精品解析：吉林省长春市净月区华岳学校2025-2026学年上学期开学考试八年级数学试题

2025—2026学年第一学期 华岳学校八年级第一次综合练习（数学）试题 本试卷包括三道大题，共24道小题，共8页，满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每题3分） 1. 中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作，那么水位上升记作（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若水位下降用“”表示，那么水位上升就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：如果水位下降记作，那么水位上升记作， 故选：B． 2. 一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为（ ） A. 我 B. 中 C. 国 D. 梦 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方体表面展开图，根据特点作答即可． 【详解】A、“我”字一面的相对面上的字为“梦”，不符合题意； B、“中”字一面的相对面上的字为“梦”，不符合题意； C、“的”字一面的相对面上的字为“国”，不符合题意； D、“梦”字一面的相对面上的字为“我”或“中”，不符合题意； 故选：C． 3. 下列计算一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，同底数幂乘法计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 4. 下列不等式组无解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的解集，根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出每个选项中不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解：A、原不等式组的解集为，不符合题意； B、原不等式组无解，符合题意； C、原不等式组的解集为，不符合题意； D、原不等式组的解集为，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求旋转角，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，整个图形由三个叶片组成，则相邻叶片之间的夹角为， ∴该叶片图案绕中心至少旋转后能与原来的图案重合， ∴角的大小可以为， 故选：B． 6. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式与几何图形，根据两个正方形及长方形面积的计算公式即可得到答案． 【详解】解：解：根据图甲可得阴影面积为， 根据图乙可得阴影面积为， ∴可以验证等式， 故选：C． 7. 在中，，，，则不能作为判定是直角三角形的条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理及勾股定理逆定理逐一分析各选项是否满足直角三角形的判定条件．本题考查直角三角形的判断，掌握三角形内角和定理及勾股定理逆定理是解题的关键． 【详解】A、由，代入内角和公式得，化简得，故，能判定为直角三角形． B、设，则，解得，得，均非直角，无法判定为直角三角形． C、设，验证得，满足勾股定理，能判定为直角三角形． D、展开得，即，符合勾股定理逆定理，能判定为直角三角形． 综上，只有选项B不能作为判定条件． 故选：B． 8. 如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得． 【详解】解：由作图方法可得，故A结论正确，不符合题意； ∴，，故B、C结论都正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题（每题3分） 9. 8的立方根是________． 【答案】2 【解析】 【分析】立方根的定义：如果一个数满足，那么叫做的立方根． 【详解】解：∵， ∴8的立方根是2． 10. 比较大小：2_____5（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【答案】> 【解析】 【分析】先对根式及整数进行变形，然后比较大小即可确定． 【详解】解：∵，， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】题目主要考查二次根式比较大小的方法，熟练掌握比较大小的方法是解题关键． 11. 已知，则代数式的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了求代数式的值，掌握整体思想是解题的关键． 将化为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：3． 12. 《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，即可求解． 【详解】解:依题意，得：， 故答案为：． 13. 图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则为_______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的内角与外角的问题，先求解正五边形的每一个内角为：，再进一步求解即可. 【详解】解：∵正五边形的每一个内角为：， ∴， 故答案为： 14. 如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分，，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是___________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据条件证明，利用全等三角形的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵恰好平分， ， ， ∴为等腰三角形， ∵是的角平分线， ∴，故②正确，符合题意， 在和中， ， ∴，故①正确，符合题意； ③由上知为等腰三角形， ∵是的角平分线， ∴，该③正确，符合题意； ④由上知为等腰三角形，， ，, ∵， ∴， ∴，故④正确，符合题意， 所以，正确的结论为：①②③④， 故答案为：①②③④． 三、解答题 15. 先化简．再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据完全平方公式将括号展开后合并得最简结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组． 分别求出两不等式的解集，即可求出不等式组的解集． 【详解】解：解不等式得： 解不等式得： ∴不等式组的解集为． 17. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据代入消元法计算即可． 【详解】解： 将①代入②得： 解得， 将代入①得 ∴ 18. 吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数． 【答案】游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，根据“游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元”建立方程组求解即可． 【详解】解：设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒， 由题意得：， 解得：， 答：游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒． 19. 如图，在四边形中，，点在边上，连接． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 【答案】（1） ∵， ； （2）5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据条件由即可证明全等； （2）根据全等三角形得到，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， 20. 强大的台风使得一根旗杆在离地面5处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12处，旗杆折断之前的高度是多少米？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 用勾股定理求出折断部分的长度，加上未折断的长度即可求出旗杆折断之前的高度． 【详解】解：折断部分的长度为 旗杆折断之前的高为 21. 图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． （1）在图①中，是面积最大的等腰三角形； （2）在图②中，是面积最大的直角三角形； （3）在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据面积最大，且为等腰三角形，顶点均在格点上； （2）根据面积最大，且为直角三角形，顶点均在格点上； （3）作个腰长为的等腰直角三角形，顺次连接A、B、C，则即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题： （1）由图1和图2可以得到的等式为 （用含a，b的等式表示）； （2）莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需A，B，C三种纸片各多少张； （3）用图1中的若干个图形（三类图形都要用到）拼成一个长方形，使其面积为a2＋4ab＋3b2，画出你的拼法，并根据画的图形分解因式：． 【答案】（1）或 （2）需A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张 （3） 如图所示， 【解析】 【分析】（1）图形整体面积等于各部分面积之和． （2）根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题． （3）根据确定三种材料的张数，画出图形，写成结果即可． 【小问1详解】 或． 【小问2详解】 ． ∴需A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张． 【小问3详解】 长方形的长，宽为，面积为， 即． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键． 23. 阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，在中，，，求边上的中线的取值范围． （1）经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法，如图②：①延长到E使得；②再连结，把、、集中在中；③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是 ． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）利用小明的作图方法，结合图②，写出与的位置关系并证明． 应用： （3）如图③在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线，则线段、和之间的等量关系为 ． 【答案】（1）； （2），理由如下： 由题可知 ， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题是三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）由中线的性质可求解； （2）由可证，可得，可求解； （3）延长，交于点F，证明，推出，再证明即可解决问题． 【详解】解：（1）∵，， ∴； 故答案为：； （2） 略 （3）． 理由：如图，延长，交于点F， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 24. 如图，在长方形ABCD中，，．E为AD边上一点，．点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BC向终点C运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒． （1）用含有t的代数式表示的长； （2）当时，求的面积； （3）①当时，则t的值为______； ②当平分时，则t的值为______． （4）当是等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）或或 【解析】 【分析】（1）根据题意先表示出的长，再用即可表示出的长； （2）将代入由（1）中结果的代数式得出的长，再利用三角形面积公式即可得到本题答案； （3）①根据题意过点作，根据矩形的性质得到的值，即可得到的值，即可得到本题答案；②过点作，，利用角平分线性质及矩形性质得到，再利用三角形面积公式得到的长，继而得到的长，即可得到本题答案； （4）根据等边三角形性质分三种情况讨论，再利用勾股定理即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：∵，点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BC向终点C运动， ∴， ∴， 故答案为∶ ； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴将代入中得：， ∵， ∴的面积为：， 故答案为：； 【小问3详解】 ①解：如图，过点作， ∵四边形是长方形， ∴为长方形， ∵，， ∴， ∴， ∴（秒）； ②解：过点作，，， ∵平分， ∴， ∵四边形是长方形， ∴为长方形， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问4详解】 解：当是等腰三角形时分三种情况讨论： ①当时， 过点作，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，解得：； ②当时，过点作， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时， 利用勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查用代数式表示线段长，三角形面积公式，勾股定理，角平分线性质，等腰三角形定义，全等三角形判定及性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期 华岳学校八年级第一次综合练习（数学）试题 本试卷包括三道大题，共24道小题，共8页，满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每题3分） 1. 中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作，那么水位上升记作（　　） A. B. C. D. 2. 一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为（ ） A. 我 B. 中 C. 国 D. 梦 3. 下列计算一定正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列不等式组无解的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（ ） A. B. C. D. 6. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，，则不能作为判定是直角三角形的条件的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分） 9. 8的立方根是________． 10. 比较大小：2_____5（填“＞”、“＝”或“＜”）． 11. 已知，则代数式的值为_______． 12. 《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为________． 13. 图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则为_______度． 14. 如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分，，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是___________． 三、解答题 15. 先化简．再求值：，其中． 16. 解不等式组：． 17. 解方程组：． 18. 吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数． 19. 如图，在四边形中，，点在边上，连接． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 20. 强大的台风使得一根旗杆在离地面5处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12处，旗杆折断之前的高度是多少米？ 21. 图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． （1）在图①中，是面积最大的等腰三角形； （2）在图②中，是面积最大的直角三角形； （3）在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 22. 数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题： （1）由图1和图2可以得到的等式为 （用含a，b的等式表示）； （2）莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需A，B，C三种纸片各多少张； （3）用图1中的若干个图形（三类图形都要用到）拼成一个长方形，使其面积为a2＋4ab＋3b2，画出你的拼法，并根据画的图形分解因式：． 23. 阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，在中，，，求边上的中线的取值范围． （1）经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法，如图②：①延长到E使得；②再连结，把、、集中在中；③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是 ． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）利用小明的作图方法，结合图②，写出与的位置关系并证明． 应用： （3）如图③在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线，则线段、和之间的等量关系为 ． 24. 如图，在长方形ABCD中，，．E为AD边上一点，．点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BC向终点C运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒． （1）用含有t的代数式表示的长； （2）当时，求的面积； （3）①当时，则t的值为______； ②当平分时，则t的值为______． （4）当是等腰三角形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $