专题01 一元二次方程5考点（期中真题汇编，天津专用）九年级数学上学期人教版

专题01 一元二次方程 5大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念与一元二次方程的解 考点02 一元二次方程根的判别式 考点03 解一元二次方程 考点04 一元二次方程根与系数关系 考点05 一元二次方程的实际应用 地 城 考点01 一元二次方程的概念与一元二次方程的解 1．(24-25九上·天津北辰区·期中)下列选项中，是一元二次方程的是（      ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·天津北辰区·期中)已知关于x方程有一个根为2，则方程的另一个根为（      ） A．1 B．4 C． D． 3．(24-25九上·天津红桥区·期中)下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·天津五区联考·期中)若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ） A． B．0 C． D． 5．(24-25九上·天津五区联考·期中)方程化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别是（    ） A．5，4， B．5，4，1 C．5，， D．5，，1 6．(24-25九上·天津静海区·期中)若是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·天津北辰区·期中)关于x 的一元二次方程不含常数项，则m的值为 8．(24-25九上·天津河东四片区·期中)若方程的一个根为则，的值是 ． 9．(24-25九上·天津西青区当城中学·期中)若是方程的一个根，则 ． 地 城 考点02 一元二次方程根的判别式 1．(24-25九上·天津南开区·期中)若正比例函数的图象过第二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．(24-25九上·天津北辰区·期中)关于x的一元二次方程的实数根的情况是（      ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数与实数b 的取值有关 3．(24-25九上·天津西青区杨柳青第二中学·期中)一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不等的实数根 B．无实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 4．(24-25九上·天津河东四片区·期中)已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若是该方程的一个实数根，求的值； (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． 5．(24-25九上·天津红桥区·期中)已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若是该方程的一个根，求的值； (2)当时，求该方程的根； (3)当时，判断该方程的根的情况，并说明理由． 6．(24-25九上·天津静海区运河学校·期中)已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)当取最大整数时，求此时方程的根． 地 城 考点03 解一元二次方程 1．(24-25九上·天津红桥区·期中)解一元二次方程时，可以将其转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·天津静海区·期中)用配方法解方程，下列变形正确的是（   ）． A． B． C． D． 3．(24-25九上·天津河北区·期中)用配方法解方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 4．(24-25九上·天津南开区·期中)把方程转化成的形式，则的值是 ． 5．(24-25九上·天津河东四片区·期中)一元二次方程的较小的根为 ． 6．(24-25九上·天津河西区·期中)解方程 (1) (2) 7．(24-25九上·天津北辰区第三学区·期中)(1)用适当的方法解方程： ① ② (2)请你结合生活经验，设计一个问题，使它能利用建立方程模型 “”来解决． 你设计的问题是： ． 8．(24-25九上·天津南开区·期中)计算 (1)； (2)． 9．(24-25九上·天津静海区·期中)解方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)； (4)． 10．(24-25九上·天津河西区·期中)小强用配方法求解一元二次方程的过程如下： 解：二次项系数化1，得…第一步 移项，得…第二步 配方，得第三步 即…第四步 直接开平方，得…第五步 即…第六步 请问：小强的求解过程有错误吗？如果有错，请你指出在第 步开始出错了，并加以改正． 11．(24-25九上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)解方程： (1)； (2)． 地 城 考点04 一元二次方程根与系数的关系 1．(24-25九上·天津和平区·期中)若是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·天津红桥区·期中)已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，则原方程可化为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·天津五区联考·期中)若一元二次方程的两个根是x1，x2，则的值是（    ） A．8 B． C． D．16 4．(24-25九上·天津静海区运河学校·期中)设、是方程的两个根，则 ． 5．(24-25九上·天津南开区·期中)关于的一元二次方程． (1)当方程有两个相等的实数根时，求的值及此时方程的根； (2)当方程有两个不相等的实数根和，且满足时，求的值． 6．(24-25九上·天津北辰区·期中)已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围： (2)设方程的两个实数根分别为，，若，求的值 7．(24-25九上·天津静海区·期中)已知关于x的方程． (1)若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根． (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． (3)若方程的两根互为倒数，求a的值． 8．(23-24九上·天津部分区·期中)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 地 城 考点05 一元二次方程的实际应用 1．(24-25九上·天津和平区·期中)有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论不正确的是（   ） A．第一轮后共有个人患了流感 B．第二轮后又增加个人患流感 C．依题意可以列方程 D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有人患流感 2．(24-25九上·天津红桥区·期中)某工厂今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．设该工厂每个月生产成本的平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·天津滨海新区大港油田第一中学·期中)某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为，根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·天津静海区·期中)如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．有下列结论： ①要围成养鸡场的面积为，则养鸡场的宽为； ②围成养鸡场的面积能达到； ③围成养鸡场的最大面积为 其中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．(24-25九上·天津河东四片区·期中)如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积不能为． 其中正确的是（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 6．(24-25九上·天津河西区·期中)某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 7 13 21 7．(24-25九上·天津静海区·期中)天津素称“月季之乡”．花虹园区在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植月季花球盆栽，并使种植花卉的总面积为63平方米，修建方案如图所示． (1)利用你所学的有关图形运动的知识，求道路的宽度； (2)某盆栽供应商的进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，花节期间平均每天可以售出20盆．花节落幕后降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价3元，那么平均每天就可多出售6盆．设每盆降价x元． ①降价后每盆的利润是__________元；每天卖出__________盆；（用含的代数式表示） ②供应商想要达到每天750元的盈利，同时让购买者得到实惠，求每盆应降价多少元？ 8．(24-25九上·天津南开区·期中)某商店以20元/千克的价格采购一款商品加工后出售，销售价格不低于22元/千克，不高于35元/千克．经市场调查发现：每天的销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的函数关系如图所示． (1)直接写出与的函数关系式，及自变量的取值范围； (2)当该商店销售这款商品每天获得的销售利润为128元时，求此时商品的销售价格； (3)当商品的销售价格定为多少元时，该商店销售这款商品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？ 9．(24-25九上·天津河西区·期中)如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了20米木栏． (1)若米，所围成的矩形菜园的面积为32平方米，求利用旧墙的长； (2)若米，求矩形菜园面积的最大值． 10．(24-25九上·天津南开大学附属中学津南学校·期中)如图，用长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，已知墙长，设，矩形的面积为． (1)写出与之间的函数关系式，并求自变量的范围； (2)如果将养鸡场的地面矩形涂上一层涂料，已知每平方米花费35元， ①如果花费元，求的值； ②求最多花费； 11．(24-25九上·天津和平区·期中)用一条长的绳子围成一个矩形． (1)若围成的矩形面积为，求该矩形的长和宽． (2)能围成一个面积为的矩形吗？若能，求出它的长和宽．若不能，请求出能围成矩形的最大面积． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 5大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念与一元二次方程的解 考点02 一元二次方程根的判别式 考点03 解一元二次方程 考点04 一元二次方程根与系数关系 考点05 一元二次方程的实际应用 地 城 考点01 一元二次方程的概念与一元二次方程的解 1．(24-25九上·天津北辰区·期中)下列选项中，是一元二次方程的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义，即可求解． 【详解】解：A. ，整理得：，是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；     D. ，是代数式不是方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2．(24-25九上·天津北辰区·期中)已知关于x方程有一个根为2，则方程的另一个根为（      ） A．1 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．根据根与系数的关系列出关于另一根t的方程，解方程即可． 【详解】解：设关于x方程有一个根为2，另一个根为， ∴， 解得，， 故选：A． 3．(24-25九上·天津红桥区·期中)下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程进行判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、方程中未知数的最高次数是，不是一元二次方程，不合题意； 、方程是一元二次方程，符合题意； 、方程含有个未知数，不是一元二次方程，不合题意； 、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意； 故选：． 4．(24-25九上·天津五区联考·期中)若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义进行求解即可．熟知一元二次方程的定义是解题的关键：一般地，形如，a、b、c都是常数的方程叫做一元二次方程． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得， 故选：D． 5．(24-25九上·天津五区联考·期中)方程化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别是（    ） A．5，4， B．5，4，1 C．5，， D．5，，1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：化成一元二次方程一般形式是， 它的二次项系数是5，一次项系数是，常数项是， 故选：C． 6．(24-25九上·天津静海区·期中)若是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，其一般形式为且是常数，根据概念知：，则可得，从而完成解答． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∴ 故选：A． 7．(24-25九上·天津北辰区·期中)关于x 的一元二次方程不含常数项，则m的值为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，充分理解一元二次方程各项系数，，的位置与要求是解决本题的关键．由题可知，该一元二次方程的二次项系数，且常数项，由此可解得的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的常数项为， ，解得． 故答案为：． 8．(24-25九上·天津河东四片区·期中)若方程的一个根为则，的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，由方程的一个根为则，可得，再代入计算即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴． 故答案为：1． 9．(24-25九上·天津西青区当城中学·期中)若是方程的一个根，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解．把代入关于x的方程即可求得a的值． 【详解】解：∵关于x的方程有一个根是， ∴， 解得，． 故答案为：2． 地 城 考点02 一元二次方程根的判别式 1．(24-25九上·天津南开区·期中)若正比例函数的图象过第二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的图象，根的判别式，根据正比例函数的图象过第二、四象限，得到，再求出判别式的符号，进行判断即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象过第二、四象限， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选：A. 2．(24-25九上·天津北辰区·期中)关于x的一元二次方程的实数根的情况是（      ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数与实数b 的取值有关 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 3．(24-25九上·天津西青区杨柳青第二中学·期中)一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不等的实数根 B．无实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出的值即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不等的实数根， 故选：． 4．(24-25九上·天津河东四片区·期中)已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若是该方程的一个实数根，求的值； (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查根的判别式，解题的关键是对根的判别式的掌握与灵活运用． （1）将代入原方程可求出m的值； （2）根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围． 【详解】（1）解：将代入原方程得： ， 解得：， 的值为； （2）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， 是关于的一元二次方程， ， 的取值范围为：且． 5．(24-25九上·天津红桥区·期中)已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若是该方程的一个根，求的值； (2)当时，求该方程的根； (3)当时，判断该方程的根的情况，并说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)该方程有两个不相等的实数根，理由见解析 【分析】（）把代入方程计算即可求解； （）把代入方程，再利用公式法解方程即可； （）由得，再计算即可判断求解； 本题考查了一元二次方程根的定义，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是该方程的一个根， ∴， ∴； （2）解：当时，方程为， ，，， ∵， ∴， ∴，； （3）解：该方程有两个不相等的实数根，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根． 6．(24-25九上·天津静海区运河学校·期中)已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)当取最大整数时，求此时方程的根． 【答案】(1)且 (2)1 【分析】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式及解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题关键． （1）根据一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，以及方程有两个实数根时建立不等式，解之即可得到的取值范围； （2）根据（1）的结论得到满足条件时的最大整数，代入原方程求出原方程的根即可． 【详解】（1）解：的一元二次方程有两个实数根 ，即 解得：且 的取值范围为且． （2）解：由（1）可得取最大整数为2，代入原方程有 即 解得： 当取最大整数时，此时方程的根为1． 地 城 考点03 解一元二次方程 1．(24-25九上·天津红桥区·期中)解一元二次方程时，可以将其转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，根据直接开平方法求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ∴， ∴， ∴或 故选：A． 2．(24-25九上·天津静海区·期中)用配方法解方程，下列变形正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法，先把1移到方程的右边，然后方程两边都加16，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 3．(24-25九上·天津河北区·期中)用配方法解方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键；因此此题可根据配方法“方程两边加上一次项系数一半的平方”进行求解即可 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 4．(24-25九上·天津南开区·期中)把方程转化成的形式，则的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了解一元二次方程−−配方法，利用完全平方公式整理后，求出a与b的值，即可求解． 【详解】解：变形为， 配方得，即， ∴，， ∴， 故答案为：7． 5．(24-25九上·天津河东四片区·期中)一元二次方程的较小的根为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程—因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键，利用因式分解法求出方程的解，即可求出较小的根． 【详解】解：∵， ∴或， 解得， ∵， 一元二次方程的较小的根为， 故答案为： ． 6．(24-25九上·天津河西区·期中)解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）直接用开平方法求解即可； （2）先移项，再配方，最后开平方，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， ， ． 7．(24-25九上·天津北辰区第三学区·期中)(1)用适当的方法解方程： ① ② (2)请你结合生活经验，设计一个问题，使它能利用建立方程模型 “”来解决． 你设计的问题是： ． 【答案】(1)①；②； (2)原价为100元的商品降价两次后，现价为81元，求平均每次降价的百分率？ 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的实际应用，熟练掌握直接开平方法和公式法解一元二次方程，学会结合生活经验设计一元二次方程的问题是解题的关键． （1）①运用直接开平方法解方程即可；②运用公式法解方程即可； （2）此问为开放性问题，结合生活经验利用方程设计问题即可． 【详解】（1）解：①， ， ， ； ②， ， ， ， 解得：． （2）例：原价为100元的商品降价两次后，现价为81元，求平均每次降价的百分率？（言之有理即可） 8．(24-25九上·天津南开区·期中)计算 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）系数化为1后，根据直接开平方法求解即可； （2）方程变形后，根据配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴，； （2）解：原方程化简为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 9．(24-25九上·天津静海区·期中)解方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程特点，选取适当的方法是解题的关键； （1）先移项，使方程一边只含二次项与一次项，再把二次项系数化为1，得，再配方即可求解； （2）把方程化为一般式：，再求出判别式，利用求根公式即可求解； （3）原方程化为，再利用直接开平方法求解； （4）原方程整理得，再利用因式分解求解即可． 【详解】（1）解：方程移项，两边除以2，得：， 配方得：， 则， 即，； （2）解：原方程化为：， ， ∴， ∴； （3）解：原方程化为， 即， 解得：； （4）解：原方程整理得， 即， 即， ∴． 10．(24-25九上·天津河西区·期中)小强用配方法求解一元二次方程的过程如下： 解：二次项系数化1，得…第一步 移项，得…第二步 配方，得第三步 即…第四步 直接开平方，得…第五步 即…第六步 请问：小强的求解过程有错误吗？如果有错，请你指出在第 步开始出错了，并加以改正． 【答案】五；改正见解析 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，观察可知，第五步开始出现错误，原因是没有讨论的符号，当为非负数时，方程两边同时开方解方程，当为负数是原方程无解，据此求解即可． 【详解】解：观察解题过程可知，第五步开始出现错误，原因是没有讨论的符号： 改正如下： 解：二次项系数化1，得…第一步 移项，得…第二步 配方，得第三步 即…第四步 当时，直接开平方，得…第五步 即…第六步 当时，原方程无解． 11．(24-25九上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点，选取合适的方法求解是解题关键． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则，即，                                     ∴，                                                      ∴； （2）解：∵， ∴，                                                则或， 解得：． 地 城 考点04 一元二次方程根与系数的关系 1．(24-25九上·天津和平区·期中)若是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，先将化为一般式，再由一元二次方程根与系数关系得到，，即可得到答案，熟记一元二次方程根与系数关系是解决问题的关键． 【详解】解：是方程的两个根， ，， 故选：A． 2．(24-25九上·天津红桥区·期中)已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，则原方程可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系，直接代入计算即可，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴，， ∴，， ∴原方程可化为：， 故选：C． 3．(24-25九上·天津五区联考·期中)若一元二次方程的两个根是x1，x2，则的值是（    ） A．8 B． C． D．16 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，两根之和为，两根之积为．根据一元二次方程根与系数的关系求出，的值，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的两个根为， ，， ， 故选：B． 4．(24-25九上·天津静海区运河学校·期中)设、是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，． 根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ， 故答案为：． 5．(24-25九上·天津南开区·期中)关于的一元二次方程． (1)当方程有两个相等的实数根时，求的值及此时方程的根； (2)当方程有两个不相等的实数根和，且满足时，求的值． 【答案】(1)，方程的根为； (2)的值为． 【分析】（）计算一元二次方程根的判别式进而求出的值，然后解方程即可； （）利用根与系数的关系，，求解即可； 此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 此时方程为， ∴； （2）解：∵方程有两个不相等的实数根和， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴的值为． 6．(24-25九上·天津北辰区·期中)已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围： (2)设方程的两个实数根分别为，，若，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程有实数根得到，解不等式即可求解； （2）根据根与系数的关系得到，，再将所求等式左侧展开代入计算即可得到值． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 解得：； （2）关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， ， ， ， 或， ，， 由（1）知，， ． 7．(24-25九上·天津静海区·期中)已知关于x的方程． (1)若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根． (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． (3)若方程的两根互为倒数，求a的值． 【答案】(1)a的值为，方程的另一根为 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，掌握这两个知识点是解题的关键； （1）设方程的另一个根为b，由根与系数的关系得：，即可求解； （2）计算出判别式，根据判别式的符号即可证明； （3）由题意，两根之积为1，即，即可求得a的值． 【详解】（1）解：设方程的另一个根为b， 由根与系数的关系得：， 两式相加，解得， 把代入中，得； ∴a的值为，方程的另一根为． （2）证明： ∵， ∴， 即， 故不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （3）解：∵方程的两根互为倒数， ∴方程两根之积为1， 即， ∴． 8．(23-24九上·天津部分区·期中)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据方程的判别式Δ>0可得关于k的不等式，解不等式即得答案； （2）根据一元二次方程根与系数关系，，列式计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得； （2）解：∵， ∴， ． ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 地 城 考点05 一元二次方程的实际应用 1．(24-25九上·天津和平区·期中)有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论不正确的是（   ） A．第一轮后共有个人患了流感 B．第二轮后又增加个人患流感 C．依题意可以列方程 D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有人患流感 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键； 本题属于传播问题，依次表示第一轮传染，第二轮传染后的量，再结合最后共有人感染可得方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染增加了个人患了流感，第一轮后共有个人患了流感； 第二轮传染后增加了个人患了流感，第二轮传染后共有个人患了流感，可得方程； 解得：，或（舍去） 第三轮传染后增加了人，此时共有人患流感， 故选项A、B、C、均正确，不符合题意， D选项错误，符合题意； 故选：D 2．(24-25九上·天津红桥区·期中)某工厂今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．设该工厂每个月生产成本的平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该工厂每个月生产成本的平均下降率为，依题意得，得出答案，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设该工厂每个月生产成本的平均下降率为，依题意得： ， 故选：C． 3．(24-25九上·天津滨海新区大港油田第一中学·期中)某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为，根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的增长率问题成为解题的关键． 根据原售价降低率降低后的售价得出两次降价后的价格列出一元二次方程即可解答． 【详解】解：依题意可得：． 故选C． 4．(24-25九上·天津静海区·期中)如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．有下列结论： ①要围成养鸡场的面积为，则养鸡场的宽为； ②围成养鸡场的面积能达到； ③围成养鸡场的最大面积为 其中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了与图形有关的一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程或函数关系式是解题的关键；设养鸡场的宽为，则长为；当时，求得x的值，可判定①；当时，求得x的值，可判定②；设围成养鸡场的面积为，则，利用二次函数的性质即可判断③．最后可作出判断． 【详解】解：设养鸡场的宽为，则长为； ①由题意得：， 解得：， 当时，， 即长超过了墙长，不合题意， 故， 即养鸡场的宽为； 故①错误； ②由题意得：， 整理得：； 而， 即一元二次方程无实数解； 故围成养鸡场的面积能达到； 故②错误； ③设围成养鸡场的面积为； 由题意得：， 由于，则围成养鸡场的最大面积为； 故③正确； 综上，正确的只有一个； 故选：B． 5．(24-25九上·天津河东四片区·期中)如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积不能为． 其中正确的是（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系，准确的列出函数解析式和一元二次方程是解题的关键． 设的边长为，则的边长为，根据列出方程，解方程求出的值，根据取值范围判断①；根据菜园的面积为，解方程求出的值，可以判断②；设矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求函数的最值可以判断③． 【详解】解：边长为，则边长为， 当时，， 解得， ∵的长不能超过，， 故①正确； ∵菜园面积为， ∴， 整理得， 解得或， ∵ ∴的长有一个值满足菜园面积为， 故②错误； 设菜园面积为， 根据题意得， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， 菜园面积不能为， 故③正确； ∴正确的结论有个， 故选：B． 6．(24-25九上·天津河西区·期中)某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： 【答案】(1)7，13，21 (2) (3)10个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，还涉及有理数的计算，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）分别求出主干、支干和小分支的总数填表即可； （2）①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：；②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：；③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）由题意得，再解方程即可． 【详解】（1）解：主干长出支干的个数为2时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为3时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为4时，则主干、支干和小分支的总数为； 则填表为： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 7 13 21 （2）解：①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）解：由题意得，， 解得：，（不合题意，舍去） 答：每个支干长出10个小分支． 7．(24-25九上·天津静海区·期中)天津素称“月季之乡”．花虹园区在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植月季花球盆栽，并使种植花卉的总面积为63平方米，修建方案如图所示． (1)利用你所学的有关图形运动的知识，求道路的宽度； (2)某盆栽供应商的进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，花节期间平均每天可以售出20盆．花节落幕后降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价3元，那么平均每天就可多出售6盆．设每盆降价x元． ①降价后每盆的利润是__________元；每天卖出__________盆；（用含的代数式表示） ②供应商想要达到每天750元的盈利，同时让购买者得到实惠，求每盆应降价多少元？ 【答案】(1)道路宽为1米 (2)①；②每盆应降价15元 【分析】本题考查了与图形有关及销售利润相关的一元二次方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． （1）设道路宽为米，根据种植花卉的总面积为63平方米，列出方程并求解即可； （2）①根据销售价减降价再减进价即可得利润；降价前卖出的盆数加上因降价而增加的销售量，即是现在每天卖出的盆数； ②根据：每盆的利润乘每天的销售量，结合①中的数据，列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：设道路宽为米， 由题意，得：， 整理得：， 解得：； ∵当时，， ∴不符合题意， ∴； 答：道路宽为1米； （2）解：①降价后每盆的利润是元； 每天卖出盆； 故答案为：； ②由①得：， 整理得：， 解得：； 为让购买者得到实惠，应取； 答：为让购买者得到实惠，每盆应降价15元． 8．(24-25九上·天津南开区·期中)某商店以20元/千克的价格采购一款商品加工后出售，销售价格不低于22元/千克，不高于35元/千克．经市场调查发现：每天的销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的函数关系如图所示． (1)直接写出与的函数关系式，及自变量的取值范围； (2)当该商店销售这款商品每天获得的销售利润为128元时，求此时商品的销售价格； (3)当商品的销售价格定为多少元时，该商店销售这款商品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？ 【答案】(1)，自变量的取值范围为 (2)为24元/千克 (3)当商品的销售价格为30元/千克时，每天获得的销售利润最大，最大利润为100元 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数的应用、一元二次方程的应用，正确解读题意，列出关系式是解题的关键． （1）设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式； （2）根据利润单件利润销售量列出方程求解即可； （3）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后有函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把，代入，得 ， 解得， ∴， 自变量的取值范围为； （2）解：根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：当商品的销售价格为24元/千克时，每天获得的销售利润为128元； （3）解：设每天获得的销售利润元， 根据题意，得 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为200， ∴当商品的销售价格为30元/千克时，每天获得的销售利润最大，最大利润为100元． 9．(24-25九上·天津河西区·期中)如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了20米木栏． (1)若米，所围成的矩形菜园的面积为32平方米，求利用旧墙的长； (2)若米，求矩形菜园面积的最大值． 【答案】(1)4米 (2)50平方米 【分析】本题考查一元二次方程、二次函数的应用等知识，解题的关键根据旧墙的长度判断函数最值． （1）设，则，根据矩形的面积列方程即可解决问题； （2）根据矩形面积列出二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 由题意得，， 解得：或， 当时，，不符合题意， 当时，， ∴旧墙的长为4米； （2）解：设，则，设面积为， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为． 10．(24-25九上·天津南开大学附属中学津南学校·期中)如图，用长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，已知墙长，设，矩形的面积为． (1)写出与之间的函数关系式，并求自变量的范围； (2)如果将养鸡场的地面矩形涂上一层涂料，已知每平方米花费35元， ①如果花费元，求的值； ②求最多花费； 【答案】(1)； (2)①；②元． 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件； （1）根据题意可以得到与的函数关系式； （2）①根据（1）中的关系可以得到一元二次方程，解方程并根据自变量的取值范围确定答案即可； ②设花费为元，根据题意得到，利用二次函数的性质即可得到答案； 【详解】（1）解：根据题意可得：， 由题意可得，， 解得， 即与的函数关系式是； （2）①由题意可得，． 解得，， ∵， ∴不符合题意， ∴， 即如果花费元，的值为； ②设花费为元，则 ∵， ∴当时，有最大值，的最大值为， 即最多花费为元． 11．(24-25九上·天津和平区·期中)用一条长的绳子围成一个矩形． (1)若围成的矩形面积为，求该矩形的长和宽． (2)能围成一个面积为的矩形吗？若能，求出它的长和宽．若不能，请求出能围成矩形的最大面积． 【答案】(1)长为，宽为 (2)不能围成一个面积为的矩形，最大面积为 【分析】此题考查了一元二次方程和二次函数的应用，熟练掌握一元二次方程的解法和二次函数的性质是解题的关键． （1）设矩形的长为，则宽为，根据面积列出方程，解方程即可； （2）根据题意，列出方程，判断一元二次方程有无实数根即可；设矩形的长为，则宽为，设矩形的面积为，列出函数表达式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设矩形的长为，则宽为， 则， 整理得， 解得：，， 当时，， 当时，， 矩形的长为，宽为； （2）解：不能围成一个面积为的矩形，理由如下： 设矩形的长为，则宽为， 则， 整理得：， ， 没有实数根， 不能围成一个面积为的矩形； 设矩形的长为，则宽为，设矩形的面积为， 则， ， 抛物线开口向下，二次函数有最大值， 即当时，有最大值， 此时长为，宽为，面积最大，最大面积为 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $