2.4 等腰三角形的判定定理 同步课堂-2025-2026学年浙教版（2024）数学八年级上册

2.4等腰三角形的判定定理 讲解目录 【知识点1】等边三角形的判定与性质 1 【知识点2】等腰三角形的判定与性质 1 【知识点3】等腰三角形的判定 2 【知识点4】等边三角形的判定 2 【题型1】用定义判定等腰三角形 2 【题型2】根据等角对等边判定等腰三角形 6 【题型3】等腰三角形的性质与判定 9 【题型4】等边三角形的判定和性质 14 知识讲解 【知识点1】等边三角形的判定与性质 (1)等边三角形是一个非常特殊的几何图形,它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础,它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件.同是等边三角形又是特殊的等腰三角形,同样具备三线合一的性质,解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用. (2)等边三角形的特性如:三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30 角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等. (3)等边三角形判定最复杂,在应用时要抓住已知条件的特点,选取恰当的判定方法,一般地,若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定;若从等腰三角形出发,则想法获取一个60 的角判定. 【知识点2】等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角,判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段. 2、在等腰三角形有关问题中,会遇到一些添加辅助线的问题,其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线,虽然“三线合一”,但添加辅助线时,有时作哪条线都可以,有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同,需要具体问题具体分析. 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决,但要注意纠正不顾条件,一概依赖全等三角形的思维定势,凡可以直接利用等腰三角形的问题,应当优先选择简便方法来解决. 【知识点3】等腰三角形的判定 判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.【简称:等角对等边】 说明:①等腰三角形是一个轴对称图形,它的定义既作为性质,又可作为判定办法. ②等腰三角形的判定和性质互逆; ③在判定定理的证明中,可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线,但不能作未来底边的中线; ④判定定理在同一个三角形中才能适用. 【知识点4】等边三角形的判定 (1)由定义判定:三条边都相等的三角形是等边三角形. (2)判定定理1:三个角都相等的三角形是等边三角形. (3)判定定理2:有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形. 说明:在证明一个三角形是等边三角形时,若已知或能求得三边相等则用定义来判定;若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明;若已知等腰三角形且有一个角为60 ,则用判定定理2来证明. 题型专练 【题型1】用定义判定等腰三角形 【典型例题】如图,M,N为4 4方格纸中格点上的两点,若以MN为边,在方格中取一点P(P在格点上),使得 MNP为等腰三角形,则点P的个数为( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】C 【解析】如图: 分三种情况: 当MP=MN时,以点M为圆心,以MN长为半径作圆,则点P1,P2即为所求; 当NP=NM时,以点N为圆心,以NM长为半径作圆,则点P3即为所求; 当PM=PN时,作线段MN的垂直平分线,则点P4,P5即为所求; 综上所述:使得 MNP为等腰三角形,则点P的个数为5个, 故选:C. 【举一反三1】在 ABC中,∠BAC=90 ,AB≠AC.用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D,使 ACD为等腰三角形.下列作法不正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】A、由作图可知AD是 ABC的角平分线,推不出 ADC是等腰三角形,本选项符合题意. B、由作图可知CA=CD, ADC是等腰三角形,本选项不符合题意. C、由作图可知DA=CD, ADC是等腰三角形,本选项不符合题意. D、由作图可知DA=CD, ADC是等腰三角形,本选项不符合题意. 故选:A. 【举一反三2】在 ABC中,∠BAC=90 ,AB≠AC.用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D,使 ACD为等腰三角形.下列作法不正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】A、由作图可知AD是 ABC的角平分线,推不出 ADC是等腰三角形,本选项符合题意. B、由作图可知CA=CD, ADC是等腰三角形,本选项不符合题意. C、由作图可知DA=CD, ADC是等腰三角形,本选项不符合题意. D、由作图可知DA=CD, ADC是等腰三角形,本选项不符合题意. 故选:A. 【举一反三3】如图,在3 3的网格中,每个网格线的交点称为格点,A,B在两个格点上,请在图中再寻找另一个格点C,使 ABC成为等腰三角形,则满足条件的C点的个数为( ) A.10 B.8 C.6 D.4 【答案】B 【解析】如图, ABC成为等腰三角形,则满足条件的C点的个数为8个. 故选:B. 【举一反三4】如图,在正方形网格中,A,B两点都在小方格的顶点上,如果点C也是图中小方格的顶点,且 ABC是等腰三角形,那么点C的个数有 个. 【答案】3 【解析】当AB为腰时,点C的个数有2个; 当AB为底时,点C的个数有1个, 故答案为:3. 【举一反三5】如图,在正方形网格中,A,B两点都在小方格的顶点上,如果点C也是图中小方格的顶点,且 ABC是等腰三角形,那么点C的个数有 个. 【答案】3 【解析】当AB为腰时,点C的个数有2个; 当AB为底时,点C的个数有1个, 故答案为:3. 【举一反三6】在如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点,已知A、B是两个格点,如果C也是图中的格点,且使得 ABC为等腰三角形,那么点C的个数是 . 【答案】8 【解析】如图,分情况讨论: ①AB为等腰 ABC的底边时,符合条件的C点有4个; ②AB为等腰 ABC其中的一条腰时,符合条件的C点有4个. 故答案为:8. 【题型2】根据等角对等边判定等腰三角形 【典型例题】如图,AD=BC,AB=AC=BD,∠D=∠DEA=∠C,则图中一共有( )个等腰三角形. A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】∵AB=AC=BD, ∴ ABD和 ABC是等腰三角形, ∵∠D=∠C=∠DEA=∠BEC, ∴AD=AE,BC=BE, ∴ ADE和 BEC是等腰三角形, ∵AD=BC, ∴AE=BE, ∴ AEB是等腰三角形, 故选:C. 【举一反三1】下列能断定 ABC为等腰三角形的是( ) A.∠A=30 ,∠B=60 B.∠A=50 ,∠B=80 C.AB=AC=2,BC=4 D.AB=3,BC=7,周长为10 【答案】B 【解析】A、根据三角形内角和定理得,∠C=180 ﹣60 ﹣30 =90 ,故不是等腰三角形; B、根据三角形内角和定理得,∠C=180 ﹣50 ﹣80 =50 ,故是等腰三角形; C、根据三角形中三边的关系知,任意两边之和大于第三边,而AB+AC=4=BC,不能构成三角形; D、周长为10,而AB+BC=10,与周长相等,第三边为0,则不能构成三角形. 故选:B. 【举一反三2】如图,在 ABC中,AB=AC,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D,过点D作直线EF∥BC,交AB于E,交AC于F,图中等腰三角形的个数共有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】C 【解析】∵AB=AC,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D, ∴∠ABD=∠DBC=∠BCD=∠DCF, ∴ EBD、 DBC、 FDC是等腰三角形, ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB,且 ABC是等腰三角形, ∵EF∥BC, ∴∠AEF=∠AFE=∠ABC, ∴ AEF是等腰三角形. 所以共有 EBD、 DBC、 FDC、 ABC、 AEF5个等腰三角形. 故选:C. 【举一反三3】在 ABC中,∠A=70 ,当∠B= 时, ABC为等腰三角形. 【答案】55 、70 、40 【解析】若∠A为顶角,且∠A=70 , 则∠B=∠C =55 ; 若∠A为底角,且∠B为底角, 则∠B=∠A=70 ; 若∠A为底角,且∠B为顶角, 则∠A=∠C=70 , ∠B=180 ﹣140 =40 , 故答案为55 、70 、40 . 【举一反三4】在 ABC中,如果∠B=65 ,∠A的外角等于130 ,那么 ABC 等腰三角形.(填“是”或“不是”) 【答案】是 【解析】解:∵∠A的外角等于130 , ∴∠A=180 ﹣130 =50 , ∴∠C=180 ﹣50 ﹣65 =65 =∠B, ∴BC=AB, ∴ ABC是等腰三角形. 故填是. 【举一反三5】如图,在 ABC中,AB=AC,∠BAC=36 ,BD平分∠ABC交AC于点D,过点A作AE∥BC,交BD的延长线于点E. (1)求∠ADB的度数; (2)求证: ADE是等腰三角形. 【答案】(1)解:∵AB=AC,∠BAC=36 , ∴∠ABC=∠C(180 ﹣∠BAC)=72 , ∵BD平分∠ABC, ∴∠DBC∠ABC=36 , ∴∠ADB=∠C+∠DBC=72 +36 =108 ; (2)证明:∵AE∥BC, ∴∠EAC=∠C=72 , ∵∠C=72 ,∠DBC=36 , ∴∠ADE=∠CDB=180 ﹣72 ﹣36 =72 , ∴∠EAD=∠ADE, ∴AE=DE, ∴ ADE是等腰三角形. 【题型3】等腰三角形的性质与判定 【典型例题】在 ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点I,过点I作DE∥BC交BA于点D,交AC于点E,AB=5,AC=3,∠A=50 ,则下列说法错误的是( ) A. DBI和 EIC是等腰三角形 B.I为DE中点 C. ADE的周长是8 D.∠BIC=115 【答案】B 【解析】∵BI平分∠DBC, ∴∠DBI=∠CBI, ∵DE∥BC, ∴∠DIB=∠IBC, ∴∠DIB=∠DBI, ∴BD=DI. 同理,CE=EI. ∴ DBI和 EIC是等腰三角形; ∴ ADE的周长=AD+DI+IE+EA=AB+AC=8; ∵∠A=50 , ∴∠ABC+∠ACB=130 , ∴∠IBC+∠ICB=65 , ∴∠BIC=115 , 故选项A,C,D正确, 故选:B. 【举一反三1】如图将长方形ABCD沿EF折叠,B、C分别落在点H、G的位置,延长EH交边CD于点M.下列说法不正确的是( ) A.∠1<∠2 B.∠2=∠3 C.∠MEB=2∠2 D.∠2与∠4互补 【答案】D 【解析】过点F作FN⊥EH,垂足为N,且点N在线段EH上, ∴∠FNE=90 , ∵四边形ABCD是长方形, ∴AB∥CD,∠B=90 , 由折叠得: ∠B=∠GHE=90 , ∴∠GHE=∠FNE=90 , ∴GH∥FN, ∴∠1=∠MFN, ∵∠2=∠MFN+∠EFN, ∴∠1<∠2, 故A不符合题意; ∵AB∥CD, ∴∠2=∠FEB, 由折叠得: ∠FEB=∠3, ∴∠2=∠3, 故B不符合题意; ∵∠FEB=∠3, ∴∠MEB=2∠3, ∵∠3=∠2, ∴∠MEB=2∠2, 故C不符合题意; ∵ME≠EF, ∴∠2≠∠EMF, ∵∠4+∠EMF=180 , ∴∠4与∠2不一定互补, 故D符合题意; 故选:D. 【举一反三2】如图,在 ABC中,过点B作 ABC的角平分线AD的垂线,垂足为F,FG∥AB交AC于点G,若AB=4,则线段FG的长为 . 【答案】2 【解析】延长BF交AC于E, ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD, ∵BF⊥AD, ∴∠AFB=∠AFE=90 , ∵AF=AF, ∴ ABF≌ AEF(ASA), ∴AE=AB=4, ∵FG∥AB, ∴∠BAF=∠AFG, ∴∠GAF=∠FAG, ∴AG=FG, ∵∠FAG+∠AEF=∠AFG+∠EFG=90 , ∴∠GFE=∠GEF, ∴FG=GE, ∴FGAE=2, 故答案为:2. 【举一反三3】(1)如图1,在 ABC中,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB.过D作EF∥BC交AB于E,交AC于F,请说明EF=BE+CF的理由. (2)如图2,BD平分∠ABC,CD是 ABC中∠ACB的外角平分线,若仍然过点D作EF∥BC交AB于E,交AC于F,第(1)题的结论还成立吗?如果成立,请说明理由;如果不成立,你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系? 【答案】解:(1)∵在 ABC中,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, ∴∠EBD=∠DBC,∠DCB=∠FCD. 又∵EF∥BC交AB于E,交AC于F, ∴∠EDB=∠DBC,∠FDC=∠DCB ∴∠EBD=∠EDB,∠FDC=∠FCD, ∴BE=ED,CF=FD, ∴EF=ED+DF=BE+CF. 即:EF=BE+CF. (2)不成立.EF=BE﹣CF.理由如下(如图): ∵BD平分∠ABC,CD是 ABC中∠ACB的外角平分线 ∠EBD=∠DBC,∠FCD=∠DCG ∵EF∥BC交AB于E,交AC于F, ∴∠EDB=∠DBC,∠FDC=∠DCG, ∴∠EBD=∠EDB,∠FDC=∠FCD, ∴BE=DE,DF=CF, ∴EF=BE﹣CF. 【举一反三4】如图, ABC中,∠ABC的角平分线BE交AC于点E,过点E作DE∥BC 交AB于点D, (1)求证: BDE是等腰三角形; (2)若∠C=90 ,∠A=40 ,求∠BED的度数. 【答案】(1)证明:∵BE平分∠ABC, ∴∠DBE=∠CBE, ∵DE∥BC, ∴∠DEB=∠CBE, ∴∠DBE=∠DEB, ∴ BDE是等腰三角形; (2)解:∵∠C=90 ,∠A=40 , ∴∠ABC=180 ﹣90 ﹣40 =50 , ∵BE平分∠ABC, ∴∠DBE=∠CBEABC=25 , 由(1)知∠BED=∠DBE=25 . 【题型4】等边三角形的判定和性质 【典型例题】由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作小颖同学设计一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可如图,衣架杆为衣架的固定点;如图,若衣架收拢时,,则此时,两点之间的距离是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】连接,,,是等边三角形,, 故选:C. 【举一反三1】如图,在中,以点为圆心,的长为半径作弧,与交于点,分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧,两弧相交于点,作射线交于点若,,则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意可知,是的垂直平分线,,,≌,,,,,,是等边三角形,, 在中,,,,. 故选:A. 【举一反三2】如图,,,则图中共有_个等腰三角形,有_个等边三角形. 【答案】 ; 【解析】依据等腰三角形及等边三角形的定义可知,题图中的等腰三角形为,,,,共个; 等边三角形为,共个. 【举一反三3】如图,中,,,延长至点,连接,若的周长为,则的周长为_. 【答案】 【解析】解:,,是等边三角形,,的周长为,,的周长, 故答案为:. 【举一反三4】如图,为等边三角形,为内一点,且,过点作的平行线,交的延长线于点,,连接.求证:≌.求证:为等边三角形. 【答案】证明:是等边三角形,,,,,且,,且,,≌ ≌,,,,,且,是等边三角形. 【举一反三5】如图,为线段上一点,以,为腰分别作等腰和等腰,,,,连接交于点,连接交于点,连接.求证:≌.求证:. 【答案】证明:,,,, 在和中,,≌;由知≌.,,,, 在和中,,≌,. 学科网(北京)股份有限公司 $$ 2.4等腰三角形的判定定理 讲解目录 【知识点1】等边三角形的判定与性质 1 【知识点2】等腰三角形的判定与性质 1 【知识点3】等腰三角形的判定 2 【知识点4】等边三角形的判定 2 【题型1】用定义判定等腰三角形 2 【题型2】根据等角对等边判定等腰三角形 4 【题型3】等腰三角形的性质与判定 5 【题型4】等边三角形的判定和性质 6 知识讲解 【知识点1】等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 【知识点2】等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 【知识点3】等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 【知识点4】等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 题型专练 【题型1】用定义判定等腰三角形 【典型例题】如图，M，N为4×4方格纸中格点上的两点，若以MN为边，在方格中取一点P（P在格点上），使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为（　　） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【举一反三1】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点，A，B在两个格点上，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的C点的个数为（　　） A.10 B.8 C.6 D.4 【举一反三4】如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数有 　 　个． 【举一反三5】如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数有 　 　个． 【举一反三6】在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，那么点C的个数是　　． 【题型2】根据等角对等边判定等腰三角形 【典型例题】如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠D＝∠DEA＝∠C，则图中一共有（　　）个等腰三角形． A.3 B.4 C.5 D.6 【举一反三1】下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　） A.∠A＝30°，∠B＝60° B.∠A＝50°，∠B＝80° C.AB＝AC＝2，BC＝4 D.AB＝3，BC＝7，周长为10 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，过点D作直线EF∥BC，交AB于E，交AC于F，图中等腰三角形的个数共有（　　） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【举一反三3】在△ABC中，∠A＝70°，当∠B＝　          　时，△ABC为等腰三角形． 【举一反三4】在△ABC中，如果∠B＝65°，∠A的外角等于130°，那么△ABC　 　等腰三角形．（填“是”或“不是”） 【举一反三5】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E． （1）求∠ADB的度数； （2）求证：△ADE是等腰三角形． 【题型3】等腰三角形的性质与判定 【典型例题】在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作DE∥BC交BA于点D，交AC于点E，AB＝5，AC＝3，∠A＝50°，则下列说法错误的是（　　） A.△DBI和△EIC是等腰三角形 B.I为DE中点 C.△ADE的周长是8 D.∠BIC＝115° 【举一反三1】如图将长方形ABCD沿EF折叠，B、C分别落在点H、G的位置，延长EH交边CD于点M．下列说法不正确的是（　　） A.∠1＜∠2 B.∠2＝∠3 C.∠MEB＝2∠2 D.∠2与∠4互补 【举一反三2】如图，在△ABC中，过点B作△ABC的角平分线AD的垂线，垂足为F，FG∥AB交AC于点G，若AB＝4，则线段FG的长为 　 　． 【举一反三3】（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．过D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE+CF的理由． （2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系？ 【举一反三4】如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BE交AC于点E，过点E作DE∥BC 交AB于点D， （1）求证：△BDE是等腰三角形； （2）若∠C＝90°，∠A＝40°，求∠BED的度数． 【题型4】等边三角形的判定和性质 【典型例题】由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可如图，衣架杆为衣架的固定点；如图，若衣架收拢时，，则此时，两点之间的距离是(    ) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，与交于点，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【举一反三2】如图，，，则图中共有________个等腰三角形，有________个等边三角形． 【举一反三3】如图，中，，，延长至点，连接，若的周长为，则的周长为______． 【举一反三4】如图，为等边三角形，为内一点，且，过点作的平行线，交的延长线于点，，连接．求证：≌．求证：为等边三角形． 【举一反三5】如图，为线段上一点，以，为腰分别作等腰和等腰，，，，连接交于点，连接交于点，连接．求证：≌．求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$