第二十四章 圆 （基础+中等类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

第二十四章 圆思维导图 【类型覆盖】 类型一、点、直线与圆的位置关系 【解惑】已知的直径为，若点到圆心O的距离为，则点（　　） A．在内 B．在上 C．在外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是比较点到圆心的距离与圆的半径的大小． 先根据圆的直径求出半径；再比较点到圆心的距离与半径的大小；最后根据点与圆的位置关系判定点的位置． 【详解】解：已知的直径为，则半径为． 点A到圆心O的距离为，因为 ，所以点A在外． 故选：C． 【融会贯通】 1．若的半径为5，圆心到一条直线的距离为2.5，则这条直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与圆的位置关系判定方法，比较圆心到直线的距离与圆半径的大小，确定直线与圆的位置关系，再结合图形进行判断．本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆位置关系的判定方法是解题的关键． 【详解】解：圆半径，圆心到直线的距离， ． 当时，直线与圆相交， 这条直线与圆相交，结合图形可知是． 故选：B． 2．在中，，，，以点为圆心，为半径的与的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．根据勾股定理可知．作于点，则的长表示圆心到的距离．根据等积法求出的长，与半径比较大小后判断． 【详解】解：如图，作于点． ，，， ，，即， ， ， 与的位置关系是相交， 故答案为：相交． 3．如图，在中，，点O在上（不与点A，B重合），且的半径为1．分别求出当与相离、相切和相交时的取值范围． 【答案】当与相离时，；当与相切时，；当与相交时，． 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，含角的直角三角形，关键是掌握直线与圆的位置关系的判定方法． 判断直线和圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，直线和相交；直线和相切；直线和相离,由此即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点． ， ． ． ①当与相离时，有，即，解得． 又点O在上（不与点重合），，； ②当与相切时，有，即，解得； ③当与相交时，有，即，解得． 又． 综上所述，当与相离时，； 当与相切时，； 当与相交时，． 类型二、弧、弦、圆心角关系 【解惑】如图，已知和是的两条等弦，，，垂足分别为，，，的延长线交于点，连接，下列四个说法中：，，，，正确的是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质等知识，连接，根据圆心角、弧、弦的关系得，再证明，即可求解，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． 【详解】解：连接、，    ∵， ∴，故正确； ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，，故正确； ∵， ∴，故正确， 综上正确，共4个， 故选：D． 【融会贯通】 1．观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的圆心角、弧、弦的相关知识，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．根据圆的圆心角、弧、弦的相关知识逐一分析即可解答． 【详解】解：A、由于两条弧不在同圆或等圆中，则，故A选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，两条弧相等，所对弦相等，故B选项正确，符合题意； C、弧的度数等于它所对圆心角的度数，则，故C选项错误，不符合题意； D、因为不是圆心角，则，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 2．如图，是的直径，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】 根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用平角的定义得到的度数，然后根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数求解． 【详解】 解：∵， ∴， 而为直径， ∴， ∴的度数为． 3．如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查圆心角、弦、弧的关系，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键 （1）过O作于M，连接、，利用等腰三角形三线合一证明，，则问题可证； （2）利用等腰三角形三线合一，可证明，，进行角的组合可证明，利用圆心角、弦、弧的关系，即可证． 【详解】（1）证明：过O作于M，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ． 类型三、垂径定理 【解惑】如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（   ） A．6 B．16 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理，得到，勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】解：∵是的直径，且， ∴， ∵ ∴， 在中，， ∴． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽，则排水管水面高为（    ） A．3 B．8 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，由题意知，交于点C，由垂径定理可得出的长，在中，根据勾股定理求出的长，由即可得出结论． 【详解】解：连接， 由题意知，交于点C， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图，是的直径，点，在上，，，垂足分别为点．若，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用垂径定理得出，，证明，得出，假设半径为，则，，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 假设半径为，则，， 由勾股定理得，， 即， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：9． 3．圆弧形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，彰显中国元素的韵味．如图，是拱门外轮廓所在的圆，其圆心为，半径为，拱门最下端的弦（在地面上）宽． (1)尺规作图：在图的上，作出拱门的最高点（保留作图痕迹，不写作图过程）； (2)求（1）中所作的最高点到地面的距离； (3)现要往房间内搬进一个直径为的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知两名工人在搬运桌面时所抬高度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人需将桌面至少抬高多少米，才能使圆桌面通过拱门？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)抬高米 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，圆的垂径定理，勾股定理等内容，解题的关键是掌握以上性质． （1）过圆心作弦的垂线，与圆的交点即为最高点； （2）设与交于点，连接，然后利用勾股定理即可求解； （3）设弦，且于点，连接，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图，设与交于点，连接， ， ， 在中，， ， ， 最高点到地面的距离为； （3）解：如图，设弦，且于点，连接， ， ， ， ， 工人需将桌面至少抬高，才能使圆桌面通过拱门． 类型四、圆的计算(扇形、圆锥) 【解惑】已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 、半径为4的扇形，则这个圆锥的全面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算：设圆锥的底面圆的半径为r，利用弧长公式得到，解得，然后计算底面积与侧面积的和即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得， 解得， 所以这个圆锥的全面积． 故选：D． 【融会贯通】 1．“打陀螺”是人们喜爱的一项运动，如图所示是一个陀螺的结构图．已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，那么这个陀螺的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆柱和圆锥的计算，勾股定理等知识，根据勾股定理求出圆锥的母线长，再根据圆的面积公式，扇形面积公式，矩形面积公式求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理可得： 圆锥的母线长为：， ∴陀螺的表面积为：， 故选：D． 2．若圆锥的底面直径为10，母线长是20，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 【答案】90 【分析】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面直径为10， ∴圆锥的底面周长是， 设圆锥侧面展开图的圆心角的度数是， 则， 解得， 这个圆锥侧面展开图的圆心角是． 故答案为：． 3．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点，请在网格图中进行如下操作： (1)若该圆弧所在圆的圆心为，则点坐标为___________； (2)连接、，则的半径长为___________（结果保留根号），的度数为___________． (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的周长为___________．（结果保留根号） 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查的是圆锥的计算、勾股定理及其逆定理，掌握扇形面积公式、正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得出D点位置，结合图形得到点D的坐标； （2）利用点的坐标结合勾股定理得出的半径长，根据勾股定理的逆定理得出的度数； （3）利用圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长即可得出答案． 【详解】（1）解：分别作、的垂直平分线，两直线交于点D， 则点D即为该圆弧所在圆的圆心， 由图形可知，点D的坐标为， 故答案为：； （2）解：圆D的半径长， ， ∴ ， 则， ∴， 故答案为：；； （3）解：圆锥的底面圆的周长． 类型五、圆周角定理 【解惑】如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 根据同弧所对的圆周角相等，然后即可求解； 【详解】解：∵， ∴； 故选：A； 【融会贯通】 1．如图在中，弦、相交于点P．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆周角，三角形外角的性质．根据题意可得，然后根据三角形外角的性质可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 2．如图，直线，为的两条直径，点E 在上，连接，点 C 为的中点，若，则 °． 【答案】25 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 连接，，根据等弧所对圆周角等于所对圆心角的一半，求得，再根据同弧所对圆周角相等求解即可． 【详解】解：连接，，如图， ∵点 C 为的中点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：25． 3．如图，已知，是的直径，弦于点E． (1)若，，求的值； (2)若，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】此题考查垂径定理的应用，圆周角定理： （1）根据垂径定理得到，再根据勾股定理求出，即可得到的值； （2）根据圆周角定理得到，再结合为，，得，即可求出的度数． 【详解】（1）解：因为弦，， 所以， 在中，，根据勾股定理， ∵， ∴； （2）因为与所对的弧都是， 所以， 又因为，， 所以，则． 类型六、三角形的外接圆与内切圆 【解惑】如图，点是的外心，也是的内心．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理、三角形内切圆和外接圆的应用，熟练掌握同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键．连接、，由圆周角定理可得由三角形的内角和可得，，根据点是的内心可得，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 点是的外心，， ． ， ． 点是的内心， ，． ． ， 故选：B． 【融会贯通】 1．我们将一个三角形内切圆的半径与外接圆的半径的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的内切圆和外接圆等知识点，解题的关键是求出内切圆和外接圆的半径． 本题需计算等腰三角形的内切圆半径与外接圆半径的比值，通过勾股定理求高，进而计算面积，分别求出两个半径，最后求比值． 【详解】解：如图所示，为等腰底边上的高，点为三角形的外心， ∴， 由三线合一和勾股定理得，， ， 由勾股定理得， 解得， 如图，点为的内心， ， ∴， ∴ 故选：B． 2．已知两直角边的长分别为和，则其内心与外心的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内心与外心，勾股定理，得出三角形的内心与外心的位置是解题的关键．先根据题意画出图形，的内心是三角形角平分线的交点，外心是斜边的中点，求出，根据面积法求出，进而得出，在求出，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：如图所示：的内心是三角形角平分线的交点，外心是斜边的中点， 设，， ， 的内心是三角形角平分线的交点，外心是斜边的中点， ， 根据三角形的面积可得：， ，即， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ， ， ， ， 内心与外心的距离为， 故答案为：． 3．如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证； （2）连接，证出即可得证； （3）连接，，，证出即可得证． 【详解】（1）证明：点I是的内心， 平分， ， ， ， ． （2）证明：如图，连接， 点I是的内心， 平分，平分， ， 又， ， ，， ， ． （3）证明：如图，连接，，， ， ． ， ∴点D是的外心． 【点睛】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键. 类型七、正多边形与圆 【解惑】若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（   ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形 【答案】B 【分析】本题考查圆内接正多边形，根据圆内接正边形的中心角的度数为，进行求解即可． 【详解】解：， 故这个多边形为正九边形； 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，正六边形F内接于，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，连接，，根据中心角的定义求出，进而求出，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解∶连接，， ∵正六边形F内接于， ∴， ∴， 又， ∴， 故选∶C． 2．中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则该正六边形铁块的外接圆的半径为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了正多边形与中心角，等边三角形的判定与性质，连接与交于点，证明为等边三角形，从而即可得到答案，正确把握正六边形的中心角，半径与边长的关系是解题的关键． 【详解】解：如图，连接与交于点，    ∵为正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵正六边形的周长约为， ∴， ∴， ∴该正六边形的外接圆半径长为， 故答案为：20． 3．【问题情境】如图①，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？ 【思路梳理】 （1）如图②，将小正方形绕圆心旋转，可以发现大正方形面积是小正方形面积的______倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【初步探究】 （2）如图③，一个对角线互相垂直的四边形，四边，，，之间存在某种数量关系．若按图③所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图④，请你结合整个变化过程，直接写出图④中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系：______； 【探究应用】 （3）如图⑤，在四边形中，对角线，若，，求的最小值． 【答案】（1）2；（2）；（3）的最小值为10． 【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案； （2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案； （3）如图，将沿方向平移至，使点与点重合，四边形是矩形，求得，再进一步解答即可． 【详解】解：（1）如图， ∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍． 故答案为：2； （2）如图，∵， ∴，， ，， ∴， 如图， 结合图形变换可得：； 故答案为：； （3）如图，将沿方向平移至，使点与点重合， 由平移的性质知：，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴的最小值为10． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 类型八、求不规则图形的面积 【解惑】如图，C是以为直径的半圆上一点，过B，C两点作与弦相切．已知，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与交于点D，的圆心为O，连接，利用圆周角定理和圆的切线的性质得到经过圆心O，利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求得，再利用阴影部分的面积解答即可得出结论． 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，扇形与三角形的面积，直角三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． 【详解】解：设与交于点D，的圆心为O，连接，如图， 为半圆的直径， ， ， 过B，C两点作与弦相切， 经过圆心O， 即为直径， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积 故选：D 【融会贯通】 1．如图，小亮在学习圆内接正多边形的知识后，利用尺规作图得到了的八等分点，连接其中的六个顶点得到圆内接六边形．若的半径为3、则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形和圆，垂径定理，圆周角定理，正方形的判定与性质，勾股定理，中心对称图形的性质，不规则图形的面积，解决本题的关键是掌握多边形和圆的性质．连接，易证四边形是正方形，求出，由题意证明，求出四边形的面积，的面积，进而得到四边形的面积，再根据六边形是中心对称图形，求出六边形的面积，用圆的面积减去六边形的面积即可得到图中阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，即， ， ∴四边形是正方形， ∴， ∴是的直径， ∴点过，且为中点， ∴， ∵的半径为3， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为， ∵的面积为， ∴四边形的面积为， ∵六边形是中心对称图形， ∴六边形的面积为， ∴图中阴影部分的面积为． 故选：A． 2．如图，正方形内接于，点E为上一点，连接，若，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，由正方形内接于，得，，由，求得，因为，所以，则是等边三角形，所以，作于点I，则，求得，由阴影＝求得阴影，于是得到问题的答案． 【详解】连接，则， 正方形内接于，， ，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 作于点I，则，， ， ∴阴影＝， 故答案为： 【点睛】此题重点考查正多边形和圆、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 3．如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过，的分别交、于点、． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为2，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则，利用等腰三角形的性质和角平分线证明，则，得到，又由是的半径，即可得到结论； （2）利用直角三角形的性质推出，，结合勾股定理求出，由计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，则， ， 是的平分线， ， ， ∴， ， ∴， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ∴，， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理，扇形面积公式，含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 类型九、圆的切线证明 【解惑】如图，在中，，以边为直径作交于点，连接并延长交的延长线于点，点为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）连接．由“直径所对的圆周角等于90度”可得，由“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”可得，进而可得，再由，可得，可证，即可证明； （2）先根据三角形外角定理可得，进而可得，则，进而可得．在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． 为的直径， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 又为的半径， 是的切线； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， 的半径为2， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得，， 即， 解得：． 【融会贯通】 1．如图，以的边为直径的与边相交于点D，，过点D作于点H． (1)求证：为的切线； (2)若，的直径为8，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由三角形中位线定理可得，结合题意可得，即可得证； （2）过点O作于点E，证明为等腰直角三角形．结合勾股定理求出，证明四边形为矩形，即可得解． 【详解】（1）证明：连接，如图： 为的中位线， ∴， ， ∴， 为的半径， 为的切线； （2）解：过点O作于点E，如图． ， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形． ∴， ， ∴， ∴， ，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 2．如图，在中，，，点D在边上，经过点A和点B且与边相交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定定理以及等边三角形的判定和性质． （1）由可得为等腰三角形，再由圆的半径相等可得为等腰三角形，即，由可求解的度数，由切线定理即可证明． （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和可求解，即得为等边三角形，再由边相等即可求解圆的半径． 【详解】（1）证明：连接， 因为在中，， 所以为等腰三角形， 又， 所以， 又因为在中，， 所以为等腰三角形， 所以， 又， 所以， 即， 所以是的切线． （2）解：连接， 由（1）知， 所以， 又因为在中，， 所以为等边三角形， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以为等腰三角形， 所以， 所以， 所以的半径为． 3．如图，，，，是上的四点，是直径，，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）通过连接辅助线 并延长交 于 ，利用圆中弦、角的关系（等弦对等圆心角、等腰三角形性质、三角形内角和 ），结合中位线平行关系及切线判定定理（半径垂直于直线则直线为切线 ）来证明 是切线； （2）依据（1）中得到的垂直、矩形关系，借助勾股定理，设半径列方程求解． 【详解】（1）证明：连接 ，并延长交 于 ． ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 又 ， ， 是 的半径．， 是 的切线； （2）解：由（1）得 ，，． 四边形 是矩形， ， 在 中，， ， ， ，即 ， 在 中，， 即 ， 解得 的半径 ． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质（等弦对等圆心角、等腰三角形性质 ）、三角形中位线定理、切线的判定定理、矩形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握圆的性质、切线判定及勾股定理建立方程求解是解题的关键． 类型十、尺规作图 【解惑】如图，已知弧上的三点、、，要把破残的圆片补充完整． (1)尺规作图，找出弧所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查圆的确定，中垂线的判定，勾股定理，熟练掌握圆的确定方法，是解题的关键： （1）分别作、的垂直平分线，设交点为，则为所求圆的圆心； （2）连接交于点，连接，推出垂直平分，勾股定理求出的长，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：分别作、的垂直平分线，设交点为，则为所求圆的圆心． （2）解：连接交于点，连接，则：， ∵是等腰三角形，底边，腰， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得：． 【融会贯通】 1．如图，圆内有一点M，弦与点M分别位于圆心的异侧． (1)尺规作图：作过点M的弦，使得不写作法，保留作图痕迹； (2)在（1）中，若该圆的半径为6，，，求圆被弦与所夹的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长交于F点，再作交于E点，然后延长交于D点，则满足条件； （2）过O点作于Q点，于P点，连接，根据垂径定理得到，，再利用勾股定理计算出，所以，于是可判断，然后证明，同理可得，然后根据扇形的面积公式，利用该圆位于与之间的图形的面积进行计算即可． 本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定与性质、垂径定理和全等三角形的判定与性质． 【详解】（1）解：如图1，为所求； （2）解：如图2，过O点作于Q点，于P点，连接， 则，， 在中，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 同理， 该圆位于与之间的图形的面积 2．有一破损的水管，截面如图． (1)请用直尺和圆规补全这个图（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若水管直径，水面宽度，求最大水深和弧的长． 【答案】(1)见解析 (2)最大水深为，弧的长为 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理及弧长公式，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）作的垂直平分线，交截面图于，交于，连接，作的垂直平分线，交于，以点为圆心，为半径画圆，即为所求； （2）根据垂径定理得出，，利用勾股定理求出，即可得出最大水深的长，进而证明是等边三角形，，利用弧长公式即可得弧的长． 【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线，交截面图于，交于，连接，作的垂直平分线，交于，以点为圆心，为半径画圆，即为所求． （2）解：如（1）中图，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴最大水深， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，即是等边三角形， ∴，， ∴弧的长． 3．如图，AB为的直径，C，D为上两点，． (1)尺规作图：作，交的延长线于点E（保留作图痕迹，不用写作图步骤）； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—基本作图，切线的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键． （1）根据题意作出图形即可； （2）连接，则，根据平行线的判定定理得到，求得，根据切线的判定定理即可． 【详解】（1）解：如图，CE即为所求； （2）证明：如图，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆思维导图 【类型覆盖】 类型一、点、直线与圆的位置关系 【解惑】已知的直径为，若点到圆心O的距离为，则点（　　） A．在内 B．在上 C．在外 D．无法确定 【融会贯通】 1．若的半径为5，圆心到一条直线的距离为2.5，则这条直线是（    ） A． B． C． D． 2．在中，，，，以点为圆心，为半径的与的位置关系是 ． 3．如图，在中，，点O在上（不与点A，B重合），且的半径为1．分别求出当与相离、相切和相交时的取值范围． 类型二、弧、弦、圆心角关系 【解惑】如图，已知和是的两条等弦，，，垂足分别为，，，的延长线交于点，连接，下列四个说法中：，，，，正确的是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【融会贯通】 1．观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 2．如图，是的直径，，，则的度数为 ． 3．如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 类型三、垂径定理 【解惑】如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（   ） A．6 B．16 C．8 D．12 【融会贯通】 1．如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽，则排水管水面高为（    ） A．3 B．8 C．2 D． 2．如图，是的直径，点，在上，，，垂足分别为点．若，则的长为 ． 3．圆弧形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，彰显中国元素的韵味．如图，是拱门外轮廓所在的圆，其圆心为，半径为，拱门最下端的弦（在地面上）宽． (1)尺规作图：在图的上，作出拱门的最高点（保留作图痕迹，不写作图过程）； (2)求（1）中所作的最高点到地面的距离； (3)现要往房间内搬进一个直径为的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知两名工人在搬运桌面时所抬高度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人需将桌面至少抬高多少米，才能使圆桌面通过拱门？ 类型四、圆的计算(扇形、圆锥) 【解惑】已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 、半径为4的扇形，则这个圆锥的全面积为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．“打陀螺”是人们喜爱的一项运动，如图所示是一个陀螺的结构图．已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，那么这个陀螺的表面积是（   ） A． B． C． D． 2．若圆锥的底面直径为10，母线长是20，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 3．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点，请在网格图中进行如下操作： (1)若该圆弧所在圆的圆心为，则点坐标为___________； (2)连接、，则的半径长为___________（结果保留根号），的度数为___________． (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的周长为___________．（结果保留根号） 类型五、圆周角定理 【解惑】如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图在中，弦、相交于点P．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线，为的两条直径，点E 在上，连接，点 C 为的中点，若，则 °． 3．如图，已知，是的直径，弦于点E． (1)若，，求的值； (2)若，求的度数． 类型六、三角形的外接圆与内切圆 【解惑】如图，点是的外心，也是的内心．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．我们将一个三角形内切圆的半径与外接圆的半径的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（   ） A． B． C． D． 2．已知两直角边的长分别为和，则其内心与外心的距离为 ． 3．如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 类型七、正多边形与圆 【解惑】若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（   ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形 【融会贯通】 1．如图，正六边形F内接于，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则该正六边形铁块的外接圆的半径为 ． 3．【问题情境】如图①，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？ 【思路梳理】 （1）如图②，将小正方形绕圆心旋转，可以发现大正方形面积是小正方形面积的______倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【初步探究】 （2）如图③，一个对角线互相垂直的四边形，四边，，，之间存在某种数量关系．若按图③所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图④，请你结合整个变化过程，直接写出图④中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系：______； 【探究应用】 （3）如图⑤，在四边形中，对角线，若，，求的最小值． 类型八、求不规则图形的面积 【解惑】如图，C是以为直径的半圆上一点，过B，C两点作与弦相切．已知，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，小亮在学习圆内接正多边形的知识后，利用尺规作图得到了的八等分点，连接其中的六个顶点得到圆内接六边形．若的半径为3、则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，正方形内接于，点E为上一点，连接，若，，则阴影部分的面积为 ． 3．如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过，的分别交、于点、． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为2，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 类型九、圆的切线证明 【解惑】如图，在中，，以边为直径作交于点，连接并延长交的延长线于点，点为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，，求的长． 【融会贯通】 1．如图，以的边为直径的与边相交于点D，，过点D作于点H． (1)求证：为的切线； (2)若，的直径为8，求的长． 2．如图，在中，，，点D在边上，经过点A和点B且与边相交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 3．如图，，，，是上的四点，是直径，，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 类型十、尺规作图 【解惑】如图，已知弧上的三点、、，要把破残的圆片补充完整． (1)尺规作图，找出弧所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径． 【融会贯通】 1．如图，圆内有一点M，弦与点M分别位于圆心的异侧． (1)尺规作图：作过点M的弦，使得不写作法，保留作图痕迹； (2)在（1）中，若该圆的半径为6，，，求圆被弦与所夹的面积． 2．有一破损的水管，截面如图． (1)请用直尺和圆规补全这个图（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若水管直径，水面宽度，求最大水深和弧的长． 3．如图，AB为的直径，C，D为上两点，． (1)尺规作图：作，交的延长线于点E（保留作图痕迹，不用写作图步骤）； (2)求证：是的切线． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$