四川省大数据智学领航联盟2025-2026学年高三上学期入学摸底考试数学试卷

书 四川·高三数学　第１页（共４页） 四川·高三数学　第２页（共４页） 绝密★启用前 四川大数据智学领航联盟２０２５—２０２６学年高三 秋季入学摸底考试 数学试卷 　　试卷共４页，１９小题，满分１５０分。考试用时１２０分钟。 注意事项： １．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 ２．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 ３．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． １．设命题ｐ：ｘ∈Ｚ，ｘ２＋２０２５∈Ｎ，则ｐ： Ａ．ｘ∈Ｚ，ｘ２＋２０２５Ｎ Ｂ．ｘ∈Ｚ，ｘ２＋２０２５∈Ｎ Ｃ．ｘＺ，ｘ２＋２０２５Ｎ Ｄ．ｘ∈Ｚ，ｘ２＋２０２５Ｎ ２．设复数ｚ在复平面内对应的点位于第二象限，则复数ｚｉ在复平面内对应的点位于 Ａ．第一象限　　　 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限　　　 Ｄ．第四象限 ３．已知点Ｐ（８，０）关于原点的对称点在抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ的准线上，且Ｑ（２，ｎ）为Ｃ上第一象限内一 点，则ｎ＝ Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．４ Ｄ．８ ４．样本数据５．８，５．９，５．９，６．０，６．１，６．１，６．３，６．１的极差与第７０百分位数之差为 Ａ．－５．８ Ｂ．－５．６ Ｃ．５．６ Ｄ．５．８ ５．已知集合Ａ＝｛ｘ∈Ｚ｜ ４ ３－ｘ≥ １｝，则Ａ的非空真子集个数为 Ａ．６ Ｂ．７　　　　　　 Ｃ．１４　　　　 Ｄ．１５ ６．在△ＡＢＣ中，２Ａ＝Ｂ＋Ｃ，ＡＣ＝８，ｃｏｓＣ＝ １ ７ ，则ＢＣ＝ Ａ．１１ Ｂ．７　　　　　　 Ｃ．１６　　　　 Ｄ． ５６ ５ ７．已知函数ｆ（ｘ）＝ －ｘ２＋２ａｘ＋ａ，ｘ＜０， ３ｅｘ－ｂｘ，ｘ≥０{ 在Ｒ上单调递增，则ａ＋ｂ的最大值为 Ａ．０ Ｂ．３ Ｃ．６ Ｄ．８ ８．如图，棱长为２的正方体中，Ａ，Ｂ，Ｃ均为顶点，Ｐ为所在棱的中点，若平面α∥ＰＣ，且Ａ，Ｂ均在平面 α内，则平面α截正方体所得图形的外接圆面积为 ! " # $ Ａ． ５π ４ Ｂ． ７π ４ Ｃ． ９π ４ Ｄ．９π 二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分． ９．已知偶函数ｆ（ｘ）满足：当ｘ≥０时，ｆ（ｘ）＝２ｘ＋ｘｅｘ，则 Ａ．ｆ（－１）＞４ Ｂ．当ｘ＜０时，ｆ（ｘ）＝２－ｘ＋ｘｅ－ｘ Ｃ．ｆ（ｘ）≥１ Ｄ．函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－６在区间（１，２）上有零点 １０．为提高同学们的科学积极性，某高中组织进行了一系列的自然物理实验．在某个实验中，统计同 学们得到的实验测量结果Ｘ近似服从正态分布Ｎ（μ，σ２）．已知Ｐ（－４＜Ｘ＜－２）＜Ｐ（２＜Ｘ＜４），则 Ａ．μ＞０　 Ｂ．σ２＞４ Ｃ．Ｐ（Ｘ＞０）＜０．５　 Ｄ．Ｐ（Ｘ＜０）＜０．５ １１．记双曲线Ｅ： ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ３ ＝１（ａ＞０）的左、右焦点分别为Ｆ１，Ｆ２．若Ｆ２（２，０），以Ｆ１为圆心、４为半径的圆 与Ｅ的右支交于Ｐ，Ｑ两点，点Ｍ为Ｅ上一点，满足Ｆ１Ｍ⊥Ｆ２Ｍ，则 Ａ．Ｅ的渐近线方程为ｙ＝±２ｘ Ｂ．△ＭＦ１Ｆ２的面积为３ Ｃ．ＭＰ－ＭＱ＜４ Ｄ．ｃｏｓ∠ＰＦ１Ｑ＝ ９ １６ 三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分． １２．已知向量ａ＝（３，４），ｂ＝（１，ｘ），若ｂ在ａ上的投影向量的模为３，则ｘ＝　　　　． １３．已知函数ｆ（ｘ）＝ｃｏｓπ ２ －ｘ( )－２ｘ＋３，若ｆ（ｍ）＝４，则ｆ（－ｍ）＝　　　　． １４．已知ｘ＞０，ｙ＜０，ｘ－ １ ｘ ＝２ｙ－ ２ ｙ ＋８，则ｘ－２ｙ的最小值为　　　　． 四川·高三数学　第３页（共４页） 四川·高三数学　第４页（共４页） 四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １５．（１３分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｔａｎ（２ｘ＋φ）０＜φ＜ π ２( )的图象关于点 ２π３，０( )对称． （１）求ｆ（０）； （２）探究在区间（－π，π）上有几条平行于ｙ轴且被曲线ｙ＝ｆ（ｘ）无限逼近的直线． １６．（１５分）２０２５年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利８０周年，某校以“铭记历史、缅怀 先烈、珍视和平、开创未来”为主题举行纪念活动．为了解男、女同学对该活动的兴趣程度，对多 位该校同学进行了调查，并将结果整理为如下列联表，其中ａ为正整数． 参加 不参加 合计 男生 ３ａ ２ａ ５ａ 女生 ８ａ ２ａ １０ａ 合计 １１ａ ４ａ １５ａ （１）若根据小概率值α＝０．０１的独立性检验，认为是否参加该活动与性别有关，求ａ的最小值； （２）若ａ＝１，从参与调查且参加活动的同学中每次随机不放回地选１人，直到选中女生为止，求 总选取次数Ｘ的分布列和数学期望． 附：χ２＝ ｎ（ａｄ－ｂｃ）２ （ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ） ，ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ． α ０．１ ０．０５ ０．０２５ ０．０１０ ０．００１ ｘα ２．７０６ ３．８４１ ５．０２４ ６．６３５ １０．８２８ １７．（１５分）如图，在四棱锥Ｂ－ＡＰＣＱ中，△ＡＢＣ与△ＡＰＣ均为等边三角形，平面 ＡＢＣ⊥平面 ＡＰＣＱ， 点Ｐ与点Ｑ在平面ＡＢＣ的异侧，ＡＱ＝ＣＱ． ! " # $ % （１）证明：ＰＱ⊥平面ＡＢＣ； （２）若Ａ，Ｐ，Ｃ，Ｑ四点共圆，求平面ＰＡＢ与平面ＱＢＣ夹角的余弦值． １８．（１７分）记Ｓｎ为数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，Ｔｎ为数列｛ｎＳｎ｝的前ｎ项和，已知２Ｓｎ＋ａｎ＝３ ｎ． （１）证明：｛４ａｎ－３ ｎ｝为等比数列； （２）求Ｓｎ； （３）求Ｔｎ． １９．（１７分）已知函数ｆ（ｘ）＝ａ（２ｘ－３）ｅｘ＋ｘ２－ｘ． （１）当ａ＝１时，求函数ｆ（ｘ）的图象在点（０，ｆ（０））处的切线方程； （２）若ｆ（ｘ）有唯一零点ｘ０． （ｉ）求实数ａ的取值范围； （ｉ）若ｘ１为ｆ（ｘ）的极小值点，证明：ｘ０－ｘ１＞ １ ２ ． 书 四川·高三数学　第１　页（共６页） １．【答案】 四川大数据智学领航联盟２０２５—２０２６学年高三 秋季入学摸底考试 数学参考答案及评分细则 Ａ 【解析】由全称量词命题的否定为存在量词命题可知ｐ：ｘ∈Ｚ，ｘ２＋２０２５Ｎ．故选Ａ． ２．【答案】Ｃ 【解析】不妨设ｚ＝ａ＋ｂｉ，ａ＜０，ｂ＞０，则ｚｉ＝（ａ＋ｂｉ）ｉ＝－ｂ＋ａｉ，所以ｚｉ在复平面内对应的点位于第三象限．故选Ｃ． ３．【答案】Ｄ 【解析】由抛物线的定义可得 ｐ ２ ＝８，解得ｐ＝１６，故Ｃ的方程为ｙ２＝３２ｘ，将Ｑ（２，ｎ）代入Ｃ的方程可得ｎ＝８（负值 舍去）．故选Ｄ． ４．【答案】Ｂ 【解析】易得样本数据的极差为６．３－５．８＝０．５，由于８×０．７＝５．６，故样本数据的第７０百分位数为６．１，其差为 ０．５－６．１＝－５．６．故选Ｂ． ５．【答案】Ｃ 【解析】由 ４ ３－ｘ≥ １可得 ４－（３－ｘ） ３－ｘ ≥ ０，即 １＋ｘ ３－ｘ≥ ０，即 （１＋ｘ）（３－ｘ）≥０， ３－ｘ≠０，{ 解得－１≤ｘ＜３．于是Ａ＝｛－１，０，１，２｝，共４个 元素，故其非空真子集个数为２４－２＝１４个．故选Ｃ． ６．【答案】Ｄ 【解析】由 ２Ａ＝Ｂ＋Ｃ， Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π{ 可得Ａ＝π３．显然ｓｉｎＣ＞０，故 ｓｉｎＣ＝ １－ｃｏｓ２槡 Ｃ＝槡４３７，于是 ｓｉｎＢ＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｃ）＝ｓｉｎＡｃｏｓＣ＋ ｓｉｎＣｃｏｓＡ＝槡 ３ ２ ×１ ７ ＋槡４３ ７ ×１ ２ ＝槡５３ １４ ．在△ＡＢＣ中由正弦定理可得 ＡＣ ｓｉｎＢ ＝ＢＣ ｓｉｎＡ ，故ＢＣ＝ ８×槡 ３ ２ 槡５３ １４ ＝５６ ５ ．故选Ｄ． ７．【答案】Ｃ 【解析】当ｘ＜０时，若ｆ（ｘ）单调递增，则对称轴ｘ＝－ ２ａ ２×（－１） ＝ａ应当与ｙ轴重合或在ｙ轴右侧，所以ａ≥０；当ｘ≥０ 时，要使函数ｆ（ｘ）＝３ｅｘ－ｂｘ单调递增，则 ｆ′（ｘ）＝３ｅｘ－ｂ≥０，解得 ｂ≤３．考虑断点 ｘ＝０处的状态，则有 ａ≤３，故 ａ∈［０，３］，ｂ∈（－!，３］，所以ａ＋ｂ的最大值为６．故选Ｃ． ８．【答案】Ｃ 【解析】如图，设Ｑ，Ｒ为所在棱的中点，则有ＡＱ∥ＰＣ，则经过点Ａ，Ｂ，Ｑ三点的平面即为符合题意的平面 α，则平 面α截正方体所得图形为矩形ＡＢＱＲ，其中ＡＢ＝２，ＢＱ＝ １２＋２槡 ２＝槡５，故ＡＱ＝ ＡＢ ２＋ＢＱ槡 ２＝３，所以平面α截正方 体所得图形的外接圆面积为π× ３ ２( ) ２ ＝９π ４ ．故选Ｃ． ! " # $ % & 四川·高三数学　第２　页（共６页） ９．【答案】ＡＣＤ（每选对１个得２分） 【解析】ｆ（－１）＝ｆ（１）＝ｅ＋２＞４，故Ａ正确；当ｘ＜０时，ｆ（ｘ）＝ｆ（－ｘ）＝２－ｘ－ｘｅ－ｘ，故Ｂ错误；当ｘ≥０时，ｘｅｘ≥０，２ｘ≥１， 此时ｆ（ｘ）＝２ｘ＋ｘｅｘ≥１，当ｘ＜０时，ｆ（ｘ）＝ｆ（－ｘ）＞１，故ｆ（ｘ）≥１，故Ｃ正确；注意到ｇ（１）＝ｆ（１）－６＝ｅ－４＜０，ｇ（２）＝ ｆ（２）－６＝２ｅ２－２＞０，故ｇ（ｘ）在区间（１，２）上有零点，故Ｄ正确．故选ＡＣＤ． １０．【答案】ＡＤ（每选对１个得３分） 【解析】由于Ｐ（－４＜Ｘ＜－２）＜Ｐ（２＜Ｘ＜４），且－４＜Ｘ＜－２与２＜Ｘ＜４的覆盖区间长度相同，则Ｘ＝２比Ｘ＝－２更接近 正态曲线的对称轴Ｘ＝μ，故μ＞０，故Ａ正确；由Ｐ（－４＜Ｘ＜－２）＜Ｐ（２＜Ｘ＜４）无法得知σ２与４的大小，故Ｂ错误；由 于μ＞０，故Ｐ（Ｘ＞０）＞Ｐ（Ｘ＞μ）＝０．５，故Ｃ错误；同理可得Ｐ（Ｘ＜０）＜Ｐ（Ｘ＜μ）＝０．５，故Ｄ正确．故选ＡＤ． １１．【答案】ＢＣ（每选对１个得３分） 【解析】易知ａ２＋３＝２２，解得ａ＝１，故Ｅ的方程为ｘ２－ ｙ２ ３ ＝１，其渐近线方程为ｙ＝槡±３ｘ，故Ａ错误；由对称性，不妨 令 ＭＦ１ ＝ｔ，ＭＦ２ ＝ｔ＋２，而 Ｆ１Ｆ２ ＝４，故 ＭＦ１ ２＋ＭＦ２ ２＝ Ｆ１Ｆ２ ２，即 ｔ２＋（ｔ＋２）２＝１６，得 ｔ（ｔ＋２）＝６，于是 △ＭＦ１Ｆ２的面积 Ｓ＝ １ ２ · ＭＦ１ · ＭＦ２ ＝ ｔ（ｔ＋２） ２ ＝３，故 Ｂ正确；易知该圆的方程为（ｘ＋２）２＋ｙ２＝１６，联立 （ｘ＋２）２＋ｙ２＝１６， ３ｘ２－ｙ２＝３，{ 可得４ｘ２＋４ｘ－１５＝０，故ｘ＝－５２（舍去）或ｘ＝３２，代入ｘ２－ｙ ２ ３ ＝１可得 ｙ２＝３× ３ ２( ) ２ －３＝ １５ ４ ，不妨 令Ｐ在第一象限，则Ｐ ３ ２ ，槡 １５ ２( )，Ｑ ３２，－槡１５２( )，显然 ＰＱ ＝槡１５．由 Ｂ知 Ｍ与 Ｐ，Ｑ不重合，而在△ＭＰＱ中， ＭＰ－ ＭＱ ＜ ＰＱ ＜４，故 Ｃ正 确；显 然 ＰＦ１ ＝ ＱＦ１ ＝４，故 由 余 弦 定 理 可 得 ｃｏｓ∠ＰＦ１Ｑ＝ ＰＦ１ ２＋ＱＦ１ ２－ＰＱ ２ ２· ＰＦ１ · ＱＦ１ ＝１６ ＋１６－１５ ２×４×４ ＝１７ ３２ ，故Ｄ错误．故选ＢＣ． １２．【答案】３或－４．５ 【解析】ｂ在ａ上的投影向量的模为 ａ·ｂ ａ ＝ ３ ×１＋４ｘ ５ ＝ ３ ＋４ｘ ５ ＝３，解得ｘ＝３或ｘ＝－４．５． １３．【答案】２ 【解析】由诱导公式易得ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ－ ２ ｘ ＋３，且ｆ（ｍ）＝ｓｉｎｍ－ ２ ｍ ＋３＝４，所以 ｓｉｎｍ－ ２ ｍ ＝１，则 ｆ（－ｍ）＝ｓｉｎ（－ｍ）－ ２ －ｍ ＋３＝－ｓｉｎｍ－ ２ ｍ( ) ＋３＝－１＋３＝２． １４．【答案】９ 【解析】由ｘ－ １ ｘ ＝２ｙ－ ２ ｙ ＋８，得 ｘ－２ｙ＝ １ ｘ －４ ２ｙ ＋８，两边同乘 ｘ－２ｙ得（ｘ－２ｙ）２＝ １ ｘ －４ ２ｙ ＋８( )（ｘ－２ｙ），即（ｘ－２ｙ）２－ ８（ｘ－２ｙ）＝５－ ２ｙ ｘ －４ｘ ２ｙ ．又由－ ２ｙ ｘ －４ｘ ２ｙ≥ ２ －２ｙ ｘ · ４ｘ －２ｙ槡 ＝４，当且仅当 －２ｙ ｘ ＝２ｘ －ｙ ，即 ｘ＝－ｙ时等号成立，则有（ｘ－２ｙ）２－ ８（ｘ－２ｙ）－９≥０，解得ｘ－２ｙ≥９（负值已舍），当且仅当ｘ＝３，ｙ＝－３时取等号，所以ｘ－２ｙ的最小值为９． 四川·高三数学　第３　页（共６页） １５．解：（１）由函数ｆ（ｘ）的图象关于点 ２π ３ ，０( )对称，可得４π３＋φ＝ｋπ２，ｋ∈Ｚ，（２分） 解得φ＝－ ４π ３ ＋ｋπ ２ ，ｋ∈Ｚ，（３分） 又因为０＜φ＜ π ２ ，所以φ＝ π ６ ，（４分） 故ｆ（０）＝ｔａｎπ ６ ＝槡３ ３ ．（５分） （２）平行于ｙ轴且被曲线ｙ＝ｆ（ｘ）无限逼近的直线的方程为２ｘ＋π ６ ＝π ２ ＋ｋπ，ｋ∈Ｚ，（８分） 解得ｘ＝π ６ ＋ｋπ ２ ，ｋ∈Ｚ，（９分） 由－π＜ π ６ ＋ｋπ ２ ＜π，ｋ∈Ｚ，得ｋ＝－２，－１，０，１，共４个取值，（１２分） 所以在区间（－π，π）上有４条平行于ｙ轴且被曲线ｙ＝ｆ（ｘ）无限逼近的直线．（１３分） 【评分细则】 第二问如果考生利用换元法去根据正切函数的图象和性质判断出直线的条数也给满分． １６．解：（１）若根据小概率值α＝０．０１的独立性检验，认为是否参加该活动与性别有关， 则χ２＝ １５ａ ２２≥ ６．６３５，（３分） 解得ａ≥ ２２×６．６３５ １５ ≈ ９．７．（５分） 因为ａ为正整数，所以ａ的最小值为１０．（７分） （２）当ａ＝１时，参与调查且参加活动的同学中共有男生３名，女生８名， 故总选取次数Ｘ的可能取值有１，２，３，４，（８分） 且Ｐ（Ｘ＝１）＝ ８ １１ ，Ｐ（Ｘ＝２）＝ ３ １１ ×８ １０ ＝２４ １１０ ＝１２ ５５ ， Ｐ（Ｘ＝３）＝ ３ １１ ×２ １０ ×８ ９ ＝４８ ９９０ ＝８ １６５ ，Ｐ（Ｘ＝４）＝ ３ １１ ×２ １０ ×１ ９ ×８ ８ ＝６ ９９０ ＝１ １６５ ，（１２分） 故Ｘ的分布列为 Ｘ １ ２ ３ ４ Ｐ ８ １１ １２ ５５ ８ １６５ １ １６５ （１３分） 所以Ｅ（Ｘ）＝ ８ １１ ＋２× １２ ５５ ＋３× ８ １６５ ＋４× １ １６５ ＝４ ３ ．（１５分） 【评分细则】 第二问的概率值无论是否化为最简值都给分． 四川·高三数学　第４　页（共６页） １７．（１）证明：在平面ＡＰＣＱ中，由ＡＱ＝ＣＱ，ＡＰ＝ＣＰ可知ＰＱ是ＡＣ的中垂线， 故ＰＱ⊥ＡＣ，（２分） 而平面ＡＢＣ⊥平面ＡＰＣＱ，平面ＡＢＣ∩平面ＡＰＣＱ＝ＡＣ，ＰＱ平面ＡＰＣＱ， 故ＰＱ⊥平面ＡＢＣ．（４分） （２）解：记Ｏ为ＡＣ的中点，由Ａ，Ｐ，Ｃ，Ｑ四点共圆可知∠ＡＰＣ＋∠ＡＱＣ＝π， ! " # $ % & ' ( ) 而∠ＡＰＣ＝ π ３ ，故∠ＡＱＣ＝ ２π ３ ．（６分） 不妨令ＯＱ＝１，易知ＯＰ⊥ＯＢ，ＯＰ⊥ＯＣ，ＯＢ⊥ＯＣ，故以Ｏ为坐标原点，ＯＢ，ＯＣ，ＯＰ所在直线分别为ｘ，ｙ，ｚ轴建立 如图所示的空间直角坐标系Ｏ－ｘｙｚ，（７分） 则Ｑ（０，０，－１），Ａ（０，－槡３，０），Ｃ（０，槡３，０），Ｂ（３，０，０），Ｐ（０，０，３）， 故ＡＢ→ ＝（３，槡３，０），ＡＰ → ＝（０，槡３，３），ＣＢ → ＝（３，－槡３，０），ＱＣ → ＝（０，槡３，１）．（９分） 记平面ＰＡＢ的法向量为ｎ１＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１）， ｎ１·ＡＢ → ＝０， ｎ１·ＡＰ → ＝０，{ 即 ３ｘ１＋槡３ｙ１＝０，槡３ｙ１＋３ｚ１＝０，{ 可取ｎ１＝（１，－槡３，１），（１１分） 记平面ＱＢＣ的法向量为ｎ２＝（ｘ２，ｙ２，ｚ２）， ｎ２·ＣＢ → ＝０， ｎ２·ＱＣ → ＝０，{ 即 ３ｘ２－槡３ｙ２＝０，槡３ｙ２＋ｚ２＝０，{ 可取ｎ２＝（１，槡３，－３）．（１３分） 记平面ＰＡＢ与平面ＱＢＣ的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝ ｎ１·ｎ２ ｎ１ ｎ２ ＝ ５ 槡５×槡１３ ＝槡６５ １３ ．（１５分） 【评分细则】 第二问利用几何法计算，过程、结果正确均给分． １８．（１）证明：由２Ｓｎ＋ａｎ＝３ ｎ，得２Ｓｎ＋１＋ａｎ＋１＝３ ｎ＋１， 两式相减得２Ｓｎ＋１－２Ｓｎ＋ａｎ＋１－ａｎ＝２×３ ｎ，（１分） 即３ａｎ＋１＝ａｎ＋２×３ ｎ．（２分） 当ｎ＝１时，２ａ１＋ａ１＝３，解得ａ１＝１，故４ａ１－３＝１≠０．（３分） 于是 ４ａｎ＋１－３ ｎ＋１ ４ａｎ－３ ｎ ＝ ４ ３ （ａｎ＋２×３ ｎ）－３ｎ＋１ ４ａｎ－３ ｎ ＝ １ ３ （４ａｎ－３ ｎ） ４ａｎ－３ ｎ ＝１ ３ ，（４分） 故｛４ａｎ－３ ｎ｝是首项为１、公比为 １ ３ 的等比数列．（５分） （２）解：由（１）可知４ａｎ－３ ｎ＝ １ ３( ) ｎ－１ ，（６分） 四川·高三数学　第５　页（共６页） 故ａｎ＝ １ ４ ×３ｎ＋ １ ４ × １ ３( ) ｎ－１ ，（７分） 于是２Ｓｎ＝３ ｎ－ａｎ＝ ３ ４ ３ｎ－ １ ３( ) ｎ [ ]，Ｓｎ＝３８ ３ｎ－ １３( ) ｎ [ ]．（１０分） （３）解：设ｘｎ＝ｎ·３ ｎ，ｙｎ＝ｎ· １ ３( ) ｎ ，数列｛ｘｎ｝，｛ｙｎ｝的前ｎ项和分别为Ｘｎ，Ｙｎ． 则Ｘｎ＝１×３ １＋…＋ｎ·３ｎ，３Ｘｎ＝１×３ ２＋…＋（ｎ－１）·３ｎ＋ｎ·３ｎ＋１， 两式相减得２Ｘｎ＝ｎ·３ ｎ＋１－（３＋…＋３ｎ）＝ｎ·３ｎ＋１－ ３ｎ＋１－３ ３－１ ＝ｎ－ １ ２( )·３ｎ＋１＋３２，（１２分） 则Ｘｎ＝ ｎ ２ －１ ４( )·３ｎ＋１＋３４． Ｙｎ＝１× １ ３ ＋…＋ｎ· １ ３( ) ｎ ， １ ３ Ｙｎ＝１× １ ３( ) ２ ＋…＋（ｎ－１）· １ ３( ) ｎ ＋ｎ· １ ３( ) ｎ＋１ ， 两式相减得 ２ ３ Ｙｎ＝ １ ３ ＋…＋ １ ３( ) ｎ －ｎ· １ ３( ) ｎ＋１ ＝ １ ３ － １ ３( ) ｎ＋１ １－ １ ３ －ｎ· １ ３( ) ｎ＋１ ＝１ ２ －ｎ＋ ３ ２( )· １３( ) ｎ＋１ ，（１４分） 故Ｙｎ＝ ３ ４ － １ ２ ｎ＋ ３ ４( )· １３( ) ｎ ，（１５分） 则Ｔｎ＝ ３ ８ （Ｘｎ－Ｙｎ）＝ １ ３２ （２ｎ－１）·３ｎ＋２＋（２ｎ＋３）· １ ３( ) ｎ－１ [ ]．（１７分） 【评分细则】 第二问也可以利用等比数列求和公式来求解Ｓｎ，只要最终结果正确均给分． １９．（１）解：当ａ＝１时，ｆ（ｘ）＝（２ｘ－３）ｅｘ＋ｘ２－ｘ，（１分） 则ｆ′（ｘ）＝（２ｘ－１）ｅｘ＋２ｘ－１，（２分） 又ｆ（０）＝－３，ｆ′（０）＝－２，（３分） 所以所求切线方程为ｙ＋３＝－２ｘ，即２ｘ＋ｙ＋３＝０．（４分） （２）（ｉ）解：由题意得ｆ′（ｘ）＝（２ｘ－１）（ａｅｘ＋１）， 若ａ≥０，则ａｅｘ＋１＞０， 故当ｘ∈ －!， １ ２( )时，ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减；当ｘ∈ １２，＋!( )时，ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增．（５分） 又ｆ １ ２( ) ＝－２ａ槡ｅ－１４＜０，ｆ３２( ) ＝３４＞０， 当ｘ→－!时，ａ（２ｘ－３）ｅｘ→０，ｘ２－ｘ→＋!，所以ｆ（ｘ）→＋!． 由单调性和零点存在性定理可知，此时ｆ（ｘ）有两个零点，不符合题意；（６分） 若ａ＜０，令ｆ′（ｘ）＝０，得ｘ＝ １ ２ 或ｘ＝－ｌｎ（－ａ）， ①当 １ ２ ＜－ｌｎ（－ａ），即－槡 ｅ ｅ ＜ａ＜０时， 有当ｘ∈ －!， １ ２( )时，ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减；当 ｘ∈ １２，－ｌｎ（－ａ）( ) 时，ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增；当 ｘ∈ （－ｌｎ（－ａ），＋ ! ）时，ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减；（７分） 又ｆ ３ ２( ) ＝３４＞０，ｘ→＋!时，ｆ（ｘ）→－!，故在区间 ３２，＋!( )上必有一个零点， 四川·高三数学　第６　页（共６页） 要使ｆ（ｘ）有唯一零点，只需ｆ（ｘ）极小值＝ｆ １ ２( ) ＝－２ａ槡ｅ－１４＞０，即－槡ｅｅ＜ａ＜－槡ｅ８ｅ．（８分） ②当 １ ２ ＝－ｌｎ（－ａ），即ａ＝－槡 ｅ ｅ 时，ｆ′（ｘ）≤０，ｆ（ｘ）单调递减， ｆ（ｘ）仅有一个零点显然成立．（９分） ③当 １ ２ ＞－ｌｎ（－ａ），即ａ＜－槡 ｅ ｅ 时， 有当ｘ∈（－!，－ｌｎ（－ａ））时，ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减；ｘ∈ －ｌｎ（－ａ）， １ ２( ) 时，ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增；当 ｘ∈ １ ２ ，＋ !( )时，ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减．（１０分） 由ｆ（ｘ）极小值＝ｆ（－ｌｎ（－ａ））＝（ｌｎ（－ａ）） ２＋３ｌｎ（－ａ）＋３＞０恒成立，故同理ｆ（ｘ）也仅有一个零点． 综上，ａ的取值范围是 － ! ，－槡 ｅ ８ｅ( )．（１１分） （ｉ）证明：解法一：由（ｉ）知若－槡 ｅ ｅ ＜ａ＜－槡 ｅ ８ｅ ，极小值点ｘ１＝ １ ２ ，零点ｘ０＞ ３ ２ ，此时ｘ０－ｘ１＞１＞ １ ２ 成立；（１２分） 若ａ＜－槡 ｅ ｅ ，极小值点ｘ１＝－ｌｎ（－ａ），零点ｘ０满足ｆ（ｘ０）＝ａ（２ｘ０－３）ｅ ｘ０＋ｘ２０－ｘ０＝０， 即ａ＝－ ｘ２０－ｘ０ （２ｘ０－３）ｅ ｘ０ ，（１３分） 此时ｘ０－ｘ１＝ｘ０＋ｌｎ（－ａ）＝ｘ０＋ｌｎ ｘ２０－ｘ０ （２ｘ０－３）ｅ ｘ０ ＝ｌｎｘ０＋ｌｎ（ｘ０－１）－ｌｎ（２ｘ０－３），且ｘ０＞ ３ ２ ． 令ｇ（ｘ）＝ｌｎｘ＋ｌｎ（ｘ－１）－ｌｎ（２ｘ－３），ｘ＞ ３ ２ ，（１４分） ｇ′（ｘ）＝ １ ｘ ＋１ ｘ－１ － ２ ２ｘ－３ ＝ ２ｘ ２－６ｘ＋３ ｘ（ｘ－１）（２ｘ－３） ，令ｇ′（ｘ）＝０，解得ｘ＝ ３＋槡３ ２ ， 当ｘ∈ ３ ２ ， ３＋槡３ ２( )时，ｇ′（ｘ）＜０，ｇ（ｘ）单调递减，（１５分） 当ｘ∈ ３ ＋槡３ ２ ，＋ !( )时，ｇ′（ｘ）＞０，ｇ（ｘ）单调递增，（１６分） 故ｇ（ｘ）ｍｉｎ＝ｇ ３＋槡３ ２( ) ＝ｌｎ ３＋槡３ ２ ×１ ＋槡３ ２ 槡３ ＝ｌｎ槡３ ２ ＋１( ) ＝１２ｌｎ槡３２＋１( ) ２ ＝１ ２ ｌｎ ７ ４ ＋槡３( ) ＞１２，故ｘ０－ｘ１＞１２． 综上，ｘ０－ｘ１＞ １ ２ ．（１７分） 解法二：由（ｉ）知若－槡 ｅ ｅ ＜ａ＜－槡 ｅ ８ｅ ，极小值点ｘ１＝ １ ２ ，零点ｘ０＞ ３ ２ ，此时ｘ０－ｘ１＞１＞ １ ２ 成立；（１２分） 若ａ＜－槡 ｅ ｅ ，则ｘ１＝－ｌｎ（－ａ）＜ １ ２ ．（１４分） 因为ｘ０＞ ３ ２ ，所以ｘ０－ｘ１＞１＞ １ ２ ．（１６分） 综上，ｘ０－ｘ１＞ １ ２ ．（１７分） 【评分细则】 如用其他解法若正确也给满分．