专题1.7 圆与圆的位置关系重难点题型讲义（3个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版选修第一册）

专题1.7 圆与圆的位置关系重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 判断圆与圆的位置关系 题型二 求两圆的交点坐标 题型三 由圆的位置关系确定参数或范围 题型四 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 题型五 相交圆的公共弦方程 题型六 两圆的公共弦长 题型七 圆的公切线条数 题型八 圆的公切线方程 题型九 圆的公切线长 拓展训练一 两圆问题 拓展训练二 圆的公切线相关问题 知识点一：圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含.其中，外离与内含统称为相离，外切与内含统称为相切. 2.圆与圆的位置关系的判断 （1）几何法 若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d． 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 2.代数法 设圆:，圆: 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ⑴圆与圆相交； ⑵圆与圆相切（内切或外切）； ⑶圆与圆相离（内含或外离） 【知识剖析】 比较两种方法，几何法避免了繁琐的计算，并与初中学过的平面几何知识有机地联系起来，是更常用的方法. 【即时训练】 1．（24-25高二下·河南濮阳·期末）已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先判断圆与圆外切，依题意只需使所求圆的半径等于两圆半径之和即可. 【详解】依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为， 则，故两圆外切， 因圆C覆盖圆，，所以圆半径的最小值为. 故选：A. 2．（23-24高二上·河北邢台·期中）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，圆C与圆外切，写出一个圆C的标准方程： ． 【答案】（答案不唯一，只要方程满足即可） 【分析】求出圆的圆心和半径，利用两圆外切即可求出一个圆C的标准方程. 【详解】由题意， 在中，圆心，半径， 因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆C与圆M：外切， 设半径为，则圆心 所以圆C的方程为． ∴一个圆C的标准方程： 故答案为：. 知识点二：两圆的公切线 两圆的公切线是指与两圆都相切的直线,可分为外公切线和内公切线.两圆的公切线有如图所示的5种情况: (1)外离时,有4条公切线,分别是2条外公切线,2条内公切线; (2)外切时,有3条公切线,分别是2条外公切线,1条内公切线; (3)相交时,有2条公切线,都是外公切线; (4)内切时,有1条公切线; (5)内含时,无公切线. 【即时训练】 1．（2024高三·北京·专题练习）已知圆与圆，，分别为圆和圆上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．过点作圆的切线有且仅有1条 B．不存在实数，使得圆和圆恰有一条公切线 C．若圆和圆恰有3条公切线，则 D．若的最小值为1，则 【答案】B 【分析】根据点在圆外即可判断A，根据两圆相切即可求解BC，根据圆心距与半径即可求解D. 【详解】点与点之间的距离为， 所以点在圆外，即过点可作圆的2条切线，故A错误； 当圆和圆内切时，圆和圆只有一条公切线，此时， 即，方程无解，故B正确； 当圆和圆外切时，圆和圆恰有3条公切线，此时，即，解得，故C错误； 易得当，两点在两圆的圆心的连线上时，取得最小值，为， 即，解得，故D错误. 故选：B 2．（2023高三·全国·专题练习）已知圆与圆恰有两条公切线，则满足题意的一个的取值为 ；此时公切线的方程为 . 【答案】 5（答案不唯一） 和（答案与前空的答案有关联） 【分析】根据两圆相交，求出圆半径的取值范围；再根据圆心到直线切线的距离等于半径求出切线方程. 【详解】圆的圆心为，半径为5. 因为圆与圆恰有两条公切线，所以圆与圆相交.即. 又，所以， 所以可取(答案不唯一.满即可). 此时. 因为的圆心为，半径为5，的圆心为，半径为5， 所以可设公切线的方程为，且与两圆圆心所在的直线平行，解得， 又因为是公切线，所以圆心到直线距离等于半径，即，解得. 所以当时，公切线的方程为和. 故答案为: 5；和. 知识点三：两圆的公共弦 1.两圆公共弦所在的直线方程 　　两圆相交时,有一条公共弦,如图所示,设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,① 圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.② ①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③ 若圆C1与圆C2相交,则③为直线方程,设P(x0,y0)为圆C1与圆C2的交点,则点P(x0,y0)满足++D1x0+E1y0+F1=0和++D2x0+E2y0+F2=0,所以(D1-D2)x0+(E1-E2)y0+F1-F2=0. 即点P(x0,y0)满足直线方程,故P(x0,y0)在③所对应的直线上,③表示过两圆C1与C2交点的直线,即公共弦所在直线的方程. 【即时训练】 1．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得以PQ为直径的圆的方程，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由弦长公式可得答案. 【详解】由题可得，则以PQ为直径的圆的圆心坐标为，半径为4， 则PQ为直径的圆的方程为： .将两圆方程相减可得公共弦方程为：. 则圆Q圆心到公共弦方程距离为2，又圆Q半径为4，则公共弦长为：. 故选：D 2．（2025·广东东莞·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定圆心和半径，然后通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合勾股定理求出弦长. 【详解】法1，两圆与圆均过点，，弦长为. 法2，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程， 圆的圆心到直线的距离， 故公共弦长为. 故答案为：. 【经典例题一 判断圆与圆的位置关系】 【例1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）圆和与圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【分析】求出两圆圆心距，利用几何法可得出两圆的位置关系. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为，所以， 故圆与圆相交. 故选：B. 【例2】（23-24高二上·陕西西安·期中）已知圆：和圆：. (1)判断圆和圆的位置关系； (2)过圆的圆心作圆的切线，求切线的方程. 【答案】(1)圆与圆外离 (2)或 【分析】（1）由圆心距与半径之和半径之差的关系，判断两圆的位置关系； （2）设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径，求出未知系数即可. 【详解】（1）因为圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 所以圆和圆的圆心距，所以圆与圆外离. （2）根据题意知切线有斜率，设所求切线的方程为：，即， 所以到的距离，解得. 所以切线的方程为或 1．（24-25高三上·云南文山·期末）圆与圆的位置关系为（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 【答案】C 【分析】由两圆的位置关系计算即可. 【详解】因为圆，所以， 因为圆，所以圆，所以， 所以， 又因为，所以， 所以两圆相外切， 故选：C. 2．（多选题）（24-25高二下·山西·期中）定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值.已知是圆上的动点，圆，则的取值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】ABC 【分析】理解新定义，结合图像即可求解. 【详解】易知两圆的位置关系为内含， 记为坐标原点，圆的半径为1， 结合图像易知， 则. 符合条件的有ABC， 故选：ABC 3．（2024高二下·上海·专题练习）已知点在圆上运动，若对任意点，在直线上均存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是 ． 【答案】． 【分析】由恒成立可知，始终在以为直径的圆内或圆上，求出点到直线的距离，进一步可求线段长度的最小值． 【详解】如图，    由题可知，圆心为点，半径为， 若直线上存在两点，，使得恒成立， 则始终在以为直径的圆内或圆上. 如图：    设为直线上一点，延长交圆于. 当时，以为圆心，为半径做圆，交直线于、两点，此时. 也因为此时取得最小值，所以此时的长度取得最小值. 点到直线的距离为， 所以长度的最小值为． 故答案为： 4．（24-25高二上·青海海南·期中）已知圆W经过，，三点． (1)求圆W的标准方程； (2)判断圆与圆W的位置关系． 【答案】(1) (2)圆C与圆W相交 【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点坐标，求解转化为标准方程； （2）根据圆与圆的位置关系判断求解即可. 【详解】（1）设圆W的方程为，， 则，解得， 故圆W的方程为，标准方程为． （2）圆W的圆心为，半径为5， 圆C的标准方程为， 圆心为，半径为3． 设两圆圆心之间的距离为d，则． 因为，所以圆C与圆W相交． 【经典例题二 求两圆的交点坐标】 【例1】（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）已知圆的圆心为，且经过圆：与圆：的交点．则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立圆与圆的方程，解得两交点坐标，即可求得圆的半径，从而可得答案. 【详解】解：联立，解得：或， 所以圆的半径为：， 所以的面积为. 故选：B． 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）判断圆与圆的位置关系． 【答案】圆与相交于两点与 【分析】联立两圆方程直接求解得到两个交点，由此得解. 【详解】依题意，联立方程组，将两方程相减并化简得， 把代入第一个方程得到，解得，， 从而，． 所以圆与相交于两点与． 1．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆C的圆心在直线上，并且圆C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出已知两圆的交点，求线段的中垂线，联立待求圆圆心所在直线，即可得出圆心坐标. 【详解】设圆与圆的交点为A，B 联立两圆方程，得，解得，或． 不妨记，， 于是的中点为， 从而可得的垂直平分线方程为 ，即， 联立与，得解得， 即圆心坐标为． 故选：D． 2．（24-25高二上·江苏南京·期中）平面直角坐标系xOy中，P为圆C1：上的动点，过点P引圆：的切线，切点为T，则满足的点P有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】设点的坐标为，根据切线长的性质求，由条件列方程求点的坐标即可. 【详解】设点的坐标为，则①， 由已知圆的圆心的坐标为，半径为1， 所以，， 因为， 所以， 化简可得②， 联立①②可得，或， 所以点的坐标为或， 故满足的点P有2个， 故选：C. 3．（2024高二·全国·专题练习）已知圆，圆，则过圆与圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为 . 【答案】 【分析】联立方程组，求得两圆的交点坐标，设所求圆的圆心为，列出方程求得的值，得出圆心坐标和半径，即可求解. 【详解】设圆与圆的交点分别为，联立方程组，解得或，则， 设所求圆的圆心为，因为圆心在直线上，可得， 则，解得， 所以圆心为，半径， 所以，所求圆的方程为. 故答案为：. 4．（2024高二·江苏·专题练习）已知圆与圆相交于两点． (1)求公共弦AB所在的直线方程； (2)求圆心在直线AB上，且经过A，B两点的圆的方程； (3)求经过A，B两点且面积最小的圆的方程． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】(1)解两个圆的方程组成的方程组求出点A，B坐标即可求出直线AB的方程. (2)根据给定条件可得线段AB就是圆的直径，再求出圆心和半径即可作答. (3) 根据给定条件可得线段AB就是圆的直径，再求出圆心和半径即可作答. 【详解】（1）由得：，消去x得：，解得，， 当时，，当时，，于是不妨令点，， 则直线AB的斜率为，其方程为：， 所以公共弦AB所在的直线方程是：. （2）由(1)知，点，，而过A，B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上，又圆心在直线AB上， 则所求圆的圆心为线段AB的中点，半径，其方程为：， 所以圆心在直线AB上，且经过A，B两点的圆的方程是：. （3）经过A，B两点且面积最小的圆是以AB为直径的圆，由(2)知该圆的方程为， 所以经过A，B两点且面积最小的圆的方程为. 【经典例题三 由圆的位置关系确定参数或范围】 【例1】（22-23高三上·云南·开学考试）若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，进而可求出实数的取值范围． 【详解】到点的距离为2的点在圆上， 所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上， 即两圆相交，故， 解得或， 所以实数的取值范围为， 故选：A． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知圆与圆． (1)若圆与圆有公共点，求正实数的取值范围； (2)求过点且与圆相切的直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）首先确定圆心坐标与半径，依题意可得，解得即可； （2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，斜率存在时设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求出，从而求出切线方程. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， ∵圆与圆有交点，∴，∴． （2）∵直线过点且与圆相切，∴①当直线垂直于轴时，直线的方程为，满足题意； ②当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，即． 又直线与圆相切，∴圆心到直线的距离， 解得，∴直线的方程为． 综上所述，所求切线方程为或． 1．（2025·浙江宁波·三模）已知点，到同一直线的距离分别为2，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题化为、相交求参数范围. 【详解】以为圆心，2为半径的圆为， 以为圆心，3为半径的圆为， 若符合题设的直线恰有2条，即上述两圆相交，而， 所以，可得， 所以. 故选：B 2．（多选题）（2024·山西阳泉·三模）已知圆，若圆上仅存在一点使，则正实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】BD 【分析】由题意可得以为直径的圆与圆相内切或外切，得出该圆圆心与半径后，结合圆与圆的位置关系计算即可得. 【详解】若圆上仅存在一点使，则以为直径的圆与圆相内切或外切， 由，则以为直径的圆的圆心为，半径为， 则有或， 分别解得或，故或， 故B、D正确，A、C错误. 故选：BD. 3．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知圆，圆，如果这两个圆有公共点，则实数取值范围是 . 【答案】 【分析】根据圆的方程写出圆心和半径，由题意有，即可求参数范围. 【详解】由，则， 由，则， 则， 因为圆与圆有公共点，所以， 即，解得， 所以实数取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·期中）已知圆，其中． (1)如果圆与圆外切，求的值； (2)如果直线与圆相交所得的弦长为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得圆的圆心和半径，结合两圆的位置关系列式求解； （2）先求圆心到直线的距离，根据垂径定理列式求解即可. 【详解】（1）因为圆，即， 则，即，可知圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 若两圆外切，则，即，解得. （2）因为圆心到直线的距离， 由题意可得，即，解得. 【经典例题四 由圆与圆的位置关系确定圆的方程】 【例1】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C．=16 D． 【答案】B 【分析】根据两圆外切求圆的半径，即可求解. 【详解】由题意可知，两圆的圆心距为5，设圆的半径为， 因为两圆相外切，则，得， 所以圆的方程为. 故选：B 【例2】（24-25高二上·江苏·期中）已知圆经过点，且与圆相切于点. (1)求圆的方程； (2)过点的直线交圆于M，N两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求得圆的圆心和半径，从而求得圆的方程. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由弦长来求得直线的方程. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 直线的方程是，所以圆的圆心可设为， 则，则， 半径， 所以圆的方程为. （2）由，令，解得， ，所以直线符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由于，所以到直线的距离为， 所以，解得， 直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 1．（23-24高一下·广西桂林·期中）以圆C1：与圆C2：的公共弦为直径的圆的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定两圆位置关系，再应用作差法求公共弦方程，结合C1C2的方程求公共弦中点，最后利用弦心距、半径与弦长关系求所求圆的半径，即可得方程. 【详解】圆C1：的圆心坐标为(−2,0)，半径为， 圆C2：的圆心坐标为(−1,−1)，半径为1， 所以， ∴两圆相减可得公共弦方程为l：， ∴C1C2的方程为， ∴联立得：公共弦为直径的圆心坐标为(−1,−1)， ∵(−2,0)到公共弦的距离为， ∴公共弦为直径的圆的半径为1， ∴公共弦为直径的圆的方程为. 故选：C 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知圆C与圆的公共弦是圆的直径，圆C与圆的公共弦是圆的直径，进而设圆C的圆心为，半径为得，再结合距离公式解方程即可得答案. 【详解】圆C平分圆C1等价于圆C与圆的公共弦是圆的直径． 同理圆C与圆的公共弦是圆的直径 设圆C的圆心为，半径为，则， 所以，即，解得 所以圆C的方程为． 故选：A 3．（24-25高三上·山东济南·期末）写出一个同时满足下列条件①②③的圆的标准方程： . ①圆心在轴上；②与轴相切；③与圆相交. 【答案】（答案不唯一） 【分析】设圆的标准方程为 由 ②得出，再由 ③得出，即可求出结果. 【详解】因为圆心在轴上， 所以设圆的标准方程为， 圆与轴相切，所以 圆化为标准方程为，圆心为，半径为， 又圆与圆相交，所以 则，解得：， 取，，此时圆的标准方程为 . 故答案为：（答案不唯一）. 4．（24-25高二上·四川乐山·期末）已知圆C的方程为. (1)求圆C关于直线对称的圆的方程； (2)若点在圆C上运动，求的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）由圆C的标准方程得到圆心为，半径为1，求得圆心关于对称的点为即可； （2）由即为点P到原点的距离的平方，利用几何法求解. 【详解】（1）由圆C的标准方程为，可知圆心为，半径为1. 圆心关于对称的点为， 圆C关于直线对称的圆的方程为. （2）即为圆上的点P到原点的距离的平方. 圆心到原点的距离为， 的最大值为，最小值为. 【经典例题五 相交圆的公共弦方程】 【例1】（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）过直线上一动点作圆的两条切线，切点分别为.当点运动时，直线AB经过定点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，在以PC为直径的圆上，求出圆的方程，与已知圆相减得直线AB的方程，从而可求定点. 【详解】圆，则圆心，半径， 点为直线上一动点，设， 由题意知在以PC为直径的圆上， 且圆心为，半径为， 则此圆的方程为， 化简得：， 与圆相减，得直线AB的方程：， 即，由，解得， 所以直线过定点. 故选：A. 【例2】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上． (1)求圆的方程； (2)圆与圆：相交于两点，求两圆的公共弦的直线方程． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据直线的两点式方程，结合圆的切线性质进行求解即可； （2）根据两圆的一般方程，利用作差法进行求解即可, 【详解】（1）经过点与点的直线方程为． 由题意可得，圆心在直线上， 由，解得圆心坐标为， 故圆的半径为4． 则圆的方程为； （2）∵圆的方程为 即， 圆：， 两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为． 1．（23-24高三下·全国·开学考试）圆与圆交于两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两圆相交的性质，将两个圆方程相减，得到公共弦方程即可. 【详解】因为圆与圆， 所以的一般方程为， 的一般方程为， 因为两个圆相交，且对两个圆的方程进行联立， 所以的方程为， 化简得，故D正确. 故选：D 2．（多选题）（2024·湖南长沙·模拟预测）若圆与圆交于A，B两点，则下列选项中正确的是（    ） A．点在圆内 B．直线的方程为 C．圆上的点到直线距离的最大值为 D．圆上存在两点P，Q，使得 【答案】BC 【分析】对于A，将点带入圆即可；对于B，圆与圆方程相减即可；对于C，由圆心到直线的距离再加半径2即可；对于D，直线经过圆的圆心，圆中不存在比长的弦. 【详解】对于A，因为，所以点在圆外，故A错误； 对于B，圆与圆交于两点， 因为圆和圆相交，将两圆相减可得：， 即公共弦所在直线的方程为，故B正确； 对于C，圆的圆心坐标为，半径为2， 圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线距离的最大值为，故C正确； 对于D，直线经过圆的圆心， 所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，D错误. 故选：BC. 3．（24-25高二上·吉林·期末）已知圆：和圆：交于A，B两点，则直线的方程是 . 【答案】 【分析】由两圆的方程作差即可求出公共弦所在直线方程. 【详解】因为圆：和圆：， 所以直线的方程为，整理得到， 故答案为：. 4．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知圆：，过点的直线交圆于，两点． (1)若，求此时直线的方程； (2)过，分别作圆的切线，，设直线和的交点为，求证：点在定直线上． 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）当直线的斜率不存在时直接根据交点纵坐标分析，当直线的斜率存在时，将已知条件转化为坐标关系并结合韦达定理求解出结果； （2）先根据相交圆的公共弦所在直线的方程的求法求解出的方程关于坐标的表示，然后根据在直线上得到的坐标关系，由此可完成证明. 【详解】（1）设，， 当直线的斜率不存在时，：， 联立，解得，，则，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设：， 由，得，则， 联立，可得， 则，解得， 所以，解得， 故直线的方程为或． （2）设，圆为，圆心为， 则以线段为直径的圆的方程为， 化简可得， 上述方程与圆的方程相减得， 因为直线过点，则，所以， 所以点在直线上． 【经典例题六 两圆的公共弦长】 【例1】（23-24高一上·湖南邵阳·期末）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心坐标与半径，即可判断两圆相交，再两圆方程作差得到公共弦方程，最后求出弦长即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆，即，圆心为，半径， 又，即， 所以两圆相交， 则两圆方程作差得到公共弦方程为， 又圆心到直线的距离， 所以公共弦长为． 故选：B 【例2】（24-25高二上·河北廊坊·期中）已知圆与圆． (1)求证：圆C1与圆C2相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长； 【答案】(1)证明见解析 (2)x+y-2=0； 【分析】（1）求两个圆的圆心距结合两圆位置关系即可证明； （2）直接利用两圆方程作差即可得出公共弦方程，进一步由弦长公式即可求解. 【详解】（1）将圆：化为标准方程为， ，， 圆的圆心坐标为，半径为， ， ， 两圆相交； （2）由圆与圆， 将两圆方程相减，可得， 即两圆公共弦所在直线的方程为, 从而公共弦长为. 1．（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）已知圆和交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程相减求得直线方程，然后求得一个圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长． 【详解】由已知，两圆方程相减得，这是两圆公共弦所在直线方程， 圆的圆心为，半径为， 到直线的距离为， 所以， 故选：B． 2．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知圆与圆相交，则相交的公共弦长为（    ） A． B． C．5 D．2 【答案】D 【分析】求出两圆的公共弦所在的直线方程，再利用圆的弦长公式计算即得. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆圆心，半径， 而，则两圆相交， 于是得两圆的公共弦所在的直线方程为，圆心到此直线距离， 所以公共弦长为. 故选：D 3．（23-24高三上·广东汕尾·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则 【答案】/ 【分析】求得以为直径的圆的方程，根据圆与圆的位置关系以及点到直线的距离公式求得正确答案. 【详解】圆即， 所以圆心为，半径为，，所以在圆外. 线段中点坐标为，， 以为直径的圆的方程为， 即， 由、两式相减并化简得：， 到直线的距离为， 所以. 故答案为： 4．（22-23高二上·广东肇庆·期中）已知圆，圆． (1)若圆与圆外切，求实数的值； (2)设时，圆与圆相交于、两点，求． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由两圆外切得，直接可得实数的值； （2）将两圆方程相减得相交弦AB的方程，再由圆的弦长公式即可求公共弦长. 【详解】（1）因圆，得圆心，半径. 又圆，得圆心，半径. 所以圆心距，， 因圆与圆外切，所以，得，解得或. 故实数的值为或. （2）当时，圆，此时两圆的圆心距，此时两圆相交. 将两圆方程相减得直线AB的方程为. 所以圆心到直线AB的距离，且半径， 由圆的弦长公式得. 故. 【经典例题七 圆的公切线条数】 【例1】（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）圆和圆的公切线有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】A 【分析】先判断两个圆的位置关系，再求解公切线条数即可. 【详解】圆的圆心为，半径为3， 圆的圆心为，半径为1． 两圆的圆心距为，所以两圆外离， 故两圆的公切线的条数为4. 故选：A. 【例2】（23-24高二上·天津红桥·期中）已知两圆和. (1)分析两圆位置关系并确定公切线数量； (2)求公切线所在直线方程. 【答案】(1)两圆内切，只有一条公切线 (2) 【分析】（1）通过两个圆的圆心距与两圆半径之间的关系判断两个圆的位置关系，进而判断两个圆的公切线条数 （2）由（1）可知两个圆是内切关系，进而将两个圆直接作差即可得到两个圆的公切线 【详解】（1），圆心，半径； ，圆心，半径， ， 所以两圆内切，只有一条公切线. （2）与 ， 两圆方程相减得：，化简即为：， 所以两圆公切线直线方程：. 1．（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先要将圆的方程化为标准方程，然后求出两圆的圆心距，再与两圆半径之和、半径之差作比较，根据比较结果来确定两圆的位置关系，进而得出公切线的条数. 【详解】将圆的方程化为标准方程, 圆，将其配方可得. 此时圆的圆心坐标为，半径. 圆，其圆心坐标为，半径. 根据两点间距离公式，两圆的圆心距. 两圆半径之和，两圆半径之差. 因为，所以两圆相交. 当两圆相交时，公切线的条数为条. 故选：B. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆和圆，则圆和圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先判断圆与圆的位置关系，再求解公切线条数即可. 【详解】我们将圆的一般方程化为标准方程，得到， 故它的圆心为，半径， 由题意得，半径， 则由两点间距离公式得， 故两圆圆心距为5，满足， 故两圆外切，圆和圆的公切线条数为3，故C正确. 故选：C 3．（22-23高二上·广东·期末）已知点，，为平面上的动直线，点A，B到直线的距离分别为1，3，则这样的直线有 条． 【答案】4 【分析】将题意转化为求两圆的公切线条数即可得结果. 【详解】到点A的距离为1的直线即该直线与以A为圆心，1为半径的圆相切； 到点B的距离为3的直线即该直线与以B为圆心，3为半径的圆相切； 由于，即两圆相离，如图所示，故公切线的条数为4条， 即点A，B到直线的距离分别为1，3的直线有4条， 故答案为：4. 4．（23-24高二上·江苏宿迁·阶段练习）已知圆与圆恰好有三条公切线，点，直线与圆交于点． (1)求实数的值； (2)证明：轴平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意判断两圆的位置关系，列式即可求得答案； （2）联立直线和圆的方程，求得交点坐标，即可求得，即可证明结论. 【详解】（1）化圆为， 则圆心坐标为，半径为2． 由题意圆与圆恰好有三条公切线， 则两圆外切，则，解得； （2）证明：联立，得， 解得或．不妨设，， ∴， ∴直线，的倾斜角互补，从而，    故轴平分． 【经典例题八 圆的公切线方程】 【例1】（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程. 【详解】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 【例2】（2024高三·全国·专题练习）平面上有两个圆，它们的方程分别是和，求这两个圆的内公切线方程． 【答案】 【分析】判断出两圆外切，两圆的方程相减可得答案. 【详解】圆，圆心，半径， 圆， 其圆心，半径， ，∴这两圆外切， ∴， 可得， ∴所求的两圆内公切线的方程为：． 1．（22-23高二上·山东聊城·期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两圆的位置关系得出，进而联立两圆方程得出公切线方程. 【详解】圆：的圆心，圆：可化为 ，，则其圆心为，半径为， 因为圆与圆相内切，所以，即，故. 由，可得， 即与的公切线方程为. 故选：D 2．（多选题）（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切， 则两圆有三条公切线，如图， 的中点为两圆外切切点， 当公切线过的中点，且与垂直时， 因为，所以公切线的方程为，即； 当公切线与平行，且到公切线的距离为时， 设公切线的方程为， 所以，解得或， 所以公切线的方程为或． 综上所述，公切线的方程为或或. 故选：BCD． 3．（23-24高三下·江苏镇江·开学考试）与圆和圆都相切的直线方程是 ． 【答案】 【分析】根据题意，判断两圆的位置关系内切，联立方程组求得公切线方程. 【详解】设圆的圆心为，半径为，则，， 设圆的院系为，半径为，则，， 所以，所以两圆内切. 联立方程，解得， 所以两圆的公切线方程为. 故答案为：. 4．（2024高一·全国·课后作业）圆的方程为，圆的圆心. (1)若圆与外切，求的方程，并求公切线方程； (2)若圆与圆交于，两点，且，求圆的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】 （1）通过圆心距对于半径和，求出圆的半径，即可求出圆的方程，两圆方程相减，即得两圆内公切线的方程． （2）利用圆心距与写出的故选求出，圆到直线的距离，然后求出所求圆的半径，即可求出圆的方程． 【详解】（1） 解：圆的方程为，圆心坐标，半径为：2， 圆的圆心． 圆心距为：，圆与圆外切， 所求圆的半径为：， 圆的方程， 两圆方程相减，即得两圆内公切线的方程为． （2） 解：圆与圆交于、两点，且． 所以圆到的距离为：， 当圆到的距离为：，圆的半径为：． 圆的方程：． 当圆到的距离为：，圆的半径为：． 圆的方程：． 综上：圆的方程：或． 【经典例题九 圆的公切线长】 【例1】（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【详解】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 【例2】（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 【答案】(1)两圆相交，理由见解析； (2)，4. 【分析】（1）根据两圆方程得出圆心和半径，计算出圆心距，利用两圆相交的必要条件即可判断，相交时，将两圆的一般式方程左右分别相减，整理即得公共弦方程； （2）利用两圆外切的必要条件得出关于参数的方程，求出值，继而运用外公切线的计算公式即得.(外公切线计算公式初中已知) 【详解】（1）由圆与圆，可知两圆圆心分别为，半径为， 因,时，，因为，故两圆相交． 用圆的两边减去圆的两边即得两圆公共弦所在直线的方程为：． （2）若两圆外切，则，即，解得． 此时，，所以外公切线长为： 1．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解. 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 2．（多选题）（22-23高二下·山东青岛·开学考试）已知圆，圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．圆与圆公切线的长度为 C．圆与圆公共弦所在直线的方程为 D．圆与圆公共部分的面积为 【答案】BCD 【分析】求出两圆圆心坐标与半径，求出圆心距，即可判断A，B，两圆方程作差即可得到公共弦方程，从而判断C，求出两圆圆心到公共弦的距离，从而取出公共部分的面积，从而判断D. 【详解】解：因为圆，圆， 所以圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 所以，故圆与圆相交，即A错误； 因为两圆半径相等，则两圆公切线的长度为，故B正确 将两圆方程作差得， 所以两圆公共弦所在直线的方程为，故C正确； 因为的圆心为，半径， 所以到直线的距离为， 所以公共弦长为， 又圆心到直线的距离为， 所以圆与圆公共部分的面积为，故D正确. 故选：BCD 3．（2025高三·全国·专题练习）圆与圆的一条公切线长为 （填入一个答案即可）． 【答案】或（填一个即可） 【分析】先判断圆与圆的位置关系，即可得公切线情况，利用几何关系即可求出公切线的长. 【详解】由题意得，，，，，故两圆相离，有四条公切线．如图，    设四条公切线分别为直线、直线、直线、直线，且交于点． 由对称性可知，．连接，过作，垂足为，连接， 则四边形为矩形，所以．连接． 易知，所以．又，所以． 所以在中，，所以． 故两圆的一条公切线长为或． 故答案为：或（填一个即可）. 4．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，根据题意列出关于的方程，求得即可； （2）首先得两圆相交，进一步得所求为； （3）首先得四边形面积最小时，点的坐标，进一步即可求解. 【详解】（1）由题意，设． 圆过点，且与直线相切， ，． 圆的半径小于5， ，此时圆的半径为3，圆心为，故方程为． 圆与圆关于直线对称，圆的方程为． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为，两圆相交，有两条公切线． 又公切线段的长度等于． （3）圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 在以为直径的圆上，圆的方程为， 又圆的方程为， 两个方程相减，可得直线CD的方程为． 【拓展训练一 两圆问题】 【例1】（24-25高一下·重庆·期末）已知，若两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（    ）． A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】将两圆方程化为标准方程，根据两圆恰有一条公切线得出两圆的位置关系，进而得到满足的关系式，最后利用三角换元求出的最大值. 【详解】圆，即，圆心，半径 圆，即，圆心，半径 两圆恰有一条公切线，说明两圆内切，圆心距等于半径之差： 令，则最大值为 故选：B. 【例2】（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆，圆交于A，B两点，在第二象限． (1)求以AB为直径的圆的方程； (2)若过点的直线（斜率存在）交圆于点，交圆于点，且，求直线CD的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两圆方程相减可得直线AB的方程为，可得所求圆的圆心，再结合勾股定理求解出半径即可求解； （2）设直线CD的方程是，根据题设结合勾股定理、点到直线的距离公式建立方程求解即可. 【详解】（1）根据题意，圆，圆心为，半径为3， 圆，圆心为，半径为4， 两圆方程相减整理得，所以直线AB的方程为， 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以以AB为直径的圆的方程为． （2）在第二象限，由（1）可得， 如图，不妨设点C，D分别在圆和圆上，易知直线CD的斜率存在， 设直线CD的方程是，即， 则点到直线CD的距离为， 点到直线CD的距离为， 因为，所以，解得， 所以直线CD的方程为，即． 1．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【分析】由题意可得圆心位于直线上，根据圆的方程写出圆心与半径，结合圆与圆的位置，可得答案. 【详解】圆关于直线对称， 圆心在直线上，，， 圆，即，圆心为，半径为． 圆的标准方程是，圆心，半径， 所以， 所以圆与圆的位置关系是相交． 故选：B. 2．（多选题）（22-23高二下·福建泉州·期末）已知圆与轴相切，且在直线上，圆，若圆与圆相切，则圆的半径长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】设圆的方程为，由条件方程求解即可. 【详解】设圆的方程为，因为圆与轴相切，且在直线上， 所以，即，所以圆的方程为或， 又圆的圆心为，半径为1， 当圆与圆外切时，或（舍去）， 解得或； 当圆与圆内切时，或， 解得或（舍去）； 综上，圆的半径长可能是、或2. 故选：BCD 3．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）过点的动直线与圆交于两点，过点分别作圆的切线，若与交于点，则的最小值 ． 【答案】 【分析】首先设，圆的圆心，得到为直径的圆的方程为，从而得到直线的方程为，即可得到点在直线上，再利用点到直线的距离即可得到答案. 【详解】设，圆的圆心，如图所示： 则为直径的圆的方程为， 即， 由平面几何的知识知直线的方程为圆与圆的公共弦所在直线方程， 从而把圆和圆的方程相减得直线的方程为， 在直线上，代入得 点在直线上， 则的最小值为圆心到直线的距离， 故答案为： 4．（24-25高二上·天津·期中）已知圆，圆. (1)试判断圆与圆是否相交，若相交，求两圆公共弦所在直线的方程，若不相交，说明理由； (2)若直线与圆交于，两点，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求实数的值. 【答案】(1)相交， (2)或 【分析】（1）将两个圆化成标准方程，再判断圆心距和半径间的距离的关系即可得到两圆相交，两个圆相减可以得到公共弦的方程； （2）由题意可知，所以，联立直线和圆的方程得到韦达定理，代入即可求解. 【详解】（1）圆化成标准方程为,圆心,半径. 圆化成标准方程为,圆心,半径. 由于,故两圆相交. 两圆方程作差得， 即公共弦所在直线的方程为. （2）设， 将代入, 得. 整理得, 所以, 所以. 由题意得，即，可得, 所以,即, 解得或. 【拓展训练二 圆的公切线相关问题】 【例1】（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）圆，若两圆的公切线恰有3条，则 （    ） A．4 B．6 C．16 D．36 【答案】C 【分析】根据有3条公切线，得两圆外切，从而，解出的值即可. 【详解】因为是圆，所以， 因为两圆的公切线恰有3条，所以两圆外切， 因为，所以，解得， 故选：C. 【例2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）由两圆外切，得两圆圆心之间的距离等于两圆半径的和，从而求出的值； （2）由两圆内切，得到两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，求解得出的值；由两圆心连线与两圆公切线垂直，根据已知两圆心连线的斜率求出两圆公切线的斜率，设出切线方程，再根据切线的性质求解未知量的值. 【详解】（1）由题意，圆：，可化为： 圆：，可化为：， 可得圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆相外切时，可得， 即， 解得， 所以时，两圆外切； （2）由（1）知，圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆内切时，可得， 即， 解得， 因为， 可得两圆公切线的斜率是， 设切线方程为，即 则圆心到切线的距离等于圆的半径， 即，解得， 当时，直线与圆：相交，舍去， 故所求公切线方程为，即． 1．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知圆，圆，若两圆的公切线恰有四条，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设两圆相离，圆心且半径，圆心且半径，利用求参数范围. 【详解】由两圆的公切线恰有四条，即两圆相离， 对于，圆心，半径， 对于，圆心，半径， 所以，则，即或. 故选：D 2．（多选题）（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点， 当直线过的中点，且与垂直时， 因为，所以直线的方程为，即； 当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为， 所以，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：ABC． 3．（2023·湖北·模拟预测）已知圆与圆有三条公切线，则 ． 【答案】或 【分析】 根据两圆有三条公切线可知两圆外切，然后由两圆心距等于两半径之和列式，分类讨论可得. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆有三条公切线，所以两圆外切， 所以 即 当时，，即 解得或（舍去） 当时，，即 解得或（舍去） 当时，，即 解得（舍去） 综上，或 故答案为：或 4．（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知圆M经过，两点，且与x轴相切，圆O：. (1)求圆M的一般方程； (2)求圆M与圆O的公切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）通过求圆心和半径来求得圆的标准方程，再转化为一般方程. （2）利用公共切线斜率与圆心连线斜率相等，再利用圆心到直线距离等于半径求解即可. 【详解】（1）由题意设圆心为， ，得， 故圆心为，， 圆M的标准方程为：， 圆M的一般方程为：. （2） 由于圆M和圆O的半径均为2， 公切线与OM平行，则，设公切线方程为， 则，得或， 故公切线方程为或. 1．（22-23高二上·四川内江·期中）已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出圆关于轴的对称圆，结合图形分析即可得. 【详解】记圆关于轴的对称圆为，点关于轴的对称点为， 由题知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 则， 由图可知， 当且仅当共线时取等号， 因为，所以的最小值为. 故选：B    2．（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 【答案】A 【分析】由两个圆的方程求出，再求出，利用可得答案. 【详解】，，， 由，解得，或， 则， 因为，所以四边形的面积为. 故选：A. 3．（24-25高二上·山东烟台·期中）过直线上一点P作圆的切线，，切点为A，B，当最小时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用圆切线的性质推得、、、四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. 【详解】圆的圆心，半径 ∵，是圆的两条切线， 则，且、、、四点共圆， ∴，即， ∵，所以， 当最小，即直线时，取得最小值， 此时直线方程为，即， 联立，解得，即， 则以为直径的圆的方程为， 即， ∵圆，两圆相交， 两圆方程相减即为的方程. 故选：B. 4．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（    ）． A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】判断两圆相交，求出两圆的公共弦方程，根据圆的弦长的几何求法，即可求得答案. 【详解】由题意知圆，即圆， 圆心为，半径， 圆，即圆， 圆心为，半径， 则，即两圆相交， 将圆和圆的方程相减， 可得直线的方程为， 则到直线的距离为， 故弦的长为， 故选：A 5．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知圆，圆，若圆与圆恰有三条公切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，两圆外切，根据圆与圆的位置关系可得出关于的等式，解之即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切，且， 由题意可得，即，解得. 故选：B. 6．（多选题）（24-25高二上·河北唐山·期中）已知圆与圆交于两点，则（    ） A．圆与圆有两条公切线 B．直线的方程为 C． D．线段的垂直平分线的方程为 【答案】ABD 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，进而判断圆的位置关系确定切线条数，两圆方程作差求相交弦方程，应用几何法求相交弦长，垂直关系求斜率并应用点斜式求直线方程. 【详解】由，则圆心，半径， 由，则圆心，半径， 所以，即，故两圆相交， 所以圆与圆有两条公切线，A对； 两圆作差有，整理得，B对； 由到的距离，则，C错； 由B知，则线段的垂直平分线的斜率， 故线段的垂直平分线的方程为，D对. 故选：ABD 7．（多选题）（24-25高二上·甘肃白银·期中）已知圆：与圆：，则下列结论正确的是（   ） A．若圆与圆外切，则或 B．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 C．若圆与圆关于点对称，则 D．当时，对任意的，曲线W：恒过圆与圆的交点 【答案】ABD 【分析】对于A，根据两圆外切得圆心距等于半径之和，即可列式求解； 对于B，两圆的方程相减即可得公共弦所在直线的方程； 对于C，由两圆关于点对称得两圆心关于点对称，根据中点坐标公式，即可求解； 对于D，根据过两圆交点的圆系方程即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径．若圆与圆外切，则，解得或，A正确． 当时，圆：，圆：，将两圆的方程作差可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，B正确． 若圆与圆关于点对称，则解得，C错误． 当时，圆：，圆：， 则，所以对任意的，曲线W恒过圆与圆的交点，D正确． 故选：ABD. 8．（多选题）（24-25高二上·吉林长春·期中）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则下列判断正确的是（    ） A．两圆的相交弦所在直线方程为 B．两圆的公共弦长为 C．经过A，B两点，且过原点的圆的方程为 D．P为上任意一点，Q为上任意一点，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】对A，联立两圆方程，求出两圆的相交弦所在直线方程判断；对B，求出圆心到直线的距离，进而求得两圆的公共弦长判断；对C，设经过，两点，且过原点的圆的方程为，求出代回求得方程判断；对D，的最大值为，求出判断选项D. 【详解】对于A，由，得， 所以两圆的相交弦所在直线方程为，故A正确； 对于B，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 则两圆公共弦长为，故B正确； 对于C，经过，两点的圆的方程可设为， 即，因为此圆过原点， ，解得， 所以经过，两点，且过原点的圆的方程为，故C错误； 对于D，圆的圆心为，半径为，所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 9．（多选题）（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知圆与圆，下列选项正确的有（   ） A．若，则两圆外切 B．若，则直线为两圆的一条公切线 C．若，则两圆公共弦所在直线的方程为 D．若，则两圆公共弦的长度为 【答案】ABD 【分析】根据两圆外切的条件可判断A，根据切线定义判断B，根据两圆的公共弦的求法判断C，求得公共弦长判断D. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 由圆，可得圆心为， 若，两圆心间距离为，即两圆心间距离等于两圆半径之和，故A正确； 若，则两圆心到距离分别为，，即两圆心到距离分别为圆的半径，故B正确； 若，则，又， 两圆的方程相减得两圆的公共弦所在直线方程为，故C错误； ，由选项C可知两圆的公共弦所在直线方程为， 所以到直线的距离为， 所以弦长为，故D正确. 故选：ABD. 10．（多选题）（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）已知圆，．则下列说法正确的是（    ） A．当时，圆与圆有4条公切线 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】ABD 【分析】根据圆心距与半径间的关系判断各项圆与圆的位置关系，结合点线距离与半径大小判断直线与圆的关系，相交情况下两圆作差求公共弦方程. 【详解】由题设且半径，且半径，故， 当时，，即两圆相离，故有4条公切线，A对； 当时，是圆切线，又到的距离为，即是圆的切线，B对； 当时，，即两圆相离，C错； 当时，，即两圆相交，故有公共弦， 将两圆方程作差得，整理得，即为，D对. 故选：ABD 11．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知圆和圆，则的公切线共有 条. 【答案】2 【分析】先判断两圆的位置关系，得到公切线的条数即可． 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为1， 的圆心坐标为，半径为2， 则圆心距为， 故两圆相交，则两圆的公切线的条数是2条. 故答案为：2 12．（22-23高二·全国·课堂例题）已知圆O1：x2＋y2＝2和O2：(x－3)2＋y2＝5在第一象限内的公共点为A，过点A的直线分别交圆O1，O2于C，D两点(C，D异于点A)，且，则直线CD的斜率为 ． 【答案】5 【分析】联立两圆的方程，可得A(1，1)，设点D(x0，y0)，可得AD的中点为，结合题意列出斜率满足的关系求解即可. 【详解】联立方程得解得或，又点A在第一象限，则A(1，1). 设点D(x0，y0)，又，所以D为AC的中点，设AD的中点为， 此时，得，又，则可得，则直线CD的斜率为5． 故答案为：5 13．（2025·安徽安庆·二模）已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 . 【答案】9 【分析】法一：准确画图，可得四边形是边长为3正方形，进而求得其面积； 法二：将两圆方程做差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系即可求得，利用两点间距离公式求得，进而求得四边形的面积. 【详解】由已知，圆，圆， 圆心，半径，圆心，半径， 法一：如图，准确画图，容易发现四边形是边长为3正方形，其面积为9； 法二：将两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程为： 到距离为，所以，即， 又， 所以，四边形的面积. 故答案为：9. 14．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆与圆有条公切线，则实数的取值是 . 【答案】 【分析】根据条件得到圆与圆外切，再利用圆与圆的位置关系，即可求解. 【详解】因为圆与圆有条公切线，所以圆与圆外切， 又圆的圆心为，半径为，的圆心为，半径为， 所以，得到，又，所以， 故答案为：. 15．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知圆和，则圆与圆的所有公切线中斜率的最大值为 . 【答案】 【分析】根据圆心和半径判断两圆为外切，结合图形可得内公切线时斜率最大，根据垂直关系即可求解. 【详解】的圆心和半径分别为，的圆心和半径分别为， 由于，因此两圆外切，有3条公切线， 作出两圆的位置关系图如下： 由图可知：外公切线一条平行于轴，斜率为0，一条斜率为负， 而内公切线的斜率为正，故斜率最大， 由于,故内公切线的斜率为, 故答案为： 16．（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）已知圆与圆的相交于两点. (1)求线段的长度； (2)若圆经过圆与圆的交点，且圆心在直线上，求圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立两圆的方程可解得交点坐标，即可根据点点距离求解长度， （2）根据待定系数法即可列方程求解. 【详解】（1）联立两圆的方程可得， 将与联立可得， 解得或， 不妨设，则 （2）设圆的方程为， 由题意可得，解得， 所以圆的方程为 17．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，已知圆和点，由圆O外一点向圆O引切线PQ，Q为切点，且.    (1)求证：. (2)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试求出半径最小的圆的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理，结合两点间距离公式即可求解； （2）根据圆心到直线的距离可得所求圆的半径，由求出圆心坐标，即可得解. 【详解】（1）连接OP.   为圆O的切线，. 在中，.又， ，即， 整理，得，. （2）由（1）知，则点P在直线上移动. 圆心O到直线的距离， 此时与直线垂直，则. 若以点P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，则半径最小的圆与圆O相外切， 此时所求圆的半径，. 由，解得，则得， 所求圆的方程为. 18．（24-25高二上·河北唐山·期中）已知圆与圆． (1)若圆与圆相外切，求的值． (2)若，试求： ①圆与圆所得的公共弦长； ②经过两圆与圆的交点且与轴相切的圆的方程． 【答案】(1) (2)①  ②或 【分析】（1）求出两圆的圆心距，再由两圆外切的性质求出. （2）①求出两圆公共弦所在的直线方程，利用圆的弦长公式求出弦长；②求出直线的方程，设出圆心坐标，借助①中弦长及切线建立方程求解. 【详解】（1）圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为，则， 由圆与圆相外切，得，所以. （2）①当时，圆，，圆与圆相交， 两圆方程相减得，点到直线距离为， 所以圆与圆所得的公共弦长为； ②直线的方程为，即， 依题意，过两圆与圆的交点的圆的圆心在直线上，设圆心， 点到直线距离，圆的半径为， 由轴与圆相切，得，整理得， 解得或，当时，点，半径为1，方程为； 当时，点，半径为5，方程为， 所以圆的方程为或. 19．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，过作的两条切线，为切点，求切点弦所在直线方程． 【答案】 【分析】连接，根据已知求出相应线段的长度，判断出为两个圆的公共弦所在直线，求出即可. 【详解】连接，如图所示， 中，，， 又因为为圆的切线，所以， 于是，同理， 即在以为圆心，4为半径的圆上, 所以有， 所以是和的公共弦， 联立 两式相减得所在直线的方程为： ，即. 20．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． (1)求线段AB的中点P的轨迹的方程； (2)设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，分别设出点与点的坐标，由中点坐标公式结合圆的方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，先得到两圆的公共弦方程，再由弦长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设点P的坐标为，点A的坐标为， 由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以，， 于是有①， 因为点A在圆上运动，即：②， 把①代入②，得，整理，得， 所以点P的轨迹的方程为． （2）将圆与圆的方程相减得： ， 由圆的圆心为，半径为1， 且到直线的距离， 则. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.7 圆与圆的位置关系重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 判断圆与圆的位置关系 题型二 求两圆的交点坐标 题型三 由圆的位置关系确定参数或范围 题型四 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 题型五 相交圆的公共弦方程 题型六 两圆的公共弦长 题型七 圆的公切线条数 题型八 圆的公切线方程 题型九 圆的公切线长 拓展训练一 两圆问题 拓展训练二 圆的公切线相关问题 知识点一：圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含.其中，外离与内含统称为相离，外切与内含统称为相切. 2.圆与圆的位置关系的判断 （1）几何法 若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d． 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 2.代数法 设圆:，圆: 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ⑴圆与圆相交； ⑵圆与圆相切（内切或外切）； ⑶圆与圆相离（内含或外离） 【知识剖析】 比较两种方法，几何法避免了繁琐的计算，并与初中学过的平面几何知识有机地联系起来，是更常用的方法. 【即时训练】 1．（24-25高二下·河南濮阳·期末）已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24高二上·河北邢台·期中）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，圆C与圆外切，写出一个圆C的标准方程： ． 知识点二：两圆的公切线 两圆的公切线是指与两圆都相切的直线,可分为外公切线和内公切线.两圆的公切线有如图所示的5种情况: (1)外离时,有4条公切线,分别是2条外公切线,2条内公切线; (2)外切时,有3条公切线,分别是2条外公切线,1条内公切线; (3)相交时,有2条公切线,都是外公切线; (4)内切时,有1条公切线; (5)内含时,无公切线. 【即时训练】 1．（2024高三·北京·专题练习）已知圆与圆，，分别为圆和圆上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．过点作圆的切线有且仅有1条 B．不存在实数，使得圆和圆恰有一条公切线 C．若圆和圆恰有3条公切线，则 D．若的最小值为1，则 2．（2023高三·全国·专题练习）已知圆与圆恰有两条公切线，则满足题意的一个的取值为 ；此时公切线的方程为 . 知识点三：两圆的公共弦 1.两圆公共弦所在的直线方程 　　两圆相交时,有一条公共弦,如图所示,设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,① 圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.② ①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③ 若圆C1与圆C2相交,则③为直线方程,设P(x0,y0)为圆C1与圆C2的交点,则点P(x0,y0)满足++D1x0+E1y0+F1=0和++D2x0+E2y0+F2=0,所以(D1-D2)x0+(E1-E2)y0+F1-F2=0. 即点P(x0,y0)满足直线方程,故P(x0,y0)在③所对应的直线上,③表示过两圆C1与C2交点的直线,即公共弦所在直线的方程. 【即时训练】 1．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东东莞·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 . 【经典例题一 判断圆与圆的位置关系】 【例1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）圆和与圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【例2】（23-24高二上·陕西西安·期中）已知圆：和圆：. (1)判断圆和圆的位置关系； (2)过圆的圆心作圆的切线，求切线的方程. 1．（24-25高三上·云南文山·期末）圆与圆的位置关系为（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 2．（多选题）（24-25高二下·山西·期中）定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值.已知是圆上的动点，圆，则的取值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024高二下·上海·专题练习）已知点在圆上运动，若对任意点，在直线上均存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是 ． 4．（24-25高二上·青海海南·期中）已知圆W经过，，三点． (1)求圆W的标准方程； (2)判断圆与圆W的位置关系． 【经典例题二 求两圆的交点坐标】 【例1】（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）已知圆的圆心为，且经过圆：与圆：的交点．则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）判断圆与圆的位置关系． 1．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆C的圆心在直线上，并且圆C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏南京·期中）平面直角坐标系xOy中，P为圆C1：上的动点，过点P引圆：的切线，切点为T，则满足的点P有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2024高二·全国·专题练习）已知圆，圆，则过圆与圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为 . 4．（2024高二·江苏·专题练习）已知圆与圆相交于两点． (1)求公共弦AB所在的直线方程； (2)求圆心在直线AB上，且经过A，B两点的圆的方程； (3)求经过A，B两点且面积最小的圆的方程． 【经典例题三 由圆的位置关系确定参数或范围】 【例1】（22-23高三上·云南·开学考试）若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知圆与圆． (1)若圆与圆有公共点，求正实数的取值范围； (2)求过点且与圆相切的直线的方程． 1．（2025·浙江宁波·三模）已知点，到同一直线的距离分别为2，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2024·山西阳泉·三模）已知圆，若圆上仅存在一点使，则正实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知圆，圆，如果这两个圆有公共点，则实数取值范围是 . 4．（24-25高二上·上海·期中）已知圆，其中． (1)如果圆与圆外切，求的值； (2)如果直线与圆相交所得的弦长为，求的值． 【经典例题四 由圆与圆的位置关系确定圆的方程】 【例1】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C．=16 D． 【例2】（24-25高二上·江苏·期中）已知圆经过点，且与圆相切于点. (1)求圆的方程； (2)过点的直线交圆于M，N两点，且，求直线的方程. 1．（23-24高一下·广西桂林·期中）以圆C1：与圆C2：的公共弦为直径的圆的方程为（  ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·山东济南·期末）写出一个同时满足下列条件①②③的圆的标准方程： . ①圆心在轴上；②与轴相切；③与圆相交. 4．（24-25高二上·四川乐山·期末）已知圆C的方程为. (1)求圆C关于直线对称的圆的方程； (2)若点在圆C上运动，求的最大值和最小值. 【经典例题五 相交圆的公共弦方程】 【例1】（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）过直线上一动点作圆的两条切线，切点分别为.当点运动时，直线AB经过定点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上． (1)求圆的方程； (2)圆与圆：相交于两点，求两圆的公共弦的直线方程． 1．（23-24高三下·全国·开学考试）圆与圆交于两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2024·湖南长沙·模拟预测）若圆与圆交于A，B两点，则下列选项中正确的是（    ） A．点在圆内 B．直线的方程为 C．圆上的点到直线距离的最大值为 D．圆上存在两点P，Q，使得 3．（24-25高二上·吉林·期末）已知圆：和圆：交于A，B两点，则直线的方程是 . 4．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知圆：，过点的直线交圆于，两点． (1)若，求此时直线的方程； (2)过，分别作圆的切线，，设直线和的交点为，求证：点在定直线上． 【经典例题六 两圆的公共弦长】 【例1】（23-24高一上·湖南邵阳·期末）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·河北廊坊·期中）已知圆与圆． (1)求证：圆C1与圆C2相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长； 1．（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）已知圆和交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知圆与圆相交，则相交的公共弦长为（    ） A． B． C．5 D．2 3．（23-24高三上·广东汕尾·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则 4．（22-23高二上·广东肇庆·期中）已知圆，圆． (1)若圆与圆外切，求实数的值； (2)设时，圆与圆相交于、两点，求． 【经典例题七 圆的公切线条数】 【例1】（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）圆和圆的公切线有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【例2】（23-24高二上·天津红桥·期中）已知两圆和. (1)分析两圆位置关系并确定公切线数量； (2)求公切线所在直线方程. 1．（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆和圆，则圆和圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（22-23高二上·广东·期末）已知点，，为平面上的动直线，点A，B到直线的距离分别为1，3，则这样的直线有 条． 4．（23-24高二上·江苏宿迁·阶段练习）已知圆与圆恰好有三条公切线，点，直线与圆交于点． (1)求实数的值； (2)证明：轴平分． 【经典例题八 圆的公切线方程】 【例1】（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【例2】（2024高三·全国·专题练习）平面上有两个圆，它们的方程分别是和，求这两个圆的内公切线方程． 1．（22-23高二上·山东聊城·期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·江苏镇江·开学考试）与圆和圆都相切的直线方程是 ． 4．（2024高一·全国·课后作业）圆的方程为，圆的圆心. (1)若圆与外切，求的方程，并求公切线方程； (2)若圆与圆交于，两点，且，求圆的方程. 【经典例题九 圆的公切线长】 【例1】（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【例2】（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 1．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 2．（多选题）（22-23高二下·山东青岛·开学考试）已知圆，圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．圆与圆公切线的长度为 C．圆与圆公共弦所在直线的方程为 D．圆与圆公共部分的面积为 3．（2025高三·全国·专题练习）圆与圆的一条公切线长为 （填入一个答案即可）． 4．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 【拓展训练一 两圆问题】 【例1】（24-25高一下·重庆·期末）已知，若两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（    ）． A． B． C．2 D． 【例2】（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆，圆交于A，B两点，在第二象限． (1)求以AB为直径的圆的方程； (2)若过点的直线（斜率存在）交圆于点，交圆于点，且，求直线CD的方程． 1．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 2．（多选题）（22-23高二下·福建泉州·期末）已知圆与轴相切，且在直线上，圆，若圆与圆相切，则圆的半径长可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）过点的动直线与圆交于两点，过点分别作圆的切线，若与交于点，则的最小值 ． 4．（24-25高二上·天津·期中）已知圆，圆. (1)试判断圆与圆是否相交，若相交，求两圆公共弦所在直线的方程，若不相交，说明理由； (2)若直线与圆交于，两点，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求实数的值. 【拓展训练二 圆的公切线相关问题】 【例1】（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）圆，若两圆的公切线恰有3条，则 （    ） A．4 B．6 C．16 D．36 【例2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 1．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知圆，圆，若两圆的公切线恰有四条，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·湖北·模拟预测）已知圆与圆有三条公切线，则 ． 4．（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知圆M经过，两点，且与x轴相切，圆O：. (1)求圆M的一般方程； (2)求圆M与圆O的公切线方程. 1．（22-23高二上·四川内江·期中）已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 3．（24-25高二上·山东烟台·期中）过直线上一点P作圆的切线，，切点为A，B，当最小时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（    ）． A． B． C．4 D．2 5．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知圆，圆，若圆与圆恰有三条公切线，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（24-25高二上·河北唐山·期中）已知圆与圆交于两点，则（    ） A．圆与圆有两条公切线 B．直线的方程为 C． D．线段的垂直平分线的方程为 7．（多选题）（24-25高二上·甘肃白银·期中）已知圆：与圆：，则下列结论正确的是（   ） A．若圆与圆外切，则或 B．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 C．若圆与圆关于点对称，则 D．当时，对任意的，曲线W：恒过圆与圆的交点 8．（多选题）（24-25高二上·吉林长春·期中）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则下列判断正确的是（    ） A．两圆的相交弦所在直线方程为 B．两圆的公共弦长为 C．经过A，B两点，且过原点的圆的方程为 D．P为上任意一点，Q为上任意一点，则的最大值为 9．（多选题）（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知圆与圆，下列选项正确的有（   ） A．若，则两圆外切 B．若，则直线为两圆的一条公切线 C．若，则两圆公共弦所在直线的方程为 D．若，则两圆公共弦的长度为 10．（多选题）（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）已知圆，．则下列说法正确的是（    ） A．当时，圆与圆有4条公切线 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 11．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知圆和圆，则的公切线共有 条. 12．（22-23高二·全国·课堂例题）已知圆O1：x2＋y2＝2和O2：(x－3)2＋y2＝5在第一象限内的公共点为A，过点A的直线分别交圆O1，O2于C，D两点(C，D异于点A)，且，则直线CD的斜率为 ． 13．（2025·安徽安庆·二模）已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 . 14．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆与圆有条公切线，则实数的取值是 . 15．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知圆和，则圆与圆的所有公切线中斜率的最大值为 . 16．（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）已知圆与圆的相交于两点. (1)求线段的长度； (2)若圆经过圆与圆的交点，且圆心在直线上，求圆的方程. 17．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，已知圆和点，由圆O外一点向圆O引切线PQ，Q为切点，且.    (1)求证：. (2)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试求出半径最小的圆的方程. 18．（24-25高二上·河北唐山·期中）已知圆与圆． (1)若圆与圆相外切，求的值． (2)若，试求： ①圆与圆所得的公共弦长； ②经过两圆与圆的交点且与轴相切的圆的方程． 19．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，过作的两条切线，为切点，求切点弦所在直线方程． 20．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． (1)求线段AB的中点P的轨迹的方程； (2)设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$