精品解析：山东省青岛市第二十六中学2025-2026学年上学期八年级开学考试数学试卷

八年级数学作业 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各数是无理数的有（　　） ，2.030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加），，﹣π，，3.1415，0，﹣. A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列说法正确的是（　　） A. 的平方根是 B. ﹣8是64的一个平方根 C. 的算术平方根是4 D. ＝±9 3. 下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（　　） A. B. 32，42，52 C. 9，40，41 D. 4. 如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为．若点，，都在格点（网格线的交点）上，则边上的高长为（ ） A. B. C. D. 2 6. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地。问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明1丈10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道（下半部分为矩形,上半部分为半圆形），则卡车的外形高必须低于（　　）． A. 4.1米 B. 4.0米 C. 3.9米 D. 3.8米 10. 如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（ ） A. 12千米 B. 16千米 C. 20千米 D. 24千米 二．填空题（每题3分，共24分） 11. 的平方根是____． 12. 如图，一块边长米的正方形绿地四周被小路环绕，点B在正方形的边上，则居民从比从A沿直线直接到B处要多走__________米． 13. 有一个数值转换器，运算流程如图所示，当输入的值为64时，输出的值是___________． 14. 如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距20海里，则乙轮船每小时航行_______海里． 15. 某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走4，遇到障碍后又往东走6，再转向北走8后往西拐，走了2就到达点，则、两点之间的距离为__________． 16. 如图，这是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为__________． 17. 如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则________． 18. 为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：，，，，，则其中有________款扫地机可以购买． 三．解答题（共46分） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 20. 小明制作了一张面积为的正方形贺卡．现有一个长方形信封如图所示，该信封的长、宽之比为，面积为． （1）求长方形信封的长和宽． （2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 21. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？ 22. 综合运用：细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题： ，（是的面积）；，（是的面积）；，（是的面积）；… （1）请你直接写出　　，　　； （2）请用含有n（n为正整数）的式子填空：　　，　　； （3）在线段、、、……、中，长度为正整数的线段共有　　条； （4）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值． 23. 【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数x满足，求x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学作业 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各数是无理数的有（　　） ，2.030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加），，﹣π，，3.1415，0，﹣. A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的定义即可求出答案． 【详解】2.030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加），-π，，﹣. 故选C． 【点睛】本题考查无理数的定义，解题的关键是正确理解无理数的定义． 2. 下列说法正确的是（　　） A. 的平方根是 B. ﹣8是64的一个平方根 C. 的算术平方根是4 D. ＝±9 【答案】B 【解析】 【分析】依据平方根的定义、算术平方根的定义进行解答即可． 【详解】的平方根是±，故A错误； -8是64的一个平方根，故B正确； =4，4的平方根是±2，故C错误； =9，故D错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键． 3. 下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（　　） A. B. 32，42，52 C. 9，40，41 D. 【答案】C 【解析】 【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可． 【详解】A、不是勾股数，因为（2+（）2≠（）2； B、不是勾股数，因为（32）2+（42）2≠（52）2； C、是勾股数，因为92+402=412，且9，40，41是正整数； D、不是勾股数，因为（）2+（）2≠（）2． 故选C． 【点睛】本题考查了勾股数的概念：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 4. 如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用勾股定理得出正方形对角线长，再利用数轴的性质得出点表示的数． 【详解】解：∵以数轴的单位长度线段为边作一个正方形， ， ∵以表示数的点为圆心， ∴点表示的数是：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及实数与数轴．正确掌握实数与数轴的关系是解题关键． 5. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为．若点，，都在格点（网格线的交点）上，则边上的高长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，分母有理化；先运用勾股定理，算出，再根据等面积法，即可求解． 【详解】解：如图： ∵每个小正方形的边长均为， ∴， 即， 设边上的高长为 ∵ ∴， 故选：B． 6. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】勾股定理解得出，勾股定理解即可求解． 【详解】解：依题意，， 在中，， ∵，, 在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 7. 如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理计算出大正方形边长的平方，即大正方形的面积，再根据勾股定理可得两个小正方形的边长的平方和等于斜边的平方，即两个小正方形的面积和等于大正方形的面积，从而得出答案． 【详解】由勾股定理得，大正方形边长的平方==25，即大正方形面积为25， ∵两个小正方形的边长的平方和等于斜边的平方， ∴两个小正方形的面积和为25， ∴阴影部分的面积为：25+25=50． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 8. 《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地。问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明1丈10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题． 当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程． 【详解】解：如图，木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺， 在中， ， ∴， 故选：C． 9. 一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道（下半部分为矩形,上半部分为半圆形），则卡车的外形高必须低于（　　）． A. 4.1米 B. 4.0米 C. 3.9米 D. 3.8米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆中的垂径定理与勾股定理的应用，掌握垂径定理常考模型是解题关键． 根据题意，卡车应在最中间通行，其高度要比距离隧道中线1.2米处的洞壁低，用勾股定理计算出高度即可． 【详解】解：如图，卡车应在最中间通行， ∵车宽为2.4米， ∴米， 由题意可知，半圆形的半径米， 在直角中，， ∴米， ∵下半部分为矩形， ∴米， ∴米， ∴卡车的外形高必须低于4.1米． 故选：A． 10. 如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（ ） A. 12千米 B. 16千米 C. 20千米 D. 24千米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键． 设，则，利用勾股定理得到，则，解方程即可． 【详解】解：设，则， ，，，两村到候车点的距离相等， ， ， ， 解得：， 则候车点应距点． 故选：B． 二．填空题（每题3分，共24分） 11. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 12. 如图，一块边长米的正方形绿地四周被小路环绕，点B在正方形的边上，则居民从比从A沿直线直接到B处要多走__________米． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理．利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由正方形的性质得：米，米 ∴（米）， ∴（米）， 即居民从比从A沿直线直接到B处要多走6米， 故答案为：6． 13. 有一个数值转换器，运算流程如图所示，当输入的值为64时，输出的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握算术平方根，立方根，无理数是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，是有理数， ∴，是有理数， ∴的算术平方根为，是无理数，可以输出， ∴， 故答案为：． 14. 如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距20海里，则乙轮船每小时航行_______海里． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据方位角可以知道两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行， ∴， ∴ ∵甲以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行了1小时， ∴（海里）， ∵海里， 在中，（海里）， ∴乙轮船平均每小时航行（海里）． 故答案为：16． 15. 某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走4，遇到障碍后又往东走6，再转向北走8后往西拐，走了2就到达点，则、两点之间的距离为__________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，作于点，由题意可知：，，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：作于点，如图， 由题意，可得：，， 在中，由勾股定理，得：； 故答案为：15． 16. 如图，这是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称——最短路径问题，勾股定理的应用．作点D关于的对称点，连接，交于点Q，连接，小虫的爬行路径为最短，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作点D关于的对称点，连接，交于点Q，连接， ∴， ∴小虫的爬行路径为最短． 由对称可得， ∴， ∴在中，， ∴小虫爬行的最短路线长为． 故答案为： 17. 如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为：． 18. 为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：，，，，，则其中有________款扫地机可以购买． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．先建立直角三角形，利用勾股定理解决实际问题． 【详解】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C， 则，， 在中，，即， ∴ ∵扫地机能从角落自由进出， ∴扫地机的直径不大于长， ∴小洪可以购买扫地机的尺寸直径可以为，，，共3款， 故答案为：3． 三．解答题（共46分） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）先根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （2）运用平方差公式计算即可； （3）根据二次根式的除法，零指数幂进行计算即可； （4）先算完全平方，乘法，再合并解题． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 小明制作了一张面积为的正方形贺卡．现有一个长方形信封如图所示，该信封的长、宽之比为，面积为． （1）求长方形信封的长和宽． （2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 【答案】（1）长方形信封的长为，宽为 （2）能， 理由：面积为的正方形贺卡的边长是． ∵，， ∴，即信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的实际应用： （1）设长方形信封的长为，宽为，利用面积公式列出方程进行求解即可； （2）求出正方形的边长，比较长方形的宽和正方形的边长的大小关系即可得出结果． 【小问1详解】 解：设长方形信封的长为，宽为． 由题意，得， ∴， ∴，． 答：长方形信封的长为，宽为． 【小问2详解】 略 21. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？ 【答案】（1）旗杆的高度为 （2）小明需后退 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； （2）过E作垂足为M，证明四边形为长方形，得出，，由勾股定理得，即可得解． 【小问1详解】 解：设旗杆的高度为，则， 在中，，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：旗杆的高度为． 【小问2详解】 解：过E作，垂足为M， 则， ∴四边形为长方形， ∴，， ， ，， 在中，， 由勾股定理得：， 答：小明需后退． 22. 综合运用：细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题： ，（是的面积）；，（是的面积）；，（是的面积）；… （1）请你直接写出　　，　　； （2）请用含有n（n为正整数）的式子填空：　　，　　； （3）在线段、、、……、中，长度为正整数的线段共有　　条； （4）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值． 【答案】（1）8， （2）n， （3）44 （4） 【解析】 【分析】（1）根据已有的等式，直接写出结果即可； （2）根据已有的等式，抽象出相应的数字规律即可； （3）根据边长正好是根号下一个正整数的平方时，出现的就是正整数，分析2023最接近哪个正整数的平方即可； （4）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意，可得：； 故答案为：8，； 【小问2详解】 由题意，得：； 故答案为：n，； 【小问3详解】 线段、、、……、的长度分别是，长度为正整数的数字分别为， ∵， ∴； 故答案为：44 【小问4详解】 ． 【点睛】本题考查数学中的阅读能力，以及对新定义的理解，以及二次根式的化简，通过题干得到，，是解题的关键． 23. 【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数x满足，求x的值． 【答案】（1）13；（2）；（3）4.8 【解析】 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1），， ， ∴的最小值是13， 故答案为13； （2）如图，    ， ， ， ∴的最小值是； （3）构造于，如图所示：    设，则， ， ， ， ， ， ∴方程的解是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $