y有最小值2； ②根据函数图象即可得到结论； （3）根据x取不同值时，y所对应的取值范围即可得到结论． 【详解】解：（1）如图所示： （2）当0＜x≤1时，y随x的增大而减小； 或写成：当x=1时，函数有最小值为2． 故答案为：当0＜x≤1时，y随x的增大而减小（答案不唯一，写单调性或最值中的一种都可以）； （3）当a<x≤4时，y的取值范围为2≤y≤4，则a的取值范围为：≤a＜1． 故答案为：≤a＜1． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，函数图象的画法，画出函数图象是解本题的关键． 【经典计算题十五 比较反比例函数值或自变量的大小】 1．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求反比例函数的的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，解题关键是掌握反比例函数的图象与性质，反比例函数，当时，图象经过一、三象限，并在每个象限内y随x的增大而减小，当时，图象经过二、四象限，并在每个象限内y随x的增大而增大． （1）将点代入，求出，将点代入即可求出反比例函数表达式； （2）直接根据反比例函数的图象性质计算即可得出结论． 【详解】（1）解：将点代入， ∴， ∴点坐标为， 将点代入， ∴， ∴反比例函数为； （2）解：∵， ∴反比例函数图象在一、三象限，并在每个象限内y随x的增大而减小， 当时，反比例函数图象在第三象限， ∴时，最大，当时， 最小， ∴当时，的取值范围是． 2．（23-24九年级上·广东东莞·期末）已知是的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)若，，，是，，，分别是2，8，，时的函数值，请比较大小： ， （填“”“”或“”）； (3)若，分别是，的函数值，当时，比较与的大小关系． 【答案】(1) (2) ， (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查反比例函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、已知自变量求函数值、利用反比例函数图象与性质比较函数值大小等知识，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． （1）根据题意，设，当时，，则，即可得到答案； （2）由（1）中，将，，，代入求出，，，，比较大小即可得到答案； （3）由（1）中，利用反比例函数的图象与性质分类讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：是的反比例函数， 设，当时，，则， 关于的函数解析式是； （2）解：由（1）知， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ，， 故答案为： ，； （3）解：由（1）知， 反比例函数图象在第一、三象限，在每一个象限中，随的增大而减小， 当时，； 当时，； 当时，． 3．（23-24八年级下·河南周口·期中）已知反比例函数的图象经过第一、三象限． (1)求的取值范围． (2)若，此函数的图象经过，两点，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的增减性是解本题的关键； （1）由反比例函数的图象经过第一、三象限可得，再解不等式即可； （2）由反比例函数的增减性可得，从而可得答案． 【详解】（1）解： 反比例函数的图象经过第一、三象限， ，解得， 的取值范围是． （2）， ，， 反比例函数的图象经过，两点，且， ， 解得， ∴的取值范围是． 4．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过作轴的垂线，垂足为，且的面积为1． (1)求m和k的值； (2)若点也在这个函数的图象上，当时，求y取值范围 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质． （1）根据三角形的面积公式先得到的值，然后把点的坐标代入，可求出的值； （2）先分别求出和3时的值，再根据反比例函数的性质求解． 【详解】（1）解：， ，， ， ； 点的坐标为， 把代入， 解得； （2）解：当时，；当时，， 当时，的取值范围为． 5．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知反比例函数，其函数图象位于第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若点是该反比例函数图象上的两点，试比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，反比例函数的性质及反比例函数的图象，熟知反比例函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可； （2）先根据函数解析式判断出函数图象所在的象限及增减性，进而可得出结论． 【详解】（1）解：该反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 解得． （2）解：该反比例函数的图象在第一、三象限， 在每个象限内，随的增大而减小． 又， ． 6．（23-24九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知函数为反比例函数． (1)求k的值； (2)求出时，y的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查的是反比例函数的定义及反比例函数的性质，根据题意求出的值是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义得出关于的方程和不等式，求出的值即可； （2）根据（1）中的值得出反比例函数的解析式，再求出和时的值即可． 【详解】（1）解：函数为反比例函数 且， ； （2）解：由（1）知，， 反比例函数的解析式为， 当时，；当时，， 时，． 7．（24-25八年级下·浙江·期末）已知，是反比例函数图象上的两点． (1)若，，求的值． (2)若，关于原点中心对称，求的值． (3)当，，时，求的取值范围． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质，中心对称的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）把，代入，求出，再计算即可； （2）根据中心对称的点的坐标特征求解即可； （3）先确定，，进而确定点在第三象限，点在第一象限，最后根据象限内的点的坐标特征列不等式求解即可． 【详解】（1）解：当，时， ，， ； （2）∵，关于原点中心对称，且都在函数图象上 ∴，，， ∴ （3）∵，， ∴， ∵时，图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵，， ∴点和点不在同一象限内， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴，且， 解得：． 8．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）平面直角坐标系中，直线与双曲线的一个交点为． (1)求k的值； (2)分别是该双曲线上的两点，直接写出当时，n的取值范围． 【答案】(1)30 (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象与性质等知识点． （1）把P代入一次函数解析式即可解得m的值，从而可得点P的坐标，再把所得点P的坐标代入反比例函数的解析式即可求得k的值； （2）由（1）可知，由此可知反比例函数的图象在第一、三象限，由此可知存在以下两种情况，①当点M在第一象限，点N在第三象限时，只要，则；②当点M在第一象限，点N也在第一象限时，则只有当才一定成立． 【详解】（1）解：∵直线与双曲线的一个交点为， ∴把代入一次函数解析式得：，即， ∴P的坐标为， 把P的坐标代入反比例解析式可得：； （2）解：∵在反比例函数中，， ∴该反比例函数的图象分布在第一象限和第三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小 又∵点在第一象限， ∴①当点在第三象限时，，则； ②当也在第一象限时，则只有当，才一定成立； 综上所述：当时，n的取值范围为或． 9．（2025·广东·二模）【阅读材料】给出如下定义：在平面直角坐标系中，点的纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横差”．在某范围内某函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为；当时，的最大值为，所以函数（）的“纵横极差”为． 【问题解决】根据阅读材料中的定义，解答下列问题： (1)求点的“纵横差”； (2)求函数的“纵横极差”； (3)若为实数，函数的“纵横极差”为，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，反比例函数的图象和性质，掌握新定义下的运算是解题的关键． （）根据“纵横差”的定义求解即可； （）根据“纵横极差”的定义得，然后通过反比例函数的性质求解即可； （）根据“纵横极差”的定义得，然后通过反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，点的“纵横差”为； （2）解：由题意，函数图象上所有点的“纵横差”为， 又∵当时，随的增大而减小， ∴当时，的值最大，最大值是， ∴函数的“纵横极差”为； （3）解：∵， ∴由题意，该函数图象上所有点的“纵横差”为， 根据反比例函数的性质，对的符号进行分类讨论：当时， 若，则的最大值在处取得，即最大值为， ∴“纵横极差”为，符合条件； 若，则的最大值在处取得，即最大值为， ∴“纵横极差”为，解得，不符合条件，舍去， 综上所述，的值为． 10．（2025·湖北·二模）如图，点、在反比例函数的图象上，轴，轴，垂足分别为、，与相交于点． (1)由图象直接写出、的大小关系，并通过计算加以验证； (2)若四边形的面积为2，求的值． 【答案】(1)，验证见详解 (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质即可得，再将点、代入反比例函数的解析式，分别求出、的值，由此即可加以验证； （2）根据矩形的判定与性质可得，再根据点A、B的坐标可得，从而可得，因此，利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：， 验证如下： 由反比例函数的图象可知， 当时，；当时，， ，， ， 即； （2）轴，轴，， 四边形是矩形， ， 、， ， ， 解得， ， 将点代入得：． 【经典计算题十六 已知比例系数求特殊图形的面积】 1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点 是反比例函数 的图象上一点，过点作轴，垂足为点 ，线段交反比例函数 的图象于点，求的面积． 【答案】的面积为 【分析】本题考查反比例函数的的几何意义． 根据反比例函数的的几何意义，可得和的面积，相减即可． 【详解】解：∵点 是反比例函数 的图象上一点，轴于点， ∴ ， 又∵线段交反比例函数 的图象于点， ∴，    ∴． 答：的面积为． 2．（23-24九年级上·吉林长春·期末）在反比例函数的图象上有不重合的两点、，点的纵坐标为2． (1)求点的横坐标； (2)过点向轴作垂线，垂足是，试求． 【答案】(1)点的横坐标为4； (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质． （1）将点的横坐标代入求解即可； （2）设，则有，，根据三角形面积公式可得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象上的点纵坐标为2， ∴，∴， ∴点的横坐标为4； （2）解：设则有， ，， ∴． 3．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，矩形的边在x轴上，顶点A在双曲线上，顶点B在双曲线上，求矩形的面积．    【答案】矩形的面积是2 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得矩形的面积和矩形的面积，根据可得结论． 【详解】解：设，则， 由此可得：， ， 则有． 【点睛】考查反比例函数的几何意义的综合应用，通过反比例函数上一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积为． 4．（22-23八年级上·上海松江·阶段练习）已知反比例函数的图像在第一象限内经过点A、B，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别P、Q，过点B作垂直于x轴，垂足为点H，若，，求这个反比例函数的解析式和的面积． 【答案】反比例函数为：，． 【分析】先根据题意画好简易图像，确定A的坐标，再利用待定系数法求解反比例函数解析式，再利用k的几何意义求解的面积即可． 【详解】解：如图， ∵过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别P、Q，，， ∴，设反比例函数为， ∴， ∴反比例函数为：， ∵过点B作垂直于x轴， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，反比例函数的比例系数k的几何意义，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 5．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，P是y轴正半轴上的一点，过点P作直线AB//x轴，分别与双曲线y＝﹣（x＜0）、y＝（x＞0）相交于点A、B，连接OA、OB，求△AOB的面积． 【答案】S△AOB＝． 【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】解：∵AB⊥y轴， ∴S△OAP＝，S△OBP＝＝2， ∴S△AOB＝S△OBP+S△OAP＝+2＝． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是理解反比例函数的比例系数k的几何意义，属于中考常考题型． 6．（22-23九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点B在函数y1＝（x＞0）的图象上，边AB与函数y2＝（x＞0）的图象交于点D．求四边形ODBC的面积． 【答案】3 【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为1，矩形ABCO的面积为4，从而可以求出阴影部分ODBC的面积． 【详解】解：∵点D是函数y2＝（x＞0）图象上的一点， ∴△AOD的面积为， ∵点B在函数y1＝（x＞0）的图象上，四边形ABCO为矩形， ∴矩形ABCO的面积为4， ∴阴影部分ODBC的面积＝矩形ABCO的面积-△AOD的面积＝4-1＝3， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，过反比例函数的图象上任意两点A、B，分别作轴的垂线，垂足为，连接OA，OB，与OB的交点为P，记△AOP与梯形的面积分别为，试比较的大小． 【答案】 【分析】利用图形面积关系可得：再利用反比例函数的的几何意义可得：从而可得答案. 【详解】 【点睛】本题考查的是反比例函数的系数的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数系数与过反比例函数图象上任意一点向两轴作垂线所形成的矩形的面积之间的关系. 8．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，过点P作轴交反比例函数的图象于点M，作轴交反比例函数的图象于点N，连接． (1)求k的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的关键． （1）将点代入反比例函数可求出k的值； （2）设点，则，，根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，， ； （2）设点，则， ． 9．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，点在轴的正半轴上，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交轴于点，记四边形的面积为． (1)若点的纵坐标为2，求的值； (2)求证：无论点在轴正半轴的何处，的值不变． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义，熟知反比例函数图像上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据题意求得、点的坐标，即可求得，，然后根据矩形的面积公式即可求解； （2）利用反比例函数系数的几何意义即可证得结论． 【详解】（1）解：由题意可知点的纵坐标为2， 把代入， 可得 ，解得 ， ∴， ∴点的横坐标为3， 把代入得，， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：延长，交轴于， ∵轴，轴， 又∵点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上， ∴，， ∴， ∴无论点在轴正半轴的何处，的值不变． 10．（2024九年级·全国·竞赛）如图，过反比例函数图象上的点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点． (1)求四边形周长的最小值，并求出此时点的坐标； (2)过点右边的另一点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点，如果点的横坐标分别为，试比较四边形与四边形周长的大小． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义，并利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）设四边形的周长为，点的坐标为，则，利用不等式的性质即可求解； （2）设四边形的周长为，四边形的周长为，分，和，三种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：设四边形的周长为，点的坐标为， 则， 由题意，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵当且仅当时等号成立， ∴当且仅当时，取得最小值， 此时点的坐标为； （2）解：设四边形的周长为，四边形的周长为， 则， 由题意，， ∴当，即时，， 即，∴四边形的周长小于四边形的周长； 当，即时，， 即，∴四边形的周长等于四边形的周长； 当，即时，， 即，∴四边形的周长大于四边形的周长． 【经典计算题十七 根据图形面积求比例系数（解析式）】 1．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）反比例函数在第一象限的图象，如图，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，连接，若，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义．根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，再利用得到，然后解关于k的绝对值方程即可． 【详解】解：根据题意得：轴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∵反比例函数在第一象限的图象， ∴， ∴． 2．（2024·四川绵阳·二模）如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，，求点所在的反比例函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．利用反比例函数中值的几何意义，求出三角形的面积就可推导出值，写出解析式． 【详解】解：设点所在的反比例函数解析式为：， 过点作，垂足为， ，， ， ； ，且图象在第四象限， ． 点所在的反比例函数解析式为：． 3．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值． 【答案】8 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用四边形的面积进行计算，熟练掌握图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即是解决此题的关键． 【详解】∵轴，轴，两个函数图象都在第一象限， ∴， ∴四边形的面积． 解得． 4．（23-24九年级上·湖南郴州·期中）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，且的面积为3． (1)试求的值； (2)若，点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据三角形面积求出的值是解此题的关键． （1）根据反比例函数的几何意义可得，再结合反比例函数所在象限即可确定的值； （2）由可得点的横坐标为2，代入反比例函数求得纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 反比例函数的图象位于第一象限， ， ； （2）解：由（1）得：， 反比例函数解析式为：， ， 设， 将代入得：， ． 5．（22-23八年级·上海·假期作业）反比例函数的图像经过点，过点A作轴于点B，的面积为，求k和m的值． 【答案】， 【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，结合图像的分布计算即可． 【详解】如图所示， ∵，∴； 因为反比例函数的图像经过点， 则． 【点睛】本题考查了根据三角形面积确定反比例函数比例系数k，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 6．（2024·广西百色·一模）如图，点A，B关于y轴对称，S△AOB＝8，点A在双曲线y＝，求k的值． 【答案】k＝﹣4． 【分析】记AB与y轴的交点为C，先据轴对称求得S△AOC的面积，由反比例函数系数的几何意义，即可求出2k的绝对值，再根据反比例函数在第二象限有图象即可确定2k符号．求得2k的值，再除以2可得k值． 【详解】解：如下图，记AB与y轴的交点为C， ∵点A，B关于y轴对称， ∴AB垂直于y轴，且AC＝BC， ∴S△AOC＝S△AOB＝， ∵S△AOC＝|2k|， ∴|2k|＝4， ∴ ∵在第二象限， ∴2k＝﹣8 ∴k＝﹣4． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，求得S△AOC=4和利用反比例函数系数的几何意义求出k值是解题的关键． 7．（24-25九年级上·广西贺州·期末）如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，若△OAB的面积为2，求该反比例函数的解析式． 【答案】 【分析】根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|及反比例函数图象位置求出k值，即可得出结论． 【详解】解：∵△OAB的面积为2， ∴OB·AB＝2， 即OB·AB＝4． ∴｜k︱＝4． ∴k＝±4． ∵y＝过一、三象限， ∴k＞0， ∴k＝4． ∴反比例函数解析式为． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 8．（23-24九年级上·河南·期末）如图，在反比例函数图象上取点，过点作轴于点，点在轴上，的面积为． (1)求反比例函数的解析式； (2)若，点在该反比例函数的图象上，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）连接，利用同底等高的两个三角形面积相等，再根据的几何意义即可求解； （）由点在该反比例函数的图象上得出，通过，，求出点，则，然后利用面积公式即可求解 此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数中的几何意义． 【详解】（1）解：连接， ∵轴， ∴轴， ∵点在轴上， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）如图， ∵点在该反比例函数的图象上， ∴点，即， 设， ∵，轴， ∴， ∵， ∴，即点， ∴， ∴的面积为：． 9．（2023九年级上·全国·专题练习）（1）若P是反比例函数图像上的一点，轴，垂足为点Q，若，求k的值； （2）已知反比例函数的图像上有一点A，过A点向轴，y轴分别作垂线，垂足分别为点，且四边形的面积为15，求这个反比例函数解析式． 【答案】（1），或；（2），或． 【分析】（1）根据反比例系数的几何意义，得到，解得； （2）根据反比例系数的几何意义，得到，解得，即得反比例函数解析式． 【详解】（1）根据反比例系数的几何意义，可得，解得，，或； （2）根据反比例系数的几何意义，可得，解得，，或， ∴反比例函数解析式为，或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握反比例系数k的几何意义，通过反比例函数上一点向一条坐标轴作垂线，这个点与垂足和原点所构成的三角形面积，与两条坐标轴围成矩形面积，注意加绝对值时，有互为相反数两个答案． 10．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足为B，． (1)求k的值： (2)点C在这个反比例函数图像上，且，求OC的长． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）先利用已知求出OB的长度，进而根据反比例函数中k值的几何意义可求得k值． （2）连接OC，过点C作轴于点H，过点A作于点M，根据（1）中结论利用矩形的性质可求出，的长度，进而利用勾股定理可得长度． 【详解】（1）解： 根据k值的几何意义可知： ∴ （2）解：如图所示，连接，过点C作轴于点H，过点A作于点M．      四边形AMHB是矩形 设，则， 解得：（舍去） 则 【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用，涉及勾股定理、矩形的判定与性质、以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数中的k值的几何意义是解决本题的关键． 【经典计算题十八 求反比例函数解析式】 1．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段练习）已知，与成正比例，与成反比例，并且当时，，当时，，求关于的函数关系式． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数、反比例函数的表达式及待定系数法求函数关系式，熟练掌握待定系数法，准确设出函数表达式并代入已知条件列方程组求解是解题的关键．先设出、的表达式，进而得到的表达式，再将已知的、值代入，通过解方程组求出未知系数，确定函数关系式． 【详解】解：设（），（）．则． 当时，，代入可得：①； 当时，，代入可得：②． 由①得，即，将其代入②得 解得． 把代入，得． 所以关于的函数关系式为． 2．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知反比例函数的图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大． (1)求k的取值范围； (2)若点在该函数的图象上，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了函数图象与系数的关系，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键． （1）由反比例函数图象和性质尽快求出k的取值范围； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大， ∴， ∴； （2）解：∵点在该函数的图象上， ∴， ∴． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）已知 与x 成反比例．当 时，；当 时，． (1)求y与x的函数表达式； (2)当时，求 y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的待定系数法，已知自变量的值求函数值． （1）利用成反比例的定义可设，将已知的两组值代入即可求得k的值，从而解答； （2）把代入函数，即可解答． 【详解】（1）解：∵ 与x 成反比例， ∴设 则由题意，得， 解得 所以． （2）解：当时，． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）已知函数 ，与x成反比例关系， 与 成反比例关系．当 时， ，当 时， 求y关于x的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法确定反比例函数的解析式的方法，解决本题的关键是得到与的函数关系式，需注意两个函数的比例系数是不同的． 首先根据题意，分别表示出与，与的函数关系式，再进一步表示出与的函数关系式，然后根据已知条件，得到方程组，即可求解． 【详解】解：设 则 ∵当时，，当时，， ∴ 解得 ∴y关于x的函数表达式为 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，的取值范围． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为； (2)当时，的取值范围是或． 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，根据函数图象的交点求的取值范围，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式． （1）将点，代入，解方程组，可得，，从而可得反比例函数的解析式，以及点，将，代入，解方程组，可得，，从而可得一次函数的解析式； （2）根据两个图象的交点坐标，即可得时，的取值范围． 【详解】（1）解：将点，代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为： ，点， 将，代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：， 答：一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． （2）解：∵一次函数与反比例函数交于点，， ∴根据一次函数和反比例函数的图象得：当时，的取值范围是或， 答：当时，的取值范围是或． 6．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）已知反比例函数的图象经过点． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)点，在这个函数的图象上吗？ 【答案】(1) (2)点在函数图象上；点不在函数图象上 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，判断点是否在函数图像上等知识点，解题的关键是掌握数形结合的数学思想及待定系数法． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】（1）解：将点代入得， ， ∴该反比例函数的表达式为； （2）解：当时，代入反比例函数解析式得，函数值与点纵坐标相等， ∴点在函数图象上； 当时，代入反比例函数解析式得，函数值与点纵坐标不相等， ∴点不在函数图象上． 7．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图所示的曲线表示温度与时间之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支，过点． (1)求该曲线对应的函数解析式； (2)若，直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图像的性质等知识点，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据图象上的点横纵坐标的值可知解析式中对应的和的值，即可得到答案； （2）根据图象的性质即可得到答案； 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 由图象可知：点在反比例函数图像上， ∴， ∴设反比例函数的解析式为； （2）解：由图象的性质可知，当时，随的增大而减小， 当时，∴， 当时，∴， 故自变量的取值范围为． 8．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与轴交于点，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点． (1)求的值和这个反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)6 (3)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，三角形面积，解题的关键是数形结合． （1）先求出点的坐标，然后代入反比例函数解析式，求出的值即可； （2）由一次函数的解析式求得点的坐标，利用反比例函数的对称性求得点的坐标，然后根据即可求解； （3）根据图象即可求得． 【详解】（1）在一次函数的图象上， ， 解得， 点的坐标为， ， 反比例函数的对应的函数关系为； （2）当时，， 解得， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， 点的坐标为， ； （3）当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，或． 9．（2025九年级下·江西·专题练习）如图，点，在反比例函数 的图象上，轴于点 C， 于点 D． (1)若，求直线的解析式； (2)若的面积为4，求 k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求解函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识是解题的关键． （1）先求出B的坐标，再利用待定系数法求解直线的解析式即可； （2）先根据题意得到，再求出，，再根据三角形面积求出B点坐标即可得出结果． 【详解】（1）解：点，在反比例函数的图象上，， ，解得 ，      设直线的解析式为，将A，B 的坐标分别代入， 得 ，解得 ， 直线的解析式为． （2）根据题意，可得，      轴，， ，， ，     ，即， ． 10．（2025·江苏苏州·三模）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，由在反比例函数的图象上，则，可得反比例函数的解析式，将代入，求出后可得的坐标，再由待定系数法可得一次函数的解析式即可； （2）设直线与直线的交点坐标为，把代入得，即，设，则，解出的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意，在反比例函数的图象上， ． 反比例函数为， 将代入， ． ． 由题意，将，分别代入，得 ， 解得， 一次函数为； （2）如图，设直线 与 的交点为， 把代入得， 即， 设， △的面积为21， ， ， 解得或， 的坐标为或． 【经典计算题十九 一次函数与反比例函数的交点问题】 1．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，已知直线与反比例函数的图象相交于点，并且与轴相交于点B． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数图象和一次函数图象的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及三角形的面积公式是解题的关键﹒ （1）将A坐标代入直线解析式求得点，将其代入反比例函数解析式即可得答案； （2）过点作轴于，可得，求得点B坐标后根据三角形的面积公式可得答案． 【详解】（1）解：将代入中， 得：， ∴点坐标， 将代入中， 得：，即， 所以反比例函数表达式为：； （2）如图，过点作轴于， 因为， 所以， 在直线中，令，得， 所以即， 所以． 2．（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点、两点． (1)求一次函数的表达式； (2)连接并延长交反比例函数的图象于点，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）待定系数法求出直线解析式即可； （2）先求出点坐标，再根据代入数据计算即可． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于、两点， ， 解得，， ∴、， ∴， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：由可知即，， 由反比例函数的对称性得到， ． 3．（24-25九年级下·全国·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出在第一象限内，一次函数大于反比例函数y=的x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的解析式为y=；一次函数的解析式为 (2) 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的性质，解本题的关键掌握待定系数法和一次函数及反比例函数的性质． （1）把代入中，得m的值，把B代入中，得n的值，把A、B都代入中，得k、b的值，即可求一次函数的表达式； （2）由图象分析，相同x值，一次函数图象比反比例函数图象高的部分，对应x即可． 【详解】（1）解：把代入中， 得，解得， ∴反比例函数解析式为， 把代入中， 得， ∴， 把、代入中， 得， 解得，即一次函数的解析式为； （2）解：由图象分析： 一次函数大于反比例函数y=的x的取值范围为． 4．（24-25九年级上·贵州黔西·期末）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为 (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，三角形面积公式及三角形面积的和差，利用函数图象与不等式的关系解不等式． （1）根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据待定系数法，可得一次函数的解析式； （2）根据三角形的面积公式，利用三角形面积的和差：，可得答案； （3）根据反比例函数图象在一次函数图象上方的部分是不等式的解集，可得答案． 【详解】（1）解：将代入反比例函数得，， ∴， ∴， 将代入反比例函数得， ∴， 则， 将代入一次函数得，， ∴ ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图，设直线与轴交于点, ∵一次函数的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴； （3）解：使得成立时，反比例函数图象在一次函数图象上方， 则x的取值范围为：或． 5．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，正比例函数（常数）的图象与反比例函数（常数）的图象交于A、B两点，且点A的坐标为． (1)求反比例函数表达式，并直接写出点B的坐标． (2)根据函数图象，直接写出满足方程的x的值． 【答案】(1)； (2)2和 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的性质及应用，反比例函数解析式的求解，正比例函数与反比例函数的对称性，分别求出正比例函数和反比例函数是解决本题的关键． （1）反比例函数，把点A的坐标代入反比例函数表达式就可以求出m的值，从而得到反比例函数表达式，因为正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，所以点A与点B关于原点对称，进而得出点B的坐标． （2）由函数图象求解即可． 【详解】（1）解：因为点在反比例函数的图象上， 将，代入中，得到，即， 所以反比例函数表达式为， 由于正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称， 点关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标都变为原来的相反数， 所以点B的坐标为． （2）解：因为正比例函数的图象与反比例函数（常数）的图象交于两点． 所以由图象知，满足方程的x的值为2和． 6．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． (1)分别求出反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)若点是轴上的一动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2)； (3)点P的坐标为或． 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）把代入或 解方程即可得到结论； （2）把代入得，，得到，于是得到不等式的解集为； （3）设，分三种情况讨论，当或或时，过A作轴于E，过B作轴于F，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于． ∴，， ∴，， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）解：把代入得， ∴， ∴不等式的解集为； （3）解：设， 如图，当时， 过A作轴于E，过B作轴于F， ∴ ， ∴， ∴； 当如图，当时， 过A作轴于E，过B作轴于F， ∴ ， ∴（不合题意舍去）， 当如图，当时， 过A作轴于E，过B作轴于F， ∴ ， ∴， ∴， 综上所述，点P的坐标为或． 7．（2025·全国·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象都经过点． (1)求点A的坐标及反比例函数的解析式； (2)结合图象写出在第一象限内时的x的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，利用待定系数法求解是解题的关键． （1）先根据一次函数的图象经过点求出m的值，得到点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析求出k值，即可得到反比例函数的表达式； （2）在第一象限内找到一次函数图象在反比例图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ∴, 解得， ∴点A的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：由函数图象可得在第一象限内时，． 8．（24-25九年级下·四川自贡·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与轴，轴分别交于、两点，点，点为线段的中点，连接、． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点为线段上一动点（不与点、重合），过点作直线，使得，交于点．若与的面积比为，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)点M的坐标为． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点B坐标代入反比例函数解析式，再由点C为线段的中点求出点D坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可． （2）根据题意先求出点A的坐标，再根据三角形相似的判定和性质得出点M为的中点，据此可解决问题． 【详解】（1）解：将点B坐标代入得，， ∴反比例函数的解析式为； ∵点C为线段的中点，且点C在x轴上，点D在y轴上， ∴，则， ∴点D的坐标为， 将点D和点B坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由得， ∴，， ∴点A的坐标为， ∵， ∴， ∵与的面积比为， ∴， ∴点M为的中点， ∴点M的坐标为． 9．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接、． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数及一次函数反比例函数图像共存交点围成图形面积问题，解题关键是联立两函数求出交点将三角形转换成底边在x轴y轴上的三角形． （1）根据一次函数求出点A坐标，再代入反比例函数即可得到答案； （2）根据题意确定点B的坐标，结合图形求面积即可． 【详解】（1）解：点在一次函数的图象上， 代入得：， ， 点在反比例函数的图象上， 代入得：， 反比例函数的解析式为， （2）由，得， ， 点在反比例函数的图象上， 代入得：， ， ． 10．（2025·贵州·二模）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． (1)求这个反比例函数的表达式及的值； (2)观察图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确理解题意是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出a的值即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解；反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为． 点在这个反比例函数的图象上， ． （2）解：由图象可得，关于的不等式的解集为：或． 学科网（北京）股份有限公司 $