第二十一章 二次函数与反比例函数重难点检测卷-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（沪科版2012）

第二十一章 二次函数与反比例函数重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次函数与反比例函数全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025·宁夏·模拟预测）当时，函数与在同一坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）小明画出二次函数的图象如下图，则关于的方程的解为（   ） A． B．， C． D．， 3．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）红光公司今年月份生产儿童玩具万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为，那么第三季度儿童玩具的产量（万件）与之间的关系应表示为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·全国·期末）已知，是方程的两个实数根，且，则函数的顶点坐标在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）点，，均在函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知顶点为的抛物线经过点，则下列结论中正确的是（　　） A． B．该二次函数图象的对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．点在该二次函数图象上 7．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点、、，则的值是多少？（   ） A． B． C． D．或 9．（2025·黑龙江大庆·三模）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．若关于x的方程有三个不相等的实数根，且三个实数根的和为正数，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·山东济南·期中）已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A．或 B．且， C．或 D．且， 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（24-25九年级下·上海·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数图象的顶点坐标为 ． 12．（25-26九年级上·全国·单元测试）函数的开口方向是 ． 13．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知函数 是常数，， 是常数，，在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和图象总有公共点，则的取值范围是 14．（24-25九年级上·广东东莞·期末）飞机着陆后滑行的距离（单位：m）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后滑行 m才能停下来． 15．（2025·上海·模拟预测） 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为 ． 16．（2025·河北唐山·二模）“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离 ． 17．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． （1）这条抛物线所对应的函数的表达式为 ； （2）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，则点的坐标为 ． 18．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，与函数在第一象限的图象交于点C，，过点B分别作x轴，y轴的平行线交函数在第一象限的图象于点E，D，连接交x轴于点G，连接交y轴于点F，连接，若的面积为39，则的值为 ，的值为 ． 三、解答题（10小题，共66分） 19．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知反比例函数（是常数）的图象位于第二、四象限，求的取值范围． 20．（22-23九年级上·北京延庆·期中）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，求反比例函数的表达式和的值． 21．（23-24九年级上·广西钦州·期中）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，求水面宽度． 22．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，某水产养殖户用长的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗．要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？ 23．（2025九年级上·全国·专题练习）若 是反比例函数，试求此反比例函数的表达式． 24．（24-25九年级下·湖南常德·阶段练习）已经抛物线与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若该抛物线的顶点为P，求的面积． 25．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）二次函数图象上部分点的横纵坐标x，y的对应值如表： x … 0 1 2 m … y … n … (1)这个二次函数的表达式为______，对称轴是______； (2)表中的______；______； (3)若，是这个函数图象上的两点，且，则______（填“”或“”或“”）． 26．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数， (1)若此二次函数的图象经过，求a的值； (2)若此二次函数的图象经过、，且有，求a的取值范围； (3)若一次函数，对于时恒成立，求a的取值范围． 27．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）教室里的饮水机接通电源，就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时x成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为时，接通电源后，水温和时间x的关系如图． (1)直线的函数关系式为______． (2)①如图，t的值为______； ②饮水机第一次关机前，当水温达到以上时，则x的取值范围为______． (3)为了在上午第三节下课时（）能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的吗？说明理由． 28．（2025·四川成都·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点P是第一象限反比例函数图象上一动点 (1)求k的值及点B的坐标； (2)连接，若的面积为，求点P坐标： (3)过点P作直线平行于交反比例函数于点Q，是否存在点P使得?若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 二次函数与反比例函数重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次函数与反比例函数全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025·宁夏·模拟预测）当时，函数与在同一坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质．根据一次函数和二次函数的图象和性质，逐项判断，即可求解． 【详解】A．由一次函数的图象可知：，由二次函数的图象可知：，则，矛盾，不符合题意； B．由一次函数的图象可知：，由二次函数的图象可知：，则，矛盾，不符合题意； C．由一次函数的图象可知：，，则，由二次函数的图象可知：，则，一致，符合题意； D．由一次函数的图象可知：，则，由二次函数的图象可知：，则，矛盾，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）小明画出二次函数的图象如下图，则关于的方程的解为（   ） A． B．， C． D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键在于熟知二次函数与x轴的交点的横坐标即为对应一元二次方程的解． 根据二次函数图象与x轴的交点的横坐标为对应方程的解即可解答． 【详解】解：由函数图象可知二次函数与x轴的两个交点坐标为， ∴关于的方程的解为， 故选：B． 3．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）红光公司今年月份生产儿童玩具万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为，那么第三季度儿童玩具的产量（万件）与之间的关系应表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式即可，读懂题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故选：． 4．（24-25九年级上·全国·期末）已知，是方程的两个实数根，且，则函数的顶点坐标在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程、二次函数的顶点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先求出方程的解，得到、的值，即可得到二次函数的顶点坐标，进而判断． 【详解】解：， ， ∴，， ∵， ∴，, ∴函数解析式可化为：， 顶点为，在第二象限． 故选：B ． 5．（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）点，，均在函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质（抛物线的对称性、增减性），解题的关键是利用二次函数的对称轴判断点到对称轴的距离，结合函数的增减性比较函数值的大小． 分析二次函数的开口方向（向下）和对称轴轴）；根据抛物线关于对称轴对称，可得与到对称轴距离相等，故根据对称轴右侧y随x增大而减小，结合在对称轴右侧且横坐标大于2，可得，进而得出大小关系． 【详解】： ∵函数是二次函数，且 ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴． ∵抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧随x的增大而增大；在对称轴右侧随x的增大而减小；且抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的y值越大． ∵点到对称轴的距离均为2， ∴根据抛物线的对称性，． ∵点在对称轴右侧，且， ∴在对称轴右侧，x越大，y值越小，故． 综上，． 故选：D． 6．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知顶点为的抛物线经过点，则下列结论中正确的是（　　） A． B．该二次函数图象的对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．点在该二次函数图象上 【答案】D 【分析】本题综合考查了二次函数的性质，属于基础题，且难度适中；熟练掌握相关基础知识是解题关键． 由抛物线的开口方向、与y轴的交点位置、对称轴可对A、B进行判断；根据抛物线的增减性可判断C；根据对称性可对D进行判断．进而可得答案． 【详解】解：由图象得，抛物线的开口向上，与y轴的负半轴相交，对称轴为直线， ∴，，，即， ∴，故选项A、B错误，不符合题意； 由图象可得，当时，y随x的增大而减小，故选项C错误，不符合题意； ∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴点在该二次函数图象上，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 7．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．本题可先由一次函数图象与二次函数的图象分别求出对应的a，c的范围，再相比较看是否一致即可． 【详解】解：A.观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； B、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； C、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意； D、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：C 8．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点、、，则的值是多少？（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，设正方形的对角线长为，则，，，然后代入得，解得，然后求出的值即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：设正方形的对角线长为，则，，， 把，的坐标代入解析式可得：， 解得， ∴， 故选：． 9．（2025·黑龙江大庆·三模）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．若关于x的方程有三个不相等的实数根，且三个实数根的和为正数，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与直线的交点问题，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据题意得出，画出函数图象，求出函数的顶点坐标，利用函数图象分析函数图象和直线的交点问题即可得出答案． 【详解】解：如图所示， ∵ ∴ 画出函数图象如上， ∵关于的方程有三个不相等的实数根， ∴相当于直线与抛物线和抛物线组成的图形有三个不同的交点， ∴由函数图象可得，两个抛物线的顶点坐标分别为和， 当，且时，满足题意， 当时，直线与抛物线的两个交点关于其对称轴对称，则这两个交点的横坐标之和为3，直线与抛物线的交点的横坐标小于负3， ∴此时三个交点的横坐标之和小于0，不符合题意； 当时，同理可得直线与抛物线的两个交点的横坐标之和为负3，直线与抛物线的交点横坐标大于3， ∴此时三个交点的横坐标之和大于0，符合题意； 综上，， 故选：A． 10．（24-25九年级上·山东济南·期中）已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A．或 B．且， C．或 D．且， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．由题意得，反比例函数的图象在二、四象限或一、三象限，分两种情况讨论，即可求得的取值范围． 【详解】解：对于，未知，需分类讨论， 当时，反比例函数的图象在一、三象限，此时， ∴， ∵， ∴点和都在第一象限的图象上，且和都大于0， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，反比例函数的图象在二、四象限，此时， 由图象可知，时，， ∴点在第四象限的图象上， 对于分类讨论， 当时，，此时点在第四象限的图象上，随的增大而增大， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，，此时点在第二象限的图象上， 则，， ∴，， ∵，， 取点关于原点的中心对称点，则点， ∵， ∴，此时点和点都在第二象限的图象上，随的增大而增大， ∵， ∴， ∴， 解得，即； 当时， ∴，此时点不在反比例函数的图象上，舍去， 综上，且，， 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（24-25九年级下·上海·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数图象的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“上加下减，左加右减”是解题的关键．先求出平移后的解析式，再求顶点坐标即可． 【详解】解：函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数解析式为， ∴顶点为：， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·全国·单元测试）函数的开口方向是 ． 【答案】向上 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，当，抛物线开口方向向上，当，抛物线开口方向向下．根据a的符号判断抛物线的开口方向． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图像开口方向向上． 故答案为：向上． 13．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知函数 是常数，， 是常数，，在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和图象总有公共点，则的取值范围是 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，求得函数（k是常数，）的图象过定点，函数（a是常数，）与x轴的交点为，，然后分两种情况讨论即可求得a的取值． 【详解】解：∵， ∴函数（k是常数，）的图象过定点， ∵， ∴函数（a是常数，）与x轴的交点为，， 当时，无论k为何值，函数和的图象总有公共点， ∴满足题意； 当时， ∵无论k为何值，函数和的图象总有公共点， ∴时，，即， 解得， ∴满足题意； ∴无论k为何值，函数和的图象总有公共点，则a的取值范围是或． 故答案为：或． 14．（24-25九年级上·广东东莞·期末）飞机着陆后滑行的距离（单位：m）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后滑行 m才能停下来． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，将函数解析式配方成顶点式，求出s取得最大值即可． 【详解】解：， 因为， 所以s的最大值为， 故答案为：． 15．（2025·上海·模拟预测） 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求出二次函数解析式，再把代入解析式求出即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：二次函数经过，， ∴， 解得 ， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴第三年的增长率为， 故答案为：． 16．（2025·河北唐山·二模）“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离 ． 【答案】10 【分析】根据题意，得，代入解析式，确定，得到解析式，根据，得到，代入解析式得到（舍去），解答即可． 【详解】解：根据题意，得，代入解析式， 解得， 故一次函数的解析式， 当时， ， 故点， 把代入解析式， 解得（舍去）， 故抛物线的解析式为， 当时， ， 解得， 故鱼线落在水面上的点到点A的水平距离． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，点到坐标轴的距离意义，解方程，抛物线的性质，熟练掌握待定系数法，抛物线的性质是解题的关键． 17．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． （1）这条抛物线所对应的函数的表达式为 ； （2）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，则点的坐标为 ． 【答案】 或 【分析】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的有关性质以及正确求得直线的解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设交轴于点，根据题意可得点的坐标为或，求得的解析式，联立即可求解． 【详解】（1）解：将点代入抛物线解析式 可得：， 解得：， 则拋物线解析式为：． 故答案为：． （2）如图，设交轴于点， ∵直线把四边形的面积分为两部分， 且 ， ∴或， ∵， ∴或， 即点的坐标为或， 设直线的解析式为：， 将点代入解析式可得或， 故直线的解析式为或， 联立方程组或 解得：或（不合题意的值已舍去）， 则点的坐标为或． 故答案为：或． 18．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，与函数在第一象限的图象交于点C，，过点B分别作x轴，y轴的平行线交函数在第一象限的图象于点E，D，连接交x轴于点G，连接交y轴于点F，连接，若的面积为39，则的值为 ，的值为 ． 【答案】 4 160 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数结合，求一次函数的解析式，运用数形结合的思想是解题的关键． 由的面积，即可求解． 【详解】解：∵，，故点C是的中点， 设点B的坐标为，则点A的坐标为， 则点C的坐标为，则，即， 则点E、D坐标分别为、， 由点A、E的坐标得，直线的表达式为， 设直线交y轴于点H， 令，解得， 令，则， 故点G、H的坐标分别为、， 同理可得，点F的坐标为， 则的面积， 解得， 则， ∴； 故答案为：4，160． 三、解答题（10小题，共66分） 19．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知反比例函数（是常数）的图象位于第二、四象限，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键，根据反比例函数（是常数）的图象在第二、四象限得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得：， 的取值范围是． 20．（22-23九年级上·北京延庆·期中）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，求反比例函数的表达式和的值． 【答案】， 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的图象经过点和点，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出，进而可得出结论． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵反比例函数的图象经过点和点， ∴， ∴，， ∴反比例函数的表达式为． 21．（23-24九年级上·广西钦州·期中）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，求水面宽度． 【答案】 【分析】考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和 可求出为的一半2米，抛物线顶点C坐标为 ， ∴设顶点式为，代入A点坐标， ∴，解得： ， ∴抛物线解析式为： ， 当 时，得：， 解得：， ∴水面宽度为米. 22．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，某水产养殖户用长的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗．要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？ 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，设矩形的一边长为，则相邻边长，列出S关于x的二次函数，化为顶点式，即可求解． 【详解】解：设矩形的一边长为，此时相邻边长， 则水面面积：． 当时，S取得最大值为100平方米， 此时另一边长． 故要使围成的水面面积最大，则它的边长应都是． 23．（2025九年级上·全国·专题练习）若 是反比例函数，试求此反比例函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，理解定义是解题的关键；由题意得，求出a的值即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 所以a的值为， ，即． 24．（24-25九年级下·湖南常德·阶段练习）已经抛物线与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若该抛物线的顶点为P，求的面积． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的顶点坐标． （1）令，则，计算求解可得、B点的坐标；令，则，可得C点的坐标； （2）由，可得顶点，利用三角形面积公式计算求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴； （2）解：∵， ∴顶点， ∴． 25．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）二次函数图象上部分点的横纵坐标x，y的对应值如表： x … 0 1 2 m … y … n … (1)这个二次函数的表达式为______，对称轴是______； (2)表中的______；______； (3)若，是这个函数图象上的两点，且，则______（填“”或“”或“”）． 【答案】(1)，直线 (2)， (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将表中已知数据代入即可得到函数表达式； （2）根据（1）求出的解析式代数求值； （3）确定函数图象的开口方向和对称轴，然后根据增减性得出答案； 【详解】（1）解：将代入， ，解得， ， 故对称轴； 故答案为：，直线 （2）解：根据函数解析式：， 当时，， ∴， 当时，， 解得或， . 故答案为：， （3）解：根据，， 开口向下， 对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 故，则， 故答案为：； 26．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数， (1)若此二次函数的图象经过，求a的值； (2)若此二次函数的图象经过、，且有，求a的取值范围； (3)若一次函数，对于时恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图像和性质， （1）把已知点代入解析式求出a的值； （2）求出函数值m和n，然后根据题意列不等式求出a的取值范围即可； （3）求出的关系式，根据当时，，即可得到，根据题意得到，求出a的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得； （2）解：∵二次函数的图象经过、， ∴， ， ∵， ∴， 解得：； （3）解：， ， ， 当时，， ∵， ， 即， 解得， ∵时恒成立， ∴， 解得． 27．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）教室里的饮水机接通电源，就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时x成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为时，接通电源后，水温和时间x的关系如图． (1)直线的函数关系式为______． (2)①如图，t的值为______； ②饮水机第一次关机前，当水温达到以上时，则x的取值范围为______． (3)为了在上午第三节下课时（）能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的吗？说明理由． 【答案】(1) (2)①  ② (3)接通电源的时间可以是当天上午的，理由见解析 【分析】（1）设直线的函数关系式为，利用待定系数法解答即可． （2）①根据题意，得反比例函数经过点，设反比例函数的解析式为，确定解析式，后代入求值即可； ②根据解析式为，，分别计算当时的x的值，即可得到范围． （3）根据解析式为，，当时，；当时，；确定循环时长，解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，待定系数法，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得温度升到用时间为， 设直线的函数关系式为， 根据题意，得， 解得， 所以． （2）解：①根据题意，得反比例函数经过点， 设反比例函数的解析式为， 故， 解得， 故， 当时， 故， 故答案为：； ②解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 故温度为60摄氏度以上时的时间范围是， 故答案为：． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 故温度为50摄氏度以上时的时间范围是， 即有， 根据题意，得饮水机循环开机时间为，且每个循环周期中，和时段中温度低于， 若接通电源的时间是当天上午的，到一共为， 经过5次循环，剩余时长为， 恰好在的时段中，此时温度不高于， 故可以在接通电源． 28．（2025·四川成都·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点P是第一象限反比例函数图象上一动点 (1)求k的值及点B的坐标； (2)连接，若的面积为，求点P坐标： (3)过点P作直线平行于交反比例函数于点Q，是否存在点P使得?若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)点坐标为，或 (3)，或， 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的图象和性质，反比例函数中的几何意义，一次函数与反比例函数的图象交点坐标，三角形面积，两点间距离公式等，运用分类讨论思想和方程思想是解题关键． （1）运用待定系数法即可求得的值，联立方程组可求得点的坐标； （2）设，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，则，，分两种情况：当时，当时，分别利用三角形面积建立方程即可求得答案； （3）设直线的解析式为，与反比例函数解析式联立可得，则，，进而可得，根据，建立方程求解可得，即直线的解析式为，联立方程组即可求得答案． 【详解】（1）把代入，得， ， 代入，得， ， 反比例函数的解析式为， 联立方程组得：， 解得：，， ； （2）设，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、， 则，， 当时，如图1，则， ，，， ， ，即， 解得：（舍去），， ，； 当时，如图2，则， ，，， ， ，即， 解得：，（舍去）， ； 综上所述，点坐标为，或； （3）存在点使得，点坐标为，或，． ， 设直线的解析式为， 联立，得， 整理得：， 则，， 又，，则， ， ，， ， ， 、均在第一象限， ， ， 直线的解析式为， 联立得， 解得：，， ，或，． 学科网（北京）股份有限公司 $