精品解析：湖南省长沙市北雅中学2025-2026学年九年级上学期入学考试数学试题

2025年秋季学期九年级开学收心练习 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1—9题为单选，10题为多选，请在答题卡中填涂符合题意的选项） 1. 在实数，，，中，有理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的分类，有理数的概念，根据整数和分数统称为有理数，依此定义求解即可，掌握有理数的概念是解题的关键． 【详解】解：是整数，属于有理数，符合题意； 是无理数，不符合题意； 是分数，属于有理数，符合题意； 是无理数，不符合题意； 综上可得：有理数有个， 故选：． 2. 某桑蚕丝的直径约为米，将用科学记数法表示是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：将用科学记数法表示是； 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 已知样本数据：3，2，1，7，2，下列说法不正确的是（ ） A. 平均数是3 B. 中位数是1 C. 众数是2 D. 方差是4.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的计算公式和定义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A．平均数为：，正确，故此选项不符合题意； B．把数据按从小到大排列为：1，2，2，3，7，中间的数是2，所以中位数为2，故中位数是1错误，故此选项符合题意； C．2出现次数最多，故众数为2，正确，故此选项不符合题意； D．方差为：，正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了平均数、中位数和众数、方差，用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一般地设n个数据，，，…，的平均数为，则方差． 4. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，未知数最高次数为2，且为整式方程）逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．方程中含有两个未知数x和y，是二元二次方程，不符合一元二次方程的定义，故A不符合题意； B．方程中，若，则方程变为一次方程，因此不一定是关于x的一元二次方程，故B不符合题意； C．方程仅含一个未知数x，且x的最高次数为2，同时为整式方程，符合定义，故C符合题意； D．方程中含有分式，属于分式方程，不符合整式方程的要求，故D不符合题意． 故选：C． 5. 喜迎国庆佳节，某商品原价300元，连续两次降价后售价为225元，下列所列方程中，正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解：本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．根据题意可知，第一次降价后的售价为元，则第二次降价后的售价为元，据此列出方程即可． 【详解】解：∵某商品原价300元，连续两次降价后售价为225元， ∴， 故选D． 6. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根,则式子的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，然后利用一元二次方程根与系数的关系代入数值计算即可． 【详解】由题意知， a+b=−n，ab=−1， ∴== -n²−2. 故选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的两根与方程中各系数有如下关系：,注意整体代入思想的应用. 7. 已知二次函数的表达式为（为常数），当时，，在自变量满足的取值范围时，对应函数值的最小值为，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数解析式得，即得该函数的对称轴为直线，函数图象开口向 上， 又由时，，可得，进而分 和两种情况，根据二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴为直线，函数图象开口向 上， ∵当时，， ∴， 解得， ∵当时，的最小值为， ∴当时，时取得最小值，即， 解得，（不合，舍去）； 当时，时取得最小值，即， 解得（不合，舍去）； 综上，的值是， 故选：． 8. 平面直角坐标系中，P点坐标为，且实数m，n满足，则点P到原点O的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由,得，点P到原点O的距离为，逐步整理，最后将被开方数配方进行求解即可. 【详解】解：由,得， ∴点P到原点O的距离为： ， 故选: B. 【点睛】本题考查点的坐标，但计算整理过程非常复杂，要求有极强的计算能力，确保计算的正确性，熟练掌握配方法是解题的关键. 9. 已知整式，其中，，，均为整数，，且，下列结论：①满足条件的整式M中至少有2个单项式；②若，则方程一定有实数解；③若，则满足条件的整式M共有5个；④若，则方程至少有一个正实数解，其中说法正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查单项式，一元二次方程的解，整式，根据题中所给规定，对每种情况进行分析，再进行判断即可．解题的关键是掌握相关知识的运算和推理． 【详解】解：， ∴，，至少有一个不为0， ∵，整式为单项式， 这个单项式不满足条件， ∴，，中，一个为4，其余各数为0， 满足条件的整式的单项式为这三种，故①满足条件的整式M中至少有2个单项式；说法正确； ， ，， 又∵， ∴， 解得， ∴， ， ， 方程一定有实数解，故②正确； 设， 当，，，均为正整数时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当，，，有3个正整数、一个负整数时，它们是有三个等于，一个等于， ∴， ∴， ∴此时，，，中有一个数是，其余三个是，则有4种情况， 当，，，有2个正整数、2个负整数时，则它们是有两个等于，两个等于， ∴，不合题意， 同理可得：其他情况也不符合题意， 综上所述：满足条件的整式共有5个；故说法③正确， 当，， 当，， ∵的取值具有连续性， ∴在和1之间时一定存在能使的值，即方程至少有一个正实数解，故说法④正确， 综上所述：说法①②③④都正确，共4个， 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①；②若，为方程的两个根，则；③；④若抛物线与x轴的两交点和其顶点组成的三角形顶角为，则．其中正确的有（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】ABCD 【解析】 【分析】对于①，利用抛物线的对称性确定时函数值的符号，进而判断的大小；对于②，先由对称轴公式得出b与a的关系，再结合抛物线与x轴的交点的位置，代入时的函数值判断的大小；对于③，根据抛物线对称轴处取得最值的性质，结合a的正负，即可判断不等式是否成立；对于④，设出抛物线与x轴的交点与顶点，利用三角函数关系结合抛物线的相关公式，计算并判断等式是否成立． 【详解】解：抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间， 另一个交点关于对称轴对称， 因此另一个交点位于和之间， 当时，， ，故①正确； 对称轴为，则， 当时，， 将代入得：， 即，故②正确； 因为抛物线的对称轴为， 所以当时，抛物线取得最值， 由图象可知， 则当时，抛物线有最大值为， 对于任意实数，都有， 即，故③正确； 设抛物线与x轴的两交点为，顶点为C， 因为抛物线的对称轴为， 设的距离为d， 由韦达定理可知：，， ， ， 顶点到x轴的距离为， 已知抛物线与x轴的两交点和其顶点组成的三角形顶角为， 则由三角函数关系可得：， ，， ，即， ， 则，故④正确； 综上，正确． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质相关知识点，包括抛物线的对称轴、对称性、函数值的取值、方程的根与抛物线和x轴交点的关系，以及利用三角函数解决抛物线相关三角形问题等，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是____________． 【答案】k＜9且k≠0． 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（-6）2−4×k×1＞0，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得k≠0且Δ＝（-6）2−4×k×1＞0， 解得：k＜9且k≠0． ∴k的取值范围是k＜9且k≠0， 故答案为：k＜9且k≠0． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2−4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 12. 将抛物线_______向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到抛物线的解析式为． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“左加右减、上加下减”的原则反推进行解答即可． 【详解】解：将向上平移2个单位后为， 即， 再将向右平移1个单位为， 即． 13. 如图，在平行四边形中，，，是锐角，于点E，F是的中点，连结．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．首先证明DQ＝DE＝x＋2，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DQ∥BC， ∴∠Q＝∠BEF， ∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE， ∴△QFA≌△EFB（AAS）， ∴AQ＝BE＝x，QF＝EF， ∵∠EFD＝90°， ∴DF⊥QE， ∴DQ＝DE＝x＋2， ∵AE⊥BC，BCAD， ∴AE⊥AD， ∴∠AEB＝∠EAD＝90°， ∵AE2＝DE2−AD2＝AB2−BE2， ∴（x＋2）2−4＝6−x2， 整理得：2x2＋4x−6＝0， 解得x＝1或−3（舍弃）， ∴BE＝1， ∴AE＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 14. 飞机着陆时速度快，通常借助直道滑行一段距离来保持飞机稳定．据统计某飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行________才能停下来． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，飞机停下来时，滑行的距离最远，即此时s有最大值，据此求解即可． 【详解】解： ， 当飞机着陆后滑行，才能停下来； 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，点P为边上的一个动点，线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，．当点落在边上时，的值为_______；当线段的长度最小时，的度数为_______． 【答案】 ①. ②. ##75度 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形，矩形的性质，直角三角形 ； 过点P作交于E点，设，则，结合直角三角形的性质得到 ，即可求出；设交于点O，当点落在上时，点与点O重合，此时，当时， 的长度最小，再结合矩形的性质计算求解即可． 【详解】解：过点P作交于E点， 设， ∵线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵是矩形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 如下图，设交于点O． 当点落在上时，点与点O重合， 此时， 当时， 的长度最小． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，抛物线与直线经过点，且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点；点N在线段上，过点N的直线交抛物线于点M，且轴；当点N在线段上移动时（不与A、B重合），当时，a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与直线综合问题，涉及二次函数的解析式、一次函数的解析式、一次函数的性质、平面直角坐标系下两点间的距离等，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； 根据题意，求出直线解析式和抛物线解析式，设点，求出，，再代入，得出关于的不等式，再利用一次函数的增减性求出的取值范围，综合可得结果． 【详解】解：将点代入直线，可得，， 直线解析式为， 抛物线经过点，，且开口向上， 可设抛物线解析式为， 设，由轴，可得， ，， 由，可得， ， 整理得， 又， ， 关于的一次函数， ， 随的增大而增大， 又， ， 由得； 综上可知，的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题．第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先化简绝对值，计算负整数指数幂，零指数幂和分母有理化，再进行加减计算，熟练掌握运算法则，正确计算是解题的关键． 【详解】解： ． 18. （1）解方程：． （2）先化简，再求值：，其中x满足方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，分式的运算 ； （1）根据因式分解法解一元二次方程即可； （2）先因式分解法解一元二次方程，再化简分式，代入求值即可． 【详解】解：（1） ， ， ， ； （2） ， ， ； ∵时，分式无意义， ∴； ， ， ， ， ； 当时，原式． 19. 方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及完全平方公式的变形，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接利用一元二次方程根的判别式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式代入进行变形计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 即， 解得， 则m的取值范围为； 【小问2详解】 由韦达定理可知：，， 若， 由可得， 即， 将，代入得：， 即， 解得， 由（1）可知，故符合题意， 因此，m的值为． 20. 一分钟跳绳不仅是学生体质测试的重要项目之一，也是近年来中考体育的重要考试选项之一．某校为了解八年级学生一分钟跳绳情况，现从八年级学生中随机抽取了部分学生进行一分钟跳绳测试，这些学生的成绩记为x（跳绳个数），对数据进行整理，将所得的数据分为5组：（A组：；B组：；C组：；D组：：E组：，对数据进行分析后，得到如下部分信息： Ⅰ．被抽取的学生的跳绳个数频数分布直方图 被抽取的学生的跳绳个数扇形统计图 Ⅱ．被抽取的学生的跳绳个数在C组的数据是：191，195，197，197，197，197． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽查的学生人数是______人； （2）补全频数分布直方图； （3）八年级被抽取的学生跳绳个数的中位数为______； （4）若该校八年级选择跳绳项目的学生有600名，估计年级学生跳绳个数不少于200个的人数． 【答案】（1）20 （2） 补全频数分布直方图如图所示： （3）193 （4）150名 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图与扇形统计图的关联、用样本估计总体、中位数，读懂题意，准确获取图中信息是解答的关键． （1）用A组频数除以其所占百分比即可求解； （2）求出B组频数，即可补全频数分布直方图； （3）数据从小到大排列，找到位于中间两个数，求其平均数即为中位数； （4）用该校八年级总人数乘以样本中跳绳个数不少于200个的人数所占比例求解即可 【小问1详解】 解：本次抽查的学生人数是（人）， 故答案为：20； 【小问2详解】 解：B组人数为（名）， 略 【小问3详解】 解：A组和B组总人数为（名）， ∴八年级被抽取的学生跳绳个数的中位数位于C组，又第10个数为191，第11个数为195， ∴中位数为； 【小问4详解】 解：（名）， 答：估计年级学生跳绳个数不少于200个的人数有150名． 21. 如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且过点． （1）求抛物线表达式； （2）如图，点为抛物线在轴左侧的一个动点，过点作轴，交直线于点，交轴于点，连接，，，若时，求点的坐标． 【答案】（1）二次函数的表达式为； （2）点的坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解解析式，解分式方程，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （）待定系数法求出函数解析式即可； （）先求出，，通过待定系数法求出直线表达式为，设点的坐标为，，，然后分当点在直线上方时，当点在直线下方时两种情况分析求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当， 解得：，， ∴，， ∵， 设直线的解析式为， 把代入，得， ∴直线表达式为， 设点的坐标为，，， 如图，当点在直线上方时， ∴，， ∴， ， ∵， ∴，解得：， 经检验：是原方程的解， ∴； 如图，当点在直线下方时， ∴，， ∴， ， ∵， ∴，解得：， 经检验：是原方程的解， ∵， ∴， ∴； 综上可知：点的坐标为或． 22. 如图，在中，，以为一边作平行四边形，且，连接交的延长线于点F，，延长交于点G． （1）求证：点A是的中点． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴点A是的中点． （2）20 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，平行四边形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定等等： （1）先由平行四边形的性质得到，再证明四边形是平行四边形，得到，可得，即可证明点A是的中点． （2）过点A作于H，先证明，进而得到，则，再证明，得到，设，则，解直角三角形得，由平行四边形的性质得到，则，解得，即可得到． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图所示，过点A作于H， ∵， ∴， ∴， ∵点A是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得， ∴． 23. 为促进销售，某地水果种植户借助网络平台，在线下批发的基础上同步网络零售水果．已知销售相同数量的水果，网络零售的销售额为450元，线下批发销售额为300元，且网络零售的单价比线下批发的单价贵15元． （1）求网络零售和线下批发水果的单价分别为每千克多少元？ （2）该种植户某天网络零售和线下批发共销售水果100千克，且网络销售的数量低于线下批发数量的2倍，设网络零售a（a为正整数）千克，获得的总销售额为W元．请写出W与a之间的函数关系式，并求出当网络销售水果的数量为多少时，当天所获得的总销售额最大？最大销售额是多少？ 【答案】（1）网络零售水果的单价为45元，线下批发水果的单价为30元 （2）；出当网络销售水果的数量为66千克时，当天所获得的总销售额最大，最大销售额是3990元 【解析】 【分析】（1）设线下批发的单价为元/千克，根据“销售相同数量的水果”为等量关系列分式方程解题即可； （2）设网络零售千克，根据“网络销售的数量低于线下批发数量的2倍，”列出不等式，利用一次函数的增减性解题即可． 【小问1详解】 设线下批发的单价为元/千克，网络零售单价为元/千克． 解得 经检验，是分式方程的解 答：网络零售水果的单价为45元，线下批发水果的单价为30元． 【小问2详解】 设网络零售千克，线下批发千克． ， 解得：且为正整数． ， 且a为正整数， 当时，最大，此时（元）， 答：与之间的函数关系式为：；出当网络销售水果的数量为66千克时，当天所获得的总销售额最大，最大销售额是3990元． 【点睛】本题考查一次函数和分式方程的应用，能正确理解题意，列出方程和关系式是解题的关键． 24. 已知抛物线与x轴交于，两点，y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，P为直线下方抛物线上一点，于点Q，当长度最大时，求点P的坐标： （3）如图2，过点分别作直线交抛物线于点E、F，直线（，且）交抛物线于点G、H，点M、N分别为线段、的中点，．求证：直线必经过一定点，并求该定点坐标． 【答案】（1） （2） （3） 证明：点在直线上， ， ， 直线， 直线交抛物线于点E、F， 联立， 整理得：， ， 点M为线段的中点， ， 将代入直线，则， ， 同理可得：， 设直线的解析式为， 则，解得：， ， ， 直线的解析式为， 当时，， 直线必经过一定点，该定点坐标为． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）先求得直线的函数解析式为，设与直线平行的直线的函数解析式为，由题意，当直线与抛物线相切时，长度最大，此时点P为切点．联立方程组得，由根的判别式列方程求得，进而求得方程的解即可； （3）将点代入直线解析式，进而得出直线，联立抛物线与直线，利用一元二次方程根和系数的关系，得到，进而得到的中点的横坐标，从而得到点，同理可得，利用待定系数法求出直线的解析式为，即可得到直线必经过定点坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，两点，y轴交于点． ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的函数解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设与直线平行的直线的函数解析式为， ∵， ∴当直线与抛物线相切时，长度最大，此时点P为切点． 联立方程组，整理，得， 则，解得， ∴方程为，即， 解得，此时， ∴点P坐标为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数和直线的交点问题，待定系数法求函数解析式，一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系等知识，题目较难，计算量大，利用数形结合的思想解决问题是关键． 25. 我们不妨约定：如果一个函数的图象上存在关于轴对称的两点，那么我们称这样的对称点为“欣妮对”，这样的函数为“对称函数”． （1）判断函数（，为常数）是否为“对称函数”，并说明理由． （2）若关于的函数是“对称函数”，且仅有一组“欣妮对”，求的值． （3）已知“对称函数”经过点，且与经过原点的直线交于、两点（点、不与点重合），过点（其中）作轴的平行线，分别交直线，于点，，是否存在常数，使恒成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当时，函数是“对称函数”；当时，函数不是“对称函数”，理由见解析 （2）或 （3）存在常数，使恒成立 【解析】 【分析】（1）分析和两种情况，结合“对称函数”的定义分析即可得解； （2）设点为函数图象上的一点，点为点关于轴的对称点，则点的坐标为，根据题意可得，结合函数仅有一组“欣妮对”可得，该方程有一个正根和一个负根或者两个相等的正根．当方程有两个相等的正根时，由可得，经过验证符合题意；方程有一个正根和一个负根，由根与系数的关系可得，则，经验证也符合； （3）根据题意容易求出函数解析式为，设直线的解析式为，点的坐标为，点的坐标为，联立抛物线与直线可得，由根与系数的关系可得，．使用待定系数法可求得直线的函数解析式为，进而求出点的坐标为，则，同理可得，．容易证明，则，代入并化简可得，解得（舍正根）． 【小问1详解】 解：①当时，，此时函数的图象关于轴对称，故此时函数是“对称函数”； ②当时， 当时，随着的增大而增大， ∴函数的图象上不存在两点关于轴对称， 当时，随着的增大而减小， ∴函数的图象上不存在两点关于轴对称， ∴函数不是“对称函数”； 综上所述，当时，函数是“对称函数”；当时，函数不是“对称函数”； 【小问2详解】 解：设点为函数图象上的一点，点为点关于轴的对称点， ∴点的坐标为， 由题意可知，点在函数的图象上， ∴，且， 整理，得， ∵函数图象上仅有一组“欣妮对”， ∴该方程有一个正根和一个负根或者两个相等的正根， ①当方程有两个相等的正根时， ， 解得， 此时原方程为， 解得，符合题意； ②当方程有一个正根和一个负根时， 由根与系数的关系可得， ， 解得， 此时，符合题意； 综上所述，的值为或； 【小问3详解】 解：∵是“对称函数”， ∴的对称轴为轴， ∴，即， 又∵经过点， ∴， ∴抛物线的解析式为， 如图， 设直线的解析式为，点的坐标为，点的坐标为，且点在点的左侧， ∵点、不与点重合， ∴，且， 联立抛物线与直线，得， ， 消去，得， 判别式， ∴方程有两个不等实根， 由根与系数的关系可得，，， 设直线的函数解析式为， 将点代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， ∵轴， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， 化简，得， 解得或， ∵， ∴， ∴存在常数，使恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期九年级开学收心练习 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1—9题为单选，10题为多选，请在答题卡中填涂符合题意的选项） 1. 在实数，，，中，有理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 某桑蚕丝的直径约为米，将用科学记数法表示是（　　） A. B. C. D. 3. 已知样本数据：3，2，1，7，2，下列说法不正确的是（ ） A. 平均数是3 B. 中位数是1 C. 众数是2 D. 方差是4.4 4. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 喜迎国庆佳节，某商品原价300元，连续两次降价后售价为225元，下列所列方程中，正确的是（     ） A. B. C. D. 6. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根,则式子的值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的表达式为（为常数），当时，，在自变量满足的取值范围时，对应函数值的最小值为，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 平面直角坐标系中，P点坐标为，且实数m，n满足，则点P到原点O的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知整式，其中，，，均为整数，，且，下列结论：①满足条件的整式M中至少有2个单项式；②若，则方程一定有实数解；③若，则满足条件的整式M共有5个；④若，则方程至少有一个正实数解，其中说法正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①；②若，为方程的两个根，则；③；④若抛物线与x轴的两交点和其顶点组成的三角形顶角为，则．其中正确的有（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是____________． 12. 将抛物线_______向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到抛物线的解析式为． 13. 如图，在平行四边形中，，，是锐角，于点E，F是的中点，连结．若，则的长为__________． 14. 飞机着陆时速度快，通常借助直道滑行一段距离来保持飞机稳定．据统计某飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行________才能停下来． 15. 如图，在矩形中，，点P为边上的一个动点，线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，．当点落在边上时，的值为_______；当线段的长度最小时，的度数为_______． 16. 如图，抛物线与直线经过点，且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点；点N在线段上，过点N的直线交抛物线于点M，且轴；当点N在线段上移动时（不与A、B重合），当时，a的取值范围是________． 三、解答题（本大题共9个小题．第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. （1）解方程：． （2）先化简，再求值：，其中x满足方程：． 19. 方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 20. 一分钟跳绳不仅是学生体质测试的重要项目之一，也是近年来中考体育的重要考试选项之一．某校为了解八年级学生一分钟跳绳情况，现从八年级学生中随机抽取了部分学生进行一分钟跳绳测试，这些学生的成绩记为x（跳绳个数），对数据进行整理，将所得的数据分为5组：（A组：；B组：；C组：；D组：：E组：，对数据进行分析后，得到如下部分信息： Ⅰ．被抽取的学生的跳绳个数频数分布直方图 被抽取的学生的跳绳个数扇形统计图 Ⅱ．被抽取的学生的跳绳个数在C组的数据是：191，195，197，197，197，197． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽查的学生人数是______人； （2）补全频数分布直方图； （3）八年级被抽取的学生跳绳个数的中位数为______； （4）若该校八年级选择跳绳项目的学生有600名，估计年级学生跳绳个数不少于200个的人数． 21. 如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且过点． （1）求抛物线表达式； （2）如图，点为抛物线在轴左侧的一个动点，过点作轴，交直线于点，交轴于点，连接，，，若时，求点的坐标． 22. 如图，在中，，以为一边作平行四边形，且，连接交的延长线于点F，，延长交于点G． （1）求证：点A是的中点． （2）若，，求的长． 23. 为促进销售，某地水果种植户借助网络平台，在线下批发的基础上同步网络零售水果．已知销售相同数量的水果，网络零售的销售额为450元，线下批发销售额为300元，且网络零售的单价比线下批发的单价贵15元． （1）求网络零售和线下批发水果的单价分别为每千克多少元？ （2）该种植户某天网络零售和线下批发共销售水果100千克，且网络销售的数量低于线下批发数量的2倍，设网络零售a（a为正整数）千克，获得的总销售额为W元．请写出W与a之间的函数关系式，并求出当网络销售水果的数量为多少时，当天所获得的总销售额最大？最大销售额是多少？ 24. 已知抛物线与x轴交于，两点，y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，P为直线下方抛物线上一点，于点Q，当长度最大时，求点P的坐标： （3）如图2，过点分别作直线交抛物线于点E、F，直线（，且）交抛物线于点G、H，点M、N分别为线段、的中点，．求证：直线必经过一定点，并求该定点坐标． 25. 我们不妨约定：如果一个函数的图象上存在关于轴对称的两点，那么我们称这样的对称点为“欣妮对”，这样的函数为“对称函数”． （1）判断函数（，为常数）是否为“对称函数”，并说明理由． （2）若关于的函数是“对称函数”，且仅有一组“欣妮对”，求的值． （3）已知“对称函数”经过点，且与经过原点的直线交于、两点（点、不与点重合），过点（其中）作轴的平行线，分别交直线，于点，，是否存在常数，使恒成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $