第二十一章一元二次方程综合训练题2025-2026学年人教版数学九年级上册

学科网（北京）股份有限公司 第二十一章 一元二次方程 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分；每个小题只有一项符合题意。） 1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（     ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程配方后所得的方程是（     ） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的值可以是（     ） A．0 B．1 C．－5 D．－2 4．关于x的一元二次方程的根的情况是（　 　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定 5．已知一元二次方程x2－4x－1＝0的两根分别为m，n，则m＋n－mn的值是（     ） A．5 B．3 C．－3 D．－4 6．已知，则方程的根为( ) A． B． C． D． 7．一同学将方程化成了的形式，则m、n的值应为（　 　） A．m=2．n=7 B．m=﹣2，n=7 C．m=﹣2，n=1 D．m=2，n=﹣7 8．如果关于的一元二次方程有实数根，则满足条件是（ ） A． B． C． D． 9．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 10．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法正确的有（　 ） ①若ac＞0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ②若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac． A．1个 B．2 个 C．3个 D．4 个 填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分。） 11．方程的根的判别式 12．已知是方程的两根，则 ． 13．已知a、b实数且满足（a2+b2）2-（a2+b2）-12=0，则a2+b2的值为 ． 14．若是方程的根，则的值是 ． 15．在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于x的方程的实数根的个数为 ． 三、解答题（本题共9个小题，6+6+6+8+8+8+10+11+12共75分。） 16．（6分）解下列方程： (1) (2) 17．（6分）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 18．（6分）是△ABC的三边，若一元二次方程有两个相等的实数根． （1）判断三角形ABC的形状； （2）若，，求三角形ABC的面积． 19．（8分） 追本溯源：题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由． 方法应用：（2）如图2，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G． 2 图中一定是等腰三角形的有 　B　．A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 ②已知AB、BC是方程的两根，且AB<BC．求CF的长． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0． （1）若该方程有一个根是x＝2，求m的值及方程的另一根； （2）求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根． （3）若方程有一根的值大于5，求的取值范围． 21．（8分）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 22．（10分）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 23．（11分）先阅读材料，再回答问题． 我们定义：形如 (m、n为非零实数)，且两个解分别为 的方程称为“可分解分式方程”．例如： 为可分解分式方程，可化为 应用上面的结论解答下列问题： (1)若 为可分解分式方程，则： = ， . (2)若可分解分式方程方程： 的两个解分别为 求 的值． (3)若关于的可分解分式方程 的两个解分别为 (k为实数)，且 求k的值． 24．（12分）34.利用根与系数的关系，解决下列问题： （1）已知a、b是方程x2+10x+5＝0的两个实数根，求的值． （2）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解，求的取值范围． （3）在（2）的条件下：①当为最大的整数时，写出的值并直接写出方程组的解. ②问：是否存在实数k，使得y1y22？若存在，求出的k的值，若不存在，请说明理由． 一元二次方程答案 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分；每个小题只有一项符合题意。） 1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 2．将一元二次方程配方后所得的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 3．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的值可以是（    ） A．0 B．1 C．－5 D．－2 【答案】C 4．关于x的一元二次方程的根的情况是（　 　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定 【答案】B 5．已知一元二次方程x2－4x－1＝0的两根分别为m，n，则m＋n－mn的值是（     ） A．5 B．3 C．－3 D．－4 【答案】A 6．已知，则方程的根为( ) A． B． C． D． 【答案】B 7．一同学将方程化成了的形式，则m、n的值应为（　 　） A．m=2．n=7 B．m=﹣2，n=7 C．m=﹣2，n=1 D．m=2，n=﹣7 【答案】B 8．如果关于的一元二次方程有实数根，则满足条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 9．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 10．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法正确的有（　　） ①若ac＞0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ②若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac． A．1个 B．2 个 C．3个 D．4 个 【答案】B 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分。） 11．方程的根的判别式 ． 【答案】105 12．已知是方程的两根，则 ． 【答案】-3 13．已知a、b实数且满足（a2+b2）2-（a2+b2）-12=0，则a2+b2的值为 ． 【答案】4 14．若是方程的根，则的值是 ． 【答案】2026 15．在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于x的方程的实数根的个数为 ． 【答案】1或2个 三、解答题（本题共9个小题，6+6+6+8+8+8+10+11+12共75分。） 16．（6分）解下列方程： (1) (2) 简答：(1)，； (2) 17．（6分）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 解：（1）根据题意得， 解得，； 即b的值为或； （2）当时，方程化为， 根据根与系数的关系得， 所以． 18．（6分）是△ABC的三边，若一元二次方程有两个相等的实数根． （1）判断三角形ABC的形状； （2）若，，求三角形ABC的面积． 解：（1）直角三角形 （2）60 19．（8分） 追本溯源：题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由． 方法应用：（2）如图2，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G． 3 图中一定是等腰三角形的有 　B　．A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 ②已知AB、BC是方程的两根，且AB<BC．求CF的长． 解：（1）△BDE 的形状是等腰三角形， 理由如下：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD． ∵BC∥ED， ∴∠EDB＝∠CBD， ∴∠EDB＝∠ABD， ∴EB＝ED， ∴△BDE是等腰三角形． （2）①共有四个等腰三角形．分别是：△ABE，△ABG，△AFD，△CGF， 故答案为：B； ②由（1）可知，∠ABE＝∠EBG＝∠AEB．AB＝AE＝3， ∵AF⊥BE， ∴∠BAF＝∠EAF． ∵BC∥AD， ∴∠EAG＝∠AGB， ∴∠BAF＝∠AGB， ∴AB＝BG＝3， ∵AB∥FD， ∴∠BAF＝∠CFG， ∵∠AGB＝∠CGF， ∴∠CGF＝∠CFG， ∴CG＝CF， ∵CG＝BC﹣BG＝5﹣3＝2， ∴CF＝2． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0． （1）若该方程有一个根是x＝2，求m的值及方程的另一根； （2）求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根． （3）若方程有一根的值大于5，求的取值范围． 解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0的一个根为x＝2， ∴22﹣4m+2m﹣1＝0， ∴；另一个根为x＝1， （2）证明：由题意得，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣8m+4＝4（m﹣1）2≥0， ∴无论m取什么值，该方程总有两个实数根． （3）由求根公司可得：； ∴ ∴ 21．（8分）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． （1）解：把代入方程得， ∴ ， ∴，即， 解方程得，，， 故，； （2）证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． 22．（10分）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． （1）解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 23．（11分）先阅读材料，再回答问题． 我们定义：形如 (m、n为非零实数)，且两个解分别为 的方程称为“可分解分式方程”．例如： 为可分解分式方程，可化为 应用上面的结论解答下列问题： (1)若 为可分解分式方程，则： = ， . (2)若可分解分式方程方程： 的两个解分别为 求 的值． (3)若关于的可分解分式方程 的两个解分别为 (k为实数)，且 求k的值． （1）解： ∵方程 是可分解分式方程， ∴ 故答案为： 6，． （2）解：∵可分解分式方程 的两个解分别为 ∴， ∴的值为． （3）解：方程 是可分解分式方程， ∴ ∵k为实数，不妨设 ， ， ， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴k的值为． 24．（12分）34.利用根与系数的关系，解决下列问题： （1）已知a、b是方程x2+10x+5＝0的两个实数根，求的值． （2）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解，求的取值范围． （3）在（2）的条件下：①当为最大的整数时，写出的值并直接写出方程组的解. ②问：是否存在实数k，使得y1y22？若存在，求出的k的值，若不存在，请说明理由． 解：（1）∵a、b是方程x2+10x+5＝0的二根， ∴a+b＝﹣10，ab＝5， ∴18； （2）存在，当k＝﹣2时，y1y22， 由x2﹣y+k＝0变形得：y＝x2+k， 由x﹣y＝1变形得：y＝x﹣1， 把y＝x﹣1代入y＝x2+k，并整理得：x2﹣x+k+1＝0， 由题意思可知，x1，x2是方程x2﹣x+k+1＝0的两个不相等的实数根， 故有：Δ＝﹣4（k+1）＞0，x1+x2＝1，x1x2＝k+1， ∴ （3）①=-1，方程组的解为： ② x1+x2＝1，x1x2＝k+1，y＝x﹣1 ∴ y1＝x1﹣1，y2＝x2﹣1， ∴y1y2＝（x1﹣1）（x2﹣1）， ∴y1y2 ＝（x1﹣1）（x1﹣1） ＝x1x2﹣（x1+x2）+1 ＝k+1﹣1+1， ∴k+1﹣1+12， 解得：． 又 ，∴ 试卷第1页，共3页 科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1、 选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分；每个小题只有一项符合题意。） 二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分。） 三、解答题（本题共9个小题，共98分。） 17． 18．(1)或 (2) 【详解】（1） 19．某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． (1)若售价下降1元，每月能售出______个台灯，若售价下降元，每月能售出______个台灯． (2)为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价． (1)， (2)每个台灯的售价为37元 【详解】（1）解：由题意得，若售价下降1元，每月能售出个台灯，若售价下降元，每月能售出个台灯 故答案为：，； （2）解：设售价下降元， 由题意得，， 整理得：， 解得或， 当，，符合题意； 当，，不符合题意； ∴， ∴， ∴每个台灯的售价为37元． 20．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱． (1)若每箱降价3元，每天销售该饮料可获利多少元？ (2)若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？ (1)1440元 (2)5元 【详解】（1）设每箱饮料降价x元，超市该饮料日销量箱，每箱饮料盈利元， 则每天销售该种饮料可获利（12-x）(100+20x), 当x=3时,（元） 答：每箱降价3元，每天销售该饮料可获利1440元； （2）要使每天销售饮料获利1400元，依据题意列方程得， ， 整理得， 解得，；                                   ∵为了扩大销售，增加利润， ∴x＝5．                  21． 22． 23．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x，y轴于A，B．直线（k为任意常实数）． (1)直接写出点A，B坐标和线段的长； (2)第四象限的直线n上存在点P，使，且，求直线n的解析式； (3)如图2，直线上有一点E、，过且平行于y轴的直线上有点F，若为等腰直角三角形，且，直接写出E点坐标． (1) (2)直线n的解析式为 (3)或 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， 把代入得，， ∴直线交x，y轴于A，B的坐标为、， ∴； （2）解：∵，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 设点， ∵， ∴， 解得， ∴， 把代入得，， 解得， ∴直线n的解析式为； （3）解：设点，点， 过点F作直线交y轴于点G，交过点F和y轴的平行线于点H， ∵为等腰直角三角形，且，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 解得或1， ∴点或． 24 25．(1)“勾系一元二次方程”为： (2)见解析 (3) 【详解】 答案第1页，共2页 答案 第3页，共6页 答案 第4页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $