专题3.2 空间向量与向量运算重难点题型讲义（2个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版选修第一册）

专题3.2 空间向量与向量运算重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 空间向量的有关概念 题型二 空间向量的加减运算 题型三 空间向量加减运算的几何表示 题型四 空间向量的数乘运算 题型五 空间向量数乘运算的几何表示 题型六 空间向量数量积的概念辨析 题型七 求空间向量的数量积 题型八 空间向量数量积的应用 拓展训练一 空间向量的运算问题 拓展训练二 空间向量的性质、求解及应用 知识点一：空间向量的有关概念 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 【即时训练】 1．（23-24高二·全国·课后作业）给出下列命题： ①空间向量就是空间中的一条有向线段； ②在正方体中，必有； ③是向量的必要不充分条件； ④若空间向量满足，，则． 其中正确的命题的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】根据空间向量的相关概念逐项判断. 【详解】有向线段起点和终点是固定的，而空间向量是可以平移的，故①错误； 和大小一样、方向相同， 则，故②正确； 若，则和的模相等，方向不一定相同，若，则和的模相等，方向也相同，所以是向量的必要不充分条件，故③正确； 向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行，则不一定平行，故④错误. 综上所述，②③正确. 故选：B． 2．（2025高三·全国·专题练习）空间四个向量两两成等角，则其等角的余弦值是 ． 【答案】 【分析】易知正四面体中心为起点，四个顶点为向量的终点，此时空间四个向量两两成等角，再计算余弦值即可. 【详解】以正四面体的中心为向量的起点，四个顶点为向量的终点（如图36），则由正四面体的中心性质知（为正四面体外接球半径），不妨设正四面体边长为1，则， . 故答案为：. 知识点二：空间向量的数量积 1．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 2．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 【即时训练】 1．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由平面向量基本定理可得，再由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】因为点分别为棱的中点，且四面体所有棱长均为2， 则， 所以 . 故选：D 2．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）已知长方体的底面是边长为2的正方形，是的中点，则 . 【答案】4 【分析】根据空间向量的线性运算，结合数量积的运算律即可求解. 【详解】 故, 故答案为：4    【经典例题一 空间向量的有关概念】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【答案】D 【分析】根据相等向量的概念判断A；根据空间向量的概念判断B；根据空间向量模的定义判断C；根据共线向量的定义判断D. 【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此B不正确； 对于C，向量的模是一个非负实数，因此C不正确； 对于D，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，D正确. 故选：D. 【例2】（22-23高二下·江苏·课后作业）如图所示，以长方体的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， (1)试写出与相等的所有向量； (2)试写出的相反向量； (3)若，求向量的模． 【答案】(1)； (2)； (3)3. 【分析】（1）（2）利用长方体的结构特征，结合相等向量、相反向量的意义求解作答. （3）由长方体的体对角线长求法，结合向量模的意义求解作答. 【详解】（1）在长方体中，与相等的所有向量（除本身外）有，共3个. （2）的相反向量是. （3）在长方体中，连接，如图， ， 所以向量的模. 1．（24-25高二上·山东·阶段练习）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零向量的定义判断①，根据相等向量的定义判断②③，根据单位向量定义判断④. 【详解】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确； 方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误； 若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误； 空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误； 所以正确的命题只有个； 故选：D. 2．（多选题）（23-24高二下·江苏·课前预习）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 【答案】BC 【分析】根据向量相等的定义可判断A，B；根据向量的相等具有传递性，判断C；根据相反向量的含义结合零向量判断D. 【详解】A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同， 而A中向量的方向不一定相同； B为真命题，与的方向相同，模也相等，故； C为真命题，由于空间向量满足，，且向量的相等满足传递性， 故； D为假命题，零向量的相反向量仍是零向量. 故选：BC 3．（24-25高二上·上海·单元测试）给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量、满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量、、满足，，则．其中不正确的命题的序号为 ． 【答案】①② 【分析】由相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误； 对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同，②错误； 对于③，根据正方体的性质，在正方体中，向量与向量的方向相同，模也相等，则，③正确； 对于④，由向量相等关系可知，④正确． 故答案为：①②. 4．（23-24高二·全国·课后作业）如图，在长、宽、高分别为，，的长方体中，以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中． （1）单位向量共有多少个？ （2）写出模为的所有向量． （3）试写出的相反向量． 【答案】（1）8个；（2）模为的量有，，，，，，，；（3），，，. 【分析】（1）由长方体的高为1，得到长方体四条高所对应的向量，结合向量的概念与表示，即可求解； （2）由长方体的左、右两侧面的对角线长为，结合向量的表示，即可求解； （3）根据相反向量的定义，即可求得向量的相反向量. 【详解】（1）由题意，长方体的高为1，所以长方体四条高所对应的向量，，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个． （2）由长方体的左、右两侧面的对角线长为，所以模为的量有：，，，，，，，． （3）根据相反向量的定义，可得向量的相反向量为：，，，，共4个． 【经典例题二 空间向量的加减运算】 【例1】（24-25高二下·云南·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加减法则，将逐步转化为已知向量、、的线性组合. 【详解】是的中点，，又，由，. 故选：. 【例2】（22-23高二·全国·课堂例题）如图所示是一个平行六面体，化简．    【答案】 【分析】根据向量平行四边形法则运算即可； 【详解】因为底面是一个平行四边形， 所以， 又因为， 因此 1．（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）在三棱柱中， （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算向量的减法，然后向量的平行四边形法则计算，由此可得结果. 【详解】如图所示根据题意知 又因三棱柱，所以可知平面都是矩形，则， 所以， 根据向量的平行四边形法则可得 故选：C 2．（多选题）（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）空间四边形中，若，，，分别为边上的中点，则下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由空间向量的线性运算逐个判断即可 【详解】画出图形，如图所示， ∵分别为边上的中点，∴，， 对于A，； 对于B，； 对于C，; 对于D，. 故选：ACD 3．（23-24高二·甘肃武威·课后作业）在空间四边形中，连接、.若是正三角形，且为其中心，则的化简结果为 . 【答案】 【分析】取的中点，连接，可得出，利用空间向量的线性运算化简可得结果. 【详解】如图，取的中点，连接， 因为为等边的中心，为的中点，则， 故.    故答案为：. 4．（24-25高二上·天津河西·期中）如图，在平行六面体中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，用基底表示以下向量：    (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】（1）如图，连接，    则， （2）连接，则 ． （3）， （4） . 【经典例题三 空间向量加减运算的几何表示】 【例1】（24-25高二下·福建漳州·期中）如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算法则，，进而可得答案. 【详解】由已知得，， . 故 故选：A 【例2】（23-24高二上·贵州·阶段练习）如图，在棱长为4的正四面体中，是的中点，，记. (1)求的值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量的线性运算和向量基本定理求解； （2）利用空间向量的线性运算和向量数量积求解. 【详解】（1）因为是的中点，，所以， 又，所以， 则. （2）因为， 所以由正四面体的棱长为4， 可得， 故. 1．（24-25高一上·辽宁大连·期末）已知平行四边形ABCD，点E是CD的中点，点F满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量之间的大小关系，进行代换得到答案. 【详解】由于，,,由于点E是CD的中点， 所以，，，故， 故选：B. 2．（多选题）（23-24高二下·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的是（ ） A．； B．； C．； D．． 【答案】ABCD 【分析】利用向量加法的运算，对四个式子逐一计算出结果，由此得出正确选项. 【详解】对于A,； 对于B，； 对于C,； 对于D,． 故选：ABCD. 3．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近点A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点．设，，，用，，表示 ． 【答案】， 【分析】根据向量的拆分即可求解. 【详解】. 故答案为：. 4．（23-24高二上·湖北·期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点． (1)若，求的值； (2)求线段的长． 【答案】(1)0 (2) 【分析】小问1利用空间向量的线性运算即可，小问2运用空间向量线性运算结合中点的条件，建立方程，求解即可. 【详解】（1）， （2） ， ． 【经典例题四 空间向量的数乘运算】 【例1】（2024高二·全国·专题练习）如图，在四面体PABC中，E是AC的中点，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算即可求解． 【详解】因为E是AC的中点，， 所以 故选：B． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： (1)； (2). 【答案】(1)，图示见解析； (2)，图示见解析. 【分析】根据平行六面体基本性质及空间向量基本运算化简每个小题即可. 【详解】（1）， 设P是线段的中点， 则， 向量如图所示. （2）， 设Q是线段的中点， 则， 向量如图所示. 1．（24-25高二上·河南南阳·期末）如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算可得结果. 【详解】 如图，连接，连接并延长交于点，则为中点，且， ∴. ∵为的中点，∴， ∴． 故选：A. 2．（多选题）（24-25高二上·陕西安康·期中）如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的加法、减法及数乘运算化简即可逐项判断得解. 【详解】因为E，F分别为BC，CD的中点，所以由中位线性质可知，故A正确； 若可得，由图可知不共线，矛盾，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D正确. 故选：ACD 3．（24-25高二下·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则 . 【答案】 【分析】根据向量线性运算规则，用向量表示出，求出参数的值. 【详解】 在四面体中，棱，的中点分别为，，取的中点，所以，， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 4．（23-24高二上·全国·单元测试）如图所示，在平行六面体中，分成的比为，分成的比为2，设，试用表示．    【答案】 【分析】结合图象，运用空间向量加法和数乘向量的运算律求解即可. 【详解】连接，则，由题知是平行四边形， 故，因为分成的比为， 所以． 又分成的比为2， 故 ， 则．    【经典例题五 空间向量数乘运算的几何表示】 【例1】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）三棱柱中，分别是的中点，设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算求解． 【详解】， 故选：A． 【例2】（24-25高二上·江苏无锡·期中）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，用向量 表示. 【答案】；. 【分析】根据是的中点结合平行四边形法则可表示出；根据条件先表示出，根据表示出，结合线段长度关系表示出，由可求结果. 【详解】因为是的中点，所以，所以； 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以. 1．（24-25高二上·北京昌平·期末）已知四面体中，设，，，为的中点，为的中点，则用向量可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算的几何表示可得. 【详解】 如图，， 故选：A 2．（多选题）（23-24高二上·河南开封·期末）已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空间向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】对于A，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以，正确； 对于B，，错误； 对于C，，正确； 对于D，，错误. 故选：AC 3．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在四面体ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，则 .    【答案】 【分析】利用空间向量的加减运算法则求解. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 4．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，在四面体中，点、、分别是棱、、的中点，点、、分别是棱、、的中点，点是线段的中点．试判断下列各组中的三点是否共线：    (1)、、； (2)、、． 【答案】(1)、、三点共线，证明见解析； (2)、、三点共线，证明见解析. 【分析】（1）用分别表示即可求解； （2）用分别表示即可求解. 【详解】（1） , , 所以，所以、、三点共线. （2） , , 所以，所以、、三点共线. 【经典例题六 空间向量数量积的概念辨析】 【例1】（2024·上海长宁·一模）已知非零空间向量和，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据空间向量平行与垂直的定义判断即可. 【详解】若，则或与不共线，故选项A与B错误； 若，则，故选项C错误，选项D正确. 故选：D. 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）如图，在长方体中： (1)哪些棱所在直线与直线互为异面直线且互相垂直？ (2)若，分别求向量与，，的夹角. 【答案】(1)； (2)具体见解析. 【分析】（1）由长方体的性质及异面直线的定义即可求得答案； （2）由空间向量夹角的定义并结合线面垂直的性质定理即可求得答案. 【详解】（1）在长方体中，易知底面ABCD，则，，而，所以，于是与直线互为异面直线且互相垂直的直线有. （2）易知，而，所以. 因为，所以与的夹角为； 因为，所以与的夹角为； 因为⊥平面，平面，所以，所以与的夹角为. 1．（2025高三·全国·专题练习）在三棱锥中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得到，由数量积的定义即可求解； 【详解】 由，得，所以，即， 于是， 所以． 故选：C 2．（多选题）（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）若、、是空间任意三个向量，，下列关系中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据数量积的运算律判断A、B，根据向量数乘的运算律判断C，利用反例说明D. 【详解】对于A：，则表示与向量共线的一个向量， ，则表示与向量共线的一个向量， 故A错误； 对于B：，，故B错误； 对于C：根据向量数乘的分配律知，故C正确； 对于D：若与不共线时，不存在使得， 且当，时与共线，但是也不存在使得，故D错误； 故选：ABD 3．（22-23高二上·广东佛山·期中）已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则 【答案】/ 【分析】由题意可得：，根据空间向量的数量积运算求解. 【详解】由题意可知：，且， 因为M为BC中点，N为AD中点，    则， 所以 . 故答案为： 4．（23-24高二·全国·课后作业）如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，利用向量数量积的定义及运算法则可得，知向量在向量方向上投影数量为，进而求得其取值范围. 【详解】由已知E为棱上的动点，设， 因为， 所以 ， 所以向量在向量方向上投影数量为， 又，， ， 所以向量在向量方向上投影的数量的取值范围为 故答案为： 【经典例题七 求空间向量的数量积】 【例1】（24-25高二下·甘肃白银·期末）设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先表示出，然后利用数量积公式计算. 【详解】 . 故选：B 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.若E，F分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据空间向量的数量积的定义求解各小题即可. 【详解】（1）由题意，E，F分别是，的中点， 则. （2）. （3）. 1．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到，，结合向量的数量积的定义与运算，即可求得的值，得到答案. 【详解】如图所示，因为分别为的中点，可得，， 又因为四面体为正四面体，且棱长为， 可得. 故选：D. 2．（多选题）（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知四面体的所有棱长都等于分别是棱的中点.则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用空间数量积运算法则计算出ABC三个选项中的结果；作出辅助线，证明出⊥，得到即可判断D. 【详解】由题意得：四面体为正四面体， 故， 故，A错误； 因为分别是的中点， 所以，，且，， 故，B正确； ，C正确； 取的中点，连接， 因为均为等边三角形， 所以⊥，且⊥， 因为，且平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以⊥，⊥， 故，所以 ，D错误. 故选：BC 3．（24-25高二下·河南开封·期末）已知四面体的所有棱长都等于，、分别是的中点，则 ． 【答案】/ 【分析】用、、表示，结合空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】如下图所示： 由题意可得， 因为、分别为、的中点，所以，， 故， 因此， . 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知长方体同一顶点处的一组棱长分别为是其中心，过点的直线交长方体的表面于两点，另有一点是表面上的动点，求的取值范围. 【答案】 【分析】插入分点，则有，分析可知，，即可求解. 【详解】 如图所示，插入分点，则有， 由长方体同一顶点处的一组棱长分别为，是其中心， 所以，，得， 所以. 【经典例题八 空间向量数量积的应用】 【例1】（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知异面直线、所成角为，、分别为直线、的方向向量，则以下结论中，一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合异面直线所成角的范围，由空间向量来求异面直线所成角即可． 【详解】依题意，得， 则， 故选：D 【例2】（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量数量积的运算律求解； （2）利用空间向量的数量积的运算律以及夹角公式求解. 【详解】（1） 因为, 所以 . （2）, , , , 所以, 因为直线与所成角， 所以直线与所成角的余弦值为. 1．（24-25高二下·重庆·期中）如图，已知平行四边形且，沿对角线将折起，当二面角为时，则与之间距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算及数量积公式计算模长即可. 【详解】已知平行四边形，，且， ，， 二面角为，，， ， ， 则，即与之间距离为. 故选：D． 2．（多选题）（2025高二·全国·专题练习）已知正四面体的棱长为，空间内任一点满足，则下列关于的结论正确的是（    ） A．最小值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】BC 【分析】设的中点为，连接，由，可得点在以为球心，以1为半径的球面上．又设，由题可得，据此可得答案. 【详解】设的中点为，连接，则，则， 即点在以为球心，以1为半径的球面上． 如图，因为，所以． 因为正四面体的棱长为，所以，，又， 所以．设， 则． 因为，所以． 故选：BC 3．（23-24高二上·天津·期中）如图所示，在棱长均为2的平行六面体中，，点M为与的交点，则的长为 . 【答案】 【分析】可以通过向量的加法将表示为其他向量的和，再利用向量的模长公式来求解. 【详解】根据向量加法三角形法则得到，， 即，即，展开得到， ， 运用数量积公式计算得到. 因为，所以. 故答案为：. 4．（24-25高二上·广东珠海·阶段练习）如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由向量的线性运算可得，由向量的数量积的运算律可得； （2）由两边平方后可得. 【详解】（1）在平行六面体中，． 因为，，，，， 所以，， ， 则 ． （2）因为， 所以 ， 则． 【拓展训练一 空间向量的运算问题】 【例1】（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）在四面体中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用空间向量的加法减法法则，结合  线性运算的几何表示计算即可 。 【详解】在中，， 在中，， 故 . 故选：A. 【例2】（2024高二·全国·课后作业）在空间四边形中，为△的重心，分别为和的中点，试化简，并在图中标出化简结果的向量． 【答案】答案见解析. 【分析】由重心的性质，结合向量加减、数乘的几何意义，化简目标式，进而画出对应的向量即可. 【详解】∵为△的重心，是边上的中线， ∴，又， ∴. 标注的向量如图所示. 1．（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据空间向量的加法法则判断． 【详解】由正方体，空间向量的加法法则可得． ；； ；． 故选：D． 2．（多选题）（23-24高二·全国·课后作业）已知正方体，则下列各式运算结果是的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用向量加法的线性运算对四个选项逐一验证即可. 【详解】    选项A中，； 选项B中，； 选项C中，； 选项D中，. 故选：ABC. 3．（23-24高二上·全国·课后作业）光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石切成的正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比约为，则= . 【答案】 【分析】延长相交于一点，根据题设比例关系及空间向量数乘的几何意义有，，再由空间向量加法的几何意义，结合几何体即可求得目标式所表示的空间向量. 【详解】延长相交于一点，则且， 故答案为： 4．（22-23高三·全国·对口高考）如图，棱柱的底面是平行四边形，M分所成的比为2∶1，N分所成的比为1∶2，设，试将表示成的关系式．    【答案】 【分析】利用空间向量的加法、减法、数乘运算的几何意义求解即可. 【详解】连接，则， 由已知得四边形为平行四边形， 故，又， ， 所以.    【拓展训练二 空间向量的性质、求解及应用】 【例1】（23-24高一下·山西大同·期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律可求得，根据投影向量定义直接求解即可. 【详解】，，， ，， ，，. 故选：C. 【例2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知三棱锥中，底面BCD为等边三角形，，，点E为CD的中点，点F为BE的中点，若点M、N是空间中的两动点，且，，求. 【答案】4 【分析】设是正三棱锥的高（是底面正三角形的中心），分别以为轴建立空间直角坐标系，用坐标法求得在球面上，利用球心和数量积运算律可得结论． 【详解】设是正三棱锥的高（是底面正三角形的中心），连接，延长线交于， 则，，，， 显然为中点，作，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，    则，，.因为点为的中点，所以， 又点为的中点，所以.设，则由，得， 即， 化简得，所以点在以为球心，以1为半径的球上，同理点也在这个球上，又， 所以为球的直径，所以. 1．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D．与t有关 【答案】A 【分析】首先求出的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出其夹角即可. 【详解】因为向量在面上的投影向量为， 则. 因为在向量上的投影向量为， 则. 所以. 所以向量的夹角为. 故选：A. 2．（多选题）（24-25高二上·广东·期中）三棱锥中，，，，，平面与平面的夹角为，则的长度可以为（   ） A．5 B． C． D．6 【答案】BC 【分析】先以向量表示向量，再利用空间向量数量积即可求得的长度. 【详解】三棱锥中，由可得，， 则是二面角的平面角，如图， ， 而，，， ， 因为平面与平面的夹角为， 则当时，， 当时，， 所以的长度可以为，. 故选：BC. 3．（2023高二·全国·专题练习）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据线面、线线位置关系，结合投影向量的定义确定在向量上的投影向量. 【详解】四棱锥，底面是矩形，则，即， 且，由底面，底面，则， 由，面，则面， 又面，则，故向量在向量上的投影向量为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 4．（23-24高二上·宁夏·阶段练习）如图，在四面体中，，，，设.    (1)求的值； (2)已知是线段中点，点满足，求线段的长. 【答案】(1)36 (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解， （2）根据空间向量的线性，结合模长公式即可求解. 【详解】（1）由，，可得 , 所以 （2）由于是线段中点，点满足， 所以, 故, 所以, 所以 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）在三棱锥中，，，，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算，分析即得解. 【详解】 由题意，. 故选：D. 2．（24-25高二上·吉林白山·阶段练习）在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，，，则用，，表示（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据底面是正方形，E为中点，向量加法的平行四边形法则得到，而，即可求解. 【详解】如图所示根据题意知， 而, 将代入上式可求得. 故选：A      3．（24-25高二上·天津·期末）如图， 在四面体OABC中， M为棱BC的中点， 点N，P分别满足 则 （   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 4．（24-25高二上·山西大同·期中）如图，在四面体中，，且，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算即可得到结果. 【详解】由题意得，， ， ∴. 故选：C. 5．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算的长度，得到，接着利用向量数量积的几何意义：等于在上的投影向量与的数量积，逐一分析选项ABCD即可得解. 【详解】由题意得，， ∴， ∴. A.如图，过点作于点， 对于A，由向量数量积的几何意义得 ， 由于点是动点， 所以不是定值，所以不是定值，故选项A错误； 对于B，， 由于点是动点，所以不是定值，所以不是定值，故选项B错误； 对于C， ，由于不是定值，故选项C错误； 对于D，由于向量在向量上的投影向量为，所以为定值. 故选：D. 6．（多选题）（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边的中点，则下列各式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由空间向量的加法运算法则对选项一一判断即可得出答案. 【详解】易知四边形EFGH为平行四边形，所以 ，故A不成立； ，故B成立； ，故C成立； ，故D成立. 故选：BCD.      7．（多选题）（23-24高二上·青海海南·期中）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（    ） A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上 C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上 【答案】ABD 【分析】利用空间向量的数乘运算与共线定理逐项判断即可. 【详解】作出三棱柱，如图， 对于A，当时，，则， 所以点在棱上，故A正确； 对于B，当时，， 所以点在线段上，故B正确； 对于C，当时，由B知， 所以为棱的中点，故C错误； 对于D，当时，， 所以，则，即， 所以点在线段上，故D正确. 故选：ABD. 8．（多选题）（22-23高二上·全国·期中）如图，平面内的小方格均为边长是1的正方形，，均为正方形的顶点，为平面外一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，在平面内选取两个互相垂直的单位向量且，再利用空间向量的线性运算逐项计算判断作答. 【详解】在平面内选取两个互相垂直的单位向量，且， ，A正确； ，则 ，B正确； ，则 ，即，C不正确； ，则 ，D正确. 故选：ABD 9．（多选题）（24-25高二上·全国·单元测试）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A，由数量积定义可判断选项正误；对于B，由题可得，然后由数量积运算律可判断选项正误；对于C，由题可得，然后由向量模长公式可判断选项正误；对于D，由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，由题：，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，由，得，由，得 ，所以， 则 ．故C正确； 对于D，，所以，故．故D错误. 故选：ABC 10．（多选题）（24-25高二上·湖北·期末）如图，在四面体中，设，，，下列条件能证明的是（    ） A． B．，， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】依题意要证，即证，结合数量积的运算律判断A、C、D，将四面体放入长方体中，即可判断B. 【详解】因为， 要证，即证. 对A选项：由，则，所以成立，故A正确. 对B选项：将四面体放入长方体中，使与，与，与分别为相对面的对角线长， 显然与不一定垂直，如图长方体的底面不为正方形时与不垂直，故B错误. 对C选项：因为，， 即和，平方得，， 即和， 所以，所以， 即，故C正确. 对D选项：由得，即①， 由得，即②， 由①②得，所以，即，故D正确. 故选：ACD 11．（23-24高二上·全国·课后作业）在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】首先根据几何关系，转化向量再进行运算可得答案. 【详解】延长交边于点，则， 则有，， 故．    故答案为：. 12．（23-24高二上·湖北荆州·期末）如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】， 故答案为：. 13．（23-24高二上·北京·期中）三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，若，则 ． 【答案】 【分析】由题设易知△为边长为的等边三角形，若为中点，根据空间向量加减法的几何意义可得，即可求. 【详解】由题设，可得如下三棱锥的示意图，且， 又，即△为边长为的等边三角形. 若为中点，由，，则， ∴. 故答案为： 14．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在四棱柱中，，，，则 . 【答案】3 【分析】根据向量线性运算法则有，平方后利用数量积的运算求解． 【详解】由题意知，所以 ， 即， 解得，即. 故答案为：3. 15．（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为m、m，且m，则甲乙两人相距 m． 【答案】 【分析】根据题意可得，再由空间向量的模长的计算，即可求得答案. 【详解】由题意可得， 故， 而m、m，且m，水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为， 可知，又， 故， 故（m）, 故答案为： 16．（2025高二·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，、、、分别是、、、的中点． (1)化简：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)设、交于点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用空间向量的线性运算可化简； （2）证明出，即可证得结论成立； （3）分析可知为的中点，可得出，推导出，，结合空间向量的线性运算可证得结论成立. 【详解】（1）因为为的中点，所以， 所以． （2），同理得， 所以，所以四边形是平行四边形． （3）因为四边形是平行四边形，、交于点，则为的中点， 因为、分别为、的中点， 所以，． 由，可得． 17．（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【答案】证明见解析 【分析】把用基底表示后证明它们共线，再由共顶点可得三点共线． 【详解】连接，， ∵ ， ， ∴，∴， 又，∴，，三点共线．    18．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，设A是所在平面外的一点，G是的重心.求证： .    【答案】证明见解析. 【分析】连接，延长后交于点E，利用G是的重心即可得到与之间的关系. 【详解】连接，延长后交于点E，连接，    由G为的重心，可得，， 则， 则，又， 则. 19．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知空间四边形． (1)若，，求证：； (2)求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)0 【分析】（1）得，得，两式相减，化简得到答案 （2），代入提公因式化简可以得到答案 【详解】（1）因为，所以， 同理可得，即， 两式相减可得， 所以，所以． （2） ． 20．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设.    (1)用表示，并求； (2)求． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据题意，利用空间向量的线性运算法则，得到，再由向量数量积的运算公式和模的计算公式，求得的值； （2）根据题意，求得，利用数量积的计算公式，求得，进而求得的值. 【详解】（1）解：因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 . （2）解：因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以.    学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 空间向量与向量运算重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 空间向量的有关概念 题型二 空间向量的加减运算 题型三 空间向量加减运算的几何表示 题型四 空间向量的数乘运算 题型五 空间向量数乘运算的几何表示 题型六 空间向量数量积的概念辨析 题型七 求空间向量的数量积 题型八 空间向量数量积的应用 拓展训练一 空间向量的运算问题 拓展训练二 空间向量的性质、求解及应用 知识点一：空间向量的有关概念 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 【即时训练】 1．（23-24高二·全国·课后作业）给出下列命题： ①空间向量就是空间中的一条有向线段； ②在正方体中，必有； ③是向量的必要不充分条件； ④若空间向量满足，，则． 其中正确的命题的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．0 2．（2025高三·全国·专题练习）空间四个向量两两成等角，则其等角的余弦值是 ． 知识点二：空间向量的数量积 1．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 2．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 【即时训练】 1．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）已知长方体的底面是边长为2的正方形，是的中点，则 . 【经典例题一 空间向量的有关概念】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【例2】（22-23高二下·江苏·课后作业）如图所示，以长方体的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， (1)试写出与相等的所有向量； (2)试写出的相反向量； (3)若，求向量的模． 1．（24-25高二上·山东·阶段练习）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二下·江苏·课前预习）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 3．（24-25高二上·上海·单元测试）给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量、满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量、、满足，，则．其中不正确的命题的序号为 ． 4．（23-24高二·全国·课后作业）如图，在长、宽、高分别为，，的长方体中，以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中． （1）单位向量共有多少个？ （2）写出模为的所有向量． （3）试写出的相反向量． 【经典例题二 空间向量的加减运算】 【例1】（24-25高二下·云南·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高二·全国·课堂例题）如图所示是一个平行六面体，化简．    1．（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）在三棱柱中， （    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）空间四边形中，若，，，分别为边上的中点，则下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二·甘肃武威·课后作业）在空间四边形中，连接、.若是正三角形，且为其中心，则的化简结果为 . 4．（24-25高二上·天津河西·期中）如图，在平行六面体中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，用基底表示以下向量：    (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题三 空间向量加减运算的几何表示】 【例1】（24-25高二下·福建漳州·期中）如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·贵州·阶段练习）如图，在棱长为4的正四面体中，是的中点，，记. (1)求的值； (2)求. 1．（24-25高一上·辽宁大连·期末）已知平行四边形ABCD，点E是CD的中点，点F满足，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二下·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的是（ ） A．； B．； C．； D．． 3．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近点A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点．设，，，用，，表示 ． 4．（23-24高二上·湖北·期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点． (1)若，求的值； (2)求线段的长． 【经典例题四 空间向量的数乘运算】 【例1】（2024高二·全国·专题练习）如图，在四面体PABC中，E是AC的中点，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： (1)； (2). 1．（24-25高二上·河南南阳·期末）如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·陕西安康·期中）如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高二下·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则 . 4．（23-24高二上·全国·单元测试）如图所示，在平行六面体中，分成的比为，分成的比为2，设，试用表示．    【经典例题五 空间向量数乘运算的几何表示】 【例1】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）三棱柱中，分别是的中点，设，则等于（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·江苏无锡·期中）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，用向量 表示. 1．（24-25高二上·北京昌平·期末）已知四面体中，设，，，为的中点，为的中点，则用向量可表示为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·河南开封·期末）已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在四面体ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，则 .    4．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，在四面体中，点、、分别是棱、、的中点，点、、分别是棱、、的中点，点是线段的中点．试判断下列各组中的三点是否共线：    (1)、、； (2)、、． 【经典例题六 空间向量数量积的概念辨析】 【例1】（2024·上海长宁·一模）已知非零空间向量和，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）如图，在长方体中： (1)哪些棱所在直线与直线互为异面直线且互相垂直？ (2)若，分别求向量与，，的夹角. 1．（2025高三·全国·专题练习）在三棱锥中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）若、、是空间任意三个向量，，下列关系中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·广东佛山·期中）已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则 4．（23-24高二·全国·课后作业）如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为 ． 【经典例题七 求空间向量的数量积】 【例1】（24-25高二下·甘肃白银·期末）设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.若E，F分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3). 1．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知四面体的所有棱长都等于分别是棱的中点.则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南开封·期末）已知四面体的所有棱长都等于，、分别是的中点，则 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知长方体同一顶点处的一组棱长分别为是其中心，过点的直线交长方体的表面于两点，另有一点是表面上的动点，求的取值范围. 【经典例题八 空间向量数量积的应用】 【例1】（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知异面直线、所成角为，、分别为直线、的方向向量，则以下结论中，一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 1．（24-25高二下·重庆·期中）如图，已知平行四边形且，沿对角线将折起，当二面角为时，则与之间距离为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2025高二·全国·专题练习）已知正四面体的棱长为，空间内任一点满足，则下列关于的结论正确的是（    ） A．最小值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 3．（23-24高二上·天津·期中）如图所示，在棱长均为2的平行六面体中，，点M为与的交点，则的长为 . 4．（24-25高二上·广东珠海·阶段练习）如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 【拓展训练一 空间向量的运算问题】 【例1】（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）在四面体中，，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024高二·全国·课后作业）在空间四边形中，为△的重心，分别为和的中点，试化简，并在图中标出化简结果的向量． 1．（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（多选题）（23-24高二·全国·课后作业）已知正方体，则下列各式运算结果是的为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·全国·课后作业）光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石切成的正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比约为，则= . 4．（22-23高三·全国·对口高考）如图，棱柱的底面是平行四边形，M分所成的比为2∶1，N分所成的比为1∶2，设，试将表示成的关系式．    【拓展训练二 空间向量的性质、求解及应用】 【例1】（23-24高一下·山西大同·期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知三棱锥中，底面BCD为等边三角形，，，点E为CD的中点，点F为BE的中点，若点M、N是空间中的两动点，且，，求. 1．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D．与t有关 2．（多选题）（24-25高二上·广东·期中）三棱锥中，，，，，平面与平面的夹角为，则的长度可以为（   ） A．5 B． C． D．6 3．（2023高二·全国·专题练习）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 . 4．（23-24高二上·宁夏·阶段练习）如图，在四面体中，，，，设.    (1)求的值； (2)已知是线段中点，点满足，求线段的长. 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）在三棱锥中，，，，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·吉林白山·阶段练习）在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，，，则用，，表示（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·天津·期末）如图， 在四面体OABC中， M为棱BC的中点， 点N，P分别满足 则 （   ）    A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山西大同·期中）如图，在四面体中，，且，，则（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（   ） A． B． C． D． 6．（多选题）（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边的中点，则下列各式成立的是（　　） A． B． C． D． 7．（多选题）（23-24高二上·青海海南·期中）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（    ） A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上 C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上 8．（多选题）（22-23高二上·全国·期中）如图，平面内的小方格均为边长是1的正方形，，均为正方形的顶点，为平面外一点，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（24-25高二上·全国·单元测试）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（24-25高二上·湖北·期末）如图，在四面体中，设，，，下列条件能证明的是（    ） A． B．，， C．， D．， 11．（23-24高二上·全国·课后作业）在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为 ． 12．（23-24高二上·湖北荆州·期末）如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则 13．（23-24高二上·北京·期中）三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，若，则 ． 14．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在四棱柱中，，，，则 . 15．（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为m、m，且m，则甲乙两人相距 m． 16．（2025高二·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，、、、分别是、、、的中点． (1)化简：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)设、交于点，求证：． 17．（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    18．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，设A是所在平面外的一点，G是的重心.求证： .    19．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知空间四边形． (1)若，，求证：； (2)求的值． 20．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设.    (1)用表示，并求； (2)求． 学科网（北京）股份有限公司 $