2.6 直角三角形 同步课堂-2025-2026学年浙教版（2024）数学八年级上册

2.6直角三角形 讲解目录 【知识点1】直角三角形的性质 1 【知识点2】直角三角形斜边上的中线 1 【知识点3】含30度角的直角三角形 2 【题型1】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求角 2 【题型2】根据直角三角形概念判断直角三角形 3 【题型3】利用直角三角形两锐角互余的性质求角 4 【题型4】根据直角三角形两锐角互余判断直角三角形 5 【题型5】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求边 5 知识讲解 【知识点1】直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 【知识点2】直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 【知识点3】含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 题型专练 【题型1】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求角 【典型例题】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE，已知∠A＝38°，则∠BFC的度数是（　　） A.111° B.110° C.109° D.108° 【举一反三1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，点D为斜边AB上的中点，DE⊥CD交AC于点E，则∠AED的度数为（　　） A.105° B.110° C.115° D.125° 【举一反三2】在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，点E在AC上，且∠EDC＝72°，点F在AB上，满足DE＝DF，则∠CEF的度数为　    　． 【举一反三3】如图所示，四边形ABCD由一个∠ACB＝30°的Rt△ABC与等腰Rt△ACD拼成，E为斜边AC的中点，求∠BDE的大小． 【题型2】根据直角三角形概念判断直角三角形 【典型例题】具备下列条件的中，不是直角三角形的是(    ) A. B.  C. D. 【举一反三1】不能判断是直角三角形的是(    ) A. B. C. D. 【举一反三2】下列条件中，能确定是直角三角形的条件有(    )；：：：：；；． A.个 B.个 C.个 D.个 【举一反三3】具备下列条件的：；；；其中，不是直角三角形的是          填序号． 【举一反三4】如图，，分别是的高线与角平分线，与交于点，求证：是直角三角形． 【举一反三5】如图，在中，，，平分． 求的度数． 若于点，求证：是直角三角形． 【题型3】利用直角三角形两锐角互余的性质求角 【典型例题】在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝70°，则∠A的度数为（　　） A.80° B.70° C.60° D.50° 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，则∠A＝（　　） A.60° B.30° C.45° D.90° 【举一反三2】在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（　　） A.75° B.60° C.45° D.30° 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE是AB的垂直平分线，若∠CBE＝20°，则∠A＝　 　°． 【举一反三4】在直角三角形中，有一个锐角是另外一个锐角的5倍，则这个较大的锐角的度数为 　 　度． 【举一反三5】在△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，求∠A的度数． 【题型4】根据直角三角形两锐角互余判断直角三角形 【典型例题】在中，垂直平分，与交于点，与交于点，，，则是          三角形． 【举一反三1】如图，在中，，，则为________三角形． 【举一反三2】如图在中，，为中点，求证为直角三角形 【举一反三3】如图，已知是的边上的中线，且． 求证：是直角三角形． 【题型5】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求边 【典型例题】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点．连接CD，若CD+AB＝7.5，则CD的长度是（　　） A.1.5 B.2 C.2.5 D.5 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，AB＝12，则CD的长等于（　　） A.5 B.4 C.8 D.6 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为AC中点，则DE＝　 　． 【举一反三3】已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B＝30°，∠ACB＝45°，CE是AB边上的中线． （1）CDAB； （2）若CG＝EG，求证：DG⊥CE． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.6直角三角形 讲解目录 【知识点1】直角三角形的性质 1 【知识点2】直角三角形斜边上的中线 1 【知识点3】含30度角的直角三角形 2 【题型1】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求角 2 【题型2】根据直角三角形概念判断直角三角形 5 【题型3】利用直角三角形两锐角互余的性质求角 8 【题型4】根据直角三角形两锐角互余判断直角三角形 10 【题型5】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求边 11 知识讲解 【知识点1】直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 【知识点2】直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 【知识点3】含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 题型专练 【题型1】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求角 【典型例题】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE，已知∠A＝38°，则∠BFC的度数是（　　） A.111° B.110° C.109° D.108° 【答案】C 【解析】连接DE， ∵CD是AB边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∵BE是AC边上的中线，∠A＝38°， ∴DE＝AE＝CE＝BD，∠ACD＝90°﹣38°＝52°， ∴∠ADE＝∠A＝38°， ∴∠DBE＝∠DEB＝19°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣38°＝52°，∠BCD＝90°﹣52°＝38°， ∴∠CBE＝52°﹣19°＝33°， ∴∠BFC＝180°﹣33°﹣38°＝109°． 故选：C． 【举一反三1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，点D为斜边AB上的中点，DE⊥CD交AC于点E，则∠AED的度数为（　　） A.105° B.110° C.115° D.125° 【答案】C 【解析】∵∠ACB＝90°，点D为斜边AB上的中点， ∴DA＝DC， ∴∠ACD＝∠A＝25°， ∵DE⊥CD， ∴∠EDC＝90°， ∴∠AED＝∠ACD+∠EDC＝115°， 故选：C． 【举一反三2】在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，点E在AC上，且∠EDC＝72°，点F在AB上，满足DE＝DF，则∠CEF的度数为　    　． 【答案】54°或144° 【解析】如图，当点F在BD上时， ∵Rt△ABC中，D为斜边AB的中点， ∴DCAB＝DB， ∴∠CDB＝180°﹣2∠B， ∵DE＝DF， ∴△DEF中，∠DFE（180°﹣∠EDF） （180°﹣∠EDC﹣∠CDB） （108°﹣∠CDB） ＝54°∠CDB ＝54°（180°﹣2∠B） ＝∠B﹣36°， ∵∠CEF是△AEF的外角， ∴∠CEF＝∠A+∠AFE ＝90°﹣∠B+∠B﹣36° ＝54°， 当点F'在AD上时，由DF＝DE＝DF'，可得∠FEF'＝90°， ∴∠CEF'＝∠CEF+∠FEF'＝54°+90°＝144°， 故答案为：54°或144°． 【举一反三3】如图所示，四边形ABCD由一个∠ACB＝30°的Rt△ABC与等腰Rt△ACD拼成，E为斜边AC的中点，求∠BDE的大小． 【答案】解：∵点E是Rt△ABC，Rt△ACD斜边AC的中点， ∴BE＝DEAC＝CE，DE⊥AC， ∴∠ACB＝∠EBC，∠BDE＝∠EBD， 又∵∠ACB＝30°， ∴∠AEB＝∠EBC+∠ECB＝30°+30°＝60° ∴∠BED＝∠BEA+∠DEA＝60°+90°＝150° ∴∠BDE（180°﹣∠BED）（180°﹣150°）＝15°． 【题型2】根据直角三角形概念判断直角三角形 【典型例题】具备下列条件的中，不是直角三角形的是(    ) A. B.  C. D. 【答案】D 【解析】A.在中，，，，，，为直角三角形，故A不合题意； B.，，在中，，，，，是直角三角形，故B不合题意； C.：：：：，，，，为直角三角形，故C不合题意； D.，，即，，，故不是直角三角形，故D合题意． 故选D． 【举一反三1】不能判断是直角三角形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，，该三角形是直角三角形； B.：：：：，，该三角形是直角三角形； C.，：：：：：：，，该三角形是钝角三角形； D.，，，该三角形是直角三角形． 【举一反三2】下列条件中，能确定是直角三角形的条件有(    )；：：：：；；． A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】D 【解析】若，则，能确定是直角三角形若，则，能确定是直角三角形若，则，能确定是直角三角形，则，能确定是直角三角形 故选D． 【举一反三3】具备下列条件的：；；；其中，不是直角三角形的是          填序号． 【答案】  【解析】，，，，，，，故是直角三角形；，，，，，，故是直角三角形；，，，，故是直角三角形；由可得，则是钝角三角形，不是直角三角形． 故答案为：． 【举一反三4】如图，，分别是的高线与角平分线，与交于点，求证：是直角三角形． 【答案】证明：， ． 平分， ， ． 又， ． 又， ， ， 即是直角三角形． 【举一反三5】如图，在中，，，平分． 求的度数． 若于点，求证：是直角三角形． 【答案】解：在中，，， ． 又平分， ； 证明：，， ． 又， ． ， ． 是直角三角形． 【解析】  【题型3】利用直角三角形两锐角互余的性质求角 【典型例题】在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝70°，则∠A的度数为（　　） A.80° B.70° C.60° D.50° 【答案】A 【解析】∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， 又∠A﹣∠B＝70°， ∴∠A（90°+70°）＝80°． 故选：A． 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，则∠A＝（　　） A.60° B.30° C.45° D.90° 【答案】A 【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠A＝2∠B， ∴3∠B＝90°， ∴∠B＝30°， ∴∠A＝60°． 故选：A． 【举一反三2】在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（　　） A.75° B.60° C.45° D.30° 【答案】D 【解析】∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°， ∴另一个锐角的度数是90°﹣60°＝30°． 故选：D． 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE是AB的垂直平分线，若∠CBE＝20°，则∠A＝　 　°． 【答案】35 【解析】∵∠C＝90°， ∴∠CEB＝90°﹣∠CBE＝70°， ∵DE垂直平分线段AB， ∴EA＝EB， ∴∠A＝∠EBA， ∵∠CEB＝∠A+∠EBA， ∴∠A＝∠EBA＝35°， 故答案为35 【举一反三4】在直角三角形中，有一个锐角是另外一个锐角的5倍，则这个较大的锐角的度数为 　 　度． 【答案】75 【解析】设较小的锐角是x度，则另一角是5x度． 则x+5x＝90，解得：x＝15°． ∴5x＝75° 故答案为：75． 【举一反三5】在△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，求∠A的度数． 【答案】解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°， ∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠A﹣∠B＝30°， ∴∠A＝60°． 【题型4】根据直角三角形两锐角互余判断直角三角形 【典型例题】在中，垂直平分，与交于点，与交于点，，，则是          三角形． 【答案】直角  【解析】 如图所示垂直平分，， 又，，， 又，， 即是直角三角形， 故答案为：直角． 【举一反三1】如图，在中，，，则为________三角形． 【答案】直角  【解析】，，，， 则为直角三角形． 故答案为直角． 【举一反三2】如图在中，，为中点，求证为直角三角形 【答案】证明：，为中点，，，， 即，，是直角三角形．  【举一反三3】如图，已知是的边上的中线，且． 求证：是直角三角形． 【答案】证明 ， ，． ，， ． ． ． 是直角三角形．  【解析】 【题型5】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求边 【典型例题】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点．连接CD，若CD+AB＝7.5，则CD的长度是（　　） A.1.5 B.2 C.2.5 D.5 【答案】C 【解析】∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点， ∴，即AB＝2CD， ∵CD+AB＝7.5， ∴CD+2CD＝7.5， 解得：CD＝2.5， 故选：C． 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，AB＝12，则CD的长等于（　　） A.5 B.4 C.8 D.6 【答案】D 【解析】∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线， ∴CDAB， ∵AB＝12， ∴CD＝6． 故选：D． 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为AC中点，则DE＝　 　． 【答案】4 【解析】在△ABC中，AB＝AC＝8， ∴△ABC中是等腰三角形， 又∵AD是底边上的高， ∴AD⊥BC， ∴在△ADC中，∠ADC＝90°， ∵E为AC中点， ∴DE4， ∴DE＝4． 【举一反三3】已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B＝30°，∠ACB＝45°，CE是AB边上的中线． （1）CDAB； （2）若CG＝EG，求证：DG⊥CE． 【答案】证明：（1）∵AD是BC边上的高， ∴AD⊥BC， ∵∠B＝30°， ∴ADAB， ∵∠ACB＝45°， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴CD＝AD， ∴CDAB； （2）连接DE，如图所示： ∵CE是AB边上的中线，AD⊥BC， ∴DE是Rt△ABD斜边AB上的中线， ∴DEAB， ∵CDAB， ∴DE＝CD， ∵CG＝EG， ∴DG⊥CE． 学科网（北京）股份有限公司 $$