精品解析：上海市青浦高级中学2025-2026学年高二第二学期期末学业质量调研数学试题

2025学年第二学期高二年级期终学业质量调研 数学学科试卷 2026.06 （时间120分钟，满分150分） 考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考试号、姓名等填写清楚． 2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有21道试题，可以使用规定型号计算器． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 直线的斜率为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用直线一般式方程的斜率公式直接计算即可得到结果. 【详解】已知直线的一般式方程为，当时，直线的斜率公式为. 本题中直线方程为，对应参数，，代入斜率公式可得： . 2. 若圆柱的底面半径与高均为1，则其侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱的侧面积公式直接计算可得. 【详解】由题意，圆柱的侧面积为：. 故答案为： 3. 已知等差数列中，，，是数列的前项和，则________． 【答案】 【解析】 【详解】由是数列的前项和得， 又，，所以. 4. 某同学统计了从2000年到2024年中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下（不含中国香港、中国台湾）：28，32，48，39，27，38，40，则这组数据的第75百分位数为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再依据第75百分位数的定义计算求解. 【详解】首先将这组数据从小到大排列：，可得样本容量. 根据百分位数的计算规则，计算索引值：. 由于不是整数，向上取整为，因此第75百分位数为排序后第6个数据，即. 5. 在正方体中，点为棱的中点，则异面直线与所成角的大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的大小. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为，则、、、， ，， ， 所以异面直线与所成角的大小为. 6. 在的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式及常数项可得，进而写出常数项即可. 【详解】由题设，二项展开式通项为， 由第四项是常数项，即时，，故， 所以常数项为. 故答案为：160 7. 曲线在处的切线方程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导将代入即可计算斜率，利用点斜式即可． 【详解】， 将代入，则切线斜率， 当时，， 故，化简可得：． 8. 若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】圆上两点关于直线对称时该直线必过圆心，代入圆心坐标即可求解参数. 【详解】圆的圆心. 因为圆：上存在不同两点、关于直线对称， 所以圆心在直线上，故，解得. 9. 若将方程化简为的形式，则________． 【答案】 25 【解析】 【分析】方程左侧是平面上点到两个定点(0，5)的距离之和，根据椭圆的定义，若距离之和大于两定点间的距离，那么该点的轨迹是椭圆，以此作为解题突破口。 【详解】方程可以看作点P(x，y)到距离之和为26， 由椭圆的定义可知，方程表示的轨迹是以 �� 1 ， �� 2 为焦点的椭圆， 设椭圆长半轴长，短半轴长，半焦距分别为，，. 所以  所以 因此方程为 所以 因为a>0，b>0 所以a=12，b=13 故 �� + �� = 12 + 13 = 25 . 10. 已知F是椭圆E：的左焦点，经过原点O的直线与椭圆E交于P，Q两点，若且，则椭圆E的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】取椭圆的右焦点，由直线过原点及椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，由及椭圆的性质可得，，余弦定理可得离心率的值. 【详解】取椭圆的右焦点，连接，， 由椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形， 则，， ，而，所以，所以， 在中，， 整理，得，即，由解得. 故答案为：. 11. 双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为24米，上口半径为26米，下口半径为40米．若半径最小的圆将冷却塔分成上、下两部分的高分别为、米，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】以最小半径所在圆的圆心为原点建立平面直角坐标系，设出双曲线方程，将上口和下口边缘点的坐标代入方程，通过消去参数b求得高度之比. 【详解】以最小半径所在圆的圆心为坐标原点，水平直径为轴，竖直中心轴为轴建立坐标系， 设双曲线标准方程， 冷却塔最小半径对应双曲线实半轴，故， 上口边缘点：（，上半部分高度）， 下口边缘点：（，下半部分高度）， 将代入双曲线方程，移项整理得， 将代入双曲线方程，移项整理得， 两式相除得， 因为，所以. 12. 如图，中，，，，点是线段一个动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】借助向量线性运算及数量积公式可得，再求出的取值范围，即可得解. 【详解】连接，则 ， 又，，，所以，则， 所以， 又，则边上的高为， 要确保以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点， 当在靠近，且时，， 当在靠近，且时，， 所以，则， 即. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件：出现偶数点，事件：出现2点或3点，则事件与事件的关系为（ ） A. 相互独立事件 B. 相互互斥事件 C. 既相互独立又相互互斥事件 D. 既不相互互斥又不相互独立事件 【答案】A 【解析】 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的定义，计算对应概率判断事件关系即可. 【详解】抛掷骰子的样本空间为，共6个等可能样本点. 事件，因此，事件，因此. 事件，不为空集，故不是互斥事件. 则，且，满足，故是相互独立事件. 所以事件与不是互斥事件，但满足，故关系为相互独立事件. 14. 已知函数满足，，则在和附近符合条件的的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的几何意义分析求解即可. 【详解】由，，可知的图象在处切线的斜率为正，在处切线的斜率为负， 选项A：的图象在和处切线的斜率都为负； 选项B：的图象在处切线的斜率为负，在处切线的斜率为正； 选项C：的图象在处切线的斜率为零，在处切线的斜率为正； 选项D：的图象在处切线的斜率为正，在处切线的斜率为负； 故选：D 15. 设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得．那么称为“内和数列”，并令，称为的“伴随数列”，给出下列三个命题： ①若为等差数列，则为内和数列； ②若为等比数列，则为内和数列； ③若内和数列为严格增数列，则其伴随数列为严格增数列； 其中真命题的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】对于命题①和命题②，取，结合内和数列的定义即可判断正误；对于命题③，内和数列为严格增数列，结合定义可求得，从而判断命题③. 【详解】对于命题①和命题②，设，可知正数数列既为等差数列也为等比数列， 则，但不存在，使得， 所以不为内和数列，①和②均为假命题； 对于命题③，因为，对任意，，可知存在， 使得，，则， 即，且内和数列为严格增数列，可知， 所以其伴随数列为严格增数列，命题③正确. 16. 设为曲线上的任意一点，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过讨论的取值，整理化简曲线解析式，并作出曲线的大致图像，利用曲线的方程，求出的最大值． 【详解】当时，曲线为；当时，曲线为，不成立； 当时，曲线为；当时，曲线为； 则曲线，曲线C的大致图象如图： 其中，，，直线是曲线的渐近线， ，表示曲线上的点到直线的距离， 设与直线平行的直线为，直线与曲线有公共点， 则，且是直线与曲线的公共点到直线的距离， 由图形知，当直线与曲线相切，即曲线相切时，最大， 由消去得，则， 解得，直线为， 所以. 故选：C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤． 17. 某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数； （2）现学校准备利用分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件为“至少有1人测试成绩位于区间”，求事件发生的概率． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和等于1列方程，可得实数的值，进而求平均数； （2）根据频率分布直方图得比例抽样，列出7人中随机抽取2人的21种情况，确定至少有1人测试成绩位于区间有11种，即可得解. 【小问1详解】 根据题意，，解得， 所以这40名学生测试成绩的平均数为. 【小问2详解】 由频率分布直方图，和这两组的频率之比为， 故应从学生中抽取的学生人数为人， 从学生中抽取的学生人数为人， 设从学生中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为， 则这个试验的样本空间为， 故， 又，则， 所以事件的概率为. 18. 已知等比数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列基本量运算求出公比，再写出通项公式. （2）先根据第一问的结果求出数列的通项公式，再写出数列的通项公式，最后再求出满足条件的最小正整数. 【小问1详解】 因为等比数列中，，所以，即， 所以数列的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）可知，所以， 由题意可知，设数列的前项和为，则 ，由， 且，所以，所以，所以单调递增， 又，， 所以使不等式成立的最小正整数的值为10. 19. 如图，梯形是圆台的轴截面，，分别在底面圆，的圆周上，为圆台的母线，，已知，，，分别为，的中点． （1）证明：平面平面； （2）若三棱锥的体积为，求圆台的体积． 【答案】（1）∵在梯形中，，， ∴，， 又G为的中点，∴，∴， 故四边形为平行四边形，∴. 又平面，平面， ∴平面. ∵分别是，的中点， ∴. 又平面，平面， ∴平面. 又，平面，平面， ∴平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可证得平面，平面，进而可证得结论； （2）由三棱锥体积以及的面积，可得圆台的高，利用圆台的体积公式可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设由（1）可知，则为三棱锥的高h. 故， 由，可得， ∴. 又∵，， ∴. 故， ∴. 故圆台的体积. 20. 已知椭圆：（），其左焦点坐标为，且经过点，为坐标原点． （1）求椭圆的方程； （2）设点，点在椭圆上，求的最大值和最小值； （3）点在直线上，过点且与平行的直线与椭圆交于，两点．试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）; （2），; （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）通过题目所给条件直接计算的值； （2）通过三角换元，将点的坐标表示出来，用角度表示，结合二次函数与角度的范围求出最大、最小值； （3）通过坐标将和表示出来，直接判断两者是否存在固定的数量关系，直接求出的值. 【小问1详解】 已知左焦点坐标为，所以， 且， 因为椭圆经过点，所以， 所以， 所以椭圆方程为： 【小问2详解】 因为点在椭圆上， 设，因为 所以 因为，所以当时， 当时， 所以，; 【小问3详解】 点在直线上，设， 直线过点且与平行，， 所以直线方程为：，即， 令，所以直线的方程为：， 联立椭圆的方程：，消得：， 设，，所以由韦达定理有，， 所以 同理， 所以， 因为， 代入韦达定理及化简得： 所以， 又因为， 所以，所以存在常数使得. 21. 定义：设和均为定义在上的函数，它们的导函数分别为和，若不等式对任意实数恒成立，则称和为“相伴函数”． （1）给出两组函数，①和；②和，分别判断这两组函数是否为“相伴函数”； （2）若，是定义在上的可导函数，是偶函数，是奇函数，，证明：和为“相伴函数”； （3）证明：和为“相伴函数”的充要条件是（）． 【答案】（1）第①组是，第②组不是 （2）， 所以 ，所以 因此成立， 即和为“相伴函数”. （3）充分性：已知 则， ， 此时，所以， 即成立，和为相伴函数 必要性：已知和为相伴函数 所以， ， ， ，即， 由于取遍内的所有实数，因此当且仅当时成立， 所以， 所以“和为相伴函数”的充要条件是. 【解析】 【分析】（1）根据“相伴函数”的定义进行分析，从而作出判断. （2）根据“相伴函数”的定义进行分析，结合函数的奇偶性证得结论成立. （3）根据“相伴函数”的定义进行分析，结合充分、必要条件的知识确定正确答案. 【小问1详解】 ①和，， ， 所以这组函数是 “相伴函数”. ②和，， 不一定为非正数， 所以这组函数不是 “相伴函数”. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期高二年级期终学业质量调研 数学学科试卷 2026.06 （时间120分钟，满分150分） 考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考试号、姓名等填写清楚． 2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有21道试题，可以使用规定型号计算器． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 直线的斜率为________． 2. 若圆柱的底面半径与高均为1，则其侧面积为________． 3. 已知等差数列中，，，是数列的前项和，则________． 4. 某同学统计了从2000年到2024年中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下（不含中国香港、中国台湾）：28，32，48，39，27，38，40，则这组数据的第75百分位数为________． 5. 在正方体中，点为棱的中点，则异面直线与所成角的大小为________． 6. 在的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为________. 7. 曲线在处的切线方程是_______． 8. 若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 9. 若将方程化简为的形式，则________． 10. 已知F是椭圆E：的左焦点，经过原点O的直线与椭圆E交于P，Q两点，若且，则椭圆E的离心率为______． 11. 双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为24米，上口半径为26米，下口半径为40米．若半径最小的圆将冷却塔分成上、下两部分的高分别为、米，则______． 12. 如图，中，，，，点是线段一个动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的取值范围为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件：出现偶数点，事件：出现2点或3点，则事件与事件的关系为（ ） A. 相互独立事件 B. 相互互斥事件 C. 既相互独立又相互互斥事件 D. 既不相互互斥又不相互独立事件 14. 已知函数满足，，则在和附近符合条件的的图象大致是（　　） A. B. C. D. 15. 设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得．那么称为“内和数列”，并令，称为的“伴随数列”，给出下列三个命题： ①若为等差数列，则为内和数列； ②若为等比数列，则为内和数列； ③若内和数列为严格增数列，则其伴随数列为严格增数列； 其中真命题的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 16. 设为曲线上的任意一点，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤． 17. 某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数； （2）现学校准备利用分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件为“至少有1人测试成绩位于区间”，求事件发生的概率． 18. 已知等比数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值． 19. 如图，梯形是圆台的轴截面，，分别在底面圆，的圆周上，为圆台的母线，，已知，，，分别为，的中点． （1）证明：平面平面； （2）若三棱锥的体积为，求圆台的体积． 20. 已知椭圆：（），其左焦点坐标为，且经过点，为坐标原点． （1）求椭圆的方程； （2）设点，点在椭圆上，求的最大值和最小值； （3）点在直线上，过点且与平行的直线与椭圆交于，两点．试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由． 21. 定义：设和均为定义在上的函数，它们的导函数分别为和，若不等式对任意实数恒成立，则称和为“相伴函数”． （1）给出两组函数，①和；②和，分别判断这两组函数是否为“相伴函数”； （2）若，是定义在上的可导函数，是偶函数，是奇函数，，证明：和为“相伴函数”； （3）证明：和为“相伴函数”的充要条件是（）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $