专题02 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题10类题型归类（压轴题专项训练）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题02 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题10类题型归类 目录 典例详解 类型一、圆锥曲线中的定点问题 类型二、弦长类定值 类型三、斜率类定值 类型四、角度类定值 类型五、位置关系类定值 类型六、向量类定值 类型七、面积类定值 类型八、距离类定值 类型九、参数类定值 类型十、圆锥曲线中的定直线问题 压轴专练 类型一、圆锥曲线中的定点问题 例1．已知为抛物线的焦点，且上一点到点的距离为5. (1)求； (2)设为坐标原点，若斜率与纵截距均大于0的直线交于两点，过与轴垂直的直线分别交于两点，且为的中点，证明：直线恒过定点. 【变式1-1】在平面直角坐标系中，如图所示，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为．设过点的直线、与椭圆分别交于点、，其中，，，． (1)设动点满足，求点的轨迹； (2)设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）． 【变式1-2】已知椭圆经过、两点. (1)求椭圆的方程； (2)设、是椭圆上不同于、的另外两点，过作轴的垂线交直线于点.若，证明：直线过定点. 【变式1-3】已知椭圆：，点，，，中恰有两点在C上. (1)求C的方程； (2)C的左、右焦点分别为，，过点且斜率存在的直线与C交于P，Q两点. （i）若的面积为，求的斜率； （ii）过点P作直线：的垂线PR，垂足为R，试问直线是否过定点?若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 类型二、弦长类定值 例2．在平面直角坐标系中，点，，，动点满足，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与相交于两点E，F（在的左侧）.设直线，的斜率分别为，. ①求证：为定值； ②设直线，相交于点，求证：为定值. 【变式2-1】已知椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程； (3)已知直线斜率存在，若是椭圆经过原点的弦，且，求证：为定值. 【变式2-2】现有一双曲线和分别为的左焦点和右焦点，是双曲线上一动点，的最大值为3． (1)求双曲线的标准方程； (2)M是的右顶点，过的直线交双曲线左支于两点， （i）求直线与直线的斜率之积； （ii）判断是否是定值，并给出理由． 【变式2-3】设双曲线的右顶点为，其焦距为． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为的直线与双曲线右支相交于两个不同点，其中点在轴上方，连接分别交直线于两点，求证：为定值． 类型三、斜率类定值 例3．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且. (1)求抛物线C的方程； (2)过点的直线与抛物线C交于A，B两点（均与点P不重合），设直线PA，PB的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【变式3-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，点在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程; (2)设双曲线C的左右顶点分别为A，B，过点的直线l交双曲线C于点M，在第一象限，记直线AM，BN的斜率分别为，，判断是否是定值，若是定值，请求出此定值;若不是定值，请说明理由. 【变式3-2】在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点在上，且. (1)求的方程； (2)若过点作两条直线与，与相交于，两点，与相交于，两点，线段和中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，，证明：，且为定值. 【变式3-3】已知椭圆的离心率为，其短轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点（均在第一象限），且直线的斜率分别为，且，证明：直线的斜率为定值. 【变式3-4】在平面直角坐标系中，点分别是椭圆的右顶点、上顶点、左顶点，若的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知两点，其中点在线段上运动（不含端点），与关于点对称，直线与椭圆的另一交点为点，直线与椭圆的另一交点为点，设直线的斜率分别为，直线的斜率分别为. （i）求的面积的最大值； （ii）求证：为定值，并求出该定值. 类型四、角度类定值 例4．已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点. (1)求圆O和椭圆C的方程； (2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值. 【变式4-1】已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，且轴. (1)求的方程. (2)已知直线过点且与轴垂直，直线过点且与椭圆相切，直线与直线交于点. ①若，求； ②证明：. 【变式4-2】设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为. （1）当与轴垂直时，求直线的方程； （2）设为坐标原点，证明：. 【变式4-3】在直角坐标系中，点与点的连线的斜率的乘积为定值，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点是上两点，且满足直线与的斜率之和为. （ⅰ）若点坐标为，求直线的斜率； （ⅱ）若为的外心，证明：平分. 【变式4-4】在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为分别为双曲线的左、右顶点，过的直线与的右支相交于点． (1)若直线分别与线段的垂直平分线相交于点，求的值． (2)当直线任意旋转时，试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 类型五、位置关系类定值 例5．已知椭圆的短轴的两个端点分别为，，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设点，点为椭圆上异于的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：. 【变式5-1】已知椭圆（）的长轴为，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线l：与椭圆交于不同两点； ①若，求直线的方程． ②已知点，，连接交椭圆于另一点，连接交椭圆于另一点，求证三点共线. 【变式5-2】已知双曲线的中心为坐标原点，过点，其中一条渐近线的方程为. (1)求双曲线的方程； (2)设双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于、两点.直线与直线交于点，证明：三点共线. 【变式5-3】在平面直角坐标系中，已知椭圆与轴和轴的交点分别为，，，（在左侧，在下侧），直线（且）与直线交于点，过点且平行于的直线交于点（异于点），交轴于点，直线交于点（异于点），直线交轴于点. (1)当时，求出，两点的坐标； (2)直线与直线是否相互平行？若是，请写出证明过程；若不是，请说明理由. 【变式5-4】已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为，O为坐标原点，线段OA的中点为D，且. (1)求C的方程； (2)已知点M、N均在直线上，以MN为直径的圆经过O点，圆心为点T，直线AM、AN分别交椭圆C于另一点P、Q，证明直线PQ与直线OT垂直. 【变式5-5】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N.证明：直线MN与x轴垂直. 类型六、向量类定值 例6．已知为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线交直线于，动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）已知直线，、，为曲线上的点且与、不重合，直线和直线分别与相交于、，问是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由. 【变式6-1】已知双曲线，点的坐标为，过的直线交双曲线于点. (1)若直线又过的左焦点，求的值； (2)若点的坐标为，求证：为定值. 【变式6-2】已知双曲线C的中心在原点，是它的一个顶点.是它的一条渐近线的一个方向向量. (1)求双曲线C的方程； (2)设，M为双曲线右支上动点，当|PM|取得最小时，求四边形ODMP的面积； (3)若过点任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证:为定值. 【变式6-3】已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过点作垂直于x轴的直线，与双曲线C交于点M，N，且三角形为等边三角形，双曲线C与x轴两交点间距离为2． (1)求双曲线C的方程； (2)设过的直线与双曲线C交于A，B两点，是否存在一个定点P使为定值？如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式6-4】已知双曲线（，）的左顶点为，过点的动直线l交C于P，Q两点（均不与A重合），当l与x轴垂直时，. (1)求C的方程； (2)若直线AP和AQ分别与直线交于点M和N，证明：为定值. 类型七、面积类定值 例7．已知抛物线：（）经过点. (1)求的方程及其准线方程； (2)过外一点作三条直线，，，其中，与分别相切于，两点，与相交于，两点，同时与直线相交于点，记，，，的面积分别为，，，，证明：当点运动时，为定值. 【变式7-1】在平面直角坐标系中，已知椭圆是其左､右焦点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点. (1)若，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)设直线与椭圆交于两点，为线段的中点.当时，的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 【变式7-2】已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的动直线交于A，B两点.当时，. (1)求抛物线的方程； (2)证明：无论如何变化，是定值（为坐标原点）； (3)点，直线AM与交于另一点，直线BM与交于另一点，证明：与的面积之比为定值. 【变式7-3】已知椭圆C：（）的右焦点为，点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)若过原点的两条直线分别交椭圆C于点E、G和F、H，且（O为坐标原点）.判断四边形的面积是否为定值？若为定值，求四边形的面积；若不为定值，请说明理由. 【变式7-4】如图所示，椭圆中，是椭圆上任一点，是坐标原点，，过作直线交椭圆于两点，且，当在短轴端点时，．    (1)求的值，并证明直线的方程为； (2)探索的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 类型八、距离类定值 例8．为圆：上任意一点，另有一点，线段的垂直平分线和半径相交于点． (1)当点在圆上运动时，求动点的轨迹方程； (2)直线与相交于，两点，若以为直径的圆过坐标原点，求证：点到直线的距离为定值． 【变式8-1】已知点、的坐标分别为、直线、相交于点，且它们的斜率之积是 (1)求点的轨迹方程； (2)若直线与点的轨迹交于两点，且，其中点是坐标原点. 试判断点到直线的距离是否为定值. 若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 【变式8-2】双曲线经过点，且渐近线方程为． (1)求a，b的值； (2)点A，B，D是双曲线C上不同的三点，且B，D两点关于y轴对称，的外接圆经过原点O，若设直线的AB方程为． ①求外接圆的方程（用k，m表示）； ②求证：原点O到直线AB的距离为定值． 【变式8-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，右焦点与圆：的圆心重合，短轴长与圆E的半径相等． (1)求C的方程． (2)已知O为原点，C上的点P满足，求直线被C截得的弦长． (3)已知C的上顶点为A，斜率为2的直线与C交于B，D两点，的中点为M，的中点为N，到直线的距离为，C的右顶点到直线的距离为，试判断是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 类型九、参数类定值 例9．已知椭圆：的离心率为，上焦点到上顶点的距离为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点，与定直线：交于点，设，，证明：为定值. 【变式9-1】已知双曲线的左顶点，一条渐近线方程为 (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的右顶点为，为直线上的动点，连接，交双曲线于，两点异于，，记直线与轴的交点为． ①求证：为定点； ②直线交直线于点，记，求证：为定值． 【变式9-2】已知双曲线的离心率为2，过点的直线与相交于两点，且当的斜率为0时，． (1)求的方程； (2)是否存在，使得两点关于直线对称？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由； (3)与直线交于点，设，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【变式9-3】如图，已知椭圆过点，其左、右焦点分别为，，且左焦点为．    (1)求椭圆的方程； (2)若点在椭圆上，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，设，，求证：为定值． 【变式9-4】已知双曲线的左顶点，一条渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的右顶点为为直线上的动点，连接交双曲线于两点（异于），记直线与轴的交点为． ①求证：为定点； ②直线交直线于点，记．求证：为定值． 类型十、圆锥曲线中的定直线问题 例10．已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．记的左、右顶点分别为、. (1)求双曲线的方程； (2)双曲线上任意一点（不与、重合），求证：为定值； (3)过点的直线与的左支交于、两点，直线与交于点．证明：点在定直线上． 【变式10-1】已知双曲线的右焦点为，离心率为2，圆与恰有两个交点. (1)求的方程； (2)设为的左顶点，过且斜率存在的直线交的右支于两点，直线分别交圆的另一点于. （i）证明：三点共线； （ii）设直线与直线交于，证明：点在定直线上. 【变式10-2】已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且. (1)求抛物线的方程. (2)证明：直线过定点. (3)记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【变式10-3】已知抛物线的顶点在坐标原点处，对称轴为轴，且过点，，是上两个动点． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知是上一点，且的焦点为的重心，设的横坐标为，求的取值范围； (3)已知为直线在第二象限内一点，直线，与抛物线分别相切于，两点，设，与轴分别交于，两点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 1．已知两条平行直线，分别与双曲线的左、右两支相切，且交的两条渐近线于，两点，交的两条渐近线于，两点，点，都在轴上方，当且仅当与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)证明：四边形的面积为定值． 2．如图所示，已知抛物线的焦点为F，，过点F的直线l与抛物线C交于两点，直线与抛物线C交于两点，AC与BD交于点 (1)求取得最小值时直线l的方程； (2)若直线l与直线m相交于点Q，求证：为定值. 3．已知椭圆C:的左、右焦点分别为，，离心率为，长轴长与短轴长之和为6. (1)求椭圆C的方程； (2)已知，，点P为椭圆C上一点，设直线PM与椭圆C的另一个交点为点B，直线PN与椭圆C的另一个交点为点D.设，.求证：当点P在椭圆C上运动时，为定值. 4．已知双曲线的上下焦点分别为、，离心率为，点到渐近线的距离为，过点且斜率为的直线在第一象限交双曲线于点，过点且斜率为的直线在第四象限交双曲线于点，与交于点. (1)求双曲线的方程； (2)若，求的值； (3)证明：是定值. 5．已知直线l：与曲线C：（，）交于不同的两点A，B，O为坐标原点. （1）若，，求证：曲线C是一个圆； （2）若曲线C过、，是否存在一定点Q，使得为定值？若存在，求出定点Q和定值；若不存在，请说明理由. 6．已知点分别为双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线于两点，当直线的斜率不存在时，. (1)求双曲线的离心率； (2)过双曲线的右焦点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，若的面积为，求该双曲线的方程； (3)在（2）的条件下，若点分别为双曲线的左､右顶点，直线与直线相交于点，证明：点在一条定直线上. 7．已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，它的一条渐近线方程为. (1)求的标准方程； (2)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，直线与交于点，证明：点在定直线上. 8．已知双曲线的图象经过点，其中一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点作垂直于轴的直线，过点作直线与双曲线右支交于、两点，过点作的垂线，垂足为点.证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 9．已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为，虚轴长为，左、右顶点分别为、，为直线上一点，直线与直线分别与交于另一点、（不与、重合），设直线的方程为. (1)求的标准方程. (2)证明：且. (3)试问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 10．已知椭圆C：的离心率为，焦距为2. (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆C的左顶点为A，过右焦点F的直线与椭圆C交于B，D（异于点A）两点，直线，分别与直线交于M，N两点，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 11．已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线的斜率分别为． (1)求直线在y轴上的截距之和； (2)若四边形为菱形，证明：直线之间的距离为定值； (3)若成等比数列，射线分别交椭圆于两点，求四边形面积的取值范围． 12．已知斜率为的直线与抛物线交于两点，且当直线过的焦点时，在点处的切线的交点的横坐标为． (1)求的准线方程； (2)若，直线与的另一个交点为（异于点），是否存在实数，使得直线恒过定点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．在平面直角坐标系中，已知点，，，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 14．已知为坐标原点，椭圆的短轴长为2，左，右焦点分别为，为上一动点，且当轴时，． (1)求的标准方程； (2)延长交于点，若直线的斜率为，线段的中点为，过作的垂线，直线与相交于点．证明：点在定直线上； (3)过点且与相切的直线交椭圆于两点，射线交于点，探究的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 15．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C交于A，B两点. (1)若点P为椭圆C上异于点A，B的点. ①若直线AP，BP斜率分别为，，求证：为定值; ②若直线，点A在x轴上的射影为点D，求证：B，P，D三点共线. (2)设A在第一象限，点M为椭圆C的上顶点，点M关于直线的对称点为点N，直线AB与直线MN交于点Q，且，求直线AB的方程. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题10类题型归类 目录 典例详解 类型一、圆锥曲线中的定点问题 类型二、弦长类定值 类型三、斜率类定值 类型四、角度类定值 类型五、位置关系类定值 类型六、向量类定值 类型七、面积类定值 类型八、距离类定值 类型九、参数类定值 类型十、圆锥曲线中的定直线问题 压轴专练 类型一、圆锥曲线中的定点问题 例1．已知为抛物线的焦点，且上一点到点的距离为5. (1)求； (2)设为坐标原点，若斜率与纵截距均大于0的直线交于两点，过与轴垂直的直线分别交于两点，且为的中点，证明：直线恒过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将上一点的坐标代入抛物线方程，得到之间的关系，再利用抛物线上一点到焦点的距离等于其得到准线的距离得到一个方程，解方程并验证即可； （2）设出的坐标，同时设出直线的方程为：，联立直线的方程和抛物线方程并使用韦达定理，结合题意，根据直线的方程和直线的方程得到的坐标，利用为的中点这一条件，得到一个方程，消参并代入韦达定理的结果，即可解得的值，问题得证. 【详解】（1）由点在抛物线上可得，解得， 故，整理得， 解得或， 当时，，不满足，舍去， 当时，，满足，故. （2）由（1）知点，则直线的方程为， 如图，设，由题意知，    因为直线的斜率与纵截距均大于0，设直线的方程为， 由（1）得的方程为，联立，得， 则，则，， 由直线的方程为，得， 易知直线的方程为，故， 又为的中点，所以，即， 因为，，所以， 整理得，则，即，解得， 所以直线的方程为，故直线过定点. 【变式1-1】在平面直角坐标系中，如图所示，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为．设过点的直线、与椭圆分别交于点、，其中，，，． (1)设动点满足，求点的轨迹； (2)设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设点，由，得，化简即可． （2）点的坐标为，将直线方程与直线方程分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，，解得：、．当时，求出直线方程进行判断即可． 【详解】（1）设点，则：、、． 由，得，化简得． 故所求点的轨迹为直线． （2）点的坐标为． 直线方程为：，即， 直线方程为：，即． 分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，， 解得：、． 当时，直线方程为：． 令，解得：．此时必过点． 当时，直线方程为：，与轴交点为． 所以直线必过轴上的一定点． 【变式1-2】已知椭圆经过、两点. (1)求椭圆的方程； (2)设、是椭圆上不同于、的另外两点，过作轴的垂线交直线于点.若，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将点、的坐标代入椭圆方程，求出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，由已知条件可知线段的中点在直线上，求出点的坐标，进而得出点的坐标，由结合韦达定理化简得出关于、的关系式，可得出、所满足的线性关系式，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标. 【详解】（1）由椭圆过点，，解得. 将点的坐标代入，得，解得. 所以椭圆的方程为. （2）若直线轴，则点、关于轴对称，则点与点重合，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立消去并整理，得. 则，可得， 设、， 则①，②， 由知，线段的中点在直线上. 易得直线的方程为，故点的坐标为. 于是点的坐标为. 因为、、三点共线，所以，即. 又，，所以. 整理，得.③ 将①②代入③并整理，得. 化简得，故. 所以或， 当时，直线的方程为， 此时，直线过点，不合乎题意； 当时，直线的方程为， 此时，直线过定点. 综上所述，直线过定点. 【变式1-3】已知椭圆：，点，，，中恰有两点在C上. (1)求C的方程； (2)C的左、右焦点分别为，，过点且斜率存在的直线与C交于P，Q两点. （i）若的面积为，求的斜率； （ii）过点P作直线：的垂线PR，垂足为R，试问直线是否过定点?若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）直线过定点. 【分析】（1）判断哪两个点在曲线上，代入计算，即可求得答案； （2）（i）设出直线方程，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，利用三角形面积，即可求得答案；（ii）表示出直线的方程，判断出所过定点在x轴上，即可求解. 【详解】（1）由题可知，，中有且仅有一点在椭圆C上， 故或. 若点在椭圆C上，则，不符合题意， 故点一定不在椭圆C上， 所以点一定在椭圆C上. 当点，在椭圆C上时， ，解得. 则椭圆C的方程为； 当点，在椭圆C上时， ，方程组无解. 综上，椭圆C的方程为. （2）（i）由题意知直线的斜率不为0，故设其方程为，， 联立，可得，过点,则， 设，故， 则， 故, 即得，设，则，解得或（舍去）， 解得，故l方程为,即； （ⅱ）由（i）知当直线的斜率存在且不为0时，， 且，则. 所以直线的方程为. 由对称性可知，若直线过定点，则定点在轴上， 令，得 . 所以直线过点. 当直线的斜率为0时，直线：，过点. 综上，直线过定点. 类型二、弦长类定值 例2．在平面直角坐标系中，点，，，动点满足，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与相交于两点E，F（在的左侧）.设直线，的斜率分别为，. ①求证：为定值； ②设直线，相交于点，求证：为定值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的定义可知点在以，为焦点，为长轴长的椭圆上，即可求出轨迹方程； （2）①设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，即可得到再由斜率公式计算可得；②作关于轴的对称点，则，，三点共线，设，表示出直线、的方程，即可得到，，代入椭圆方程得到轨迹方程，结合双曲线的定义即可证明. 【详解】（1）由，， 所以点在以，为焦点，为长轴长的椭圆上， 设椭圆方程为，焦距为， 则，，所以， 所以的方程为. （2）①由，直线的斜率存在且不为． 设直线的方程为，，，， 联立，得， 则，，， 所以． 又，所以，， 所以 . ②由①知，所以． 作关于轴的对称点，则，，三点共线． 又，，设. 则直线方程即为直线方程. 又直线方程为， 作差，得， 所以， 所以，， 由，得． 又因为，所以， 即，即， 所以点在以，为焦点，为实轴长的双曲线的左支（椭圆内部）上运动， 所以． 【变式2-1】已知椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程； (3)已知直线斜率存在，若是椭圆经过原点的弦，且，求证：为定值. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】！（1）由抛物线焦点坐标可得，再由离心率解方程即可求得椭圆的方程； （2）联立直线与椭圆方程利用韦达定理及，列方程求解即可； （3）利用直线平行和弦长公式分别求出弦长的表达式，即可证明. 【详解】（1）由抛物线可得，焦点坐标为； 所以可得， 又离心率为，可得； 由，解方程可得， 因此椭圆的方程. （2）如图所示，易知， 当直线的斜率为0时，不妨设，则，不满足题意； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，； 联立直线与椭圆方程，消去可得， 易知，由韦达定理可得； 所以 ， 解得，所以，即或， 所以直线的方程为或. （3）证明：由（2）可知 ； 由可设直线的方程为， 由对称性可设 联立与椭圆可得， 所以， 可得为定值. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【变式2-2】现有一双曲线和分别为的左焦点和右焦点，是双曲线上一动点，的最大值为3． (1)求双曲线的标准方程； (2)M是的右顶点，过的直线交双曲线左支于两点， （i）求直线与直线的斜率之积； （ii）判断是否是定值，并给出理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）是，理由见解析 【分析】（1）根据双曲线的定义结合三角形三边关系，可构造函数以及其定义域，利用反比例函数单调性可求的最值，结合题意，建立方程，可得答案； （2）设出直线方程，联立双曲线方程，写出韦达定理，利用斜率公式以及弦长公式，整理可得答案. 【详解】（1）设，那么，， 根据，可得． 因为在上单调递减， 所以时，取最大值3，所以，解得． 所以． 因此根据题意可得的标准方程为． （2） （i）设，直线为， 联立直线方程和双曲线方程可得，化简得， 根的判别式， 所以根据韦达定理可得， ， ， . （ii）是定值，理由如下，设， 直线为，联立直线方程和双曲线方程可得 化简得， 根的判别式， 所以根据韦达定理可得， 所以， 所以 ． 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 【变式2-3】设双曲线的右顶点为，其焦距为． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为的直线与双曲线右支相交于两个不同点，其中点在轴上方，连接分别交直线于两点，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据右顶点为，得到，再由焦距为得到求解； （2）设过点的直线的方程为：，与双曲线方程联立，由三点共线，得到，从而，同理，代入韦达定理求解； 【详解】（1）由右顶点为，得， 其焦距为得，所以， 所以双曲线的方程为：； （2）证明：如图所示： 设过点的直线的方程为：， 联立双曲线方程：， 化简得：， 因直线与双曲线右支相交于两个不同点， 连接分别交直线于两点， 所以，设， 则， 当时，因为三点共线， 所以，则， 同理，， ， 其中， ， 将， 代入得：    ， 又， 将， 代入得：， ， 所以为定值1． 类型三、斜率类定值 例3．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且. (1)求抛物线C的方程； (2)过点的直线与抛物线C交于A，B两点（均与点P不重合），设直线PA，PB的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是，. 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求出，即可得出方程； （2）设出直线的方程，与抛物线联立，利用韦达定理即可求出定值. 【详解】（1）由抛物线定义可知， 所以，则， 所以抛物线C的方程为； （2）由在抛物线上，得，即， 显然，过点的直线斜率不为0， 故设直线方程为，，， 由，得， ，解得或， 则，， 故， ， 又，， 所以 ， 故为定值. 【变式3-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，点在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程; (2)设双曲线C的左右顶点分别为A，B，过点的直线l交双曲线C于点M，在第一象限，记直线AM，BN的斜率分别为，，判断是否是定值，若是定值，请求出此定值;若不是定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)是定值， 【分析】（1）结合已知条件列出关于的方程组求解可得双曲线方程； （2）设直线l的方程为，，，联立直线与双曲线方程，由韦达定理表示两斜率，从而计算可得. 【详解】（1）依题意，， 解得，， 故双曲线C的方程为 （2）设直线l的方程为，，， 由整理得， ， 由韦达定理得：，， 得：， 由题，， 所以 ， 所以是定值， 【点睛】方法点睛：双曲线的定值问题，设直线l的方程为，交点坐标，，直线方程代入双曲线方程应用韦达定理，再用点的坐标表示所求定值的量（本题是斜率之商），代入韦达定理的结论化简可得． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点在上，且. (1)求的方程； (2)若过点作两条直线与，与相交于，两点，与相交于，两点，线段和中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，，证明：，且为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知，根据点坐标，借助可表示出点坐标，然后带入抛物线方程，即可完成方程的求解； （2）由已知，分别设出四点坐标，然后利用坐标分别表示出直线，，，的斜率,即可证得，设和的中点分别为，，分别联立与抛物线方程，求得，的坐标，利用斜率公式表示，化简计算即可得出结果. 【详解】（1）设点，则，因为，， 所以，，所以点， 代入方程中，得，所以的方程为. （2）设点，，，， 则直线的斜率， 同理得直线的斜率， 直线的斜率， 直线的斜率， 所以， ， 从而得. 由消去得， 所以， 由，得或. 设和的中点分别为，， 则，， 同理，， 所以，即， 所以得. 【变式3-3】已知椭圆的离心率为，其短轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点（均在第一象限），且直线的斜率分别为，且，证明：直线的斜率为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）由离心率和短轴长可求出，得到椭圆方程； （2）设直线方程，联立-消元-韦达定理，用表示，化简可求值. 【详解】（1）由题意可得解得 故椭圆的方程为． （2）证明：由题意可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为， 由消去后整理得， 直线与椭圆交于两点， . 设点，的坐标分别为，， 则，， ，， 整理得， ，又， ， 点，都在第一象限， ，即， 故直线的斜率为定值． 【变式3-4】在平面直角坐标系中，点分别是椭圆的右顶点、上顶点、左顶点，若的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知两点，其中点在线段上运动（不含端点），与关于点对称，直线与椭圆的另一交点为点，直线与椭圆的另一交点为点，设直线的斜率分别为，直线的斜率分别为. （i）求的面积的最大值； （ii）求证：为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析， 【分析】（1）根据离心率及求出、，即可得解； （2）（i）设为点到直线的距离，则的面积，当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时取得最大值，求出的最大值，即可得解；（ii）设，则，则，再由直线的方程为，求出点坐标，从而得到点坐标，即可求出，从而得解. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆方程为； （2）（i）设为点到直线的距离， 所以的面积 显然当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时取得最大值， 因为，，所以，设直线的方程为，即， 由，整理得， 由，解得（正值舍去）， 所以直线的方程为，又到直线的距离， 所以的最大值为， 则； （ii）设，则， 所以， 又直线的方程为，由，整理得， 所以，则， 即，同理可得， 所以 ， 因为，所以，则， 所以 ， 所以. 类型四、角度类定值 例4．已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点. (1)求圆O和椭圆C的方程； (2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值. 【答案】(1)圆O的方程为，椭圆C的方程为 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，列方程组，解得，，，即可得出答案． （2）设，，，，分别代入椭圆与圆的方程，解得，，写出直线，的方程，进而可得，的坐标，计算，即可得出答案． 【详解】（1）由题意可得，解得，， 所以圆的方程为，椭圆的方程为． （2） 证明：设点P的坐标为，点Q的坐标为， 则，即， 又由，得点M的坐标为， 由，得点N的坐标为， 所以，，， 所以， 所以，即 【变式4-1】已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，且轴. (1)求的方程. (2)已知直线过点且与轴垂直，直线过点且与椭圆相切，直线与直线交于点. ①若，求； ②证明：. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）由确定，即可求解； （2）①根据对称性，不妨设点在第二象限，设，由两点确定方程，联立椭圆，求得，由两点距离公式即可求解，②由及利用两角差正切公式展开，即可求证. 【详解】（1）设，由题设有，且， 所以，解得， 故的方程为. （2）根据对称性，不妨设点在第二象限，      设，则直线的方程为， 联立得， 因为直线与椭圆相切， 所以 ， 则，即， ①因为，所以， 故. ②证明：， ， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第二问解决的关键在于，利用正切的和差公式与化简计算，从而得解 【变式4-2】设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为. （1）当与轴垂直时，求直线的方程； （2）设为坐标原点，证明：. 【答案】（1）的方程为或；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据与轴垂直，且过点，求得直线的方程为，代入椭圆方程求得点的坐标为或，利用两点式求得直线的方程； （2）方法一：分直线与轴重合、与轴垂直、与轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果. 【详解】（1）由已知得，的方程为. 由已知可得，点的坐标为或. 所以的方程为或. （2）［方法一］：【通性通法】分类＋常规联立 当与轴重合时，. 当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以. 当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，， 则，直线、的斜率之和为. 由得. 将代入得. 所以，. 则. 从而，故、的倾斜角互补，所以. 综上，. ［方法二］：角平分线定义的应用 当直线l与x轴重合或垂直时，显然有．当直线l与x轴不垂直也不重合时，设直线l的方程为，交椭圆于，． 由得． 由韦达定理得． 点A关于x轴的对称点，则直线的方程为． 令，，则直线过点M，． ［方法三］：直线参数方程的应用 设直线l的参数方程为（t为参数）．（*） 将（*）式代入椭圆方程中，整理得． 则，． 又，则 ， 即．所以． ［方法四］：【最优解】椭圆第二定义的应用 当直线l与x轴重合时，． 当直线l与x轴不重合时，如图，过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，则有轴．    由椭圆的第二定义，有，，得，即． 由轴，有，即，于是，且．可得，即有． ［方法五］：角平分线定理逆定理＋极坐标方程的应用 椭圆以右焦点为极点，x轴正方向为极轴，得. 设． ． 所以，． 由角平分线定理的逆定理可知，命题得证． ［方法六］：角平分线定理的逆定理的应用 设点O（也可选点F）到直线的距离分别为，根据角平分线定理的逆定理，要证，只需证． 当直线l的斜率为0时，易得． 当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：．由方程组得恒成立，．． 直线的方程为：． 因为点A在直线l上，所以，故． 同理，．． 因为，所以，即． 综上，． ［方法七］：【通性通法】分类＋常规联立 当直线l与x轴重合或垂直时，显然有． 当直线l与x轴不垂直也不重合时，设直线l的方程为，交椭圆于，． 由得． 由韦达定理得． 所以， 故、的倾斜角互补，所以. ［方法八］：定比点差法 设，， 所以， 由作差可得，，所以， ，又，所以，， 故，、的倾斜角互补，所以. 当时，与轴垂直，为的垂直平分线，所以. 故． 【整体点评】（2）方法一：通过分类以及常规联立，把角相等转化为斜率和为零，再通过韦达定理即可实现，是解决该类问题的通性通法； 方法二：根据角平分线的定义可知，利用点关于轴的对称点在直线上，证直线过点即可； 方法三：利用直线的参数方程证明斜率互为相反数； 方法四：根据点M是椭圆的右准线与x轴的交点，用椭圆的第二定义结合平面几何知识证明，运算量极小，是该题的最优解； 方法五：利用椭圆的极坐标方程以及角平分线定理的逆定理的应用，也是不错的方法选择； 方法六：类比方法五，角平分线定理的逆定理的应用； 方法七：常规联立，同方法一，只是设直线的方程形式不一样； 方法八：定比点差法的应用． 【变式4-3】在直角坐标系中，点与点的连线的斜率的乘积为定值，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点是上两点，且满足直线与的斜率之和为. （ⅰ）若点坐标为，求直线的斜率； （ⅱ）若为的外心，证明：平分. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据两点间的斜率公式及题中条件即可求解； （2）（ⅰ）设直线的斜率为.则由直线的点斜式方程可得直线的方程，联立直线的方程与椭圆的方程，消去整理化简后结合韦达定理及点是直线与的交点，可求得，将其代入直线的方程可得点的坐标，同理可得点的坐标，根据斜率公式即可求解直线的斜率； （ⅱ）设，直线的方程分别为.令曲线，化简可得：，由曲线为过点的圆，可取，即可求得点的坐标与直线的斜率，进而比较与的大小即可证明. 【详解】（1）由题意得：，化简可得的方程为：. （2）（i）设直线的斜率为.则直线的方程为：， 与联立方程组，消去可得：， 整理得：， 由于直线与交于两点，则由韦达定理可得： ，即，代入直线的方程可得， 所以点的坐标为. 因为直线的斜率为，同理可得点的坐标为. 故直线的斜率. （ⅱ）设，直线的方程分别为. 令曲线， 化简可得：， 因为曲线为过点的圆，可取，即， 此时曲线， 所以点的坐标为， 所以直线的斜率为， 则， 所以，即平分. 【变式4-4】在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为分别为双曲线的左、右顶点，过的直线与的右支相交于点． (1)若直线分别与线段的垂直平分线相交于点，求的值． (2)当直线任意旋转时，试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)0 (2)是定值，定值为2 【分析】（1）根据题意设直线的方程，，设，联立方程组，再求出的坐标，利用数量积的坐标运算化简求值； （2）当直线的斜率不存在时，，则，当直线的斜率存在时，不妨设，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，，假设成立，证明假设成立，从而得解. 【详解】（1）由题意，得， 所以线段的垂直平分线的方程为， 设直线的方程，，设， 由消去，可得． 则， ， ， 直线的方程为， 令，则，故， 同理可得． 则 ．    （2）当直线的斜率不存在时，， 对于，令，解得， 则，又，故， 则； 当直线的斜率存在时，不妨设，， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，． 假设成立， 即， 则一定有， 即， 由，，， 得． 故假设成立，即成立． 综上所述，为定值，且定值为2． 【点睛】方法点睛：求解圆锥曲线中定值问题的常用方法：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关，如本题第（2）问． 类型五、位置关系类定值 例5．已知椭圆的短轴的两个端点分别为，，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设点，点为椭圆上异于的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据短轴的两个端点坐标，可求的值，再结合离心率公式和，可求的值，从而确定椭圆的标准方程. （2）根据题意，可设直线的方程，与椭圆方程联立，表示出点坐标，再表示出直线、的方程，求出点、坐标，利用可证. 【详解】（1）由题意可得，，，解得， 所以椭圆的方程为：. （2）如图： 设直线的方程为：， 则过原点的直线且与直线平行的直线为， 因为是直线与的交点，所以， 因为直线的方程与椭圆方程联立： ，整理可得：， 可得，， 即，因为， 直线的方程为：， 联立，解得：，由题意可得， 所以，， 所以，即，所以. 【变式5-1】已知椭圆（）的长轴为，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线l：与椭圆交于不同两点； ①若，求直线的方程． ②已知点，，连接交椭圆于另一点，连接交椭圆于另一点，求证三点共线. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）由题意可得，，即可得答案； （2）①联立直线与椭圆方程，结合韦达定理及弦长公式，求出的值，即可得答案； ②设，联立直线与椭圆方程，可得与的关系式，通过证明∥，即可证明三点共线. 【详解】（1）解：由已知长轴为，短轴长为， 可得，， 则椭圆的标准方程为：； （2）解：①依题意，解得， 因为，可得， 且， 因为， 解得， 所以直线的方程为：． ②证明：设， ， 联立，消去整理得： ， ， 又， 代入整理得：， ， ， 同理可得， ， 而 所以有， 整理得， ， ， 因此∥， 故三点共线. 【变式5-2】已知双曲线的中心为坐标原点，过点，其中一条渐近线的方程为. (1)求双曲线的方程； (2)设双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于、两点.直线与直线交于点，证明：三点共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据渐近线方程及顶点坐标列式计算求解双曲线； （2）分直线的斜率为及直线的斜率不为设直线方程，再联立得出韦达定理，应用斜率公式计算得出即可证明. 【详解】（1）由题意知且， 所以，所以的方程为. （2）由题意知，， 当直线的斜率为时，：，此时三点共线显然成立， 当直线的斜率不为时，设：，，， 联立可得， 由题意得， ， 所以，， 因为直线的方程为， 令，得，所以， 所以， 因为， 所以 所以，故三点共线， 综上：三点共线. 【变式5-3】在平面直角坐标系中，已知椭圆与轴和轴的交点分别为，，，（在左侧，在下侧），直线（且）与直线交于点，过点且平行于的直线交于点（异于点），交轴于点，直线交于点（异于点），直线交轴于点. (1)当时，求出，两点的坐标； (2)直线与直线是否相互平行？若是，请写出证明过程；若不是，请说明理由. 【答案】(1)， (2)平行，证明见解析 【分析】（1）根据题意求相应点和直线方程，进而联立方程求交点坐标即可； （2）根据题意结合斜率关系先证证明，再证明，，三点共线即可. 【详解】（1）由椭圆方程可知：， 则，，，， 直线，即， 联立方程，解得，即， 直线，故，直线，故. 由，化简得，解得或（舍去），即， 可得，故直线， 联立方程，化简得，解得或（舍去），即， 所以. （2）直线与直线相互平行，证明如下： 证明，再证明，，三点共线即可. ①证明由，解得， 直线的方程为，则， 故直线，可得，即，故 ； ②证明，，三点共线： 设，由，得， 解得，故，即； 直线的方程为，设交于， 由，得， 解得，故，即， 则， ， 所以，即，，三点共线， 又有直线交于点，故与重合，即，，三点共线. 由①②可知：. 【变式5-4】已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为，O为坐标原点，线段OA的中点为D，且. (1)求C的方程； (2)已知点M、N均在直线上，以MN为直径的圆经过O点，圆心为点T，直线AM、AN分别交椭圆C于另一点P、Q，证明直线PQ与直线OT垂直. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题设易知且，根据有即可求，进而写出椭圆方程. （2）令，，则，而，即可写出直线、的方程，联立椭圆方程并设、，应用韦达定理求、的坐标，进而可求，结合及，即可证直线与直线垂直. 【详解】（1）由题意知：，，则，而， 所以，即，又， 所以，解得或（舍去），故，所以的方程.    （2）令，，则，而， 所以，， 联立椭圆方程，整理得，显然， 若，则，得，则， 即， 同理，整理得，显然， 若，可得，则，即. 所以， 又，则，所以，故，而， 所以，则直线与直线垂直，得证.    【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 【变式5-5】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N.证明：直线MN与x轴垂直. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据短轴长和离心率得到，，，得到椭圆方程. （2）确定各点坐标，设点P的坐标为，，计算各直线的方程，得到的横坐标，作差为0得到证明. 【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c，由题意有：，解得，，， 故椭圆C的标准方程为. （2）点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为， 设点P的坐标为，，有，可得， 直线BD的方程为，整理为； 直线AD的方程为，整理为； 直线AP的方程为； 联立方程，解得，M的横坐标为， 直线BP的方程为， 联立方程，解得：，N的横坐标为， ， 故点M和点N的横坐标相等，可得直线MN与x轴垂直. 【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，椭圆中的位置关系，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将直线与的垂直关系转化为横坐标相等是解题的关键. 类型六、向量类定值 例6．已知为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线交直线于，动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）已知直线，、，为曲线上的点且与、不重合，直线和直线分别与相交于、，问是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）；（2）是定值，定值为. 【分析】（1）推导出，利用椭圆的定义可知曲线为椭圆，确定焦点位置、长轴长以及焦距，可得出、的值，进一步可得出的值，由此可得出曲线的方程； （2）设直线的方程为，设直线的方程为，求出、的坐标，设点，利用斜率公式计算出，进而可计算得出的值. 【详解】（1）由于线段的垂直平分线交直线于，由中垂线的性质可得， ， 所以动点在以、为焦点的椭圆上， 设该椭圆的标准方程为，设，则，， 所以，，因此，曲线的方程为； （2）依题意可知直线、的斜率均存在且不为， 设直线的方程为，设直线的方程为，则，. 可得，，， 设点，则有，可得， 则，，， 因此，（定值）. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【变式6-1】已知双曲线，点的坐标为，过的直线交双曲线于点. (1)若直线又过的左焦点，求的值； (2)若点的坐标为，求证：为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出左焦点的坐标，设，，求出直线的方程，与双曲线方程联立，可得，，由两点间距离公式计算即可求解； （2）设直线，与双曲线方程联立可得，，利用向量的坐标表示，整理即可求证. 【详解】（1）由双曲线可得，，所以， 所以，设，， ，所以直线的方程为， 由联立得：， 所以， . （2）由题意知直线的斜率存在，不妨设直线， 由可得：， 所以，，，， . 所以为定值. 【点睛】思路点睛：解决定值、定点的方法 （1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关； （2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算. 【变式6-2】已知双曲线C的中心在原点，是它的一个顶点.是它的一条渐近线的一个方向向量. (1)求双曲线C的方程； (2)设，M为双曲线右支上动点，当|PM|取得最小时，求四边形ODMP的面积； (3)若过点任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证:为定值. 【答案】(1)； (2)； (3)定值0，证明见解析. 【分析】(1)根据给定条件设出双曲线C的方程，利用待定系数法计算得解. (2)根据给定条件求出点M的坐标，并求出点M到直线DP距离，再借助三角形面积公式计算即得. (3)设出直线AB方程：，联立直线AB与双曲线C的方程，借助韦达定理计算即可作答. 【详解】（1）因双曲线C的中心在原点，一个顶点是，则设双曲线C的方程为：， 于是得双曲线C的渐近线方程为，而双曲线C的一条渐近线的一个方向向量是， 则有， 所以双曲线C的方程为. （2）依题意，设点，则，即， ，当时，，此时， 点M到直线DP：的距离为，而，如图，      四边形ODMP的面积， 所以四边形ODMP的面积为. （3）显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB方程：，由消去x得：， 当时，恒成立，设， 则有，， 因此，， 所以为定值0. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【变式6-3】已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过点作垂直于x轴的直线，与双曲线C交于点M，N，且三角形为等边三角形，双曲线C与x轴两交点间距离为2． (1)求双曲线C的方程； (2)设过的直线与双曲线C交于A，B两点，是否存在一个定点P使为定值？如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由双曲线C与x轴的交点间距离可得的值，再由过焦点且垂直于轴的焦点弦时双曲线的通径，长为，及等边三角形可得，再由之间的关系求出的值，进而求出双曲线的方程； （2）设直线的方程，与双曲线的方程联立求出两根之和即两根之积，设的坐标，由为定值可得对应系数成比例，可得的坐标，并求出定值. 【详解】（1）因为双曲线与x轴两交点间距离为2， 所以，，则． 设点在x轴的上方，则． 因为点在双曲线上，所以． 因为，所以，所以． 因为为等边三角形，所以为直角三角形． 在中，，所以． 由双曲线的定义可知， 故双曲线的方程为． （2）存在．理由如下： 当直线斜率不为0时，设直线AB的方程为， 根据双曲线的对称性可得如果存在这样的点，则点在x轴上，设点，，， 则，． 将代入得直线的方程为， 联立，消去x得． 当时，， 则，， 所以 ， 若为定值和参数m无关，即， 解得，故定点坐标为． 当直线的斜率为0时，则, 当时，也适合. 综上，存在一个定点使为定值． 【点睛】本题考查双曲线的通径，直线与双曲线的位置关系，判断是否过定点，考察运算求解能力及化归与转化思想，体现了数学运算，逻辑推理的核心素养. 【变式6-4】已知双曲线（，）的左顶点为，过点的动直线l交C于P，Q两点（均不与A重合），当l与x轴垂直时，. (1)求C的方程； (2)若直线AP和AQ分别与直线交于点M和N，证明：为定值. 【答案】(1) (2)为定值63，证明过程见解析 【分析】（1）由题意得，并代入求出，根据求出，得到答案； （2）直线l的方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，得到直线，求出，同理得到，结合平面向量数量积公式，代入两根之和，两根之积得到. 【详解】（1）由题意得，故， 令得，解得， 由于，故，解得， 所以C的方程为； （2）直线l交C于P，Q两点（均不与A重合），故直线l的斜率不为0， 设直线l方程为，联立得， 设，则且， 解得， ， 直线，令得， 同理可得，故， 则 .   为定值. 【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 类型七、面积类定值 例7．已知抛物线：（）经过点. (1)求的方程及其准线方程； (2)过外一点作三条直线，，，其中，与分别相切于，两点，与相交于，两点，同时与直线相交于点，记，，，的面积分别为，，，，证明：当点运动时，为定值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程，即可得到结果； （2）根据题意，分别表示出直线与直线的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）将代入抛物线方程得，可得， 故的方程为，其准线方程为. （2） 设，，，对求导得， 所以的方程为，即， 同理可得，直线的方程为. 因为点在直线，上，所以，， 所以直线的方程为. 由条件知直线的斜率存在，设其方程为，则， 联立方程消去，得. 设，，则，， 联立方程消去，得. 因为，的高相等，，的高相等， 所以. 由于点在抛物线的外部，点在抛物线的内部， 所以 ， 即为定值. 【变式7-1】在平面直角坐标系中，已知椭圆是其左､右焦点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点. (1)若，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)设直线与椭圆交于两点，为线段的中点.当时，的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 【答案】(1)或； (2)或； (3)的面积为定值，该定值为. 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示计算可得或； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程根据韦达定理计算可得，可得直线的方程； （3）利用点差法计算可得，设直线的方程为，联立椭圆方程并根据韦达定理可得，再根据弦长公式以及点到直线距离可得. 【详解】（1）易知，设点， 可得，可得， 则， 所以，解得， 可得， 即或 （2）设直线的方程为，， 联立并整理可得， 所以， 易知的面积为 ， 解得，即； 所以直线的方程为或. （3）根据题意可知直线的斜率存在， 设直线的方程为，，则，如下图所示： 易知，两式相减可得； 由，所以可得， 即，又，可得； 即， 联立整理可得， ，可得； 可得； 所以， 整理可得，即； 易知 ； 原点到直线的距离为， 所以的面积为； 所以的面积为定值，该定值为. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据弦中点问题利用点差法表示出斜率关系，再根据弦长公式和韦达定理表示出面积公式，化简即可得出结论. 【变式7-2】已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的动直线交于A，B两点.当时，. (1)求抛物线的方程； (2)证明：无论如何变化，是定值（为坐标原点）； (3)点，直线AM与交于另一点，直线BM与交于另一点，证明：与的面积之比为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设直线，，，联立直线与抛物线的方程，由抛物线的性质可得弦长的值，由此可得的值，进而求出抛物线的方程. （2）由（1）可知，，将韦达定理代入，可得出答案. （3）设直线AC的方程：，直线BD的方程：，分别与抛物线联立求出，，由（2）求出，则，再由三角形的面积公式表示出与的面积之比，即可得出答案. 【详解】（1）解：根据题意直线的斜率不为0，可设直线，，，代入抛物线方程得：， ，，， ， 当时，，， ，抛物线的方程为. （2）证明：由（1）可知，， 则， . （3）证明：设，， 直线AC的方程：，直线BD的方程：， 由，得， ，同理，， ， 由（2）知，则， . 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【变式7-3】已知椭圆C：（）的右焦点为，点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)若过原点的两条直线分别交椭圆C于点E、G和F、H，且（O为坐标原点）.判断四边形的面积是否为定值？若为定值，求四边形的面积；若不为定值，请说明理由. 【答案】(1)； (2)为定值，. 【分析】（1）根据题设有，再由点在椭圆上及椭圆参数关系求得，，即可得方程； （2）讨论直线的斜率存在性，设直线方程，并与椭圆联立，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式，求三角形面积，即可得结论. 【详解】（1）由题意，又点是椭圆上一点， ∴，又，解得，， 因此，椭圆的方程为. （2）四边形的面积为定值，理由如下： 如图： ①当直线的斜率不存在时，直线轴，此时四边形为矩形，且. 因为，不妨设，则. 取，，则四边形的面积. ②当直线的斜率存在时，设EF：，且，. 联立直线与椭圆C的方程，消去y并整理，得. 由，得. 所以，. 所以. 所以. 因为，所以，即. 因为， 所以. 因为原点O到直线的距离，且四边形为平行四边形， 所以四边形的面积. 由①②知，四边形的面积为定值. 【变式7-4】如图所示，椭圆中，是椭圆上任一点，是坐标原点，，过作直线交椭圆于两点，且，当在短轴端点时，．    (1)求的值，并证明直线的方程为； (2)探索的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1)，；证明见解析 (2)是， 【分析】（1）由在短轴端点时，解出的值，由点差法结论得到直线的斜率，进而得到直线的方程； （2）联立直线和椭圆方程，由韦达定理及弦长公式得到，由点到直线的距离公式得到点到直线的距离，由三角形面积公式得到的面积. 【详解】（1）在短轴端点时，   ，由，解得， 所以，得，． 此时椭圆方程为 因为，所以， 当，即时，，此时直线的方程为，即； 当，即时，，此时直线的方程为，即； 当，即时，，此时直线的方程为，即； 当，即时，，此时直线的方程为，即； 以上四种情况均符合直线的方程为. 当且时， ，由点差法得，所以， 又因为直线过点，所以直线方程为，即．① 因为点在椭圆上，所以， 代入①得，即． （2）设， 当时，，此时，代入椭圆方程得， 所以，，    同理，当时，，， 当时，    因为点在椭圆上，所以，② 联立得， 将②式代入得，得， 所以， ， 到的距离， 所以， 所以的面积为定值． 类型八、距离类定值 例8．为圆：上任意一点，另有一点，线段的垂直平分线和半径相交于点． (1)当点在圆上运动时，求动点的轨迹方程； (2)直线与相交于，两点，若以为直径的圆过坐标原点，求证：点到直线的距离为定值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，由椭圆的定义可求点的轨迹方程； （2）设，，分直线的斜率是否存在两种情况求解，当直线斜率不存在，，，由已知可得，可得，当直线斜率存在时，设：，与椭圆联立方程组，根据根与系数的关系可得，进而利用点到直线的距离公式可求结论. 【详解】（1）由为垂直平分线上的点，可得，因为， 所以，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，所以，，故， 所以动点的轨迹方程为． （2）设，， ①当直线斜率不存在时，由椭圆的对称性可知，，， 因为以为直径的圆经过坐标原点，故，即， 也就是，又点在椭圆上，所以，所以， 此时点到直线距离； ②当直线斜率存在时，设：， 由消去，可得， 则，即， 所以，， 因为以为直径的圆过坐标原点，所以，于是， 又因为，所以， 将，代入，整理得． 所以点到直线的距离为． 综上可知，点到直线的距离为定值． 【变式8-1】已知点、的坐标分别为、直线、相交于点，且它们的斜率之积是 (1)求点的轨迹方程； (2)若直线与点的轨迹交于两点，且，其中点是坐标原点. 试判断点到直线的距离是否为定值. 若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，且定值为 【分析】（1）设点，则，利用斜率公式结合化简可得出点的轨迹方程； （2）分析可知，直线、的斜率存在且都不为零，设直线的方程为，则直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，求出，同理可得出，再利用等面积法可求得点到直线的距离. 【详解】（1）设点，则， 由题意可得，整理可得. 所以，点的轨迹方程为. （2）由题意可知，直线、的斜率存在且都不为零， 设直线的方程为，则直线的方程为， 联立，可得，则， 同理可得， 则原点到直线的距离为 . 因此，点到直线的距离为. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【变式8-2】双曲线经过点，且渐近线方程为． (1)求a，b的值； (2)点A，B，D是双曲线C上不同的三点，且B，D两点关于y轴对称，的外接圆经过原点O，若设直线的AB方程为． ①求外接圆的方程（用k，m表示）； ②求证：原点O到直线AB的距离为定值． 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）根据渐近线及双曲线所过的点求参数； （2）①设AB为，，中点，则，联立双曲线并应用韦达定理，写出AB的中垂线方程，求其与y轴交点得圆心和半径，即可得圆的方程；②由题设可得是方程的两个根，应用韦达定理有得，最后由点线距离公式证结论. 【详解】（1）因为双曲线C渐近线方程为，所以． 又双曲线C经过点，所以．解得． （2）AB方程为，设，中点， 则． 由，消去x，得， 所以，，则，， 则AB的中垂线方程为，当时，， 因为B、D两点关于y轴对称，则的外接圆圆心在y轴上， 记圆心为点F，则，又的外接圆经过原点O， 所以外接圆的方程为或． ②因为的外接圆经过原点，则，即． 又＝1，所以， 同理，由得， 所以是方程的两个根，所以， 则，即， 所以，化简得， 所以原点O到直线AB距离. 【点睛】关键点点睛：第二问，只需求出AB的中垂线方程与y轴交点，即可得圆的方程；根据已知得到是方程的两个根为关键. 【变式8-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，右焦点与圆：的圆心重合，短轴长与圆E的半径相等． (1)求C的方程． (2)已知O为原点，C上的点P满足，求直线被C截得的弦长． (3)已知C的上顶点为A，斜率为2的直线与C交于B，D两点，的中点为M，的中点为N，到直线的距离为，C的右顶点到直线的距离为，试判断是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1). (2). (3)为定值,. 【分析】（1）根据圆的一般方程求出圆心和半径，得出椭圆的相关参数，求出椭圆的方程. （2）设出的坐标，根据，的坐标，写出方程，解得的横纵坐标的关系，联立椭圆标准方程，求出的横纵坐标,求出弦长. （3）设出直线斜截式方程，求出截距的范围，设出B，D两点坐标，结合，的坐标，写出的坐标，转化为直线的方程，写出表达式，求出结果. 【详解】（1）由圆的标准方程为；得圆心坐标，半径为4，所以，，故，，所以，所以． （2） 设，则，得，因为，， 所以，解得，所以， 因为C与直线均关于原点对称，所以直线被C截得的弦长为． （3） 设直线方程为，联立椭圆方程得， 消去得，直线与椭圆有交点，可知， ，解得. 设，可知，即 因为，所以 可得直线解析式为，化简得， ,， 可得，， ，. 类型九、参数类定值 例9．已知椭圆：的离心率为，上焦点到上顶点的距离为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点，与定直线：交于点，设，，证明：为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）按直线的斜率存在与否探讨，利用韦达定理，结合平面向量的坐标运算计算推理即得. 【详解】（1）令椭圆：半焦距为c，则，解得 所以椭圆的标准方程是. （2）由（1）知，， 当直线的斜率不存在时，直线：，不妨令，而， 则，，此时； 当直线的斜率存在时，设直线：， 由消去y得：， 易知，设，，， 则，，， ， 由，得，则， 同理由，得， 则， 所以为定值0.    【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值； （2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 【变式9-1】已知双曲线的左顶点，一条渐近线方程为 (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的右顶点为，为直线上的动点，连接，交双曲线于，两点异于，，记直线与轴的交点为． ①求证：为定点； ②直线交直线于点，记，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②证明见解析. 【分析】（1）根据顶点坐标及渐近线确定双曲线参数，即可得方程； （2）①由题设有为，为，，，联立双曲线并应用韦达定理求得、，设，结合向量共线的坐标表示列方程求参数值，即可证；②设直线为，则，联立直线与双曲线并应用韦达定理，结合向量线性关系的坐标表示有，即可证. 【详解】（1）由题设，，则双曲线方程为． （2）①设，且， 的直线方程为，的直线方程为． 设，，联立直线与双曲线方程有， 化简得，由韦达定理知， 有，代入直线有．则 联立直线与双曲线方程，化简有， 由韦达定理知，有，代入直线有 设，，， 由得， 化简得，可得，则． ②设直线方程为，则有 联立方程组，化简得，则， 由知，由知， ． 【变式9-2】已知双曲线的离心率为2，过点的直线与相交于两点，且当的斜率为0时，． (1)求的方程； (2)是否存在，使得两点关于直线对称？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由； (3)与直线交于点，设，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)为定值0 【分析】（1）由双曲线的离心率为2，得到，再由直线的方程为，代入双曲线的方程，求得，结合，进而得到竖曲线的方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，由，且，求得的范围，以及和，假设存在，使得两点关于直线对称，得到，进而得到线段的中点坐标为，结合中点不在直线上，得出结论； （3）解：设，求得和，根据题意，求得和，化简得到，即可得到答案. 【详解】（1）解：设双曲线的焦距为， 因为的离心率为2，所以，即，所以， 当直线的斜率为0时，直线的方程为，代入，得， 所以，解得，所以的方程为． （2）解：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 联立方程组，整理得， 设， 可得，且， 解得，且， 又由，，① 假设存在，使得两点关于直线对称，则与直线垂直，所以， 所以，且，则， 因此线段的中点坐标为， 又因为，即点不在直线上， 所以不存在，使得两点关于直线对称． （3）解：设， 由在直线上，可得，即；② 又由在直线上，可得，③ 因为，可得， 即，解得， 同理：由，可得， 结合①②③，得 ， 所以为定值0． 【变式9-3】如图，已知椭圆过点，其左、右焦点分别为，，且左焦点为．    (1)求椭圆的方程； (2)若点在椭圆上，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，设，，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）方法1，由题可得，代入可得椭圆方程；方法2，由题可得，结合可得椭圆方程； （2）方法1，设，，．由，，可得，，结合条件即证； 方法2，设直线的方程是，直线的方程是，，，.将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理法结合条件即证. 【详解】（1）解法1：由， 得， 故椭圆的方程为； 解法2：由，得， 故椭圆的方程为； （2）解法1：设，，． 由，得，又， 故. 同理，， 又，则. 因为,，则， 从而， 因，则，又， 得，从而； 同理可得，结合， 可得，从而， 故． 综上所述，为定值6; 解法2：设直线的方程是，直线的方程是， ，，． 由，消去x得， 判别式为：，由韦达定理得， 所以， 同理得．则. 由. 由，得，即， 同理得. 故． 综上所述，为定值6． 【变式9-4】已知双曲线的左顶点，一条渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的右顶点为为直线上的动点，连接交双曲线于两点（异于），记直线与轴的交点为． ①求证：为定点； ②直线交直线于点，记．求证：为定值． 【答案】(1) (2)①证明过程见解析；②证明过程见解析 【分析】（1）由左顶点和渐近线得到和，求出双曲线方程； （2）①设，其中，且，表达出直线，联立双曲线方程，得到，同理表达出直线，联立双曲线方程，得到，从而表达出直线的方程，令得，证明出为定点； ②在①基础上，结合题目条件得到，，求出，，证明出为定值. 【详解】（1）由题意得，，故， 所以双曲线的标准方程为； （2）①证明：由题意可知，，， 设， 因为连接交双曲线于两点（异于），所以， 又双曲线渐近线为，故，解得且， 直线，即， 与联立得， 则，故，， 同理直线，即， 与联立得， 则，故， ， 故直线的方程为， 令得， 解得， 故点坐标为，为定值； ②由①可知， 因为， 所以，， 即，， 解得，， 故. 【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 类型十、圆锥曲线中的定直线问题 例10．已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．记的左、右顶点分别为、. (1)求双曲线的方程； (2)双曲线上任意一点（不与、重合），求证：为定值； (3)过点的直线与的左支交于、两点，直线与交于点．证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的方程； （2）设，可得出，利用直线的斜率公式可证得为定值； （3）分析可知，直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，联立这两直线的方程，求出点的横坐标，即可证得结论成立. 【详解】（1）设双曲线的方程为， 由题意可得，解得，所以，双曲线的方程为． （2）由（1）可得、，设，则，可得， 因为，，所以，为定值. （3）设点、， 若直线与轴重合，此时，直线与双曲线的交点为双曲线的左、右顶点，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立可得， 由于直线与双曲线的左支有两个不同的交点， 则，解得， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即，据此可得点在定直线上运动． 【变式10-1】已知双曲线的右焦点为，离心率为2，圆与恰有两个交点. (1)求的方程； (2)设为的左顶点，过且斜率存在的直线交的右支于两点，直线分别交圆的另一点于. （i）证明：三点共线； （ii）设直线与直线交于，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【分析】（1）根据圆过双曲线顶点求出，再由离心率即可得解； （2）（i）设出直线方程，联立双曲线方程，由根与系数的关系及斜率公式可证明，即可得证； （ii）设直线方程，联立圆的方程可得点坐标，求出，得出直线方程，联立方程求出点横坐标为定值得证. 【详解】（1）因为圆与恰有两个交点， 由双曲线及圆的对称性知，圆过双曲线的左右顶点， 所以， 又，所以，故， 所以双曲线的方程为. （2）（i）由（1）知，, 设过的直线方程为，，如图， 由，可得， ， ， ， ，为圆的一条直径， 三点共线. （ii）不妨设直线，其中， 由（i）可知， 由，可得，解得, 故可得，即， ， 直线， 由，可解得， 点在定直线上. 【变式10-2】已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且. (1)求抛物线的方程. (2)证明：直线过定点. (3)记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析， 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程得出，进而得出抛物线； （2）设， 求出直线的方程为，结合，化简计算可得 ，即可得到结论. （3）由（2）知，，设，设直线的方程为.代入抛物线联立方程组，将转化为，化简计算可得到结论. 【详解】（1）将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得（舍去）或，故抛物线的方程为. （2）由（1）可知点的坐标，设， 则. 由，得，所以， . .所以直线的方程为， 即，整理得. 又， 从而直线的方程为，化简得， 因此直线过定点. （3）由（2）知，设，易知直线的斜率不为0， 设直线的方程为.由消去. 得.则. 因为.所以. 即， 当时，，化简得， 与直线的斜率不为0矛盾，不合题意； 当时，化简得， . 即.又. 可得，所以，即， 所以点在直线上. 【变式10-3】已知抛物线的顶点在坐标原点处，对称轴为轴，且过点，，是上两个动点． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知是上一点，且的焦点为的重心，设的横坐标为，求的取值范围； (3)已知为直线在第二象限内一点，直线，与抛物线分别相切于，两点，设，与轴分别交于，两点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）代入点的坐标，即可求解抛物线方程； （2）首先设点，，，再根据点在抛物线上以及重心坐标公式，转化为，再结合基本不等式即可求解； （3）首先利用导数求切线和的斜率，并表示切点坐标的关系，以及利用坐标表示直线和直线的方程，并联立求交点的坐标，即可证明. 【详解】（1）设抛物线方程为，代入点，得，得， 所以抛物线的标准方程为； （2）设，，， 则重心坐标公式可知，，， 得，， 且，，， 所以，且， 所以，得且， 综上可知，的取值范围是； （3）直线的斜率，直线的方程为， 设，，， 两边求导，，得， 设，， 抛物线在点处的切线方程为，即， 因为切线过点，即， 整理得， 同理，抛物线在点处的切线方程为， 所以是方程的两个根，则，， 切线，令，得，得，同理， 直线的方程为，即， 同理，直线的方程为， 设直线与直线的交点为， 联立直线与直线的方程为， ，得， 且，代入上式化简为，① 代回直线得，， 得 即，② 由①②可得， 所以直线与直线的交点在定直线上上. 1．已知两条平行直线，分别与双曲线的左、右两支相切，且交的两条渐近线于，两点，交的两条渐近线于，两点，点，都在轴上方，当且仅当与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)证明：四边形的面积为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的渐近线求出双曲线方程； （2）根据题意，计算出与轴垂直时，四边形面积为；与轴不垂直时，设直线的方程为，联立曲线方程得出新方程，得出，的关系；根据，的平行关系确定四边形为平行四边形，数形结合得出平行四边形和三角形间的面积关系，联立双曲线渐近线方程和直线的方程得出交点坐标表达式，根据面积公式算出四边形面积为，从而证明四边形的面积为定值. 【详解】（1）当且仅当与轴垂直时，，此时， 即， 则双曲线的方程为． （2）（2）证明： 当直线与轴垂直时，，四边形是矩形，面积为； 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为， 联立消去可得： ， 此时，并且， 故； 设与轴交于点， 由及双曲线的对称性，可知四边形ADEB是平行四边形， 面积， 双曲线两条渐近线方程为， 联立， 同理可得， 则． 所以，四边形的面积为定值． 2．如图所示，已知抛物线的焦点为F，，过点F的直线l与抛物线C交于两点，直线与抛物线C交于两点，AC与BD交于点 (1)求取得最小值时直线l的方程； (2)若直线l与直线m相交于点Q，求证：为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）设，联立抛物线并应用韦达定理、抛物线的定义求得，再应用“1”的代换求的最值并确定取值条件，进而得到，由韦达公式及抛物线定义列方程求参数t，即可得直线方程； （2）先求得，，结合抛物线的对称性，及的对称性，设且，则，且，再写出的方程，联立求得，最后应用向量数量积的坐标表示化简求证即可. 【详解】（1）由题设，则，联立抛物线得，显然， 所以，，则，， 由， 所以 ，当且仅当，即时取等号， 所以取最小值时，，则， 所以. （2）令，则且，可得，即， 将代入，可得，如下图，有， 由抛物线对称性，不妨令在轴上方， 由且在抛物线上，可设且，，则， 所以，则， 又可能重合，即可能重合， 可设，， 联立直线，可， 所以，则， 注意，否则，即两条直线没有交点，不合题设， 所以， 综上，，为定值. 【点睛】关键点点睛：第一问，注意应用韦达定理求得，再应用“1”的代换求的最值并确定取值条件，第二问，设且，则，再用表示出的坐标为关键. 3．已知椭圆C:的左、右焦点分别为，，离心率为，长轴长与短轴长之和为6. (1)求椭圆C的方程； (2)已知，，点P为椭圆C上一点，设直线PM与椭圆C的另一个交点为点B，直线PN与椭圆C的另一个交点为点D.设，.求证：当点P在椭圆C上运动时，为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（1）由离心率求得，再利用长轴长与短轴长之和为6求得得椭圆方程； （2）设，由题意知直线的斜率不为0，设直线方程为，直线方程为，代入椭圆方程后应用韦达定理得出，（用表示），由向量线性关系求得，，然后求和化简可得． 【详解】（1）由题意，化简得， 又，即，，所以， 椭圆方程为； （2）设，由题意知直线的斜率不为0， 设直线方程为，其中且， 由，得，， 由韦达定理知，得， 因为， 所以， 所以，， 设直线方程为，其中，同理可得， 所以 ， 所以为定值． 【点睛】方法点睛：定值问题常用方法： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定值． 4．已知双曲线的上下焦点分别为、，离心率为，点到渐近线的距离为，过点且斜率为的直线在第一象限交双曲线于点，过点且斜率为的直线在第四象限交双曲线于点，与交于点. (1)求双曲线的方程； (2)若，求的值； (3)证明：是定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由焦点到渐近线的距离可求得，再结合离心率以及可得出的值，即可得出双曲线的方程； （2）设、，关于原点的对称点记为，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式以及，可得出的等式，结合可求得的值； （3）分析可知，可得出，同理可得，化简得出，结合弦长公式计算出的值，即可证得结论成立. 【详解】（1）由题意得双曲线的一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离为， 又因为双曲线的离心率，，所以，， 则双曲线的方程为. （2）设、，关于原点的对称点记为，则，. 因为，，，所以， 又因为，即，故、、三点共线， 又因为与互相平分，所以四边形为平行四边形，故， 所以， 设的直线方程为， 代入双曲线方程整理得：， 所以，可得， 故，， 直线与双曲线只有两个交点，所以，解得. 由弦长公式得：， 则，即， 且由题意可知，可得，解得. （3）因为直线与直线斜率相等，所以，则， 所以，故，同理可得， 所以 因为. 所以，故为定值. 5．已知直线l：与曲线C：（，）交于不同的两点A，B，O为坐标原点. （1）若，，求证：曲线C是一个圆； （2）若曲线C过、，是否存在一定点Q，使得为定值？若存在，求出定点Q和定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，定点， 【解析】（1）设直线l与曲线C的交点为，，由两点间距离公式及可得，将A，B代入曲线方程，作差化简变形即可证明，因而可知曲线C是一个圆； （2）由曲线C过、，可得曲线C为椭圆，且求得标准方程，假设存在点 ，设交点为，，联立直线与椭圆，并由韦达定理表示出，,由平面向量数量积的坐标运算，代入化简即可确定所过定点坐标，亦可求得的值. 【详解】（1）证明：设直线l与曲线C的交点为， ， 即， ∴ ∵A，B在曲线C上， ∴，， ∴两式相减得 ∴即,所以， ∴曲线C是一个圆. （2）由题意知，椭圆C的方程为, 假设存在点 ，设交点为，， 由得，, ，, 直线l：恒过椭圆内定点，故恒成立. 当时，即，时, 故存在定点，不论k为何值，为定值. 【点睛】本题考查了圆方程的特征，直线与椭圆位置关系的综合应用，解析几何与向量的综合，椭圆中的定点求法，平面向量数量积的应用，属于难题. 6．已知点分别为双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线于两点，当直线的斜率不存在时，. (1)求双曲线的离心率； (2)过双曲线的右焦点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，若的面积为，求该双曲线的方程； (3)在（2）的条件下，若点分别为双曲线的左､右顶点，直线与直线相交于点，证明：点在一条定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题可得，据此可得离心率； （2）由（1）可设，然后由题可得，据此可得答案； （3）设，将直线，直线联立，可得，然后将直线方程和双曲线方程联立，由韦达定理可得，结合，可得，解方程可完成证明. 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，点，所以， 所以，即，所以，即， 所以，即，解得（舍去. （2）由（1）可得，，所以可设，计算可得，点， 该双曲线的一条渐近线的方程为，即， 利用点到直线的距离公式可得， 又，所以，可得，所以 因此，可得该双曲线的方程为. （3）证明：由（2）可知，，设， 则直线，直线， 联立 两式相除可得，所以， 当直线的斜率为0时，不满足题意，所以设直线， 则， 代入可得， 联立整理得，所以 所以， 则 ，注意到， 所以，解得， 所以点在直线上. 【点睛】关键点睛：对于所涉点较多的圆锥曲线问题，通常可设点，而不是设点所在的直线.对于表达式中出现非对称式，常利用韦达定理去找到两根之和与两根之积之间的联系，从而化简相关表达式. 7．已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，它的一条渐近线方程为. (1)求的标准方程； (2)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，直线与交于点，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题目信息求出取值，确定标准方程； （2）设出直线方程及，两点坐标，结合，两点坐标，用点斜式写出直线与方程，联立求解点. 【详解】（1）由题意得，所以， 所以的标准方程为. （2）由题意知，点的直线斜率必不为， 设直线方程为，，， 联立方程，消去得，， ， 由韦达定理得，， 由题意知，，，， 所以，解得， 设直线方程为，直线方程为， 联立直线方程，消去得， 即， 又， 所以， 所以点在定直线上. 8．已知双曲线的图象经过点，其中一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点作垂直于轴的直线，过点作直线与双曲线右支交于、两点，过点作的垂线，垂足为点.证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为 【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出双曲线的标准方程； （2）设直线的方程为，设点、，将该直线方程与双曲线方程联立，列出韦达定理，由对称性知直线过轴上的定点，由结合韦达定理可求出的值，即可得出定点的坐标. 【详解】（1）由题意可得，解得，因此，双曲线的标准方程为. （2）若直线与轴重合，则该直线与双曲线交于两个顶点，不合乎题意. 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 由题意可得， 由韦达定理可得，， 易知点，由对称性知直线过轴上的定点， ，， 由题意可知，即， 可得，解得， 因此，直线过定点，且定点坐标为. 9．已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为，虚轴长为，左、右顶点分别为、，为直线上一点，直线与直线分别与交于另一点、（不与、重合），设直线的方程为. (1)求的标准方程. (2)证明：且. (3)试问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)过定点，且定点坐标为 【分析】（1）根据题意求出、的值，即可得出双曲线的标准方程； （2）将直线方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线有两个交点，列出不等式组，即可证得结论成立； （3）设、，列出韦达定理，根据、、三点共线、、、三点共线，可得出，结合双曲线的方程、以及韦达定理可求出的值，即可得出结果. 【详解】（1）根据题意可得，，则， 故双曲线的标准方程为. （2）由题意可知，直线的斜率不为零， 联立可得， 由可得， 由，可得. （3）设、， 由（2）可得，， 由题意易知直线、的斜率都存在，且、， 设点，因为、、三点共线，所以，即①， 因为、、三点共线，所以，即②， 由①②得， 由可得， 所以 ， 即， 即， 即， 即， 因为、不与、重合，则， 所以， 化简得，解得，故直线的方程为， 故直线过定点，且定点坐标为. 10．已知椭圆C：的离心率为，焦距为2. (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆C的左顶点为A，过右焦点F的直线与椭圆C交于B，D（异于点A）两点，直线，分别与直线交于M，N两点，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是， 【分析】(1)根据离心率公式、焦距以及之间的关系，列出等式即可求得； (2)设出直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到根的表达式，设出直线的方程。得到点的坐标，同理可求得点坐标，再根据向量的坐标运算进行求解即可. 【详解】（1）依题意知：， 解之得：，，， 所以椭圆C的方程为. （2）由于B，D异于A，故设直线的方程为， 联立得： 设，，则 因为，，所以设直线的方程为， 联立得：，同理有 因为，所以， 所以 所以，即.    【点睛】关键点点睛：将直线和椭圆方程联立利用韦达定理求出相关点的坐标，进而可表达出向量，，再根据向量积的值可得结果. 11．已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线的斜率分别为． (1)求直线在y轴上的截距之和； (2)若四边形为菱形，证明：直线之间的距离为定值； (3)若成等比数列，射线分别交椭圆于两点，求四边形面积的取值范围． 【答案】(1)0； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）设两条平行线的方程分别为，，联立椭圆并应用韦达定理及弦长公式得，进而可得，即得结果； （2）根据已知有，由（1）知点A与点C、点B与点D关于原点对称，结合韦达公式得，进而有，再应用平行线的距离公式证明结论； （3）由等比中项的性质得，设直线的方程为并联立得到、，再根据四边形的面积、求面积的范围. 【详解】（1）设两条平行线的方程分别为，， 由，得， 所以，即， 又． 所以 ， 同理，． 由平行四边形得，所以， 因为，所以，即， 所以两条平行线在y轴上的截距之和为0． （2）由四边形为菱形得，所以， 由（1）知关于原点对称， 由椭圆的对称性知点A与点C，点B与点D均关于原点对称， 所以 ． 整理得，所以直线之间的距离， 所以直线之间的距离为定值． （3）由（2）知，则，因为，所以． 设直线的方程为， 由，得，由，得， 所以，同理， 所以，四边形的面积， 因为，且，故， 因为点O到直线的距离为， 所以， 所以四边形的面积. 【点睛】关键点点睛：第三问，利用相关三角形的面积比例与相关线段的等比例关系得到得到四边形的面积为关键. 12．已知斜率为的直线与抛物线交于两点，且当直线过的焦点时，在点处的切线的交点的横坐标为． (1)求的准线方程； (2)若，直线与的另一个交点为（异于点），是否存在实数，使得直线恒过定点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，定点为 【分析】（1）通过抛物线切线方程性质，结合切线横坐标与焦点的关系列方程求解；（2）假设直线方程，联立方程用韦达定理化简，得出的值，再计算得出定点. 【详解】（1）    设直线过的焦点， 设其方程为，其中， 联立得， 设，不妨令， 则， 因为， 所以在点处的切线方程分别为， 又， 代入切线方程得， 解得，故， 所以的准线方程为． （2）    由（1）得抛物线的方程为，设，直线， 联立得， 则， 所以，① （ⅰ）当直线斜率存在时，， 同理得，则，所以， 则直线的方程为， 代入得， 将①代入得，要使直线过定点，则，即， 此时的方程为，其恒过定点； （ⅱ）当，且直线斜率不存在时，，由得， 代入①式得，所以， 解得，所以，此时直线的方程为，也过点． 综上，存在实数，使得直线恒过定点． 13．在平面直角坐标系中，已知点，，，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的定义，以及题中条件，即可得出双曲线的方程； （2）设，，先由题中条件，得到直线斜率为正，设直线的方程为：，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，以及，列出方程组求解即可； （3）同（2）设，，直线的方程为：，得，；直线的方程为；写出直线的方程，进而求出点横坐标，得出点坐标，求出直线的方程与联立，即可求出点横坐标，从而证明结论成立. 【详解】（1）因为， 所以点P的轨迹是以,为焦点的双曲线，且焦距为，实轴长为， 所以，，则， 因此双曲线C的方程为； （2）设，，则，， 因为点A在x轴上方，且，所以易知直线的斜率存在，且斜率大于零， 因此可设直线的方程为：， 由得，即， 所以①，②，， 又，所以③ 由①③得代入②可得，即，解得(负值舍去)， 因此直线的方程为：，即； （3）同（2）设，，直线的方程为：， 则，； 因为直线m过点A与x轴平行，所以直线的方程为； 又，则直线的方程为， 由得， 则，所以， 即, 所以， 因此直线的方程为：， 因为点Q是直线l与直线的交点， 由得，解得， 所以点Q的横坐标是，因此点Q恒在定直线上. 【点睛】关键点点睛：求解本题第三问的关键在于，利用（2）中直线与双曲线联立后所得根与系数关系，结合题中条件，表示出的方程，再由直线l与直线的方程联立，即可求解. 14．已知为坐标原点，椭圆的短轴长为2，左，右焦点分别为，为上一动点，且当轴时，． (1)求的标准方程； (2)延长交于点，若直线的斜率为，线段的中点为，过作的垂线，直线与相交于点．证明：点在定直线上； (3)过点且与相切的直线交椭圆于两点，射线交于点，探究的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是定值，定值为 【分析】（1）由短轴和焦半径得到椭圆的的值，从而得到椭圆方程； （2）设的中点坐标和直线的方程，联立直线与椭圆方程得到一元二次方程，由韦达定理得到中点的横坐标，代入直线方程得到中点纵坐标，从而求得直线方程，在联立两直线方程求得交点坐标即可； （3）首先分类讨论切线斜率不存在、切线斜率为0，和切线斜率存在且不为0.斜率存在且不为0时，设出直线方程，联立切线和椭圆的方程整理得到一个关于的一元二次方程，由相切得到参数的关系，得到点的坐标.然后得到直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程求得交点的横坐标与点横坐标的关系，找到的关系.设交点坐标，联立切线方程和椭圆得到一元二次方程，由韦达定理求得的值，由坐标系中三角形面积公式求得，从而求得. 【详解】（1）的短轴长为，又轴， ， 的标准方程为． （2）设的中点为，直线的方程为， 联立方程组化简得， 可得，代入直线的方程得． 点的坐标为直线的方程为． 由题意直线的方程为． 联立解得即， 点在定直线上． （3）①当直线的斜率不存在时，， 由对称性不妨令，则， 此时， 由题可得， 故； ②当直线的斜率为0时，， 由对称性不妨令，则， 此时， 由题可得， 故； ③当直线的斜率存在且不为0时，设． 联立， 得，① ， ，则直线的方程为， ， 由题可得，位于轴两侧，故．即， 设，将直线代入椭圆的方程， 可得， 则有， 所以，将①代入得， 由直线与轴交于， 则． 故． 综上，的面积为定值． 【点睛】思路点睛，直线与椭圆交点问题，首先需要讨论直线的斜率不存在或者斜率为0两种特殊情况，然后再讨论斜率存在且不为0的情况.然后分别求出对应情况时三角形的面积即可. 15．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C交于A，B两点. (1)若点P为椭圆C上异于点A，B的点. ①若直线AP，BP斜率分别为，，求证：为定值; ②若直线，点A在x轴上的射影为点D，求证：B，P，D三点共线. (2)设A在第一象限，点M为椭圆C的上顶点，点M关于直线的对称点为点N，直线AB与直线MN交于点Q，且，求直线AB的方程. 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2) 【分析】（1）①求出，设，则，由椭圆方程得，设，利用椭圆方程和斜率公式即可求证; ②通过求证，即可求证三点共线； （2）求出A点坐标，代入椭圆方程，求出k即可得直线方程. 【详解】（1）因为椭圆离心率为，所以 设，则，则，解得： ①设，则，整理得 ②依题意得：，， 因为所以，即： 而， 所以，故B、P、D三点共线. （2）依题意得：MN方程为，与联立得： 在中，由正弦定理可得：， 又， 所以，即， 所以A点的坐标为， 代入椭圆方程：，解得 故直线AB的方程为 【点睛】方法点睛：椭圆中定值问题，一般设交点坐标为，然后用动点坐标表示目标代数式，结合点满足的椭圆方程化简得到定值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $