第二十一章 一元二次方程（知识归纳+题型突破）（四大题型，81题）-2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（人教版）

第二十一章 一元二次方程（知识归纳+题型突破） 1、理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程． 2、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等． 3、了解- -元二次方程的根与系数的关系． 4、能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性． 1. 一元二次方程的相关概念 (1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程． (2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项． 2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解. ( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解. ( 3 )公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=（b2-4ac≥0）. (4) 配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法． 3.根的判别式 (1)当Δ＝>0时，原方程有两个不相等的实数根． (2)当Δ＝=0时，原方程有两个相等的实数根． (3)当Δ＝<0时，原方程没有实数根． 4.列一元二次方程解应用题 （1）解题步骤：①审题；② 设未知数；③ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答． （2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用. ①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量； ②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%； ③传播、比赛问题： ④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程. 注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义. 题型一一元二次方程的解 【例1】 （2023春·浙江温州·八年级校考期中）已知关于的一元二次方程有一个根是，则方程有一个根是（ ） A． B． C． D． 巩固训练： 1．（2023·全国·九年级专题练习）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A． B． C． D．或 2．（2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中）若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．0 B．2 C． D．4 3．（2023春·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期中）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 4．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程，若，则此方程必有一个根为（    ） A．0 B．1 C．-1 D．±1 5．（2023春·浙江宁波·八年级校考阶段练习）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A． B． C． D． 6．（2023春·山东泰安·八年级统考期中）若的一个解为，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．（2022秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）若是方程的一个根，则m的值为 ． 8．（2023·全国·九年级专题练习）（2023·山东枣庄·统考中考真题）若是关于x的方程的解，则的值为 ． 9．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）关于x的一元二次方程的一个根为0，则 ． 10．（2023·四川·九年级专题练习）先化简，再求值，其中x的值是方程的根． 题型二　一元二次方程的解法 【例2】（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ． 解：二次项系数化为1，得，第一步         移项，得，第二步 配方，得，第三步 变形，得，第四步 开方，得，第五步 解得，，第六步 (1)上面小明同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______； (2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程． 【例3】（2023春·北京门头沟·八年级统考期末）阅读材料，并回答问题： 小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：∵，，                ① ∴        ②                     ③ ∴此方程无解 问题： (1)上述过程中，从 步开始出现了错误（填序号）； (2)发生错误的原因是： ； (3)在下面的空白