精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试题

丰城九中初三年级数学暑期自我检测试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D． 既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 2. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方．先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可． 【详解】解∶ ， ， ∴， 故选∶B． 3. 为得到二次函数的图像，需将的图像（　　） A. 向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方法，可得二次函数顶点式解析式，根据左移加右移减，上移加下移减，可得答案． 【详解】解：可以化为，则其顶点坐标是． 故需将向左平移1个单位，再向上平移1个单位． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 4. 如图，为的直径，C，D是上两点，且，若，则的度数可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆周角定理得，由平行线的性质得到，再根据三角形的外角定理以及等腰三角形的等边对等角即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形外角定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 5. 如图，已知在中，，延长至，使，连接，交于点，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质与相似三角形的判定及性质，解题关键是利用平行四边形性质证明三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例建立线段关系求解． 先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出相关线段和角的关系；再据此证明，得到对应边成比例关系；最后结合已知线段长度，通过线段间的等量代换求出答案。 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∴， ∴． ∴ ， ∵， ∴ ， 则， ∴ ． ∵，且，， ∴，即 ， 解得． 故选：A． 6. 如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转，那么经过2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，规律型，点的坐标，坐标与图形变化-旋转，根据正六边形的性质及它在坐标系中的位置，求出点D的坐标，再根据旋转的性质以及旋转的规律求出旋转2025次后顶点D的坐标即可． 【详解】解：边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，连接，如图， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 由中，由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， ∵将正六边形绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转， ∴4次一个循环， ∵， ∴经过2025次旋转后，顶点D的坐标与第一次旋转后得到的的坐标相同， ∵过点作轴于P， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴， ∴，， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为， ∴经过2025次旋转后，顶点D的坐标为， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程，结合，进行求解即可． 【详解】解：将代入方程，得： ， 解得：， 又∵是一元二次方程， ∴，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程．熟练掌握，方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．注意，一元二次方程的二次项系数不为0． 8. 传统中国画通常被分为人物、山水和花鸟三大门类．小明要在如图的六幅画中随机抽取一幅画向同学们介绍，则小明抽取的画是山水画的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据概率公式求解即可. 【详解】解：六幅画中有三幅画是山水画， 所以小明抽取的画是山水画的概率为； 故答案：. 【点睛】本题考查了求简单事件的概率，正确理解题意、掌握解答的方法是关键. 9. 如图，内接于圆O，，，若圆O的半径为2，则阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，图中阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积即可得到答案． 【详解】解：连接、，作，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不规则图形的面积，熟练掌握扇形面积的计算公式和三角形的面积公式，把不规则图形的面积转换成规则图形的面积计算是解题的关键． 10. 如图，点在反比例函数的图像上，轴于点，轴于点，连接，若的面积为2，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义代入求解即可；点在反比例函数的图像上，轴于点，轴于点，连接，则． 【详解】解：依题意得， ， ， 的图像在第二象限， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义；熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 11. 如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解． 【详解】解：∵，过点作，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 12. 如图，在钝角三角形中，，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是___________． 【答案】3秒或秒 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质．根据题意分情况讨论列式求解即可求出本题答案． 【详解】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与相似， 则， ①当D与B对应时，有． ∴， ∴， ∴； ②当D与C对应时，有． ∴， ∴， ∴． 故答案为：3秒或秒． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 如图，在中，，求的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．根据，得到，列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 14. 在平面直角坐标系内，的位置如图所示． （1）将绕点O顺时针旋转得到，作出． （2）以原点O为位似中心，在第四象限内作出的位似图形，且与的相似比为． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）分别作出点A、B、C绕点O顺时针旋转后的对应点，顺次连接即可； （2）分别连接并分别延长到点，使得，顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所作． 【小问2详解】 如图，即为所作． 【点睛】此题考查了旋转和位似图形的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键． 15. 如图，是的内接三角形，是的直径，，点在上，连结并延长，交于点，连结，作，垂足为． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据圆周角定理得，即可证明结论； （2）利用相似三角形的性质求出，再根据勾股定理求出答案． 【小问1详解】 证明：是直径， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 在中，． 16. 如图，是的直径，点A是上的一点，过点A作圆O的切线交的延长线于点D，已知． （1）求的度数； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）根据切线的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论； （2）根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵是的切线， ， ， ， ∵， ∴， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴图中阴影部分的面积的面积-扇形的面积． 17. 为帮助同学们正确理解物理变化与化学变化，老师将5种生活现象分别制成无差别的卡片，分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有A、B、C三张卡片，乙口袋中装有D、E两张卡片．其中，没有生成其他物质的变化叫做物理变化（A、D）；生成其他物质的变化叫做化学变化（B、C、E）．课堂上，同学们通过抽卡片来分享对应的科学知识． （1）小南从甲口袋中随机抽取一张卡片，抽到的是物理变化的概率是___________． （2）游戏规则如下：老师从两个口袋中各随机抽取1张卡片，若抽取的两张卡片都是化学变化，则由小南分享；若抽取的两张卡片都是物理变化，则由小安分享．这个规则对小南和小安公平吗？请用画树状图或列表法说明理由． 【答案】（1） （2）这个规则对于小南和小安不公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，画树状图求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为甲口袋中装有A、B、C三张卡片，其中A卡片是物理变化，结合概率公式进行求解，即可作答． （2）先理解题意，再画树状图，得出共有6种等可能结果，其中两张卡片都是化学变化的有2种，两张卡片都是物理变化的有1种，再结合概率公式进行求解，即可作答． 【小问1详解】 解：∵甲口袋中装有A、B、C三张卡片，其中A卡片是物理变化， ∴小南从甲口袋中随机抽取一张卡片，抽到的是物理变化的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中两张卡片都是化学变化的有2种，两张卡片都是物理变化的有1种， ∴P（两次抽出的卡片均为化学变化） P（两次抽出的卡片均为物理变化） ∵， ∴这个规则对于小南和小安不公平． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）点P为抛物线上一点、若，求出此时点P坐标． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）将、两点代入，解得b、c即可得到解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）设点，根据三角形面积公式以及，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得到P点坐标． 【小问1详解】 将、两点代入， ， 解得， 抛物线解析式为， ， 顶点坐标为； 【小问2详解】 、， ， 设点，则， ， 当时，， 解得，， 此时或； 当时，， 此时方程无解； 综上所述，P点坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法，配方法，顶点坐标的求法，坐标系中三角形的面积以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法求得解析式． 19. 如图，在等腰三角形中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）1.6 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得，结合“三线合一”得到．即可得为的中位线，有则有．即可判定结论； （2）由题意得，由（1）知：，进一步证明，则代入求解即可． 【小问1详解】 证明：连接，，如图， ∵为的直径， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴． ∵为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵的半径为5， ∴． 由（1）知：， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆和三角形的结合，涉及圆周角定理、三线合一、三角形的中位线定理、圆的切线判定和相似三角形的判定和性质，结合的关键是做出辅助线并找到对应的三角形关系． 20. 某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克． （1）若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？ （2）通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）18元 （2）销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元 【解析】 分析】（1）设每千克水果应涨价x元，根据题意列出一元二次方程即可求出结果； （2）设销售价格为x，用含x的式子表示所获利润，然后配方，利用平方的非负性即可求出最值． 【小问1详解】 解：设每千克水果应涨价x元，根据题意，得：， 解得：，， ∵要尽可能让利于顾客，只能取， ∴售价应为（元）， 答：每千克特产商品的售价应为18元； 小问2详解】 解：设每天获得的利润为W，销售价格为x，则 ∴销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元． 【点睛】本题考查一元二次方程和配方法的应用，掌握实际问题中的等量关系和配方法是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 已知二次函数（c为常数）． （1）若该二次函数的图象与x轴有两个公共点，求c的取值范围； （2）若该二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，求一元二次方程的解： （3）在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求c值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据二次函数与x轴的交点问题可进行求解； （2）把点代入二次函数解析式得出c的值，进而求解方程即可； （3）由函数解析式可得抛物线的对称轴为直线，开口向下，然后根据开口向下，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越大可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：把点代入二次函数得：， ∴， ∴一元二次方程为， 解得：； 【小问3详解】 解：由可知：开口向下，对称轴为直线， ∵，且， ∴当时，函数取得最大值，当时，函数有最小值， ∴， ∴． 22. 在等腰直角中，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，过点E作于点F，连接． （1）尝试发现：如图1，当点D在线段上时，请探究线段与的数量关系；以下是小琳同学的探究思路梳理：由已知条件的基本图形“一线三垂直”，易证，于是可得．欲探究线段与的数量关系，由直观先猜想，要进一步证明，可尝试证明，由已知，得，于是可得：（ ① ），所以可得（ ② ），因此猜想成立．请填空：以上思路梳理中，空白①处的理由是______，空白②处的线段是______． （2）类比探究：如图2，当点D在线段的延长线上时， ①再探究线段与的数量关系并证明； ②若，求线段的长； （3）拓展应用：如图3，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①等式性质1，② （2）①，证明见解析；② （3）或 【解析】 【分析】（1）根据，得，理由是等式性质1，可得； （2）①根据， ，，得，得，可得，即得；②由，得； （3）由，当点D在右侧时，得，即得，当点D在左侧时，得，即得． 【小问1详解】 解：∵中，， ∴， 由旋转知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（ 等式性质1 ）， ∴（ ）， 故答案为：等式性质1，； 【小问2详解】 解：①． 证明：∵中，， ∴， 由旋转知， ∴， ∴， ∵，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时， ， ∴； 【小问3详解】 解：当时， 由（1）（2）知，， 当点D在右侧时，， ∴； 当点D在左侧时，， ∴． 故线段的长为或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形与旋转．熟练掌握等腰直角三角形性质，旋转性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 如图1，已知二次函数的图象与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． （1）求该二次函数的表达式； （2）点D是二次函数图象上位于第三象限内的点． ①如图2，当点D是抛物线的顶点时，连接，求的面积； ②当点D到直线的距离为最大值时，求此时点D的坐标； （3）若点M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使得以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标（不写求解过程）． 【答案】（1）二次函数的解析式为； （2）①；②点到直线的距离取得最大时，； （3）存在，点的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可； （2）①求得直线的解析式，再求得直线与对称轴直线的交点坐标，再利用列式计算即可求解； ②如图1中连接，．由题意点到直线的距离取得最大，推出此时的面积最大．过点作轴的垂线交于点，设点的坐标为，则，推出，利用二次函数的性质求解即可； （3）分两种情形：是平行四边形的边或对角线分别求解即可． 【小问1详解】 解：把代入， 则有， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：①令，得到， ∴， ，则顶点，抛物线的对称轴为直线， 设直线解析式为：， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线与对称轴直线的交点为， ∴， ∴； ②如图，连接，． 点到直线的距离取得最大， 此时的面积最大， 过点作轴的垂线交于点，设点的坐标为， 则， 点在第三象限， ， ， 当时，，点， 点到直线的距离取得最大时，； 【小问3详解】 解：存在． 如图2中，抛物线的对称轴为直线， 当是平行四边形的边时， ，， ∴点的横坐标为0或， 时，， 时，， ∴或， 当为对角线时，点的横坐标为2， 时，， ． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的最值、平行四边形的性质，明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丰城九中初三年级数学暑期自我检测试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 为得到二次函数的图像，需将的图像（　　） A. 向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位 4. 如图，为的直径，C，D是上两点，且，若，则的度数可以表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知在中，，延长至，使，连接，交于点，则的长为（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 6. 如图，边长为1正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转，那么经过2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 8. 传统中国画通常被分为人物、山水和花鸟三大门类．小明要在如图的六幅画中随机抽取一幅画向同学们介绍，则小明抽取的画是山水画的概率为______． 9. 如图，内接于圆O，，，若圆O的半径为2，则阴影部分的面积为___________． 10. 如图，点在反比例函数的图像上，轴于点，轴于点，连接，若的面积为2，则________． 11. 如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则______． 12. 如图，在钝角三角形中，，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是___________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 如图，在中，，求的长度． 14. 在平面直角坐标系内，的位置如图所示． （1）将绕点O顺时针旋转得到，作出． （2）以原点O为位似中心，在第四象限内作出的位似图形，且与的相似比为． 15. 如图，是的内接三角形，是的直径，，点在上，连结并延长，交于点，连结，作，垂足为． （1）求证：． （2）若，求的长． 16. 如图，是的直径，点A是上的一点，过点A作圆O的切线交的延长线于点D，已知． （1）求的度数； （2）若，求图中阴影部分的面积． 17. 为帮助同学们正确理解物理变化与化学变化，老师将5种生活现象分别制成无差别的卡片，分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有A、B、C三张卡片，乙口袋中装有D、E两张卡片．其中，没有生成其他物质的变化叫做物理变化（A、D）；生成其他物质的变化叫做化学变化（B、C、E）．课堂上，同学们通过抽卡片来分享对应的科学知识． （1）小南从甲口袋中随机抽取一张卡片，抽到的是物理变化的概率是___________． （2）游戏规则如下：老师从两个口袋中各随机抽取1张卡片，若抽取的两张卡片都是化学变化，则由小南分享；若抽取的两张卡片都是物理变化，则由小安分享．这个规则对小南和小安公平吗？请用画树状图或列表法说明理由． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）点P为抛物线上一点、若，求出此时点P坐标． 19. 如图，在等腰三角形中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F． （1）求证：是切线； （2）若的半径为5，，求的长． 20. 某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天销售量就减少10千克． （1）若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？ （2）通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？ 五、（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 已知二次函数（c为常数）． （1）若该二次函数的图象与x轴有两个公共点，求c的取值范围； （2）若该二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，求一元二次方程的解： （3）在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求c值． 22. 在等腰直角中，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，过点E作于点F，连接． （1）尝试发现：如图1，当点D在线段上时，请探究线段与的数量关系；以下是小琳同学的探究思路梳理：由已知条件的基本图形“一线三垂直”，易证，于是可得．欲探究线段与的数量关系，由直观先猜想，要进一步证明，可尝试证明，由已知，得，于是可得：（ ① ），所以可得（ ② ），因此猜想成立．请填空：以上思路梳理中，空白①处的理由是______，空白②处的线段是______． （2）类比探究：如图2，当点D在线段的延长线上时， ①再探究线段与的数量关系并证明； ②若，求线段的长； （3）拓展应用：如图3，若，请直接写出线段的长． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 如图1，已知二次函数的图象与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． （1）求该二次函数的表达式； （2）点D是二次函数图象上位于第三象限内的点． ①如图2，当点D是抛物线的顶点时，连接，求的面积； ②当点D到直线的距离为最大值时，求此时点D的坐标； （3）若点M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使得以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标（不写求解过程）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$