专题21.7 二次函数与反比例函数60道压轴题型专训（15大题型）-2025-2026学年沪科版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题21.7 二次函数与反比例函数60道压轴题型专训（15大题型） 题型一 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型二 图象法解一元二次不等式 题型三 根据交点确定不等式的解集 题型四 线段周长问题 题型五 面积问题 题型六 角度问题 题型七 特殊三角形问题 题型八 特殊四边形 题型九 相似三角形问题 题型十 二次函数的其他问题 题型十一 反比例函数与几何结合 题型十二 一次函数与反比例函数的交点问题 题型十三 一次函数与反比例函数的实际应用 题型十四 一次函数与反比例函数的其他综合应用 题型十五 反比例函数、二次函数图象综合判断 【经典例题一 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 1．（2024·广东·模拟预测）如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数性质以及二次函数与方程及不等式的关系．根据图象开口向下，对称轴为直线可得抛物线与x轴另一交点坐标在，之间，结合图象从而判断①正确；由对称轴为直线可得，代入即可判断②正确；由抛物线顶点坐标为，得到有两个相等实数根，可得，从而判断③正确；由函数最大值为结合函数图象可得有两个不相等的实数根，可判断④错误． 【详解】解：∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵图象与x轴的一个交点在和之间， ∴图象与x轴另一交点在，之间， ∴时，， 即， 故①正确，符合题意； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， 即， 故②正确，符合题意； ∵抛物线顶点坐标为， ∴有两个相等实数根， 即方程有两个相等实数根， ∴， ∴ 故③正确，符合题意； ∵的最大函数值为， ∴有两个不相等的实数根， 故④错误，不符合题意． 故选：B 2．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）规定：若点在某一个函数的图象上，且点的横纵坐标互为相反数，则称点为这个函数的“互反点”．若关于的二次函数对于任意的常数，恒有两个“互反点”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的根的判别式，根据恒有两个“互反点”，可得有两个不相等的实数根，推出，根据关于n的一元二次方程无解，即可求出的取值范围． 【详解】解：令得， 整理得， 由题意知，有两个不相等的实数根， ， 不等式成立， 关于n的一元二次方程无解， ， 整理得， 解得， 故选D． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）将抛物线的图像位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图像，若直线与此图像有四个交点；求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象变换，二次函数与一次函数的交点问题，根据题意，画出新图象，分别确定直线与抛物线有一个交点、直线经过点时的的值，即可求解，熟练掌握相关知识点是关键． 【详解】解：根据题意，画出图象如图所示： 直线与抛物线未翻折部分有一个交点时，此时直线与新图象有三个交点， 可得方程有一个实数根， 整理方程得：， ， 解得：； 由解得：，， ， 当直线经过点时，此时直线与新图象有三个交点， 可得， 解得， 根据图象可得，的取值范围是：． 4．（22-23九年级下·广东梅州·开学考试）二次函数的图像如图所示，根据图像解答下列问题： (1)写出不等式的解集； (2)当时，写出函数值y的取值范围． (3)若方程有两个不相等的正实数根，写出k的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据函数图像中的数据可以得到的范围； （2）根据图像中的数据可以得到当时，函数值y的取值范围； （3）根据图像中的数据可以得到方程有两个不相等的正实数根时，k的取值范围． 【详解】（1）由图像可得， 当或时，； （2）由图像可知， 当时，函数值 y的取值范围； （3）由图像可知， 函数的最小值是， 当 时，， 故方程有两个不相等的正实数根， k 的取值范围是． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 【经典例题二 图象法解一元二次不等式】 1．（23-24九年级下·浙江·自主招生）已知实系数一元二次方程的两实根为，且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查线性规划，根据一元二次方程有两个实根为，且，得到二次函数，在时：，在时：，画出对应的平面区域，求解即可． 【详解】∵的二次项系数为， ∴二次函数的图象开口向上， ∵一元二次方程有两个实根为，且， ∴当时：，当时：， 即：， 其对应的平面区域如下图阴影示： ∵表示阴影区域上一点与原点连线，线的斜率， 由图可知：； 故选：D． 2．（23-24九年级上·江苏南通·期末）请阅读下列内容:我们在平面直角坐标系中画出抛物线和双曲线，利用两图象的交点个数和位置来确定方程有一个正实数根，这种利用函数图象判断方程根的情况的方法叫做图象法．请用图象法判断方程的根的情况（    ） A．一个正实数根 B．两个正实数根 C．三个正实数根 D．一个正实数根，两个负实数根 【答案】A 【分析】画出y=和y=的图象，根据图象观察的根的情况． 【详解】如图可知，=有一个正实根． 故选A． 【点睛】本题考查的是运用函数图象法求方程的解的知识，掌握函数图象的交点与方程的解的关系是解题的关键． 3．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数与x轴的交点是和，关于x的方程（其中）的两个解分别是和5，关于x的方程（其中）也有两个整数解，这两个整数解分别是 ． 【答案】0和4 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程．解决问题的关键是画出图象，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系． 先确定二次函数与x轴和直线的交点，画出大致图象，然后根据二次函数与的交点位置，判断两个根的大小范围即可求解． 【详解】解：由题意可知二次函数与x轴的交点分别为和， 与的交点分别为和， 设与的交点分别为和， ∵， ∴直线在x轴和直线之间， 如图所示： 由图可知，， 又，q都为整数， ∴，， 故答案为：0和4． 4．（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）对于一些比较复杂的方程，可以利用函数图像来研究方程的根． 问题：探究方程的实数根的情况． 下面是小董同学的探究过程，请帮她补全： （1）设函数，这个函数的图像与直线的交点的横坐标就是方程的实数根． （2）注意到函数解析式中含有绝对值，所以可得： 当时，； 当时，________________； （3）在如图的坐标系中，已经画出了当时的函数图像，请根据（2）中的解析式，通过描点，连线，画出当时的函数图像． （4）画直线，由此可知的实数根有________个． （5）深入探究：若关于的方程有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为非负数，则的取值范围是________________． 【答案】（1）见解析；（2）2x2-4x；（3）见解析；（4）3；（5）-2＜m＜0 【分析】（1）函数y=x（|x|-2）的图像与直线y=的交点的横坐标就是方程x（|x|-2）=的实数根． （2）根据绝对值的性质去掉绝对值整理即可，注意x的取值范围； （3）通过描点，连线，画出当x＞0时的函数图像即可； （4）根据两个函数图像交点的个数，找出方程解的个数； （5）根据两个函数图像相交产生的交点，比较交点横坐标的特征，加以分析即可求得． 【详解】 解：（1）函数y=2x（|x|-2）的图像与直线y=1的交点的横坐标就是方程2x（|x|-2）=1的实数根． （2）当x＞0时，y=2x（|x|-2）=2x（x-2）=2x2-4x， 故答案为2x2-4x； （3）如图： （4）如（3）题图，直线y=1的图像与y=2x（|x|-2）的图像有三个交点， 则可知方程2x（|x|-2）=1的实数根有 3个． 故答案为3； （5）根据题意画出图像： 可知：直线y=m与函数y=2x（|x|-2）的交点的横坐标x1＜0＜x2＜x3，且x2+x3=2，x1＜-2， ∴x1+x2+x3＜0， ∴-2＜m＜0， ∴关于x的方程x（|x|-2）=即2x（|x|-2）=m有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为负数，则m的取值范围是-2＜m＜0， 故答案为：-2＜m＜0． 【点睛】本题考查了方程与函数的关系．函数表达式就可以看成是方程，一元方程，两端都可以看成是函数，两个图像的交点就是方程的解．方程和函数的相互转化，深入的渗透在初中数学的解题过程中，需要同学们加强学习． 【经典例题三 根据交点确定不等式的解集】 1．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题二次函数的图象与性质、二次函数与不等式、二次函数图象与x轴的交点问题，理解并灵活运用相关知识是解答的关键．先构造差函数，再根据二次函数图象与性质，以及对应图象与x轴的交点问题求解即可． 【详解】解：设函数， 要使，只需恒成立， 当即时，函数是一次函数，显然不恒成立， 当即时，二次函数y的图象开口向下， ∴不恒成立，故选项C、D不符合题意； ∴只需，且恒成立， 当时，满足，但b值不确定，当b很大时，可能大于0，故选项A不符合题意； 当时，满足，， ∴恒成立，故选项B符合题意， 故选：B． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线，当时，x的取值范围为或，则如下四个值中有可能为a的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由时，x的取值范围为或，可得和是方程的两个根，则根据根与系数的关系可求出，从而可得出，进而可得，即． 【详解】解：当时，， ∴． ∵当时，x的取值范围为或， ∴和是方程的两个根， ∴， ∴， ∴， ∴是函数的对称轴． 又∵当时，x的取值范围为或， ∴， ∴． 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程，不等式的关系等知识，较难．熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 3．（2023九年级·全国·专题练习）关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根都在和0之间（不包括和0），则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】首先根据根的情况利用根的判别式解得的取值范围，然后根据两个不相等的实数根都在和0之间（不包括和0），结合函数图象确定其函数值的取值范围得，易得到的取值范围． 【详解】∵关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 设， 根据题意知，当时， 如图1， 当时，，且当时，， 可得， 解得： ； 当时，如图2， 由当时，，且当时，， 可得， ∴该不等式组无解； 综上，a的取值范围是且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的分布情况， 熟练掌握一元二次方程根的判别式，求出参数的取值范围，其中端点和临界点函数值的取值是解此题的关键． 4．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，与轴其中一个交点坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，请结合图象直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析、二次函数的性质、确定x的取值范围等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先根据二次函数图像得求得抛物线与x轴的交点坐标，然后结合函数图象即可确定的取值范围． 【详解】（1）解：该抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数表达式为 将，代入得：；即 将代入得：． （2）解：∵二次函数的解析式， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵与轴其中一个交点坐标为． ∴与轴其中一个交点坐标为． 由函数图象可得当时，的取值范围为． 【经典例题四 线段周长问题】 1．（2023·山东济南·模拟预测）如图，抛物线为常数)交轴于点，与轴的一个交点在和之间，顶点为． ①抛物线与直线有且只有一个交点； ②若点、点、点在该函数图象上，则 ③将该抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线解析式为； ④点关于直线的对称点为点分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中正确判断的序号是（  ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的判别式的值，即可判断①；根据抛物线的对称性和二次函数的增减性，即可判断②；根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可判断③；先求出A，B，C的坐标，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点连接，与轴、轴分别交于点，则四边形的最小周长，即可判断④． 【详解】把代入中，得， ， 一元二次方程两个相等的实数根， ∴抛物线与直线有且只有一个交点， 故此小题结论正确； 抛物线的对称轴为：直线， 点关于直线的对称点为， ， 当时，随增大而增大， 又，点、点、点在该函数图象上， ， 故此小题结论错误； 将该抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后，抛物线的解析式为：，即：， 故此小题结论正确； 当时，抛物线的解析式为：， ， 作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点连接，与轴、轴分别交于点，则， 根据两点之间线段最短，可知最短，而的长度一定， 四边形的最小周长 = = =． 故此小题结论正确； 综上所述：结论正确的有， 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，一次函数与二次函数图象的交点以及轴对称的性质，熟练掌握二次函数图象的对称性，增减性，函数图象的交点问题与方程的根的关系，二次函数的平移规律，利用轴对称性，求线段和的最小值，是解题的关键． 2．（2024·广东东莞·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b，c为常数，且）经过和两点．已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，构建不等式解决问题． 由，得，，则其顶点坐标为，可知当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，分两种情况：当顶点在线段上方时，当顶点在线段上时，分别讨论即可求解． 【详解】解：将，代入中， 得，解得：， ∴，，则其顶点坐标为， 当时，，当时，， 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， 当顶点在线段上方时，，即：， ∵当时，随增大而减小， ∴此时，抛物线与线段有一个交点， 即：在上方，在下方， ∴，可得； 当顶点在线段上时，，可得； 综上：或． 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·四川凉山·阶段练习）抛物线，与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为．若点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q位于一次函数的图像上．当时，的长度随t的增大而增大，则t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、坐标与图形．先由顶点C的坐标为求得抛物线的解析式，再求得抛物线和直线的交点坐标，设，，分和两种情况，利用坐标与图形性质，用t表示出，根据二次函数的性质分别求解即可． 【详解】解：∵抛物线顶点C的坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， 联立方程组，解得或， ∴抛物线与直线的交点坐标为，， ∵点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q位于一次函数的图像上， ∴，， 当时，， ∵， ∴当时，的长度随t的增大而减小，不符合题意； 当时，， ∵， ∴当时，的长度随t的增大而增大，当时，的长度随t的增大而减小， 故答案为：． 4．（2025·安徽淮南·模拟预测）已知抛物线与直线交于抛物线的顶点和另一点． (1)求的值． (2)平移该抛物线得到新抛物线，若新抛物线与轴的交点为，与轴的其中一个交点的横坐标为1．直线分别交直线、抛物线、新抛物线于点． （i）当时，若，求点的坐标； （ii）当时，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2)（i）当时，点，点；当时，点，点；（ii）或 【分析】（1）先求出点，代入直线中，求出，将点代入中求出，然后将点代入求出即可； （2）（i）先求出新抛物线的解析式为，则点，点，点，然后根据列方程求解即可； （ii）先求出原抛物线与新抛物线的交点横坐标，然后分当时和当时两种情况，根据列不等式求解即可． 【详解】（1）∵，∴抛物线的顶点为， 将点代入直线中，得，解得． ∴直线的解析式为． 将点代入中，得． ∴点的坐标为． 将点代入，得，解得． （2）（i）由（1）知，抛物线的解析式为． 设新抛物线的解析式为． ∵新抛物线与y轴的交点为，与轴的其中一个交点的横坐标为1， ∴将点代入新抛物线的解析式， 得，解得． ∴新抛物线的解析式为． ∵直线分别交直线、抛物线、新抛物线于点， ∴点，点，点． ∵点，点，， ∴点在线段上，且． ∴，． ∵， ∴，解得． 当时，点，点；当时，点，点． （ii）联立与，得，解得． ∴当时，点在点上方，当时，点在点下方． 由（2）①知，． 当时，可知，解得． 当时，可知，解得． 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的平移，以及二次函数与综合，难度较大，属中考压轴题． 【经典例题五 面积问题】 1．（2025·四川南充·二模）如图，正方形的边长为，点在边上运动（不与点A，重合），，点在射线上，且，与相交于点，点在，且，连接，，，．则下列结论：①；②的周长为；③；④的面积的最大值是；⑤当时，是线段的中点．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤ 【答案】D 【分析】证明故可判断①正确；设，则，可得，利用二次函数性质可判断④正确；延长到I，使得，则，再证明，进而由的周长，故②错误；由，可得，即可判断③错误；设，则， 由，得当时，的面积的最大值为．可判断④正确； 当时，，，设，则，，在中，由勾股定理可得，即得G是线段的中点，即可判断⑤正确． 【详解】解：∵正方形中，，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确， 如图，延长到I，使得， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长 ， 故②错误； ∵， ∴， 故③错误， 设，则， ∴ ， ∵， ∴时，的面积的最大值为． 故④正确； 当时，，， 设， 则，， 在中， 有， 解得， ∴， 即G是线段的中点， 故⑤正确， 综上，正确的结论是①④⑤． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形与三角形综合．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用、勾股定理，添加合适的辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 2．（2025·贵州·模拟预测）如图，抛物线交y轴于点A，交x轴正半轴于点C，顶点为B．则下列说法中错误的是（    ） A．一元二次方程有两个相等的实数根 B．若点，，均在该抛物线上，则 C．在y轴上找一点D，使的面积为1，则点D的坐标为 D．将该抛物线先向左平移1个单位长度，再沿x轴翻折，得到的新抛物线解析式是 【答案】C 【分析】解出方程的解即可判断A；分别将横坐标代入求出纵坐标，进行比较即可判断B；设点D的坐标为，则，求解即可判断C；先将二次函数解析式变成顶点式，再写出平移之后的解析式，再根据沿x轴翻折，即可判断D． 【详解】解：A．方程整理得：， 解得：， 即一元二次方程有两个相等的实数根， 故选项A不符合题意； B．当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴ 故选项B不符合题意； C．当时，，即； 当时，，即； 设点D的坐标为， 即， 解得或4， ∴点D的坐标为或， 故选项C符合题意； D．∵， ∴将该抛物线先向左平移1个单位得到的抛物线解析式为：， 平移后再沿x轴翻折，翻折后得到的抛物线表达式是：， 故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移，铅锤法求面积，熟练掌握一元二次方程的解法、二次函数的图象与性质是解题的关键． 3．（2024·江苏扬州·二模）如图利用135°的墙角修建一个梯形的储料场，并使∠C=90°．如果新建的墙BCD总长24m，那么BC= 储料场的面积最大． 【答案】16 【分析】过点A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，再证明△AEB是等腰直角三角形，得出DC＝AE＝BE＝x m，则AD＝CE＝（24−2x）m，然后根据梯形的面积公式即可求出S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解． 【详解】解：如图， 过点A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，∠DAE＝∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠BAD−∠EAD＝45°， 设DC＝AE＝xm， 在Rt△AEB中， ∵∠AEB＝90°， ∴∠B＝45°， ∴AE＝BE＝x m， ∴AD＝CE＝(24−2x)m，m， ∴梯形ABCD面积S＝ (AD＋BC)•CD＝ (24−2x＋24−x)•x＝， ∴当x＝8时，S最大＝96． ∴此时， 也就是当BC长为16m时，才能使储料场的面积最大． 【点睛】此题考查二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数，进一步利用函数的性质解决问题． 4．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点 (1)求线段的长； (2)当为等腰三角形时，求的面积； (3)过点A的直线：与抛物线在第一象限相交于点M，过点M的直线：与抛物线有唯一公共点，与x轴正半轴相交于点当时，k与a之间是否存在某种数量关系？若存在，求出这个数量关系；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6 (2)或 (3)存在，， 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数的性质，运用数形结合的思想是解题的关键．（1）令，求出x的值，即可得A、B两点的坐标，进而可得线段的长 （2）由抛物线的表达式知，点，当为等腰三角形时，存在或两种情况，分别求出a的值．再根据，将a的值分别代入即可． （3）由直线过点A，可求得直线的表达式为：， 再与抛物线的表达式联立，求得M的横坐标为．由，可得点M在的中垂线上且和关于该中垂线对称，则可得， ，求得直线的表达式为：，再与抛物线的表达式联立，由与抛物线只有一个交点可知，进而可得k与a的关系． 【详解】（1）解：令，则或， 则点A、B的坐标分别为：、， 则； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 当为等腰三角形时，存在或两种情况， 当时，， 则， 解得：（正值已舍去）． 当时，， 则， 解得：（正值已舍去）， 而， 当时，． 当时，． ∴的面积为或． （3）解：，理由： 直线过点A，则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：或， 即点M的横坐标为， ， 则点M在的中垂线上且和关于该中垂线对称， 由中点坐标公式得，点，直线表达式中的值为， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 则， 整理得：， 即． 【经典例题六 角度问题】 1．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数与坐标轴的交点坐标分别求出、、的长度；然后通过勾股定理逆定理判断出，得出；由得出；作点关于轴的对称点，连接；即可构造出，从而得出；根据平行线的斜率相同以及点的坐标求出直线的表达式；最后联立方程组求解即可； 【详解】解：令，则 解得：， ∴， ∴，， 当时， ∴ ∴ 在中 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图，作点关于轴的对称点，连接； 则， ∴ ∴ ∴ 设直线的表达式为： 将代入得： ∴直线的表达式为： 解方程组得：或 ∵点在第三象限 ∴点的坐标为 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质、一次函数的性质、勾股定理逆定理、直角三角形两锐角互余等知识点；综合运用上述知识求出直线的函数表达式是解题的关键． 2．（2024·广东河源·一模）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先利用待定系数法求出抛物线解析式为，直线的解析式为，则，再证明等腰直角三角形得到，所以，则利用轴可设，当时，，然后方程确定点坐标，从而得到的长． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 等腰直角三角形， ， ， ， 轴， 设， 当时，， 解得，， 点坐标为，或，， ． 故选：D． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，O为原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，连结CD，某抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D、点E（1，1）． （1）若该抛物线过原点O，则a= ； （2）若点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，要使得符合条件的Q点的个数是4个，则a的取值范围是 ． 【答案】 ﹣； a＜﹣或a＞． 【详解】试题分析：（1）过点D作DF⊥x轴于点F，先通过三角形全等求得D的坐标，把D、E的坐标和c=0代入y=ax2+bx+c，根据待定系数法即可求得； （2）若符合条件的Q点的个数是4个，则当a＜0时，抛物线交于y轴的负半轴，当a＞0时，抛物线与直线OQ：y=﹣x有两个交点，得到方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣x，根据根与系数的关系得出不等式，解不等式即可求得． 解：（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，如图1， ∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠DBF=∠BAO， 又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD， 在△AOB和△BFD中， ， ∴△AOB≌△BFD（AAS） ∴DF=BO=1，BF=AO=2， ∴D的坐标是（3，1）， 把D（3，1），E（1，1），O（0，0）代入y=ax2+bx+c， 得， 解得a=﹣， 故答案为﹣； （2）如图2，∵D（3，1），E（1，1）， 抛物线y=ax2+bx+c过点E、D，代入可得，解得，所以y=ax2﹣4ax+3a+1． 分两种情况： ①当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个． （i）当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个； （ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，所以3a+1＜0，解得a＜﹣； ②当抛物线y=ax2+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个， （i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个； （ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q才两个． 根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB=∠BAO， ∴tan∠QOB=tan∠BAO==，此时直线OQ的斜率为﹣，则直线OQ的解析式为y=﹣x，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣x有两个不相等的实数根，所以△=（﹣4a+）2﹣4a（3a+1）＞0，即4a2﹣8a+＞0，解得a＞（a＜舍去） 综上所示，a的取值范围为a＜﹣或a＞． 故答案为a＜﹣或a＞． 考点：二次函数综合题． 4．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)如图1，是该抛物线的对称轴上的一个动点，求周长的最小值及此时点的坐标． (3)如图2，若为线段的中点，点在该抛物线上运动，则当点运动到何处时，？请求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)周长的最小值为，此时 (3)或或或 【分析】本题考查二次函数的综合运用，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，勾股定理，平行线的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）连接交对称轴于点，连接，当、、三点共线时，周长的最小值为；求出直线的解析式为，可得； （3）由题可知，过点作轴，此时，此时，求得的坐标；设直线与轴交于点，则，在中，，可求点的坐标，进而求得直线的解析式，联立抛物线解析式，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：将，代入 解得： （2）解：∵ 抛物线的对称轴为直线， 连接交对称轴于点，连接， ， ， 当、、三点共线时，的周长最小， ， ， ，， ， 周长的最小值为； 设直线的解析式为， ， 解得， ， 当时， ； （3）为线段的中点， ， ， ， ， ， ， 过点作轴，此时， ， 解得或， 或； 设直线与轴交于点， ， ， 在中，， ， 解得， ， 同理可得，直线的解析式为， 联立， 解得：． 或． 综上所述，或或或． 【经典例题七 特殊三角形问题】 1．（2023·广东汕头·一模）抛物线交x轴于，，交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①；②；③；④当是等边三角形时，抛物线解析式为．其中正确的有（   ）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据的交点是，，可知对称轴为，从而可判断①；根据①的结论及可得与的关系，从而判断②；将、代入化简即可判断③；当是等边三角形时，可知代入二次函数解析式，结合，判断④． 【详解】解：∵的交点是，， ∴抛物线的对称轴为： ， ∴， ∴，即，故①错误； ∵在二次函数的图象上， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∴ ， ∵抛物线开口向上， ∴，故③错误； 当是等边三角形时，如图：    则， 又∵，， ∴， ∴代入二次函数解析式得：， 又、， 即， ∴， ∴， ∴物线解析式为， 故④正确； 综上所述：正确的结论是①，共一个， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键，本题属于中档题，有些难度． 2．（23-24九年级上·浙江·期中）小明发现，将二次函数的图象在x轴及其上方的部分向右平移得到，这两部分组成的图案酷似某快餐品牌的logo．经测量，该图案两个顶点间的距离与底部跨度的比值为，点P是与的交点，若恰好为等腰直角三角形，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数解析式得到点A坐标，对称轴，根据平移的性质得到，设，求出x值，得到平移距离，可得的解析式，令求出点P坐标，根据等腰直角三角形的性质得到，求出a值，根据开口方向得到结果． 【详解】解：∵， ∴，对称轴为直线，则， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴移动距离为， ∴， ，， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵开口朝下， ∴，． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，二次函数的图像和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是注意结合图像，求出平移距离． 3．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）抛物线的顶点为，且图象经过点，若是面积为16的等腰直角三角形，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是分情况进行讨论． 设抛物线顶点为 ，关于对称轴 对称，故设、，结合等腰直角三角形的性质和抛物线的性质，求出值，然后分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：设抛物线顶点为 ，关于对称轴 对称，故设、， ∴长度为 到 的垂直距离为 ， ∵ 是等腰直角三角形（直角顶点为），故根据等腰直角三角形的性质，斜边上的高等于斜边的一半得，即 ， ∴， 解得（负值已舍）， 抛物线顶点式为， 当抛物线开口向下时，顶点为最高点，，将代入得， ∴ 解得； 当抛物线开口向上时，顶点为最低点，，将代入得， ∴ 解得； 综上，． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线经过点，且顶点B的坐标为，对称轴与x轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式． (2)在第一象限内的抛物线上找点P，使是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点的坐标为 【分析】本题是二次函数的综合题，涉及的知识点主要有运用待定系数法求抛物线的解析式、等腰三角形的性质以及平面内两点间的距离公式． （1）由抛物线的顶点坐标是知：，，则．再把代入此解析式求解即可； （2）连接、则设点的坐标为，则根据平面内两点间的距离公式可得，的值，令二者相等求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点的坐标为， ． 抛物线经过点， ， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，连接、． 设点的坐标为． ， ． ， ． 整理，得， 解得（舍去）． 当时，， 点的坐标为． 【经典例题八 特殊四边形】 1．（2025九年级下·四川巴中·学业考试）已知，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论： ①； ②当时，一定有y随x的增大而增大； ③若点D横坐标的最小值为，则点C横坐标的最大值为3； ④当四边形为平行四边形时，． 其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据顶点在线段上，抛物线与轴的交点坐标为，可以判断出的取值范围，得到①正确；根据二次函数的增减性判断出②的错误；先确定时，点的横坐标取得最大值，根据二次函数的对称性求出点的坐标，即可判断③正确；令，利用根与系数关系与顶点的纵坐标求出的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求得的值，判断出④正确． 【详解】解：点的坐标分别为和， 线段与轴的交点坐标为， 又抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为， ，故①正确； 抛物线的顶点在线段上运动，开口向上， 只有当时，一定有随的增大而增大，故②错误；      若点的横坐标最小值为，此时抛物线的对称轴直线为， 由抛物线的对称性可得此时点的横坐标为，则， ∵抛物线的形状不变，当抛物线的对称轴直线为，此时的横坐标为， ∴的横坐标的最大值为，故③正确； 令，则，设点的坐标分别为， ∴，， ∴， ∵顶点的纵坐标为，顶点的纵坐标公式为， ∴，即， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，解得，故④错误； ∴正确的是①③， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数关系，平行四边形的性质，要注意顶点在轴上的情况和顶点分别在两点的情况． 2．（24-25九年级上·天津·阶段练习）将二次函数配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大．如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有交点时的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象与线段的交点问题，二次函数图象的几何变换，先将二次函数的解析式化成顶点式，则可得出图象的形状不变，顶点在的直线上运动，当二次函数与矩形第一次相交时，二次函数的经过点，此时取最小值，当二次函数与矩形最后一次相交时，二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值，然后将已知点坐标分别代入函数式建立关于的方程求解，最后总结得出的范围即可，运用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：将配成顶点式为，此二次函数的顶点坐标是，，开口向上，开口大小一定，则此二次函数的顶点在直线的直线运动， 如图，当二次函数与矩形第一次相交时，此时二次函数经过点，此时取最小值， 将代入得，， 解得，（不合，舍去）， ∴的最小值是； 如图，当二次函数与矩形最后一次相交时，此时二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值， 将代入得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴的最小值是； 综上，， 故选：． 3．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点，M是该抛物线的顶点，直线与y轴交于点C， 若P是该抛物线上一动点，Q是该抛物线对称轴上一动点，使得以C，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点Q 的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形与二次函数的综合，注意分类讨论；用待定系数法求出二次函数解析式，顶点坐标及对称轴；再求出直线的解析式，从而求得点C的坐标；设P、Q两点坐标，分三种情况，利用中点公式即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过两点， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 配方得：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线； 设直线解析式为， 把A、M坐标代入得：， 解得：， 即直线解析式为， 上式中令，得， ∴； 设，； 当为对角线时，则有，解得：， ∴； 当为对角线时，则有，解得：， ∴； 当为对角线时，则有，解得：， ∴； 综上，点Q的坐标为或或． 故答案为：或或． 4．（2025·江苏盐城·三模）已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，，是直线上方抛物线上的两点，且． (1)求点的坐标； (2)求与之间的关系式，并直接写出的取值范围； (3)过点作轴交于点，过点作轴交于点，设四边形的周长为 ()． 求 ()与之间的函数关系式； 若恰好存在四个点，使四边形的周长相等，请直接写出此时四边形周长的取值范围． 【答案】(1)点，点； (2)，的取值范围为且； (3)；． 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴交点的求解，平行四边形的判定与性质，二次函数的图象与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）将抛物线的解析式，当,时，即可求出点的坐标； （）根据点的坐标求出直线的解析式，由是直线上方抛物线上的两点，确定，且，因为，得，将点，的坐标代入即可得出，并确定的取值范围为且； （）根据已知条件，易证四边形为平行四边形，由， ，求得由（）得，点的坐标为，过点作于点，易证，得，即 ，平行四边形的周长，当时，，当时，； 当时，，则，当时，， ，若恰好存在四个点，使四边形的周长相等，即图象上有四个点的横坐标对应同一个纵坐标，得． 【详解】（1）解：∵抛物线的解析式 ，与轴交于，两点 (点在点的左侧)， 当时，得， 解得，， 当时，， ∴点，点； （2）解：的取值范围为且，理由如下： 设直线的解析式为将点点，点分别代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为 ∵，是直线上方抛物线上的两点， ∴，，且， 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， ， ∵， ∴， ∴，的取值范围为且； （3）解：∵轴，轴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴点的坐标为， ∴， 由（）得，点的坐标为， ∵， ∴ ∵， ， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长， 当时， ， 当时，，， 综上所述 ； 此时四边形周长的取值范围为 ，理由如下： 当时， ， ∴， 当时，， ∴ ， 四边形的周长的图象为抛物线上的实线，如图， 若恰好存在四个点，使四边形的周长相等，即图象上有四个点的横坐标对应同一个纵坐标， ∴． 【经典例题九 相似三角形问题】 1．（2024·四川成都·一模）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点的距离，始终等于它到定直线：的距离（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．其中原点O为的中点，．如图2所示，已知过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A、B、C．若，，则a的值为 ． A．0.25 B．0.5 C．0.75 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了阅读运用新知识能力，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是充分利用新知识的结论．作于G，作于K，由得，从而，即可 求得结果． 【详解】解：如图，作于G，作于K， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，抛物线的顶点为，直线与抛物线交于，两点．是抛物线上一点，过作轴，垂足为．如果以，，为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是 ．    A．（4，15） B．（-2，3） C．（） D．（4，15）、（-2，3）、（） 【答案】D 【分析】根据抛物线的解析式，易求得A（－1，0），D（1，0），C（0，－1）；则△ACD是等腰直角三角形，由于AP∥DC，可知∠BAC＝90°；根据D、C的坐标，用待定系数法可求出直线DC的解析式，而AB∥DC，则直线AB与DC的斜率相同，再加上A点的坐标，即可求出直线AB的解析式，联立直线AB和抛物线的解析式，可求出B点的坐标，即可得出AB、AC的长．在Rt△ABC和Rt△AMG中，已知了∠BAC＝∠AGM＝90°，若两三角形相似，则直角边对应成比例，据此可求出M点的坐标． 【详解】易知：A(−1，0)，D(1，0)，C(0，−1) ； 则OA＝OD＝OC＝1 ， ∴△ADC 是等腰直角三角形， ∴∠ACD＝90 ° ，AC＝ ； 又∵AB ∥DC ， ∴∠BAC＝90 ° ； 易知直线BD 的解析式为y＝x−1 ， 由于直线AB ∥DC， 可设直线AB 的解析式为y＝x＋b， 由于直线AB 过点A(−1，0) ； 则直线AB 的解析式为：y＝x＋1 ， 联立抛物线的解析式： ， 解得 ，； 故B(2，3) ； ∴AP＝＝3 ； Rt△BAC 和Rt△AMG 中，∠AGM＝∠PAC＝90 ° ， 且BA：AC＝3 ： ＝3：1 ； 若以A. M 、G 三点为顶点的三角形与△BCA 相似，则AG：MG＝1：3 或3：1 ； 设M 点坐标为(m，m 2 −1)，(m＜−1 或m＞1) 则有：MG＝m 2 −1 ，AG＝|m＋1| ； ①当AM：MG＝1：3 时，m 2 −1＝3|m＋1|，m 2 −1＝±(3m＋3) ； 当m 2 −1＝3m＋3 时，m 2 −3m−4＝0， 解得m＝1( 舍去) ，m＝4 ； 当m 2 −1＝−3m−3 时，m 2 ＋3m＋2＝0， 解得m＝−1( 舍去) ，m＝−2 ； ∴M 1 (4，15)，M 2 (−2，3) ； ②当AM：MG＝3：1 时，3(m 2 −1)＝|m＋1|，3m 2 −3＝±(m＋1) ； 当3m 2 −3＝m＋1 时，3m 2 −m−4＝0， 解得m＝−1( 舍去)，m＝ ； 当3m 2 −3＝−m−1 时，3m 2 ＋m−2＝0， 解得m＝−1( 舍去)，m＝ ( 舍去) ； ∴M 3 ( ， ). 故符合条件的M 点坐标为：(4，15)，(−2，3)， ( ， ). 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质与应用. 3．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，已知点P是二次函数图像在y轴右侧部分上的一个动点，将直线沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于A、B两点． 若以为直角边的与相似，请求出点P的坐标 ．    【答案】或或或 【分析】分当和，然后分别或两种情形求解即可． 【详解】解：过点P做轴，交于点H， 设点B坐标为，则直线的表达式为：, ∴，则， ①当时， 设点， ∵以为直角边的与相似， ∴，即，    由题意得：， ，解得：，， ∴点P坐标为； 当时，同理可得：点P坐标； ②当时，当时，同理：点P坐标为， 当时，同理可得：点P坐标为； 综上所述：点P的坐标为或或或． 故答案为或或或． 【点睛】本题为二次函数综合知识运用，主要三角形相似、勾股定理运用等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 4．（2025·青海西宁·三模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是，与y轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是抛物线上一点，连接使得，求出点P坐标； (3)如图3，连接与交于点D，是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，熟练掌握数形结合与分类讨论思想，以及方程建模是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）过P作轴于H，证明是等腰直角三角形，得到，设，分P在x轴上方时和P在x轴下方时，利用坐标与图形性质列方程求解m值即可解答； （3）先利用待定系数法求得直线的函数表达式为，设，分当点D在线段上时，当点D在延长线上、当点D在延长线上，三种情况，过P作轴于H，交于Q，则轴，，证明得到，则，利用坐标与图形性质列方程求得m值即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过P作轴于H，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是， ∴， 当P在x轴上方时，有， 解得或（与B重合，舍去）， ， ∴； 当P在x轴下方时，有， 解得或（与B重合，舍去）， ， ∴， 综上，点P的坐标为或； （3）解：存在． 设直线的函数表达式为 ∵，， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 设， 如图，当点D在线段上时，过P作轴于H，交于Q，则轴，， ∴， ∴，则， ∴， 解得或， ∴或， ∴或； 当点D在延长线上，如图， 同理可证， ∴，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴． 当点D在延长线上，如图， 同理可证， ∴，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴或， ∴． 综上，点P坐标为或或或． 【经典例题十 二次函数的其他问题】 1．（24-25九年级下·福建福州·期中）对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点的坐标分别为，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用分类讨论的思想解决问题是关键．当时，二次函数的相关函数为，利用临界点求出当时，函数与线段有一个交点，当或时，函数与线段有无交点；当时，二次函数的相关函数为，利用临界点求出当或时，函数与线段有一个交点；当时，函数与线段有两个交点；当时，函数与线段无交点．当线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，存在两种情况：函数与线段有一个交点，函数与线段有一个交点；函数与线段无交点，函数与线段有两个交点，即可得出的取值范围． 【详解】解：若，二次函数的相关函数为， 此时函数与轴的交点为， 当经过点时，此时函数与线段有一个交点， 则，解得：， 当时，即，此时函数与线段有一个交点， 综上，当时，函数与线段有一个交点； 当或时，函数与线段有无交点； ②若，二次函数的相关函数为， 抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴的交点为， 当时，函数与线段有一个交点， 当抛物线与线段相切时，函数与线段有一个交点， 则，解得：， 综上，当或时，函数与线段有一个交点； 当时，函数与线段有两个交点； 当时，函数与线段无交点， 线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点， 存在两种情况：函数与线段有一个交点，函数与线段有一个交点；函数与线段无交点，函数与线段有两个交点， 的取值范围为或， 故选：B． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知是抛物线上的两点，其对称轴是直线，若时，总有，同一坐标系中有，且抛物线与线段有两个不相同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象上的点的特征等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． 先利用待定系数法求出的解析式，根据二次函数的性质得出时，，且，进一步利用求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵是抛物线上的两点，其对称轴是直线，若时，总有， ∴， ∵抛物线与线段有两个不相同的交点， ∴时，，且抛物线与直线有交点， ∴，解得：； 令，整理得：， ∵， ∴， ∴． 故选C． 3．（2025·安徽蚌埠·二模）已知和是二次函数图象上两个不同的点，一次函数的图象经过点． （1）若，且，则的值为 ； （2）若函数的图象与轴仅有一个交点，则的值为 ． 【答案】 1 【分析】本题考查的是一次函数与二次函数的综合应用； （1）表示，可得，结合题意可得，，则，求解，进一步可得答案； （2）表示，结合题意可得，可得：，可得，，，，再进一步求解即可. 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵和是二次函数图象上两个不同的点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∵一次函数的图象经过点． ∴， 解得：， 故答案为：； （2）∵二次函数，一次函数，， ∴， ∵函数的图象与轴仅有一个交点， ∴， ∴， 解得：， ∵和是二次函数图象上两个不同的点，一次函数的图象经过点， ∴，，， ∴，， ∴， 解得：， 故答案为： 4．（2025·广东深圳·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G，抛物线G与抛物线的图象关于x轴对称． (1)抛物线G与y轴的交点坐标为______，抛物线G的对称轴为直线______； (2)当时，求抛物线的表达式； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线围成的中间封闭区域不包括边界为． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)，1； (2)； (3)①，，共3个；②或． 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． （1）利用对称轴公式以及y轴上点的坐标特征求得即可； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特征即可得出答案； （3）①根据图象即可求得； ②时，抛物线经过点时，区域W内恰有5个整点，结合①即可得出；当时，如图2，抛物线经过点和时，区域W内恰有5个整点，结合图象即可求得，从而求得如果区域W内恰有5个整点，则或 【详解】（1）解：二次函数， 对称轴为直线， 令，则， 图象与y轴的交点坐标为； 故答案为：，1； （2）解：抛物线G：， 抛物线：， 即， 当时，； （3）解：①当时，则抛物线G：， 顶点为， 令，解得：， 图象与y轴的交点坐标为， 区域W内的整点有，，共3个； ②当时，如图2， 抛物线经过点时，区域W内恰有5个整点， ， 解得：， 结合①可得：； 当时，如图2，抛物线经过点和时，区域W内恰有5个整点． 经过点时，， 解得：， 经过点时，， 解得：， ， 故如果区域W内恰有5个整点，则或 【经典例题十一 反比例函数与几何结合】 1．（2025·江苏苏州·二模）如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，反比例函数的图像经过的中点，与边相交于点，且反比例函数的图像经过点，连接，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据题意表示出，，设，得到，然后根据点D是的中点得到，代入求出，然后表示出，，然后表示出与的面积，进而求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过的中点， ∴设 ∵的顶点在轴正半轴上， ∴点A的横坐标为0， ∴点B的横坐标为 ∵ ∴点E，点C的横坐标为 ∵点E在，反比例函数图象上，反比例函数的图像经过点， ∴， 设 ∴ ∴ ∵点D是的中点 ∴ ∴ ∴， ∴， ∴的面积，的面积 ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了反比例函数和几何综合，平行四边形的性质，中点坐标公式等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 2．（2025·江苏南通·一模）已知，且（是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了关联点“关联点”的含义、反比例函数与二次函数的综合等知识点，根据题意建立参数方程成为解题的关键． 由以及相应字母的取值范围可得，然后根据题意得到关于x的方程，再结合求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴，即 ∵反比例函数的图象上总存在两个关联点， ∴，即且有两个不相等实数根， ∴，解得：， 当，即时，方程可化为，解得或0，但无意义，仅有，不符合题意． 综上，的取值范围是或． 故选D． 3．（2025·广东深圳·一模）如图，把一块含角的直角三角板摆放在平面直角坐标系中，一个顶点与点O重合，点B在x轴上，点A在函数的图象上．把三角板绕点O逆时针旋转到的位置，使得点恰好也在函数的图象上，此时点落在函数上的图象上，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合，作于点，设则得，代入，求出过点作直线轴，垂足为点，作于点，证明作轴于点得设，求出，设，求得，得，故可求出k的值． 【详解】解：作于点， ∵是等腰直角三角形， ∴， 设则， ∴， ∵点A在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作直线轴，垂足为点，作于点， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 作轴于点， ∵点在上， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵且， ∴， 解得，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 由①②得， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B坐标为，点C坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E． (1)求该反比例函数的表达式； (2)点G是y轴上的动点，连接，，求的最小值； (3)连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点P的坐标为． 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用．正确的求出反比例函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （1）利用菱形的性质结合勾股定理求得点，再利用待定系数法求解即可； （2）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为，再利用勾股定理求解即可； （3）过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G，设，求得，由求得，据此列式计算求解即可． 【详解】（1）解：∵的边在x轴上，点B坐标为， 如图1，过点B作轴于点H，过点A作轴于点D， ∴，， ∵点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴点， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图2，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为， ∵点B坐标为， ∴直线解析式为， ∵反比例函数的图象与交于点E， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：反比例函数图象上存在点P（点P与点E不重合），使得，理由如下： 如图3，过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G， ∴，，，， ∴， 设， ∴ ， ∵ ， ∴， 整理得：， ∴或（舍去）， ∴点P的坐标为． 【经典例题十二 一次函数与反比例函数的交点问题】 1．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）直线与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B，若，则b的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 先求出点，设，根据，则，求得，再分类讨论，当时，，把代入得 把代入得，得到，求解得；当时，，把代入得因为点B在第二象限内，故不符合题意，舍去．即可求解． 【详解】解：对于 ，令，则， 解得： ∴ ∴ 设， ∵直线与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B， ∴点B在第二象限， ∴ ∵ ∴ 解得， 当时，， ∴把代入得 把代入得 ∴ 解得或（舍去）， 当时， 把代入得（不符合题意，舍去） ∴， 故选：B． 2．（2023·浙江湖州·中考真题）已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是(    ) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得．令，代入两个函数表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出与的表达式，代入解不等式并求出t的取值范围即可． 【详解】解：∵的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1， ∴． 令，则，． 将点和点代入，得； 将点和点代入，得． ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ①当时，， ∴不符合要求，应舍去； ②当时，， ∴符合要求； ③当时，， ∴不符合要求，应舍去； ④当时，， ∴符合要求； ⑤当时，， ∴不符合要求，应舍去． 综上，t的取值范围是或． 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解不等式是本题的关键． 3．（2025·江苏盐城·三模）平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，其中点在第二象限．设为双曲线上一点，直线分别交轴于两点，则 的值为 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合题，掌握二者的基本性质是解决本题的关键．设则，分别表示出，的解析式，令可计算出和的长，相减即可得到结论． 【详解】解：设则， 设直线的解析式为：，代入， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴， 设直线的解析式为：，代入， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：    ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，点是反比例函数图象上不重合的两个点，作直线交轴于点．设点的横坐标分别为，直线的函数表达式为． (1)当时， ①求直线的函数表达式； ②若，直接写出的取值范围； (2)若点和点关于原点对称，作直线交轴于点，求证：． 【答案】(1)①；②或； (2)详见解析 【分析】（1）①求得可得，，再用待定系数法可得直线的函数表达式； ②求出，观察函数图象可得x的取值范围； （2）取的中点K，连接，求出直线解析式为，可得，求得，可得直线的函数表达式为，即可得，故，从而，． 【详解】（1）解：①当时，，， 将这两点坐标分别代入中， 得：， 解得， ∴直线的函数表达式为； ②在中，令，则， ∴， 由图可知，若，则的取值范围为或； （2）证明：取的中点K，连接，如图： 由题意，得，， ∵点B与点A关于原点O中心对称， ∴， 将，分别代入中， 得：， 解得， ∴直线解析式为， 令，则， ∴； 设直线的函数表达式为， 将，分别代入中， 得：， 解得， ∴直线的函数表达式为， 令，则， ∴； ∵K为中点， ∴， ∵， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数综合应用，涉及待定系数法，反比例函数与一次函数交点问题，垂直平分线的判定与性质等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关直线解析式． 【经典例题十三 一次函数与反比例函数的实际应用】 1．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（    ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 【答案】D 【分析】利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，然后逐项分析即可解答． 【详解】解：A、设反比例函数的解析式为，把代入得，， 反比例函数的解析式为：， ∵当时，， 月份的利润为万元，正确，不合题意； B、治污改造完成后，从月到月，利润从万到万，故每月利润比前一个月增加万元，正确，不合题意； C、设一次函数解析式为：， 则，解得：， 故一次函数解析式为：， 当时，，解得：， ∴治污改造完成后的第个月，即月份该厂利润达到万元，正确，不合题意． D、当时，，解得：， ∴只有月，月，月共个月的利润低于万元，不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确求出函数解析是解题关键． 2．（2024·广东广州·三模）如图，为双曲线上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交直线于、两点，若直线与轴交于点，与轴交于点，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数综合应用，熟练掌握一次函数及反比例函数的性质是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，首先求得两点坐标，进而可知、长度，利用三角函数解得，；设点坐标为，可知，再在与中计算、的长度，最后计算的值即可． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 对于直线，令，解得， 令，解得， ∴点，， ∴，， ∴， ∴，， 设点坐标为， 则有， ∴， 根据题意，点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∵轴，轴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：B． 3．（2024·河北邢台·一模）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点，双曲线经过点，直线与y轴相交于点，与双曲线相交于点，线段、及、两点之间的曲线所围成的区域记作． （1） ； （2）若区域（不包括边界）内的整点的个数大于等于，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查的是反比例函数的图象和性质、平面直角坐标系中整点的定义，掌握待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤、灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出． （2）先由题意得出点坐标，再加上，从而得出直线表达式，再确定，根据在和进行分类讨论，写出区域内所有整数点，列举出满足条件的整数点，进而综合两种情况得到答案． 【详解】解：（1）将代入中， 解得：， 故答案为：． （2）， 当时，， ，且, 设直线表达式为， 代入和坐标可得， 解得：， 直线表达式为， ∴直线过点，， 时，与无交点，不合题意，   、、在上， 均不在区域， 当时，， 当在时，若恰好经点过时，点在直线上， 此时内有一个整点，即， 将代入中， 解得：， 中至少有个整点， ． 当在时，若恰好经过点时， 此时内有两个整点，即，， 将代入中， 解得：，即， 中至少有个整点， , 综上：的取值范围是或， 故答案为：或． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与双曲线（k为常数，）在第一象限内交于点，且与x轴，y轴分别交于B，C两点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)点P在坐标轴上，且的面积等于8，求P点的坐标； (3)将直线AB绕原点旋转180°后与x轴交于点D，与双曲线第三象限内的图像交于点E，猜想四边形ABED的形状，并证明你的猜想． 【答案】(1)， (2)，，或 (3)平行四边形，理由见解析 【分析】（1）将点代入直线与双曲线求出k、b的值，即可得出解析式； （2）利用解析式求出B、C的坐标，分类讨论：当P在x轴、y轴上时，可求出P点的坐标； （3）根据：对角线互相平分的四边形是平行四边形即可求证． 【详解】（1）解：把代入双曲线（k为常数， ），可得， ∴双曲线的解析式为 把代入直线，可得， ∴直线的解析式为； （2）在中，令，则；令，则， ， ①当P在x轴上时，设P点的坐标为， ∵的面积等于8 ，解得或，   ∴P点的坐标为或； ②当P在y轴上时，同理可得P点的坐标为或 综合①②，P点的坐标为，，或． （3）四边形ABED为平行四边形． 理由如下：，绕原点旋转后对应的坐标为，， 设旋转后的直线解析式为 解得 ∴旋转后的直线解析式为， 由反比例函数的对称性可知：， 即，， ∴四边形ABED为平行四边形． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合、待定系数法求解析式、三角形面积、平行四边形的判断、旋转，涉及数形结合、分类讨论思想，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象性质是解题的关键． 【经典例题十四 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 1．（22-23八年级下·江苏南京·期末）我们已经学习过一次函数和反比例函数的图像和性质，类似地可以对函数进行探索.下列结论：①图像在第一、三象现；②图像与y轴无交点；③图像与x轴只有一个交点；④图像关于原点成中心对称；⑤当时，y随x增大而增大，其中正确的结论是（  ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．③④⑤ 【答案】C 【分析】①分，、、找出y的正负，由此可得出函数图象经过第一、二、三、四象限，①错误；②由在分母上可得出，函数图象与轴无交点，②正确；③由当时，，可得出函数图象与轴的交点坐标为、，③错误；④设点（）为函数图象上任意一点，根据函数图象上点的坐标特征可得出点在函数的图象上，即图象关于原点成中心对称，④正确；⑤利用作差法确定当时，随的增大而增大，⑤正确．综上即可得出结论． 【详解】解：①当时，，图象在第三象限； 当时，，图象在第二象限； 当时，，图象在第四象限； 当时，，图象在第一象限． ∴函数图象经过第一、二、三、四象限，①错误； ②∵为分母， ∴， ∴函数图象与轴无交点，②正确； ③当时，， ∴函数图象与轴的交点坐标为、，③错误； ④设点（）为函数图象上任意一点， 则，， ∴点在函数的图象上， ∴图象关于原点成中心对称，④正确； ⑤当时，设， 则 即：当， ∴当时，随的增大而增大，⑤正确． 综上所述：正确的结论有②④⑤． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质，逐一分析五条结论的正误是解题的关键． 2．（2023·湖北武汉·一模）在平面直角坐标系中，直线y=x与反比例函数y= (x>0)的图象交与点A(4，2)，直线y=x+b(b>0)与反比例函数y= (x>0)的图象交与点C，与y轴交与点B．记y= (x>0)的图象在点A，C之间的部分与线段OA、OB、BC围成的区域(不含边界)为W，若区域W内恰有4个整点，则b的取值范围是(　　　) A．≤b≤2 B．<b≤2 C．2≤b< D．2≤b≤ 【答案】B 【分析】根据题意可求出反比例函数解析式为．再画出图象，考虑两种极限状态当经过点(1，2)时和当刚经过点(2，3)时，即可得出答案． 【详解】解：∵点A在反比例函数y= (x>0)的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数解析式为． 如图，当经过点(1，2)时， 即时，区域W内有(1，1)，(2，2)，(3，2)三个点， 当直线向上平移时，区域W内出现第四个整点(1，2)，此时满足题意， ∴． 当直线再向上平移，经过点(2，3)时， 即时，区域W内还是四个整点， 继续向上平移，即时，出现第五个整点(2，3)，此时已经不符合意义， ∴． 综上可知． 故选B． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合，一次函数的平移．读懂题意，画出图象，找出两种极限状态是解题关键． 3．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴，轴相交于，两点．在线段上取一点，此时点恰好落在内部（不包含边界），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的灵活应用，一元二次方程的解法，先得到，可得，则在的图象上，且在的内部，再进一步解答即可． 【详解】解：∵线段上取一点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在的图象上，且在的内部， 令， 解得：，，经检验符合题意； 如图，记反比例函数与一次函数的交点为，， ∴， 解得：； 故答案为：． 4．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）如图，反比例函数（）的图象经过线段的端点，把线段沿轴正方向平移3个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点，点的横坐标为4．    (1)求的值和直线的解析式； (2)在轴上是否存在点，使得的值最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若为函数（）的图象上一动点，过点作直线轴于点，直线与四边形在轴上方的一边交于点，设点的横坐标为，且，当，求出的值． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2)存在， (3)或 【分析】（1）根据题意结合待定系数法可进行求解； （2）延长交轴于点，此时的值最大，求出的解析式，联立方程组求交点坐标，求出直线的解析式即可得到点的坐标； （3）分两种情况，设出点，的坐标，从而得到，的表达式，根据即可得到的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数（）的图象经过线段的端点， ∴，即反比例函数解析式为， 设直线的解析式为，则代入点A坐标得：，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 如图，延长交轴于点，根据三角不等关系可知：，所以此时的值最大，   把线段沿轴正方向平移3个单位得到线段， ，即，， 设的表达式为， 将代入， ， 的表达式为， 联立，解得，， 点的横坐标大于0， 的横坐标为4， 将代入得到：， 即， 设的表达式为， 将，代入得， 解得， ， 令，代入得到， ； （3）解：①当在的上方时，    ∴，， ，， ， 解得：； ②当在的上方时，    ∴，， ，， ， 解得：（负根舍去）， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了反比例函数综合题，考查分类讨论的思想，设出点，的坐标，得到，的表达式是解题的关键． 【经典例题十五 反比例函数、二次函数图象综合判断】 1．（2025·湖北·三模）平移是重要的初等变换，如：向右平移1个单位可以得到；依据上述规律，可知方程的实数根的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数综合，根据题意可得原方程的实数解个数等价于方程的实数解个数，则等价于二次函数与反比例函数交点的个数，分析出两个函数的增减性和经过的象限即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴， ∴， ∴方程的解的个数与方程的实数解个数相同， 二次函数的图象经过一、二象限，且顶点为原点，在第一象限内y随x增大而减小，在第二象限内y随x增大而减小， 反比例函数的图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， 当时， ，， 当时， ，， ∴当时，一定存在一个x的值使得和的函数值相同， 又∵在第二象限内，中，y随x增大而增大，中，y随x增大而减小， ∴在第二象限内，两个函数只有1个交点， ∴方程只有一个实数解， ∴方程只有一个实数解， 故选：D． 2．（23-24九年级·福建漳州·自主招生）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根所在的范围是(      ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意推断方程的实根是函数与的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程的实根x所在范围． 【详解】解：的实根是函数与的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限． 当时，，无意义，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方； 当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方； 当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方； 故选D． 【点睛】此题考查了函数与方程关系，类比学习能力，从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势． 3．（2024·浙江宁波·一模）已知关于x的二次函数与反比例函数，甲说：“二次函数图象一定过第一象限的一个定点．”乙说：“二次函数的顶点及这个定点都在反比例函数图象上．”根据甲、乙两人的描述，可确定a的值为 ． 【答案】-3 【分析】先求出抛物线的顶点坐标为（1，3-a），再求得抛物线经过的定点，根据两点的坐标的积相等求解即可． 【详解】∵抛物线， ∴对称轴为x==1， ∴y=3-a， ∴抛物线的顶点坐标为（1，3-a）， ∵抛物线图象一定过第一象限的一个定点， ∴a（）=y-3， ∴，y-3=0， ∴x=0或x=2，y=3， ∴过点（0，3），或（2，3）， ∴过点（2，3）， ∵二次函数的顶点及这个定点都在反比例函数图象上 ∴3-a=2×3=6， 解得a= -3, 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点，反比例函数的性质，定点问题，把定点问题转化为关于ａ的一元一次方程且方程有无数解的条件计算是解题的关键． 4．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）小明同学利用寒假30天时间贩卖草莓，了解到某品种草莓成本为10元/千克，在第天的销售量与销售单价如下（每天内单价和销售量保持一致）： 销售量 （千克） 销售单价 （元/千克） 当 时， 当 时， 设第天的利润元． （1）请计算第几天该品种草莓的销售单价为25元/千克？ （2）这30天中，该同学第几天获得的利润最大？最大利润是多少？注：利润＝（售价－成本）×销售量 【答案】（1）第10、20天该品种草莓的销售单价为25元/千克；（2）第10天或16天时获得的利润最大，最大利润为450元 【分析】（1）分两种情形分别代入解方程即可； （2）分两种情形写出所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式，然后根据函数的性质解答即可. 【详解】（1）当时，把n=25代入得， ， 解得； 当时，把代入得， ， 解得x=20； 答：第10、20天该品种草莓的销售单价为25元/千克 （2）当时，=； ∵，当x=10时，w有最大值为450， 当时，w=， ∵，当时，w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值为450． ∴第10天或16天时获得的利润最大，最大利润为450元。 【点睛】本题考查二次函数的应用、反比例函数的性质等知识，解题的关键是利用二次函数的性质解决问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.7 二次函数与反比例函数60道压轴题型专训（15大题型） 题型一 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型二 图象法解一元二次不等式 题型三 根据交点确定不等式的解集 题型四 线段周长问题 题型五 面积问题 题型六 角度问题 题型七 特殊三角形问题 题型八 特殊四边形 题型九 相似三角形问题 题型十 二次函数的其他问题 题型十一 反比例函数与几何结合 题型十二 一次函数与反比例函数的交点问题 题型十三 一次函数与反比例函数的实际应用 题型十四 一次函数与反比例函数的其他综合应用 题型十五 反比例函数、二次函数图象综合判断 【经典例题一 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 1．（2024·广东·模拟预测）如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）规定：若点在某一个函数的图象上，且点的横纵坐标互为相反数，则称点为这个函数的“互反点”．若关于的二次函数对于任意的常数，恒有两个“互反点”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）将抛物线的图像位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图像，若直线与此图像有四个交点；求的取值范围． 4．（22-23九年级下·广东梅州·开学考试）二次函数的图像如图所示，根据图像解答下列问题： (1)写出不等式的解集； (2)当时，写出函数值y的取值范围． (3)若方程有两个不相等的正实数根，写出k的取值范围． 【经典例题二 图象法解一元二次不等式】 1．（23-24九年级下·浙江·自主招生）已知实系数一元二次方程的两实根为，且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏南通·期末）请阅读下列内容:我们在平面直角坐标系中画出抛物线和双曲线，利用两图象的交点个数和位置来确定方程有一个正实数根，这种利用函数图象判断方程根的情况的方法叫做图象法．请用图象法判断方程的根的情况（    ） A．一个正实数根 B．两个正实数根 C．三个正实数根 D．一个正实数根，两个负实数根 3．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数与x轴的交点是和，关于x的方程（其中）的两个解分别是和5，关于x的方程（其中）也有两个整数解，这两个整数解分别是 ． 4．（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）对于一些比较复杂的方程，可以利用函数图像来研究方程的根． 问题：探究方程的实数根的情况． 下面是小董同学的探究过程，请帮她补全： （1）设函数，这个函数的图像与直线的交点的横坐标就是方程的实数根． （2）注意到函数解析式中含有绝对值，所以可得： 当时，； 当时，________________； （3）在如图的坐标系中，已经画出了当时的函数图像，请根据（2）中的解析式，通过描点，连线，画出当时的函数图像． （4）画直线，由此可知的实数根有________个． （5）深入探究：若关于的方程有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为非负数，则的取值范围是________________． 【经典例题三 根据交点确定不等式的解集】 1．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线，当时，x的取值范围为或，则如下四个值中有可能为a的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023九年级·全国·专题练习）关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根都在和0之间（不包括和0），则a的取值范围是 ． 4．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，与轴其中一个交点坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，请结合图象直接写出的取值范围． 【经典例题四 线段周长问题】 1．（2023·山东济南·模拟预测）如图，抛物线为常数)交轴于点，与轴的一个交点在和之间，顶点为． ①抛物线与直线有且只有一个交点； ②若点、点、点在该函数图象上，则 ③将该抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线解析式为； ④点关于直线的对称点为点分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中正确判断的序号是（  ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 2．（2024·广东东莞·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b，c为常数，且）经过和两点．已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 3．（24-25九年级上·四川凉山·阶段练习）抛物线，与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为．若点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q位于一次函数的图像上．当时，的长度随t的增大而增大，则t的取值范围是 ． 4．（2025·安徽淮南·模拟预测）已知抛物线与直线交于抛物线的顶点和另一点． (1)求的值． (2)平移该抛物线得到新抛物线，若新抛物线与轴的交点为，与轴的其中一个交点的横坐标为1．直线分别交直线、抛物线、新抛物线于点． （i）当时，若，求点的坐标； （ii）当时，求的取值范围． 【经典例题五 面积问题】 1．（2025·四川南充·二模）如图，正方形的边长为，点在边上运动（不与点A，重合），，点在射线上，且，与相交于点，点在，且，连接，，，．则下列结论：①；②的周长为；③；④的面积的最大值是；⑤当时，是线段的中点．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤ 2．（2025·贵州·模拟预测）如图，抛物线交y轴于点A，交x轴正半轴于点C，顶点为B．则下列说法中错误的是（    ） A．一元二次方程有两个相等的实数根 B．若点，，均在该抛物线上，则 C．在y轴上找一点D，使的面积为1，则点D的坐标为 D．将该抛物线先向左平移1个单位长度，再沿x轴翻折，得到的新抛物线解析式是 3．（2024·江苏扬州·二模）如图利用135°的墙角修建一个梯形的储料场，并使∠C=90°．如果新建的墙BCD总长24m，那么BC= 储料场的面积最大． 4．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点 (1)求线段的长； (2)当为等腰三角形时，求的面积； (3)过点A的直线：与抛物线在第一象限相交于点M，过点M的直线：与抛物线有唯一公共点，与x轴正半轴相交于点当时，k与a之间是否存在某种数量关系？若存在，求出这个数量关系；若不存在，请说明理由． 【经典例题六 角度问题】 1．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东河源·一模）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，O为原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，连结CD，某抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D、点E（1，1）． （1）若该抛物线过原点O，则a= ； （2）若点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，要使得符合条件的Q点的个数是4个，则a的取值范围是 ． 4．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)如图1，是该抛物线的对称轴上的一个动点，求周长的最小值及此时点的坐标． (3)如图2，若为线段的中点，点在该抛物线上运动，则当点运动到何处时，？请求出所有符合条件的点的坐标． 【经典例题七 特殊三角形问题】 1．（2023·广东汕头·一模）抛物线交x轴于，，交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①；②；③；④当是等边三角形时，抛物线解析式为．其中正确的有（   ）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24九年级上·浙江·期中）小明发现，将二次函数的图象在x轴及其上方的部分向右平移得到，这两部分组成的图案酷似某快餐品牌的logo．经测量，该图案两个顶点间的距离与底部跨度的比值为，点P是与的交点，若恰好为等腰直角三角形，则a的值为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）抛物线的顶点为，且图象经过点，若是面积为16的等腰直角三角形，则 ． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线经过点，且顶点B的坐标为，对称轴与x轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式． (2)在第一象限内的抛物线上找点P，使是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标． 【经典例题八 特殊四边形】 1．（2025九年级下·四川巴中·学业考试）已知，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论： ①； ②当时，一定有y随x的增大而增大； ③若点D横坐标的最小值为，则点C横坐标的最大值为3； ④当四边形为平行四边形时，． 其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．①③④ 2．（24-25九年级上·天津·阶段练习）将二次函数配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大．如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有交点时的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点，M是该抛物线的顶点，直线与y轴交于点C， 若P是该抛物线上一动点，Q是该抛物线对称轴上一动点，使得以C，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点Q 的坐标为 ． 4．（2025·江苏盐城·三模）已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，，是直线上方抛物线上的两点，且． (1)求点的坐标； (2)求与之间的关系式，并直接写出的取值范围； (3)过点作轴交于点，过点作轴交于点，设四边形的周长为 ()． 求 ()与之间的函数关系式； 若恰好存在四个点，使四边形的周长相等，请直接写出此时四边形周长的取值范围． 【经典例题九 相似三角形问题】 1．（2024·四川成都·一模）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点的距离，始终等于它到定直线：的距离（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．其中原点O为的中点，．如图2所示，已知过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A、B、C．若，，则a的值为 ． A．0.25 B．0.5 C．0.75 D．1 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，抛物线的顶点为，直线与抛物线交于，两点．是抛物线上一点，过作轴，垂足为．如果以，，为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是 ．    A．（4，15） B．（-2，3） C．（） D．（4，15）、（-2，3）、（） 3．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，已知点P是二次函数图像在y轴右侧部分上的一个动点，将直线沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于A、B两点． 若以为直角边的与相似，请求出点P的坐标 ．    4．（2025·青海西宁·三模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是，与y轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是抛物线上一点，连接使得，求出点P坐标； (3)如图3，连接与交于点D，是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题十 二次函数的其他问题】 1．（24-25九年级下·福建福州·期中）对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点的坐标分别为，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知是抛物线上的两点，其对称轴是直线，若时，总有，同一坐标系中有，且抛物线与线段有两个不相同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽蚌埠·二模）已知和是二次函数图象上两个不同的点，一次函数的图象经过点． （1）若，且，则的值为 ； （2）若函数的图象与轴仅有一个交点，则的值为 ． 4．（2025·广东深圳·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G，抛物线G与抛物线的图象关于x轴对称． (1)抛物线G与y轴的交点坐标为______，抛物线G的对称轴为直线______； (2)当时，求抛物线的表达式； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线围成的中间封闭区域不包括边界为． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 【经典例题十一 反比例函数与几何结合】 1．（2025·江苏苏州·二模）如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，反比例函数的图像经过的中点，与边相交于点，且反比例函数的图像经过点，连接，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏南通·一模）已知，且（是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 3．（2025·广东深圳·一模）如图，把一块含角的直角三角板摆放在平面直角坐标系中，一个顶点与点O重合，点B在x轴上，点A在函数的图象上．把三角板绕点O逆时针旋转到的位置，使得点恰好也在函数的图象上，此时点落在函数上的图象上，则k的值为 ． 4．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B坐标为，点C坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E． (1)求该反比例函数的表达式； (2)点G是y轴上的动点，连接，，求的最小值； (3)连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题十二 一次函数与反比例函数的交点问题】 1．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）直线与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B，若，则b的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（2023·浙江湖州·中考真题）已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是(    ) A．或 B．或 C．或 D．或 3．（2025·江苏盐城·三模）平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，其中点在第二象限．设为双曲线上一点，直线分别交轴于两点，则 的值为 4．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，点是反比例函数图象上不重合的两个点，作直线交轴于点．设点的横坐标分别为，直线的函数表达式为． (1)当时， ①求直线的函数表达式； ②若，直接写出的取值范围； (2)若点和点关于原点对称，作直线交轴于点，求证：． 【经典例题十三 一次函数与反比例函数的实际应用】 1．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（    ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 2．（2024·广东广州·三模）如图，为双曲线上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交直线于、两点，若直线与轴交于点，与轴交于点，则值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北邢台·一模）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点，双曲线经过点，直线与y轴相交于点，与双曲线相交于点，线段、及、两点之间的曲线所围成的区域记作． （1） ； （2）若区域（不包括边界）内的整点的个数大于等于，则的取值范围是 ． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与双曲线（k为常数，）在第一象限内交于点，且与x轴，y轴分别交于B，C两点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)点P在坐标轴上，且的面积等于8，求P点的坐标； (3)将直线AB绕原点旋转180°后与x轴交于点D，与双曲线第三象限内的图像交于点E，猜想四边形ABED的形状，并证明你的猜想． 【经典例题十四 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 1．（22-23八年级下·江苏南京·期末）我们已经学习过一次函数和反比例函数的图像和性质，类似地可以对函数进行探索.下列结论：①图像在第一、三象现；②图像与y轴无交点；③图像与x轴只有一个交点；④图像关于原点成中心对称；⑤当时，y随x增大而增大，其中正确的结论是（  ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．③④⑤ 2．（2023·湖北武汉·一模）在平面直角坐标系中，直线y=x与反比例函数y= (x>0)的图象交与点A(4，2)，直线y=x+b(b>0)与反比例函数y= (x>0)的图象交与点C，与y轴交与点B．记y= (x>0)的图象在点A，C之间的部分与线段OA、OB、BC围成的区域(不含边界)为W，若区域W内恰有4个整点，则b的取值范围是(　　　) A．≤b≤2 B．<b≤2 C．2≤b< D．2≤b≤ 3．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴，轴相交于，两点．在线段上取一点，此时点恰好落在内部（不包含边界），则的取值范围是 ． 4．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）如图，反比例函数（）的图象经过线段的端点，把线段沿轴正方向平移3个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点，点的横坐标为4．    (1)求的值和直线的解析式； (2)在轴上是否存在点，使得的值最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若为函数（）的图象上一动点，过点作直线轴于点，直线与四边形在轴上方的一边交于点，设点的横坐标为，且，当，求出的值． 【经典例题十五 反比例函数、二次函数图象综合判断】 1．（2025·湖北·三模）平移是重要的初等变换，如：向右平移1个单位可以得到；依据上述规律，可知方程的实数根的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（23-24九年级·福建漳州·自主招生）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根所在的范围是(      ) A． B． C． D． 3．（2024·浙江宁波·一模）已知关于x的二次函数与反比例函数，甲说：“二次函数图象一定过第一象限的一个定点．”乙说：“二次函数的顶点及这个定点都在反比例函数图象上．”根据甲、乙两人的描述，可确定a的值为 ． 4．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）小明同学利用寒假30天时间贩卖草莓，了解到某品种草莓成本为10元/千克，在第天的销售量与销售单价如下（每天内单价和销售量保持一致）： 销售量 （千克） 销售单价 （元/千克） 当 时， 当 时， 设第天的利润元． （1）请计算第几天该品种草莓的销售单价为25元/千克？ （2）这30天中，该同学第几天获得的利润最大？最大利润是多少？注：利润＝（售价－成本）×销售量 学科网（北京）股份有限公司 $$