专题03 圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆、蒙日圆、阿基米德三角形3类题型归类（压轴题专项训练）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题03 圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆、蒙日圆、阿基米德三角形 3类题型归类 目录 典例详解 类型一、圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆 类型二、圆锥曲线中的蒙日圆 类型三、阿基米德三角形的应用 压轴专练 类型一、圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆 【知识归纳】 平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点M的轨迹是圆（，此圆被称为阿波罗尼斯圆．特别的，当时，点M的轨迹是线段AB的中垂线. 证明 以直线AB为x轴建立平面直角坐标系，并设，，． 因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以，所以点M的轨迹是圆． 2．阿波罗尼斯圆的性质——三角形相似 当把点A，B的坐标分别记为，时，其阿波罗尼斯圆的方程为， 即，则阿波罗尼斯圆圆心为，半径为， 此时有，于是与相似． 若取，，则如下图所示．虽然是取特殊坐标推导的，但结论具有普遍性，即当M为阿波罗尼斯圆上一点，且M不与O，A，B三点所在直线共线时，相似于． 例1．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点，的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分． ①求的取值范围； ②将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程． 【变式1-1】已知平面上两定点A、B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为 ． 【变式1-2】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则动点的轨迹方程为 ；点为抛物线：上的动点，点在上的射影为，则的最小值为 . 【变式1-3】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，阿波罗尼斯圆指的是已知动点与两定点的距离之比且是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的上顶点与右顶点，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，过点斜率分别为的直线与椭圆的另一个交点分别为，且满足，试探究面积是否存在最大值，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 类型二、圆锥曲线中的蒙日圆 【知识归纳】 与曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相切的两条动直线交于一点，求离心率、曲线方程、点到直线的距离等问题． 1.蒙日圆的相关定理： （1）与椭圆相切的两条垂直切线的交点在圆上． （2）与双曲线相切的两条垂直切线的交点在圆上，此时双曲线的离心率满足． （3）与抛物线相切的两条垂直切线交点的轨迹，就是该抛物线的准线． （4）与圆相切的两条垂直切线的交点在圆上． 蒙日圆的证明（以椭圆为例）： ①当平面中两条互相垂直的切线的斜率不存在或斜率为0时，可得的坐标为． ②当两条切线的斜率存在，且设其中一条的斜率为，交点为，则过的切线方程为．由消去得． 令，整理得． ∵是关于的一元二次方程的两个根， ∴． 由，得， 即．命题得证． 双曲线，抛物线的定理均可按照这种方式证明． 2.蒙日圆的性质： 性质1：过圆上的动点作椭圆的两条切线，切点为，则，且平分弦． 性质2：为圆上任一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，延长交圆于两点，则 （1）三点共线； （2）； （3）； （4）当位于轴上时，弦取得最大值． 例2．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列结论错误的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．面积的最大值为 C．到的左焦点的距离的最小值为 D．若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 【变式2-1】加斯帕尔•蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 【变式2-2】法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心为椭圆的中心，半径等于椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆被称为“蒙日圆”．如图，已知椭圆的蒙日圆方程为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)点是第一象限内椭圆上一点，，的延长线分别交于，两点，设，分别是，的内切圆半径. （i）若点的横坐标为2，求内切圆的方程； （ii）求的最大值. 【变式2-3】已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆的两个焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上． (1)求的标准方程； (2)已知直线与交于两点，且，求面积的取值范围； (3)过的蒙日圆上一点，作的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若直线，的斜率存在，设与的斜率分别为，证明：为定值． 类型三、阿基米德三角形的应用 【知识归纳】 1. 椭圆中的阿基米德三角形 设椭圆的弦为 为阿基米德三角形, 则有: 性质 1: 弦 绕着定点 转动时, 则其所对顶点 落在直线 上. 其中, 当 点为左 (右) 焦点时, 点位于左 (右) 准线上. 性质 2: 直线 的斜率成等差数列, 即 . 性质 3: 当 点为焦点时, . 2. 双曲线中的阿基米德三角形 设双曲线 的弦为 为阿基米德三角形, 则有: 性质 1: 弦 绕者定点 转动时, 则其所对顶点 落在直线 上. 其中, 当 点为左 (右) 焦点时, 点位于左 (右) 准线上. 性质 2: 直线 的斜率成等差数列, 即 . 性质 3: 当 点为焦点时, . 3. 抛物线中的阿基米德三角形 抛物线的弦为 为阿基米德三角形, 则有: （1） 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴 （2） 若阿基米德三角形的底边即弦 过抛物线内的定点 , 则另一顶点 的轨迹为一条直线 （3） 若直线 与抛物线没有公共点，以 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点 (若直线 方程为: , 则定点的坐标为 . （4） 底边为 的阿基米德三角形的面积最大值为 . （5） 若阿基米德三角形的底边过焦点, 顶点 的轨迹为准线, 且阿基米德三角形的面积最小值为 （6） 在阿基米德三角形中, （7） . （8） 抛物线上任取一点 (不与 重合), 过 作抛物线切线交 于 ,连接 , 则 的面积是 面积的 2 倍 例3．抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线的焦点为，直线过点，过轴下方的一点作的两条切线，且分别交轴于点，交于点. (1)若为阿基米德三角形，求； (2)证明：切线三角形的外接圆过定点； (3)求面积的最小值. 【变式3-1】圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形，过抛物线焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，那么阿基米德三角形满足以下特性：①点必在抛物线的准线上；②为直角三角形，且为直角；③，已知为抛物线的准线上一点，则阿基米德三角形面积的最小值为（    ） A． B． C．2 D．1 【变式3-2】为抛物线的弦，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.若弦过焦点，则下列结论错误的是（ ） A． B．底边的直线方程为； C．是直角三角形； D．面积的最小值为. 【变式3-3】圆锥曲线C的弦AB与过弦的端点A，B的两条切线的交点P所围成的三角形PAB叫做阿基米德三角形，若曲线C的方程为，弦AB过C的焦点F，设，，，则有，，对于C的阿基米德三角形PAB给出下列结论：①点P在直线上；②；③；④，其中所有正确结论的序号为 ． 【变式3-4】抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形．已知抛物线的焦点为F，直线过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线和，且，分别交x轴于点A，B，交l于点M，N． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若△PMN为阿基米德三角形，求∠MPN； (3)证明：切线三角形PAB的外接圆过定点． 一、单选题 1．我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下性质： ①P点必在抛物线的准线上； ②； ③． 已知直线与抛物线交于A，B点，若，则抛物线的“阿基米德三角形” 顶点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 2．圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，其中抛物线中的阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦过焦点，为阿基米德三角形，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随着点，位置的变化，前三种情况都有可能 3．法国数学家加斯帕尔•蒙日发现与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，，分别为椭圆C的左、右焦点．离心率为，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为10，则椭圆C的长轴长为（   ） A． B． C． D． 4．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：若动点与两定点A，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若，，点满足，则直线与点的轨迹的交点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 5．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆．人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论： ①曲线的方程为 ②曲线上存在点，使得到点距离为6； ③曲线上存在点，使得到直线的距离为； ④曲线上存在点，使得到点与点距离之和为8． 其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.过抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线的切线l1，l2相交于P点，那么阿基米德三角形PAB满足以下特性：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且为直角；③PF⊥AB.已知P为抛物线的准线上一点，则阿基米德三角形PAB的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物线，阿基米德三角形，弦过的焦点，其中点在第一象限，则下列说法正确的是（    ） A．点的纵坐标为 B．的准线方程为 C．若，则的斜率为 D．面积的最小值为16 8．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线的周长为 C．曲线上的点到直线的最小距离为 D．若点为抛物线上的动点，抛物线的焦点为，则的最小值为2 9．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线：上两个不同点横坐标分别为，，以为切点的切线交于点.则关于阿基米德三角形的说法正确的有（    ） A．若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上 B．若阿基米德三角形为正三角形，则其面积为 C．若阿基米德三角形为直角三角形，则其面积有最小值 D．一般情况下，阿基米德三角形的面积 10．若过点可以作抛物线的两条切线，切点分别是，则称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，以为顶点的“阿基米德三角形”为，则（    ） A．点的横坐标为 B． C． D．面积的最小值为16 11．抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦过焦点为的中点，为坐标原点，为其阿基米德三角形，则（    ） A．存在点，使得 B．任意点，都有 C．任意点，都有 D．面积的最小值为4 三、填空题 12．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦AB过焦点，为其阿基米德三角形，则的面积的最小值为 ． 13．法国著名数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，且方程为，这个圆被称为“蒙日圆”．已知椭圆的焦点在轴上，A，B为椭圆上任意两点，动点在直线上．若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 14．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为3的正方体中，点P是正方体的表面（包括边界）上的动点. （1）若动点P满足，则点P所形成的阿氏圆的半径为 ； （2）若E是靠近D的三等分点，且满足，则三棱锥体积的最大值是 . 四、解答题 15．已知椭圆且经过，，，中的三点，抛物线，椭圆的右焦点是抛物线的焦点． (1)求曲线，的方程； (2)点P是椭圆的点，且过点P可以作抛物线的两条切线，切点为A，B，求三角形面积的最大值． 16．抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形对于抛物线给出如下三个条件：  ①焦点为②准线为③与直线相交所得弦长为． (1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线的方程 (2)已知是中抛物线的阿基米德三角形，点是抛物线在弦两端点处的两条切线的交点，若直线经过点，试判断点是否在一条定直线上如果是，求出定直线方程如果不是，请说明理由． 17．已知椭圆过两点，椭圆的所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为椭圆的蒙日圆． (1)求椭圆的标准方程； (2)矩形为椭圆的外切矩形，求矩形面积的取值范围； (3)过椭圆的蒙日圆上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，且直线的斜率都存在，证明：为定值． 18．如图，过点作抛物线的两条切线，，切点分别是，，动点为抛物线上在，之间部分上的任意一点，抛物线在点处的切线分别交，于点，. (1)若，证明：直线经过点； (2)若分别记，的面积为，，求的值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆、蒙日圆、阿基米德三角形 3类题型归类 目录 典例详解 类型一、圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆 类型二、圆锥曲线中的蒙日圆 类型三、阿基米德三角形的应用 压轴专练 类型一、圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆 【知识归纳】 平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点M的轨迹是圆（，此圆被称为阿波罗尼斯圆．特别的，当时，点M的轨迹是线段AB的中垂线. 证明 以直线AB为x轴建立平面直角坐标系，并设，，． 因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以，所以点M的轨迹是圆． 2．阿波罗尼斯圆的性质——三角形相似 当把点A，B的坐标分别记为，时，其阿波罗尼斯圆的方程为， 即，则阿波罗尼斯圆圆心为，半径为， 此时有，于是与相似． 若取，，则如下图所示．虽然是取特殊坐标推导的，但结论具有普遍性，即当M为阿波罗尼斯圆上一点，且M不与O，A，B三点所在直线共线时，相似于． 例1．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点，的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分． ①求的取值范围； ②将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）①；②． 【分析】（1）方法1，利用特殊值法，求得椭圆方程，方法2，利用定义整理得，再根据条件列式求得椭圆方程；方法3，利用定义进行整理，由为常数，求得系数，得到椭圆方程；（2）①首先由面积比值求得，令，则，利用坐标表示向量，求得，再求范围；②由阿波罗尼斯圆定义知，，，在以，为定点得阿波罗尼斯圆上，由几何关系列式得，求得，再根据，求得，即可计算直线方程. 【详解】（1）方法（1）特殊值法，令，，且，解得 ∴，，椭圆的方程为 方法（2）设，由题意（常数）， 整理得：， 故，又，解得：，． ∴，椭圆的方程为． 方法（3）设，则． 由题意 ∵为常数，∴，又，解得：，，故 ∴椭圆的方程为 （2）①由，又， ∴（或由角平分线定理得） 令，则，设，则有， 又直线的斜率，则，代入得： ，即， ∵，∴． ②由①知，，由阿波罗尼斯圆定义知， ，，在以，为定点得阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为， 则有，即，解得：． 又，故，∴ 又， ∴， 解得：，， ∴，∴直线的方程为． 【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹问题，考查直线与椭圆的位置关系，以及外接圆，新定义的综合应用，属于难题，本题的关键是读懂题意，并根据几何关系进行消参，转化与化归，是本题的关键也是难点. 【变式1-1】已知平面上两定点A、B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为 ． 【答案】 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，结合题意可得点在空间内的轨迹为以为球心，半径为2的球.再根据球的性质求解即可. 【详解】在图1中，以为原点建立平面直角坐标系如图2所示， 设阿氏圆圆心为，半径为， 因为，所以，所以， 设圆与交于点，由阿氏圆性质，知， 又，所以， 又，所以，解得，所以， 所以点在空间内的轨迹为以为球心，半径为2的球， 当点在面内部时，如图2所示，截面圆与分别交于点， 所以点在面内的轨迹为， 因为在中，，所以， 所以，所以点在面内部的轨迹长为， 同理，点在面内部的轨迹长为， 当点在面内部时，如图3所示，因为平面， 所以平面截球所得小圆是以为圆心，以长为半径的圆， 截面圆与分别交于点，且， 所以点在面内的轨迹为，且， 综上，点的轨迹长度为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求球与平面公共点轨迹长度时先求出平面截球所得圆面的半径，当截面为完整的圆时可直接求圆周长，当截面只是圆的一部分时先求圆心角的大小再计算弧长. 【变式1-2】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则动点的轨迹方程为 ；点为抛物线：上的动点，点在上的射影为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，利用关系列方程化简可得轨迹方程，由，抛物线定义可得，根据结论两点之间线段最短可求最小值. 【详解】设为所求轨迹上任意一点， ∵，，动点满足， ∴， ∴， ∴， 化简可得动点的轨迹方程为； ∵抛物线C：的焦点为，准线为， 所以， ∴ ， 当且仅当，，，四点共线时，等号成立， ∴的最小值为 故答案为：；    【点睛】关键点点睛：本题第二空解决的关键在于结合条件及抛物线定义将问题转化为求的最小值. 【变式1-3】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，阿波罗尼斯圆指的是已知动点与两定点的距离之比且是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的上顶点与右顶点，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，过点斜率分别为的直线与椭圆的另一个交点分别为，且满足，试探究面积是否存在最大值，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在最大值为2，直线方程为 【分析】（1）法一：设，上顶点，右顶点，由题意知：，化为标准方程，与圆的方程对比可求的值，可求椭圆的标准方程； 法二：圆心在两定点所在直线上，设直线为，进而可求得的值，可求椭圆的标准方程； （2）设，联立方程组可得，结合已知可得，可求得，求得点到直线的距离，进而求得的长，可求三角形面积的最大值. 【详解】（1）法一：设，上顶点，右顶点，由题意知：， 整理可得：， 又． 又圆的方程为，， 解得， 则椭圆方程为． 法二：圆心在两定点所在直线上，，又， 且圆心为， 则椭圆方程为. （2）由题可知，直线的斜率显然存在设， 则，解得：，需满足判别式大于0， 则，又 整理可得，即， 即或， 当时直线过点，不合题意， 此时点到直线的距离为， 又， ， 当时面积取得最大值，最大值为2，此时， 存在最大值为2，此时直线方程为． 【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹问题，考查直线与椭圆的位置关系，以及定点坐标的求法，新定义的综合应用，属于难题，本题的关键是读懂题意，并根据几何关系进行消参，转化与化归，是本题的关键也是难点. 类型二、圆锥曲线中的蒙日圆 【知识归纳】 与曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相切的两条动直线交于一点，求离心率、曲线方程、点到直线的距离等问题． 1.蒙日圆的相关定理： （1）与椭圆相切的两条垂直切线的交点在圆上． （2）与双曲线相切的两条垂直切线的交点在圆上，此时双曲线的离心率满足． （3）与抛物线相切的两条垂直切线交点的轨迹，就是该抛物线的准线． （4）与圆相切的两条垂直切线的交点在圆上． 蒙日圆的证明（以椭圆为例）： ①当平面中两条互相垂直的切线的斜率不存在或斜率为0时，可得的坐标为． ②当两条切线的斜率存在，且设其中一条的斜率为，交点为，则过的切线方程为．由消去得． 令，整理得． ∵是关于的一元二次方程的两个根， ∴． 由，得， 即．命题得证． 双曲线，抛物线的定理均可按照这种方式证明． 2.蒙日圆的性质： 性质1：过圆上的动点作椭圆的两条切线，切点为，则，且平分弦． 性质2：为圆上任一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，延长交圆于两点，则 （1）三点共线； （2）； （3）； （4）当位于轴上时，弦取得最大值． 例2．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列结论错误的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．面积的最大值为 C．到的左焦点的距离的最小值为 D．若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 【答案】D 【分析】求椭圆的离心率，根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的最值问题，根据题意结合圆，椭圆的知识并结合直线与椭圆位置关系，韦达定理可逐项求解. 【详解】A：依题意，过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线则这两条垂线的交点在上， 因为，所以椭圆的离心率，故A正确； B：因为点，，都在上，且，为的直径， 所以面积的最大值为，故B正确； C：设，的左焦点为，连接， 所以， 又，当时，的最小值为， 则到的左焦点的距离的最小值为，故C正确； D：由直线经过坐标原点，易得点A，关于原点对称， 设，，则，得，， 又，两式相减得，， 所以，故D错误. 故选：D 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：配方法；基本不等式法；单调性法；三角换元法；导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 【变式2-1】加斯帕尔•蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先通过椭圆切点在顶点的四条特殊切线可知道蒙日圆的半径，问题转化为直线与蒙日圆有交点问题，根据直线与圆的位置关系列式即可求解. 【详解】对于椭圆， 令，可得，令，可得， 由，可知点在“蒙日圆”上， 所以椭圆的“蒙日圆”的半径为， 所以“蒙日圆”方程为， 因为点在椭圆的“蒙日圆”上，又因为点在直线上， 所以直线和“蒙日圆”有公共点. 即圆心到直线的距离不大于半径， 即，所以，则， 所以椭圆离心率，所以，即椭圆离心率的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对“蒙日圆”定义的理解，能够利用椭圆的四条特殊切线确定蒙日圆的半径，将问题转化为直线与圆有交点的问题. 【变式2-2】法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心为椭圆的中心，半径等于椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆被称为“蒙日圆”．如图，已知椭圆的蒙日圆方程为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)点是第一象限内椭圆上一点，，的延长线分别交于，两点，设，分别是，的内切圆半径. （i）若点的横坐标为2，求内切圆的方程； （ii）求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据椭圆的离心率及蒙日圆方程列出的方程，即可求解； （2）（i）求得，可知轴，由对称性知，内切圆圆心在轴正半轴上，且是切点，利用等面积法求出，得内切圆的圆心坐标，进而可得内切圆的方程； （ii）设，，，点在椭圆上，得，利用等面积法可求得，，从而，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可求得，，从而，结合基本不等式可求得答案. 【详解】（1）由题意得，，且， 因为椭圆的蒙日圆方程为，所以， 解得，，.     故椭圆的标准方程为. （2）（i）点的横坐标为2，， 又，轴， 由对称性知，内切圆圆心在轴正半轴上，且是切点，     ， 且的周长为，     又， ，内切圆的圆心为， 内切圆的方程为.     （ii）设，，，， 因为点在椭圆上，所以，即 由， 即，解得， 同理可得，，，     ，直线的方程为， 由，化简得，     ，得， 同理可得，， ，     由， ，     当且仅当，时，等号成立， 所以的最大值为. 【变式2-3】已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆的两个焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上． (1)求的标准方程； (2)已知直线与交于两点，且，求面积的取值范围； (3)过的蒙日圆上一点，作的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若直线，的斜率存在，设与的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，列出方程组求出即可. （2）按是否为顶点分类，当直线斜率存在且不为0时，求出长，并求出三角形面积的函数关系，进而求出范围. （3）按直线的斜率存在与否分类，把直线的方程与圆、椭圆方程联立求出即可. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以的标准方程是. （2）当点不是椭圆的顶点时，由，得点不是椭圆的顶点， 设直线方程为，点，则直线方程为， 由得，，同理， 面积， 而，因此，当且仅当时取等号， 点是椭圆的顶点时，点也是椭圆的顶点，， 所以面积的取值范围是. （3）依题意，蒙日圆的方程为：， 当直线斜率不存在时，直线的方程为：或， 直线与的交点为或，则； 当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 由消去并整理得：， 则，即，设， 由消去并整理得：， ，， 则 ， 所以为定值. 类型三、阿基米德三角形的应用 【知识归纳】 1. 椭圆中的阿基米德三角形 设椭圆的弦为 为阿基米德三角形, 则有: 性质 1: 弦 绕着定点 转动时, 则其所对顶点 落在直线 上. 其中, 当 点为左 (右) 焦点时, 点位于左 (右) 准线上. 性质 2: 直线 的斜率成等差数列, 即 . 性质 3: 当 点为焦点时, . 2. 双曲线中的阿基米德三角形 设双曲线 的弦为 为阿基米德三角形, 则有: 性质 1: 弦 绕者定点 转动时, 则其所对顶点 落在直线 上. 其中, 当 点为左 (右) 焦点时, 点位于左 (右) 准线上. 性质 2: 直线 的斜率成等差数列, 即 . 性质 3: 当 点为焦点时, . 3. 抛物线中的阿基米德三角形 抛物线的弦为 为阿基米德三角形, 则有: （1） 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴 （2） 若阿基米德三角形的底边即弦 过抛物线内的定点 , 则另一顶点 的轨迹为一条直线 （3） 若直线 与抛物线没有公共点，以 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点 (若直线 方程为: , 则定点的坐标为 . （4） 底边为 的阿基米德三角形的面积最大值为 . （5） 若阿基米德三角形的底边过焦点, 顶点 的轨迹为准线, 且阿基米德三角形的面积最小值为 （6） 在阿基米德三角形中, （7） . （8） 抛物线上任取一点 (不与 重合), 过 作抛物线切线交 于 ,连接 , 则 的面积是 面积的 2 倍 例3．抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线的焦点为，直线过点，过轴下方的一点作的两条切线，且分别交轴于点，交于点. (1)若为阿基米德三角形，求； (2)证明：切线三角形的外接圆过定点； (3)求面积的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）通过求出抛物线方程和切线斜率，利用斜率乘积判断两切线垂直得出角度； （2）先求出切线方程，进而得到、坐标，再根据外接圆性质证明过定点； （3）通过联立直线与抛物线方程求出、坐标，进而表示出的面积，再求其最小值. 【详解】（1）由题意得，则， 所以抛物线的方程为， 因为为阿基米德三角形， 所以分别与抛物线切于点， 不妨设点在轴左侧，则. 由，得， 则， 所以的斜率为的斜案为1， 所以， 所以. （2）由（1）可知抛物线， 设分别与抛物线切于点， 由（1）可知直线的斜率为，直线的斜率为， 所以直线的方程为.即 直线的方程为，即， 所以. 设外接圆的圆心为， 则圆心在线段的垂直平分线上， 所以， 则圆的半径为， 所以圆的方程为， 又点在圆上， 所以， 即，所以， 所以 整理得， 即， 令，得， 所以的外接圆过定点. （3）由（2）可得的方程为的方程为， 又直线， 所以， 所以 ， 由（2）可得， 所以点到直线的距离为， 所以 令， 由， 得，当时等号成立， 所以 令， 则 令，得； 令，得， 所以在上单调递减，在 上单调递增， 所以， 此时或， 所以面积的最小值为. 【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义可求得切线的斜率，表示切线方程，联立方程可表示点的坐标；通过设，由，得，当时等号成立，把三角形的面积表示为关于t的函数，利用函数的单调性求解最小值. 【变式3-1】圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形，过抛物线焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，那么阿基米德三角形满足以下特性：①点必在抛物线的准线上；②为直角三角形，且为直角；③，已知为抛物线的准线上一点，则阿基米德三角形面积的最小值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】设直线的方程为，，，，，联立直线的方程和抛物线方程求得，通过PF⊥AB求得，再过点作轴交于点，进而得到为中点，由表示出三角形PAB的面积，结合基本不等式求出最小值即可． 【详解】易知，焦点，准线方程， 设直线的方程为，，，，， 联立，消整理得， 则，， 又PF⊥AB，可得，即，化简得， 过点作轴交于点，如图所示： 则，所以为中点，故， 故 ， 当且仅当时等号成立， 故三角形PAB的面积的最小值为． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：过点作轴交于点，且证明为中点，得到，从而得到阿基米德三角形面积关于，的表达式，再结合基本不等式求解． 【变式3-2】为抛物线的弦，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.若弦过焦点，则下列结论错误的是（ ） A． B．底边的直线方程为； C．是直角三角形； D．面积的最小值为. 【答案】D 【分析】由导数的几何意义，求得可得A处的切线方程，得出直线的方程为和，得到，进而可判定A正确； 点在直线上，进而得到底边的直线方程，可判定B正确； 设直线，联立方程组，根据，可判定C正确； 取的中点，化简得到的面积为，可判定D不正确. 【详解】如图：    依题意设，，由方程，可得，则， 由导数的几何意义知，直线的斜率为，同理直线的斜率为， 可得A处的切线方程为：，即， 化简可得，所以直线的方程为， 同理可得：直线BM的方程为，所以， 则， 因为，解得，即，所以A正确； 因点在直线上， 可得，， 即在上，在上， 所以底边的直线方程为，所以B正确； 设直线，联立方程组，整理得， 则且，， 因为，所以， 所以是直角三角形，所以C正确； 取的中点，连接，根据抛物线的定义，可得平行轴， 所以 因为，，所以， ， 代入可得， 当时，，所以D不正确. 故选：D. 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法： （1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解； （2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）． 【变式3-3】圆锥曲线C的弦AB与过弦的端点A，B的两条切线的交点P所围成的三角形PAB叫做阿基米德三角形，若曲线C的方程为，弦AB过C的焦点F，设，，，则有，，对于C的阿基米德三角形PAB给出下列结论：①点P在直线上；②；③；④，其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】①④ 【分析】 由已知可设直线的方程为，联立方程组，结合设而不求法依次判断各命题即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点，斜率不存在的直线与抛物线只有一个交点，不符合已知条件， 故可设直线方程为， 联立，消得，， 方程的判别式， 所以， 所以， 因为，， 所以，， 因为，所以点P在直线上，命题①正确； ，命题②错误； ，命题③错误； 因为， 所以， ， 所以，命题④正确； 故答案为：①④. 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 【变式3-4】抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形．已知抛物线的焦点为F，直线过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线和，且，分别交x轴于点A，B，交l于点M，N． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若△PMN为阿基米德三角形，求∠MPN； (3)证明：切线三角形PAB的外接圆过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由条件求得即可； （2）通过求出抛物线方程和切线斜率，利用斜率乘积判断两切线垂直得出角度； （3）先求出切线方程，进而得到、坐标，再根据外接圆性质证明过定点； 【详解】（1）由题意得，则， 所以抛物线的方程为， （2）因为为阿基米德三角形， 所以分别与抛物线切于点， 不妨设点在轴左侧，则. 由，得， 则， 所以的斜率为的斜案为1， 所以， 所以. （3）由（1）可知抛物线， 设分别与抛物线切于点， 由（1）可知直线的斜率为，直线的斜率为， 所以直线的方程为.即 直线的方程为，即， 所以. 设外接圆的圆心为， 则圆心在线段的垂直平分线上， 所以， 则圆的半径为， 所以圆的方程为， 又点在圆上， 所以， 即，所以， 所以 整理得， 即， 令，得， 所以的外接圆过定点. 一、单选题 1．我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下性质： ①P点必在抛物线的准线上； ②； ③． 已知直线与抛物线交于A，B点，若，则抛物线的“阿基米德三角形” 顶点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定直线过抛物线焦点，联立抛物线方程，得到根与系数的关系式，利用弦长公式可求得，结合具有的性质，可求得答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 直线经过抛物线的焦点， 由题意，设，， 联立，得， 所以，，，解得， ∴， 当时，，所以直线PF方程为：， 因为为“阿基米德三角形”，所以点P必在抛物线的准线上， 所以点， 由抛物线对称性可知，当时，， 故选：B． 2．圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，其中抛物线中的阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦过焦点，为阿基米德三角形，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随着点，位置的变化，前三种情况都有可能 【答案】B 【分析】设出直线的方程，联立抛物线，利用韦达定理得出，再设出切线方程利用判别式为0得出切线斜率关系即可判断. 【详解】 如图，设，，则，，易知直线的斜率不为0， 设直线的方程为，联立， 整理得，则，．易知切线的斜率肯定不为0， 设过点的切线方程为，联立， 整理得， 则，即， 设过点的切线方程为，同理可得， 则，得，， 则两条切线的斜率之积为，故是直角三角形． 故选：B． 3．法国数学家加斯帕尔•蒙日发现与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，，分别为椭圆C的左、右焦点．离心率为，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为10，则椭圆C的长轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的离心率可得，分析可知为蒙日圆的直径，利用勾股定理可得，再利用基本（均值）不等式即可求解． 【详解】根据题意作图如下，    因为椭圆C的离心率，所以．因为，则， 所以，所以椭圆C的蒙日圆的半径为． 因为，所以为蒙日圆的直径，所以， 所以． 因为，当时，等号成立， 所以面积的最大值为．由面积的最大值为10， 得，得，进而有，故椭圆C的长轴长为． 故选：B． 4．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：若动点与两定点A，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若，，点满足，则直线与点的轨迹的交点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】D 【分析】根据题意求出M的轨迹方程，发现直线l恒过圆上一点，即可得出答案. 【详解】设，则， 化简得点的轨迹方程为，表示的是以为圆心，2为半径的圆， 而直线恒经过圆上的点，故直线与点的轨迹的交点个数是1或2. 故选：D. 5．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆．人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论： ①曲线的方程为 ②曲线上存在点，使得到点距离为6； ③曲线上存在点，使得到直线的距离为； ④曲线上存在点，使得到点与点距离之和为8． 其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设，根据M满足，利用两点间距离公式化简整理，即可判断①是否正确；通过确定圆上的点到（1，1）的距离的范围来判断②是否正确；通过确定圆上的点到直线的距离的范围来判断③是否正确；由椭圆的定义，可知F在椭圆上，再根据椭圆与曲线W的位置关系，即可判断④是否正确． 【详解】设，因为M满足，所以， 整理可得：，即，所以①正确； 对于②，由①可知，点在圆的外部， 因为到圆心的距离，半径为2， 所以圆上的点D到的距离的范围为， 而，所以②不正确； 对于③，圆心到直线的距离为， 即直线和圆相交， 所以圆上的点E到直线的距离的范围为， 又， 即，故③正确； 对于④，假设存在这样的点F，使得F到点B与点的距离之和为8， 则F在以点B与点为焦点，实轴长为8的椭圆上， 即F在椭圆上， 易知椭圆与曲线W：有交点， 故曲线W上存在点F，使得F到点B与点的距离之和为8，所以④正确． 故正确结论的个数为3， 故选：C 6．圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.过抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线的切线l1，l2相交于P点，那么阿基米德三角形PAB满足以下特性：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且为直角；③PF⊥AB.已知P为抛物线的准线上一点，则阿基米德三角形PAB的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出直线方程，联立抛物线求得，通过PF⊥AB求得，进而得到为中点，由表示出三角形PAB的面积，结合基本不等式求出最小值即可. 【详解】 易知，焦点，准线方程，直线斜率必然存在，设，，，联立化简得， 显然；又PF⊥AB可得，即，化简得，过作轴交于点，可得为中点，故，故，当且仅当时取等. 故三角形PAB的面积的最小值为4. 故选：C. 二、多选题 7．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物线，阿基米德三角形，弦过的焦点，其中点在第一象限，则下列说法正确的是（    ） A．点的纵坐标为 B．的准线方程为 C．若，则的斜率为 D．面积的最小值为16 【答案】AD 【分析】设，，直线，联立方程组，求得，，求得，两点处的切线方程，可求得点判断A；求得准线方程判断B；由，可求得，进而可求得，判断C；，，进而可得，可求的最小值，判断D. 【详解】对于A项，设，，直线， 联立，消去，得，， 所以，， 由，得，则点处的切线：①， 同理点处的切线：②，联立①②，得，， 所以，点，故A正确； 对于B项，准线方程为，故B错误； 对于C项，，得，所以，，故C错误； 对于D项，，点到直线的距离为：， 所以， 当时，的面积有最小值16.故D正确. 故选：AD. 8．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线的周长为 C．曲线上的点到直线的最小距离为 D．若点为抛物线上的动点，抛物线的焦点为，则的最小值为2 【答案】ACD 【分析】根据题意求出的轨迹，结合圆中的相关知识进行分析判断即可. 【详解】对于A，设，则， 化简得，，即，则选项A正确； 对于B，可知曲线的半径为1，周长为，故B错误； 对于C，设曲线上的圆心， 所以圆心到直线的距离为：， 曲线上的点到直线的最小距离为，故C正确； 对于D，由抛物线的定义知，， ， 的准线方程为：， 所以的最小值为点到直线的距离减半径， 即为，故D正确.    故选：ACD. 9．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线：上两个不同点横坐标分别为，，以为切点的切线交于点.则关于阿基米德三角形的说法正确的有（    ） A．若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上 B．若阿基米德三角形为正三角形，则其面积为 C．若阿基米德三角形为直角三角形，则其面积有最小值 D．一般情况下，阿基米德三角形的面积 【答案】ABC 【分析】设出直线的斜截式方程、点的坐标，根据导数的几何意义求出切线的方程，进而求出点的坐标，将直线的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系. A：把抛物线焦点的坐标代入直线的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可； B：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可； C：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可； D：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】由题意可知：直线一定存在斜率， 所以设直线的方程为：， 由题意可知：点，不妨设， 由，所以直线切线的方程分别为： ， 两方程联立得：， 解得：，所以点坐标为：， 直线的方程与抛物线方程联立得： . A：抛物线：的焦点坐标为，准线方程为 ， 因为过抛物线的焦点，所以，而， 显然点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确； B：因为阿基米德三角形为正三角形，所以有， 即， 因为 ，所以化简得：， 此时， 点坐标为：， 因为阿基米德三角形为正三角形，所以有， 所以， 因此正三角形的边长为， 所以正三角形的面积为， 故本选项说法正确； C：阿基米德三角形为直角三角形，当时， 所以， 直线的方程为： 所以点坐标为：，点 到直线的距离为： ， ， 因为，所以 ， 因此直角的面积为：， 当且仅当时，取等号，显然其面积有最小值，故本说法正确； D：因为，所以 ， 点到直线的距离为： 所以阿基米德三角形的面积， 故本选项说法不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用. 10．若过点可以作抛物线的两条切线，切点分别是，则称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，以为顶点的“阿基米德三角形”为，则（    ） A．点的横坐标为 B． C． D．面积的最小值为16 【答案】ABD 【分析】设出直线的方程，代入抛物线，写出韦达定理，利用导数求得切线，联立求交点，可得A的正误；通过两直线垂直的斜率性质，可得B、C的正误，利用圆锥曲线中的弦长公式以及两点之间距离公式，结合三角形的面积公式，可得D的正误. 【详解】对于A，，设，代入， 整理可得，设（不妨设）， 则. 由抛物线，整理可得函数，则， 设过点A的切线斜率为，易知，则切线方程为，即，同理可得：过点的切线方程为， 联立可得，解得，即故； 所以点的横坐标为，故A正确； 对于B，由A可知：直线，直线， 由，则，即，故B正确； 对于C，由选项A可知，则直线的斜率， 由，则.由选项B可知， 所以，得，即，故C错误； 对于D，由C可得：， ， ， 则，当时，取得最小值为16，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 11．抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦过焦点为的中点，为坐标原点，为其阿基米德三角形，则（    ） A．存在点，使得 B．任意点，都有 C．任意点，都有 D．面积的最小值为4 【答案】BCD 【分析】设，设直线为，代入抛物线方程，由韦达定理得，设过的切线方程为，与抛物线方程联立，利用判别式得，同理得过的切线斜率为，由此求出，可判断A；分别求得过点A、B的切线为和，可得，进而可证得、并可的面积的最小值从而判断BCD. 【详解】设，设直线， 联立得，则． 设过点的切线为，则 联立 ,整理可得， 由，可得， 同理可得过点的切线斜率为． 对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，可得处的切线方程分别为： ，∵， 即； 同理处的切线方程分别为： 由及， 得， 可得，因为，所以， 又因为直线的斜率为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，， 当时，面积取得最小值为4，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：设且，，联立抛物线应用韦达定理有，求过的切线，进而确定在准线上且，利用面积公式求出最小值. 三、填空题 12．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦AB过焦点，为其阿基米德三角形，则的面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，设直线的方程为：，代入抛物线方程，由韦达定理可得，设过点的切线方程为，与抛物线方程联立，利用判别式得，则过点A的切线方程分别为：，同理可得过点的切线斜率为，过点B的切线方程为：，可得，可证得，则的面积，结合图形特征，可得面积的最小值． 【详解】设，直线， 联立，整理得，则． 设过点的切线方程为， 联立，整理得， 由，可得， 则过点A的切线方程分别为：，即，即，即， 同理可得过点的切线斜率为，过点B的切线方程为：， 因为两条切线的交点在准线上，所以， 两式相减得， ，，可得， ，又因为直线的斜率为， （也成立）， 如图，设准线与轴的交点为， 的面积， 当轴时，最短（最短为），也最短（最短为）， 此时的面积取最小值． 故答案为：． 13．法国著名数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，且方程为，这个圆被称为“蒙日圆”．已知椭圆的焦点在轴上，A，B为椭圆上任意两点，动点在直线上．若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由已知分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率的范围. 【详解】由题意知，圆为椭圆的“蒙日圆”， 如图，因为A，B为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外，又动点在直线上， 则直线与圆相离， 所以，得，所以， 则，又椭圆的离心率大于零， 则椭圆的离心率的取值范围是．    14．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为3的正方体中，点P是正方体的表面（包括边界）上的动点. （1）若动点P满足，则点P所形成的阿氏圆的半径为 ； （2）若E是靠近D的三等分点，且满足，则三棱锥体积的最大值是 . 【答案】 【分析】以D为坐标原点，为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，由已知可得所形成的阿氏圆；由题意可得，所以点P的轨迹为的一部分，当P在上时，三棱锥的体积最大，进而可求体积的最大值. 【详解】以D为坐标原点，为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，设，因为，所以， 整理得，故点P所形成的阿氏圆的半径为； 因为平面平面，所以， 所以，又，则， 因为E是靠近D的三等分点，所以， 由（1）可知，点P的轨迹为的一部分， 则当P在上时，三棱锥的体积最大，设此时P为， 所以， 则三棱锥体积的最大值是. 四、解答题 15．已知椭圆且经过，，，中的三点，抛物线，椭圆的右焦点是抛物线的焦点． (1)求曲线，的方程； (2)点P是椭圆的点，且过点P可以作抛物线的两条切线，切点为A，B，求三角形面积的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据对称性可得椭圆上的三个点，利用待定系数法可求椭圆的方程，从而可求抛物线的方程. （2）设点，，，其中，联立直线方程和抛物线线方程，消元后利用判别式可得诸变量之间的关系，从而可得的中点满足平行于轴并可用表示三角形的面积，从而可求其最大值. 【详解】（1）根据对称性可得，，在椭圆上， 故，且，故，所以. 椭圆的右焦点为，所以即， 故. （2） 设点，，，其中， 由可得， 整理得到：， 所以，故， 且，故， 同理，， 故为方程的两个根，故， 而的中点的纵坐标为，故平行于轴， 故三角形面积为 由可得，故或（舍）， 故， 故当时，有. 16．抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形对于抛物线给出如下三个条件：  ①焦点为②准线为③与直线相交所得弦长为． (1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线的方程 (2)已知是中抛物线的阿基米德三角形，点是抛物线在弦两端点处的两条切线的交点，若直线经过点，试判断点是否在一条定直线上如果是，求出定直线方程如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)点在直线上 【分析】（1）选 ①②直接得出即可求出，得抛物线方程；选③联立方程求出弦端点横坐标表示出弦长，即可解出，得出抛物线方程； （2）令，，，利用导数求出切线方程,由点坐标适合方程，可得出直线的方程，代入点可证. 【详解】（1）即为， 若选①，抛物线方程为， 选②，由准线为知，，解得，所以抛物线方程为. 选③，代入，解得，所以弦长为，解得， 所以抛物线方程为. （2）令，，，则，, ，, 即为， 又即， 同理，， ， 而过点即 点在直线上 17．已知椭圆过两点，椭圆的所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为椭圆的蒙日圆． (1)求椭圆的标准方程； (2)矩形为椭圆的外切矩形，求矩形面积的取值范围； (3)过椭圆的蒙日圆上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，且直线的斜率都存在，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）由椭圆所过的点列出关于的方程组即可求解； （2）分“外切矩形四边所在切线存在斜率不存在”和“外切矩形四边所在切线斜率都存在”，设切线，与椭圆联立方程，利用位置关系结合判别式求出，同理依次得切线满足，切线满足，切线满足，再利用两平行线间距离求出两组切线的距离，从而得面积并结合对称性和基本定理计算化简即可得解； （3）证明：设切线，与椭圆方程联立结合韦达定理依次求得，进而得斜率，同理得即可证明为定值. 【详解】（1）由题得， 所以椭圆的标准方程为. （2）当外切矩形四边所在切线存在斜率不存在时，此时矩形面积为； 当外切矩形四边所在切线斜率都存在时， 则可设切线， 联立， 则， 由题可设切线，同理可得， 切线和距离为； 由题可设切线， 联立， 则， 由题可设切线，同理可得， 切线和距离为； 所以由对称性可得矩形面积为， 令，当且仅当即等号成立时， 所以， 则， 综上，矩形面积的取值范围为. （3）证明：设切线， 联立， 则 ， 此时，所以斜率， 同理可得，所以为定值. 18．如图，过点作抛物线的两条切线，，切点分别是，，动点为抛物线上在，之间部分上的任意一点，抛物线在点处的切线分别交，于点，. (1)若，证明：直线经过点； (2)若分别记，的面积为，，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）设直线AB方程，点，联立直线AB与抛物线C的方程可得，再求出抛物线C在点A，B处切线斜率推理得证. （2）由（1）求出PA，PB的方程，进而求出直线AB方程，设点得MN的方程，再求出弦AB，MN长，点Q，P分别到直线AB，MN距离即可计算作答. 【详解】（1）设，直线的方程为，由消去y并整理得：，有， 令抛物线在点A处切线方程为，由消去y并整理得： ，则有， 解得，同理，抛物线在点B处切线斜率为， 因，则有，解得， 所以直线：恒过定点. （2）由（1）知，切线的方程为：，整理得：， 同理切线的方程为：，设点，则切线的方程为：， 而点，即有，，因此直线的方程为：， 有，点到直线的距离是，则， 由解得点M的横坐标，同理点N的横坐标， 有，点到直线的距离，则， 所以. 【点睛】结论点睛：抛物线在点处的切线斜率；抛物线在点处的切线斜率. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $