第四章一元一次方程重点题型精讲精练 2025-2026学年苏科版数学七年级上册

2025-2026学年七年级上学期苏科版数学——高瞻远瞩，降维打击所有重点题型 重点题型精讲精练 第四章 一元一次方程 目录 经典例题呈现——重点题型，举一反三 1 题型1 等式的基本性质 1 题型2 一元一次方程的概念 3 题型3 一元一次方程的解法 5 题型4 一元一次方程的应用 8 题型5 一元一次方程与数轴综合问题 15 题型6 一元一次方程与新定义问题 22 限时检测——重点题型，精准把握 29 经典例题呈现——重点题型，举一反三 题型1 等式的基本性质 例题．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下列方程的变形过程中，不正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题考查的是等式的基本性质，掌握移项变号，是解题的关键．根据等式的基本性质，进行移项，合并同类项，系数化“1”逐一判断即可． 【详解】解∶A．由，两边同除以5，得，变形正确； B．由，两边同乘，得，变形正确； C．由，移项时应将移到左边，得，但选项C写为，符号错误，变形不正确； D．由，移项得，变形正确， 故选∶C． 变式训练 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】此题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解决问题的关键．根据等式的基本性质，对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：A、当时，，原推理错误，不符合题意； B、如果，那么，原推理错误，不符合题意； C、如果，那么，原推理错误，不符合题意； D、如果，那么，原推理正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）下列运用等式的基本性质变形错误的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】A 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可，解题的关键是正确理解等式性质：、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；、等式的两边同时乘以或除以同一个不为数或字母，等式仍成立． 【详解】解：、由，当时，得，原选项变形错误，符合题意； 、由得，原选项变形正确，不符合题意； 、由得，原选项变形正确，不符合题意； 、由得，原选项变形正确，不符合题意； 故选：． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 利用等式的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A. 若，则，正确，该选项符合题意； B. 若，则需满足条件，错误，该选项不符合题意； C. 若，则或，错误，该选项不符合题意； D. 若，则，错误，该选项不符合题意； 故选：A. 4．（23-24七年级上·江苏南京·期中）下列运用等式的基本性质变形正确的是（    ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的性质：等式的左、右两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式的左、右两边同时乘上或除以同一个数（0除外），等式仍然成立．根据等式的基本性质逐一分析判断即可. 【详解】解：∵，， ∴，故A不符合题意； 由得，故B符合题意； 由得或，故C不符合题意； ∵，， ∴，故D不符合题意； 故选B 题型2 一元一次方程的概念 例题．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了一元一次方程的定义，关键是掌握一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．根据一元一次方程定义进行分析即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，故此选项符合题意； B、未知数次数是2，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； C、不是方程，故此选项不符合题意； D、中有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 变式训练 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数．未知数的最高次数为1且两边都为整式的方程，据此进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ． 故答案为：． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若关于的方程是一元一次方程，求的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据定义可知且，从而解得答案． 【详解】解：由题意可知，且， 故答案为：1． 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）下列是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义，是解题的关键．根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程）进行判断． 【详解】解：A. 方程中含有两个未知数x和y，属于二元一次方程，故A不符合题意； B. 方程中未知数x的次数为2，属于一元二次方程，故B不符合题意； C. 方程中仅含有一个未知数x，且次数为1，符合一元一次方程的定义，故C符合题意； D. 该式是不等式，不是方程，直接排除，故D不符合题意． 故选：C． 4．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）下列是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元一次方程．据此即可求解． 【详解】解：A、，分母含有未知数，不是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； B、，未知数的最高次不是次，不是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； C、，含有个未知数，不是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； D、是一元一次方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 题型3 一元一次方程的解法 例题．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查解一元一次方程： （1）方程按去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出方程的解即可； （2）方程按去分母、去括号、移项，合并同类项，系数化为1，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：去括号得， 移项，合并得， 把系数化为1，； （2）解：， 去分母，得，， 去括号，得，， 移项，合并得，， 把系数化为1，． 变式训练 1．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （）根据解一元一次方程的步骤解答即可； 本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得； （2）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解； 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，即可求出解． （1）方程移项合并，将x系数化为1，即可求出解； （2）去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解： ． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，正确的计算，是解题的关键． （1）移项，合并同类项，系数化1，解方程即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可． 【详解】（1）解： 移项，得：， 合并，得：， 系数化1，得：； （2） 解：去分母，得：， 去括号，得： 移项，得：， 合并，得：， 系数化1，得：． 题型4 一元一次方程的应用 例题．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）网约打车已成为人们打车出行的首选，某网约车软件的计费规则如下表：车费由起步费、时长费、里程费三部分构成．例如：小王打车10千米，路上花费时间15分钟，则费用是元． 项目 起步费（3千米，9分钟） 时长费（超过9分钟部分） 里程费（超过3千米部分） 单价 10元 元/分钟 元/千米 (1)如果将行车里程记为m千米（），行车时间为n分钟（），则应付车费多少元？（用含m、n的整式表示，并化简） (2)彭老师准备网约打车，打开高德地图查询出到目的地里程为20千米，时间约为25分钟，实际网约车行驶过程中遇上堵车，最后付款46元，请问堵车时长为多少分钟？ 【答案】(1)元 (2)堵车时长19分钟 【分析】本题主要了一元一次方程的应用、列代数式等知识点，弄清题意、正确列出方程是解本题的关键． （1）根据网约打车的费规则进行计算即可求解； （2）根据题意，由所付车费列出方程计算出堵车的时间即可． 【详解】（1）解：由题意得，应付车费：元； （2）解：设堵车时长为分钟， 则， 解得：， 答：堵车时长为分钟． 变式训练 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收费标准如下表： 收费标准（注：水费按月份结算） 每月用水量 单价（元/立方米） 不超出6立方米的部分 2 超出6立方米不超出10立方米的部分 4 超出10立方米的部分 8 例如：某户居民1月份用水8立方米，应收水费为（元） 请根据上表的内容解答下列问题： (1)若某户居民2月份用水7立方米，则应收水费_____元 (2)若某户居民4月份用水立方米（其中），请用含的代数式表示应收水费________． (3)若某户居民3月份交水费60元，求3月份用水量为多少立方米？ (4)若某户居民5、6两个月共用水20立方米（6月份的用水量超过了5月份的用水量），设5月份用水立方米，请用含的代数式表示该户居民5、6两个月共交水费多少元？ 【答案】(1)16 (2)元 (3)立方米 (4)或元 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，整式的加减应用，正确的列出式子和方程，是解题的关键． （1）根据用水7立方米，结合水费收费标准表，即可列式作答； （2）根据，结合水费收费标准表，即可列式作答； （3）先算出刚用10立方米的水费，发现交水费60元的用水量大于10立方米，故设该月用水量为立方米（），结合水费收费标准表，即可列式作答； （4）设5月份用水立方米，则6月份用水立方米，求出，结合水费收费标准表，即可列式作答． 【详解】（1）解：依题意， （元） 故某户居民2月份用水7立方米，则应收水费16元； （2）解：依题意， （元） 故某户居民4月份用水立方米（其中），应收水费元； （3）解：依题意，当用水量刚好10立方米，则（元） ∵ ∴设3月份用水量为立方米， 则（元） 即， 解得， 故3月份用水量为14立方米； （4）解：依题意，设5月份用水立方米，则6月份用水立方米， ∵6月份的用水量超过了5月份的用水量 ∴ ∴ ∴当时，5月份的水费：（元） 6月份的水费：（元） ∴该户居民5、6两个月共交水费：（元）； 当时，5月份的水费：（元） 6月份的水费：（元） 此时该户居民5、6两个月共交水费：（元）； 综上所述,该户居民5、6两个月共交水费或元． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）为鼓励市民节约用电，某市居民生活用电采取阶梯电价进行收费，收费标准如表所示：（例如：月用电量为350度时，收费为元） 月用电量（单位：度） 单价（元/度） 不超过200度的部分 超过200度不超过300度的部分 超过300度的部分 已知小明家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小明家用电量最多的是 月份，实际用电量为 度； (2)若小明家某月用电量为x度，请用含x的代数式表示小明家该月的电费． (3)若小明家12月份的电费为136元，请求出小明家12月份的用电量． 【答案】(1)六月份，228 (2)当时，电费为元；当时，电费为元 (3)260度 【分析】本题考查了有理数大小比较的应用，列代数式，一元一次方程的应用； （1）把超过标准的数进行大小比较，即可求解； （2）分两种情况：当时，当时，根据阶梯价格列出代数式，即可求解； （3）设小明家12月份的用电量为y度，根据“阶梯价格”，结合小明家12月份的电费为136元，即可求解． 理解“阶梯价格”是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得： ， 六月份用电量最多， 实际用电量为（度）； （2）解：当时，小明家该月的电费为：元； 当时，小明家该月的电费为：元； （3）解：∵（元），（元）， ∴小明家12月份的用电量超过200度，不足300度， 设小明家12月份的用电量为y度，根据题意得： ， 解得：， 答：小明家12月份的用电量为260度． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）用边长为米的正方形白色瓷砖和带花纹的瓷砖按如图的方式铺设学校文化长廊，已知长廊的宽度恰好是米，设铺设长度为L．看图回答下列问题： (1)按图示规律，图1中有花纹瓷砖1块，可铺设的长度L为 米，图2中有花纹瓷砖2块，可铺设的长度L为 米； (2)按上面的方式铺设，若n表示带有花纹的瓷砖块数，铺设长度为L，请用含n的代数式表示L； (3)想要知道铺设长廊所需购买瓷砖的数量，经测量文化长廊的长度L为米，请通过计算求出所需带有花纹的瓷砖及白色瓷砖的块数． 【答案】(1)，4 (2)米 (3)花纹瓷砖块，白色瓷砖块 【分析】本题考查了图形的变化类，找到变化规律是解题的关键． （1）根据图中的规律计算求解； （2）根据题中的排列规律，列代数式求解； （3）根据（2）中的规律列方程求解． 【详解】（1）解：图1中有花纹瓷砖1块，可铺设的长度L为米， 图2中有花纹瓷砖2块，可铺设的长度L为米， 故答案为：2.4，4； （2）解：米； （3）解：由题意得：， 解得：， ∴所需带有花纹的瓷砖块， 白色瓷砖的块数：（块）． 答：所需带有花纹的瓷砖块，白色瓷砖的块数块． 4．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）相传，大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图，是由所组成的一个三阶幻方，其幻和为，中心数为． (1)如图所示，则幻和______； (2)如图所示，在（）的条件下，若，，求的值； (3)如图所示： 若，，，求整式； 若，，，是否存在的值使得三阶幻方中九个整式的和为定值，若存在，求出的值及定值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)；存在，使得三阶幻方中九个整式的和为． 【分析】（）根据“幻和是中心数的倍“列式计算； （）根据“其对角线、横行、纵向的数字之和均相等“列式计算； （）根据“其对角线、横行、纵向的数字之和均相等“列式计算； 根据“其对角线、横行、纵向的数字之和均相等“列式表示； 本题考查了一元一次方程的应用，幻方，整式，解题的关键是明确题意，利用整式的知识和方程的知识解答． 【详解】（1）解：由题意得幻和， 故答案为: ； （2）解：由题意得:， ∵，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 存在，使得三阶幻方中九个整式的和为，理由， 由题意得: ，， ∵， ∴， ∴， 要使得三阶幻方中九个整式的和为定值，需，此时， ∴， ∴存在，使得三阶幻方中九个整式的和为． 题型5 一元一次方程与数轴综合问题 例题．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为3个单位长度？ 【答案】(1)； (2)①当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；②当点P运动秒或秒时，点P与点Q间的距离为3个单位长度． 【分析】此题考查的知识点是数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，理解并运用绝对值的几何意义是解题的关键． （1）由已知得，则，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；动点P从点A出发，运动时间为秒，所以运动的单位长度为，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是； （2）由题意可得点Q表示的数为．①点P与点Q相遇，则点P与点Q表示的数相同，即，解得；②点P与点Q间的距离为3个单位长度，则，根据绝对值的几何意义有，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6， ∴， ∵A，B两点间的距离为10， ∴， ∴， ∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为； ∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点P所表示的数为：； 故答案为：；； （2）解：∵动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴运动t秒时，点Q表示的数为：． ①点P与点Q相遇，则点P与点Q表示的数相同，即 ， 解得：， ∴当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②点P与点Q间的距离为3个单位长度，则， 即， 解得：或， ∴当点P运动秒或秒时，点P与点Q间的距离为3个单位长度． 变式训练 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离可表示为．例如：7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示6的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．已知数轴上两点、对应的数分别为和2，数轴上另有一个点对应的数为有理数． (1)请根据阅读材料填空：点、之间的距离_____（用含的式子表示）；若该距离为4，则_____． (2)根据几何意义，解决下列问题： ①若，求点表示的有理数． ②的最小值是_____． (3)若将数轴折叠，使得1表示的点与表示的点重合，此时、两点也互相重合．若数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧），则两点表示的数分别是：：_____，：_____． 【答案】(1)；3或 (2)①或3；②3 (3)， 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值方程的含义，一元一次方程的应用，熟练的利用两点之间的距离公式进行解题是解本题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离求解即可； （2）①根据题意分，，三种情况讨论，然后分别化简求解即可； ②首先求出，然后得到表示x到的距离加上到2的距离，即的值，然后分情况讨论求解即可； （3）首先求出1和的中点是折叠点，设点M表示的数是m，点N表示的数是n，根据题意得到，表示出，然后代入进而求解即可． 【详解】（1）根据题意得，点、之间的距离； 若该距离为4， ∴ ∴或； （2）①由题意知，当时，， 解得，； 当时，，舍去； 当时，， 解得，； 综上所述，点表示的有理数为或3． ②∵数轴上两点、对应的数分别为和2， ∴ ∵表示x到的距离加上到2的距离，即的值 ∴当时， 当时， ∴当时， ∴的最小值是3； （3）数轴折叠，1表示的点与表示的点重合，则1和的中点是折叠点， 设点M表示的数是m，点N表示的数是n， ∴ ∴ ∵数轴上、两点之间的距离为2024 ∴ ∴ ∴ ∴． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，已知点A，B，C表示的数分别为．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： (1)观察数轴，与点A的距离为3的点表示的数是 ，A，B两点之间的距离为 ． (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则与B点重合的点表示的数是 ；若此数轴上M，N两点之间的距离为2024（M在N的左侧），且当A点与C点重合时，M点与N点也恰好重合，则点M表示的数是 ，点N表示的数是 ； (3)若数轴上P，Q两点间的距离为a（P在Q左侧），将数轴折叠，当A点与C点重合时，P点与Q点恰好也重合，用含a的式子表示点P、点Q表示的数． 【答案】(1)4或；3.5 (2)0.5；；1011 (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上得点表示有理数， （1）根据与点A距离为3的点有两个解答，再根据两点之间的距离求解； （2）求出折痕出的数，再根据折痕处的数到点B及其重合的点的距离相等得出答案；再折痕处的数到两个点的距离相等可得答案； （3）根据（2）解答即可. 【详解】（1）解：与点A的距离为3的点表示的数是或；A，B之间的距离是. 故答案为：4或；3.5； （2）解：当点A与点C重合时，折痕处的数是， 设与点B重合的数是x，根据题意，得 ， 解得. 所以点B重合的数是0.5； ， 所以点M表示的数是，点N表示的数是1011； 故答案为：0.5；；1011； （3）解：当点A与点C重合时，折痕处的数是， 所以点P表示的数是，点N表示的数是. 故答案为：. 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）【背景知识】若数轴上的点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离为，线段的中点表示的数为．利用数形结合思想解决下列问题：如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为10，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（）． (1)填空：A、B两点间的距离______，线段的中点表示的代数式为______； (2)若点M为的中点，点N为的中点，在运动过程中，当t为何值时，； (3)点P从A点向右匀速运动，同时点Q从B点向左匀速运动，P到B后以每秒4个单位长度的速度沿数轴向A匀速运动，到达A后停止运动，在此运动过程中P、Q两点之间的距离能否为2个单位．如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)12； (2)或 (3)4或或 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，列代数式，一元一次方程的应用，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键； （1）根据两点距离计算公式可得第一空答案；分别求出点P和点Q表示的数，再根据中点计算公式即可得到第二空的答案； （2）根据中点计算公式分别求出M、N表示的数，再根据两点距离计算公式求出，再根据建立方程求解即可； （2）分两个过程，点P向点B运动和点P向点A运动，分别求出点P和点Q表示的数，进而表示出，再根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得； ∵点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴线段的中点表示的代数式为； （2）解：∵点M为的中点，点N为的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：由题意得，当时，点P表示的数为，当时，点P表示的数为，整个过程中点Q表示的数为， 当时，则， 当时，则， ∴或， 解得或， ∴此时点P表示的数为或 当时，则， 当时，则， ∴或， 解得或（舍去）， ∴此时点P表示的数为； 综上所述，在此运动过程中P、Q两点之间的距离能为2个单位，此时点P表示的数为4或或． 4．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点C表示的数为． (1)如图1，若将数轴沿点C折叠，点A落在数轴上的点处，则点表示的数为_______． (2)如图2，点P、点Q在数轴上运动．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，点Q从点C出发，以每秒a个单位长度的速度向右运动，记P、Q两点之间的距离为，B、Q两点之间的距离为，若P、Q两点同时出发，经过3秒后，，试求a的值． 【答案】(1)2 (2)或8 【分析】本题考查了折叠的性质，数轴上两点间的距离，以及一元一次方程的应用，掌握两点间距离的表示法是解答本题的关键． （1）由折叠知，，求出，进而可求出点表示的数； （2）分点Q在点B的左侧和点Q在点B的右侧两种情况求解即可． 【详解】（1）解：由折叠知，， ∵点A表示的数为，点C表示的数为， ∴， ∴点表示的数为：． 故答案为：2； （2）解：经过3秒后，点P表示的数是，点Q表示的数是， 当点Q在点B的左侧时， ∵， ∴， 解得； 当点Q在点B的右侧时， ∵， ∴， 解得． 综上可知，求a的值或8． 题型6 一元一次方程与新定义问题 例题．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）定义：若，则称与是关于4的友谊数． (1)与______是关于4的友谊数，______与是关于4的友谊数；（用含的代数式表示） (2)若，，判断与是否是关于4的友谊数，并说明理由； (3)若，，且与是关于4的友谊数，求的值． 【答案】(1)11， (2)与是关于4的友谊数，理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查新定义，整式的加减，解一元一次方程，解题的关键是理解并掌握友谊数的定义及整式加减运算顺序和法则． （1）利用新定义计算即可； （2）利用新定义计算，看是否等于4即可判断； （3）利用新定义得到，分类讨论，解方程． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴与11是关于4的友谊数，与是关于4的友谊数， 故答案为：11，； （2）解：是关于4的友谊数，理由如下， 若，， 则 ， ∴与是关于4的友谊数； （3）解：∵，，且与是关于4的友谊数， ∴， ∴， 当时，， 解得：； 当时，，此时无解； 当时，， 解得：， ∴或． 变式训练 1．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：记点P到原点的距离为m，点Q到点P的距离为n，如果（k为整数），那么称点Q是点P的k级关联点．如：点P表示的数是，点Q表示的数是2，则，即点Q是点P的2级关联点（如图1）．    (1)点A表示的数是1．若点B是点A的2级关联点，则点B表示的数是 ； (2)点C表示的数为a，点D表示的数为．若点D是点C的0级关联点，则点C表示的数是 ； (3)点E表示的数为，点F表示的数为．若点F是点E的3级关联点，求a的值． 【答案】(1)或4； (2)或2； (3) 【分析】（1）根据“关联点”的定义列式，化简即可求解； （2）根据“关联点”的定义列式，化简即可求解； （3）根据“关联点”的定义列式，化简即可求解． 本题主要考查新定义、数轴上两点间的距离公式、解带绝对值符号的一元一次方程，理解新定义，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题关键． 【详解】（1）解：设点表示的数是， 由题意得：， 解得：或， 点表示的数是或4； 故答案为：或4； （2）解：点表示的数为，点表示的数为， 点到的距离为， 点是点的0关联点， ， 解得：或， 点表示的数是或2； 故答案为：或2； （3）解：点表示的数为，点表示的数为， 点到点的距离为，点到原点的距离为， 点是点的3关联点， ， 解得：． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）设m为有理数，数轴上点A表示有理数a，给出以下两个定义： 定义为点A向右移动m个单位长度后得到的点； 定义为数轴上的一点从原点出发向右移动个单位长度后得到的点． （说明：向右移动负数个单位长度表示向左移动正数个单位长度．例如，向右移动个单位长度表示向左移动2个单位长度）    (1)①若点A表示有理数，则表示的有理数是_______； ②若点分别表示有理数，则与之间的距离为_______． (2)如图，点分别表示有理数． ①若与到原点的距离相等，求有理数m； ②试说明与之间的距离为定值，并求出这一定值． 【答案】(1)①3，②3； (2)①或；②见解析，定值为3 【分析】本题考查数轴上的点表示数，新定义以及一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）①直接根据新定义求解即可； ②根据新定义得出，，然后根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）①根据新定义得出，，，，然后根据数轴上两点间的距离公式列方程求解即可； ②根据新定义得出，，然后根据数轴上两点间的距离公式列式求解即可． 【详解】（1）解： ， ②当A表示时，， 当B表示1.5时，， 则：与之间的距离为， 故填①3，②3； （2）解：①根据题意，得，， ∵与到原点的距离相等， ∴或， 解得或 ②根据题意，得，， ∴ 则：与之间的距离为定值，值为3． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）定义：若，则称与是关于3的实验数． (1)4与__________是关于3的实验数，__________与是关于3的实验数．（用含的代数式表示） (2)若，，判断与是否是关于3的实验数，并说明理由． (3)若，，且与是关于3的实验数，求． 【答案】(1)， (2)是，见解析 (3) 【分析】本题考查了实数运算、整式的加减、解方程，化简绝对值，解题关键是准确理解新定义，熟练运用整式运算法则和解方程方法进行计算． （1）根据实验数的定义，列式，可得答案； 即可； （2）将两式相减得出结果是否是3，根据实验数的定义判断即可； （3）根据实验数的定义，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴4与是关于3的实验数，与是关于3的实验数． （2）a与b是关于3 的实验数， 理由：∵ ， ∴a与b是关于3 的实验数； （3）∵c与d是关于3的实验数，，， ∴， 即， 当时，原方程化简为，此时； 当时，原方程化简为，解得： 当时，原方程化简为，方程无解； ∴x的值为的任意实数． 4．（23-24七年级上·江苏南通·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）由题意，可求出的解为，再将 变形为，则，从而求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”， ， ； （2）解：∵“美好方程”的两个解的和为1，其中一个解为n， ∴另一个方程的解为：， ∵两个解的差为8， ∴或， ∴或； （3）解：∵， ， ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”， ∴关于x的一元一次方程的解为：， 关于y的一元一次方程可化为：， ， ． 限时检测——重点题型，精准把握 一、选择题 1．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）下列方程中，是一元一次方程的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义知识点，解题的关键是准确掌握一元一次方程的判定条件． 根据—元一次方程的定义，对每个选项逐一进行分析判断． 【详解】一元一次方程指只含有一个未知数，未知数所在项的最高次数为1且两边都为整式的等式． A、，化简为，只含有一个未知数，且未知数所在项的最高次数是1，等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义，A正确； B、不是等式，不满足方程的定义（方程是含有未知数的等式），所以不是一元一次方程，B错误； C、含有两个未知数和，是二元一次方程，不是一元一次方程，C错误； D、，等号右边不是整式（整式为单项式和多项式的统称，分母中不含字母），所以它不是一元一次方程，D错误． 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】此题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解决问题的关键．根据等式的基本性质，对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：A、当时，，原推理错误，不符合题意； B、如果，那么，原推理错误，不符合题意； C、如果，那么，原推理错误，不符合题意； D、如果，那么，原推理正确，符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）下列是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元一次方程．据此即可求解． 【详解】解：A、，分母含有未知数，不是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； B、，未知数的最高次不是次，不是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； C、，含有个未知数，不是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； D、是一元一次方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）解方程，移项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．根据移项要变号求解即可． 【详解】解：将方程移项，可以得到， 故选：D． 5．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程 的解为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对比两个方程后可以得出关于的一元一次方程的解为，从而求出的值．本题考查了一元一次方程的解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：关于的一元一次方程的解为， 关于的一元一次方程的解满足， ， 故选：A． 6．（24-25七年级上·江苏常州·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的特殊解法，正确将所求方程变形为是解题的关键． 先把所求方程变形为，设，则，根据题意可得关于m的一元一次方程的解为，则可求出，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于m的一元一次方程的解为， ∴， ∴， ∴关于y的一元一次方程的解为． 故选：D． 7．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则还缺25本．设这个班有学生人，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是设这个班有学生x人，等量关系为图书的数量是定值，据此列方程． 【详解】解：设这个班有学生人，列方程是：， 故选：A． 8．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）据记载，幻方起源于我国古代的洛书．如图是一个三阶幻方，要求每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等．已知都是正整数，，且满足，则其中的值为（   ） a c m d b A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据每行和对角线上的数字之和相等，即可得出关于m的一元一次方程，求解即可得出结论． 【详解】已知都是正整数，， ∵， ∴， ∴第一行第3个方格中的数为， ∵第2行及对角线上的三个数之和相等， ∴， 即， 解得， 故选：B． 9．（2024·江苏宿迁·中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，利用井的深度不变建立方程是解题的关键． 【详解】解：设绳长为x尺，列方程为， 故选A． 10．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元一次方程，将方程变形为，进一步变形可得． 【详解】 变形，得 解得 故选：C 二、填空题 11．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）若方程是关于x的一元一次方程，则方程的解为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求出m的值，进而得到原方程，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， ∴原方程为， 解得， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）“”表示一种运算，定义：，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算，解决本题的关键是根据新运算的规则，把转化为一般的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：， ， 解得：． 故答案为： ． 13．（24-25七年级上·吉林四平·期末）若方程的解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．将代入方程得到关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：将代入方程， 得， 解得． 故答案为：． 14．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据两个方程的关系，第二个方程中的相当于第一个方程中的，据此即可求解，理解两个方程之间的关系是关键． 【详解】解：关于y的一元一次方程，则， ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）一件商品按进价提高后标价，然后打折出售，售价为元．这种商品的成本是 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这种商品的成本是元，根据按进价提高后标价，然后打折出售，售价为元，可列方程：，解方程求出的值即可． 【详解】解：设这种商品的成本是元， 根据题意可得：， 解得：， 答：这种商品的成本是元． 故答案为： ． 16．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图，已知数轴上有三点，，，，，点对应的数是20．动点，同时从点，出发向右运动，同时动点从点出发向左运动，已知点的速度是点的速度的3倍，点的速度是点速度的2倍，经过2秒，点，之间的距离与点，之间的距离相等，动点的速度为 个单位长度/秒． 【答案】60或 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键，此题阅读量较大应细心分析． 根据，，得出，利用点A对应的数是20，即可得出点C对应的数；假设点R速度为v个单位长度/秒，根据点P、Q之间的距离与点Q、R的距离相等，得出等式方程求出即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵点对应的数是20， ∴点对应的数是． 假设点的速度为个单位长度/秒，则点的速度是个单位长度/秒，点的速度是个单位长度/秒， ∴2秒后点表示的数为，点表示的数为：，点表示的数为：，，， 由当时，，得：． 有两种情况：， 解得：． 或， 解得：． ∴或． 则或． 故答案为：60或． 三、解答题 17．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解本题的关键． （1）方程去括号，移项，合并，系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并，系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：； （2）解： ∴， ∴， ∴， 解得：． 18．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键． （1）移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解即可； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解即可． 【详解】（1）解：移项得 合并得 系数化为得； （2）去分母得 去括号得 移项得 合并得 系数化为得． 19．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）航模小组中女生人数占全组人数的一半，如果再增加6名女生，那么女生人数就占全组人数的，求航模小组原来的人数． 解：设航模小组原来的人数为人，则航模小组现在的人数为_____人． 根据题意可得方程：_____． 解这个方程，得_____． 答：_____． 【答案】；；12；航模小组原来的人数为12人 【分析】本题考查用一元一次方程解实际问题，解题的关键是找出题干中的等量关系，根据女生人数占全组人数一半，再增加6人，就等于增加后的全组人数，列式求解即可，特别注意题干中增加6名女生前后全组人数有变化． 【详解】解：设航模小组原来的人数为人，则航模小组现在的人数为人． 根据题意可得方程：． 解这个方程，得． 答：航模小组原来的人数为12人． 20．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）用边长为米的正方形白色瓷砖和带花纹的瓷砖按如图的方式铺设学校文化长廊，已知长廊的宽度恰好是米，设铺设长度为L．看图回答下列问题： (1)按图示规律，图1中有花纹瓷砖1块，可铺设的长度L为 米，图2中有花纹瓷砖2块，可铺设的长度L为 米； (2)按上面的方式铺设，若n表示带有花纹的瓷砖块数，铺设长度为L，请用含n的代数式表示L； (3)想要知道铺设长廊所需购买瓷砖的数量，经测量文化长廊的长度L为米，请通过计算求出所需带有花纹的瓷砖及白色瓷砖的块数． 【答案】(1)，4 (2)米 (3)花纹瓷砖块，白色瓷砖块 【分析】本题考查了图形的变化类，找到变化规律是解题的关键． （1）根据图中的规律计算求解； （2）根据题中的排列规律，列代数式求解； （3）根据（2）中的规律列方程求解． 【详解】（1）解：图1中有花纹瓷砖1块，可铺设的长度L为米， 图2中有花纹瓷砖2块，可铺设的长度L为米， 故答案为：2.4，4； （2）解：米； （3）解：由题意得：， 解得：， ∴所需带有花纹的瓷砖块， 白色瓷砖的块数：（块）． 答：所需带有花纹的瓷砖块，白色瓷砖的块数块． 21．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知数轴上三点，若点在点之间且，则称点是的祁美点．例如，图1中，点表示的数分别为，4，2，0，此时，，则点是的祁美点，点是的祁美点． (1)如图2，数轴上点，表示的数分别为，6，若点是的祁美点，则点表示的数是 ；若点是的祁美点，则点表示的数是 ； (2)已知点A、B、C、D在数轴上，它们表示的数分别为数a，b，c，d，且a，b满足，点C在点B的右侧且到点B的距离为6个单位长度，点D表示的数是12；动点P从点A出发以3单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以2个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为秒， ①从B运动到C的过程中，点P表示的数是 ，从C运动到B的过程中，点Q表示的数是 ；（用含t的代数式表示） ②求使得点C是的祁美点的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3，0 (2)①，；②t的值为7或17． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）求出，由，可得，故P表示的数为；同理，Q表示的数为； （2）①求出，，，而P从A到B所需时间为4（秒），Q从D到C所需时间为5（秒），故从B运动到C的过程中，点P表示的数是，从C运动到B的过程中，点Q表示的数是； ②根据C是的祁美点，知，再分类列方程可得答案． 【详解】（1）解：∵数轴上点M，N表示的数分别为，6， ∴， ∵点P是的祁美点， ∴， ∴， ∴P表示的数为； 同理， ∴Q表示的数为； 故答案为：3，0； （2）解：①∵， ∴，， 解得，， ∵点C在点B的右侧且到点B的距离为6个单位长度， ∴， 根据题意，P从A到B所需时间为（秒），Q从D到C所需时间为（秒）， ∵从点B运动到点C期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的一半， ∴从B运动到C的过程中，点P表示的数是， 从C运动到B的过程中，点Q表示的数是； 故答案为：，； ②存在t，使C是的祁美点， ∵C是的祁美点， ∴， P，Q变速之前，， ∴， 解得， P变速后，Q变速前，， ∴， 解得（舍去）； 当时，P，C，Q重合，不符合题意； 当P恢复原速，Q变速后，， ∴， 解得（舍去）； 当P，Q都恢复原速后，，Q表示的数为， ∴， 解得， 综上所述，t的值为7或17． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年七年级上学期苏科版数学——高瞻远瞩，降维打击所有重点题型 重点题型精讲精练 第四章 一元一次方程 目录 经典例题呈现——重点题型，举一反三 1 题型1 等式的基本性质 1 题型2 一元一次方程的概念 2 题型3 一元一次方程的解法 2 题型4 一元一次方程的应用 3 题型5 一元一次方程与数轴综合问题 6 题型6 一元一次方程与新定义问题 9 限时检测——重点题型，精准把握 12 经典例题呈现——重点题型，举一反三 题型1 等式的基本性质 例题．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下列方程的变形过程中，不正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 变式训练 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）下列运用等式的基本性质变形错误的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（23-24七年级上·江苏南京·期中）下列运用等式的基本性质变形正确的是（    ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 题型2 一元一次方程的概念 例题．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 变式训练 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的方程是一元一次方程，则 ． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若关于的方程是一元一次方程，求的值是 ． 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）下列是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）下列是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 题型3 一元一次方程的解法 例题．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）解下列方程： (1)； (2) 变式训练 1．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）解方程： (1)； (2)． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）解方程 (1) (2) 3．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）解方程： (1)； (2)． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）解下列方程： (1) (2) 题型4 一元一次方程的应用 例题．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）网约打车已成为人们打车出行的首选，某网约车软件的计费规则如下表：车费由起步费、时长费、里程费三部分构成．例如：小王打车10千米，路上花费时间15分钟，则费用是元． 项目 起步费（3千米，9分钟） 时长费（超过9分钟部分） 里程费（超过3千米部分） 单价 10元 元/分钟 元/千米 (1)如果将行车里程记为m千米（），行车时间为n分钟（），则应付车费多少元？（用含m、n的整式表示，并化简） (2)彭老师准备网约打车，打开高德地图查询出到目的地里程为20千米，时间约为25分钟，实际网约车行驶过程中遇上堵车，最后付款46元，请问堵车时长为多少分钟？ 变式训练 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收费标准如下表： 收费标准（注：水费按月份结算） 每月用水量 单价（元/立方米） 不超出6立方米的部分 2 超出6立方米不超出10立方米的部分 4 超出10立方米的部分 8 例如：某户居民1月份用水8立方米，应收水费为（元） 请根据上表的内容解答下列问题： (1)若某户居民2月份用水7立方米，则应收水费_____元 (2)若某户居民4月份用水立方米（其中），请用含的代数式表示应收水费________． (3)若某户居民3月份交水费60元，求3月份用水量为多少立方米？ (4)若某户居民5、6两个月共用水20立方米（6月份的用水量超过了5月份的用水量），设5月份用水立方米，请用含的代数式表示该户居民5、6两个月共交水费多少元？ 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）为鼓励市民节约用电，某市居民生活用电采取阶梯电价进行收费，收费标准如表所示：（例如：月用电量为350度时，收费为元） 月用电量（单位：度） 单价（元/度） 不超过200度的部分 超过200度不超过300度的部分 超过300度的部分 已知小明家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小明家用电量最多的是 月份，实际用电量为 度； (2)若小明家某月用电量为x度，请用含x的代数式表示小明家该月的电费． (3)若小明家12月份的电费为136元，请求出小明家12月份的用电量． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）用边长为米的正方形白色瓷砖和带花纹的瓷砖按如图的方式铺设学校文化长廊，已知长廊的宽度恰好是米，设铺设长度为L．看图回答下列问题： (1)按图示规律，图1中有花纹瓷砖1块，可铺设的长度L为 米，图2中有花纹瓷砖2块，可铺设的长度L为 米； (2)按上面的方式铺设，若n表示带有花纹的瓷砖块数，铺设长度为L，请用含n的代数式表示L； (3)想要知道铺设长廊所需购买瓷砖的数量，经测量文化长廊的长度L为米，请通过计算求出所需带有花纹的瓷砖及白色瓷砖的块数． 4．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）相传，大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图，是由所组成的一个三阶幻方，其幻和为，中心数为． (1)如图所示，则幻和______； (2)如图所示，在（）的条件下，若，，求的值； (3)如图所示： 若，，，求整式； 若，，，是否存在的值使得三阶幻方中九个整式的和为定值，若存在，求出的值及定值，若不存在，说明理由． 题型5 一元一次方程与数轴综合问题 例题．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为3个单位长度？ 变式训练 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离可表示为．例如：7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示6的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．已知数轴上两点、对应的数分别为和2，数轴上另有一个点对应的数为有理数． (1)请根据阅读材料填空：点、之间的距离_____（用含的式子表示）；若该距离为4，则_____． (2)根据几何意义，解决下列问题： ①若，求点表示的有理数． ②的最小值是_____． (3)若将数轴折叠，使得1表示的点与表示的点重合，此时、两点也互相重合．若数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧），则两点表示的数分别是：：_____，：_____． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，已知点A，B，C表示的数分别为．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： (1)观察数轴，与点A的距离为3的点表示的数是 ，A，B两点之间的距离为 ． (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则与B点重合的点表示的数是 ；若此数轴上M，N两点之间的距离为2024（M在N的左侧），且当A点与C点重合时，M点与N点也恰好重合，则点M表示的数是 ，点N表示的数是 ； (3)若数轴上P，Q两点间的距离为a（P在Q左侧），将数轴折叠，当A点与C点重合时，P点与Q点恰好也重合，用含a的式子表示点P、点Q表示的数． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）【背景知识】若数轴上的点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离为，线段的中点表示的数为．利用数形结合思想解决下列问题：如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为10，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（）． (1)填空：A、B两点间的距离______，线段的中点表示的代数式为______； (2)若点M为的中点，点N为的中点，在运动过程中，当t为何值时，； (3)点P从A点向右匀速运动，同时点Q从B点向左匀速运动，P到B后以每秒4个单位长度的速度沿数轴向A匀速运动，到达A后停止运动，在此运动过程中P、Q两点之间的距离能否为2个单位．如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由． 4．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点C表示的数为． (1)如图1，若将数轴沿点C折叠，点A落在数轴上的点处，则点表示的数为_______． (2)如图2，点P、点Q在数轴上运动．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，点Q从点C出发，以每秒a个单位长度的速度向右运动，记P、Q两点之间的距离为，B、Q两点之间的距离为，若P、Q两点同时出发，经过3秒后，，试求a的值． 题型6 一元一次方程与新定义问题 例题．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）定义：若，则称与是关于4的友谊数． (1)与______是关于4的友谊数，______与是关于4的友谊数；（用含的代数式表示） (2)若，，判断与是否是关于4的友谊数，并说明理由； (3)若，，且与是关于4的友谊数，求的值． 变式训练 1．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：记点P到原点的距离为m，点Q到点P的距离为n，如果（k为整数），那么称点Q是点P的k级关联点．如：点P表示的数是，点Q表示的数是2，则，即点Q是点P的2级关联点（如图1）． (1)点A表示的数是1．若点B是点A的2级关联点，则点B表示的数是 ； (2)点C表示的数为a，点D表示的数为．若点D是点C的0级关联点，则点C表示的数是 ； (3)点E表示的数为，点F表示的数为．若点F是点E的3级关联点，求a的值． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）设m为有理数，数轴上点A表示有理数a，给出以下两个定义： 定义为点A向右移动m个单位长度后得到的点； 定义为数轴上的一点从原点出发向右移动个单位长度后得到的点． （说明：向右移动负数个单位长度表示向左移动正数个单位长度．例如，向右移动个单位长度表示向左移动2个单位长度）    (1)①若点A表示有理数，则表示的有理数是_______； ②若点分别表示有理数，则与之间的距离为_______． (2)如图，点分别表示有理数． ①若与到原点的距离相等，求有理数m； ②试说明与之间的距离为定值，并求出这一定值． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）定义：若，则称与是关于3的实验数． (1)4与__________是关于3的实验数，__________与是关于3的实验数．（用含的代数式表示） (2)若，，判断与是否是关于3的实验数，并说明理由． (3)若，，且与是关于3的实验数，求． 4．（23-24七年级上·江苏南通·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 限时检测——重点题型，精准把握 一、选择题 1．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）下列方程中，是一元一次方程的是（） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）下列是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）解方程，移项正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程 的解为（  ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·江苏常州·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则还缺25本．设这个班有学生人，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）据记载，幻方起源于我国古代的洛书．如图是一个三阶幻方，要求每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等．已知都是正整数，，且满足，则其中的值为（   ） a c m d b A．6 B．7 C．8 D．9 9．（2024·江苏宿迁·中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）方程的解是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）若方程是关于x的一元一次方程，则方程的解为 ． 12．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）“”表示一种运算，定义：，如果，那么 ． 13．（24-25七年级上·吉林四平·期末）若方程的解为，则的值为 ． 14．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解 ． 15．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）一件商品按进价提高后标价，然后打折出售，售价为元．这种商品的成本是 元． 16．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图，已知数轴上有三点，，，，，点对应的数是20．动点，同时从点，出发向右运动，同时动点从点出发向左运动，已知点的速度是点的速度的3倍，点的速度是点速度的2倍，经过2秒，点，之间的距离与点，之间的距离相等，动点的速度为 个单位长度/秒． 三、解答题 17．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）解方程： (1)； (2)． 18．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）解下列方程： (1)； (2)． 19．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）航模小组中女生人数占全组人数的一半，如果再增加6名女生，那么女生人数就占全组人数的，求航模小组原来的人数． 解：设航模小组原来的人数为人，则航模小组现在的人数为_____人． 根据题意可得方程：_____． 解这个方程，得_____． 答：_____． 20．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）用边长为米的正方形白色瓷砖和带花纹的瓷砖按如图的方式铺设学校文化长廊，已知长廊的宽度恰好是米，设铺设长度为L．看图回答下列问题： (1)按图示规律，图1中有花纹瓷砖1块，可铺设的长度L为 米，图2中有花纹瓷砖2块，可铺设的长度L为 米； (2)按上面的方式铺设，若n表示带有花纹的瓷砖块数，铺设长度为L，请用含n的代数式表示L； (3)想要知道铺设长廊所需购买瓷砖的数量，经测量文化长廊的长度L为米，请通过计算求出所需带有花纹的瓷砖及白色瓷砖的块数． 21．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知数轴上三点，若点在点之间且，则称点是的祁美点．例如，图1中，点表示的数分别为，4，2，0，此时，，则点是的祁美点，点是的祁美点． (1)如图2，数轴上点，表示的数分别为，6，若点是的祁美点，则点表示的数是 ；若点是的祁美点，则点表示的数是 ； (2)已知点A、B、C、D在数轴上，它们表示的数分别为数a，b，c，d，且a，b满足，点C在点B的右侧且到点B的距离为6个单位长度，点D表示的数是12；动点P从点A出发以3单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以2个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为秒， ①从B运动到C的过程中，点P表示的数是 ，从C运动到B的过程中，点Q表示的数是 ；（用含t的代数式表示） ②求使得点C是的祁美点的值；若不存在，请说明理由． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$