精品解析：广东省深圳市龙岗区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

龙岗区2023-2024学年七年级第二学期质量监测试题 数 学 注意事項： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损；考生务必用规定的笔将自己的学校、班级、姓名和考号填写在答题卡指定位置上．同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区．请保持条形码整洁、不污损． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上．不按以上要求作答的答案无效． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效． 5．请保持答题卡的整洁，不折叠、不破损。考试结束后，将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的) 1. 如图，我们将食品夹的两边抽象为两条直线与，它们相交于点O，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角，正确把握对顶角相等是解题的关键． 直接利用对顶角相等求解即可． 【详解】解：∵直线与，它们相交于点O，， ∴， 故选：A． 2. “窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船．”这是杜甫眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，用科学记数法可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式．其中为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．科学记数法的表示形式为的形式．其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．根据科学记数法的表示形式表示即可． 【详解】解：， 故选：D． 3. 下列手机中的图标是轴对称图形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选C． 4. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂的运算法则判断选项的正确性． 【详解】解：A选项错误，； B选项正确； C选项错误，； D选项错误，． 故选：B． 【点睛】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的运算法则． 5. 下列图形中，由，能得到的是（ ） A. B.     C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据平行线的判定进行解答即可． 【详解】解：A、由得到，不能得到，不符合题意； B、由不能得到，不符合题意； C、由得到，，可以根据同位角角相等，两直线平行得，符合题意； D、由不能得到，不符合题意； 故选：C 6. 如图，点E，点F在直线上，，，下列条件中不能判断是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在与中，，，所以结合全等三角形的判定方法分别分析四个选项即可． 【详解】解：∵， ∴， A、添加，可得到，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意． B、添加，可得到，不能判定，故本选项符合题意． C、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意． D、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 7. 下列命题正确的是(　　) A. 两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等． B. 如果，那么． C. 任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次． D. “经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”是随机事件． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查判定命题的真假，涉及全等三角形的判定，绝对值的意义，频率与概率，事件的分类等知识，运用相关知识逐项判断即可． 【详解】A、两个三角形有两边及两边的夹角对应相等，则这两个三角形全等，如果这个角是其中的一边的对角就不能判定三角形全等，此选项错误，不符合题意； B、如果，那么，此选项错误，不符合题意； C、任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次，频率一般不会等于概率，因此不能用概率替代频率计算正面朝上的次数，此选项错误，不符合题意； D、“经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”，不一定发生，也不一定不发生，是随机事件，此选项正确，符合题意； 故选：D． 8. 如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，解得AD=BD，再结合已知及三角形周长公式解题即可． 【详解】解：如图，垂直平分， ， ， 又， 的周长， 故选：． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 9. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 (n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角” … 则中，第三项系数为(　　) A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了数字的变化规律，根据题意得到第三项系数的规律即可解答，能够根据所给杨辉三角，观察得出系数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，第三项系数为， 的第三项系数为， 的第三项系数为， 的第三项系数为， ， 的第三项系数为， 故选：A． 10. 在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度与温度 之间的对应关系如图所示，相关信息请见下表，则下列说法正确的是(　　) 信息窗 1．溶质质量溶剂质量溶液质量． 2．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． A. 当温度为时，甲物质和乙物质溶解度都小于 B. 当温度从升高至的过程中，甲种物质的溶解度随着温度的升高而增大 C. 当时，向水中添加乙，则乙溶液一定能达到饱和状态 D. 甲、乙两种物质的溶解度始终都不一样 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用图象表示变量之间的关系，解题的关键是理解题意，数形结合．根据图象结合题目中给出的信息逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由图象可知：当温度为时，乙物质的溶解度是，故选项A错误，不符合题意； B．由图象可知：当温度从升高至的过程中，甲种物质的溶解度随着温度的升高，先减小后增大，故选项B错误，不符合题意； C．因为当时，乙物质的溶解度小于，故向水中添加乙，则乙溶液一定能达到饱和状态，故选项C正确，符合题意； D．当时，甲、乙两种物质的溶解度始终一样，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，掌握是解题的关键． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献，某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，选择方案包含《算学启蒙》的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，概率公式．画树状图表示出所有等可能得情况和恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的情况，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：将四部名著《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》分别记为A，B，C，D， 根据题意可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等， 其中包含《算学启蒙》的情况有6种， ∴选择方案包含《算学启蒙》的概率是， 故答案为：． 13. 用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管，若，则______度． 【答案】104 【解析】 【分析】根据对顶角的性质和平行线的性质，可以求得∠3的度数，从而可以得到∠2的度数． 【详解】解：∵， ∴∠3＋∠2＝180°， ∵∠1＝∠3，∠1＝76°， ∴∠3＝76°， ∴∠2＝180°-76°=104°， 故答案为：104． 【点睛】本题考查平行线的性质、对顶角的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 14. “黑洞”是恒星演化的最后阶段．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料(氢)已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体．如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩．当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏(Schwarzschild)半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体----黑洞．施瓦氏半径(单位：米)的计算公式是．，其中牛•米千克，为万有引力常数；M表示星球的质量(单位：千克)； 米/秒，为光在真空中的速度．已知某恒星质量M为千克，则该恒星的施瓦氏半径为__________米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的运算和科学记数法．掌握运算法则是解题关键．先根据施瓦氏半径的计算公式是计算出的值，再用科学记数法表示出来即可． 【详解】解：(米) 故答案为：． 15. 如图，的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则________秒． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了四边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用； 分情况讨论：①当点在延长线上时，②当点在线段上时，，证明，可得此时，用含的式子表示出和，然后得出方程，解方程即可. 【详解】解：①当点F在延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，． ∵， ∴，解得． ②当点F在之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，． ∵，， ∴，解得． 综上，或． 三．解答题（本题共7小题，其中第16题8分，第17题6分，第18题7分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题9分，共55分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，解答的关键是熟练掌握相应的运算法则． （1）先利用单项式乘单项式的法则进行运算，再计算积的乘方，最后合并同类项即可； （2）根据单项式乘以多项式，多项式除以单项式的运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式和平方差公式， 首先计算完全平方公式和平方差公式，然后计算加减，然后代数求解即可． 【详解】 当，时，原式． 18. 如图，， （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． （1）由平行线的性质得到，进而证明，即可证明； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出，则由可得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 又∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴． 19. 如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．小明先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（包含数字2的黑框区域记为A）． （1）小明如果踩在图中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是 ． （2）若小明在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，踩中地雷的概率是 ． （3）为了尽可能不踩中地雷，小明点完第一步之后，小明的第二步应踩在A区域内的小方格上还是应踩在A区域外的小方格上？并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）小明的第二步应踩在A区域外的小方格上 【解析】 【分析】本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比，熟记概率公式是解题的关． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据概率公式计算即可； （3）分别计算出小明点完第一步之后，小明的第二步踩在A区域内的小方格上踩中地雷的概率和小明点完第一步之后，小明的第二步踩在A区域外的小方格上踩中地雷的概率，再比较即可； 【小问1详解】 解：根据题意，总共有个小方格，其中藏着10颗地雷， 故踩中地雷的概率， 故答案：． 【小问2详解】 解：在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，其中藏着2颗地雷， 故踩中地雷的概率， 故答案为：． 【小问3详解】 解：小明点完第一步之后，小明的第二步踩在A区域内的小方格上踩中地雷的概率， 小明点完第一步之后，小明的第二步踩在A区域外的小方格上踩中地雷的概率， ∵， 故为了尽可能不踩中地雷，小明点完第一步之后，小明的第二步应踩在A区域外的小方格上． 20. 2024深圳市梧桐山第九届毛棉杜鹃花会正式拉开帷幕，小明决定登梧桐山赏花．如图1，他以一定的速度沿路线“梧桐山北门—万花屏—好汉坡—大梧桐—深外高中站”步行游览，在每个景点他都逗留一段时间，当他到达深外高中站时，共用去．小明步行的路程与游览时间之间的部分图象如图2所示．根据图回答下列问题： （1）图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为  ，因变量为  ； （2）他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是 千米/时； （3）小明在景点好汉坡处逗留的时间是 小时； （4）图2中点A表示 ． 【答案】（1）小明的游览时间，小明步行的路程 （2）4 （3）0.35 （4）小明游览时间为时，步行的路程为 【解析】 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，读懂图象是解题的关键． （1）由题意直接得到； （2）计算出从万花屏到好汉坡的路程和时间，从而得解； （3）计算出从好汉坡到大梧桐的路程，继而算出时间，从而得解； （4）根据其横纵坐标说明即可． 【小问1详解】 由题意可知：自变量为小明的游览时间，因变量为小明步行的路程． 故答案为：小明的游览时间，小明步行的路程； 【小问2详解】 由图象可知：从万花屏到好汉坡，路程为：， 时间为： ∴他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是 故答案为：4； 【小问3详解】 由图象可知：从好汉坡到大梧桐的路程为：， ∴从好汉坡到大梧桐的运动时间为：， ∴在景点好汉坡处逗留的时间是， 故答案为：0.35； 【小问4详解】 由图象可知：小明游览时间为时，步行的路程为． 故答案为：小明游览时间为时，步行的路程为． 21. 【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用． 【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置． （1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴　　　　，　　　　， ∴　　　　． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． （2）如图4，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为　　　　． 【拓展应用】 （3）“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关于对称，请你用尺子在上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)． 【答案】（1），，（2）5（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查轴对称，最短路径问题，文字量多，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意利用对称性和三角形的三边关系填空即可； （2）根据对称性和垂线段最短，以及等边三角形每条边上的高相等即可得解； （3）连接交于点G，即可得解． 【详解】解：（1）证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴，， ∴． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． 故答案为：，，； （2）∵是的平分线， ∴可在上找到点E关于直线对称的对称点， 作出点，连接，则， 过点B作， 由垂线段最短可知，当点B、P、三点共线，且垂直时，有最小值， 即的最小值是的长度， ∵等边三角形每条边上的高相等， ∴的最小值为：， 故答案为：5； （3）到的距离和最小的点在线段上， ∵点A与点C关于对称， ∴到的距离和最小的点是线段和的交点， ∴到这四个点的距离和最小的点是线段和的交点， 故连接交于点G，点G即为所求作的点， 22. 【背景材料】 在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究．已知，，，老师将和按如图1所示的位置摆放(点E、A、B在同一条直线上)，发现．接下来让同学们以小组为单位开展进一步的探究． 【初步探究】 （1）志远小组在老师基础上进行探究，他们保持不动，将按如图2位置摆放，发现仍然成立，请你帮他们完成证明； 【深入探究】 （2）勤学小组剪了两个大小不同的等腰和等腰，，，将两个等腰三角形按如图3位置摆放，请问当和的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由； 【拓展应用】 （3）创新小组保持老师提供的不动，另剪一个等腰直角△ABC按如图4位置摆放，，，若与关于沿着过点D的某条直线对称，与交于点F，当点在的斜边上时，连接，请证明为等腰三角形． 【答案】（1）见解析（2）成立，理由见解析（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的综合问题，掌握证明全等是解题的关键． （1）由得，再用证明，继而得证； （2）根据第（1）问的证明过程可知，只需保证即可，从而得解； （3）证明，得到，再分别求出，继而得到它们相等，从而得到为等腰三角形． 【详解】解：（1） 证明： ∵， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴； （2）当时，仍成立． 理由： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （3）如图，在等腰直角三角形和中，，，， ∵与关于沿着过点D的某条直线对称， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岗区2023-2024学年七年级第二学期质量监测试题 数 学 注意事項： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损；考生务必用规定的笔将自己的学校、班级、姓名和考号填写在答题卡指定位置上．同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区．请保持条形码整洁、不污损． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上．不按以上要求作答的答案无效． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效． 5．请保持答题卡的整洁，不折叠、不破损。考试结束后，将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的) 1. 如图，我们将食品夹两边抽象为两条直线与，它们相交于点O，若，则（　　） A. B. C. D. 2. “窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船．”这是杜甫眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，用科学记数法可表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列手机中的图标是轴对称图形的是(　　) A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 下列图形中，由，能得到的是（ ） A B.     C. D. 6. 如图，点E，点F在直线上，，，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题正确的是(　　) A. 两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等． B. 如果，那么． C. 任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次． D. “经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”是随机事件． 8. 如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 9. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 (n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角” … 则中，第三项系数为(　　) A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 10. 在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度与温度 之间的对应关系如图所示，相关信息请见下表，则下列说法正确的是(　　) 信息窗 1．溶质质量溶剂质量溶液质量． 2．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． A. 当温度为时，甲物质和乙物质的溶解度都小于 B. 当温度从升高至的过程中，甲种物质的溶解度随着温度的升高而增大 C. 当时，向水中添加乙，则乙溶液一定能达到饱和状态 D. 甲、乙两种物质的溶解度始终都不一样 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11 计算__________． 12. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献，某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，选择方案包含《算学启蒙》的概率是______． 13. 用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管，若，则______度． 14. “黑洞”是恒星演化的最后阶段．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料(氢)已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体．如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩．当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏(Schwarzschild)半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体----黑洞．施瓦氏半径(单位：米)的计算公式是．，其中牛•米千克，为万有引力常数；M表示星球的质量(单位：千克)； 米/秒，为光在真空中的速度．已知某恒星质量M为千克，则该恒星的施瓦氏半径为__________米． 15. 如图，的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则________秒． 三．解答题（本题共7小题，其中第16题8分，第17题6分，第18题7分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题9分，共55分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，， （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 19. 如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．小明先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（包含数字2的黑框区域记为A）． （1）小明如果踩在图中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是 ． （2）若小明在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，踩中地雷的概率是 ． （3）为了尽可能不踩中地雷，小明点完第一步之后，小明的第二步应踩在A区域内的小方格上还是应踩在A区域外的小方格上？并说明理由． 20. 2024深圳市梧桐山第九届毛棉杜鹃花会正式拉开帷幕，小明决定登梧桐山赏花．如图1，他以一定的速度沿路线“梧桐山北门—万花屏—好汉坡—大梧桐—深外高中站”步行游览，在每个景点他都逗留一段时间，当他到达深外高中站时，共用去．小明步行的路程与游览时间之间的部分图象如图2所示．根据图回答下列问题： （1）图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为  ，因变量为  ； （2）他从万花屏到好汉坡时行走平均速度是 千米/时； （3）小明在景点好汉坡处逗留的时间是 小时； （4）图2中点A表示 ． 21. 【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用． 【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置． （1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴　　　　，　　　　， ∴　　　　． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． （2）如图4，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为　　　　． 【拓展应用】 （3）“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关于对称，请你用尺子在上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)． 22. 【背景材料】 在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究．已知，，，老师将和按如图1所示的位置摆放(点E、A、B在同一条直线上)，发现．接下来让同学们以小组为单位开展进一步的探究． 【初步探究】 （1）志远小组在老师基础上进行探究，他们保持不动，将按如图2位置摆放，发现仍然成立，请你帮他们完成证明； 【深入探究】 （2）勤学小组剪了两个大小不同的等腰和等腰，，，将两个等腰三角形按如图3位置摆放，请问当和的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由； 【拓展应用】 （3）创新小组保持老师提供不动，另剪一个等腰直角△ABC按如图4位置摆放，，，若与关于沿着过点D的某条直线对称，与交于点F，当点在的斜边上时，连接，请证明为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $