1.4线段垂直平分线与角平分线(第2课时) （同步教学）课件-2025-2026学年苏科版八年级数学上册

1.4线段垂直平分线与角平分线(第2课时) 苏科版 八年级上册 第1章 三角形 目录/CONTENTS 1.教学目标 2.新课引入 3.新课探究 4.例题精讲 5.课堂练习 6.课堂总结 1.经历探索角的轴对称性的过程，进一步体会轴对称的特性， 发展空间观念. 2.掌握角平分线的性质定理及其逆定理，并能应用它们进行 计算、证明。 3.通过探索、猜测、证明的过程，进一步发展推理能力. 教学目标 新课引入 角的平分线的概念 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线. O B C A 1 2 新课探究 P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ 探究:如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P1，P2，P3，…在 OC 上，过点 P1，P2，P3，…分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3……. 分别比较 P1D1 与 P1E1、P2D2 与 P2E2、P3D3 与 P3E3……，你有什么发现？ C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 新课探究 P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3…… 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等 已知： 一个点在一个角的平分线上. 求证： 验证 这个点到这个角两边的距离相等. 角的平分线的性质 C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 新课探究 问题:如图,在∠AOB 的平分线上任意取一点P(异于点O),作PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为 C,D .PC 与PD 一定相等吗? 在△DOP 和△COP 中, 由∠PDO=∠PCO=90°,∠DOP=∠COP,OP=OP, 通过 “AAS”,可以证明△DOP≌△COP, 所以PC与PD 相等 . 新课探究 角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等 . 如图，∵OC 是∠AOB 的平分线， P 是 OC 上一点， PD⊥OA 于点 D， PE⊥OB 于点 E， ∴PD = PE. C A B O D E P 几何语言： 新课探究 角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等 . C A B O D E P 应用定理需具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等 新课探究 问题:如果一个点到一个角的两边的距离相等,那么这个点一 定在这个角的平分线上吗? 如图,点Q 在∠AOB 内,QC⊥OA,QD⊥OB,垂足分别为C,D,且QC=QD . 作射线OQ, 在△OCQ 和△ODQ 中, ∠QCO=∠QDO=90°,OQ=OQ,QC=QD, 通过“HL”,可以证明 Rt△OCQ≌Rt△ODQ, 所以∠AOQ=∠BOQ,所以点Q 在∠AOB的平分线上. 新课探究 角平分线性质定理的逆定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 角平分线是到角两边距离相等的点的集合 . 如图，∵P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE，∴点 P 在∠AOB 的平分线上，即 OP 平分∠AOB. 几何语言： A B O D E P C 作用：判断一个点是否在角的平分线上 新课探究 所有到角两边距离相等的点组成这个角的平分线 1 角的平分线的性质及判定的关系 点在角的平分线上 角的内部，点到角两边距离相等 性质 判定 2 角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合. 归纳 例题精讲 ◁例2 如图,△ABC 的角平分线AD,BE 相交于点P. 求证:点P 在∠C的平分线上 . 证明：过点P 作PF ⊥AB,PM ⊥BC,PN ⊥AC, 垂足分别为F,M,N. ∵ AD 平分∠BAC,点P 在AD 上,PF⊥AB,PN⊥AC, ∴PF =PN(角平分线的性质定理). 同理,PF =PM. ∴PM =PN. ∵PM ⊥BC,PN ⊥AC, ∴ 点P 在∠C的平分线上(角平分线性质定理的逆定理). 新课探究 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 符号语言： 如图，<m></m>,<m></m>,<m></m>分别是<m></m>，<m></m>,<m></m>的平分 线，</m>,<m></m>,<m></m>,<m> </m>，<m></m>，<m></m>相交于一点<m></m>，且<m></m>. 新课探究 证明角平分线的方法: 1. 从数量上证明：被要证的线分成的两个角相等. 2.从形上证明：角的内部的点到角两边的距离相等，即只需从要证的线上的某一点向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可．这样把证“某线是角的平分线”的问题转化为证“垂线段相等”的问题，体现了转化思想. 新课探究 角平分线的性质 角平分线的判定 图示 已知条件 结论 OP 平分∠AOB PD⊥OA于点 D PE⊥OB于点 E PD = PE PD⊥OA 于点D PE⊥OB 于点E PD = PE OP 平分∠AOB 归纳 课堂练习 基础巩固 1.如图，平分，在上取一点，过 作 于点，若，则点到 的距离为 ( ) C A.5 B.6 C.7 D.8 2.已知射线在内部，点在射线 上， 于点 ，尺规作图痕迹如图所示.若 ，，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 课堂练习 基础巩固 3. 如图，∠AOB＝70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D. 若QC ＝QD，则∠AOQ的度数为 ⁠. 35°　 4.如图，在中， ，平分， 于点 ，如果，，则 的长为___. 5 课堂练习 基础巩固 5. 如图，CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，CE，BF相交于点D，且 BD＝CD. 求证：点D在∠BAC的平分线上. 解：∵ CE⊥AB，BF⊥AC，∴ ∠DEB＝∠DFC＝90°. 在△DEB和△DFC中， ∴ △DEB≌△DFC（AAS），∴ DE＝DF. 又∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴ 点D在∠BAC的平分线上 课堂练习 能力提升 1.如图，平分，， ，垂足 分别为，.下列结论中：； 平分 ；；垂直平分 .不一定成立 的有( ) A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 课堂练习 能力提升 2. 如图，射线BG把△ABC分成两个三角形，AB＝8，BC＝12， S1∶S2＝2∶3.若∠A＋∠C＝100°，则∠ABG的度数为 ⁠. 40°　 课堂练习 思维拓展 1. 如图，AD∥BC，CD⊥AD，AE平分∠BAD，且E是DC的中点， EF⊥AB于点F. AD，BC与AB之间有什么数量关系？请说明理由. 解：AD＋BC＝AB　 理由：连接BE. ∵ AE平分∠BAD，CD⊥AD，EF⊥AB， ∴ ∠D＝∠AFE＝∠BFE＝90°，DE＝FE. 在Rt△ADE和Rt△AFE中， ∴ Rt△ADE≌Rt△AFE（HL），∴ AD＝AF. ∵ AD∥BC，CD⊥AD，∴ CD⊥BC，∴ ∠C＝∠BFE＝90°. 又∵ E是DC的中点，∴ CE＝DE，∴ FE＝CE. 课堂练习 思维拓展 1. 如图，AD∥BC，CD⊥AD，AE平分∠BAD，且E是DC的中点， EF⊥AB于点F. AD，BC与AB之间有什么数量关系？请说明理由. 在Rt△BEF和Rt△BEC中， ∴ Rt△BEF≌Rt△BEC（HL），∴ BF＝BC， ∴ AD＋BC＝AF＋BF＝AB. 课堂总结 角平分线的性质与判定 性质 判定 内容 作用 内容 作用 角平分线上的点到角两边的距离相等 . 证明线段相等 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 判断一个点是否在角的平分线上 感谢您的聆听 THANK YOU FOR LISTENING $$