精品解析：贵州省黔东南州剑河县第四中学2025-2026学年上学期第一次教学质量水平检测八年级数学试卷

2025年春季学期第一次教学质量水平检测 八年级数学试卷 （本试卷共三个大题，25个小题；考试时间：120分钟，满分：150分） 【注意事项】 1．答题时，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 2．答选择题，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号； 3．答非选择题时，必须使用1.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上； 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷答题无效． 一、选择题：以下每个小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，本大题有12个小题，每小题3分，共36分． 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得． 故选：B． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故该选项符合题意； B、，被开方数是小数，可以化简，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C、，被开方数含有分母，可以化简，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D、，被开方数含有能开的尽方的数，可以化简，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：A． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由合并同类二次根式判断A，B，由二次根式的乘除法判断C，D． 【详解】解：A、原计算错误，该选项不符合题意； B、原计算错误，该选项不符合题意； C、正确，该选项符合题意； D、原计算错误，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类二次根式，二次根式的乘法，二次根式的乘方运算，掌握以上知识是解题关键． 4. 下列各式中，与的积为有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将各式与相乘，依次进行求解即可． 【详解】A、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、， 不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，有理数的理解，正确理解有理数的概念是解题的关键． 5. 估计5-的值应在（　　） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 【答案】C 【解析】 【分析】先化简二次根式，合并后，再根据无理数的估计解答即可． 【详解】5﹣=， ∵49<54<64， ∴7<<8， ∴5﹣的值应在7和8之间， 故选：C． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小及合并同类二次根式，解决本题的关键是估算出无理数的大小． 6. 如图，矩形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点表示的实数为（ ） A. 2.5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题， 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ， ，A为-1， ， 点表示点数为． 故选：． 【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出AC、AM的长． 7. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是(　) A. B. 1, C. 6,7,8 D. 2,3,4 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可. 【详解】解：A．（）2+（）2≠（）2，故该选项错误，不符合题意； B．12+（）2=（）2,故该选项正确，符合题意； C．62+72≠82，故该选项错误，不符合题意； D．22+32≠42，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，会判断是否为直角三角形是解答关键. 8. 如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是（ ） A. 7 B. 10 C. 20 D. 34 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形F的边长为c，如图，则由勾股定理可得及正方形面积公式可得正方形F的面积为7，同理可求解问题． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形F的边长为c，如图， 由勾股定理可得， ∴正方形F的面积为， 同理可得正方形H的面积为， ∴正方形E的面积为． 故选：B． 9. 中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾，弦，则小正方形的面积是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，利用勾股定理，求出的长，进而求出小正方形的边长，再根据面积公式求出其面积即可． 【详解】解：由图和勾股定理，得：， ∴小正方形的边长为， ∴小正方形的面积是； 故选B． 10. 如图，在中，，，垂足为D．若，，则的长为（ ） A. 2.4 B. 2.5 C. 4.8 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先由勾股定理求出的长，再运用等面积法求得的长即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴，即． 故选A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、等面积法等知识点，掌握运用等面积法求三角形的高是解题的关键． 11. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米，则小巷的宽为（ ） A. 2.5米 B. 2.6米 C. 2.7米 D. 2.8米 【答案】C 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在Rt△A′BD中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长． 【详解】解：在Rt△ABC中， AB==2.5（米）， ∴A′B=2.5米， 在Rt△A′BD中， BD==2（米）， ∴BC+BD=2+0.7=2.7（米）， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法． 12. 如图，以直角三角形的三边为边，分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【详解】解：（1）S1=，S2=，S3=，∵，∴，∴S1+S2=S3． （2）S1=，S2=，S3=，∵，∴，∴S1+S2=S3． （3）S1=，S2=，S3=，∵，∴，∴S1+S2=S3． （4）S1=，S2=，S3=，∵，∴S1+S2=S3． 综上，可得：面积关系满足S1+S2=S3图形有4个． 故选D． 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分． 13. 计算的值为_________； 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为：3． 14. 比较大小：______ 【答案】< 【解析】 【分析】根据无理数的大小比较方法解答 【详解】，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的大小比较，掌握无理数的大小比较方法是解题的关键． 15. 如图，在中，，，，将沿折叠，使点与点重合，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形的折叠的性质，勾股定理是解题的关键．根据折叠的性质可得，设，则，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意得，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴ ， 解得：． ∴． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， 故答案为：5 三、解答题：本大题共9题，共计98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1）0 （2）2 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）先化简，再合并即可； （2）先进行平方差公式，零指数幂和开方运算，再进行加减运算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的运算，除法变乘法，约分化简后，利用二次根式的法则，进行计算即可． 【详解】解：原式； 当，时， 原式． 19. 已知：，，求下列各式的值． （1） （2） 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查利用乘法公式进行二次根式的化简，熟记乘法公式是解题的关键． （1）首先求出，然后根据完全平方公式写成代入计算即可； （2）首先求出，根据平方差公式写成代入计算即可． 【小问1详解】 解：，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，， ∴，， ∴． 20. 把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体容器．（接缝忽略不计） （1）求这个容器的侧面积； （2）如果向容器里注满水，则需注入多少水？ 【答案】（1）16 （2）需注入水的体积为 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，二次根式的应用，长方体的侧面积和体积公式． （1）先求出面积都为18的正方形和面积为2的正方形的边长，然后结合题意求出这个长方体容器的侧面积； （2）结合题意可知，注入水的量即为该容器的体积，根据长方体体积公式计算即可． 【小问1详解】 解：两张正方形纸片的面积都为18， 它们的边长都是， 剪去的正方形的面积为2， 剪去的正方形的边长为， 做出的双层底的无盖长方体纸盒的底面是边长为的正方形，盒子高为， 这个容器的侧面积为； 【小问2详解】 解：容器的体积为， 如果向容器里注满水，则需注入水的体积为． 21. 如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．请按要求回答下列问题： （1）线段的长为______，的长为_____，的长为______； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：是直角三角形，理由如下： 由（1）知：，，； ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键： （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）根据勾股定理逆定理，进行判断即可． 【小问1详解】 解：由勾股定理，得：，，； 故答案为：； 【小问2详解】 略 22. 如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键． （1）利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论； （2）由三角形的面积公式即可得出结果． 【小问1详解】 解：连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：四边形的面积的面积的面积 ． 23. 如图所示，在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现需要在处进行爆破，已知点与公路上的停靠站的距离为300米，与公路上的另一停靠站的距离为400米，且．为了安全起见，爆破点周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 【答案】公路有危险需要封锁，需要封锁的路段长度为140米 【解析】 【分析】过作于,利用勾股定理算出的长度，然后利用三角形的面积公式可求出的长，用的长和250比较大小即可判断是否需要封锁，最后根据勾股定理求出封锁的长度． 【详解】解：公路需要暂时封锁， 理由如下：如图，过作于， 因为米，米，， 所以根据勾股定理有米， 因为， 所以（米）， 由于,故有危险， 封锁长度为：米， 因此段公路需要暂时封锁，封锁长度为140米． 【点睛】本题考查了正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键． 24. 先阅读，然后回答问题. 化简： 由于题中没有给出x的取值范围，所以要分类讨论. ， 令x-3 = 0，x+2 =0，分别求出x=3，x = -2(称3，-2分别为，的零点值)，然后在数轴上标出表示3和-2的点，如图所示，数轴被分成三段，即x＜ -2，-2≤x＜3 ,x≥3. 当x＜ -2 时，原式=-(x-3)-(x+2)=-x+3-x-2=-2x+1； 当-2≤x＜3时，原式=-(x-3)+(x+2)=-x+3+x+2=5； 当x≥3时，原式=(x-3)+(x+2)=x-3+x+2=2x-1. (1)分别求出和的零点值; (2)化简：. 【答案】(1)的零点,值为-1,的零点值为2. (2)当x＜-1时,原式＝-2x＋1；当-1≤x＜2,原式＝3；当x≥2,原式＝2x-1 【解析】 【详解】【试题分析】（1）根据零点值得定义求解即可； （2）仿照例题，分三种情况讨论即可. 【试题解析】 (1),, 令x＋1＝0,得x＝-1,令x-2＝0,得x＝2, ∴的零点,值为-1,的零点值为2. (2) 令x＋1＝O,得x＝-1,令x-2＝0,得x＝2. 在数轴上标出表示-1和2的点,如图所示,数轴被分成三段,即x＜-1,-1≤x＜2,x≥2. 当x＜-1时,原式＝-(x＋1)-(x-2)＝-x-1-x＋2＝-2x＋1; 当-1≤x＜2,原式＝(x＋1)-(x-2)＝x＋1-x＋2＝3; 当x≥2,原式＝(x＋1)＋(x-2)＝x＋1＋x-2＝2x-1 【方法点睛】本题目是一道新型信息题目，主要运用 的性质化简，讨论绝对值的代数式的最值.难点是计算零点值，借助数轴求解. 25. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 【答案】 （1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； （2）千米； （3）8 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； （3）在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可得出． 【详解】（1）略 （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得，即千米， (千米)， 答：新路比原路少千米； （3）解：如图， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季学期第一次教学质量水平检测 八年级数学试卷 （本试卷共三个大题，25个小题；考试时间：120分钟，满分：150分） 【注意事项】 1．答题时，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 2．答选择题，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号； 3．答非选择题时，必须使用1.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上； 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷答题无效． 一、选择题：以下每个小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，本大题有12个小题，每小题3分，共36分． 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，与的积为有理数的是（ ） A. B. C. D. 5. 估计5-的值应在（　　） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 6. 如图，矩形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点表示的实数为（ ） A. 2.5 B. C. D. 7. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是(　) A. B. 1, C. 6,7,8 D. 2,3,4 8. 如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是（ ） A. 7 B. 10 C. 20 D. 34 9. 中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾，弦，则小正方形的面积是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 10. 如图，在中，，，垂足为D．若，，则的长为（ ） A. 2.4 B. 2.5 C. 4.8 D. 5 11. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米，则小巷的宽为（ ） A. 2.5米 B. 2.6米 C. 2.7米 D. 2.8米 12. 如图，以直角三角形的三边为边，分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分． 13. 计算的值为_________； 14. 比较大小：______ 15. 如图，在中，，，，将沿折叠，使点与点重合，则的长度为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 三、解答题：本大题共9题，共计98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）． （2）． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 已知：，，求下列各式的值． （1） （2） 20. 把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体容器．（接缝忽略不计） （1）求这个容器的侧面积； （2）如果向容器里注满水，则需注入多少水？ 21. 如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．请按要求回答下列问题： （1）线段的长为______，的长为_____，的长为______； （2）判断的形状，并说明理由． 22. 如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 23. 如图所示，在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现需要在处进行爆破，已知点与公路上的停靠站的距离为300米，与公路上的另一停靠站的距离为400米，且．为了安全起见，爆破点周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 24. 先阅读，然后回答问题. 化简： 由于题中没有给出x的取值范围，所以要分类讨论. ， 令x-3 = 0，x+2 =0，分别求出x=3，x = -2(称3，-2分别为，的零点值)，然后在数轴上标出表示3和-2的点，如图所示，数轴被分成三段，即x＜ -2，-2≤x＜3 ,x≥3. 当x＜ -2 时，原式=-(x-3)-(x+2)=-x+3-x-2=-2x+1； 当-2≤x＜3时，原式=-(x-3)+(x+2)=-x+3+x+2=5； 当x≥3时，原式=(x-3)+(x+2)=x-3+x+2=2x-1. (1)分别求出和的零点值; (2)化简：. 25. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $