第二十一章 一元二次方程高频易考题综合测试-2025-2026学年人教版九年级数学上册单元专题提升秘籍

2025-2026学年人教版九年级数学上册单元专题提升秘籍 第二十一章 一元二次方程高频易考题综合测试 满分:120分 考试时间:120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题用0.5毫米黑色中性笔将答案写在对应题目的答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列方程是一元二次方程的是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，整理后形如（其中，且a，b，c是常数）的方程是一元二次方程；根据此概念进行判断即可． 【详解】解：A、方程整理后为，不是一元二次方程，故不符合题意； B、当时才是一元二次方程，否则不是一元二次方程，故不符合题意； C、符合一元二次方程的概念，是一元二次方程，故符合题意； D、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：C． 2．（本题3分）如果是一元二次方程的解，那么的值是（　　） A．0 B．3 C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入中，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故选D． 3．（本题3分）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．2020 B．2021 C．2019 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程的解的定义将m代入可得，再将变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：由于m是一元二次方程的一个根， ， 即， ． 故选：B． 4．（本题3分）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式．先将一元二次方程化为一般形式，再由一般形式后不含一次项，即含x的一次项的系数为0，可得关于m的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：将化为一般形式，得， ∵关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项， ∴， 解得：． 故选：C． 5．（本题3分）下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了运用直接开方法解一元二次方程，根据直接开方法依次求解判断即可． 【详解】解：、 ∴ 方程有两个不等的实数根，不符合题意； B、 ， ∴， 方程有两个相等实数根，符合题意； C、 ， ∴， 方程有两个不相等实数根，不符合题意； D、 方程没有实数根，不符合题意； 故选：B． 6．（本题3分）一元二次方程的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：， 方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 7．（本题3分）一元二次方程 的解是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的因式分解法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．方程移项后，运用提公因式法进行因式分解，即可求出方程的解． 【详解】解：∵， ∴移项后得：， ∴ 解得：， 故选：D． 8．（本题3分）已知一元二次方程的两根分别是，，则一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据根与系数的关系得到，，求出，，然后代入利用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别是，， ∴， ∴， ∴一元二次方程为， ∴ 解得，． 故选：D． 9．（本题3分）已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（   ） A． B．3 C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键． 由于当时，，则可判断该方程一定有一个根为3． 【详解】解：当时，，所以若，则该方程一定有一个根为3． 故选B． 10．（本题3分）由于国内疫情得到缓和， 餐饮业逐渐恢复， 某地一家餐厅重新开张， 开业第一天收入约为元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3 天的收入约为 元，若设每天的增长率为x， 则列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准等量关系． 设每天的增长率为x，根据题中的等量关系列出一元二次方程． 【详解】解：设每天的增长率为x， ∵开业第一天收入约为元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3 天的收入约为 元， ∴， 故选：C． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）一元二次方程的常数项为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，（a，b，c是常数且）．根据一元二次方程的一般形式的定义可得答案． 【详解】解：一元二次方程 化成一般式为，常数项为， 故答案是：． 12．（本题3分）一元二次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， 或， ， 故答案为：． 13．（本题3分）若关于x的方程有一个根是1， 则 【答案】0 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，解题关键是由一元二次方程的解求参数的方法． 根据一元二次方程的解的意义，将解代入方程，转化为待求字母参数的方程求解． 【详解】解：∵关于x的方程有一个根是1， ∴，解得：， 故答案为：0． 14．（本题3分）将一元二次方程配方成的形式，则的值为 ． 【答案】7 【分析】此题考查的是配方法的应用，掌握配方法的方法与步骤是解题的关键．解题时，先移项，再在方程的两边都加上16，配方后可求解，的值，从而可得答案． 【详解】解：∵， 移项得： ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：7． 15．（本题3分）已知是方程的一个根，则代数式的值等于 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义，把代入得，然后把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把代入，得， 所以， 所以． 故答案为：6． 16．（本题3分）若方程的两个实数根为，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若，是一元二次方程的两个实数根，则，，据此即可求解． 【详解】解：∵方程的两个实数根为，， ∴． 故答案为：2 17．（本题3分）嘉阳准备解一元二次方程，发现常数项“”印刷不清楚，嘉阳妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的．”则印刷不清楚的常数项“”可能是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查根的判别式，设常数项“”为，根据方程的系数，结合根的判别式，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的任意一值，即可得出结论．牢记“当方程有实数根”是解题的关键． 【详解】解：设常数项“”为，则， ∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴常数项“”可能是． 故答案为：（答案不唯一）． 18．（本题3分）某云平台的网络安全事件中，最初有4台服务器遭受攻击并感染病毒．两轮传播后共有196台服务器被控制，则每轮中平均每台服务器传播设备的台数为 ． 【答案】6 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得等量关系建立方程是解题的关键． 设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑，由经过两轮传播后共有196台电脑被感染建立方程求出其解即可． 【详解】解：设每轮中平均每台服务器传播设备的台数为x， 由题意得：， 整理得：， 解得，（舍）， 故每轮中平均每台服务器传播设备的台数为6台． 故答案为：6 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）解方程： (1) ； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）利用公式法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ， 或， 解得，． 20．（本题9分）已知关于的方程． (1)当__________时，此方程为一元一次方程，此方程的根为_________． (2)当为何值时，此方程为一元二次方程？请写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】(1)， (2)当时，此方程为一元二次方程； 二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【分析】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，掌握一元一次方程和一元二次方程的定义和一般形式是解题的关键． （1）根据题意可得进而得到的值，再将的值代入求得此一元一次方程的根； （2）根据题意可得，进而得到满足条件的的值，从而可以写出此一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】（1）解：是一元一次方程， 解得， ，解得， 故答案为：，． （2）解：是一元二次方程， ，解得， 故答案为：当时，此方程是一元二次方程； 它的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 21．（本题9分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有一个根为2，求该方程的另一个根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，方程解的定义，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为一元二次方程有两个不相等的实数根，所以 ，求解即可． （2）该方程有一个根为2，代入方程可解出的值，将之代入原方程再求出另一个解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ， ， ； （2）方程有一个根为2，代入得： ， ， 解得， ∵， ． 当时，原方程为． 解得或． 原方程另一个根为． 22．（本题9分）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解，理解题中所给美妙方程的定义及熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． （1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于，的方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程； （2）解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是． 23．（本题9分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入即可解答． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 即当时，方程有两个实数根； （2）解：∵， ∴由根与系数的关系，得，． ， ． ， ． 解方程，得或． ∵， ． 24．（本题10分）某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边． (1)若除丝绸花边外白色部分的面积为，求丝绸花边的宽度； (2)已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外还需支付各种费用2000元．根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司把单价降低多少元时，当日所获利润为10000元． 【答案】(1)丝绸条带的宽度为 (2)当单价降低元或50元时能达到利润10000元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据该工艺品长，宽，除丝绸花边外白色部分的面积为，进行列式计算，即可作答． （2）根据该工艺品的成本是40元/件，以单价100元/件销售，每天可售出200件，还需支付各种费用2000元．将销售单价降低1元，每天可多售出20件，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设丝绸花边的宽度为， 根据题意，得． 整理，得， 解得，（舍去）． 答：丝绸花边的宽度为． （2）解：设每件工艺品降价y元出售， 由题意得：． 解得：． 答：当单价降低元或50元时能达到利润10000元． 25．（本题12分）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，、间的距离等于？ 【答案】(1)当时，为等腰三角形 (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）依题意得，，，当为等腰三角形时，只有，联立方程即可求解； （2）依题意得，，化简得，再根据判别式确定即可； （3）由于，则，代入化简求值即可. 【详解】（1）解：依题意得，，， 则， 当为等腰三角形时，只有， ， 解得， 即当时，为等腰三角形； （2）不存在，理由如下： 依题意得，， ， ， ， 方程无实根， 不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分； （3），， ， ， 化简得：， 解得或， ∵ ∴不符合题意，舍去 故时，、间的距离等于． 【点睛】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及了等腰三角形，勾股定理、一元二次方程等知识点；注意利用实际问题中的约束条件检验所得的解． 第4页，共14页 第5页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版九年级数学上册单元专题提升秘籍 第二十一章 一元二次方程高频易考题综合测试 满分:120分 考试时间:120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题用0.5毫米黑色中性笔将答案写在对应题目的答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列方程是一元二次方程的是（　） A． B． C． D． 2．（本题3分）如果是一元二次方程的解，那么的值是（　　） A．0 B．3 C．6 D． 3．（本题3分）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．2020 B．2021 C．2019 D． 4．（本题3分）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 5．（本题3分）下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）一元二次方程的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 7．（本题3分）一元二次方程 的解是（   ） A． B． C．， D．， 8．（本题3分）已知一元二次方程的两根分别是，，则一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（   ） A． B．3 C． D．不能确定 10．（本题3分）由于国内疫情得到缓和， 餐饮业逐渐恢复， 某地一家餐厅重新开张， 开业第一天收入约为元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3 天的收入约为 元，若设每天的增长率为x， 则列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）一元二次方程的常数项为 ． 12．（本题3分）一元二次方程的解是 ． 13．（本题3分）若关于x的方程有一个根是1， 则 14．（本题3分）将一元二次方程配方成的形式，则的值为 ． 15．（本题3分）已知是方程的一个根，则代数式的值等于 ． 16．（本题3分）若方程的两个实数根为，，则 ． 17．（本题3分）嘉阳准备解一元二次方程，发现常数项“”印刷不清楚，嘉阳妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的．”则印刷不清楚的常数项“”可能是 ． 18．（本题3分）某云平台的网络安全事件中，最初有4台服务器遭受攻击并感染病毒．两轮传播后共有196台服务器被控制，则每轮中平均每台服务器传播设备的台数为 ． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）解方程： (1) ； (2)． 20．（本题9分）已知关于的方程． (1)当__________时，此方程为一元一次方程，此方程的根为_________． (2)当为何值时，此方程为一元二次方程？请写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 21．（本题9分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有一个根为2，求该方程的另一个根． 22．（本题9分）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 23．（本题9分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 24．（本题10分）某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边． (1)若除丝绸花边外白色部分的面积为，求丝绸花边的宽度； (2)已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外还需支付各种费用2000元．根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司把单价降低多少元时，当日所获利润为10000元． 25．（本题12分）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，、间的距离等于？ 第4页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $