高一数学上学期第一次月考（北师大版2019必修第一册第一章：集合与常用逻辑用语+不等式，高效培优·提升卷）

2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019必修第一册第一章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知命题；命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 3．，，m，，则正确表示它们关系的式子是（    ） A． B． C． D． 4．如果，是实数，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知二次函数．甲同学：的解集为或；乙同学：的解集为或，丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（    ） A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于 7．，，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知集合，且，则不可能的值是（   ） A．4 B．9 C．16 D．64 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 10．设集合，或，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知为正实数，且，则（    ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为12 C. 的最小值为 D. 的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为 . 13．若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 14．若关于的不等式组恰有50个不等的实数解，则的取值范围为 .（结果用区间表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知集合，集合. (1)存在，使成立，求集合； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16．（15分） 已知集合，． (1)当时，求，； (2)若时，存在集合，使，求出所有的集合； (3)集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由． 17．(15分) 为推动新质生产力的发展，我市某高新企业于2025年年初用98万元购进一台生产设备，并立即投入生产使用．已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后，其x年来所需维修保养费用的总和为万元，设该设备产生的盈利总额为y万元（盈利总额=总收入—总支出）． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)该设备从第几年开始盈利（盈利总额为正值）； (3)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）； ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 18．（17分） 已知函数． (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 19．（17分） 对非空整数集合及，定义，对于非空整数集合，定义.注：是指满足且的最小自然数. (1)设，请直接写出集合； (2)设，求出非空整数集合的元素个数的最小值； (3)对三个非空整数集合，若且，求的所有可能取值. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019必修第一册第一章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 1．【答案】D 【解析】因为，，且，，所以必有，解得，则. 又，故． 故选：D. 2．已知命题；命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 2．【答案】B 【解析】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题， 对于命题，不妨取，，显然，则命题为真命题， 因此，是假命题，和都是真命题. 故选：B. 3．，，m，，则正确表示它们关系的式子是（    ） A． B． C． D． 3．【答案】C 【解析】由题意可得时，；时，，故，A错误； 显然,故，不成立，BD错误； 对于， 其元素， 由于均为整数，故，故， 故选：C 4．如果，是实数，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．【答案】B 【解析】当时，满足，而，则充分性不成立； 当时，若，则， 所以，而，则； 若，则， 所以，而，则，则必要性成立． 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 5．已知二次函数．甲同学：的解集为或；乙同学：的解集为或，丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．【答案】C 【解析】若的解集为或，则解得； 若的解集为或，则解得； 若函数图象的对称轴在轴右侧，则对称轴，则，得． 又这三个同学的论述中，只有一个假命题，故乙同学为假，综上，． 故选：C. 6．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（    ） A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于 6．【答案】A 【解析】由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设）， 先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为. 由杠杆的平衡原理：，．解得，， 则. 下面比较与10的大小：（作差比较法） 因为， 因为，所以，即. 所以这样可知称出的黄金质量大于. 故选：A 7．，，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7． 【答案】C 【解析】 ， 当且仅当，即，所以，时等号成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：. 8．已知集合，且，则不可能的值是（   ） A．4 B．9 C．16 D．64 8．【答案】A 【解析】由题意知，集合M中共有7个整数元素， 对于方程中的2个解满足， 所以的可能取值为2和2，3和1，4和0，5和，6和，7和，8和，9和， 则 又，所以， 故或或或或， 所以不可能的值为4. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 9．【答案】AB 【解析】A选项，， 因为，所以，所以，，A正确； B选项，， 因为，所以，所以，，B正确； C选项，当时，，C错误； D选项，， 因为，所以， 当时，，， 当时，，，D错误； 故选：AB. 10．设集合，或，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．【答案】ABC 【解析】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，无解， 所以若，则，故D错误. 故选：ABC. 11．已知为正实数，且，则（    ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为12 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11．【答案】AD 【解析】因为，当且仅当时取等号， 结合，解不等式得，即，故的最大值为8，A正确； 由得， 所以， 当且仅当即时取等号，此时取得最小值8，B错误； ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，C错误； ， 当且仅当即时取等号，此时取得最小值，D正确； 故选：AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为 . 12．【答案】15 【解析】是自然数集，，需要舍去， 所以满足“， 若，则”的集合是集合的非空子集， 但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现， 所以将集合看作有4个元素，其非空子集个数为. 13．若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 13．【答案】 【解析】由题意得，，整理得． 设，则， 再设，则 ，当且仅当，即时等号成立， 此时，所以，即实数的最小值为． 14．若关于的不等式组恰有50个不等的实数解，则的取值范围为 .（结果用区间表示） 14．【答案】 【解析】由，解得或， 当，即时，， 此时原不等式组不可能有个不等的实数解， 当，即时，， 此时原不等式组无解， 当，即时， 原不等式组的解集为， 因为原不等式组恰有50个不等的实数解，且区间内有个整数， 所以在区间内有个整数， 则区间的长度应满足，解得， 所以， 则在区间内只有两个整数， 所以区间内有个整数， 所以，解得， 综上，. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知集合，集合. (1)存在，使成立，求集合； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； 15．（13分） 【解析】（1）存在，使成立， ，解得， 又， 当时，集合， 此时.（6分） （2）由题. 是的必要不充分条件，且，（8分） 即对于恒成立， ，（10分） 由一元二次函数性质可知在上单调递增，在上单调递减， 因为， 所以当时，，即，解得， 的取值范围是.（13分） 16．（15分） 已知集合，． (1)当时，求，； (2)若时，存在集合，使，求出所有的集合； (3)集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由． 16．（15分） 【解析】（1）当时，， ， 所以，．(3分) （2）当时，， 又因为，所以， 因为（是非空集合，且是的真子集），， 所以这样的集合共有6个：，，，，，．（6分） （3）能，由，可得， 若，此时由，可得； 若，由（1）知，（8分） ① 当时，，即， 此时，不是的一个子集，舍去；（10分） ② 当时，，即， 此时，此时是的一个子集；（12分） ③ 当时，，即， 此时，此时是的一个子集． 综上可得，当或时，满足， 此时实数的取值范围为．（15分） 17．(15分) 为推动新质生产力的发展，我市某高新企业于2025年年初用98万元购进一台生产设备，并立即投入生产使用．已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后，其x年来所需维修保养费用的总和为万元，设该设备产生的盈利总额为y万元（盈利总额=总收入—总支出）． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)该设备从第几年开始盈利（盈利总额为正值）； (3)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）； ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 17．(15分) 【解析】（1）.(3分) （2）令，得， ，故， 故从第3年该设备开始盈利；（8分） （3）按照方案①计算， 当且仅当时，即时等号成立． 到2031年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元.(11分) 按照方案②计算，当时，． 故到2034年，盈利额达到最大值，该设备可获利万元．（14分） 因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理．（15分） 18．（17分） 已知函数． (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 18．（17分） 【解析】（1）由题意，对一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，则有解得． 故实数的取值范围是．(4分) （2）不等式等价于， 即， 当时，不等式可化为，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为，． 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或． 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或．（10分） （3）当时，因为， 令，当且仅当时，等号成立； 则关于的方程可化为， 关于的方程有四个不等实根， 即有两个不同正根，则 由②③式可得，（14分） 由①知：存在，使不等式成立，故， 即，解得（舍）或． 综上，实数的取值范围是．（17分） 19．（17分） 对非空整数集合及，定义，对于非空整数集合，定义.注：是指满足且的最小自然数. (1)设，请直接写出集合； (2)设，求出非空整数集合的元素个数的最小值； (3)对三个非空整数集合，若且，求的所有可能取值. 19．（17分） 【解析】（1）若，由集合新定义知.（2分） （2）设有个元素，下证， 一方面，，则， 所以，即， 而， 这表明了满足题意，此时，故；（5分） 另一方面：若，不妨设且， 由题意可知， 而最多含有个元素，当且仅当两两不同且时，等号成立， 但这与有80个元素矛盾，所以. 综上所述：非空整数集合的元素个数的最小值是27.（8分） （3）一方面：先证， ， 因此只要，就有， 而，所以， 所以，即， 从而.（12分） 另一方面：如果， 那么， 从而，同理， 由定义得，即满足距离的三角不等式； 所以，即， 取，可知可能成立， 取，可知可能成立， 取，可知可能成立， 综上所述，所有可能取值为2或3或4.（17分） 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷 提升卷·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B C B C A C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB ABC AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 15 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）存在，使成立， ，解得， 又， 当时，集合， 此时.（6分） （2）由题. 是的必要不充分条件，且，（8分） 即对于恒成立， ，（10分） 由一元二次函数性质可知在上单调递增，在上单调递减， 因为， 所以当时，，即，解得， 的取值范围是.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）当时，， ， 所以，．(3分) （2）当时，， 又因为，所以， 因为（是非空集合，且是的真子集），， 所以这样的集合共有6个：，，，，，．（6分） （3）能，由，可得， 若，此时由，可得； 若，由（1）知，（8分） ① 当时，，即， 此时，不是的一个子集，舍去；（10分） ② 当时，，即， 此时，此时是的一个子集；（12分） ③ 当时，，即， 此时，此时是的一个子集． 综上可得，当或时，满足， 此时实数的取值范围为．（15分） 17．（15分） 【解析】（1）.(3分) （2）令，得， ，故， 故从第3年该设备开始盈利；（8分） （3）按照方案①计算， 当且仅当时，即时等号成立． 到2031年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元.(11分) 按照方案②计算，当时，． 故到2034年，盈利额达到最大值，该设备可获利万元．（14分） 因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由题意，对一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，则有解得． 故实数的取值范围是．(4分) （2）不等式等价于， 即， 当时，不等式可化为，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为，． 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或． 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或．（10分） （3）当时，因为， 令，当且仅当时，等号成立； 则关于的方程可化为， 关于的方程有四个不等实根， 即有两个不同正根，则 由②③式可得，（14分） 由①知：存在，使不等式成立，故， 即，解得（舍）或． 综上，实数的取值范围是．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）若，由集合新定义知.（2分） （2）设有个元素，下证， 一方面，，则， 所以，即， 而， 这表明了满足题意，此时，故；（5分） 另一方面：若，不妨设且， 由题意可知， 而最多含有个元素，当且仅当两两不同且时，等号成立， 但这与有80个元素矛盾，所以. 综上所述：非空整数集合的元素个数的最小值是27.（8分） （3）一方面：先证， ， 因此只要，就有， 而，所以， 所以，即， 从而.（12分） 另一方面：如果， 那么， 从而，同理， 由定义得，即满足距离的三角不等式； 所以，即， 取，可知可能成立， 取，可知可能成立， 取，可知可能成立， 综上所述，所有可能取值为2或3或4.（17分） 3 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$