专题1.4 直线的交点坐标与距离公式重难点题型讲义（4个知识点+15大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版选修第一册）

专题1.4 直线的交点坐标与距离公式重难点题型专训 （4个知识点+15大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 求直线交点坐标 题型二 由直线的交点坐标求参数 题型三 三线能围成三角形的问题 题型四 直线交点系方程及应用 题型五 求平面两点间的距离 题型六 用两点间的距离公式求函数最值 题型七 距离新定义 题型八 求点到直线的距离 题型九 已知点到直线距离求参数 题型十 求到两点距离相等的直线方程 题型十一 求点关于直线的对称点 题型十二 光线反射问题(2)直线关于直线对称 题型十三 求平行线间的距离 题型十四 由距离求已知直线的平行线 题型十五 将军饮马问题求最值 拓展训练一 直线交点问题 拓展训练二 距离相关求解问题 拓展训练三 关于直线对称问题求解 知识点一：两条直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)， 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 【知识剖析】 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数． 【即时训练】 1．（22-23高二上·新疆巴音郭楞·期中）直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两直线方程联立，解方程组即可求解. 【详解】联立方程组，解得：， 所以直线与直线的交点坐标是， 故选：. 2．（2023高二上·全国·专题练习）已知直线和的交点在第四象限，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出两直线交点的坐标，根据交点位置可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】联立可得， 所以，两直线的交点坐标为，且交点在第四象限， 则，解得，因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 知识点二：两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 【知识剖析】 此公式与两点的先后顺序无关,也就是说公式也可以写成|AB|=. 【即时训练】 1．（24-25高二上·全国·单元测试）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合和两点间的距离公式进行求解． 【详解】由所求的式子的形式想到距离之差， ， 可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差， 则（当且仅当三点共线时取等号）， 所以的最大值为． 故选：B. 2．（24-25高二上·全国·课前预习）顺次连接构成一个等腰三角形，则实数m的一个取值可能为 ． 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】分别计算、、时的的值即可. 【详解】当时，由两点间距离公式可得，解得； 当时，由两点间距离公式可得， 解得； 当时，由两点间距离公式可得， 此时方程无解，综上，m的取值可能为． 故答案为：（或，答案不唯一）. 知识点三：点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 【知识剖析】 （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； 【即时训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】可以看作是点到点的距离的平方；已知，那么点在直线上，所以求的最小值，就是求点到直线的距离的平方. 【详解】因为， 所以问题可转化为求直线上的点到点的距离的最小值， 故求点到直线的距离即可，因为距离， 所以． 故选：D. 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）点到直线的距离为 【答案】/ 【分析】应用点线距离公式求距离即可. 【详解】由点线距离公式知，点到直线的距离为. 故答案为： 知识点四：两平行线间的距离公式 两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(A2+B2≠0,C1≠C2)间的距离公式为 (A2+B2≠0). 【知识剖析】 （1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； （2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式． 【即时训练】 1．（24-25高二上·河北保定·期末）直线与直线的距离（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平行线间的距离公式，即可求得答案. 【详解】由题意知直线，即与直线平行， 故它们之间的距离为， 故选：A 2．（24-25高二上·江西九江·期末）两平行直线，之间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】先将变换直线为，再利用两平行线间的距离即可求得结果. 【详解】由题意得，由两平行线间的距离公式，得． 故答案为： 【经典例题一 求直线交点坐标】 【例1】（24-25高二上·天津北辰·期中）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出交点坐标，再根据与直线 的位置关系求出斜率，运用点斜式方程求解. 【详解】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ； 直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ， 由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ； 故选：D 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知过点，分别交于点． (1)若，求直线的方程； (2)若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由得点为的中点，设点、点，由中点坐标公式和点在线上列方程即可求解； （2）先由得点A为的中点，设点、点，由中点坐标公式和点在线上列方程求出参数解，再结合两点式方程即可求解. 【详解】（1）若，则点为的中点， 设点，再设点， 则， 所以，则直线的方程为：． （2）若，则点A为的中点， 设点，再设点， 则， 所以，则直线的方程为：，即． 1．（22-23高二上·四川雅安·阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P（如图11）．若光线QR经过的重心，则Q的坐标等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出直线与直线的解析式，即可得出Q的坐标. 【详解】由题意，如图建立直角坐标系：      则，直线方程为即， 三角形重心为即， 设，关于直线对称点为， 则，解得 由光的反射可知四点共线，又， 所以直线斜率为， 则直线方程为，且过重心， 即，整理得，解得舍去，， ∴直线的解析式：，即， ∵直线与直线交于点， ∴，解得：，即. 故选：B. 2．（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】分、、及三条直线相交于一点四种情况讨论，分别求出所对应的的值，即可得解. 【详解】①时，则，解得，经检验符合题意； ②时，则，解得，经检验符合题意； ③时，则，解得，经检验符合题意； ④三条直线交于一点，解得或， 则实数可取值的集合为，即符合题意的实数共6个. 故选：D 3．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）过点作直线l，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点P平分，则直线l的一般式方程为 ． 【答案】 【分析】首先判断直线的斜率存在，设直线，分别联立方程组可得、坐标，由中点公式可得的方程，解出，代入直线方程即可． 【详解】当直线l的斜率不存在时，两交点为， 不满足所截得的线段恰好被点P平分， 当直线l的斜率存在时，设直线且， 联立方程组，可得,， 同理联立方程组，可得,， 由中点坐标公式得，解得， 直线的方程为． 所以直线l的一般式方程为. 故答案为： 4．（23-24高二上·河北·期中）已知直线：与：． (1)当时，求直线与的交点坐标； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得到：，：，再联立求解； （2）根据，由求解. 【详解】（1）解：因为， 所以：，：． 联立方程组， 解得， 故直线与的交点坐标为． （2）因为， 所以，解得或． 当时，与重合，不符合题意． 当时，与不重合，符合题意． 故． 【经典例题二 由直线的交点坐标求参数】 【例1】（22-23高二上·河北邯郸·阶段练习）已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立两直线方程求出交点坐标，由交点在第四象限，列方程组求实数k的取值范围. 【详解】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 两直线的交点在第四象限，则有，解得或， 所以实数k的取值范围为. 故选：D. 【例2】（23-24高二上·江苏南通·开学考试）解决下列问题： (1)一直线被两直线：，：截得线段的中点是，求此直线方程； (2)过点的直线交轴、轴的正半轴于A、B两点，求使：面积最小时的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设该直线与直线的交点为，与直线的交点为，根据中点坐标公式列出方程组，求得，，再求得该直线的斜率，从而可得直线方程； （2）设直线的方程为，由题意得到.利用基本不等式得到，代入三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）设该直线与直线的交点为，与直线的交点为，由中点坐标公式可得. 则该直线与直线的交点为，直线斜率为，所以直线方程为：，即．即此直线方程为． （2）设直线的方程为，则，， 直线过点，，则， 当且仅当时取等号，，， 当且仅当，时，取最小值，此时直线的方程为， 即． 1．（23-24高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 【答案】C 【分析】利用垂直可求，根据垂足坐标可求，进而可得答案. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得； 垂足在直线上，所以， 垂足在直线上，所以， 所以. 故选：C 2．（22-23高二上·北京顺义·期末）若直线与直线的交点为，则实数a的值为（    ） A．-1 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意可列方程，解方程即可得出答案. 【详解】直线与直线的交点为， 所以. 故选：A. 3．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知直线经过两直线和的交点，则的值等于 . 【答案】 【分析】联立方程组，求得两直线的交点坐标，代入直线，即可求解. 【详解】联立方程组，解得，即两直线的交点为， 将点代入直线，可得，解得， 即实数的值为. 故答案为：. 4．（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知直线l：. (1)求证：直线l过定点； (2)若直线l被两平行直线：与：所截得的线段AB的中点恰好在直线上，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）将直线方程化为，令即可确定定点证明结论. （2）联立直线方程分别求出C，D的坐标，求其中点M的坐标，易知其同时为AB的中点，最后代入题设直线方程求参数即可. 【详解】（1）由已知：，即， 令，解得：x=1，y=4， ∴直线l恒过定点(1,4). （2）设直线，分别与直线交于C，D两点， 由，解得C， 由，解得D， ∴CD的中点M的坐标为(－2,－2)， 不妨设A在直线上，B在直线上，则△AMC≌△BMD，即MA=MB，故M(－2,－2)为AB的中点， 将M代入直线l的方程得：，解得· 【经典例题三 三线能围成三角形的问题】 【例1】（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分线线平行和三线共点讨论即可. 【详解】若，则，解得．若，则，解得． 若，，交于一点，联立方程组，解得得， 代入，得，解得，故a的取值集合为． 故选：D. 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，，．当为何值时，它们不能围成三角形？ 【答案】当时，三条直线不能围成三角形. 【分析】当三条直线中的任意两条平行，或三条直线交于一点时，三条直线无法围成三角形，列式求解即可. 【详解】当三条直线中的任意两条平行，或三条直线交于一点时，三条直线无法围成三角形， 当时，，即，经验证符合题意； 当时，，，经验证符合题意； 当时，，无解； 当三条直线交于一点时，则由 ，解得：， 将点代入直线， 整理为，解得：或. 综上可知：当时，三条直线不能围成三角形. 1．（23-24高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案. 【详解】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点， 若平行，则，即； 若平行，则，即无解； 若平行，则，即； 若三条直线交于一点，，可得或； 经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个. 故选：B 2．（多选题）（23-24高二上·河南商丘·阶段练习）（多选）平面上有三条直线，将平面划分为六个部分，则实数的所有可能取值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】ABC 【分析】先求得的交点，对进行分类讨论，画出图象，结合图象求得的范围，从而确定正确答案. 【详解】由解得，设， 当时，直线即，画出图象如下图所示，此时三条直线围成三角形， 平面划分为部分，不符合题意.    当时，直线的斜率为， 当直线过时，， 平面划分为部分，符合题意.    直线的斜率为，直线的斜率为， 当时，如下图所示，平面划分为部分，符合题意，    当时，如下图所示，平面划分为部分，符合题意，    当且且时，三条直线围成三角形， 平面划分为部分，不符合题意. 所以ABC选项正确，D选项错误. 故选：ABC 3．（24-25高二上·全国·单元测试）已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为 ． 【答案】/ 【分析】设直线与直线的交点分别为，且，则，代入直线，即可得点的坐标，则可算出和直线的方程，再求的交点到的距离，最后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】设直线与直线的交点分别为，且，则由题意可知，点关于点的对称点在上,所以，解得， 所以，所以． 因为直线过点，所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即． 联立的方程得解得的交点坐标为． 因为点到直线的距离， 所以这三条直线围成的三角形面积为． 故答案为：． 4．（22-23高二上·北京顺义·阶段练习）已知两点，，直线为线段AB的垂直平分线：直线：，求 (1)直线的方程 (2)直线与的交点坐标 (3)直线，与坐标轴所围成的三角形的面积 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用中点坐标和直线垂直的斜率关系，结合点斜式即可得解； （2）联立直线与的方程即可得解； （3）分别求得，在坐标轴上的截距，结合图象，利用三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）因为，的中点为 ，， 所以直线的斜率为，则其方程为，即. （2）联立直线与的方程，，解得， 所以直线与的交点坐标为，不妨记为. （3）对于直线，它在轴的截距为； 对于直线：，它在轴的截距分别为；    结合图象可知，线，与坐标轴所围成的三角形为，其中，， 所以. 【经典例题四 直线交点系方程及应用】 【例1】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】首先求直线所过定点，再判断选项. 【详解】， ，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限 故选：A 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知两直线和的交点为P．求： (1)过点P与的直线方程； (2)过点P且与直线平行的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出过直线和交点的直线方程，把点代入方程求出参数，再化简即可求出所求直线. （2）由两直线平行的性质，列方程求出对应的参数，再化简即可求出所求直线. 【详解】（1）设过直线和交点的直线方程为，即．① 把点代入方程①，化简得，解得， 所以过点P与Q的直线方程为，即． （2）由两直线平行，得，得， 所以所求直线的方程为，即． 1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据条件求，再根据两点确定一条直线，求直线方程，根据垂直关系，即可求中垂线方程. 【详解】由条件可知，，， 且，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以， 所以点满足直线，即直线方程为， ，与直线垂直的直线方程的斜率为， 所以中垂线方程为，整理为. 故选：A 2．（23-24高二上·全国·课后作业）方程组解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】A 【分析】根据两条直线平行判断解的个数即可. 【详解】因为，所以方程组表示的两条直线平行，则方程组无解． 故选：A 3．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据直线相交设所求直线为，结合直线过原点求参数，即可得方程. 【详解】令所求直线为， 又直线过原点，则， 所以所求直线为. 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）从的顶点引的垂线，垂足为．在上任取一点，直线交于交于，试证平分和所成的角． 【答案】证明见解析 【分析】建立如图所示直角坐标系，设，求出过交点的直线系方程，进而求得的直线方程，同理求出的直线方程，由方程判断得证. 【详解】建立如图所示直角坐标系， 设，于是 ，① ．② 过交点的直线系是：. 令，得.③ 直线③过原点，因此③即为的直线方程. 同理，的直线方程为. 显然，直线与直线的斜率互为相反数，故平分与所成角. 【经典例题五 求平面两点间的距离】 【例1】（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在中，，，，当点、分别在、轴上运动，点到原点的最大距离是（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】取的中点，连接，，根据数形结合分析可知，根据，，的位置关系即可求解. 【详解】取的中点，连接，， ，， ， 由图可知，， 当，，三点共线时，等号成立， 所以点到原点的最大距离是. 故选：A 【例2】（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）（1）求的交点坐标. （2）用坐标法证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和． 【答案】（1）（2）证明见解析 【分析】（1）直接联立两直线方程，解方程组即可求得交点坐标. （2）画出图形，建立适当的平面直角坐标系，设出点的坐标结合两点间的距离公式证明即可. 【详解】（1）解方程组得， 所以，与的交点坐标是. （2）如图， 建立平面直角坐标系， 在平行四边形中，点A的坐标是，设点B的坐标为，点D的坐标为，由平行四边形的性质，得点C的坐标为． 由两点间的距离公式，得 ，，，． 所以， ． 所以， 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍． 1．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析得直线过定点，当与直线垂直时距离有最大值，利用两点间距离公式计算可得结果. 【详解】 由得， 由得，故直线过定点. 记点为点，当与直线垂直时，点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D. 2．（多选题）（23-24高二·全国·课后作业）若两平行线分别经过点A（5，0），B（0，12），则它们之间的距离d可能等于（    ） A．14 B．5 C．12 D．13 【答案】BCD 【分析】由题意可知当两平行线与A，B两点所在直线垂直时，两平行线间的距离d最大，求得，即可得出答案. 【详解】因为两平行线分别经过点A（5，0），B（0，12）， 易知当两平行线与A，B两点所在直线垂直时，两平行线间的距离d最大， 即，所以， 故距离d可能等于5，12，13. 故选：BCD． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】利用两点间距离公式求出，再分析得到最值即可. 【详解】因为：与直线：的交点坐标为， 所以， 若最大，则最小，则最小， 而，当且仅当时取等，此时， 所以的最大值是． 故答案为： 4．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知点，，点C在x轴上，且是直角三角形，． (1)求点C的坐标； (2)求的面积； (3)求斜边上的中线所在直线的方程． 【答案】(1) (2)10 (3)． 【分析】（1）设出C点坐标，利用垂直，转化为斜率之积为即可求出的值； （2）求出两直角边长，代入三角形面积公式即可； （3）写出AC中点E的坐标，利用直线的点斜式方程即可求出斜边中线所在直线方程． 【详解】（1）设．因为，所以， 显然，则． 因为，， 所以，解得，则． （2），， 的面积为． （3）记AC的中点为E，则． 直线BE的斜率为， 直线BE的方程为，即， 所以斜边上的中线所在直线的方程为． 【经典例题六 用两点间的距离公式求函数最值】 【例1】（23-24高二上·广东广州·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．已知x，y满足，则的最大值为 C．已知x，y满足，则的取值范围是 D．已知x，y满足，则的最大值为0 【答案】A 【分析】 函数表示到点和的距离之和，计算距离得到A正确，举反例得到BCD错误，得到答案. 【详解】对选项A：， 表示到点和的距离之和，最小值为， 正确； 对选项B：取，满足条件，此时，错误； 对选项C：取，满足条件，此时，错误； 对选项D：取，满足条件，此时，错误； 故选：A 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知正三角形的边长为a，在平面上求点P，使.最小，并求出最小值. 【答案】最小值，. 【分析】以的中点为坐标原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，用两点间距离公式表示求解. 【详解】记的中点为O，以O为坐标原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示.    则. 设，则， ， 所以当时，有最小值，此时. 【点睛】本题主要考查平面内两点间距离公式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 1．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记点、、、，，可得出，数形结合可得出所求代数式的最小值. 【详解】记点、、、，，如下图所示： 易知四边形是边长为的正方形， 所以，，，， 所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立， ， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 所以 ， 当且仅当点为线段、的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 2．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知，，，为四个实数，且，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】设，换元后所求式子为，转化为求动点与两定点距离和的最小值即可得解. 【详解】设，则， 所以 ， 而可看做轴上动点与两定点的距离和，如图，    由图可知当运动到时，最小，最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 3． （23-24高二·全国·课后作业）已知实数x，y，则的最小值是 . 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，结合两点间的距离公式求得所求的最小值. 【详解】如图所示，设点，，，，， 则. 因为，， 所以（当且仅当A是OC与BD的交点时等号成立）． 所以的最小值是． 故答案为： 4．（23-24高二上·全国·期中）求函数的最大值． 【答案】 【分析】可表示为、的距离减去、的距离，然后可得答案. 【详解】表示、的距离， 表示、的距离，所以， 因为， 所以. 【经典例题七 距离新定义】 【例1】（2024·福建·高考真题）对于直角坐标平面内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”；.给出下列三个命题： ①若点C在线段上，则； ②在中，若，则； ③在中，. 其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据新定义，结合反例，可得答案. 【详解】对于①，若点在线段上，设点的坐标为，则在之间，在之间， 即，故①成立； 对于②，取, 则，显然不成立； 对于③，取, 作为，故③不成立. 故选：A. 【例2】（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）设是平面直角坐标系上的两点，现定义由点到点的一种折线距离为.对于平面上给定的不同的两点. (1)若点是平面上的点，试证明：； (2)若两点在平行于坐标轴的同一条直线上，在平面上是否存在点，同时满足：①；②？若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】 （1）利用给定新定义结合绝对值不等式证明即可. （2）进行合理分类讨论，求出符合情况的点即可. 【详解】（1）由绝对值不等式知，， 而， 当且仅当，时等号成立， 即三点共线时等号成立． 故成立. （2）点与点是在同一条平行于坐标轴的直线上的两个不同的点，可分下列两种情况讨论： 若，则， 由条件①，得， ，，. 由条件②，得， ， . 因此，所求的点. 若，则， 由条件①，得， 代入条件得，解得， 结合条件②得，代入条件得， 解得，故.可得符合条件的点. 综上，当，时，存在符合条件的点， 当， 时，存在符合条件的点， 1．（2025高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，定义点，之间的“直角距离”为．给出下列命题： ①若点在线段上，则； ②在中，若，则； ③在中，． 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用新定义推理判断①；举例说明判断②③. 【详解】对于①，点在线段上，设点的坐标为，则在之间，在之间， 即，①正确； 对于②，取，则，②错误； 对于③，取，则，③错误， 所以真命题的个数为1. 故选：B 2．（多选题）（24-25高二上·全国·课后作业）（多选） “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（    ） A．若点，则 B．若点，则在轴上存在点，使得 C．若点，点在直线上，则的最小值是3 D．若点在上，点在直线上，则的值可能是4 【答案】ACD 【分析】利用“曼哈顿距离”的定义计算判断AD；结合绝对值的意义判断B；作出图形，借助几何意义求解判断C. 【详解】对于A，由曼哈顿距离的定义知，A正确； 对于B，设，则，B错误； 对于C，作轴，交直线于，过作，垂足为，如图①所示：    由曼哈顿距离的定义可知，而点， 当不与重合时，由直线的斜率为，得， 则；当与重合时，， 于是，因此，C正确． 对于D，如图②所示，取，，则，D正确． 故选：ACD    3．（2023高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，定义P（x1，y1），Q（x2，y2）两点之间的“直角距离”为d（P，Q）＝｜x2－x1｜＋｜y2－y1｜．已知点B（1，0），点M是直线kx－y＋k＋3＝0（k＞0）上的动点，则 . 【答案】5 【详解】由结论1，可得，则 4．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创立的．在出租车几何学中，点还是形如的有序实数对，直线还是满足的所有组成的图形，角度大小的定义也和原来一样，对于直角坐标系内任意两点定义它们之间的一种“距离”（“直角距离”）：．请解决以下问题： (1)求线段上一点到原点的“距离”； (2)求所有到定点的“距离”均为2的动点围成的图形的周长； (3)在“欧式几何学”中有如下两个与“距离”有关的正确结论： ①平面上任意三点A，B，C，； ②平面上不在一直线上任意三点A，B，C，若；则是以为直角三角形. 上述结论对于“出租车几何学”中的直角距离是否还正确，并说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)①正确，②错误；理由见解析 【分析】（1）根据“直角距离”的定义直接求解即可； （2）设点到定点的“距离”为2，再根据定义：任意两点间的“距离”，分四种情况求解即可； （3）直接证明或举出反例判断即可. 【详解】（1）易得线段上一点到原点的“距离”为： . （2）设点到定点的“距离”为2， 则①当时，， 此时为线段， ②当时，， 此时为线段， ③当时，， 此时为线段， ④当时，， 此时为线段， 易得围成的图形的形状为以，为顶点的正方形， 故周长为. （3）①设， 则，，， 根据绝对值三角不等式可知，， 同理， 故， 故成立，故①正确； ②设， 则，， ， ，， ， 满足，但，故②错误. 综上所述：①正确，②错误. 【点睛】解答新定义问题的策略： （1）通过给定的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. （2）遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决. 【经典例题八 求点到直线的距离】 【例1】（24-25高二上·四川乐山·期末）点到直线（为任意实数）距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】法一：写出点到直线的距离的表达式，换元，利用对勾函数的性质即可求解；法二：利用几何法即可求出最值. 【详解】法一：点到直线的距离为， ， 令，当时，， 当时，，由对勾函数的性质可知， 所以，所以， 所以. 法二：易知直线过定点，则点到直线的距离最大值为定点到的距离，即. 故选：C. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知点，直线，求点到直线的距离． 【答案】 【分析】设点在直线 上的射影为，则点到直线的距离即为线段的长度，通过设出垂足坐标，利用参数法进行推导. 【详解】过点作直线与已知直线垂直，垂足为，设， 列出垂直相关条件： 写出距离式：．③ 令，则有， 此时③式化为． 问题已转化为求，故只要把代入①式即得． ， 所以点到直线的距离就是，且当时也成立． 1．（24-25高二上·江苏·期中）已知，为上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】的最小值即为与的距离的平方的最小值，然后求点到直线的距离即可求解. 【详解】由于， 所以的最小值即为与的距离的平方的最小值， 则点到直线上的最小值即为点到直线的距离， 故，所以的最小值为. 故选：C. 2．（多选题）（2024·北京朝阳·模拟预测）已知，直线.若点不在直线上，则直线与相交的充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用点与直线的同侧与异侧两种情况讨论，同侧时，判断直线与是否平行可得结论. 【详解】C，因为点不在直线上，所以， 当时，点位于直线的异侧，故直线与相交， 所以是直线与相交的充分条件，故C正确； A，若，又，所以满足， 所以是直线与相交的充分条件，故A正确； B，由点到直线，， 由，可得，又同号，可得在直线的同侧， 所以直线，故是直线与相交的不充分条件，故B错误； D，由，可得同号，当时，可得， 故是直线与相交的不充分条件，故D错误. 故选：AC. 3．（2025·吉林·模拟预测）平面上的整点（横纵坐标都是整数的点）到直线的距离的最小值为 ． 【答案】/0.08 【分析】设整点，由点到线的距离公式，得到是5的倍数，进而可求解. 【详解】设整点，则， ，，， ，是5的倍数， ，，． 故答案为： 4．（24-25高二上·广东广州·期中）如图，A、B是射线OM、ON上的两点，点Q是线段AB上一点，点Q到OM、ON的距离分别为2，．测得，．以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，点Q在第一象限． (1)求点Q的坐标； (2)设点P在平面xOy内，，且，线段AB上一动点C离点P最近时的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意写出直线的直线方程，利用两个距离建立方程，解得点到直线的距离公式，可得答案； （2）根据两直线垂直与点到直线距离，结合两点之间距离公式，建立方程，可得答案. 【详解】（1）由题意可得射线所在直线的斜率， 直线的方程为，一般式为， 由点到的距离为，且为轴，则设，， 由点到的距离为，则，整理可得， 解得或（舍去），所以点的坐标为. （2）由，且，则，由题意易知时，距离最近， 设，直线的斜率， 由题意可得，且在上，直线的斜率， 由，则，可得，即， 直线的方程为，整理可得， 点到的距离， 由，则到的距离为，可得， 所以，，解得或， 因为在线段上，所以，则，解得， 所以点的坐标为. 【经典例题九 已知点到直线距离求参数】 【例1】（23-24高二上·北京海淀·期中）点到直线的距离最大时，直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线方程确定定点，根据时点线距离最大，求出直线的斜率，进而可得直线的斜率，进而写出直线的方程. 【详解】由直线的方程整理可得：， 可得直线恒过定点，所以， 当 时，到直线的距离最大， 可得直线的斜率为，即， 所以直线的方程为， 即． 故选：． 【例2】（24-25高二上·山东·阶段练习）已知直线过点为坐标原点． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为3，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用两点斜率公式求的斜率，根据垂直关系求的斜率，利用点斜式求的方程； （2）分别在的斜率不存在和存在条件下求直线方程即可. 【详解】（1）因为点，所以直线的斜率为． 因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为． 又直线过点，则直线的点斜式方程为， 整理得． （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时原点到直线的距离为，满足题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即． 根据题意及点到直线的距离公式，得，所以． 两边平方，化简得，解得． 此时直线的方程为，整理得． 综上，直线的方程为或． 1．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【答案】D 【分析】求出点到直线的距离和点到直线的距离，二者相等求解方程即可. 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 因为点到直线的距离和点到直线的距离相等， 所以，所以或. 故选：D. 2．（多选题）（23-24高二上·云南昭通·阶段练习）已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】直线l：可化为， 依题意得，整理得，所以或． 当时，点的坐标为； 当时，点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或. 故选：AB． 3．（24-25高二上·河北承德·阶段练习）已知直线，当原点到的距离最大时，的方程为 . 【答案】 【分析】首先求出直线过定点，然后当时，原点到的距离最大，即可求出答案. 【详解】由可得， 由，解得，所以直线过定点， 当时，原点到的距离最大， 因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 4．（24-25高二上·山东济南·期中）求经过直线和直线的交点C，并且满足下列条件的直线方程. (1)与直线平行； (2)到原点的距离等于1. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设所求直线为，整理为一般方程后利用两直线平行的充要条件可求，即得解； （2）设所求直线为，整理为一般方程后利用点到直线距离求解，即得解. 【详解】（1）设所求直线为，即， 因为此直线与平行， 所以，解得， 故所求直线为. （2）由于原点到直线的距离为， 设所求直线为，即， 所以，解得或， 故所求直线方程为或. 【经典例题十 求到两点距离相等的直线方程】 【例1】（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）若点，到直线的距离相等，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 【答案】C 【分析】根据斜率公式以及中点坐标即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得． 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点，则，解得． 故选：C 【例2】（23-24高二上·陕西渭南·期中）已知直线和直线的交点为，求过且与和距离相等的直线方程； 【答案】或 【分析】求出交点坐标，然后分类求解，一是所求直线与直线平行，一是所求直线过线段中点． 【详解】联立，解得，交点为， 分两种情况：所求直线与直线平行或所求直线过线段的中点，结合点斜式可得出所求直线的方程.直线的斜率为，线段的中点坐标为. ①若所求直线与直线平行时，则所求直线的方程为，即； ②若所求直线过的中点时，则所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即. 综上所述，所求直线方程为或. 1．（24-25高二上·全国·单元测试）已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】法一：由点线距离公式列方程求参数值；法二：两点到直线的距离相等，则直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，列方程求参数值. 【详解】法一：因为点，到直线l：的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或； 法二：若，由，，得直线AB的斜率为，又直线l的斜率为，故； 若在两侧，线段AB的中点，代入直线l：，得，则． 经检验，或均符合题意. 故选：C 2．（多选题）（23-24高二上·河南·阶段练习）已知点到直线的距离相等，则直线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意可得直线过线段的中点或，再逐一检验各个选项即可. 【详解】由点到直线的距离相等， 得直线过线段的中点或， 对于A，直线的方程为，即，故A选项符合； 对于B，将线段的中点代入得， 所以直线过线段的中点，故B符合； 对于C，将线段的中点代入得， 所以直线不过线段的中点，故C不符合； 对于D，将线段的中点代入得， 所以直线过线段的中点，故D符合. 故选：ABD. 3．（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）直线过点，且和两点到直线的距离相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】分直线斜率不存在和存在两种情况：利用点到平面距离相等列式计算即可求. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线的方程为：时，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即， 由于和两点到直线的距离相等， 所以， 解得，此时直线的方程为：， 综上所述，直线的方程为：或. 故答案为：或 4．（23-24高二上·江西南昌·期中）三角形三个顶点是 (1)求AB边上的高所在直线的方程； (2)直线l过点A，且B，C两点到直线l的距离相等，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据两点斜率公式求解斜率，再利用垂直关系求出高的斜率，代入点斜式化为一般式方程即可； （2）设出直线方程，利用点到直线距离公式建立方程求解即可. 【详解】（1）直线的斜率， 边上的高与垂直，所以高所在的直线斜率为， 故AB边上的高所在直线的方程为，即. （2）易知直线斜率存在，设直线：，即. 因为B，C两点到直线l的距离相等，所以， 化简得，平方得，解得或， 所以直线的方程为或，即或. 【经典例题十一 求点关于直线的对称点】 【例1】（24-25高二上·上海·期中）已知点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题转化为直线上的点到点和的距离之和最小，利用对称点求解可得. 【详解】因为 表示到点和的距离之和. 又在直线上，关于的对称点为， 所以，三点共线时等号成立， 所以，所求最小值为：. 故选：B 【例2】（24-25高二上·陕西商洛·期中）（1）求过点，且与直线平行的直线的一般式方程； （2）求点关于直线的对称点的坐标. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设求直线方程为，代入点的坐标，求出的值，即可得出所求直线的方程； （2）设点，分析可知，线段的中点在直线上，由此可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标. 【详解】（1）根据题意，设所求直线方程为， 将点的坐标代入所求直线方程可得，解得， 故所求直线方程为； （2）设点，由题意可知，，线段的中点在直线上，且直线的斜率为， 所以，，解得，故点的坐标为. 1．（24-25高二上·北京·期中）若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知，设点关于直线的对称点为，再由垂直直线的斜率关系和点与点的中点在上，建立方程组，即可得到. 【详解】因为点关于直线的对称点在轴上， 设点关于直线的对称点为， 则有 ，解得. 故选：B. 2．（多选题）（24-25高二上·福建厦门·期中）已知点和是直线上的动点，则（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．存在，使最小 D．存在，使最小 【答案】ABD 【分析】求出关于直线的对称点坐标，即为的最小值，判断A 的最大值为（是直线与的交点），判断B， 线段的垂直平分线与的交点使得最小为，判断C， 利用函数性质可得的最小值，从而判断D． 【详解】在平面直角坐标系中作出点和直线， 由图可知，点和在直线同侧， 设点关于直线的对称点为， 则有，解得，得， 则，当且仅当为直线与直线的交点时，有最小值， 直线的斜率为，方程为， 由，解得， 所以存在，使最小， 最小值为，A选项正确；    又，当且仅当为直线与直线的交点时有最大值， 直线的方程为，即， 由，解得， 存在，使最大，最大值为，B选项正确； 最小值为，当且仅当，即为线段的垂直平分线与直线的交点， 的中点坐标为，直线的斜率为， 则线段的垂直平分线方程为，即， 由，解得， 存在，使最小，C选项错误 设， 当时有最小值，此时， 所以存在，使最小，D选项正确. 故选：ABD． 3．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知直线，，一条光线从点射出，经反射后，射到上，再经反射后，回到，则该光线经过的路程长度为 . 【答案】 【分析】分别求出关于对称的点，关于对称的点，求出即可求解. 【详解】如图，设关于对称的点为， 由得即. 设关于对称的点为，由 得即. 易得该光线经过的路程长度为. 故答案为：. 4．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线，点. (1)已知直线与平行，求的值； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据两直线平行的斜率关系列式运算得解； （2）设出对称点的坐标，利用中点在直线上，以及直线垂直，列出方程，即可求得结果. 【详解】（1）由直线平行直线，可得，解得或， 当时，直线符合题意， 当时，直线与直线重合，不合题意， 所以的值为3. （2）设对称点的坐标为，则中点的坐标为， 所以可得，解得， 所以的坐标为. 【经典例题十二 光线反射问题(2)直线关于直线对称】 【例1】（24-25高二上·浙江绍兴·期中）暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出点关于直线对称点的坐标，结合点的坐标即可求得入射光线所在直线的方程． 【详解】设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 因为入射光线经过点，所以所在直线的斜率为， 则入射光线所在直线方程为，即． 故选：D. 【例2】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知的一条内角平分线所在直线的方程为，两个顶点为． (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求第三个顶点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于直线对称列方程组求点即可； （2）根据点关于直线对称列方程组求点即可. 【详解】（1）设点关于直线的对称点的坐标为， 则有，解得，故点的坐标为 （2）设，则有，解得，故点的坐标为. 1．（23-24高二上·广东湛江·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意利用反射定律，可得反射光线所在直线经过点，点，再用两点式求得反射光线QP′所在的直线方程． 【详解】由题意可得反射光线所在直线经过点， 设点关于x轴的对称点为， 则根据反射定律，点在反射光线所在直线上， 故反射光线所在直线的方程为 ，即， 故选：A． 2．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知点，，从点射出光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后又经直线OB反射回点P，则光线经过的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴的对称点，则的长就是所求路程． 【详解】由题意直线方程为，设关于直线的对称点， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， ． 故选：C    3．（22-23高二上·江西南昌·阶段练习）设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是 【答案】 【分析】通过直线与的交点，以及直线上一点关于的对称点求得反射光线所在直线方程. 【详解】由解得， 所以直线与的交点为， 点在直线上， 点关于直线的对称点在反射光线上， 所以反射光线所在直线方程为， 整理得 故答案为：    4．（2024高三·全国·专题练习）求直线关于直线对称的直线的方程． 【答案】 【分析】法一，联立方程解出和的交点坐标，直线也过该点，在直线上取一点，求出点M关于直线l的对称点坐标，由两点式可得到直线的方程；法二，联立方程解出和的交点坐标，设直线的斜率为，由点斜式设出直线的方程，在直线l上取一点，则点Q到的距离与点Q到的距离相等，求出，即可求得直线的方程；法三，由于对称轴的斜率为，可用直接代入的方法：把，代入的方程，即可求得直线的方程. 【详解】解法一：由，得两直线的交点， 在直线上取一点，设点M关于直线l的对称点为， 则，解得，由题意知经过此点， 则由两点式得，即， 所以的方程为． 解法二：由解法一得，设直线的方程为，即， 在直线l上取一点，则点Q到的距离与点Q到的距离相等， 即，解得或（舍去）． ∴的方程为． 解法三：由于对称轴的斜率为， 可用直接代入的方法：把，代入， 得，即， ∴的方程为． 【点睛】方法点睛：解法三，凡对称轴方程的斜率为，均可用代入法．如果对称轴方程的斜率不为，则不能用此法，只能用上述的解法一和解法二． 【经典例题十三 求平行线间的距离】 【例1】（24-25高二上·山西大同·期中）已知实数满足， ， 则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，结合两平行直线距离公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，是直线上的点， 是直线上的点，则两直线平行， 的最小值是平行直线之间的距离的平方， 可得最小值为. 故选：D 【例2】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知四边形的四条边所在直线的方程分别为. (1)证明：四边形是平行四边形； (2)求四边形的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据直线得到斜率，根据斜率得到直线的位置关系，即可得到结果； （2）先根据两直线得到交点，得到两点之间的距离，再根据两平行线之间的距离可得到面积. 【详解】（1）证明：将和的方程化为截距式方程，得， 和的斜率相等且截距不等，， 同理可得， 四边形是平行四边形； （2）解：由得 同理可得， ， 又直线与间的距离， 四边形的面积. 1．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）直线：与直线：的距离是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】将直线的方程化为，进而根据平行线间的距离公式计算求解即可. 【详解】直线：化为， 又直线：，所以， 所以直线与直线的距离是. 故选：A. 2．（多选题）（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 【答案】BD 【分析】将直线化为，代入两平行线间距离公式分析求解. 【详解】将直线化为， 则，之间的距离， 即，解得或． 故选：BD． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）设两条平行直线的方程分别为，.已知、是方程的两个实根，且，则这两条平行直线之间的距离的最大值为 . 【答案】/ 【分析】利用韦达定理求出的取值范围，再利用平行间的距离公式可求得这两平行直线间距离 的最大值. 【详解】因为、是方程的两个实根， 由韦达定理可得，， 所以，， 又两条平行直线间的距离，所以，， 所以，两条平行直线间距离的最大值为. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知直线，，直线被，截得的线段长为，求直线的方程． 【答案】或 【分析】利用直线夹角公式、平行线间距离公式可得答案. 【详解】设，直线到直线的夹角为， 直线间的距离为， 由题知，，得， 由得 ． 由平行线间距离公式得，解得或． 直线方程为：或． 【经典例题十四 由距离求已知直线的平行线】 【例1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）与距离为的直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】设所求直线方程为，利用两平行直线间的距离公式得到方程，求出的值，即可得解. 【详解】依题意设所求直线方程为， 则两平行直线间的距离，解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：B 【例2】（24-25高二上·全国·单元测试）已知直线，在上任取一点，在上任取一点，过线段的靠近点的三等分点作的平行线． (1)求直线与之间的距离； (2)求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平行线间距离公式求距离； （2）设的方程为），再根据平行线间距离公式求解． 【详解】（1）易知与平行，所以两平行直线与间的距离． （2）由与平行，可设的方程为）． 由题意知与之间的距离为，所以有，解得或（舍去）， 所以的方程为． 1．（23-24高二上·全国·课后作业）若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为，然后利用两平行线间的距离公式列方程可求出的值，再利用点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】由题意，知点M在直线与之间且与两直线距离相等的直线上， 设该直线方程为，则，即， ∴点M在直线上， ∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线的距离，即. 故选：A. 2．（多选题）（23-24高二上·山西运城·期中）下列直线与直线l：平行，且与它的距离为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】设所求的直线方程为，再利用平行直线的距离公式即可求解. 【详解】设与直线l：平行的直线方程为， 由题意可得，解得或， 故所求直线的方程为或. 故选：AB 3．（23-24高二上·浙江·期中）直线与之间的距离相等，则直线的方程是 . 【答案】 【分析】先根据题意设出直线的方程，然后根据平行线间的距离公式即可列式求解. 【详解】显然直线平行，所以要求的直线也与平行，设直线的方程为， 则由平行线间的距离公式得，解得， 所以直线的方程为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·天津河西·期中）已知点到直线的距离均为，求直线的方程． 【答案】或或 【分析】分别讨论点的位置，再利用平行线间距离公式和点到直线距离公式建立方程，求解参数，最后得到直线方程即可. 【详解】当点在直线的同侧时，得到， 由斜率公式得直线的斜率为， 故直线的方程为，化简得， 则可设直线的方程为， 因为两平行直线间的距离为，所以，解得或， 直线的方程为或， 当点在直线的两侧时，得到线段的中点在直线上， 即点在直线上，且直线的斜率存在，可设直线为， 由点到直线的距离公式得，解得． 所以直线的方程为． 综上，直线的方程为线或或． 【经典例题十五 将军饮马问题求最值a】 【例1】（24-25高二上·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】先求出点关于直线的对称点为，则线段的长度即为最短总路程，再利用两点间的距离公式进行求解． 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， ，又点 故“将军饮马”的最短总路程为． 故选：A．      【例2】（23-24高一·全国·课后作业）求函数的最小值． 【答案】 【分析】利用两点间的距离公式，结合对称性求得正确答案. 【详解】， 表示点与点和点的距离之和， 点在轴上运算，画出图象如下图所示， 关于轴的对称点是，， 所以的最小值为. 1．（22-23高二上·河北石家庄·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知变形设出，，则为点分别到点，的距离之和，则，即可根据两点间距离计算得出答案. 【详解】， ， 设，，， 则为点分别到点，的距离之和， 点关于轴的对称点的坐标为， 连接， 则， 当且仅当，，三点共线时取等号， 故选：B. 2．（多选题）（24-25高二上·福建福州·期中）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案. 【详解】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 3．（24-25高二上·湖北·期中）已知点，动点P在直线上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先判断 A，B在直线的同侧，作B关于直线的对称点，当A，P，三点共线时，最小. 【详解】解：由题意知点A，B在直线的同侧， 设点B关于直线的对称点为， 则解得 即， 所以 故答案为： 4．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知直线与直线平行，点，. (1)求； (2)若点关于直线对称后的点为，求点坐标； (3)已知，分别在直线，上，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据直线平行可得方程，解方程即可得解. （2）根据对称可知直线与垂直，中点在上，列出方程，接方程组即可； （3）根据对称可知，再作平行四边形，结合平行四边形性质可转化为求的最小值，即可得解. 【详解】（1）由直线与直线平行， 则， 解得或， 当时，直线，，两直线平行； 当时，直线，，两直线重合，不成立； 综上所述； （2）由（1）得，其斜率， 设点，则，中点为， 则，解得， 即； （3） 由（2）得点关于直线的对称点为，则， 又，分别在直线，上，且， 则，且， 则， 以，为平行四边形邻边作平行四边形， 则，且， 此时， 所以， 所以当点，，三点共线时， 取得最小值为. 【拓展训练一 直线交点问题】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与相交于点，若直线经过点，且与垂直，则直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立方程组，求得，结合与垂直，利用点斜式方程，求得的直线方程，再由直线和，联立方程组，即可求解. 【详解】联立方程组，解得，即， 又因为直线与垂直，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 再联立方程组，解得， 所以与的交点坐标为． 故选：D. 【例2】（23-24高二·江苏·课后作业）已知直线（，不全为0）与直线（，不全为0）相交于点P，求证：过点P的直线可以写成 的形式. 【答案】证明见解析 【分析】先说明直线（，不全为0）与直线（，不全为0）的交点P满足，然后说明 可以表示过点P的直线斜率不存在的或斜率存在的情况即可. 【详解】设点 ， 因为直线（，不全为0）与直线（，不全为0）相交于点P， 所以有，， 故成立， 即说明点在直线上； 下面只需证明过点的直线的斜率可以取任意值或斜率不存在； 可变为，即该方程表示的是一条直线， 不可能同时为零，否则 不相交，则一定存在 使得， 此时表示过P斜率不存在的直线； 当时，该直线斜率 ，m,n不能同时为0，总存在m,n使得取到任意实数， 故综合上述：过点P的直线可以写成 的形式 . 1.（23-24高二上·福建宁德·阶段练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距之和为0的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先求直线和的交点，设所求直线方程为，可得在x，y轴上的截距，结合题意列式求解即可. 【详解】联立方程，解得， 所以直线和的交点为， 由题意可知所求直线的斜率存在且不为0，设为， 可知所求直线方程为， 令，可得；令，可得； 可知直线在x，y轴上的截距分别为，， 由题意可得，整理得，解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：C. 2．（多选题）（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知两条直线，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与相交于点 D．当时，直线与坐标轴围成的三角形面积等于 【答案】ABD 【分析】对取值后运用直线方程逐项分析即可. 【详解】时，，所以，故A正确； 此时与坐标轴交于 所以D项所求面积，故D正确； 时，， 所以，，故B正确； 时，，解得，故C错误； 故选：ABD. 3．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线经过定点，则的坐标为 . 【答案】/ 【分析】整理直线方程为的形式，解方程组可得定点. 【详解】直线可化为， 联立方程组，解得. 所以定点的坐标为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·辽宁大连·期中）过点作斜率分别为，的直线，，若，则称直线，是定积直线或定积直线. (1)已知直线，，试问是否存在点Q，使得直线，是定积直线？请说明理由. (2)若O为坐标原点，点P与点M均在第二象限，且点在二次函数的图象上.若直线OP与直线OM是定积直线，直线OP与直线PM是定积直线，直线OM与直线PM是定积直线，求点P的坐标. (3)已知点，直线m与n是定积直线，若m与x轴交于，n与x轴交于点B，直线将分割成面积相等的两个部分，求b的取值范围. 【答案】(1)存在，，理由见解析； (2)； (3) 【分析】（1）根据直线交点结合定义即可解决问题； （2）根据两点斜率公式设点P坐标，结合定义计算解方程组即可； （3）根据条件先求得坐标，从而计算直线方程，利用两直线交点的求法结合三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）显然两直线斜率之积是定值， 根据定义可知Q为两直线交点，由，，可得， 即存在Q使得，是定积直线； （2）设， 则可知， 根据题意有， 即， 所以由， 则，即； （3）因为直线m与n是定积直线，m过，，则， 而，易知为等腰直角三角形，即， 要满足题意需直线与线段有交点，且； 联立，如下图所示，易知， 则， 显然时上方程无解，则， 解不等式得.    【点睛】思路点睛：第三问先确定三角形的形状，分析纵截距的大致范围，之后利用直线交点及三角形面积公式得出斜率与截距关系式，消元转化即可. 【拓展训练二 距离相关求解问题】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点的纵坐标为1，则点分别关于点，点的对称点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出对称点，进而根据两点间距离公式可得. 【详解】    设点，则点关于点的对称点分别为， 故所求距离为． 故选：B 【例2】（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线：，经过点． (1)若，求直线的方程； (2)在（1）的条件下，求与之间的距离； (3)若与轴、轴的正半轴交于，两点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）由平行确定斜率，再由点斜式即可求解； （2）直接由平行线间距离公式即可求解； （3）求得直线在两坐标轴上交点，再由两点间距离公式及基本不等式即可求解. 【详解】（1）直线的斜率为， 所以过点且与直线平行的直线方程为， 即． （2）因为，所以两直线间的距离为． （3）设直线方程为，． 当时，；当时，． 则， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为6． 1．（24-25高二上·全国·课后作业）对于平面直角坐标系中任意两点，，我们将定义为PQ两点的“耿直距离”.已知，，，，设是平面直角坐标系中的一个动点，若使得点M到A，B，C，D的“耿直距离”之和取得最小值，则点M应位于下列哪个图中的阴影区域之内（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过所求图形，求出最小值，利用特殊点求解点到A、B、C、D的“耿直距离”之和，逐项判断即可． 【详解】由题意可知满足所有阴影，点到A，B，C，D的“耿直距离”之和为12. 当时，点到A，B，C，D的“耿直距离”之和为12，排除C； 当时，点到A，B，C，D的“耿直距离”之和为14，排除A； 当时，点到A，B，C，D的“耿直距离”之和为12，排除D. 故选：B 2．（多选题）（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知在以)为直角顶点的等腰直角三角形中，顶点都在直线上，下列判断中正确的是（   ） A．斜边的中点坐标是 B． C．点关于直线的对称点的坐标是 D．的面积等于4 【答案】ABC 【分析】取的中点，由，且在上，求得点坐标，可判断A；由及，求得的坐标可判断B；求出点关于直线的对称点可判断C，求得三角形面积判断D． 【详解】取的中点，因为三角形为等腰三角形，所以， 即垂直于直线，则，且， 解得，则斜边的中点坐标是，故A正确； 由题意可得，①， 所以，同理， 又因为 ②， 联立①②，解得或，所以的坐标是或， 的坐标是或，所以，故B正确； 设关于直线的对称点，则的中点为，即， 解得，即关于直线的对称点的坐标为，故C正确； 点到直线的距离， 所以的面积等于，故D错误． 故选：ABC．. 3．（23-24高一下·河南信阳·阶段练习）直线与直线之间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】利用平行直线之间的距离公式可得答案. 【详解】的方程可化为，与平行， 由平行直线之间的距离公式可得 . 故答案为：. 4．（2022高二·全国·专题练习）已知两直线与，直线经过点，直线过点，且． (1)若与的距离为4，求两直线的方程； (2)若与之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程． 【答案】(1)，或，． (2)最大距离为12；，． 【分析】（1）分斜率不存在，斜率存在两种情况讨论，利用平行线的距离公式即得解； （2）若与之间的距离最大，则，均与，连线垂直，利用斜率关系即得解. 【详解】（1）当，斜率不存在时，，，与的距离为4，满足条件； 当，斜率存在时，设，， 则，即，解得， 此时，，． 综上，，或，． （2）若与之间的距离最大，则，均与，连线垂直，而的斜率， 所以，的斜率均为， 此时，． 【拓展训练三 关于直线对称问题求解】 【例1】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点． 【详解】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ， 点关于直线的对称点的坐标为， 即． 故选：D． 【例2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线过点，直线：． (1)若直线，求直线的方程； (2)若直线为入射光线，经直线反射，其反射光线经过点，求的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据两直线垂直，可求斜率，结合点斜式即可求解. （2）求得点关于直线的对称点，则反射光线上的两点知道，进而可求斜率，应用点斜式即可求解. 【详解】（1）因为直线, 所以，即, 因为，所以，即， 从而直线的方程为：即; （2）设点关于直线的对称点为， ，解得：， 入射光线的斜率为，从而入射光线的直线方程为， 即. 1．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知直线和直线，点M，N分别是直线和上的点，点，则周长的最小值是（   ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】分别求出关于直线的对称点的坐标，线段的长即为所求最小值． 【详解】设关于直线的对称点， 则，解得，即, 设关于直线的对称点， 则，解得，即, 所以，当且仅当共线时取等号． 故选：B． 2．（多选题）（24-25高二上·河北保定·阶段练习）若点和点关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由点关于直线对称的性质，两点连线与对称轴垂直，且两点中点在对称轴上，先求出两点连线的中点，代入直线的方程，求出，再利用两直线垂直关系求出. 【详解】由题意知，的中点，即在直线上， 则可得，解得， 则直线，斜率为， 又直线与直线垂直， 则可得，解得， 故选：AC. 3．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】求得关于直线的对称点，直线即反射光线所在直线方程. 【详解】设关于直线的对称点为， 则线段的中点为，直线的斜率为， 则，解得，则. 所以反射光线所在直线为直线， 直线的方程为，整理得. 故答案为： 4．（24-25高二·全国·课后作业）已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）由于，所以，可设的方程为，在直线上取点，求出点关于直线的对称点，代入方程，即得解； （2）与的交点坐标为也在上，另取上不同于的一点，求出关于的对称点为，利用两个点坐标求出直线方程，即得解 【详解】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． 1．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上中线所在的直线方程为，则高的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先求得点的坐标，然后求得点的坐标，进而求得. 【分析】由解得，所以. 设，则， 所以，①， 直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以②， 由①②解得，则， 直线的方程为， 由，解得，则， 所以. 故选：C    2．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）若直线，和相交于一点，则 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据直线，相交求出交点坐标，代入直线即可求解. 【详解】由 解得，代入直线方程，解得，故选C. 【点睛】本题主要考查了直线方程，直线的交点，属于中档题. 3．（24-25高二上·江苏徐州·期末）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线平行的充要条件求出，再由平行线间的距离公式求解. 【详解】因为直线与平行， 所以且，解得， 所以直线方程为与， 故， 故选：C 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知经过与两点的直线的斜率为，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】利用直线斜率公式求出，得到，，再利用两点距离公式即可求得. 【详解】由题得，解得，即，， 所以． 故选：B. 5．（23-24高二上·河南信阳·期中）已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据点点距离公式可将问题转化为的动点与点，的距离之和.根据点关于直线的对称，即可结合三点共线求解最值. 【详解】设点为直线l：的动点， 则， 可看作与点，的距离之和. 设关于直线l的对称点为， 则，解得， 所以， 则，当且仅当与共线时（即图中位置P），取等号 即的最小值是. 故选：C. 6．（多选题）（23-24高二上·浙江台州·阶段练习）已知三条直线将平面分为六个部分．则满足条件的m可以是（    ） A． B． C． D．0 【答案】ABD 【分析】考虑三条直线交于一点，或与或平行时，满足条件，从而可求出答案. 【详解】因为三条直线将平面分为六个部分， 所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交， 当三条直线交于一点时，联立，解得，此时，即， 当两条平行线与第三条直线相交时，可得或， 当时，，当时，，所以或． 故选：ABD. 7．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）已知点为曲线上一点，则下列说法正确的有（    ） A．曲线在直线的右边 B．若点在第一象限，则点在直线上方 C．存在点，使得 D．点到原点距离有最小值无最大值 【答案】BC 【分析】对于A，由题意得，解不等式即可判断A，对于B，由题意得，结合点在第一象限即可判断，对于C，由，当点在第二象限时，可得，由此即可判断；对于D，由题意得，结合换元法即可判断. 【详解】对于A，由，得，所以，即且，曲线在直线的左边； 对于B，又，所以，当点在第一象限时，，点在直线上方； 对于C，当点在第二象限时，，即，故存在点，使得； 对于D，记点到原点距离为，则，由， 所以，，于是，令， 则，易知在单调递减， 所以既无最大值也无最小值． 故选：BC. 8．（多选题）（24-25高二上·安徽黄山·期中）若，直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线一定经过第一象限 C．点到直线的距离的最大值为 D．的充要条件是 【答案】ABD 【分析】由直线过定点的求法判断A，根据直线的斜率及截距判断B，当时可求出点到直线距离最大判断C,根据直线的平行的条件判断D. 【详解】由，即为， 令，解得，所以直线过定点，故A正确； 因为，则的斜率存在且不为零，在轴上的截距， 所以一定经过第一象限，故B正确； 当时，点到直线的距离的最大， 最大值为，故C错误； 若，则，因为，故有， 经检验，符合题意，所以，所以的充要条件是，故D正确． 故选：ABD 9．（多选题）（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线过点，若点和点到直线的距离相等，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意，直线存在斜率，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求解. 【详解】当直线的斜率不存在时，方程为，和到直线的距离不相等， 因此直线存在斜率，设直线的方程为，即， 若点和点到直线的距离相等， 则，即，解得或， ∴直线的方程为或. 故选：BC. 10．（多选题）（23-24高二下·陕西·开学考试）已知平行四边形的三条边所在直线的方程分别是，的交点为的交点为，且平行四边形的面积为5，则（    ） A．的坐标为 B．的坐标为 C．平行四边形第四条边所在直线的方程可能为 D．平行四边形第四条边所在直线的方程可能为 【答案】BCD 【分析】联立直线的方程即可求解交点坐标，判断AB，根据直线平行，结合平行线距离公式以及面积可得，即可根据待定系数法求解. 【详解】由,解得，所以, 由,解得，所以,故A错误，B正确， 由于，故，且之间的距离为， 根据平行四边形的面积为5，所以,故， 设：，则， 在上，所以， 又， 解得或， 所以直线方程可能为，和，CD正确， 故选：BCD 11．（23-24高二·全国·课后作业）下面三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合是 . 【答案】 【分析】分三条直线交于一点、至少两条直线平行或重合，两种情况讨论即可 【详解】当三条直线交于一点时：由， 解得和的交点A的坐标， 由A在上可得2×－3m×＝4， 解得m＝或. 当至少两条直线平行或重合时：l1、l2、l3至少两条直线斜率相等， 当时，，即，当时，，解得：， 当时，，不成立， 综上， m＝－1，－，，4时，这三条直线不能组成三角形， ∴实数m的取值集合是. 故答案为：. 12．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，，若有且只有一组数对满足不等式 ，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】将上述式子转化为两点间的距离,在平面直角坐标系中，描出各点，根据位置关系，得出最小值.根据连不等式成立的条件，找出唯一解即可. 【详解】平面直角坐标系中,，，,，，，， ∵有且只有一组数对满足不等式，∴，的取值集合为 故答案为: . 13．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）在平面直角坐标系中，若定义两点和之间的“距离”为，其中表示中的较大者，则点与点之间的“距离”为 若平面内点和点之间的“距离”为，则点的轨迹围成的封闭图形的面积为 . 【答案】 【分析】第一空：直接根据“t距离”的定义计算即可求解；第二空：根据“t距离”的定义分两种情况讨论得出A点的轨迹是正方形的四条线段；由此即可得解. 【详解】点与点之间的“t距离”为 ； 若平面内点和点之间的“t距离”为， 则， 不妨设，解得或，此时，即， 由对称性可知，当或时，，如图所示： ，所以A点的轨迹就是正方形的四条线段， 则A点的轨迹围成的封闭图形的面积为. 故答案为：；4. 14．（23-24高二上·山东潍坊·期中）如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程的为 .    【答案】 【分析】作出点关于轴的对称点以及关于的对称点，将问题转化为求解，由此求解出结果. 【详解】点关于轴的对称点，关于的对称点，如图所示，      又因为，，所以直线方程为：，即， 所以，解得，即. 所以光线经过的路程为. 故答案为： 15．（24-25高二上·天津·期中）三角形中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则三角形周长的最小值为 . 【答案】 【分析】利用轴对称求得对称点，结合图象，可得答案. 【详解】由，则其关于轴的对称点为， 设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 作图如下： 的周长. 故答案为：. 16．（23-24高二上·北京大兴·期中）已知直线l1，l2的方程分别是，点A的坐标为（）.过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数）. (1)若，且A为线段MN中点，求实数a的值及的面积； (2)是否存在实数a，使得的值与k无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）由直线的方程为，联立方程组分别求得点的坐标，结合题意，列出不等式组，求得，进而求得的值，结合三角形的面积公式，即可求解； （2）假设存在满足题意的 ，使得的值与无关，由（1）求得， 得到，进而得到结论. 【详解】（1）    因为直线 l过点，且斜率为，所以直线的方程为， 因为直线与分别交于点，所以 ， 由 ，解得 ，即 ， 由 ，解得 ，即， 又因为的纵坐标均为正数，所以 ，即， 因为 ，所以 若时，，， 又因为点为线段中点，所以解得， 所以，，所以，的面积． （2）假设存在满足题意的，使得的值与无关， 由（1）知：， 且， 因此，， 所以， 因为 ，所以当时，为定值， 所以存在实数，使得的值与无关． 【点睛】关键点点睛：（2）假设存在满足题意的 ，使得的值与无关，求得，， 得到，进而得到结论. 17．（2023高三·全国·专题练习）设，是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离为．对于平面xOy上给定的不同的两点，． (1)若点是平面xOy上的点，试证明：． (2)在平面xOy上是否存在点，同时满足：①；②？若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）证明 ． 所以． （2）先考虑相异两点A，B的特殊情况，当A，B两点横坐标或者纵坐标相同时，AB即是平行于y轴或者x轴的直线段，符合条件的C点即为AB的中点（这属于折线的特殊情况——直线）．当A，B两点的横、纵坐标各异，即，时，不妨设，下面讨论，两种情况． 假设，则由条件①可得， 故，，即，． 又由条件②，即， 去掉绝对值符号可得， 即，也即． 同理，假设，当，时， 可得． 【反思】取点使，，验知此时点同时满足条件（ⅰ）、（ⅱ），则存在点C满足题意，且所有符合条件的点C是线段AB的中点． 18．（2023·全国·高考真题）有三个新兴城镇分别位于、、三点处，且，，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在的垂直平分线上的点处（建立坐标系如图） (1)若希望点到三镇距离的平方和最小，则应位于何处？ (2)若希望点到三镇的最远距离为最小，则应位于何处？ 【答案】(1) (2)当时，点的坐标是；当时，点的坐标是，其中 【分析】（1）设出的坐标，表示出至三镇距离的平方和，利用配方法，可得结论； （2）记，表示出至三镇的最远距离，分类讨论，确定函数的单调性，从而可得结论． 【详解】（1）解：由题设条件，设的坐标为，则至三镇距离的平方和为 所以，当时，函数取得最小值． 则点的坐标是 （2）解：记 至三镇的最远距离为 由解得，记， 于是 当，即时， 因为在，上是增函数，而在，上是减函数． 所以时，函数取得最小值．点的坐标是 当，即时，因为在，上当函数取得最小值，而在，上是减函数，且，所以时，函数取得最小值． 则当时，点的坐标是；当时，点的坐标是，其中 19．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知，直线 (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分三角形的面积，求直线的一般式方程； (3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由反射点为、反射点为反射后，光斑落在点，求入射光线的直线一般式方程. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【分析】（1）整理得到，从而得到方程组，求出定点坐标； （2）求出定点在直线上，且，由得到，设出，由向量比例关系得到点坐标，得到直线方程； （3）作出辅助线，确定关于和的对称点，得到 ，进而可得，即可得直线方程. 【详解】（1）直线可化为， 令，解得，故直线经过的定点坐标为； （2）因为，则直线方程为， 故直线经过的定点在直线上， 且，即，， 设直线与交于点，则， 即， 可得，即， 设，则， 可得，解得，即， 将点坐标代入直线的方程，解得， 所以直线的方程为； （3）设关于的对称点，关于的对称点， 因为直线的方程为， 则，解得， 即，可得， 因为直线与直线关于x轴对称，则， 则入射光线的方程为，即为 【点睛】方法点睛：直线方程的求法，直线过定点问题.这类求定点问题主要是理解掌握过两直线的交点直线系方程，充分把握向量在平面几何中的应用，以及分析问题解决问题的能力和运算能力． 20．（24-25高二上·福建南平·阶段练习）已知的顶点，在AB边上的中线CM所在的直线方程为的角平分线BH所在直线方程为. (1)求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程; (2)求直线BC的方程; (3)在线段AB上是否存在点D，满足，若存在，求D点坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1)或. (2) (3) 【分析】（1）当直线过原点时，结合直线斜率可得方程；当直线不过原点时，结合直线方程截距式可求得结果. （2）设，将中点坐标代入方程可求得点坐标；设点关于直线的对称点的坐标为，将利用和将线段的中点代入角平分线上，可得到关于的方程组，最后利用点斜式方程即可求解 （3）联立直线方程求坐标，由在线段上，设，根据垂直关系求参数n并判断点的存在性. 【详解】（1）设直线在轴上的截距分别为， 当时，直线经过原点与，则直线斜率， 直线方程为，即； 当时，可设直线方程为， 代入坐标，可得， 直线方程为； 综上所述：直线方程为或. （2）由题意知：点在直线上，则可设， 中点为， ，解得，. 设点关于直线的对称点的坐标为， 则点在直线上，线段的中点在角平分线上， 且. 由题意知，解得，即， 因为， 所以直线的方程为， 即. （3）由为直线与直线的交点， 联立，解得，则. 由点在线段上，由， 可得，则， 即， 可设，又， 因为，所以，解得， 由，，因为，所以存在. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 直线的交点坐标与距离公式重难点题型专训 （4个知识点+15大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 求直线交点坐标 题型二 由直线的交点坐标求参数 题型三 三线能围成三角形的问题 题型四 直线交点系方程及应用 题型五 求平面两点间的距离 题型六 用两点间的距离公式求函数最值 题型七 距离新定义 题型八 求点到直线的距离 题型九 已知点到直线距离求参数 题型十 求到两点距离相等的直线方程 题型十一 求点关于直线的对称点 题型十二 光线反射问题(2)直线关于直线对称 题型十三 求平行线间的距离 题型十四 由距离求已知直线的平行线 题型十五 将军饮马问题求最值 拓展训练一 直线交点问题 拓展训练二 距离相关求解问题 拓展训练三 关于直线对称问题求解 知识点一：两条直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)， 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 【知识剖析】 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数． 【即时训练】 1．（22-23高二上·新疆巴音郭楞·期中）直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2023高二上·全国·专题练习）已知直线和的交点在第四象限，则的取值范围为 . 知识点二：两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 【知识剖析】 此公式与两点的先后顺序无关,也就是说公式也可以写成|AB|=. 【即时训练】 1．（24-25高二上·全国·单元测试）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 2．（24-25高二上·全国·课前预习）顺次连接构成一个等腰三角形，则实数m的一个取值可能为 ． 知识点三：点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 【知识剖析】 （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； 【即时训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）点到直线的距离为 知识点四：两平行线间的距离公式 两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(A2+B2≠0,C1≠C2)间的距离公式为 (A2+B2≠0). 【知识剖析】 （1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； （2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式． 【即时训练】 1．（24-25高二上·河北保定·期末）直线与直线的距离（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二上·江西九江·期末）两平行直线，之间的距离为 ． 【经典例题一 求直线交点坐标】 【例1】（24-25高二上·天津北辰·期中）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（   ）． A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知过点，分别交于点． (1)若，求直线的方程； (2)若，求直线的方程． 1．（22-23高二上·四川雅安·阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P（如图11）．若光线QR经过的重心，则Q的坐标等于（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）过点作直线l，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点P平分，则直线l的一般式方程为 ． 4．（23-24高二上·河北·期中）已知直线：与：． (1)当时，求直线与的交点坐标； (2)若，求a的值． 【经典例题二 由直线的交点坐标求参数】 【例1】（22-23高二上·河北邯郸·阶段练习）已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·江苏南通·开学考试）解决下列问题： (1)一直线被两直线：，：截得线段的中点是，求此直线方程； (2)过点的直线交轴、轴的正半轴于A、B两点，求使：面积最小时的方程． 1．（23-24高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 2．（22-23高二上·北京顺义·期末）若直线与直线的交点为，则实数a的值为（    ） A．-1 B． C．1 D．2 3．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知直线经过两直线和的交点，则的值等于 . 4．（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知直线l：. (1)求证：直线l过定点； (2)若直线l被两平行直线：与：所截得的线段AB的中点恰好在直线上，求的值. 【经典例题三 三线能围成三角形的问题】 【例1】（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，，．当为何值时，它们不能围成三角形？ 1．（23-24高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（多选题）（23-24高二上·河南商丘·阶段练习）（多选）平面上有三条直线，将平面划分为六个部分，则实数的所有可能取值为（    ） A． B． C． D．1 3．（24-25高二上·全国·单元测试）已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为 ． 4．（22-23高二上·北京顺义·阶段练习）已知两点，，直线为线段AB的垂直平分线：直线：，求 (1)直线的方程 (2)直线与的交点坐标 (3)直线，与坐标轴所围成的三角形的面积 【经典例题四 直线交点系方程及应用】 【例1】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知两直线和的交点为P．求： (1)过点P与的直线方程； (2)过点P且与直线平行的直线方程． 1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）方程组解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 3．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）从的顶点引的垂线，垂足为．在上任取一点，直线交于交于，试证平分和所成的角． 【经典例题五 求平面两点间的距离】 【例1】（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在中，，，，当点、分别在、轴上运动，点到原点的最大距离是（   ） A． B． C． D．3 【例2】（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）（1）求的交点坐标. （2）用坐标法证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和． 1．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二·全国·课后作业）若两平行线分别经过点A（5，0），B（0，12），则它们之间的距离d可能等于（    ） A．14 B．5 C．12 D．13 3．（24-25高二上·全国·课后作业）直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是 ． 4．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知点，，点C在x轴上，且是直角三角形，． (1)求点C的坐标； (2)求的面积； (3)求斜边上的中线所在直线的方程． 【经典例题六 用两点间的距离公式求函数最值】 【例1】（23-24高二上·广东广州·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．已知x，y满足，则的最大值为 C．已知x，y满足，则的取值范围是 D．已知x，y满足，则的最大值为0 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知正三角形的边长为a，在平面上求点P，使.最小，并求出最小值. 1．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知，，，为四个实数，且，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 3． （23-24高二·全国·课后作业）已知实数x，y，则的最小值是 . 4．（23-24高二上·全国·期中）求函数的最大值． 【经典例题七 距离新定义】 【例1】（2024·福建·高考真题）对于直角坐标平面内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”；.给出下列三个命题： ①若点C在线段上，则； ②在中，若，则； ③在中，. 其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）设是平面直角坐标系上的两点，现定义由点到点的一种折线距离为.对于平面上给定的不同的两点. (1)若点是平面上的点，试证明：； (2)若两点在平行于坐标轴的同一条直线上，在平面上是否存在点，同时满足：①；②？若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请说明理由． 1．（2025高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，定义点，之间的“直角距离”为．给出下列命题： ①若点在线段上，则； ②在中，若，则； ③在中，． 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（多选题）（24-25高二上·全国·课后作业）（多选） “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（    ） A．若点，则 B．若点，则在轴上存在点，使得 C．若点，点在直线上，则的最小值是3 D．若点在上，点在直线上，则的值可能是4 3．（2023高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，定义P（x1，y1），Q（x2，y2）两点之间的“直角距离”为d（P，Q）＝｜x2－x1｜＋｜y2－y1｜．已知点B（1，0），点M是直线kx－y＋k＋3＝0（k＞0）上的动点，则 . 4．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创立的．在出租车几何学中，点还是形如的有序实数对，直线还是满足的所有组成的图形，角度大小的定义也和原来一样，对于直角坐标系内任意两点定义它们之间的一种“距离”（“直角距离”）：．请解决以下问题： (1)求线段上一点到原点的“距离”； (2)求所有到定点的“距离”均为2的动点围成的图形的周长； (3)在“欧式几何学”中有如下两个与“距离”有关的正确结论： ①平面上任意三点A，B，C，； ②平面上不在一直线上任意三点A，B，C，若；则是以为直角三角形. 上述结论对于“出租车几何学”中的直角距离是否还正确，并说明理由． 【经典例题八 求点到直线的距离】 【例1】（24-25高二上·四川乐山·期末）点到直线（为任意实数）距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知点，直线，求点到直线的距离． 1．（24-25高二上·江苏·期中）已知，为上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2024·北京朝阳·模拟预测）已知，直线.若点不在直线上，则直线与相交的充分条件为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·吉林·模拟预测）平面上的整点（横纵坐标都是整数的点）到直线的距离的最小值为 ． 4．（24-25高二上·广东广州·期中）如图，A、B是射线OM、ON上的两点，点Q是线段AB上一点，点Q到OM、ON的距离分别为2，．测得，．以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，点Q在第一象限． (1)求点Q的坐标； (2)设点P在平面xOy内，，且，线段AB上一动点C离点P最近时的坐标． 【经典例题九 已知点到直线距离求参数】 【例1】（23-24高二上·北京海淀·期中）点到直线的距离最大时，直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·山东·阶段练习）已知直线过点为坐标原点． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为3，求直线的方程． 1．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 2．（多选题）（23-24高二上·云南昭通·阶段练习）已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河北承德·阶段练习）已知直线，当原点到的距离最大时，的方程为 . 4．（24-25高二上·山东济南·期中）求经过直线和直线的交点C，并且满足下列条件的直线方程. (1)与直线平行； (2)到原点的距离等于1. 【经典例题十 求到两点距离相等的直线方程】 【例1】（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）若点，到直线的距离相等，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 【例2】（23-24高二上·陕西渭南·期中）已知直线和直线的交点为，求过且与和距离相等的直线方程； 1．（24-25高二上·全国·单元测试）已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（多选题）（23-24高二上·河南·阶段练习）已知点到直线的距离相等，则直线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）直线过点，且和两点到直线的距离相等，则直线的方程为 . 4．（23-24高二上·江西南昌·期中）三角形三个顶点是 (1)求AB边上的高所在直线的方程； (2)直线l过点A，且B，C两点到直线l的距离相等，求直线l的方程. 【经典例题十一 求点关于直线的对称点】 【例1】（24-25高二上·上海·期中）已知点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·陕西商洛·期中）（1）求过点，且与直线平行的直线的一般式方程； （2）求点关于直线的对称点的坐标. 1．（24-25高二上·北京·期中）若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·福建厦门·期中）已知点和是直线上的动点，则（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．存在，使最小 D．存在，使最小 3．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知直线，，一条光线从点射出，经反射后，射到上，再经反射后，回到，则该光线经过的路程长度为 . 4．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线，点. (1)已知直线与平行，求的值； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 【经典例题十二 光线反射问题(2)直线关于直线对称】 【例1】（24-25高二上·浙江绍兴·期中）暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知的一条内角平分线所在直线的方程为，两个顶点为． (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求第三个顶点的坐标． 1．（23-24高二上·广东湛江·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知点，，从点射出光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后又经直线OB反射回点P，则光线经过的路程为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·江西南昌·阶段练习）设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是 4．（2024高三·全国·专题练习）求直线关于直线对称的直线的方程． 【经典例题十三 求平行线间的距离】 【例1】（24-25高二上·山西大同·期中）已知实数满足， ， 则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知四边形的四条边所在直线的方程分别为. (1)证明：四边形是平行四边形； (2)求四边形的面积. 1．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）直线：与直线：的距离是（    ） A． B． C． D．1 2．（多选题）（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 3．（24-25高二上·全国·课后作业）设两条平行直线的方程分别为，.已知、是方程的两个实根，且，则这两条平行直线之间的距离的最大值为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）已知直线，，直线被，截得的线段长为，求直线的方程． 【经典例题十四 由距离求已知直线的平行线】 【例1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）与距离为的直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【例2】（24-25高二上·全国·单元测试）已知直线，在上任取一点，在上任取一点，过线段的靠近点的三等分点作的平行线． (1)求直线与之间的距离； (2)求直线的方程． 1．（23-24高二上·全国·课后作业）若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．4 2．（多选题）（23-24高二上·山西运城·期中）下列直线与直线l：平行，且与它的距离为的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江·期中）直线与之间的距离相等，则直线的方程是 . 4．（24-25高二上·天津河西·期中）已知点到直线的距离均为，求直线的方程． 【经典例题十五 将军饮马问题求最值a】 【例1】（24-25高二上·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）求函数的最小值． 1．（22-23高二上·河北石家庄·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·福建福州·期中）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 3．（24-25高二上·湖北·期中）已知点，动点P在直线上，则的最小值为 . 4．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知直线与直线平行，点，. (1)求； (2)若点关于直线对称后的点为，求点坐标； (3)已知，分别在直线，上，且，求的最小值. 【拓展训练一 直线交点问题】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与相交于点，若直线经过点，且与垂直，则直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二·江苏·课后作业）已知直线（，不全为0）与直线（，不全为0）相交于点P，求证：过点P的直线可以写成 的形式. 1.（23-24高二上·福建宁德·阶段练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距之和为0的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（多选题）（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知两条直线，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与相交于点 D．当时，直线与坐标轴围成的三角形面积等于 3．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线经过定点，则的坐标为 . 4．（24-25高二上·辽宁大连·期中）过点作斜率分别为，的直线，，若，则称直线，是定积直线或定积直线. (1)已知直线，，试问是否存在点Q，使得直线，是定积直线？请说明理由. (2)若O为坐标原点，点P与点M均在第二象限，且点在二次函数的图象上.若直线OP与直线OM是定积直线，直线OP与直线PM是定积直线，直线OM与直线PM是定积直线，求点P的坐标. (3)已知点，直线m与n是定积直线，若m与x轴交于，n与x轴交于点B，直线将分割成面积相等的两个部分，求b的取值范围. 【拓展训练二 距离相关求解问题】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点的纵坐标为1，则点分别关于点，点的对称点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线：，经过点． (1)若，求直线的方程； (2)在（1）的条件下，求与之间的距离； (3)若与轴、轴的正半轴交于，两点，求的最小值． 1．（24-25高二上·全国·课后作业）对于平面直角坐标系中任意两点，，我们将定义为PQ两点的“耿直距离”.已知，，，，设是平面直角坐标系中的一个动点，若使得点M到A，B，C，D的“耿直距离”之和取得最小值，则点M应位于下列哪个图中的阴影区域之内（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知在以)为直角顶点的等腰直角三角形中，顶点都在直线上，下列判断中正确的是（   ） A．斜边的中点坐标是 B． C．点关于直线的对称点的坐标是 D．的面积等于4 3．（23-24高一下·河南信阳·阶段练习）直线与直线之间的距离为 ． 4．（2022高二·全国·专题练习）已知两直线与，直线经过点，直线过点，且． (1)若与的距离为4，求两直线的方程； (2)若与之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程． 【拓展训练三 关于直线对称问题求解】 【例1】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线过点，直线：． (1)若直线，求直线的方程； (2)若直线为入射光线，经直线反射，其反射光线经过点，求的方程． 1．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知直线和直线，点M，N分别是直线和上的点，点，则周长的最小值是（   ） A．4 B．6 C．9 D．12 2．（多选题）（24-25高二上·河北保定·阶段练习）若点和点关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为 . 4．（24-25高二·全国·课后作业）已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 1．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上中线所在的直线方程为，则高的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）若直线，和相交于一点，则 A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏徐州·期末）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知经过与两点的直线的斜率为，则（    ） A． B． C．4 D． 5．（23-24高二上·河南信阳·期中）已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D．6 6．（多选题）（23-24高二上·浙江台州·阶段练习）已知三条直线将平面分为六个部分．则满足条件的m可以是（    ） A． B． C． D．0 7．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）已知点为曲线上一点，则下列说法正确的有（    ） A．曲线在直线的右边 B．若点在第一象限，则点在直线上方 C．存在点，使得 D．点到原点距离有最小值无最大值 8．（多选题）（24-25高二上·安徽黄山·期中）若，直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线一定经过第一象限 C．点到直线的距离的最大值为 D．的充要条件是 9．（多选题）（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线过点，若点和点到直线的距离相等，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（23-24高二下·陕西·开学考试）已知平行四边形的三条边所在直线的方程分别是，的交点为的交点为，且平行四边形的面积为5，则（    ） A．的坐标为 B．的坐标为 C．平行四边形第四条边所在直线的方程可能为 D．平行四边形第四条边所在直线的方程可能为 11．（23-24高二·全国·课后作业）下面三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合是 . 12．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，，若有且只有一组数对满足不等式 ，则实数的取值集合为 . 13．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）在平面直角坐标系中，若定义两点和之间的“距离”为，其中表示中的较大者，则点与点之间的“距离”为 若平面内点和点之间的“距离”为，则点的轨迹围成的封闭图形的面积为 . 14．（23-24高二上·山东潍坊·期中）如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程的为 .    15．（24-25高二上·天津·期中）三角形中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则三角形周长的最小值为 . 16．（23-24高二上·北京大兴·期中）已知直线l1，l2的方程分别是，点A的坐标为（）.过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数）. (1)若，且A为线段MN中点，求实数a的值及的面积； (2)是否存在实数a，使得的值与k无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由. 17．（2023高三·全国·专题练习）设，是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离为．对于平面xOy上给定的不同的两点，． (1)若点是平面xOy上的点，试证明：． (2)在平面xOy上是否存在点，同时满足：①；②？若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明． 18．（2023·全国·高考真题）有三个新兴城镇分别位于、、三点处，且，，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在的垂直平分线上的点处（建立坐标系如图） (1)若希望点到三镇距离的平方和最小，则应位于何处？ (2)若希望点到三镇的最远距离为最小，则应位于何处？ 19．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知，直线 (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分三角形的面积，求直线的一般式方程； (3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由反射点为、反射点为反射后，光斑落在点，求入射光线的直线一般式方程. 20．（24-25高二上·福建南平·阶段练习）已知的顶点，在AB边上的中线CM所在的直线方程为的角平分线BH所在直线方程为. (1)求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程; (2)求直线BC的方程; (3)在线段AB上是否存在点D，满足，若存在，求D点坐标，若不存在，说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$