专题1.6 直线与圆的位置关系重难点题型讲义（3个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版选修第一册）

专题1.6 直线与圆的位置关系重难点题型专训 （3个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断直线与圆的位置关系 题型二 由直线与圆的位置关系求参数 题型三 直线与圆的位置关系求距离的最值 题型四 求直线与圆交点的坐标 题型五 直线与圆相交的性质--韦达定理及应用 题型六 直线与圆中的定点定值问题 题型七 过圆上一点的圆的切线方程 题型八 过圆外一点的圆的切线方程 题型九 切线长 题型十 切点弦及其方程 题型十一 已知切线求参数 题型十二 圆的弦长与中点弦 题型十三 已知圆的弦长求方程或参数 题型十四 圆内接三角形的面积 拓展训练一 直线与圆的相关求解问题 拓展训练二 圆的切线相关问题 拓展训练三 圆的弦长相关问题 知识点一：直线与圆的位置关系 1. 直线与圆的位置关系 直线与圆 的位置关 系的图形 表示 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 2.直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； . 圆心到直线的距离：. 直线与圆相交. ； . 圆心到直线的距离：. 直线与圆相切. ； . 圆心到直线的距离：. 直线与圆相离. （2）代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交； ②直线与圆相切； ③直线与圆相离. 【知识剖析】 比较两种方法，几何法避免了繁琐的计算，并与初中学过的平面几何知识有机地联系起来，是更常用的方法. 【即时训练】 1．（24-25高二下·重庆·阶段练习）直线的图象如图所示，则圆与直线的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．（24-25高二上·全国·课后作业）若圆与直线相切，且其圆心在轴的左侧，则的值为 ． 知识点二：圆的切线问题 1．自一点引线圆的切线条数 ⑴若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线; ⑵若点在圆上，则过此点可以作圆的一条切线; ⑶若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2.切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； . 3.切线方程的几个重要结论 1. 已知圆方程为:, 若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是: ⑴经过圆上一点的切线方程为; ⑵经过圆上一点的切线方程为； ⑶经过圆上一点的切线方程为 (4) 过圆外一点引圆(标准方程,一般方程)的切线长为 一般方程(标准方程) 【即时训练】 1．（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）已知圆，则过点的圆的切线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·山东济南·开学考试）已知直线和圆相切，则实数 ． 知识点三：直线与圆相交的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，圆C的半径为r，圆心到直线的距离为d，弦长为l，则可得圆的弦长公式为 . (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式， 则可得弦长公式： ，或. 【即时训练】 1．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）直线与圆相交于两点，则弦的长等于（    ） A． B．2 C． D．3 2．（2025·山东·一模）已知圆，直线与圆交于两点．若为直角三角形，则 ． 【经典例题一 判断直线与圆的位置关系】 【例1】（24-25高二下·浙江·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【例2】（2025高三·全国·专题练习）设，，求证：不论如何变化，经过两点的直线都与某个定圆相切． 1．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知圆，直线，则圆上到直线的距离为的点的个数为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·甘肃武威·期中）下列方程不是圆的切线方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京通州·期中）已知两点，和圆，则直线与圆的位置关系为 .若点在圆上，且，则满足条件的点共有 个. 4．（24-25高二上·江苏无锡·期中）如图、某海面上有0、A、B一个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东 方向且距O岛 千米处，B岛在O岛的正东方向且距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.圆C经过O、A、B三点. (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船在O岛的南偏西 方向且距O岛40千米的D处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问：该船有没有触礁的危险?请说明理由. 【经典例题二 由直线与圆的位置关系求参数】 【例1】（24-25高二下·安徽·期末）若直线与圆相切，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知圆，直线，若圆上恰有两点到直线的距离为1，求的取值范围． 1．（2025高三·全国·专题练习）把直线按向量平移后，恰与相切，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（多选题）（24-25高二上·福建·期中）已知圆，点，直线不全为，则下列说法正确的是（   ） A．若与圆相切，则点在上 B．若与圆相交，则点在外 C．若与圆相离，则点在内 D．若与圆相离，则点在外 3．（2025高三·全国·专题练习）已知直线l：与圆C：相切，且l关于x轴对称的直线与圆C有2个交点，则 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）从地球上始终不能完全看见月球背面．某学习小组通过单光源实验来演示月球背面．由光源点射出的两条光线与圆分别相切于点，称两射线，上切点上方部分的射线与优弧上方所夹的平面区域（含边界）为圆的背面．若以点为圆心、为半径的圆处于圆的背面，求的最大值． 【经典例题三 直线与圆的位置关系求距离的最值】 【例1】（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）点在圆上运动，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线与圆，求圆上各点到直线的距离的最大值． 1．（24-25高二下·浙江衢州·期中）已知直线（其中为常数），圆，则直线被圆截得的弦长最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆·期中）圆，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，，那么的最小值是（   ） A． B． C． D．4 3．（24-25高二上·全国·单元测试）已知点及圆：，若为上动点，则点到直线AB的距离的最大值为 ． 4．（22-23高二上·四川雅安·期中）已知点满足关系式：，求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值. 【经典例题四 求直线与圆交点的坐标】 【例1】（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，现作出圆的一个内接正八边形，使该正八边形中的4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高二·江苏·假期作业）求直线和圆的公共点的坐标，并判断它们的位置关系． 1．（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）过点作直线l交圆于点，，若 ，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 3．（23-24高三下·上海青浦·阶段练习）已知圆恒过定点A，B，则直线的方程为 ． 4．（23-24高二上·四川广安·期中）已知圆， 点为直线上一动点， 过点引圆的两条切线， 切点分别为 (1)当时， 求的值； (2)若两条切线与轴分别交于两点， 求的面积的最小值． 【经典例题五 直线与圆相交的性质--韦达定理及应用】 【例1】（23-24高二上·四川泸州·期末）已知直线：与圆：交于两点且，则（    ） A． B． C． D．2 【例2】（24-25高二上·浙江温州·期中）已知圆过点，，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)问是否存在满足以下两个条件的直线： ①斜率为1；②直线被圆截得的弦为，以为直径的圆过原点.若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，请说明理由. 1．（2023·浙江·二模）已知是圆上一点，是圆的直径，弦的中点为.若点在第一象限，直线、的斜率之和为0，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北唐山·期中）直线L：与圆C：有两个交点A、B，O为坐标原点，若，则的值是 （ ） A．2 B． C．3 D． 3．（2024·江苏·一模）在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，其中点在第一象限，且，则直线的方程为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知圆，是否存在斜率为-1的直线，使得以被圆截得的弦为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【经典例题六 直线与圆中的定点定值问题】 【例1】（24-25高二上·山东菏泽·期中）直线l：与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【例2】（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知点关于直线的对称点为Q，以Q为圆心的圆与直线相交于A，B两点，且． (1)求圆Q的方程； (2)过坐标原点O任作一直线交圆Q于C，D两点，求证：为定值． 1．（2024·江西宜春·模拟预测）已知直线与圆相切，且直线始终平分圆的面积，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·内蒙古·阶段练习）已知，，是曲线上的任意一点，若的值与x，y无关，则（    ） A．m的取值范围为 B．m的取值范围为 C．n的取值范围为 D．n的取值范围为 3．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）已知圆：，直线过点，把圆分成面积为，的两部分，则的最大值为 . 4．（24-25高二上·北京·期中）已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程. (2)已知为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【经典例题七 过圆上一点的圆的切线方程】 【例1】（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）经过点作圆的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025高二上·全国·专题练习）过点作圆的切线，求此切线方程． 1．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）圆过点的切线方程为 ． 4．（24-25高二上·广西北海·期中）已知在中，，，． (1)求的外接圆的标准方程； (2)过点作的外接圆的切线，求该切线方程． 【经典例题八 过圆外一点的圆的切线方程】 【例1】（2024高二·全国·专题练习）过点引圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【例2】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）（1）求经过圆上点的圆的切线方程； （2）求经过点且与圆相切的直线的方程． 1．（23-24高二上·江苏·单元测试）已知圆，从点观察点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·云南昭通·期中）已知圆和点，则过点的圆的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）过点且与圆相切的一条直线方程为 . 4．（24-25高二上·重庆·期末）已知直线与直线相交于点，以为圆心的圆过点. (1)求圆的方程； (2)求过点的圆的切线方程. 【经典例题九 切线长】 【例1】（2024·全国·模拟预测）已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【例2】（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知三点，，在圆上，点为圆心． (1)求圆的方程； (2)过点作圆的两条切线，切点为，求四边形的面积． 1．（24-25高二上·广东东莞·期末）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京·阶段练习）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为(   ) A． B． C． D． 3．（2023高二上·全国·专题练习）若圆，关于直线对称，则由点(a,b)向圆C所作的切线长的最小值为 ． 4．（24-25高二上·江苏泰州·期中）（1）从圆外一点向圆引切线，求此切线的长； （2）自点作圆的切线，求切线的方程. 【经典例题十 切点弦及其方程】 【例1】（22-23高二下·河南南阳·期末）过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C． D．2 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程． 1．（22-23高二上·山西晋中·期中）过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的周长为（    ） A． B． C． D．4 2．（22-23高二下·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）如图1，已知圆，过原点作此圆的切线，切点为．又过原点任作一直线，交圆于两点，交直线于点．设，求证：．      【经典例题十一 已知切线求参数】 【例1】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 【例2】（22-23高二上·黑龙江佳木斯·期中）在平面直角坐标系中，直线与圆相切于点，圆心在直线上. 求圆的方程； 1．（2024·上海普陀·二模）直线经过定点，且与轴正半轴、轴正半轴分别相交于，两点，为坐标原点，动圆在的外部，且与直线及两坐标轴的正半轴均相切，则周长的最小值是（    ） A．3 B．5 C．10 D．12 2．（22-23高二下·江西·阶段练习）已知圆，直线的方程为，若在直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为点，使得为直角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）写出一个既与轴相切又与直线相切的圆的标准方程： . 4．（24-25高二上·辽宁·期中）已知圆与轴负半轴的交点为A，点在直线上，过点作圆的切线，切点为. （1）若，切点，求直线； （2）若，求实数的取值范围. 【经典例题十二 圆的弦长与中点弦】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·河北保定·期末）已知圆过，，三点，直线l过点. (1)求圆M的标准方程； (2)直线被圆截得弦长何时最短？求出截得弦长最短时直线的方程及最短弦长. 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（多选题）（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知直线：和圆：，则（    ） A．当与圆相切时， B．当为圆的一条对称轴时， C．当时，与圆没有公共点 D．当时，被圆截得的弦长为 3．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知直线与圆相交于，两点，且，则实数 ． 4．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知圆经过点，，. (1)求圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线经过点，且l与圆M相交于E，F两点，求. 【经典例题十三 已知圆的弦长求方程或参数】 【例1】（24-25高二下·广西柳州·阶段练习）直线：与圆：交于，两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·单元测试）已知直线，圆． (1)若直线是圆的一条对称轴，求的值； (2)从①若直线被圆截得的弦长为4，②若直线被圆截得的弦长最短这两个条件中选择一个作为已知，求直线的方程． 注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分． 1．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知直线与圆相交于、两点，则当取最小值时，（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与圆相交于两点，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东潮州·期末）直线被圆截得的弦的长为，则实数的值为 . 4．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知圆C的圆心在直线上，且过两点、. (1)求圆C的方程； (2)直线l过点，且与圆C相交于M，N两点，若求直线l方程. 【经典例题十四 圆内接三角形的面积】 【例1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知圆，点，过作直线交圆于，两点，当取得最大值时，直线的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 【例2】（23-24高二上·重庆渝中·阶段练习）已知圆的圆心为原点，斜率为1且过点的直线与圆相切 (1)求圆的方程； (2)过的直线交圆于、，若面积为，求直线方程. 1．（2023·广西南宁·模拟预测）已知直线和圆相交于M，N两点，当的面积最大时，m＝（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（多选题）（2023·福建泉州·三模）已知AB为圆的直径，直线与y轴交于点M（A，B，M三点不共线），则（    ） A．l与C恒有公共点 B．是钝角三角形 C．的面积的最大值为l D．l被C截得的弦的长度最小值为 3．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 . 4．（23-24高二上·福建南平·期末）已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆相交于两点，求的面积. 【拓展训练一 直线与圆的相关求解问题】 【例1】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知定点，圆与轴相切，直线是圆的一条对称轴．若圆上存在两点使得，则圆圆心的横坐标的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆. (1)求的取值范围； (2)当取最小正整数时，若点为直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求线段的最小值. 1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知圆上的两点到直线的距离分别为，且.若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（多选题）（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知实数x和y满足，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 3．（2024·江苏·二模）已知圆O：，过点的直线l交圆O于A，B两点，且，则满足上述条件的一条直线l的方程为 . 4．（24-25高一下·上海·期末）已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．    (1)当时，求直线的方程； (2)设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值； 【拓展训练二 圆的切线相关问题】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）过点作圆的切线，则的方程为（   ） A． B．或 C． D．或 【例2】（23-24高二上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在轴上， (1)若圆过点､点， 求圆的方程; (2)若圆与直线相切，且原点不在圆外，求当圆的面积最小时圆的方程. 1．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则（    ） A．2 B． C． D． 2．（多选题）（22-23高二上·甘肃酒泉·期中）已知圆，从点观察点，要使视线不被圆O挡住，则a的值可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海闵行·期末）已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为 ． 4．（2025高二·全国·专题练习）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 【拓展训练三 圆的弦长相关问题】 【例1】（24-25高二上·天津·期末）若直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·湖南邵阳·期末）已知圆过点，，且直线平分圆的周长. (1)求圆的方程； (2)过点的直线和圆交于，两点，若，求直线的方程. 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）直线被圆C：截得的弦长为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（多选题）（24-25高二上·辽宁·期中）已知点，过点的直线交圆于两点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为1 B．满足的弦有且只有2条 C．当最小时，圆上的点到直线的距离最小值为0 D．当最小时，圆上的点到直线的距离最大值为 3．（24-25高二上·全国·单元测试）已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ． 4．（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知直线与圆交于，两点，且. (1)求的值； (2)求过点的的切线方程. 1．（2025·湖北恩施·模拟预测）直线，圆，则圆上的点到直线的距离等于的点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2025·湖南长沙·三模）已知是直线上的任意一点，若过点作圆的两条切线，切点分别记为A,B，则弦长AB的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 3．（22-23高二下·江苏南京·阶段练习）已知过点且斜率为k的直线l与圆相交于两点．则为（    ） A．3 B．5 C．7 D．与k有关 4．（22-23高三下·湖南岳阳·开学考试）直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为（　　） A． B．2 C． D．4 5．（24-25高二上·天津武清·期中）已知经过原点的直线与圆相交于，两点，若，则的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知是直线l：上一动点，过作圆O：的两条切线，切点分别为，则的大小可能为（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）（22-23高二上·山西运城·期末）圆M：关于直线对称，记点，下列结论正确的是（    ） A．点P的轨迹方程为 B．点P与圆M上点的距离的最小值为 C．以PM为直径的圆过定点 D．若直线PA与圆M切于点A，则 8．（多选题）（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆：，下列结论正确的是（   ） A．过点且与圆相切的直线的方程为 B．过点且与圆相切的直线的方程为 C．直线：与圆交于，两点，则 D．直线：与圆交于，两点，则 9．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知过原点的直线交圆于A，B两点，则下列说法正确的是（      ） A．若直线的方程为，且，则 B．若M，N为圆上的任意两点，当时，的最大值为 C．若原点在圆外，则 D．当时，AB中点的轨迹长度为 10．（多选题）（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆与直线，下列选项正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆必相交 C．圆截轴所得弦长为 D．直线被圆截得的最短弦长为 11．（2025高二·全国·专题练习）已知圆，斜率为1的直线与交于，，以为直径的圆过原点，则直线的方程为 ． 12．（23-24高三上·浙江·期中）已知圆：，过点的直线与圆相交于，两点，当面积最大时，直线的斜率为 .（写出一个即可） 13．（2024高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为 . 14．（2023高三·全国·专题练习）从直线上的任意一点作圆的两条切线，切点为，则弦长度的最小值为 ． 15．（2025·贵州黔东南·三模）直线与圆交于两点，若的最大值为4，则的最小值为 ． 16．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知圆 与圆 ， 直线 (1)判断 与圆 的位置关系并证明； (2)过动点 分别作两圆的切线 ( 分别为切点)，若 ， 求 的最小值. 17．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）已知圆M过，两点，且圆心M在上． (1)求圆M的方程； (2)设P是直线上的动点，是圆M的两条切线，为切点，求四边形PAMB面积的最小值． 18．（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）已知圆，过定点作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点. (1)过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点，求四边形EGFH面积的最大值. (2)设曲线C与x轴交于P、Q两点，直线PE与直线QF相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程;若不是，说明理由. 19．（24-25高二上·广西钦州·期末）已知圆过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)经过点作直线与圆相切，求直线的方程. 20．（22-23高二上·安徽黄山·期末）已知直线：和圆：． (1)求直线截圆所得弦的长； (2)若直线垂直于直线，且和圆相切于点，求点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6 直线与圆的位置关系重难点题型专训 （3个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断直线与圆的位置关系 题型二 由直线与圆的位置关系求参数 题型三 直线与圆的位置关系求距离的最值 题型四 求直线与圆交点的坐标 题型五 直线与圆相交的性质--韦达定理及应用 题型六 直线与圆中的定点定值问题 题型七 过圆上一点的圆的切线方程 题型八 过圆外一点的圆的切线方程 题型九 切线长 题型十 切点弦及其方程 题型十一 已知切线求参数 题型十二 圆的弦长与中点弦 题型十三 已知圆的弦长求方程或参数 题型十四 圆内接三角形的面积 拓展训练一 直线与圆的相关求解问题 拓展训练二 圆的切线相关问题 拓展训练三 圆的弦长相关问题 知识点一：直线与圆的位置关系 1. 直线与圆的位置关系 直线与圆 的位置关 系的图形 表示 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 2.直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； . 圆心到直线的距离：. 直线与圆相交. ； . 圆心到直线的距离：. 直线与圆相切. ； . 圆心到直线的距离：. 直线与圆相离. （2）代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交； ②直线与圆相切； ③直线与圆相离. 【知识剖析】 比较两种方法，几何法避免了繁琐的计算，并与初中学过的平面几何知识有机地联系起来，是更常用的方法. 【即时训练】 1．（24-25高二下·重庆·阶段练习）直线的图象如图所示，则圆与直线的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】由圆心到直线的距离小于半径可得. 【详解】由题意可得圆心坐标，半径 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交. 故选：C 2．（24-25高二上·全国·课后作业）若圆与直线相切，且其圆心在轴的左侧，则的值为 ． 【答案】 【分析】将圆化为圆的标准方程，由圆心在轴的左侧得，根据圆与直线相切即可求解． 【详解】由得， 圆心为，半径为， 圆心在轴的左侧，故，即， 圆与直线相切，故， 解得． 故答案为： 知识点二：圆的切线问题 1．自一点引线圆的切线条数 ⑴若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线; ⑵若点在圆上，则过此点可以作圆的一条切线; ⑶若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2.切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； . 3.切线方程的几个重要结论 1. 已知圆方程为:, 若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是: ⑴经过圆上一点的切线方程为; ⑵经过圆上一点的切线方程为； ⑶经过圆上一点的切线方程为 (4) 过圆外一点引圆(标准方程,一般方程)的切线长为 一般方程(标准方程) 【即时训练】 1．（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）已知圆，则过点的圆的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先说明点在圆外，再设点斜式方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，解出即可. 【详解】将代入圆方程得，则该点在圆外， ，即，则其圆心为，半径为1， 当切线斜率不存在时，此时直线方程为，显然不合题意，故舍去， 则设切线方程为：，即， 则有，解得，此时切线方程为. 故选：C. 2．（23-24高三上·山东济南·开学考试）已知直线和圆相切，则实数 ． 【答案】0或 【分析】利用圆心到直线的距离为半径可求的值. 【详解】因为直线：与圆相切， 故圆心到直线的距离， 解得，或. 故答案为：或0. 知识点三：直线与圆相交的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，圆C的半径为r，圆心到直线的距离为d，弦长为l，则可得圆的弦长公式为 . (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式， 则可得弦长公式： ，或. 【即时训练】 1．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）直线与圆相交于两点，则弦的长等于（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】先得出圆的圆心坐标和半径，然后由点到直线的距离公式、弦长公式即可求解. 【详解】因为圆即圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 因此，弦长. 故选：B. 2．（2025·山东·一模）已知圆，直线与圆交于两点．若为直角三角形，则 ． 【答案】0 【分析】先将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标和半径，再根据为直角三角形得出圆心到直线的距离，最后利用点到直线的距离公式求解的值. 【详解】由圆的方程为，可得 则圆的圆心坐标为，半径. 因为为直角三角形，且圆的半径都相等，所以是等腰直角三角形， 那么圆心到直线的距离等于斜边长的一半. 由勾股定理，，则. 即圆心到直线的距离. 两边平方可得，整理得，即. 故答案为：0. 【经典例题一 判断直线与圆的位置关系】 【例1】（24-25高二下·浙江·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【分析】首先确定圆心和半径，再应用点线距离公式求圆心与直线的距离，即可判断. 【详解】由，即圆心，半径， 所以到的距离， 所以直线与圆相交. 故选：B 【例2】（2025高三·全国·专题练习）设，，求证：不论如何变化，经过两点的直线都与某个定圆相切． 【答案】证明见解析 【分析】根据两个等式可以确定两个不同的点在同一条直线上，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】由于， 所以两点均在直线上． 又因为原点到直线的距离等于，故知直线与圆相切． 1．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知圆，直线，则圆上到直线的距离为的点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出与直线平行且与直线的距离为的直线的方程，判断出圆与两平行线间的位置关系，即可得出结论. 【详解】设与直线平行且与直线的距离为的直线的方程为， 由平行线间的距离公式可得，解得或， 圆的圆心为，半径为， 显然直线过圆心，圆心到直线的距离为， 所以，直线与圆相交，直线与圆相切， 所以，圆上到直线的距离为的点的个数为. 故选：C. 2．（多选题）（24-25高二上·甘肃武威·期中）下列方程不是圆的切线方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径即可求解． 【详解】由圆的标准方程， 可知圆心为，半径为， 再根据圆心到直线距离公式与半径比较即可判断， 对于A，根据圆心到直线距离公式，所以不相切，故A正确； 对于B，根据圆心到直线距离公式，所以不相切，故B正确； 对于C，根据圆心到直线距离公式，所以相切，故C错误； 对于D，根据圆心到直线距离公式，所以相切，故D错误； 故选：AB 3．（24-25高二上·北京通州·期中）已知两点，和圆，则直线与圆的位置关系为 .若点在圆上，且，则满足条件的点共有 个. 【答案】 相交 4 【分析】先求出直线的方程，再利用圆心到直线的距离判断直线与圆相交；先求出点到的距离， 再结合圆心到直线的距离为和圆的半径为判断得解. 【详解】由题得，所以直线的方程为， 所以直线的方程为， 由可知，圆的圆心为，半径为， 又圆心到直线的距离，    所以直线与圆相交， 又， 设点到直线的距离为，则， 解得， 又圆心到直线的距离为，圆的半径为， 所以圆上有个满足条件的点. 故答案为：相交；. 4．（24-25高二上·江苏无锡·期中）如图、某海面上有0、A、B一个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东 方向且距O岛 千米处，B岛在O岛的正东方向且距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.圆C经过O、A、B三点. (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船在O岛的南偏西 方向且距O岛40千米的D处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问：该船有没有触礁的危险?请说明理由. 【答案】(1) (2)该船有触礁的危险，理由见解析. 【分析】（1）根据三点坐标代入求出圆的方程； （2）先求出航行路线的方程，再求出圆心到直线的距离，最后判断是否触礁. 【详解】（1）由题意得， 设过三点的圆的方程为， 将代入，得，解得 所以圆的方程为； （2）由题意得，且该船的航线所在的直线的斜率为， 故该船的航线为直线， 由（1）知圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以该船有触礁的危险． 【经典例题二 由直线与圆的位置关系求参数】 【例1】（24-25高二下·安徽·期末）若直线与圆相切，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由题意得圆的圆心为，半径为，，根据直线与圆相切即可列方程求解. 【详解】圆即圆，所以， 且圆的圆心为，半径为， 若直线与圆相切，则，解得. 故选：A. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知圆，直线，若圆上恰有两点到直线的距离为1，求的取值范围． 【答案】的取值范围 【分析】求得圆心到直线的距离，进而可得，求解即可. 【详解】由，可得圆的圆心， 则到直线的距离， 当圆上到直线的距离为1的点的个数为2时，可得， 解得. 所以的取值范围． 1．（2025高三·全国·专题练习）把直线按向量平移后，恰与相切，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先利用变换得出新的直线方程，再利用计算即可. 【详解】直线按向量平移后得，即， 化简为， 则点到直线的距离， 解得或. 故选：C 2．（多选题）（24-25高二上·福建·期中）已知圆，点，直线不全为，则下列说法正确的是（   ） A．若与圆相切，则点在上 B．若与圆相交，则点在外 C．若与圆相离，则点在内 D．若与圆相离，则点在外 【答案】ABC 【分析】根据直线与圆的位置关系相应条件判断即可． 【详解】对于A，因为与圆相切， 所以圆心到直线的距离，所以， 即点满足直线的方程，所以点在上，故A正确； 对于B，若与圆相交，所以圆心到直线的距离， 所以，即点不满足直线的方程， 所以点在外，故B正确； 对于CD，与圆相离，所以圆心到直线的距离， 所以，所以点在内，故C正确，D错误. 故选：ABC． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知直线l：与圆C：相切，且l关于x轴对称的直线与圆C有2个交点，则 ． 【答案】 【分析】利用直线与圆相切可求得或，分类讨论，利用直线关于轴对称的直线有两个交点可求得. 【详解】由圆C：得圆心，半径为， 由点到直线的距离可得圆心到直线的距离， 即，解得或． 当时，直线：， 圆：，则直线关于轴对称的直线为：． 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆有2个交点，满足题意； 当时，直线：，圆：， 则直线关于轴对称的直线为：， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆没有交点，不满足题意，舍去；综上，． 故答案为：． 4．（2025高三·全国·专题练习）从地球上始终不能完全看见月球背面．某学习小组通过单光源实验来演示月球背面．由光源点射出的两条光线与圆分别相切于点，称两射线，上切点上方部分的射线与优弧上方所夹的平面区域（含边界）为圆的背面．若以点为圆心、为半径的圆处于圆的背面，求的最大值． 【答案】． 【分析】设过点的切线方程为，结合直线与圆相切可得，进而得到切线方程，，令，解得的值，分析可知．当圆B与圆O外切且圆B与（或）相切时，r取最大值， 【详解】如图所示，设过点的切线方程为，所以，解得， 所以直线的方程为，即，令，解得， 直线的方程为，即，令，解得． 因为圆处于圆O的背面，所以． 当圆B与圆O外切且圆B与（或）相切时，r取最大值， 由圆B与圆O外切得，圆B与相切时 又因为，所以，所以，即， 解得或．结合，所以， 所以r的最大值为，同理圆B与相切时r的最大值为． 综上所述，r的最大值为． 【经典例题三 直线与圆的位置关系求距离的最值】 【例1】（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）点在圆上运动，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与圆的位置关系以及圆心到直线的距离，计算可求得所求的范围. 【详解】令，则，可得该直线方程为： 或， 设到直线和的距离为和，得 或，解得或，又因为， 所以，. 故选B 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线与圆，求圆上各点到直线的距离的最大值． 【答案】 【分析】先求出圆心到直线的距离，再根据圆上各点到直线的距离的最大值为即可得解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以圆上各点到直线的距离的最大值为. 1．（24-25高二下·浙江衢州·期中）已知直线（其中为常数），圆，则直线被圆截得的弦长最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定直线经过定点已经圆的圆心与半径，根据圆的弦长公式与直线与圆相交的性质，算出直线被圆截得的最短弦长，即可得得答案． 【详解】直线，整理可得， 令，解得，故直线过定点， 又圆，则圆心，半径圆， 根据圆的性质，当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短， 结合，可得直线被圆截得的最短弦长等于. 故选：C. 2．（24-25高二上·重庆·期中）圆，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，，那么的最小值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】的最小值满足四边形的面积最小，可转化为当最小时满足条件，根据点到直线的距离公式计算，求出，可计算结果. 【详解】圆的圆心，半径为， 如图所示： ， 当最小时四边形面积最小，因为，所以当四边形面积最小时最小， ， 所以只需直线上的动点到的距离最小即可，其最小值为圆心到直线的距离， 此时， . 故选：B 3．（24-25高二上·全国·单元测试）已知点及圆：，若为上动点，则点到直线AB的距离的最大值为 ． 【答案】 【分析】先判断直线AB与圆相离，再根据圆上的点到直线的距离最大值为圆心到直线的距离与半径的和求解即可. 【详解】由得直线AB的方程为，即． 圆化为标准形式为， 圆心的坐标为，半径， 则圆心到直线AB的距离， 所以直线AB与圆相离， 所以点到直线AB的距离的最大值为． 故答案为： 4．（22-23高二上·四川雅安·期中）已知点满足关系式：，求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值. 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为． 【分析】（1）求得已知圆的圆心和半径，设，即，则圆心到直线的距离，即可得到最值； （2）计算原点到圆上任意点的最大距离的平方和最小距离的平方即可. 【详解】（1）将配方得， 它表示以为圆心，半径的圆. 设得，所以k表示过原点的直线的斜率. 则圆心到直线的距离，即，平方得， 解得：，故的最大值为，最小值为. （2）设，则u为圆C上的点到原点的距离， 如图所示，连接OC并延长交圆于A，B两点， 圆心与原点O的距离是，所以，， 所以，. 故的最大值为，最小值为. 【经典例题四 求直线与圆交点的坐标】 【例1】（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，现作出圆的一个内接正八边形，使该正八边形中的4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设确定各顶点的坐标，代入选项解析式即可判断正误. 【详解】由题意，另外4个顶点为与的交点，    所以，正八边形8个顶点分别为，， A：显然过，满足； B：显然过，满足； C：显然过，，不满足； D：显然过，满足. 故选：C 【例2】（22-23高二·江苏·假期作业）求直线和圆的公共点的坐标，并判断它们的位置关系． 【答案】坐标为或，直线和圆相交 【分析】联立直线与圆的方程，求出交点坐标，即可得解. 【详解】直线和圆的公共点的坐标就是 方程组的解， 解这个方程组，得或， 所以公共点的坐标为或． 因为直线和圆有两个公共点，所以直线和圆相交． 1．（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）过点作直线l交圆于点，，若 ，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点的坐标，结合题意可得点的坐标，又两点都在圆上，代入计算即可得点的横坐标. 【详解】设，故有，即， 由，则点为中点， 故，故有， 即有，整理得， 即. 故选：A. 2．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】为直角，故在以为直径的圆上，确定圆方程，取计算得到答案. 【详解】为直角，故在以为直径的圆上， 圆心为，半径为， 圆方程为，取得到或， 即点坐标为或. 故选：B. 3．（23-24高三下·上海青浦·阶段练习）已知圆恒过定点A，B，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】由圆的方程化简，确定的坐标，由此确定直线的方程. 【详解】方程，可化为， 所以点为直线与圆的交点， 所以若点的坐标为，则点的坐标为， 所以直线的方程为， 故答案为：. 4．（23-24高二上·四川广安·期中）已知圆， 点为直线上一动点， 过点引圆的两条切线， 切点分别为 (1)当时， 求的值； (2)若两条切线与轴分别交于两点， 求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆的切线性质及点到直线距离公式进行求解即可； （2）利用圆心到直线的距离等于半径得到，根据韦达定理得到，，进而得到，再根据三角形面积公式结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）由圆，可知，半径为1， 设过点引圆的切线，显然两条切线的斜率都存在， 设切线方程为：，即， 由，解得或， 因此切线所在直线方程为或， 分别联立，， 解得，，即， 所以. （2）由（1）知，半径为1， 设过点引圆的切线，显然两条切线的斜率都存在， 设切线方程为：，即， 因为，所以，即， 设，是方程的两个根， 则，， 所以， 在切线方程中，令，得， 设，， 则， 则的面积为， 当时，的面积取得最小值，最小值为.    【经典例题五 直线与圆相交的性质--韦达定理及应用】 【例1】（23-24高二上·四川泸州·期末）已知直线：与圆：交于两点且，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】设，联立直线和圆的方程，由得，利用韦达定理求解即可. 【详解】设， 将直线和圆方程联立得， 所以，，， ， 又因为， 所以，解得，满足， 故选：B. 【例2】（24-25高二上·浙江温州·期中）已知圆过点，，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)问是否存在满足以下两个条件的直线： ①斜率为1；②直线被圆截得的弦为，以为直径的圆过原点.若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法求得圆的方程； （2）首先设直线存在，其方程为，联立直线与圆的方程，得到根与系数的关系，根据解得b，得到直线方程，并需验证. 【详解】（1）设圆的方程为， 则有，解得，，， 圆C方程为：，即； （2）设直线存在，其方程为， 它与圆C的交点设为、， 则由，得 ， ， 为直径，  ，     ， 即，即， 或，容易验证或时方程的， 故存在这样的两条直线，其方程是或. 1．（2023·浙江·二模）已知是圆上一点，是圆的直径，弦的中点为.若点在第一象限，直线、的斜率之和为0，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由题可得圆的方程，设直线的斜率为，则直线的方程为，代入圆的方程可得的坐标，从而可得的坐标，于是根据斜率关系可解得的值，由于点在第一象限，对的值进行取舍，即可得所求. 【详解】已知是圆上一点，所以 设直线的斜率为，则直线的方程为，所以， 则，恒成立，所以 由于，所以，则，由于是圆的直径， 所以，则弦的中点为坐标为 因为直线、的斜率之和为0，所以，整理得 解得或，又点在第一象限，所以，故，即直线的斜率是. 故选：C. 2．（23-24高二上·河北唐山·期中）直线L：与圆C：有两个交点A、B，O为坐标原点，若，则的值是 （ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】由题意知，直线L：与圆C：， 由，消去x，得， 设， 则， ， ∴，解得m=3 故选：C． 3．（2024·江苏·一模）在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，其中点在第一象限，且，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】联立直线方程和圆的方程消元后利用韦达定理可求. 【详解】由题意，设直线与圆联立，可得， 设，则，，， 联立解得，则直线的方程为， 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知圆，是否存在斜率为-1的直线，使得以被圆截得的弦为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】或 【分析】设的方程为，，联立得，再根据为直径的圆过原点，可得即可求解. 【详解】设直线的方程为，， 联立方程， 整理得， ， 又为直径的圆过原点， 所以，于是， 即．从而， 即，即，故或， 即直线方程为或. 【经典例题六 直线与圆中的定点定值问题】 【例1】（24-25高二上·山东菏泽·期中）直线l：与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【分析】利用直线恒过定点，且定点在圆的内部，即可得到结论. 【详解】由整理得：， 可知圆圆心坐标为，半径为， 再由直线l：恒过点， 由圆心到点的距离为，可知， 所以点在圆的内部， 即直线l与圆一定有两个交点. 故选：C. 【例2】（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知点关于直线的对称点为Q，以Q为圆心的圆与直线相交于A，B两点，且． (1)求圆Q的方程； (2)过坐标原点O任作一直线交圆Q于C，D两点，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求出点坐标，然后根据圆心到直线的距离公式及的值求出半径即可求得圆的方程. （2）设出直线方程，联立圆和直线方程利用韦达定理来求解. 【详解】（1）解：点关于直线的对称点Q为 由Q到直线的距离，所以 所以圆的方程为． （2）当直线CD斜率不存在时，，所以． 当直线CD斜率存在时，设为k，则直线为，记， 联立，得 所以，． ． 综上，为定值5． 1．（2024·江西宜春·模拟预测）已知直线与圆相切，且直线始终平分圆的面积，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线始终平分圆的面积，可得圆的圆心，再根据直线与圆相切，可得圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】∵直线始终平分圆的面积， ∴直线始终过圆的圆心， 又圆与直线相切，则圆的半径， ∴圆的方程为． 故选：D. 2．（多选题）（24-25高二上·内蒙古·阶段练习）已知，，是曲线上的任意一点，若的值与x，y无关，则（    ） A．m的取值范围为 B．m的取值范围为 C．n的取值范围为 D．n的取值范围为 【答案】BC 【分析】由方程知曲线为半圆，再由题意转化为半圆夹在两平行直线之间，求出相切与过端点的情况即可得解. 【详解】由曲线，得，则（）， 所以曲线表示以为圆心，半径的半圆（x轴及以上部分）. 若的值与x，y无关， 则该曲线在两平行直线：与：之间. 当与该曲线相切时，，解得， 则m的取值范围为. 当经过点时，，解得，则n的取值范围为. 故选：BC 3．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）已知圆：，直线过点，把圆分成面积为，的两部分，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据题意画出图形，找出的最小值，即圆心与点连线与直线垂直时满足题意，计算可得结果. 【详解】如下图所示：    易知圆的面积为； ，要使最大，则最小即可； 由圆的性质可知当直线被圆截得的弦长最小时，取得最小值； 易知当圆心与点连线与直线垂直时最小， 此时直线的斜率为，直线方程为， 此时直线与圆的两个交点坐标分别为， 所以， 可得的最大值为. 故答案为： 4．（24-25高二上·北京·期中）已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程. (2)已知为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据直线与圆相切，可求圆心，可得方程； （2）假设存在定点，设，表示，讨论是否存在定值； 【详解】（1）由题意设圆心坐标为，则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以， 故圆的标准方程为； （2） 假设存在定点，设， 设，则， 则， 当，即，（舍去）时，为定值，且定值为， 故存在定点使得为定值，的坐标为. 【经典例题七 过圆上一点的圆的切线方程】 【例1】（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）经过点作圆的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出直线方程后，结合切线定义与点到直线的距离公式计算即可得. 【详解】易知切线斜率存在，设该切线方程为，即， 则有，化简得，故， 故该切线方程为，即. 故选：C. 【例2】（2025高二上·全国·专题练习）过点作圆的切线，求此切线方程． 【答案】 【分析】将A点代入圆的方程中，发现点A在圆上，则圆心到A点的斜率为0，则切线斜率不存在，是垂直于x轴的直线即可求出切线方程. 【详解】因为， 所以点在圆上，从而A是切点， 又过圆心与点A的直线斜率为，且切线与之垂直， 故所求切线的方程为． 1．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求的值, 然后求圆心坐标，接着求圆心与点连线的斜率，最后求圆在点处的切线方程. 【详解】因为圆经过点， 将点代入圆的方程可得：.即，所以， 则圆的方程为. 对于圆，其圆心坐标为，所以此圆的圆心.： 根据斜率公式，这里，，则. 因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为和，则. 已知，所以切线的斜率. 又因为切线过点，根据点斜式方程（这里）， 可得切线方程为.整理得. 故选：A. 2．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意点在圆上，故由直线的斜率可得切线的斜率，进而由点斜式化为一般式子即可得解. 【详解】因为圆的圆心坐标为，且点的坐标满足， 这表明点在圆上，所以直线的斜率为，过点的切线的斜率为， 所以该切线方程为，化为一般式得. 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）圆过点的切线方程为 ． 【答案】 【分析】解法一先判断点与圆的位置关系，利用即可求直线的斜率，利用点斜式即可求解； 解法二先判断点与圆的位置关系，利用切线方程为即可求解. 【详解】解法一由知点在圆上，连接， 设切线为，则，如图，，则， 则切线的斜率为，所以切线方程为， 整理得． 故答案为：. 解法二  由知点在圆上， 则所求切线的方程为， 整理得． 故答案为：. 4．（24-25高二上·广西北海·期中）已知在中，，，． (1)求的外接圆的标准方程； (2)过点作的外接圆的切线，求该切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将三顶点代入圆的标准方程，解出即可； （2）由两直线垂直得到斜率关系，再由点斜式得到直线方程即可； 【详解】（1）设的外接圆的标准方程为， 则 解得 故的外接圆的标准方程为． （2）由（1）得外接圆的圆心为，半径为5． 因为，所以切线的斜率为， 故所求切线方程为，即． 【经典例题八 过圆外一点的圆的切线方程】 【例1】（2024高二·全国·专题练习）过点引圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论；当斜率不存在时，直线与x轴垂直，只需判断圆心到直线的距离是否等于半径即可；当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为， 此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 即， ∵直线与圆相切， ∴圆心到直线的距离等于半径， 即，解得， ∴所求切线方程为. 综上，切线方程为或. 故选：D. 【例2】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）（1）求经过圆上点的圆的切线方程； （2）求经过点且与圆相切的直线的方程． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】（1）分直线的斜率不存在和存在，根据直线与圆相切，由圆心到直线的距离等于半径求解. （2）当所求直线的斜率不存在，易得直线方程为；当所求直线的斜率存在，设直线方程为，根据题意可得圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到答案. 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线方程为：，与圆相交； 当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即 ， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 ， 即 ，解得 ， 所以直线方程为 ，即 . （2）由题意知，圆的圆心为，半径为2， 若所求直线的斜率不存在， 由直线过点，得所求直线方程为， 此时圆心到直线的距离为2，直线与圆相切，符合题意； 若所求直线的斜率存在，设直线方程为：即， 则圆心到直线的距离为，解得， 此时所求直线方程为， 综上，所求直线的方程为或. 1．（23-24高二上·江苏·单元测试）已知圆，从点观察点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切线为，应用点线距离公式求切线方程，再根据已知求切线与直线的交点纵坐标，即可得参数范围. 【详解】设过点与圆相切的直线为， 则圆心到直线的距离为，解得， 所以切线方程为． 由A向圆C引2条切线，只要B在切线之外，那么就不会被遮挡，B在的直线上， 在中，取，得， 从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，需或， 所以a的取值范围是. 故选：D 2．（多选题）（23-24高二上·云南昭通·期中）已知圆和点，则过点的圆的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离等于半径计算得到答案. 【详解】因为圆，点， 当过点与圆相切的直线的斜率存在时，设切线方程为， 则，解得，从而切线方程为； 当过点的直线的斜率不存在时，直线方程为， 容易验证，直线与圆相切. 故过点的圆的切线方程为或， 故选：CD. 3．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）过点且与圆相切的一条直线方程为 . 【答案】或 【分析】先根据斜率是否存在设直线方程再结合点到直线距离求参即可. 【详解】由知在圆外， 当切线斜率不存在时，切线方程为，满足题意； 当切线斜率存在时，设斜率为，所以切线方程为，所以， 所以，所以，所以切线方程为． 综上，切线方程为或. 故答案为：或. 4．（24-25高二上·重庆·期末）已知直线与直线相交于点，以为圆心的圆过点. (1)求圆的方程； (2)求过点的圆的切线方程. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）联立直线得，圆的半径为，进而可得； （2）斜率不存在时，，符合题意；斜率存在时，设直线方程，根据圆心到切线的距离为半径可得斜率，进而可得. 【详解】（1）由，得，即， 由题意圆的半径为， 故圆的方程为. （2） 当切线的斜率不存在时，方程为，与圆相切，符合题意. 当切线的斜率存在时，设斜率为，则切线方程为：，即， 由题意，得，即， 两边分别平方得，得， 故切线方程为，即， 综上过点的圆的切线方程为，. 【经典例题九 切线长】 【例1】（2024·全国·模拟预测）已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合勾股定理以及点到直线的距离公式求解即可. 【详解】连接，则， 而的最小值为点C到直线l的距离， 所以. 故选：A. 【例2】（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知三点，，在圆上，点为圆心． (1)求圆的方程； (2)过点作圆的两条切线，切点为，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆的对称性可确定圆心为线段垂直平分线的交点，由此可求得圆心坐标和半径，进而得到圆的标准方程； （2）根据垂直关系可求得切线长，根据四边形面积可求得结果. 【详解】（1）由圆的对称性可知：圆心为线段垂直平分线的交点， ，线段中点为，线段垂直平分线方程为：，即， 又线段的垂直平分线为，，圆的半径， 圆的方程为：. （2） ，，， ，， 四边形的面积. 1．（24-25高二上·广东东莞·期末）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出关于轴的对称点，然后计算点引出的切线长即可． 【详解】可知点关于轴的对称点， 又圆，即，则圆心，半径， 故， 根据对称性可知，光线经过的路程即为， 故选：C. 2．（24-25高二上·北京·阶段练习）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由勾股定理可知当直线的点到圆的圆心距离最小时，此时切线长最小，然后计算即可. 【详解】由题可知圆的圆心，半径 ， 设直线的动点为，切点为 则切线长 所以要使切线长最小，则最小； 显然的最小值为到直线的距离为 所以此时切线长. 故选：A 3．（2023高二上·全国·专题练习）若圆，关于直线对称，则由点(a,b)向圆C所作的切线长的最小值为 ． 【答案】4 【分析】由题意可得直线经过圆的圆心，推出与的关系，利用点与圆心的距离、半径，求出切线长的表达式，然后求出最小值. 【详解】因为圆关于直线对称， 所以圆心在直线上， 所以，即. 又圆的半径为， 当点与圆心的距离最小时，切线长取得最小值， 又点与圆心的距离为： ，当时取等号， 所以切线长的最小值为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·江苏泰州·期中）（1）从圆外一点向圆引切线，求此切线的长； （2）自点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1）2；（2）或. 【分析】（1）利用切线与半径的垂直关系，利用勾股定理求得切线长； （2）法1，分直线的斜率存在和不存在讨论设出直线方程，再根据圆心到直线距离等于半径列式运算求解；法2，分直线的斜率存在和不存在讨论设出直线方程，联立方程组根据判别式等于0求解. 【详解】（1）设从向圆引切线的一个切点为，则， 又因为， 所以，即切线的长为2. （2）解法1：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件； 当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以， 解得或， 因此，切线的方程为或. 解法2：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件. 当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为， 因为直线与圆相切，所以方程组仅有一组解， 由方程组消去得， 所以， 解得或， 因此，切线的方程为或. 【经典例题十 切点弦及其方程】 【例1】（22-23高二下·河南南阳·期末）过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】 根据题意可得为等边三角形，可得结果. 【详解】圆化为标准方程为， 其圆心为，半径为1，    由题意知，,,,, 所以,所以. 所以,且, 所以为等边三角形， 所以. 故选:C． 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程． 【答案】 【分析】根据圆心和半径及切线所过点确定为一条切线，进而得到对应切点坐标，再由两点式求及直线垂直关系求，最后应用点斜式写出直线方程. 【详解】由题设，圆心且半径为1，过的切线必有一条为， 令切线与圆切于，而，且，则， 所以直线，即.    1．（22-23高二上·山西晋中·期中）过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的周长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】作出图形，过圆上一动点作圆的两条切线,切点分别为A，B，根据切线的性质可得过点P，A，B的圆是以直径的圆，设其方程，联立方程组得出的直线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】设圆的动点为，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则过点P，A，B的圆是以直径的圆，该圆的方程为． 由,可得的直线方程为． 原点到直线的距离为， 故圆C不在任何切点弦上的点形成的区域的周长为， 故选:B． 2．（22-23高二下·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设为直线上的一点，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点. 【详解】如图，连接，， 根据题意，设为直线上的一点，则， 由于为圆的切线，则有，， 则点、在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径， 则其方程为，变形可得， 联立可得直线AB：， 又由，则有AB：， 变形可得， 则有，解可得，故直线恒过定点. 故选：B. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】由二级结论：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为：（圆的方程为），代入即可的直线的方程 【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为： ， 化简得：. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图1，已知圆，过原点作此圆的切线，切点为．又过原点任作一直线，交圆于两点，交直线于点．设，求证：．      【答案】证明见解析 【分析】由题意设，直线，将线段长度转化为坐标和斜率的关系，再结合韦达定理和圆的切点弦性质，即可得证. 【详解】证明：设，直线， 将直线方程代入圆方程，得， 整理得． 则， 又， 则等价于． 左边． 设切点,则由， 可得， 又，即， 两式相减，得， 所以过切点的直线的方程为， 求方程组的解，得， 故，从而． 综上，证得． 【经典例题十一 已知切线求参数】 【例1】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 【答案】C 【分析】借助圆心到切线的距离等于半径，计算即可得. 【详解】由圆心为，半径为， 即， 则， 解得或. 故选：C. 【例2】（22-23高二上·黑龙江佳木斯·期中）在平面直角坐标系中，直线与圆相切于点，圆心在直线上. 求圆的方程； 【答案】 【分析】 设圆心，根据圆心与切点连线与切线垂直可构造方程求得的值，进而确定圆心和半径，由此可得圆的方程. 【详解】 圆心在直线上，可设圆心， 直线与圆相切于点，，解得：， ，圆的半径， 圆的方程为：. 1．（2024·上海普陀·二模）直线经过定点，且与轴正半轴、轴正半轴分别相交于，两点，为坐标原点，动圆在的外部，且与直线及两坐标轴的正半轴均相切，则周长的最小值是（    ） A．3 B．5 C．10 D．12 【答案】C 【分析】先设动圆的圆心坐标为，，，结合直线与圆相切的性质可得，当圆与直线相切于点处时，圆半径最小，结合两点间距离公式即可求解． 【详解】设动圆的圆心坐标为， 即圆半径，由题意， 设，，圆与直线相切于点，则，， 所以， 即的周长为， 所以的周长最小即为圆半径最小，因为， 则，整理得， 解得或, 当时，圆心在内，不合题意； 当时，符合题意，即圆半径的最小值为，周长的最小值为． 故选：C． 2．（22-23高二下·江西·阶段练习）已知圆，直线的方程为，若在直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为点，使得为直角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的对称性及切线的性质进行转化，将问题转化为点到直线的距离求解. 【详解】连接，如图，    则由圆的对称性及切线的性质，可得四边形为正方形， 又， 所以点到直线的距离必须小于或等于， 即，所以， 故选：D. 3．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）写出一个既与轴相切又与直线相切的圆的标准方程： . 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题设，令圆的标准方程为，联立直线方程求参数关系，写出标准方程，即可得答案. 【详解】由题设，令圆的标准方程为， 又圆与直线相切，联立圆的方程有， 所以，则， 所以，可得或， 故所求方程形如或即可.    综上，满足要求. 故答案为：（答案不唯一） 4．（24-25高二上·辽宁·期中）已知圆与轴负半轴的交点为A，点在直线上，过点作圆的切线，切点为. （1）若，切点，求直线； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】(1)由于,因此关键求点坐标，这可利用方程组求解，一是由得，二是根据点在直线上，即，解得,得直线的方程； (2)由，可得点的轨迹是一个圆，因此由直线与圆有交点得解 【详解】（1）由题意，直线切于点，则，又切点的坐标为， 所以，， 故直线的方程为，即. 联立直线和，解得即， 所以直线的斜率为，故直线的方程为. （2）设，由，可得，即， 即满足的点的轨迹是一个圆， 所以问题可转化为直线与圆有公共点， 所以，即， 解得. 【经典例题十二 圆的弦长与中点弦】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，然后由勾股定理求解. 【详解】圆的圆心为，半径为3，则圆心到直线的距离为，则直线被圆截得的弦长为． 故选：B. 【例2】（24-25高二上·河北保定·期末）已知圆过，，三点，直线l过点. (1)求圆M的标准方程； (2)直线被圆截得弦长何时最短？求出截得弦长最短时直线的方程及最短弦长. 【答案】(1) (2)垂直，， 【分析】（1）根据圆的几何性质，求圆心和半径，即可求解； （2）由弦长公式结合圆的几何性质可知，当点是弦的中点时，此时弦长最短，根据直线的方程，结合弦长公式，即可求解. 【详解】（1）由已知可得，，，满足， 所以为以O为直角的直角三角形，取AB中点为M， 则，所以圆心，半径，圆M标准方程为； （2）由，可知，点在圆内， 当直线l垂直于MP时截得弦长最短.直线，直线l的斜率为， 则直线l方程为，此时圆心M到直线l的距离为，最短弦长为. 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】求出直线l所过定点，定点在圆内，因此当定点和圆心连线与直线l垂直时，弦长最短，由勾股定理可得结论． 【详解】直线l方程变形为， 由得，即直线l过定点， 圆心为，半径为， 定点到圆心距离为，即定点在圆内部， 所以当定点和圆心连线与直线l垂直时，弦长最短， 最短弦长为 故选： 2．（多选题）（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知直线：和圆：，则（    ） A．当与圆相切时， B．当为圆的一条对称轴时， C．当时，与圆没有公共点 D．当时，被圆截得的弦长为 【答案】BCD 【分析】根据直线和圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆：的圆心为，半径. A选项，若与圆相切，则，解得， 所以A选项错误. B选项，当为圆的一条对称轴时，在直线上， 所以，所以B选项正确. C选项，当时，到直线的距离为， 所以与圆没有公共点，所以C选项正确. D选项，当时，到直线的距离为， 所以弦长为，所以D选项正确. 故选：BCD 3．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知直线与圆相交于，两点，且，则实数 ． 【答案】4 【分析】先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径.再根据弦长公式，结合已知弦长求出圆心到直线的距离，进而求出实数的值. 【详解】圆，可化为. 所以圆心坐标为，半径. 对于直线和圆心，圆心到直线的距离. 已知弦长，根据弦长公式. 将，，代入可得：. 则，解得. 故答案为：4. 4．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知圆经过点，，. (1)求圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线经过点，且l与圆M相交于E，F两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）圆的标准方程为，利用待定系数法求出，即可得解； （2）先求出直线方程，再根据圆的弦长公式求解即可. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 则，解得， 所以圆的标准方程为； （2）直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以. 【经典例题十三 已知圆的弦长求方程或参数】 【例1】（24-25高二下·广西柳州·阶段练习）直线：与圆：交于，两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点到直线的距离公式结合几何法表示出弦长可解. 【详解】圆的圆心为原点，半径，圆心到直线的距离， 所以，解得. 故选：C. 【例2】（24-25高二上·全国·单元测试）已知直线，圆． (1)若直线是圆的一条对称轴，求的值； (2)从①若直线被圆截得的弦长为4，②若直线被圆截得的弦长最短这两个条件中选择一个作为已知，求直线的方程． 注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意直线过圆的圆心，将代入直线的方程，计算得． （2）根据题意直线恒过定点．代入圆的方程判断在圆内部，可得直线与圆恒相交．①三角形中勾股定理计算得到点到直线AB的距离，再根据点到直线距离公式计算的结果；②设定点为点，依题意当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短，利用两直线斜率之积为，计算可得直线的结果； 【详解】（1）因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过圆的圆心（圆是轴对称图形，直径所在直线都是对称轴）， 将代入直线的方程，得，解得． （2）直线，即，则直线恒过定点． 因为，所以定点在圆内部，所以直线与圆恒相交． 若选①． 如图1，设直线与圆交于两点，连接，则． 过点作于点，则， 所以，即点到直线AB的距离． 由，得， 所以直线的方程为．    若选②． 设定点为点，则直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短（如图2）， 此时，故， 直线的方程为．    1．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知直线与圆相交于、两点，则当取最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简直线的方程，求出直线所过定点的坐标，分析可知，当时，取最小值，结合斜率关系可求得实数的值. 【详解】将直线的方程化为，由可得， 所以，直线过定点，且，故点在圆内， 圆心为，当时，圆心到直线的距离取最大值，此时取最小值， ，所以. 故选：A. 2．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与圆相交于两点，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得圆心到直线的距离，结合弦长可得，代入求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 由题意可得：，解得， 即，整理可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 3．（24-25高二上·广东潮州·期末）直线被圆截得的弦的长为，则实数的值为 . 【答案】4或-6 【分析】由直线与圆相交，弦长公式求解即可； 【详解】将圆的方程化为，所以圆心，半径为， 所以弦心距， 因为弦长为，所以，即， 解得或. 故答案为：4或-6. 4．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知圆C的圆心在直线上，且过两点、. (1)求圆C的方程； (2)直线l过点，且与圆C相交于M，N两点，若求直线l方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆的方程为，再结合圆心特点以及圆所过点即可解出圆的方程； （2）首先求出到的距离为，再分直线斜率不存在和存在讨论即可. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为圆的圆心在直线上，所以． 因为圆过， 代入圆C方程 解得 故圆的标准方程为． （2）设到的距离为，由，解得 当直线斜率不存在时，，满足题意． 当直线斜率存在时，设直线方程为，即 则圆心到直线的距离为，解得， 直线方程为 综上，直线方程为或 【经典例题十四 圆内接三角形的面积】 【例1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知圆，点，过作直线交圆于，两点，当取得最大值时，直线的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】要使取得最大值时，，求出圆心O到直线的距离，设出直线方程，利用点到直线距离公式求解斜率，代入点斜式直线方程即可求解. 【详解】当取得最大值时，，此时圆心O到直线的距离为， 又直线恒过点，所以直线斜率存在，设为，即， 由点到直线的距离公式得，平方并化简得， 解得或，此时直线的方程为或， 即或. 故选：B 【例2】（23-24高二上·重庆渝中·阶段练习）已知圆的圆心为原点，斜率为1且过点的直线与圆相切 (1)求圆的方程； (2)过的直线交圆于、，若面积为，求直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）过点且斜率为1的直线方程，再求出圆心到直线的距离即圆的半径，从而得到圆的方程； （2）设到直线的距离为，由面积求出，再分斜率存在与斜率不存在两种情况讨论. 【详解】（1）过点且斜率为1的直线为， 则圆心到直线的距离， 所以半径，则圆的方程为； （2）设到直线的距离为，则，解得， 若直线斜率不存在，方程为，满足题意； 若直线斜率存在，设为，直线的方程为， 因为，所以，解得， 直线的方程为，即； 综上，直线方程为或.    1．（2023·广西南宁·模拟预测）已知直线和圆相交于M，N两点，当的面积最大时，m＝（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】结合圆的几何性质，求得弦长与点到直线的距离即可求解. 【详解】圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 则弦长为， 则的面积为 令，，则， 则当时，取得最大值， 此时，解得或. 故选：C 2．（多选题）（2023·福建泉州·三模）已知AB为圆的直径，直线与y轴交于点M（A，B，M三点不共线），则（    ） A．l与C恒有公共点 B．是钝角三角形 C．的面积的最大值为l D．l被C截得的弦的长度最小值为 【答案】ABD 【分析】M是一个在圆内的定点，可以判断AB选项；根据AB是定值可以判断到的距离最大时，三角形面积最大，从而判断C选项；l被C截得的弦的长度的最小时，圆心到直线的距离最大，从而判断D选项. 【详解】直线与y轴交于点M，， 且M在圆内部， 所以l与C恒有公共点，A正确； 因为点M在圆内部，为钝角，是钝角三角形，B正确； M到AB的最大距离，即到圆心的距离为1， ，故C错误； l被C截得的弦的长度的最小时，圆心到直线的距离最大， 且此距离为M到圆心的距离为1，故弦长为，故D正确. 故选：ABD 3．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 . 【答案】（中任意一个皆可以，答案不唯一） 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出． 【详解】的圆心为，半径， 设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得或， 由，所以或， 解得或． 故答案为：（中任意一个皆可以，答案不唯一）． 4．（23-24高二上·福建南平·期末）已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆相交于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆心坐标为，由题意，解方程组得圆心，进一步求得半径即可； （2）求出圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式求得即可得解. 【详解】（1）设圆心坐标为， 由于圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点， 可得，解得，即圆心坐标为， 由于圆与轴相切于点，则半径. 所以圆的方程为. （2）依题意，圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交于两点， 所以弦长， 所以. 【拓展训练一 直线与圆的相关求解问题】 【例1】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知定点，圆与轴相切，直线是圆的一条对称轴．若圆上存在两点使得，则圆圆心的横坐标的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆心，求出与圆相切且时的取值，即可得解. 【详解】由题意作图，由于圆心在直线上，设， 又圆与轴相切，所以圆的半径. 当点在圆上或圆内时，显然存在满足条件，此时， 当点在圆外时， 经分析，当与圆相切时，取最大值， 由已知时，，此时， 所以 所以， 整理得，所以， 即圆圆心的横坐标的取值范围为. 故选：D.    【例2】（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆. (1)求的取值范围； (2)当取最小正整数时，若点为直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求线段的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合方程表示圆的条件，列出方程，即可求解； （2）由（1）得到圆心，半径为，得到，结合圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】（1）由方程表示圆，则满足， 即，解得或， 所以的取值范围是. （2）由（1），因为取最小正整数，所以， 所以圆，可得圆心，半径为， 又因为， 所以取最小值时取最小值，而取最小值， 即为圆心到直线的距离，可得， 所以. 1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知圆上的两点到直线的距离分别为，且.若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】设，由已知可得是的两根，由，计算即可得出结果. 【详解】设，由， 可知，即， 同理， 所以是的两根， 所以，所以. 选：D. 2．（多选题）（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知实数x和y满足，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AD 【分析】理解选项中关系式的几何意义，根据直线与圆的位置关系即可以对选项逐一判断. 【详解】设，变形为，此式表示圆上一点 与点 连线的斜率， 由 ，可得，此直线与圆有公共点，则 ， 解得，故 的最大值为，最小值为.故A正确，B错误， 令并将其变形为， 问题可转化为斜率为的直线在经过圆上的点时在轴上的截距的最值. 当直线和圆相切时在轴上的截距取得最大值和最小值， 所以，解得 ， 所以的最大值为，最小值为. 故C错误； 表示圆 上的点到坐标原点的距离， 原点到圆心的距离， 故圆上的点到坐标原点的最大距离为 ，故D正确， 故选：AD. 3．（2024·江苏·二模）已知圆O：，过点的直线l交圆O于A，B两点，且，则满足上述条件的一条直线l的方程为 . 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】由和圆中的几何关系求出点O到直线l的距离为1，然后利用点到直线的距离公式求出直线斜率即可 【详解】由题意得圆心，半径，， 故M点在圆O外，设点O到直线l的距离为d， 由得，即， 即，即，解得， 设直线l的方程为， 则或， 所以直线l的方程为或. 故答案为：（或，答案不唯一）. 4．（24-25高一下·上海·期末）已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．    (1)当时，求直线的方程； (2)设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值； 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）法一：设弦的中点为，分直线的斜率不存在与直线的斜率存在两种情况讨论可求得直线的方程；法二：设直线的方程为，利用点到线的距离可得，求解即可； （2）法一：由题意得，结合，可求面积的最小值；法二：前面与法一相同，利用，结合二次函数的知识可求得的最小值，进而可得结论； 【详解】（1）（解法一）设弦的中点为， ①当直线的斜率不存在时，易知符合题意．            ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为即， ，，则由，解得， 此时直线的方程为， 故直线的方程为或； （解法二）易知直线的斜率不为零，设直线方程为， ，，则由，解得或， 故直线的方程为或； （2）（解法一）由于、为圆的两条切线， 所以， 又，而的最小值为点到直线的距离，   所以， 故四边形面积的最小值为； （解法二） （前两步同解法一） 设点的坐标为，则， ， 所以当时，， 故四边形面积的最小值为； 【拓展训练二 圆的切线相关问题】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）过点作圆的切线，则的方程为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据两点坐标求距离公式判断在圆上，结合直线与圆的位置关系计算即可求解. 【详解】， ，圆心坐标为， ，即在圆上， 则过点的切线方程为， 整理得. 故选：C 【例2】（23-24高二上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在轴上， (1)若圆过点､点， 求圆的方程; (2)若圆与直线相切，且原点不在圆外，求当圆的面积最小时圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可以直接设圆的方程求解，也可以先设圆心和半径，利用弦的中垂线过圆心求解； （2）先设出圆的方程，利用直线与圆相切得到半径的关系式，利用单调性求出半径最小值即可. 【详解】（1）如图所示，    法一：设圆的方程为， 由已知可得 ，解得， 故圆的方程为； 法二： 设圆的方程为， 由已知可得，解得， 故圆的方程为； 法三：设圆的方程为 已知点､点，则线段的中点， 所以 ，则线段的中垂线的方程， 即 ，所以，， 故圆的方程为； （2）如图所示，    设圆的方程为， 因为圆与直线相切， 所以， 因为不在圆外，所以， 解得 ，所以， 当时，， 故当圆C的面积最小时圆的方程 1．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设过点的直线的方程为，由圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求出方程的解得到的值，由切线与平行，可得答案． 【详解】已知过点的直线与圆相切， 将点代入圆恒成立， 则点在圆上．即过点的直线与圆相切的切线只有一条， 令过点的切线的方程为，即， 由此切线与平行，两直线的斜率相等且轴截距不等， 可得且； 由圆心到切线的距离等于圆的半径，可得圆的半径， ，即. 故选：B． 2．（多选题）（22-23高二上·甘肃酒泉·期中）已知圆，从点观察点，要使视线不被圆O挡住，则a的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由题意首先求得的取值范围，然后确定可能的值即可． 【详解】解：设过点与圆相切的直线为， 则圆心到直线的距离为，解得， 切线方程为， 由点向圆引2条切线，只要点在切线之外，那么就不会被遮挡， 在的直线上，在中，取，得， 从点观察点，要使视线不被圆挡住，需或， 的取值范围是， 则可能的取值为，． 故选：AC． 3．（24-25高二下·上海闵行·期末）已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为 ． 【答案】 【分析】先求得半径，然后根据点斜式求得切线方程. 【详解】由于点在圆上， 所以，所以圆， 所以圆心，， 所以过点M的圆C的切线的斜率为， 所以过点M的圆C的切线方程为， 化简得. 故答案为： 4．（2025高二·全国·专题练习）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分斜率存在或不存在两种情况，若存在，设直线的方程，利用计算即可； （2）在中利用勾股定理即可. 【详解】（1）圆的方程可化为， 则圆的圆心为，半径， ①当直线的斜率不存在，则直线方程为，满足题意； ②当直线的斜率存在时，可设直线的方程是，即， 由圆心到直线l的距离，解得， 此时直线的方程是， 综上，直线的方程是或. （2）由（1）得直线的方程是， 则, 所以. 【拓展训练三 圆的弦长相关问题】 【例1】（24-25高二上·天津·期末）若直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线所过定点为，为使弦长最小，只有，进而可求出结果. 【详解】可化为， 令，解得，所以恒过定点， 因为，所以点在圆内部， 设圆心到直线的距离为， 则弦长，为使最小，必有取最大值； 当时，， 当不垂直时，必有； 因此时，最小，此时. 故选：B. 【例2】（24-25高二上·湖南邵阳·期末）已知圆过点，，且直线平分圆的周长. (1)求圆的方程； (2)过点的直线和圆交于，两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据圆心在线段的中垂线上，且在直线上，可得圆心坐标，进而求圆的半径，可得圆的标准方程. （2）分直线斜率是否存在讨论，转化为圆心到直线的距离列式求直线的斜率. 【详解】（1）由，为线段的垂直平分线的方程. 由，即圆心. 又 所以圆的标准方程为. （2）过点的直线的斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离为，由圆的弦长公式，可得弦长为，不符合题意； 当直线的斜率存在时，过点的直线的斜率为，则直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 因为直线和圆交于，两点. 若，由圆的弦长公式，可得， 解得或， 所以直线的方程为或. 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）直线被圆C：截得的弦长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆方程可知圆心坐标，半径为2， 圆心到直线的距离为：， 所以弦长为， 故选：D 2．（多选题）（24-25高二上·辽宁·期中）已知点，过点的直线交圆于两点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为1 B．满足的弦有且只有2条 C．当最小时，圆上的点到直线的距离最小值为0 D．当最小时，圆上的点到直线的距离最大值为 【答案】BCD 【分析】根据圆的几何性质判断ACD；设出直线的方程，结合圆的几何性质表示出，进而解方程判断B. 【详解】由圆，则圆心，半径为， 由于，所以点在圆内部. 当时，，故A错误， 此时圆上的点到直线的距离最小为0， 圆上的点到直线的距离最大为，故CD正确； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，则. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为， 所以， 当时，即， 整理得，由于， 则方程有两个不相等的实数根， 则满足的弦有且只有2条，故B正确. 故选：BCD. 3．（24-25高二上·全国·单元测试）已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】根据圆的半径、弦长可求出圆心到弦的距离，再利用点到直线的距离公式即可求出直线的斜率，从而得到直线方程. 【详解】圆的圆心，半径，圆心到直线的距离为3， 此直线与圆相切，因此直线的斜率存在． 设直线的方程为，即， 由，得圆心到直线的距离， 于是，解得或，所以直线的方程为或． 故答案为：或． 4．（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知直线与圆交于，两点，且. (1)求的值； (2)求过点的的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，根据求出； （2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可. 【详解】（1）圆即， 圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 又，所以，即，解得； （2）由（1）可得，则，即点在圆外， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意； 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即， 所以，解得， 所以切线方程为，即， 综上可得，过点的圆的切线方程为或.    1．（2025·湖北恩施·模拟预测）直线，圆，则圆上的点到直线的距离等于的点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据圆心到直线的距离和半径之间的长度关系，可确定所求点的个数. 【详解】因为直线，圆， 所以，， 由于圆的半径为2，所以恰好有3个对应的点到直线的距离等于. 故选：D. 2．（2025·湖南长沙·三模）已知是直线上的任意一点，若过点作圆的两条切线，切点分别记为A,B，则弦长AB的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据圆心到直线的距离可得，由于，所以与互补，从而得弦长AB最小得情况，即可得所求. 【详解】圆心到直线的距离为， 在直角三角形OAP中，， 所以，由于， 所以可得，则， 因为，所以与互补， 所以当时，弦长AB最小，此时，弦长. 故选：C. 3．（22-23高二下·江苏南京·阶段练习）已知过点且斜率为k的直线l与圆相交于两点．则为（    ） A．3 B．5 C．7 D．与k有关 【答案】C 【分析】根据题意，联立直线l与圆的方程得到，再利用向量的数量积运算即可得解. 【详解】依题意，设过点且斜率为k的直线l的方程为，设， 联立，消去，得：， 此时，显然有解， 故，， 所以 . 故选：C. 4．（22-23高三下·湖南岳阳·开学考试）直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，即可得到当直线l与线段CP垂直时，弦AB的长最小，再由勾股定理即可得到结果. 【详解】圆C：的圆心，半径为2， 由直线l：为， ∴直线l过定点， 又，∴P在圆C内部， 当直线l与线段CP垂直时，弦AB的长最小， ∵， ∴弦AB长的最小值为. 故选：C. 5．（24-25高二上·天津武清·期中）已知经过原点的直线与圆相交于，两点，若，则的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的一般方程可得出圆心，半径为2，利用弦长公式可得圆心到直线的距离，可得结果. 【详解】由， 即圆心，半径为2， 要使，则圆心到直线的距离， 设直线方程为： 所以，解得. 故选：A 6．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知是直线l：上一动点，过作圆O：的两条切线，切点分别为，则的大小可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】因为，由分析的最大值，结合选项做出判断. 【详解】因为，， 当时，取得最小值，最大，所以也最大. 此时，，解得， 所以最大值为， 所以C，D错误；A，B正确． 故选：AB. 7．（多选题）（22-23高二上·山西运城·期末）圆M：关于直线对称，记点，下列结论正确的是（    ） A．点P的轨迹方程为 B．点P与圆M上点的距离的最小值为 C．以PM为直径的圆过定点 D．若直线PA与圆M切于点A，则 【答案】ABC 【分析】由题意可知过圆心，代入即可得作出图象,利用直线与圆的关系依次判断各选项即可求得结果. 【详解】圆M：配方得： ， 圆M关于直线对称，直线过圆心. ,即 点P的轨迹方程为，A正确. 点P与圆M上点的距离的最小值的即为到直线的距离减去半径， 由于，则，B正确. 由，则在直线上，所以， 又，则， 则以PM为直径的圆过定点，C正确. 由于，要使取最小， 即取最小值，,，则D不正确. 故选：ABC. 8．（多选题）（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆：，下列结论正确的是（   ） A．过点且与圆相切的直线的方程为 B．过点且与圆相切的直线的方程为 C．直线：与圆交于，两点，则 D．直线：与圆交于，两点，则 【答案】AC 【分析】通过计算点到直线距离判断直线与圆的相切关系，根据弦长公式计算直线与圆相交时弦的长度. 【详解】对于A、B选项，首先，点到圆的圆心的距离为，刚好等于圆的半径，所以点在圆上. 显然斜率不存在时不满足题意，则设过点的切线方程为， 即. 根据圆心到切线的距离等于半径，由点到直线距离公式则， 即. 两边平方，解得. 所以切线方程为，即，A选项正确，B选项错误.   对于C、D选项，对于直线，圆心到直线的距离 . 根据弦长公式， 则，C选项正确，D选项错误. 故选：AC. 9．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知过原点的直线交圆于A，B两点，则下列说法正确的是（      ） A．若直线的方程为，且，则 B．若M，N为圆上的任意两点，当时，的最大值为 C．若原点在圆外，则 D．当时，AB中点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】对于A，由直线过圆的圆心，即可验算；对于B，由的最大值为即可判断；对于C，由切割线定理即可判断；对于D，分析可得，AB中点的轨迹是以为半径的半圆，由此即可验算. 【详解】由，即圆心，半径为2， 对于A，因为，所以在直线上，即，所以，正确； 对于B，由，所以，即在圆外， 所以与圆相切时最大，且， 此时，故的最大值为，错误； 对于C，根据切割线定理得（点为切点）， 又，所以，正确； 对于，由题设，且中点在以OC为直径的圆上，圆心为，半径为， 所以其轨迹方程为，且轨迹在圆的内部， 联立，可得相交弦所在直线为， 显然在直线上，故AB中点的轨迹是以为半径的半圆， 所以轨迹长度为，正确， 故选：ACD. 10．（多选题）（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆与直线，下列选项正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆必相交 C．圆截轴所得弦长为 D．直线被圆截得的最短弦长为 【答案】BCD 【分析】由直线过定点判断A，由定点在圆内判断B，由弦长的计算判断CD即可. 【详解】对于A，由直线，整理可得， 令解得则直线过定点，所以A错误； 对于B，圆的圆心为，半径，由定点到圆心的距离为，得直线与圆必相交（当直线经过圆内一点时，直线与圆必相交；当直线经过圆上一点时，直线与圆必有公共点，即相交或相切），所以B正确； 对于C，由圆心为，得圆心到轴的距离为1，所以圆截轴所得弦长为，所以C正确； 对于D，当定点与圆心的连线垂直于直线时，截得的弦是最短的， 此时最短弦对应的弦心距为， 所以最短弦长为，所以D正确. 故选：BCD. 11．（2025高二·全国·专题练习）已知圆，斜率为1的直线与交于，，以为直径的圆过原点，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】先设出直线方程，然后联立直线与圆的方程，得到交点坐标的关系，再根据以为直径的圆过原点得出向量垂直的条件，进而求解直线方程. 【详解】直线的斜率为1，设直线的方程为，联立，得， 设，，则，， 又直线与圆有两个交点，判别式，解得， 以为直径的圆过原点，，，即， ，即，解得或， 符合题意的直线有两条，其方程分别为或． 故答案为：或. 12．（23-24高三上·浙江·期中）已知圆：，过点的直线与圆相交于，两点，当面积最大时，直线的斜率为 .（写出一个即可） 【答案】或（答案不唯一） 【分析】根据面积最大时求出圆心到直线距离，设出直线方程，求出斜率即可. 【详解】 已知圆的半径， 如图，直线与圆相交于两点， 面积， 当面积最大时即， 此时圆心到直线的距离， 设直线的斜率为，则直线方程为， 则， 解得：或. 故答案为：或（答案不唯一） 13．（2024高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】根据条件得到点在圆上，从而得到切线的斜率为，即可求出结果. 【详解】因为圆的圆心为，， 易知点在圆上，又，所以切线的斜率为， 故切线方程为，即. 故答案为：. 14．（2023高三·全国·专题练习）从直线上的任意一点作圆的两条切线，切点为，则弦长度的最小值为 ． 【答案】 【详解】设，易知的极线方程为，即可得弦必过，易得圆上，过的最短的弦长为． 15．（2025·贵州黔东南·三模）直线与圆交于两点，若的最大值为4，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先结合题意并利用圆的性质得到，进而分析出当最大时，的值最小，再利用圆的性质得到此时，进而结合斜率公式求出，再利用点到直线的距离公式求出，最后利用勾股定理求出的最小值即可. 【详解】因为直线与圆交于两点， 所以当的值最大时，其为圆的直径，而的最大值为4，得到， 则圆的方程为，设圆心到直线的距离为， 如图，记圆心，直线必过定点， 由圆的性质得，当时，最大，此时的值最小， 由斜率公式得，此时， 由题意得，则， 由点到直线的距离公式得， 由勾股定理得，解得， 综上可得的最小值为. 故答案为： 16．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知圆 与圆 ， 直线 (1)判断 与圆 的位置关系并证明； (2)过动点 分别作两圆的切线 ( 分别为切点)，若 ， 求 的最小值. 【答案】(1) 与圆 相交. (2) 【分析】（1）求出动直线所过的定点后可判断直线与圆的位置关系； （2）先求出的 轨迹方程后利用点到直线的距离公式可求最小值. 【详解】（1）直线的方程可化为：，令， 故，故直线过定点，而， 故该定点在圆的内部，故 与圆 相交. （2）两圆的半径均为1， 因为，故即， 故，故， 故的轨迹为直线. 因为表示，而，故. 故的最小值为. 17．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）已知圆M过，两点，且圆心M在上． (1)求圆M的方程； (2)设P是直线上的动点，是圆M的两条切线，为切点，求四边形PAMB面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆心M在上可设，圆的半径为，根据圆所过两点的坐标列出方程组求出圆心和半径，即可得出圆的方程； （2）根据题中条件，得到与全等，则四边形面积为，进而可求出结果. 【详解】（1）由题意，因为圆心在上，所以可设， 设圆的半径为， 又圆过，两点， 所以，解得，则圆心为， 所以圆的方程为； （2）因为是圆的两条切线，为切点， 所以，，因此与全等， 又点到直线的距离为， 则直线与圆相离， 所以四边形面积 ， 当且仅当与直线垂直时，四边形的面积最小，最小值为.    18．（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）已知圆，过定点作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点. (1)过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点，求四边形EGFH面积的最大值. (2)设曲线C与x轴交于P、Q两点，直线PE与直线QF相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程;若不是，说明理由. 【答案】(1)7 (2)是， 【分析】（1）根据圆的标准方程写出圆心坐标和半径，设过点的直线l方程及与之垂直的直线的方程，根据点到直线的距离公式及圆截直线的弦长公式，分别写出两个弦长的表达式，再写出四边形面积并根据基本不等式求其最大值即可. （2）联立直线l方程与圆的标准方程，可得韦达定理.再写出的方程，联立并化简解得即可判断. 【详解】（1）已知圆，则圆心为，. 设直线，圆心到直线的距离， 则. 直线与直线垂直，则直线. 当时，. 当且仅当时S取到最大值7. 当时，，， 综上，当时S取到最大值7. （2） 设，记，，直线，. 联立直线和圆，得. 恒成立，，，， 可得直线 ，解得， 所以点N恒在定直线. 19．（24-25高二上·广西钦州·期末）已知圆过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)经过点作直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆的方程为，带入A、B点的坐标以及将圆心带入直线方程构成方程组，解方程组可得答案； （2）分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况进行讨论，结合点到直线的距离公式即可求得切线l的方程. 【详解】（1）设圆的方程为， 则，解得， 所以圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，得， 则直线的方程为，即. 故直线的方程为或. 20．（22-23高二上·安徽黄山·期末）已知直线：和圆：． (1)求直线截圆所得弦的长； (2)若直线垂直于直线，且和圆相切于点，求点的坐标． 【答案】(1) (2)和. 【分析】（1）根据直线与圆的相交弦长公式求解即可； （2）利用直线垂直于直线设直线的方程，由直线与圆相切，可得直线的方程与直线的方程，根据直线，联立两直线方程即可得切点的坐标. 【详解】（1）圆：可化为， 则圆心的坐标为，半径， 到的距离为，     所以直线截圆所得弦长； （2）若直线垂直于直线，则设的方程为，又直线与圆相切， 所以到的距离为，解得或， 所以的方程为或，         由于切点为，则，设直线方程为代入，得， 所以直线方程为，     由和分别解得的坐标为和. 学科网（北京）股份有限公司 $$