精品解析： 吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试卷

东北师范大学附属中学初三年级数学学科综合练习（一） 时长：100分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的两个要素“形如，被开方数满足”是解题的关键． 形如这样的式子就是二次根式，据此逐一分析判断即可． 【详解】解：A．是二次根式，符合题意； B． 是4的立方根，不是二次根式，不符合题意； C．不是二次根式，不符合题意； D．只有满足时，才是二次根式，否则就不是二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 某商店的货架可抽象成如图所示的图形，其中，，，（单位：），则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线等分线段成比例定理，根据平行线等分线段成比例定理列比例式成为解题的关键． 根据平行线等分线段定理列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 故选：B 3. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据配方法的步骤解题即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 4. 为纪念中国人民抗日战争的胜利，9月3日被确定为抗日战争胜利纪念日，某校为了了解学生对“抗日战争”的知晓情况，从全校1800名学生中随机抽取了500名学生进行调查，下列说法中正确的是（ ） A. 1800名学生是总体 B. 500名学生是样本 C. 所抽取的每名学生对“抗日战争”的知晓情况是个体 D. 样本容量是500名 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了总体、样本、个体以及样本容量，解题的关键是分清总体、样本、个体的定义． 根据总体、个体、样本、样本容量的概念逐一判别即可． 【详解】解：A、1800名学生对“抗日战争”的知晓情况是总体，故本选项错误，不符合题意； B、500名学生对“抗日战争”的知晓情况是样本，故本选项错误，不符合题意； C、所抽取的每名学生对“抗日战争”的知晓情况是个体，故本选项正确，符合题意； D、样本容量是500，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 5. 将直线向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】只向下平移，让比例系数不变，常数项减去平移的单位即可． 【详解】解：直线向下平移2个单位后所得直线的解析式为 故选:A 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟记函数上下平移的规则“上加下减”在常数项． 函数左右平移的规则“左加右减”在自变量，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平移的规则求出平移后的函数解析式是关键． 6. 某文具店将进价为12元的口风琴按照每个20元出售时，平均每天能够售出8个．若这种商品每件降低元能多售出4个．若该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，那么每个口风琴的售价应该是多少元，设售价定为每件元，下列列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．设售价为x元，则利用每一件的销售利润×每天售出的数量=每天利润，列方程即可． 【详解】解：设售价定为每件元，则由题意得， 故选：B． 7. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 8. 如图，O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为，顶点C在轴的负半轴上，函数的图象经过顶点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵A（﹣3，4）， ∴OA==5， ∵四边形OABC是菱形， ∴AO=CB=OC=AB=5，则点B的横坐标为﹣3﹣5=﹣8， 故B的坐标为：（﹣8，4）， 将点B的坐标代入得，4=，解得：k=﹣32．故选C． 考点：菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到△，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得△， 解得． 故答案是：． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 10. 如图所示，一水库迎水坡AB的坡度i=1：，则该坡的坡角a= _________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为水库迎水坡AB的坡度i=1：，所以tana="i" =，所以a=． 考点：坡度与坡角 11. 如图，与关于点位似，已知，则与的面积比为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查位似图形的概念，相似三角形的性质，难度较易，掌握相关知识是解题关键．先根据位似图形的概念求出与关的相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方解题即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵与关于点位似， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 12. 若点、、都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是______（用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点．先根据反比例函数中，判断函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大． ∵， ∴点位于第二象限， ∴， ∵， ∴点位于第四象限， ∴， 故答案为：． 13. 已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|﹣的结果是____________ 【答案】2a-3##-3+2a 【解析】 【分析】根据a在数轴上的位置判断出其符号及a−1和a-2的符号，再化简绝对值和二次根式即可． 【详解】解：由数轴可得，1＜a＜2，则a−1>0，a-2<0， ∴|a﹣1|﹣=(a﹣1)﹣=(a-1)-(2-a)=2a-3， 故答案为∶ 2a-3． 【点睛】本题考查了绝对值和二次根式的化简，解题的关键是熟知负数的绝对值等于它的相反数，非负数的绝对值等于它本身以及． 14. 已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点．直线且经过原点，且与直线交于点，点为轴上任意一点，连接、．以下结论： ①方程组的解为； ②若点是直线上的点，点是直线上的点，则当时，； ③的面积为3； ④当的值最小时，点的坐标为． 其中正确结论的序号是_____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数解析式的求解，一次函数与二元一次方程组，直角坐标系下点的坐标，熟练掌握一次函数的性质以及一次函数与二元一次方程组的关系是解决本题的关键． 根据一次函数与二元一次方程组的关系可判断①；由直线与直线的交点可判断②；将点E与点B代入直线先求解直线的函数解析式，再由直线平行可得直线的函数解析式，再将点E代入直线，可求解直线的函数解析式，即可求出点F的坐标，即可判断③；作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小，求解直线点的函数解析式即可求解点P的坐标． 【详解】解：方程组的解就是两直线与交点的坐标， 已知直线与直线都经过点， ∴方程组的解为，故①正确； ∵已知直线与直线的交点为， 点是直线上的点，点是直线上的点， 当时，观察图像可知，直线在直线上方， ∴，故②正确； 把和代入得：， 将代入，可得， ，解得， 所以直线的解析式为， ∵直线且经过原点， ∴直线的解析式为， 把代入直线的解析式， 可得，，解得， 所以直线的解析式为， 令，即，解得， ∴点， ∵直线与直线的交点为点F， ∴，解得， ∴点， ∴，故③错误； 令，即， ∴点， 作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图， 此时，的值最小， 设直线的解析式为， ∵点， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，，解得， ∴点，故④正确． ∴正确结论的序号是①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法法则以及加减法法则，特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、零指数幂的运算法则．正确运算求解是解决本题的关键． （1）根据二次根式的乘除法法则以及加减法法则来逐步计算． （2）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、零指数幂的运算法则分别化简各项，再进行计算． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练记住因式分解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解答即可； （2）利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解： ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， 解得：． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中作的中线． （2）在图②中作的角平分线． （3）在图③中的线段上找一点，连接，使． 【答案】（1） 解：在图①中，如图即为所求； （2） 解：如图，即为所求； 连接，则为的角平分线 （3） 解：如图，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）取格点、，连接交于点，则四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得是的中点，再连接即可． （）取格点，连接交于点，根据勾股定理及相似三角形可得，取格点，连接交于点，则，根据等腰三角形的三线合一可得平分． （）取格点、，连接交于点，由及勾股定理可得，根据等边对等角可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查三角形的中线、角平分线的作图、相似三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定与网格作图的结合，熟练掌握网格特点、三角形中线和角平分线的定义、等腰三角形判定是解题关键． 18. 为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展“书面作业完成时间”问卷调查，根据调查结果，绘制成下面不完整的统计图表． 组别 频数 A 6 B 14 C D E 4 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生人数为_______人，______，______； （2）补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，部分所在的扇形圆心角为________． 【答案】（1）50；18；8 （2） 补全频数分布直方图，如下图： （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图与频数直方图，关键是掌握数据的读取分析和处理运算能力．（1）首先，利用B组频数和扇形统计图中的占比相除，可得到总体的学生人数，然后，通过扇形统计图中C组所占比例乘以总数得到m的值，最后，利用总数减去已知组别频数之和得到n的值； （2）利用（1）中得到的和，补全频数直方图即可，注意直方图上标注数值； （3）用360度乘以E组所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：这次被调查的学生人数为人， ， ； 故答案为：50；18；8 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：部分所在的扇形圆心角为． 故答案为： 19. 如图，等边的边长为4，点在同一直线上，． （1）求证：； （2）直接写出的长为_________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据，可得，从而得到，再证明，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵等边的边长为4， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）． 20. 三地在同一条公路上，地、两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车的速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶，最后两车同时到达地．如图，这是表示甲、乙两车之间的距离与时间之间的函数关系图象．根据图象，回答下列问题． （1）、两地相距_______，乙车中途休息了______，甲车的速度是______； （2）求图中线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）请直接写出甲、乙两车出发多长时间两车相遇． 【答案】（1）20；1；60 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象、一次函数的应用、求一次函数的解析式，读懂函数图象的信息是解题的关键． （1）根据图象的信息即可解答； （2）利用待定系数法解答即可解答； （3）求出乙车中途休息前的速度，再根据两车相遇列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵B地在A，C两地之间，甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地， ∴从图象得出当时，， 即A，B两地相距； ∵甲车的速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间后，继续行驶，最后两车同时到达C地， ∴结合图象得：，即乙车中途休息了； 甲车的速度是； 故答案为：20；1；60 【小问2详解】 解：结合图象得：点E的坐标为，点D的坐标为， 设线段的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴线段的函数解析式为； 【小问3详解】 解：乙车中途休息前的速度是， ∵两车相遇， ∴， 解得：， 即甲、乙两车出发两车相遇． 21. 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程； 例2：如图，在中，、分别是边、的中点，、相交于点，求证：． 证明：连结． 【结论应用】在中，对角线、交于点，点为边的中点，、交于点． （1）如图②，若为矩形，且，则的长为_______； （2）如图③，连结交于点，若四边形的面积为，则的面积为_______． 【答案】【教材呈现】证明：连结， ∵、分别是边、的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 【结论应用】（1）；（2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形和矩形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形和矩形的性质是解题的关键． 【教材呈现】根据三角形中位线定理可得，从而得到，即可解答； 【结论应用】（1）由【教材呈现】可得 ，然后由勾股定理可得，即可求解； （2）根据平行四边形的性质可得点O为的中点，，再由【教材呈现】可得，，从而得到，即可求解． 【详解】【教材呈现】略 【结论应用】（1）∵为矩形， ∴， ∵点为边的中点， 由【教材呈现】得：，即， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴点O为的中点，， ∵点为边的中点， 由【教材呈现】得：，，即，， ∴， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∴． 22. 如图，在中，，为的中点，点是边上一动点，连结，将线段绕点顺时针旋转至，以、为边构造正方形，已知． （1）线段的长为______，用含的代数式表示线段的长为______； （2）当正方形与重叠部分图形是正方形时，求t的取值范围； （3）当边的中点落在的边上时，求的值． （4）当点不与点重合时，作点关于直线的对称点．当与的一边垂直时，直接写出的值． 【答案】（1）10； （2） （3）或6 （4）4或或1或7 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）分别求出当点M落在上时；当点M落在上时，t的值，即可求解； （3）分两种情况：当的中点F落在边上时，当的中点F落在边上时，即可求解； （4）分四种情况解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：10；； 【小问2详解】 解：当点M落在上时，正方形与重叠部分图形是正方形， ∵为的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点M落在上时，正方形与重叠部分图形是正方形，过点Q作于点G，过点P作于点K， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ， ， ∴四边形是正方形， ∴ ， ， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴当重叠部分图形是正方形时，t的取值范围为； 【小问3详解】 解：当的中点F落在边上时，如图，过点Q作于点G，过点Q作于点E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵F是的中点， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当的中点落在边上时，如图，过点Q作于点E，过点N作于点T，过点M作，交的延长线于点R，交的延长线于点H，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，t的值为或6； 【小问4详解】 解：当时，点在上，此时，点M落在上， 由（2）得：； 当时，与的交点为O，过点Q作于点E， ∵点C关于直线PQ的对称点为点， ∴， ∵， ∴， 由（3）得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 如图，当时，过点Q作于点E，则，， ∵点C关于直线PQ的对称点为点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，过点Q作于点E，延长至点K，则，， ∵点C关于直线PQ的对称点为点， ∴所在的直线平分， 即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，t的值为4或或1或7． 【点睛】本题考查了勾股定理，平行线分线段成比例定理，三角形全等的判定和性质，对称的性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师范大学附属中学初三年级数学学科综合练习（一） 时长：100分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 某商店的货架可抽象成如图所示的图形，其中，，，（单位：），则的长度是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 4. 为纪念中国人民抗日战争的胜利，9月3日被确定为抗日战争胜利纪念日，某校为了了解学生对“抗日战争”的知晓情况，从全校1800名学生中随机抽取了500名学生进行调查，下列说法中正确的是（ ） A. 1800名学生是总体 B. 500名学生是样本 C. 所抽取的每名学生对“抗日战争”的知晓情况是个体 D. 样本容量是500名 5. 将直线向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 某文具店将进价为12元的口风琴按照每个20元出售时，平均每天能够售出8个．若这种商品每件降低元能多售出4个．若该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，那么每个口风琴的售价应该是多少元，设售价定为每件元，下列列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为，顶点C在轴的负半轴上，函数的图象经过顶点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 10. 如图所示，一水库迎水坡AB的坡度i=1：，则该坡的坡角a= _________． 11. 如图，与关于点位似，已知，则与的面积比为_____． 12. 若点、、都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是______（用“”连接）． 13. 已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|﹣的结果是____________ 14. 已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点．直线且经过原点，且与直线交于点，点为轴上任意一点，连接、．以下结论： ①方程组的解为； ②若点是直线上的点，点是直线上的点，则当时，； ③的面积为3； ④当的值最小时，点的坐标为． 其中正确结论的序号是_____． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中作的中线． （2）在图②中作的角平分线． （3）在图③中的线段上找一点，连接，使． 18. 为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展“书面作业完成时间”问卷调查，根据调查结果，绘制成下面不完整的统计图表． 组别 频数 A 6 B 14 C D E 4 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生人数为_______人，______，______； （2）补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，部分所在的扇形圆心角为________． 19. 如图，等边的边长为4，点在同一直线上，． （1）求证：； （2）直接写出的长为_________． 20. 三地在同一条公路上，地、两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车的速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶，最后两车同时到达地．如图，这是表示甲、乙两车之间的距离与时间之间的函数关系图象．根据图象，回答下列问题． （1）、两地相距_______，乙车中途休息了______，甲车的速度是______； （2）求图中线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）请直接写出甲、乙两车出发多长时间两车相遇． 21. 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程； 例2：如图，在中，、分别是边、的中点，、相交于点，求证：． 证明：连结． 【结论应用】在中，对角线、交于点，点为边的中点，、交于点． （1）如图②，若为矩形，且，则的长为_______； （2）如图③，连结交于点，若四边形的面积为，则的面积为_______． 22. 如图，在中，，为的中点，点是边上一动点，连结，将线段绕点顺时针旋转至，以、为边构造正方形，已知． （1）线段的长为______，用含的代数式表示线段的长为______； （2）当正方形与重叠部分图形是正方形时，求t的取值范围； （3）当边的中点落在的边上时，求的值． （4）当点不与点重合时，作点关于直线的对称点．当与的一边垂直时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $