专题3 长方体和正方体（解决问题讲义）数学青岛版（五四制）五年级上册

专题3 长方体和正方体（解决问题讲义） 1.棱长总和问题： –判断是长方体还是正方体。 –长方体：牢记公式“棱长和 = (长 + 宽 + 高) × 4”。 –正方体：牢记公式“棱长和 = 棱长 × 12”。 2.表面积应用问题（无盖、无底、贴纸、粉刷）： –明确到底要求哪几个面的面积之和。 –无盖（如鱼缸、纸盒）：求5个面的面积（缺少上面）。 –无底（如游泳池贴瓷砖）：求5个面的面积（缺少底面）。 –贴四周（如给长方体柱子贴纸）：只求4个侧面的面积（缺少上、下两个面）。 –粉刷教室：通常是粉刷四周墙壁和顶棚（5个面），减去门窗的面积。 3.体积（容积）问题： –区分体积和容积。 –牢记公式体积（V） = 底面积（S） × 高（h）。 –已知体积反求高或底面积：高（h） = 体积（V） ÷ 底面积（S）； 底面积（S） = 体积（V）÷ 高（h）。 4.熔铸、锻造问题（体积不变）： –抓住核心等量关系：变形前后，物体的体积不变。 –步骤：（1）抓先求出原物体的体积。 （2）新物体的体积 = 原物体的体积。 （3）利用新物体的体积和已知条件，反求其高、长或底面积。 类型1 棱长总和问题 典型例题1： 张亮想按照如图方式，在盒子上扎根带子，另外要剩25厘米用来打蝴蝶结。张亮需要的带子长多少厘米？ 思路分析： 根据图形可知，所需带子的长度等于2条长棱＋两条宽棱＋4条高棱＋打结用的25厘米。由此列式解答。 答题区： 变式训练： 把一根铁丝焊成一个长方体框架，长8米，宽6米，高4米，如果把它焊成一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是多少米？ 类型2 表面积应用问题（无盖、无底、贴纸、粉刷） 典型例题2： 一种无盖水箱，长6分米，宽4分米，高2分米，做这个水箱至少需要多少平方分米的铁皮？（铁皮的厚度忽略不计） 思路分析： 求做这个水箱需要铁皮的面积，就是求这个无盖长方体水箱的表面积，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 答题区： 变式训练： 水族馆的老板制作一个长80厘米，宽20厘米，高60厘米的无盖玻璃鱼缸，至少需要多少平方厘米的玻璃？（接头处忽略不计） 类型3 体积（容积）问题 典型例题3： 小华用一块棱长为4厘米的正方体橡皮泥，捏制成宽4厘米、高2厘米的长方体，捏制成的长方体的长是多少厘米？ 思路分析： 已知正方体橡皮泥的棱长为4厘米，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出橡皮泥的体积； 再把它捏制成的长方体，体积不变，根据长方体体积＝长×宽×高可知，长方体的长＝体积÷宽÷高，代入数据，即可解答。 答题区： 变式训练： 一个游泳池，从里面量长50米、宽20米、深2米。 （1）如果在游泳池中放入0.8米深的水，那么泳池中的水是多少立方米？ （2）如果在游泳池内壁四周和底面抹上一层水泥，每平方米用3千克水泥，一共需要多少千克水泥？ 类型4熔铸、锻造问题（体积不变） 典型例题4： 把一块棱长为6分米的正方体钢坯铸造成一个宽20厘米，高2分米的长方体，长方体的长是多少分米？ 思路分析： 根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出钢坯体积，再根据长方体的长＝体积÷宽÷高，列式解答即可。注意统一单位。 答题区： 变式训练： 有一个长方体容器（如下左图所示），长50厘米、宽30厘米、高20厘米，里面的水深8厘米。 （1）长方体容器中水的体积是多少？ （2）当容器竖起来放置以后（如上右图所示），水深多少？ A夯实基础 1．四位同学分别画了一个长方体的三条棱，不能确定长方体的形状和大小的是（    ）。 A． B． C． D． 2．快递公司的李叔叔正在包装一件商品。他先用长方体纸箱把商品包装好，再用胶带粘起来（如图），求一共要用胶带多少厘米？（接头处忽略不计）以下算式正确的是（    ）。 A．13×8＋15×6＋25×2 B．13×6＋15×4＋25×2 C．13×4＋15×4＋25×2 D．13×6＋15×4＋25×4 3．用3块棱长是1厘米的小正方体木块，拼成一个长方体。这个长方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．18 B．16 C．14 D．12 4．一个长2米、宽20分米、高3米木箱平放在地面上，占地面积至少是（    ）。 A．6立方米 B．6平方米 C．4平方米 D．40平方米 5．如图，在一个长方体中挖掉一个正方体，与原长方体相比，（    ）。 A．体积、表面积都不变 B．体积减少，表面积增加 C．体积不变，表面积减少 D．体积减少，表面积不变 6．爸爸带乐乐和天天一起去海边捡贝壳，乐乐捡到一个海螺，天天捡到一个海星，他们想要比一比谁的体积大，于是他们做了如图的实验，体积较大的是（    ）。 A．海螺 B．海星 C．一样大 D．无法比较 7．一个正方体的棱长是2厘米，如果把棱长扩大到原来的2倍，这个正方体的体积是（    ）立方厘米。 A．16 B．24 C．64 D．128 8．一个长方体的长是8厘米，宽是5厘米，高是2厘米，这个长方体的体积是（    ）立方厘米。 A．80 B．40 C．20 D．16 9．一个长、宽、高分别是50cm、40cm、30cm的纸箱，在所有的棱长上粘上一圈胶带，至少需要( )cm的胶带。 10．学校开展“关爱生命，保护小动物”主题活动。明明准备给救助站的一只受伤的小鸟做一个鸟窝，他用铁丝围一个长5.5dm，宽3.5dm，高7dm的长方体框架，至少需要铁丝( )dm。 11．用长36厘米长的铁丝做成一个正方体框架（接头处忽略不计），这个正方体的表面积是( )平方厘米。 12．一个长是8米，宽和高都是2米的长方体，把它分成两部分（如图所示），表面积增加了( )平方米。 13．把150升的水倒入一个长15分米，宽40厘米的长方体水槽内，正好倒满，没有水溢出，这个水槽深( )分米。 14．一个长方体盒子，底面积28平方厘米，高6厘米，这个盒子的体积是( )立方厘米。 15．一个长方体的长是5厘米，宽是4厘米，高是3厘米，它的棱长总和是( )厘米，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 16．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，从里面测量长6分米、宽4.5分米、高4分米。缸内现在水深2.5分米，鱼缸里现有( )升水。 17．计算下列图形的表面积和体积。 B培优拔高 18．把一块体积为0.6立方分米的钢坯锻造成长15分米，宽4分米的长方体钢板，钢板有多厚？ 19．光明学校游泳池长40米，宽25米，深2米，要把游泳池四周及底面贴上瓷砖。 （1）一共需要贴多少平方米的瓷砖？ （2）为了学生的安全，游泳池的水位设定为1.2米，需要向水池注入多少立方米的水？ 20．一个密封的玻璃缸，从里面量长是12分米，宽是3分米，高是6分米。现在缸内的水深5分米。 （1）制作一个这样的玻璃缸至少需要多少玻璃？ （2）如果将这个玻璃缸竖起来放（如图），那么玻璃缸内的水深多少分米？ 21．一个游泳池长50米，宽26米，深2米，要把游泳池四周及底面贴上瓷砖。 （1）一共需要贴多少平方米的瓷砖？ （2）为了学生的安全，游泳池的水位设定为1.2米，需要向水池注入多少立方米的水？ 22．李叔叔打算做一个长60厘米、宽30厘米、高40厘米的无盖玻璃鱼缸（鱼缸厚度忽略不计）。 （1）至少准备多少平方厘米的玻璃？ （2）李叔叔向鱼缸里倒入了30厘米深的水，这些水有多少升？ （3）为了给鱼儿一个舒适的生活环境，李叔叔又向鱼缸里放入2700立方厘米的水草和碎石（完全浸没水中）。鱼缸里的水面会升高多少厘米？ 23．一个密封的玻璃缸从里面量长16分米，宽是4分米，高是8分米，现在缸内的水深6分米。（图1） （1）制作一个这样的玻璃缸至少需要多少平方分米的玻璃？ （2）这个玻璃缸内装了多少升水？ （3）如果将这个玻璃缸竖起来放（图2），那么玻璃缸内水深多少分米？ C思维拓展 24．一个长方体的玻璃缸，从里面量长，宽，高，水深。如果投入一块棱长为的正方体铁块（如图），缸里的水溢出多少升？     25．如图，有一个长方体容器，高24厘米，其中在一个侧面距离上表面4厘米处有一个边长是3厘米的正方形开口。冯叔叔往容器里倒水，直到水面不再上升，然后将容器倒过来摆放，水会减少780毫升。这个容器里最初被倒入多少毫升的水？ 26．李师傅要为学校制作一个颁奖台，探探小组的同学已经帮他设计好了。这个颁奖台是由三个长方体合并而成的，把它的前面，后面涂黄色油漆，其他露出来的面涂红色油漆。（下底面不涂） ①涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少平方米？ ②这个颁奖台的体积是多少立方米？ 27．如图（1）所示，长方体容器的底面是边长为50厘米的正方形，容器内竖直放着一根长方体铁块，这个长方体铁块的底面是边长20厘米的正方形，高80厘米，水面高30厘米。如图（2）所示，把这个铁块提起使得铁块底距离容器底21厘米，此时露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长是多少厘米？ 答案解析 类型1 答案解析 典型例题1： 答题区：12×2＋8×2＋3×4＋25 ＝24＋16＋12＋25 ＝40＋12＋25 ＝52＋25 ＝77（厘米） 答：张亮需要的带子长77厘米。 变式训练答案： 【分析】根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，求出这个长方体的棱长总和，也就是铁丝的长度；焊成一个正方体，正方体的棱长总和等于长方体棱长总和，根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，即可解答。 【解答】（8＋6＋4）×4÷12 ＝（14＋4）×4÷12 ＝18×4÷12 ＝72÷12 ＝6（米） 答：正方体框架的棱长是6米。 类型2 答案解析 典型例题2： 答题区：6×4＋（6×2＋4×2）×2 ＝24＋（12＋8）×2 ＝24＋20×2 ＝24＋40 ＝64（平方分米） 答：做这个水箱至少需要64平方分米的铁皮。 变式训练答案： 【分析】无盖玻璃鱼缸有5个面，至少需要的玻璃面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此列式解答。 【解答】80×20＋80×60×2＋20×60×2 ＝1600＋9600＋2400 ＝13600（平方厘米） 答：至少需要13600平方厘米的玻璃。 类型3 答案解析 典型例题3： 答题区：4×4×4＝64（立方厘米） 64÷4÷2 ＝16÷2 ＝8（厘米） 答：捏制成的长方体的长是8厘米。 变式训练答案： 【分析】（1）把游泳池中的水看作一个长方体，长方体的长是50米，宽是20米，高是0.8米，利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出游泳池中水的体积； （2）先求出需要抹水泥的面积，即长方体的表面积，因为只抹内壁四周和底面，所以只需要计算长方体5个面的面积，长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，据此求出需要抹水泥的面积，最后乘每平方米需要水泥的质量，即可求得。 【解答】（1）50×20×0.8 ＝1000×0.8 ＝800（立方米） 答：泳池中的水是800立方米。 （2）50×20＋（50×2＋20×2）×2 ＝50×20＋（100＋40）×2 ＝50×20＋140×2 ＝1000＋280 ＝1280（平方米） 1280×3＝3840（千克） 答：一共需要3840千克水泥。 类型4 答案解析 典型例题4： 答题区：20厘米＝2分米 6×6×6÷2÷2 ＝216÷2÷2 ＝54（分米） 答：长方体的长是54分米。 变式训练答案： 【分析】（1）长方体容器的长×宽×水深＝水的体积，据此列式解答； （2）根据水深＝水的体积÷容器底面积，列式解答即可。 【解答】（1）50×30×8＝12000（立方厘米） 答：长方体容器中水的体积是12000立方厘米。 （2）12000÷（30×20） ＝12000÷600 ＝20（厘米） 答：水深20厘米。 A夯实基础 1．A 【分析】长方体有12条棱，分为3组，每组4条棱长度相等，分别为长、宽、高。要确定长方体的形状和大小，需要明确长方体的长、宽、高这三组棱的长度。需要分析每个选项中所画的三条棱是否能确定长、宽、高。 【解答】A．所画的三条棱，无法明确是长、宽、高中的哪三组，不能确定三条不同方向的棱（长、宽、高），也就不能确定长方体的形状和大小。 B．三条棱，可分别作为长方体的长、宽、高，能确定长方体的形状和大小。 C．三条棱，可分别作为长方体的长、宽、高，能确定长方体的形状和大小。 D．三条棱，可分别作为长方体的长、宽、高，能确定长方体的形状和大小。 只有选项A不能明确给出长方体的长、宽、高，无法确定其形状和大小。 故答案为：A 2．B 【分析】观察图形，数出胶带覆盖的各条棱的数量。长方体有3组棱（长、宽、高），对应长度为25cm（长）、13cm（宽）、15cm（高）。宽：胶带覆盖6条宽（上下各2条，左右各1条）。高：胶带覆盖4条高（前后各2条）。长：胶带覆盖2条长（前后各1条）。再根据“棱长×数量”计算总长度。 【解答】每条棱长度×数量，可列式为：13×6＋15×4＋25×2。 故答案为：B 3．C 【分析】用3块棱长是1厘米的小正方体木块拼成长方体，能拼成一个长3厘米、宽1厘米、高1厘米的长方体（或长1厘米，宽1厘米，高3厘米，但表面积都相同）。根据长方体表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2（a为长，b为宽，h为高），把数据代入公式计算即可。 【解答】能拼成一个长3厘米、宽1厘米、高1厘米的长方体。 （3×1＋3×1＋1×1）×2 ＝（3＋3＋1）×2 ＝7×2 ＝14（平方厘米） 拼成的长方体表面积是14平方厘米。 故答案为：C 4．C 【分析】因为1米＝10分米，所以20分米是20÷10＝2米。这个长方体有三组不同的面，面积分别为：长×宽：2×2＝4平方米；长×高：2×3＝6平方米；宽×高：2×3＝6平方米。占地面积就是这个长方体与地面接触的面的面积，要找至少的占地面积，就是找最小的面的面积。 【解答】1米＝10分米 20÷10＝2（米） 2×2＝4（平方米） 2×3＝6（平方米） 2×3＝6（平方米） 4＜6 所以占地面积至少是4平方米。 故答案为：C 5．D 【分析】体积是指物体所占空间的大小。原长方体的体积是其自身所占空间的大小，挖掉一个正方体后，长方体所占空间减少了正方体的体积，因此体积减少。 表面积是指物体所有面的面积之和。挖掉正方体时，会减少3个正方体面的面积，因为是在顶点挖掉正方体，同时也会新增3个正方体面的面积。所以表面积不变。 【解答】挖掉一个正方体后，长方体所占空间减少了正方体的体积。 挖掉正方体时，减少3个正方体面的面积，同时也新增3个正方体面的面积。 所以根据题意图形所示，在一个长方体中挖掉一个正方体，与原长方体相比体积减少，表面积不变。 故答案为：D 6．A 【分析】放入海螺后，水面从6上升到9.8，则海螺使水面上升的高度为9.8－6＝3.8。放入海星后，水面从9.8上升到13.5，则海星使水面上升的高度为13.5－9.8＝3.7。因为是同一个长方体容器，底面积相同，根据V＝S×h（V是体积，S是底面积，h是高），在S相同的情况下，h越大，体积越大。 【解答】9.8－6＝3.8 13.5－9.8＝3.7 3.8＞3.7 所以体积较大的是海螺。 故答案为：A 7．C 【分析】根据题意，先用原来正方体的棱长乘2，求出扩大后正方体的棱长；再根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算，求出扩大后正方体的体积。 【解答】2×2＝4（厘米） 4×4×4＝64（立方厘米） 这个正方体的体积是64立方厘米。 故答案为：C 8．A 【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，已知这个长方体的长为8厘米，宽为5厘米，高为2厘米。把数据代入公式计算即可解答。 【解答】8×5×2＝80（立方厘米） 这个长方体的体积是80立方厘米。 故答案为：A 9．480 【分析】求胶带的长相当于求长方体棱长总和，根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，列式计算即可。 【解答】（50＋40＋30）×4 ＝120×4 ＝480（cm） 至少需要480cm的胶带。 10．64 【分析】根据题意，用铁丝围成一个长方体框架，求铁丝的长度，就是求长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算求解。 【解答】（5.5＋3.5＋7）×4 ＝16×4 ＝64（dm） 至少需要铁丝64dm。 11．54 【分析】正方体有12条长度相等的棱，用36厘米长的铁丝做正方体框架，意味着铁丝总长等于正方体12条棱的长度之和。因此，正方体的棱长＝铁丝总长÷12，即：36÷12＝3（厘米）。正方体的表面积公式为：S＝6a2（a为棱长）。把棱长3厘米代入公式计算即可。 【解答】正方体有12条长度相等的棱。 36÷12＝3（厘米） 6×32 ＝6×9 ＝54（平方厘米） 这个正方体的表面积是54平方厘米。 12．8 【分析】从图中可知，分割后增加的截面是边长为2米的正方形（因为长方体宽和高都是2米）。增加了2个这样的正方形截面，一个截面面积是2×2＝4平方米，那么增加的总面积是4×2＝8平方米。 【解答】分割后增加的截面是边长为2米的正方形。 2×2×2＝8（平方米） 表面积增加了8平方米。 13．2.5 【分析】长方体水槽的长是15分米，宽是40厘米，因为1分米＝10厘米，所以40厘米为40÷10＝4分米。把150升的水倒入长方体水槽，1升＝1立方分米，所以150升＝150立方分米。 根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，可得高（水槽深度）＝体积÷长÷宽，体积150立方分米，长为15分米，宽为4分米，把数据代入公式计算即可解答。 【解答】1分米＝10厘米 40÷10＝4（分米） 1升＝1立方分米 150升＝150立方分米 150÷15÷4＝2.5（分米） 这个水槽深2.5分米。 14．168 【分析】长方体体积＝底面积×高，将数据代入公式求出这个盒子的体积即可。 【解答】28×6＝168（立方厘米） 所以，这个盒子的体积是168立方厘米。 15．48 94 60 【分析】已知长方体长5厘米，宽4厘米，高是3厘米，根据公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，体积＝长×宽×高，把数据代入计算即可。 【解答】（5＋4＋3）×4 ＝12×4 ＝48（厘米） （5×4＋5×3＋4×3）×2 ＝（20＋15＋12）×2 ＝47×2 ＝94（平方厘米） 5×4×3＝60（立方厘米） 它的棱长总和是48厘米，表面积是94平方厘米，体积是60立方厘米。 16．67.5 【分析】鱼缸从里面测量的长是6分米、宽是4.5分米，缸内水深2.5分米，即水形成的长方体的长为6分米，宽为4.5分米，高为2.5分米。根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，把数据代入计算即可。 【解答】6×4.5×2.5＝67.5（立方分米） 1立方分米＝1升 67.5立方分米＝67.5升 鱼缸里现有67.5升水。 17．392平方厘米，480立方厘米；96平方分米，64立方分米 【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此列式计算。 【解答】（12×5＋12×8＋5×8）×2 ＝（60＋96＋40）×2 ＝196×2 ＝392（平方厘米） 12×5×8＝480（立方厘米） 4×4×6＝96（平方分米） 4×4×4＝64（立方分米） 长方体的表面积是392平方厘米，体积是480立方厘米；正方体的表面积是96平方分米，体积是64立方分米。 B培优拔高 18．0.01分米 【分析】根据长方体的体积公式：V＝Sh，用钢板体积除以长方体的底面积即可求出钢板的厚度。 【解答】0.6÷（15×4） ＝0.6÷60 ＝0.01（分米） 答：钢板有0.01分米厚。 19．（1）1260平方米 （2）1200立方米 【分析】（1）贴瓷砖的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此列式解答； （2）水位相当于长方体的高，根据长方体体积＝长×宽×高，求出注入的水的体积。 【解答】（1）40×25＋40×2×2＋25×2×2 ＝1000＋160＋100 ＝1260（平方米） 答：一共需要贴1260平方米的瓷砖。 （2）40×25×1.2＝1200（立方米） 答：需要向水池注入1200立方米的水。 20．（1）252平方分米 （2）10分米 【分析】（1）求制作一个这样的玻璃缸至少需要多少玻璃，就是求长方体玻璃缸的表面积。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此代入数据计算。 （2）玻璃缸中水的形状是长方体，水的体积＝长×宽×水深，据此代入数据求出水的体积。将这个玻璃缸竖起来放，长变为3分米，宽变为6分米，但水的体积不变。根据长方体的体积公式，用水的体积除以现在的长和宽，即可求出现在的水深。 【解答】（1）（12×3＋12×6＋3×6）×2 ＝（36＋72＋18）×2 ＝126×2 ＝252（平方分米） 答：制作一个这样的玻璃缸至少需要252平方分米的玻璃。 （2）12×3×5＝180（立方分米） 180÷3÷6 ＝60÷6 ＝10（分米） 答：玻璃缸内的水深10分米。 21．（1）1604平方米 （2）1560立方米 【分析】（1）游泳池的四周及底面要贴瓷砖，上面不用贴，因此瓷砖面积等于游泳池除上面以外的五个面的面积，即长×宽＋（长×高＋宽×高）×2。 （2）注入水池的水形成一个长方体，其体积可以用水池底面积乘水位高度解答。 【解答】（1）50×26＋（50×2＋26×2）×2 ＝1300＋152×2 ＝1300＋304 ＝1604（平方米） 答：一共需要贴1604平方米的瓷砖。 （2）底面积：50×26＝1300（平方米） 体积：1300×1.2＝1560（立方米） 答：需要向水池注入1560立方米的水。 22．（1）9000平方厘米 （2）54升 （3）1.5厘米 【分析】（1）求无盖的长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃的面积，就是求长方体的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算即可。 （2）已知鱼缸里有30厘米深的水，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出鱼缸里水的体积，再根据进率“1升＝1000立方厘米”换算单位即可。 （3）已知向鱼缸里放入2700立方厘米的水草和碎石，那么水面会上升，水上升部分的体积等于放入的水草和碎石的体积；根据长方体的高＝体积÷（长×宽），即可求出水面上升的高度。 【解答】（1）60×30＋60×40×2＋30×40×2 ＝1800＋4800＋2400 ＝9000（平方厘米） 答：至少准备9000平方厘米的玻璃。 （2）60×30×30 ＝1800×30 ＝54000（立方厘米） 54000立方厘米＝54升 答：这些水有54升。 （3）2700÷（60×30） ＝2700÷1800 ＝1.5（厘米） 答：鱼缸里的水面会升高1.5厘米。 【点评】（1）关键是弄清无盖长方体玻璃鱼缸缺少哪个面，需要求哪几个面的面积，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。 （2）掌握并运用长方体的体积公式以及体积、容积单位的进率进行解答。 （3）理解水上升部分的体积等于放入物体的体积，灵活运用长方体的体积公式解答。 23．（1）448平方分米 （2）384升 （3）12分米 【分析】（1）求制作一个这样的玻璃缸至少需要多少平方分米的玻璃，就是求长方体玻璃缸的表面积；根据长方体的表面积公式S＝2（ab＋ah＋bh），代入数据计算求解。 （2）根据长方体的体积（容积）公式V＝abh，以及进率“1立方分米＝1升”，即可求出这个玻璃缸内装了多少升水。 （3）密封的玻璃缸无论正放还是竖放，缸内水的体积不变；根据长方体的体积公式V＝Sh可知，水深h＝V÷S，代入数据计算即可求出竖放时玻璃缸内水的深度。 【解答】（1）（16×4＋16×8＋4×8）×2 ＝（64＋128＋32）×2 ＝224×2 ＝448（平方分米） 答：制作一个这样的玻璃缸至少需要448平方分米的玻璃。 （2）16×4×6 ＝64×6 ＝384（立方分米） 384立方分米＝384升 答：这个玻璃缸内装了384升水。 （3）384÷（8×4） ＝384÷32 ＝12（分米） 答：玻璃缸内水深12分米。 【点评】本题考查长方体的表面积公式、长方体的体积（容积）公式的灵活运用。 C思维拓展 24．40升 【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，长方体的容积（体积）公式：V＝abh，用长方体玻璃缸内水的体积加上正方体的铁块的体积减去长方体玻璃缸的容积，即可求出溢出水的体积。 【解答】4×4×4＋6×5×3.2－6×5×4 ＝64＋96－120 ＝160－120 ＝40（立方分米） 40立方分米＝40升 答：缸里的水溢出40升。 【点评】此题主要考查正方体的体积公式、长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 25．1020毫升 【分析】由题意可知，水位到达正方形开口下面时水面不再上升，正放时水的高度为（24－4－3）厘米，倒放时水的高度为4厘米，则水减少的高度为（24－4－3－4）厘米，水减少的体积为780立方厘米，由“长方体的体积＝底面积×高”可知，容器的底面积＝水减少的体积÷水减少的高度，这个容器里最初被倒入水的体积＝容器的底面积×正放时水的高度，据此解答。 【解答】正放时水的高度：24－4－3 ＝20－3 ＝17（厘米） 倒放时水的高度：4厘米 水减少的高度：17－4＝13（厘米） 780毫升＝780立方厘米 容器的底面积：780÷13＝60（平方厘米） 最初水的体积：60×17＝1020（立方厘米） 1020立方厘米＝1020毫升 答：这个容器里最初被倒入1020毫升的水。 【点评】本题主要考查长方体体积的计算，理解容器正放和倒放时水位的变化情况并根据减少水的体积求出容器的底面积是解答题目的关键。 26．涂黄色油漆面积是6.48平方米；涂红色油漆的面积是3.6平方米； 颁奖台的体积是1.944立方米 【分析】根据题意，需结合图形结构，拆分计算各部分面积与体积：黄色油漆（前、后面）：前、后面形状相同，均由长120厘米、高分别为90厘米、120厘米、60厘米的三个长方形组成，先算一个面的面积，再乘2，最后换算单位。 红色油漆（其他露出面）：包括上面（3个长120厘米、宽60厘米的长方形）和侧面（2个长120厘米、宽60厘米的长方形），求和后换算单位。 体积：三个长方体体积之和，利用V＝长×宽×高计算，最后换算单位。 【解答】单位换算基础（1平方米＝10000平方厘米，1立方米＝1000000立方厘米） （1）黄色油漆面积（前、后面）： 一个前面面积： 120×（90＋120＋60） ＝120×270 ＝32400（平方厘米） 前、后面总面积：32400×2＝64800（平方厘米） 换算为平方米：64800÷10000＝6.48（平方米） 红色油漆面积（其他露出面）： 上面面积： 120×60×3 ＝7200×3 ＝21600（平方厘米） 侧面面积＝ 60×120×2＝14400（平方厘米） 红色油漆总面积＝ 21600＋14400＝36000（平方厘米） 换算为平方米：36000÷10000＝3.6（平方米） 答：涂黄色油漆的面积是6.48平方米，红色油漆的面积是3.6平方米。 （2）体积计算： 120×60×（90＋120＋60） ＝120×60×270 ＝7200×270 ＝1944000（立方厘米） 换算为立方米：1944000÷1000000＝1.944（立方米） 答：这个颁奖台的体积是1.944立方米。 【点评】解决组合体问题，需明确各面的组成与尺寸，利用长方形面积公式和长方体体积公式，结合单位换算求解，核心是对组合体结构的拆分与公式的应用。 27．25厘米 【分析】铁块往上提时水面会下降，填充由于铁块提起而空出部分的体积，即下降部分水的体积等于铁块21厘米高度的体积，用这部分体积除以下降部分水的底面积（容器底面积－铁块底面积）可以得到水面下降的高度。露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长，等于提出的21厘米加上水面下降的高度。 【解答】下降水的体积：20×20×21 ＝400×21 ＝8400（立方厘米） 下降水的底面积：50×50－20×20 ＝2500－400 ＝2100（平方厘米） 下降高度：8400÷2100＝4（厘米） 露出的浸湿高度：21＋4＝25（厘米） 答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长是25厘米。 【点评】本题关键是明确下降部分水的体积等于铁块21厘米高度的体积，同时还需要注意，下降部分水的底面积是容器底面积与铁块底面积的差。 学科网（北京）股份有限公司 $$