专题02 数轴与动点问题（期中真题汇编，湖北专用）七年级数学上学期人教版2024

专题02 数轴与动点问题 1．(24-25七上·湖北武汉经开区·期中)一条河流从西向东经过某城市，依次有三个渡口A，O，B，以O为原点，东为正，画数轴，A在O西面，B在O东面，数轴上点对应的数分别是，河中流水速度为． (1)、的值是________，、两点之间的距离是______． (2)如图，船、分别从渡口、同时出发向东运动，船在静水中的速度是每小时3千米，船在静水中的速度是5公里/小时，当运动时间为9小时，求之间的距离？ (3)在（2）的条件下，船从渡口与船、同时出发沿数轴向东运动，船在静水中的速度是每小时千米，若在运动过程中，的值与运动的时间无关，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用等知识． （1）根据题意得到数轴上点A、B分别表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可得到答案； （2）先分别求出运动时间为9小时，点表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可得到答案； （3）分别表示出运动时间后，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为，从而得到，，则，根据的值与运动的时间无关，可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，A在O西面，B在O东面， ，， 、两点之间的距离是， 故答案为：，，； （2）解：由题意得，当运动时间为9小时，船表示的数为：， 船表示的数为：， 之间的距离为； （3）解：船从渡口与船、同时出发沿数轴向东运动，速度是每小时千米， 运动t小时后，点P表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，， ， 的值与运动的时间无关， ， 解得， 在运动过程中，的值与运动的时间无关，的值为． 2．(24-25七上·湖北武汉新洲区阳逻街·期中)（一）自主学习：数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，即：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为． 例：如图，点A、B在数轴上分别对应的数为，2，则． （二）尝试应用：数轴上A、B两点对应的数分别为a、b且a、b满足． （1）直接写出： ． （2）在数轴上有一动点P对应的数为x． ①当点P到A的距离时，直接写出x的值： ． ②当点P到A、B两点的距离和时，求x的值． ③当点P到A、B两点的距离和为定值时，直接写出x的取值范围： ． （三）拓展探究： 在（二）尝试应用的条件下，已知数轴上另有两个点M，N．分别从A，B两点同时出发运动，点M从A点向点B运动，速度为2个单位每秒，到达点B后立即以3个单位每秒的速度返回点A．点N从点B向点A运动，速度为3个单位每秒，到达点A后立即以2个单位每秒的速度返回点B．若数轴上有一点C对应的数为8，O为原点． （3）设时间为t秒，当时，试求出对应的t的值或t的取值范围． 【答案】（1）36；（2）①或；②或30；③；（3）或14或22.8或． 【分析】（1）由非负数的性质可得a和b的值，进而求出； （2）①根据题意用含有x的式子表示出的长度，进而建立方程求解即可； ②分类讨论，当点P在上、A左侧、B右侧，根据线段和差求解即可； ③由②讨论我们发现，当点P在线段上时，为定值； （3）分类讨论，建立方程求解即可． 【详解】解：（1）由题易得，， 解得，， 所以， 故答案为：36； （2）①由题易知， 所以或， 解得或， 故答案为：或； ②由（1）知， 当P在线段上时，，不合题意； 当点P在点A左侧时，如图， 此时， 解得， 所以， 解得； 当点P在点B右侧时，如图， 此时， 解得， 所以， 解得； 综上，x的值为或30； ③由②知，当点P在之间时，，是定值， 此时， 故答案为：； （3）根据题意可知，当点M从A到B时，，M表示的数为，当点M从B到A时，，M表示的数为， 当点N从B到A时，，N表示的数为，当点N从A到B时，，N表示的数为， ①当时，M、N位置如图所示，点M在上，点N在上， ，，，， ∵， ∴， 解得，符合题意； ②当时，M、N位置如图所示，点M在上，点N在上， 此时，，，， ∵， ∴， 解得，不符合题意，舍去； ③当时，M、N位置如图所示，点M、N均在上， 此时，， 满足， 故符合题意； ④当时，M、N位置如图所示，点M在上，点N在上， 此时，，，， ∵， ∴， 解得，不符合题意，舍去； ⑤当时，M、N位置如图所示，点M在上，点N在上， 此时，，，， ∵， ∴， 解得，不符合题意，舍去； ⑥当时，M、N位置如图所示，点M在上，点N在上， 此时，，，， ∵， ∴， 解得，符合题意； ⑦当时，M、N位置如图所示，点M在上，点N在上， 此时，而， 此时满足的t值不存在； ⑧当时，M、N位置如图所示，点M在上，点N在上， 很明显，M与N重合时， ∴， 解得，符合题意； ⑨当时，M、N位置如图所示，点M在上，点N在上， 此时，而， 此时满足的t值不存在； ⑩当时，点M在上，点N在上， 此时，，，， ∵， ∴， 解得，不合题意，舍去； 综上，或14或22.8或． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 3．(24-25七上·湖北武汉洪山区·期中)如图，在数轴上有A，B，M三点，分别表示有理数a，b，m．其中a，b，m满足．已知线段的中点表示的数可以记作，A、B之间的距离为． (1)求a，b，m的值； (2)数轴上的一动点N从A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，当N与B的距离为线段长度的两倍时，求运动时间t，以及此时点N表示的数； (3)有一动点P从表示的点出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，动点Q从表示的点出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动．点P比点Q先出发1秒，设点Q运动的时间为t秒，若线段上至少存在一点T与点A构成线段，当线段的中点在线段（包含端点）上，求t最大值和最小值． 【答案】(1)，， (2)或，N表示的数为0或4 (3)最小为，最大为 【分析】本题主要考查了非负数的性质、数轴上两点间的距离、一元一次方程的应用等知识点，根据题意正确列出一元一次方程以及分类讨论思想成为解题的关键． （1）根据非负数的性质求得a、b、m的值即可解答； （2）先求，得出，解方程后即可求出结论； （3）设线段上有一点T，T点表示的数是x，的中点，根据题意得出，进而列方程分别求出最值即可． 【详解】（1）解：∵且， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， 表示的数为：；又B表示的数为2， ∴， ∴或 表示的数为0或4； （3）解：∵点P表示的数为：，点Q表示的数为：， 设线段上有一点T，T点表示的数是x， ∴的中点， ∵的中点在线段上， ∴在线段上， ∴， ∴， ①最小值：当P点运动到1时，，解得， 当Q点运动到1时，，解得， 因此最小为； ②最大值：当P点运动到5时，，解得， 当Q点运动到5时，，解得， 因此最大为． 4．(24-25七上·湖北武汉青山区·期中)已知A，，三点在数轴上对应的数分别为，，，且，满足：．点到A，两点的距离相等，规定：两点间的距离可用这两点的字母表示，如点A与点之间的距离表示为． (1)则_______，_______，_______． (2)点是数轴上一点，它在数轴上对应的数为，若，求的值； (3)点A以3个单位/秒的速度向右运动，点以1个单位/秒的速度向左运动，点以2个单位/秒的速度向右运动，点从原点出发以个单位/秒的速度运动．点A，，，同时出发，设运动时间为秒，在运动过程中，若总有成立，求的值及点的运动方向． 【答案】(1)，12，4 (2)或； (3)，点的运动方向为向右 【分析】（1）由平方和绝对值的非负性可求出a和b的值，再根据点到A，两点的距离相等，即可求出c的值； （2）根据题意和（1）可分别求出，，即得出，求解即可； （3）设运动时间为秒，则可用含t的式子表示，含t和m的式子表示，结合恒成立，可列出等式，再根据与t的取值无关，求解即可． 【详解】（1）解：因为，，， 所以，， 解得：，， 所以点A和表示的数分别为和12． 因为点到A，两点的距离相等， 所以． （2）解：因为点A和表示的数分别为和12，点P表示的数为x， 所以，． 因为， 所以， 解得：或； （3）解：设运动时间为秒，则秒后点A、和C表示的数分别为、和，点表示的数为， 所以，． 因为， 所以， 所以或， 整理，得：或， 因为恒成立，即说明与t的取值无关， 所以舍去，， 所以， 所以点的运动方向为向右． 【点睛】本题考查非负数的性质，用数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想是解题关键． 5．(24-25七上·湖北武汉东西湖区·期中)［阅读材料］ 在数轴上点表示的数为点表示的数为，则点到点的距离记为，若，线段的长度可以表示为；若，线段的长度可以表示为． ［问题探究］    (1)如图，点A在数轴上表示的数是8，点B在数轴上表示的数是，则______； (2)在（1）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动；同时动点O从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动，设两点的运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)在（1）的条件下，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动；同时点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向点A运动．当点M到达点B后，立即以原速返回，到达点A停止运动，当点N到达点A后，立即速度变为原速的一半返回，到达点B停止运动，请问：当点M运动时间为多少秒时，． 【答案】(1)18 (2)4或14 (3)或5或或 【分析】（1）利用数轴上两点间的距离公式，即可求出的长； （2）当运动时间为秒时，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，根据，可列出关于的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用时间路程速度，可求出各时间节点，当时，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出的值；当时，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值；当时，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出的值． 本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：． 故答案为：18； （2）解：当运动时间为秒时，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：的值为4或14； （3）解：依题意，（秒），（秒），（秒），（秒）． 当时，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是， 根据题意得：， 即或， 解得：或； 当时，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：当点运动时间为或5或或秒时，． 6．(24-25七上·湖北孝感云梦县·期中)已知整式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，在数轴上，A、B两点所对应的数分别是a和b． (1)________，________；A、B两点之间的距离为_______； (2)若点A以每秒4个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，运动t秒钟后，求A、B两点之间的距离；（用含t的代数式表示） (3)在（2）的基础上，与A、B同时，点D从原点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动（若追上点B则运动停止），设运动时间为t秒，在运动过程中，点A与D点之间的距离表示为，点B与点D之间的距离表示为，若的值始终保持不变，求m的值． 【答案】(1)；3；4 (2) (3) 【分析】本题考查了多项式、数轴上两点之间的距离以及动点问题，整式的加减与无关题型，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据多项式的定义，求出、的值，再得出A、B两点之间的距离即可； （2）根据题意，分别表示出点和点对应的数，再求出距离即可； （3）根据题意，分别表示出点、点和点对应的数，进而得到和的长，再根据的值始终保持不变，即可求出m的值． 【详解】（1）解：整式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b， ，， ， A、B两点之间的距离为， 故答案为：；3；4 （2）解：由题意得，运动t秒钟后，点A对应的数为，点B对应的数为， 此时A，B两点之间的距离为； （3）解：由（2）可知：运动t秒钟后，点A对应的数为，点B对应的数为， 点D对应的数为， 点B到D的距离：， 点A到D的距离：， ， 要的值始终保持不变，则， 解得：． 7．(24-25七上·湖北十堰郧西县·期中)如图A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数； (2)在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，同时点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离； (3)在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度． 【答案】(1) (2)14 (3)秒或秒 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，行程问题（一元一次方程的应用），解一元一次方程等知识点，根据行程问题中的等量关系建立方程并求解是解题的关键． （1）根据左减右加即可求得点所对应的数； （2）先根据“时间路程速度”求出运动时间，再根据“路程速度时间”求解即可； （3）分两种情况：运动后的点在点右边个单位长度；运动后的点在点左边个单位长度；分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：， 点所对应的数是； （2）解：运动时间（秒）， ，两点间距离（个单位长度）； （3）解：分两种情况： 运动后的点在点右边个单位长度， 设经过秒，两点相距个单位长度，依题意有： ， 解得：； 运动后的点在点左边个单位长度， 设经过秒，两点相距个单位长度，依题意有： ， 解得：； 经过秒或秒，两点相距个单位长度． 8．(24-25七上·湖北黄石大冶还地桥镇教联体七年级期中考试·期中)问题情境：我们在本期教材中曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示数的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作． (1)独立思考： 数轴上表示和的两点之间的距离是______； 数轴上表示与的两点和之间的距离为，那么为______； (2)实践探究：如图，已知、分别为数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是，现有一只蚂蚁从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁恰好从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右移动． 秒后，点在数轴上所表示的数为______，点在数轴上所表示的数为______，当、两蚂蚁相遇时，即、两点在数轴上表示的数相同，此时可得等式______；用含有的式子表示 求两只蚂蚁在数轴上距离个单位长度时的时间． 【答案】(1)①；②或 (2)①，，；②14或18秒 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）①根据数轴上两点之间的距离公式求解即可；②根据数轴上两点之间的距离公式列绝对值方程求解即可； （2）①根据题意列式表示出点和点在数轴上所表示的数；设两只蚂蚁在数轴上相遇时所用的时间为秒，则，，再列式即可；②设两只蚂蚁在数轴上距离个单位长度时的时间为秒，分两种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，数轴上表示和的两点之间的距离是, 故答案为：4． 由题意可得，， 或， 解得:或． 故答案为：或； （2）解：秒后，点在数轴上所表示的数为，点在数轴上所表示的数为， 设两只蚂蚁在数轴上相遇时所用的时间为秒， 由题意可知，，， 则 ； 设两只蚂蚁在数轴上距离个单位长度时的时间为秒． 分两种情况： 两只蚂蚁相遇前在数轴上距离个单位长度时，， 解得：； 两只蚂蚁相遇后在数轴上距离个单位长度时，， 解得：． 答：两只蚂蚁在数轴上距离个单位长度时的时间为或秒． 9．(24-25七上·湖北随州广水·期中)如图所示，已知数轴上两点对应的数分别为、，点为数轴上任意一点，其对应的数为． (1)的长为__________； (2)当点到点、点的距离相等时，求的值； (3)如果点以每秒个单位长度的速度从点出发沿数轴向右运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达点时，点与同时停止运动．设点的运动时间为秒（）．当点、点与点三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或. 【分析】（）根据数轴上两点距离公式求解即可； （）根据题意结合数轴上两点距离公式列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值； （）由题意可得，，则秒后，点表示的数是，点表示的数是，然后分当时，当时，当时三种情况分析求解即可； 本题主要考查了数轴的应用以及一元一次方程的应用，掌握这些知识点的应用及进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：的长为， 故答案为：； （2）解：根据题意，只有点在点、之间时才有点到点、点的距离相等， ∴， 解得：； （3）解：由题意可得，， ∴秒后，点表示的数是，点表示的数是， 当时，， 解得：或(舍去)； 当时，， 解得：或； 当时，， 解得：或(舍去)； 综上，或或或. 10．(24-25七上·湖北孝感安陆·期中)【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图1，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，，则线段的长（点A到点B的距离）可表示为，请用上面材料中的知识解答下面的问题： 【问题情境】如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点A，再向右移动3个单位长度到达点B，然后再向右移动5个单位长度到达点C． (1)【问题探究】请在图2中表示出A，B，C三点的位置； (2)【问题探究】若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M、N从点B，点C分别以每秒2个单位长度，每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为t秒． ①A，B两点间的距离________； ②用含t的代数式表示t秒时，点P表示的数为________，点M表示的数为________，点N表示的数为________； ③试探究在移动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)见解析 (2)①3；②，，；③不变，其值为24 【分析】本题考查了数轴、整式加减的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）先根据数轴的性质求出点表示的数，再在数轴上表示出它们的位置即可得； （2）①根据数轴的性质求解即可得； ②根据点的运动方向和速度，结合数轴的性质求解即可得； ③根据（2）②的结论可求出，再计算整式的加减即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是． 则在图2中表示出三点的位置如下： ． （2）解：①∵点表示的数是，点表示的数是1， ∴， 故答案为：3； ②∵点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点表示的数为， ∵点从点分别以每秒2个单位长度，每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，，； ③∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴ ， 所以在移动的过程中，的值不随着时间的变化而变化，其值为24． 11．(24-25七上·湖北武汉武昌区·期中)如图，数轴上有三个点，分别表示数，，16，有两条动线段和（点与点重合，点与点重合，且点在点的左边，点在点的左边），，，线段以每秒1个单位的速度从点开始向右匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点开始向右匀速运动．当点运动到点时，线段立即以相同的速度返回；当点回到点时，线段同时停止运动．设运动时间为秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． (1)两线段运动前，点表示的数为______，点表示的数为______． (2)在整个运动过程中，当时，求出点表示的数． (3)在整个运动过程中，当两条线段有重合部分时，速度均变为原来的一半，当重合部分消失后，速度恢复，请直接写出当线段和重合部分长度为1时所对应的的值． 【答案】(1)， (2)当时，点M表示的数是或2； (3)重合部分长度为1时所对应的t的值是5或9或18或20． 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，能用含t的代数式表示点运动后所表示的数． （1）由，，再利用点与点重合，点与点重合，且点在点的左边，点在点的左边可得答案； （2）当时，Q表示的数是，P表示的数是，M表示的数是，，此时，当时，Q表示的数是，P表示的数是，M表示的数是， （3）当从A向C运动时，或，当从C向A运动时，或，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵数轴上有三个点，分别表示数，，16，有两条动线段和（点与点重合，点与点重合，且点在点的左边，点在点的左边），，， ∴对应的数为，对应的数为； （2）解：当时，Q表示的数是，P表示的数是，M表示的数是， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 此时 当时，Q表示的数是，P表示的数是，M表示的数是， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 此时， ∴当时，点M表示的数是或2； （3）解：当从A向C运动时， 时，与开始有重合部分，有重合部分时，Q表示的数为，P表数为，M表示的数为，N表示的数是， 若线段和重合部分长度为1， 则 或， 解得或， 由 得， ∴当时，与的重合部分消失，恢复原来的速度，此时Q表示的数是1， 再过（秒），Q到达C，此时， 则M所在点表示的数是，N所在点表示的数4， 当从C向A运动时， ∴重合时，， 解得：， 此时对应的数为：，为，为， 当时，与开始有重合部分，有重合部分后， Q表示的数为，表示的数为， M表示的数为，N表示的数是， 若线段和重合部分长度为1， 或， 解得或， ∴重合部分长度为1时所对应的t的值是或或18或20． 12．(24-25七上·湖北十堰竹溪县九年一贯制学校第一教联体·期中)如图，数轴上点A、B表示的数分别为a、b且有． 请解决下列问题： (1) ， ， （即A、B两点之间的距离）； (2)若P为数轴上一点，且，求点P所对应的数； (3)动点P从A点出发沿数轴正方向匀速移动，速度为每秒3个单位长度，P点在移动的过程中，设时间为t秒． ①若，求t的值； ②若，求t的值． 【答案】(1)，， (2)或 (3)①或；②或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，非负数的和等； （1）由非负数的和可求，，再由数轴上两点之间的距离，即可求解； （2）设在轴上表示的数为，①当在的左边时，由数轴上两点之间的距离得，，解一元一次方程，即可求解； ②当在、之间时，，即可求解；③当在的右边时，由数轴上两点之间的距离得，，解一元一次方程，即可求解； （3）①当在、之间时，由数轴上两点之间的距离得表示的数为， ， ，解一元一次方程，即可求解；当在的右边时，同理可求；②当在、之间时，当在的右边时，同理可求； 掌握数轴上两点之间的距离，并能据此列出一元一次方程进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ，， 解得：，， ， 故答案：，，； （2）解：设在轴上表示的数为， ①当在的左边时， ， ， ， ， 解得：， 点P所对应的数为； ②当在、之间时， ， 此种情况不存在； ③当在的右边时， ， ， ， ， 解得：， 点P所对应的数为； 综上所述：点P所对应的数为或； （3）解：①当在、之间时， 表示的数为， ， ， ， ， 解得：； 当在的右边时， ， ， ， ， 解得：； 综上所述：或； ②当在、之间时， ， ， 解得：， 当在的右边时， ， ， 解得：， 综上所述：或． 13．(24-25七上·湖北武汉江岸区·期中)【探究与发现】 数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，例：如图所示，点在数轴上分别对应的数为，则两点间的距离表示为，学习以上内容解决问题： （1）若数轴上两点表示的数为x，1， 两点之间的距离可用含x的式子表示为______； 若两点之间的距离为2，那么x值为______． 【理解与应用】 （2）若分别表示点在数轴上对应的数． 的最小值为________，此时x的取值范围是_______； 已知，求的最大值． 【拓展与延伸】 （3）若分别表示点在数轴上对应的数，O为原点，当时，点M，N分别从点O，B同时出发，分别以，的速度沿数轴负方向运动（点M在点O，A之间，点N在点O， B之间），运动时间为t，点M运动到点A时，点N立即停止运动，点Q为点B，M之间一点，且点Q到点M的距离是点B到点M距离的一半（即），若在点运动过程中，点Q到点N的距离（即）总为一个固定的值，求的值． 【答案】（1） ； 或． （2） ，； 最大值为． （3）． 【分析】（1）根据题意中的数轴上两点之间距离公式即可列出代数式；根据若两点之间的距离为2时，可得，求解绝对值方程即可． （2）根据绝对值的意义可得表示数轴上表示数的点到表示数和表示数的点的距离之和，即可得x的取值范围，及的最小值；由同理得中的取值范围，及最小值，结合，即可得取最小值，取最小值时，方程成立，即，，从而得出当取最小值，取最大值时，最大，代入数值即可求出最大值． （3）根据题意可得，，可得，根据，可求出，进而得出，根据点，运动过程中为一个固定的值，得到，由，得出，整理可得的值． 【详解】解：（1）∵点在数轴上分别对应的数为时，两点间的距离表示为， ∴若表示的数为x，1时，两点之间的距离为， 故答案为：． 由上可得两点之间的距离为， 若两点之间的距离为2时，即， ∴， ∴，， 故答案为：或． （2）∵表示数轴上表示数的点到表示数和表示数的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：， 由可得当时，有最小值， 同理当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当取最小值，取最小值时，， 此时，， ∴当取最小值，取最大值时，最大，最大值为． （3）根据题意可得：点路程为：，点路程为：， 即， ∵点在点B，M之间，， ∴， ∴， ∴， ∵总为一个固定的值， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查数轴上两点之间距离的计算，绝对值的意义，绝对值方程，代数式，整式的混合运算，一元一次方程等知识的综合，理解整式的基础知识，掌握两点之间距离的计算，整式的混合运算法则，一元一次方程的运用是解题的关键． 14．(24-25七上·湖北黄冈黄梅县部分学校·期中)已知是最大的负整数，是多项式的次数，是单项式的系数，且、、分别是点、、在数轴上对应的数． (1)求、、的值，并在数轴上标出点、、． (2)若动点、分别从、同时出发沿数轴正半轴运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，点可以追上点?并求出点追上点时，它们在数轴上表示的数； (3)在数轴上找一个点，使点到、、三点的距离之和等于，请直接写出所有点对应的数． 【答案】(1)，，，在数轴上标出点、、见解析 (2)运动秒后，点可以追上点；此时它们在数轴上表示的数为 (3)点对应的数为或 【分析】（1）根据单项式的系数、多项式的次数及负整数，得出、、的值，在数轴上标出点、、的位置即可； （2）根据，，动点、分别从、同时出发沿数轴正半轴运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，结合“追及时间路程差速度差”计算求解即可； （3）根据题意分“当点在点、之间时”、“当点在点左边时”、“当点在点右边”三种情况讨论列式求解即可． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数，是多项式的次数，是单项式的系数， ∴，，， 如图，在数轴上标出点、、， ； （2）解：∵，，动点、分别从、同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度， ∴（秒）， ∴运动秒后，点可以追上点，点追上点时，它们在数轴上表示的数为； （3）解：情况一：当点在点、之间时， 又∵，，， ∴， ∴， ∴点对应的数； 情况二：当点在点左边时， ∵，， ∴， ∴点对应的数． 情况三：当点在点右边时， ∵ ∴此情形不存在点， 综上所述，点对应的数为或． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题、单项式的系数和多项式的次数，有理数的除法，根据题意分类讨论、数形结合是解题的关键． 15．(24-25七上·湖北武汉硚口区（经开）区·期中)如图1，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，b满足，点C到原点O的距离与点A到原点O的距离相等，点A，B之间的距离记为． (1)直接写出a，b，c的值； (2)点P从点A出发，沿着数轴负方向匀速运动，同时，点Q从点C出发，沿数轴负方向匀速运动，点Р和点Q的速度分别为4个单位长度/秒和个单位长度/秒．设点P运动的时间为t秒． ①t秒时，点P表示的数为______，点B，P之间的距离为_________； ②当点Q追上点P之后，的值与t的值无关，求m的值． (3)点G在数轴上，，将数轴在点O，G，B各折一下，得到如图2的“折线数轴”．点M从点A出发沿着“折线数轴”运动至点C，同时点N从点C出发沿着“折线数轴”向点A运动，点M，N的初始速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒，两点运动到折线时速度才会发生变化，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度2倍，离开折线OGB后速度恢复为初始速度．当点M和点N相遇时，直接写出此时点M表示的数． 【答案】(1)；16；20 (2)①；；② (3) 【分析】（1）利用非负数的性质和数轴上的点的特征解答即可； （2）①根据移动的方向在原数上减运动的距离即可； ②计算的值，合并后利用t的系数为0，解方程即可得出结论； （3）根据题意求得相遇的时间，求得线段长度，再利用数轴上的点的特征解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． ∵点C到原点O的距离与点A到原点O的距离相等，点C在数轴的正半轴上， ∴． （2）①∵点P从点A出发，沿着数轴负方向匀速运动，速度为4个单位长度/秒， ∴t秒时，点P表示的数为， 点B，P之间的距离为． 故答案为：；； ②点Q从点C出发，沿数轴负方向匀速运动，点Q表示的数为， 当点Q追上点P之后，，， ∴ ， ∵的值与t的值无关， ∴， ∴． ∴m的值为秒时，当点Q追上点P之后，的值与t的值无关． （3）解：点G在数轴上，， ∴， ∴点G对应的数为8． ∵点M从点A出发沿着“折线数轴”运动，初始速度为4个单位长度/秒，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度2倍， ∴点M运动到点O用时为5（秒），点M从点O到点G用时4（秒）， ∵点N从点C出发沿着“折线数轴”向点A运动，初始速度为2个单位长度/秒，上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度2倍， ∴点N运动到点B用时为2（秒），点N从点B到点G用时8（秒）， ∴当点M到达点G时，点N在BG上，没有到达点G，此时M，N在BG上相距1个单位长度， ∴点M和点N相遇用时（秒）， ∴， ∴点M表示的数为8． 【点睛】本题考查了数轴，非负数的性质，一元一次方程的应用，利用数轴上的数字表示出相应线段的长度是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 数轴与动点问题 1．(24-25七上·湖北武汉经开区·期中)一条河流从西向东经过某城市，依次有三个渡口A，O，B，以O为原点，东为正，画数轴，A在O西面，B在O东面，数轴上点对应的数分别是，河中流水速度为． (1)、的值是________，、两点之间的距离是______． (2)如图，船、分别从渡口、同时出发向东运动，船在静水中的速度是每小时3千米，船在静水中的速度是5公里/小时，当运动时间为9小时，求之间的距离？ (3)在（2）的条件下，船从渡口与船、同时出发沿数轴向东运动，船在静水中的速度是每小时千米，若在运动过程中，的值与运动的时间无关，求的值． 2．(24-25七上·湖北武汉新洲区阳逻街·期中)（一）自主学习：数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，即：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为． 例：如图，点A、B在数轴上分别对应的数为，2，则． （二）尝试应用：数轴上A、B两点对应的数分别为a、b且a、b满足． （1）直接写出： ． （2）在数轴上有一动点P对应的数为x． ①当点P到A的距离时，直接写出x的值： ． ②当点P到A、B两点的距离和时，求x的值． ③当点P到A、B两点的距离和为定值时，直接写出x的取值范围： ． （三）拓展探究： 在（二）尝试应用的条件下，已知数轴上另有两个点M，N．分别从A，B两点同时出发运动，点M从A点向点B运动，速度为2个单位每秒，到达点B后立即以3个单位每秒的速度返回点A．点N从点B向点A运动，速度为3个单位每秒，到达点A后立即以2个单位每秒的速度返回点B．若数轴上有一点C对应的数为8，O为原点． （3）设时间为t秒，当时，试求出对应的t的值或t的取值范围． 3．(24-25七上·湖北武汉洪山区·期中)如图，在数轴上有A，B，M三点，分别表示有理数a，b，m．其中a，b，m满足．已知线段的中点表示的数可以记作，A、B之间的距离为． (1)求a，b，m的值； (2)数轴上的一动点N从A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，当N与B的距离为线段长度的两倍时，求运动时间t，以及此时点N表示的数； (3)有一动点P从表示的点出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，动点Q从表示的点出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动．点P比点Q先出发1秒，设点Q运动的时间为t秒，若线段上至少存在一点T与点A构成线段，当线段的中点在线段（包含端点）上，求t最大值和最小值． 4．(24-25七上·湖北武汉青山区·期中)已知A，，三点在数轴上对应的数分别为，，，且，满足：．点到A，两点的距离相等，规定：两点间的距离可用这两点的字母表示，如点A与点之间的距离表示为． (1)则_______，_______，_______． (2)点是数轴上一点，它在数轴上对应的数为，若，求的值； (3)点A以3个单位/秒的速度向右运动，点以1个单位/秒的速度向左运动，点以2个单位/秒的速度向右运动，点从原点出发以个单位/秒的速度运动．点A，，，同时出发，设运动时间为秒，在运动过程中，若总有成立，求的值及点的运动方向． 5．(24-25七上·湖北武汉东西湖区·期中)［阅读材料］ 在数轴上点表示的数为点表示的数为，则点到点的距离记为，若，线段的长度可以表示为；若，线段的长度可以表示为． ［问题探究］    (1)如图，点A在数轴上表示的数是8，点B在数轴上表示的数是，则______； (2)在（1）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动；同时动点O从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动，设两点的运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)在（1）的条件下，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动；同时点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向点A运动．当点M到达点B后，立即以原速返回，到达点A停止运动，当点N到达点A后，立即速度变为原速的一半返回，到达点B停止运动，请问：当点M运动时间为多少秒时，． 6．(24-25七上·湖北孝感云梦县·期中)已知整式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，在数轴上，A、B两点所对应的数分别是a和b． (1)________，________；A、B两点之间的距离为_______； (2)若点A以每秒4个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，运动t秒钟后，求A、B两点之间的距离；（用含t的代数式表示） (3)在（2）的基础上，与A、B同时，点D从原点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动（若追上点B则运动停止），设运动时间为t秒，在运动过程中，点A与D点之间的距离表示为，点B与点D之间的距离表示为，若的值始终保持不变，求m的值． 7．(24-25七上·湖北十堰郧西县·期中)如图A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数； (2)在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，同时点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离； (3)在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度． 8．(24-25七上·湖北黄石大冶还地桥镇教联体七年级期中考试·期中)问题情境：我们在本期教材中曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示数的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作． (1)独立思考： 数轴上表示和的两点之间的距离是______； 数轴上表示与的两点和之间的距离为，那么为______； (2)实践探究：如图，已知、分别为数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是，现有一只蚂蚁从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁恰好从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右移动． 秒后，点在数轴上所表示的数为______，点在数轴上所表示的数为______，当、两蚂蚁相遇时，即、两点在数轴上表示的数相同，此时可得等式______；用含有的式子表示 求两只蚂蚁在数轴上距离个单位长度时的时间． 9．(24-25七上·湖北随州广水·期中)如图所示，已知数轴上两点对应的数分别为、，点为数轴上任意一点，其对应的数为． (1)的长为__________； (2)当点到点、点的距离相等时，求的值； (3)如果点以每秒个单位长度的速度从点出发沿数轴向右运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达点时，点与同时停止运动．设点的运动时间为秒（）．当点、点与点三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，请直接写出的值． 10．(24-25七上·湖北孝感安陆·期中)【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图1，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，，则线段的长（点A到点B的距离）可表示为，请用上面材料中的知识解答下面的问题： 【问题情境】如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点A，再向右移动3个单位长度到达点B，然后再向右移动5个单位长度到达点C． (1)【问题探究】请在图2中表示出A，B，C三点的位置； (2)【问题探究】若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M、N从点B，点C分别以每秒2个单位长度，每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为t秒． ①A，B两点间的距离________； ②用含t的代数式表示t秒时，点P表示的数为________，点M表示的数为________，点N表示的数为________； ③试探究在移动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化说明理由；若不变，请求其值． 11．(24-25七上·湖北武汉武昌区·期中)如图，数轴上有三个点，分别表示数，，16，有两条动线段和（点与点重合，点与点重合，且点在点的左边，点在点的左边），，，线段以每秒1个单位的速度从点开始向右匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点开始向右匀速运动．当点运动到点时，线段立即以相同的速度返回；当点回到点时，线段同时停止运动．设运动时间为秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． (1)两线段运动前，点表示的数为______，点表示的数为______． (2)在整个运动过程中，当时，求出点表示的数． (3)在整个运动过程中，当两条线段有重合部分时，速度均变为原来的一半，当重合部分消失后，速度恢复，请直接写出当线段和重合部分长度为1时所对应的的值． 12．(24-25七上·湖北十堰竹溪县九年一贯制学校第一教联体·期中)如图，数轴上点A、B表示的数分别为a、b且有． 请解决下列问题： (1) ， ， （即A、B两点之间的距离）； (2)若P为数轴上一点，且，求点P所对应的数； (3)动点P从A点出发沿数轴正方向匀速移动，速度为每秒3个单位长度，P点在移动的过程中，设时间为t秒． ①若，求t的值； ②若，求t的值． 13．(24-25七上·湖北武汉江岸区·期中)【探究与发现】 数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，例：如图所示，点在数轴上分别对应的数为，则两点间的距离表示为，学习以上内容解决问题： （1）若数轴上两点表示的数为x，1， 两点之间的距离可用含x的式子表示为______； 若两点之间的距离为2，那么x值为______． 【理解与应用】 （2）若分别表示点在数轴上对应的数． 的最小值为________，此时x的取值范围是_______； 已知，求的最大值． 【拓展与延伸】 （3）若分别表示点在数轴上对应的数，O为原点，当时，点M，N分别从点O，B同时出发，分别以，的速度沿数轴负方向运动（点M在点O，A之间，点N在点O， B之间），运动时间为t，点M运动到点A时，点N立即停止运动，点Q为点B，M之间一点，且点Q到点M的距离是点B到点M距离的一半（即），若在点运动过程中，点Q到点N的距离（即）总为一个固定的值，求的值． 14．(24-25七上·湖北黄冈黄梅县部分学校·期中)已知是最大的负整数，是多项式的次数，是单项式的系数，且、、分别是点、、在数轴上对应的数． (1)求、、的值，并在数轴上标出点、、． (2)若动点、分别从、同时出发沿数轴正半轴运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，点可以追上点?并求出点追上点时，它们在数轴上表示的数； (3)在数轴上找一个点，使点到、、三点的距离之和等于，请直接写出所有点对应的数． 15．(24-25七上·湖北武汉硚口区（经开）区·期中)如图1，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，b满足，点C到原点O的距离与点A到原点O的距离相等，点A，B之间的距离记为． (1)直接写出a，b，c的值； (2)点P从点A出发，沿着数轴负方向匀速运动，同时，点Q从点C出发，沿数轴负方向匀速运动，点Р和点Q的速度分别为4个单位长度/秒和个单位长度/秒．设点P运动的时间为t秒． ①t秒时，点P表示的数为______，点B，P之间的距离为_________； ②当点Q追上点P之后，的值与t的值无关，求m的值． (3)点G在数轴上，，将数轴在点O，G，B各折一下，得到如图2的“折线数轴”．点M从点A出发沿着“折线数轴”运动至点C，同时点N从点C出发沿着“折线数轴”向点A运动，点M，N的初始速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒，两点运动到折线时速度才会发生变化，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度2倍，离开折线OGB后速度恢复为初始速度．当点M和点N相遇时，直接写出此时点M表示的数． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$