第一章 预备知识：集合与常用逻辑用语、不等式全章复习（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册

第一章 预备知识全章复习 教学目标 1. 通过复习理顺本章重点知识，如集合运算、充分性与必要性的判断断、含有一个量词命题的否定、基本不等式、解一元二次不等式等知识. 2. 能综合应用本章知识解决综合性强的问题. 教学重难点 1.重点 (1)集合的运算及集合中的含参问题； (2)常用逻辑用语中的含参问题； (3)利用基本不等式求最值及不等式中的含参问题 2.难点 (1)集合、常用逻辑用语中的含参问题； (2)解含参的一元二次不等式. 一、构建知识网络 2、 回顾重点知识 知识点01集合的相关概念 1.集合的基本概念 （1）集合:一般地,一定范围内某些　确定的　、　不同的　对象的全体组成一个集合,通常用大写拉丁字母来表示集合. （2）元素:集合中的　每一个对象　称为该集合的元素,简称元.通常用小写拉丁字母表示. （3）集合相等:如果两个集合所含的元素　完全相同　,那么称这两个集合相等. （4）集合中元素的特性:确定性、互异性和无序性. 特性 含义 确定性 集合的元素必须是确定的.因此,不能确定的对象不能组成集合,即给定一个集合,任何对象是不是这个集合的元素,应该可以明确地判断出来 互异性 对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的.因此,集合中的任意两个元素必须都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素 无序性 集合中的元素可以任意排列 2. 常见的数集及符号表示 数集 自然数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 3. 元素与集合的关系 (1)属于:如果a是集合A的元素,那么就记作a∈A,读作“a属于A”. (2)不属于:如果a不是集合A的元素,那么就记作a∉A或a⋷A,读作“a不属于A”. 4. 集合的表示方法 (1)列举法：将集合的元素一一列举出来　,并置于花括号“{　}”内,用这种方法表示集合,元素之间要用逗号分隔,但列举时与元素的次序　无关　. (2)描述法:将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x｜p(x)}的形式.{x｜p(x)}中x为集合的代表元素p(x)指元素x具有的性质. (3)Venn图 为了直观地表示集合,常画一条　封闭　的曲线,用它的内部来表示一个集合,称为Venn图. 5.集合的分类 按照集合中元素的个数分类 (1)有限集:含有有限个元素的集合称为有限集; (2)无限集:含有无限个元素的集合称为无限集; (3)空集:把不含任何元素的集合称为空集,记作⌀. 知识点02 集合的基本关系和基本运算 1. 集合的基本关系 子集 真子集 概念 如果集合A的　任意一个　元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集,记作　A⊆B　或　B⊇A　,读作“集合A　包含于　集合B”或“集合B包含集合A” 如果　A⊆B　,并且　A≠B　,那么集合A称为集合B的真子集,记为　A⫋B　或　B⫌A　,读作“　A真包含于B　”或“　B真包含A　” 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集,即　A⊆A　; (2)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么　A⊆C　; (3)规定⌀⊆A,即空集是任何集合的子集 (1)若A⫋B且B⫋C,则A　⫋　C; (2)若A⊆B且A≠B,则A　⫋　B; (3)空集是任何非空集合的真子集 2.集合的基本运算 （1）.全集 ①概念:如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的　所有元素　,那么就称这个集合为全集; ②记法:通常记作　U　. （2）补集 文字语言 设A⊆S,由S中不属于集合A的　所有元素　组成的集合称为S的子集A的补集,记作　∁SA　(读作“A在S中的补集”) 符号语言 ∁SA＝　{x｜x∈S,且x∉A}　 图形语言 （3）交集 文字语言 由所有属于集合A　且　属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的交集,记作　A∩B　(读作“　A交B　”) 符号语言 A∩B＝　{x｜x∈A,且x∈B}　 图形语言 运算性质 A∩B＝　B∩A　,A∩A＝　A　,A∩⌀＝⌀∩A＝　⌀　,A∩∁UA＝⌀,A∩B⊆A,A∩B⊆B,A⊆B⇔A∩B＝A （4）并集 文字语言 由所有属于集合A　或者　属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的并集,记作　A∪B　(读作“　A并B　”) 符号语言 A∪B＝　{x｜x∈A,或x∈B}　 图形语言 运算性质 A∪B＝　B∪A　,A∪A＝　A　,A∪⌀＝⌀∪A＝　A　,A∪∁UA＝U,A⊆A∪B,B⊆A∪B,A⊆B⇔A∪B＝B 知识点03充分条件与必要条件 1．定义 如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件. 2．从逻辑关系上看 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； ②若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件； ③若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件； ④若p⇔q，则p是q的充要条件； ⑤若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件． 知识点04全称量词与存在量词 1.全称量词及全称量词命题 （1）全称量词：短语含有“所有、一切、任意、全部、每一个等”在逻辑中通常叫做全称量词．并用符号“”表示. （2）含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．表示为：“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”． 2.存在量词及存在量词命题 （1）存在量词：短语含有“存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等”在逻辑中通常叫做存在量词。 （2）含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．表示为“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”． 3．命题的否定及含量词命题的否定 （1） 命题的否定：命题的条件不变，只否定命题的结论； （2）量词命题的否定：先否定量词，再否定结论；全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题． 全称量词命题的否定为，. 存在量词命题的否定为. （3）“或”的否定为：“非且非”；“且”的否定为：“非或非”． 知识点05 等式与不等式的性质 1.不等式关系与不等式 （1）不等式的概念：用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式． （2）常见文字语言与符号语言的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 2.实数大小比较的依据 实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大，所以实数可以比较大小，如下表所示： 文字语言 符号语言 如果，那么是正数； 如果，那么等于零； 如果，那么是负数． 反之亦然 ； ； 3.等式的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 4.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 知识点06 基本不等式 1．基本不等式 （1）定理：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． （2）推论：如果，，那么，当且仅当时，等号成立． 【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 上述定理与推论中的不等式通常称为基本不等式． 2．最值定理 （1）最值定理：已知都是正数， ①若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为． ②若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2． 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大． （2）在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等． ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三相等：含变数的各项均相等，取得最值． 3．基本不等式的变式与拓展 （1）基本不等式链 或． 当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 （2）基本不等式的拓展 ①三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． ②元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 知识点07 一元二次函数与一元二次不等式 1.三个“二次”的关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 2.解一元二次不等式的一般步骤 （1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值； （2）求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解． （3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时）， 并画出开口向上的抛物线示意图； （4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集． 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间 3.含参一元二次不等式的讨论依据 （1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； （2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； （3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集． 4.一元高次不等式的解法 如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： （1）标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； （2）分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； （3）求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）； （4）穿线：从数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则（即经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧），简称“击过偶不过”； （5）写解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间． 知识点08 其他不等式的解法 1．分式不等式的解法 （1） （2） （3） （4） 2．绝对值不等式解法 （1） （2）； ； （3） 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解 三、熟记重要结论 1．子集个数 若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. 2．等价关系 A⊆B⇔A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔∁UA⊇∁UB. 3．交集与并集的转化 (∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)， (∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)． 4．元素个数 用card(A)表示有限集合A中元素的个数．对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)． 5．集合法与充分性、必要性 若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若AB，则p是q的充分不必要条件； (5)若AB，则p是q的必要不充分条件； (6)若AB且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 总结：小推大，大不可推小． 6．常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于(＝) 大于(>) 小于(<) 是 否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多有一个 至少有一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少有两个 一个也没有 7.命题否定真假的判断 因为命题p与非p的真假性相反，所以不管是全称量词命题还是存在量词命题，当其真假不易判断时，可先判断其否定的真假． 8.有关倒数的性质 (1)a>b，ab>0⇒<；a>b，ab<0⇒>. (2)a>b>0，0<c<d⇒>. (3)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 9.有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 (1)<；>(a－m>0)． (2)>；<(b－m>0)． 10.常用的几个重要不等式 (1)a＋b≥2(a>0，b>0)． (2)ab≤(a，b∈R)． (3)≤(a，b∈R)． (4)＋≥2(a，b同号)． (5)≤(a>0，b>0)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 11．轮换对称不等式 12．三元基本不等式 ≤，其中a>0，b>0，c>0，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 13.一元二次不等式恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足. (5)对于ax2＋bx＋c>0不等式恒成立时，最高次数的系数含参要考虑为零情况。 13.区间恒成立问题 函数在某区间恒成立时，若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解． 设f(x)的最大值为M，最小值为m. (1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m. (2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M. 题型01 元素与集合的综合应用 【典例1-1】(2025·广东清远模拟)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，则C＝{x|x＝2a＋b，a∈A，b∈B}中的元素个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【典例1-2】(多选)若2∈{m－1，2m，m2－1}，则实数m的可能取值为(　　) A．3 B. C．1 D．－ 【典例1-3】已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}． （1）若集合A＝∅，则实数a的取值集合为________； （2）若集合A中只有一个元素，则实数a的取值集合为________． 理解集合的含义的两个关注点 (1)明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合． (2)看集合的构成元素满足的限制条件是什么． 注意：利用集合元素的限制条件或元素与集合的关系求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 【变式1-1】（2025高三·全国·专题练习）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，例：0.3333……就是一个无限循环小数，可记为，同理：……，若集合，则A中所有元素的和为（   ） A．44 B．110 C．132 D．143 【变式1-2】（多选）（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）下列四个命题中正确的是（   ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 整数解的集合即可判定B；由，，，用列举法可判定C；用试根的方式找出满足条 【变式1-3】（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）集合中的所有元素中最大的元素为 ，最小的元素为 . 【变式1-4】（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 题型02 集合基本关系的综合应用 【典例2-1】(2025·四川成都诊断考试)集合M＝{x|x＝5k－2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n＋3，n∈Z}，S＝{x|x＝10m＋3，m∈Z}的关系是(　　) A．S⊆P⊆M B．S＝P⊆M C．S⊆P＝M D．P＝M⊆S 【典例2-2】（2025·河南·二模）已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．判断两集合间关系的三种方法 2．由集合间的关系求参数的解题策略 (1)若集合元素是一一列举的，则将集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，此时注意集合中元素的互异性． (2)若集合表示的是不等式的解集，常借助数轴转化为区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，此时需注意端点值能否取到． 提醒：题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论． 【变式2-1】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，，，则的关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-3】（2025·河南·模拟预测）已知集合，，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2-4】（2025·全国·模拟预测）已知集合，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型03 集合间的综合运算 【典例3-1】设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)＝(　　) A．∅ B．M C．N D．R 集合综合运算的求解策略 (1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算． (2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验． (3)解决抽象集合(没有给出具体元素的集合)间的关系判断和运算问题的途径有两条：一是利用特殊值法将抽象集合具体化；二是利用图形化抽象为直观． 【变式3-1】（多选）设U为全集，下面三个命题中为真命题的是（    ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 【变式3-2】设全集，集合，，则 ． 【变式3-3】已知集合，或. (1)若全集，求、； (2)若全集，求. 题型04 由集合的运算求参 【典例4-1】已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】已知集合A＝{x∈Z|－1<x<3}，B＝{x|3x－a<0}，且A∩(∁RB)＝{1，2}，则实数a的取值范围为(　　) A．(0，4) B．(0，4] C．(0，3] D．(0，3) 根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到． (2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解． (3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围． 【变式4-1】（2025·江西萍乡·三模）已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·重庆九龙坡·三模）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型05 集合中的新定义题 【典例】 (2025·山东青岛模拟)若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”．对于集合A＝，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则a的值为________． 解决以集合为背景的新定义问题要抓住的两点 (1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． (2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质． 【变式5-1】（24-25高三·辽宁辽阳·模拟）我们将集合S的子集为元素的集合称为S的一个子集族.例如集合有3个子集族：.若集合B中有3个元素，则B的不同子集族有（    ） A．128个 B．127个 C．256个 D．255个 2．（23-24高一上·北京·期中）定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 . 题型06 充分、必要条件的判断 【典例6-1】已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例6-2】已知集合，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 判断充分、必要条件的两种方法 (1)定义法 (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母取值范围的推断问题. 【变式6-1】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-2】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-3】已知，，则是的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充要也不必要条件 题型07 由充分、必要条件求参 【典例7】已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}． (1)若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为________； (2)若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则m的取值范围为________． 由充分、必要条件求参数范围的策略 (1)巧用转化求参数：把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形； (2)端点值慎取舍：在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍. 【变式7-1】（多选）（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的可能取值为（ ）． A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高三上·山东潍坊·阶段练习）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的所有取值组成的集合是 . 题型08 全称量词命题与存在量词命题 【典例8-1】(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【典例8-2】(2025·陕西渭南模拟)已知a∈R，命题p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若命题p，q均为真命题，则实数a的取值范围是________． 1．判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路 2．由命题的真假求参数取值范围的策略 （1）全称量词命题可转化为恒成立问题，存在量词命题可转化为存在性问题 （2）含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，转化为函数的最值解决 【变式8-1】（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D． 【变式8-2】（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知命题p：，；q：，.均为真命题，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）已知命题，命题，若为假命题且为真命题，求实数的取值范围为 . 题型09 不等式性质及应用 【典例9-1】下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【典例9-2】已知－1<x＋y<4且2<x－y<3，则z＝2x－3y的取值范围是________(用区间表示)． 1．用不等式性质求代数式取值范围的两个注意点 (1)注意题设和结论中代数式的关系，设计求解步骤． (2)正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除． 2．利用待定系数法求代数式的取值范围 已知M1<f1(x，y)<N1，M2<f2(x，y)<N2，求g(x，y)的取值范围． (1)设g(x，y)＝pf1(x，y)＋qf2(x，y)． (2)根据恒等变形求得待定系数p，q. (3)根据不等式的同向可加性即可求得g(x，y)的取值范围． 【变式9-1】已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】(多选)已知6<a<60，15<b<18，则下列结论正确的是(　　) A.∈ B．a＋b∈(21，78) C．a－b∈(－9，42) D.∈ 题型10 基本不等式的综合应用 【典例10-1】（2025·河南·模拟预测）若，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【典例10-2】（多选）（2025·河北张家口·三模）已知，，且，若，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的取值范围为 利用基本不等式求最值的条件和配凑方法 提醒：注意配凑过程要进行等价变形；明确目标，即配凑出和或积为定值． 【变式10-1】（多选）（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是 ． 【变式10-3】（2025高三上·全国·专题练习）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是 ． 题型11 解含参的一元二次不等式 【典例11】（1）解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax； （2） 解关于x的不等式<1(a>0)． 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法 (1)当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系． (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 【变式11-1】（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）解关于的不等式. 题型12 利用三个二次关系求参 【典例12-1】（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【典例12-2】已知关于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a＜0(a＜0)的解集是(x1，x2)(x1＜x2)，且x2－x1＝10，则a＝________． 利用三个二次关系求参数的值或取值范围 (1)一元二次方程的根就是对应一元二次函数值为0时的x的值，也是对应一元二次不等式解集的端点值． (2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了对应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用根或根与系数的关系求待定系数． 【变式12-1】（多选）已知不等式，则下列说法正确的是（    ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式的解集为，则 C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为， 【变式12-2】（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式12-3】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知关于的不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)，都有，求实数的取值范围 (3)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 题型13 不等式恒成立及能成立问题 【典例13-1】（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【典例13-2】（23-24高二上·浙江·期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值为（   ） A．9 B．6 C． D．5 1.一元二次不等式在R上恒成立 这类题型一般转化为根的判别式的大小关系求解 2.在给定区间上的恒成立问题的求解方法 (1)若y>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式y>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)． (2)转化为函数最值问题，y≥a恒成立⇒ymin≥a，即m≥a；y≤a恒成立⇒ymax≤a，即n≤a. (3)对于以下两种题型，可以利用二次函数在端点m，n处的取值特点确定不等式求范围． ①ax2＋bx＋c<0(a>0)对x∈[m，n]恒成立； ②ax2＋bx＋c>0(a<0)对x∈[m，n]恒成立． 3.解决不等式能成立（有解）问题的策略 一般是转化为函数最值，即a>y能成立⇒a>ymin；a≤y能成立⇒a≤ymax. 【变式13-1】（24-25高三上·安徽池州·期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25高三下·上海·阶段练习）若不等式对任意恒成立，则实数m的值为 【变式13-3】已知函数f(x)＝x2－4x－4.若f(x)<1在区间(m－1，－2m)上恒成立，则实数m的取值范围是________． 一、单选题 1．(2025·鄂豫皖五十三校联考)已知命题p：有些实数的相反数是正数，则是(　　) A．∀x∈R，－x<0 B．∀x∈R，－x≤0 C．∃x∈R，－x≤0 D．∃x∈R，－x<0 2．（2025·山西临汾·三模）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·福建泉州·模拟预测）设，，若是的充分条件，则（    ） A． B． C． D． 5．若a，b∈(0，＋∞)，且＋＝9，则b＋的最小值为(　　) A．9 B．3 C．1 D. 6.(2025·山西太原模拟)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A.≤(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C.≥(a>0，b>0) D.≥(a>0，b>0) 7．(2025·云南名校联考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|2a－1<x<a＋3}．若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围为(　　) A．[－1，0] B．(－1，0) C．[4，＋∞) D．(4，＋∞) 8．调查了100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是(　　) A．最多人数是55 B．最少人数是55 C．最少人数是75 D．最多人数是80 二、多选题 9．（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 10．（多选）（2025·河北张家口·三模）已知，，且，若，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的取值范围为 11．(2025·福建福州模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c－1<0的解集为{x|α<x<β}，且β－α<1，若x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个不等实根，则下列关系式正确的是(　　) A．a<0 B．β－x1＝x2－α C．|x1－x2|<1 D．|β2－x|>|α2－x| 三、填空题 12．（2025·河南·模拟预测）已知集合，非空集合，若，则的取值范围是 ． 13．（2025·山西·二模）设集合，，在集合的所有元素中，绝对值最小的元素是 . 14．(2025·四川绵阳模拟)若关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是________． 四、解答题 15．（24-25高二下·山西运城·期末）设命题，使得不等式恒成立；命题使得不等式成立. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)①写出命题q的否定； ②若命题q为假命题，求实数x的取值范围. 16．设全集为实数集，集合， (1)当时，求； (2)若命题，命题，且是的充分且不必要条件，求实数的取值范围． 17．某企业用1960万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋x(x≥8)层，每层2800平方米的楼房，经测算，该楼房每平方米的平均建筑费用为565＋70x(单位：元)． (1)若该楼房每平方米的平均综合费用不超过2000元，则该楼房最多建多少层？ (2)当该楼房建多少层时，每平方米的平均综合费用最少？最少为多少元？ 注：综合费用＝建筑费用＋购地费用． 18．（2025河南开封高一上联考）已知函数 (1)若的解集为，求的取值范围； (2)当时，解不等式． 19．（24-25高一下·北京·期中）已知为自然数集的子集，将从小到大排序后依次记为，定义是由，，，为元素组成的集合，给定正整数m，若，则称A为连续生成数集． (1)判断是否为连续生成数集？说明理由； (2)数集是否为连续生成数集？说明理由； (3)若数集为连续生成数集，求正整数的最大值． 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 预备知识全章复习 教学目标 1. 通过复习理顺本章重点知识，如集合运算、充分性与必要性的判断断、含有一个量词命题的否定、基本不等式、解一元二次不等式等知识. 2. 能综合应用本章知识解决综合性强的问题. 教学重难点 1.重点 (1)集合的运算及集合中的含参问题； (2)常用逻辑用语中的含参问题； (3)利用基本不等式求最值及不等式中的含参问题 2.难点 (1)集合、常用逻辑用语中的含参问题； (2)解含参的一元二次不等式. 一、构建知识网络 2、 回顾重点知识 知识点01集合的相关概念 1.集合的基本概念 （1）集合:一般地,一定范围内某些　确定的　、　不同的　对象的全体组成一个集合,通常用大写拉丁字母来表示集合. （2）元素:集合中的　每一个对象　称为该集合的元素,简称元.通常用小写拉丁字母表示. （3）集合相等:如果两个集合所含的元素　完全相同　,那么称这两个集合相等. （4）集合中元素的特性:确定性、互异性和无序性. 特性 含义 确定性 集合的元素必须是确定的.因此,不能确定的对象不能组成集合,即给定一个集合,任何对象是不是这个集合的元素,应该可以明确地判断出来 互异性 对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的.因此,集合中的任意两个元素必须都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素 无序性 集合中的元素可以任意排列 2. 常见的数集及符号表示 数集 自然数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 3. 元素与集合的关系 (1)属于:如果a是集合A的元素,那么就记作a∈A,读作“a属于A”. (2)不属于:如果a不是集合A的元素,那么就记作a∉A或a⋷A,读作“a不属于A”. 4. 集合的表示方法 (1)列举法：将集合的元素一一列举出来　,并置于花括号“{　}”内,用这种方法表示集合,元素之间要用逗号分隔,但列举时与元素的次序　无关　. (2)描述法:将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x｜p(x)}的形式.{x｜p(x)}中x为集合的代表元素p(x)指元素x具有的性质. (3)Venn图 为了直观地表示集合,常画一条　封闭　的曲线,用它的内部来表示一个集合,称为Venn图. 5.集合的分类 按照集合中元素的个数分类 (1)有限集:含有有限个元素的集合称为有限集; (2)无限集:含有无限个元素的集合称为无限集; (3)空集:把不含任何元素的集合称为空集,记作⌀. 知识点02 集合的基本关系和基本运算 1. 集合的基本关系 子集 真子集 概念 如果集合A的　任意一个　元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集,记作　A⊆B　或　B⊇A　,读作“集合A　包含于　集合B”或“集合B包含集合A” 如果　A⊆B　,并且　A≠B　,那么集合A称为集合B的真子集,记为　A⫋B　或　B⫌A　,读作“　A真包含于B　”或“　B真包含A　” 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集,即　A⊆A　; (2)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么　A⊆C　; (3)规定⌀⊆A,即空集是任何集合的子集 (1)若A⫋B且B⫋C,则A　⫋　C; (2)若A⊆B且A≠B,则A　⫋　B; (3)空集是任何非空集合的真子集 2.集合的基本运算 （1）.全集 ①概念:如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的　所有元素　,那么就称这个集合为全集; ②记法:通常记作　U　. （2）补集 文字语言 设A⊆S,由S中不属于集合A的　所有元素　组成的集合称为S的子集A的补集,记作　∁SA　(读作“A在S中的补集”) 符号语言 ∁SA＝　{x｜x∈S,且x∉A}　 图形语言 （3）交集 文字语言 由所有属于集合A　且　属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的交集,记作　A∩B　(读作“　A交B　”) 符号语言 A∩B＝　{x｜x∈A,且x∈B}　 图形语言 运算性质 A∩B＝　B∩A　,A∩A＝　A　,A∩⌀＝⌀∩A＝　⌀　,A∩∁UA＝⌀,A∩B⊆A,A∩B⊆B,A⊆B⇔A∩B＝A （4）并集 文字语言 由所有属于集合A　或者　属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的并集,记作　A∪B　(读作“　A并B　”) 符号语言 A∪B＝　{x｜x∈A,或x∈B}　 图形语言 运算性质 A∪B＝　B∪A　,A∪A＝　A　,A∪⌀＝⌀∪A＝　A　,A∪∁UA＝U,A⊆A∪B,B⊆A∪B,A⊆B⇔A∪B＝B 知识点03充分条件与必要条件 1．定义 如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件. 2．从逻辑关系上看 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； ②若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件； ③若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件； ④若p⇔q，则p是q的充要条件； ⑤若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件． 知识点04全称量词与存在量词 1.全称量词及全称量词命题 （1）全称量词：短语含有“所有、一切、任意、全部、每一个等”在逻辑中通常叫做全称量词．并用符号“”表示. （2）含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．表示为：“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”． 2.存在量词及存在量词命题 （1）存在量词：短语含有“存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等”在逻辑中通常叫做存在量词。 （2）含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．表示为“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”． 3．命题的否定及含量词命题的否定 （1） 命题的否定：命题的条件不变，只否定命题的结论； （2）量词命题的否定：先否定量词，再否定结论；全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题． 全称量词命题的否定为，. 存在量词命题的否定为. （3）“或”的否定为：“非且非”；“且”的否定为：“非或非”． 知识点05 等式与不等式的性质 1.不等式关系与不等式 （1）不等式的概念：用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式． （2）常见文字语言与符号语言的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 2.实数大小比较的依据 实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大，所以实数可以比较大小，如下表所示： 文字语言 符号语言 如果，那么是正数； 如果，那么等于零； 如果，那么是负数． 反之亦然 ； ； 3.等式的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 4.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 知识点06 基本不等式 1．基本不等式 （1）定理：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． （2）推论：如果，，那么，当且仅当时，等号成立． 【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 上述定理与推论中的不等式通常称为基本不等式． 2．最值定理 （1）最值定理：已知都是正数， ①若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为． ②若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2． 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大． （2）在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等． ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三相等：含变数的各项均相等，取得最值． 3．基本不等式的变式与拓展 （1）基本不等式链 或． 当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 （2）基本不等式的拓展 ①三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． ②元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 知识点07 一元二次函数与一元二次不等式 1.三个“二次”的关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 2.解一元二次不等式的一般步骤 （1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值； （2）求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解． （3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时）， 并画出开口向上的抛物线示意图； （4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集． 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间 3.含参一元二次不等式的讨论依据 （1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； （2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； （3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集． 4.一元高次不等式的解法 如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： （1）标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； （2）分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； （3）求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）； （4）穿线：从数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则（即经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧），简称“击过偶不过”； （5）写解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间． 知识点08 其他不等式的解法 1．分式不等式的解法 （1） （2） （3） （4） 2．绝对值不等式解法 （1） （2）； ； （3） 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解 三、熟记重要结论 1．子集个数 若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. 2．等价关系 A⊆B⇔A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔∁UA⊇∁UB. 3．交集与并集的转化 (∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)， (∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)． 4．元素个数 用card(A)表示有限集合A中元素的个数．对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)． 5．集合法与充分性、必要性 若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若AB，则p是q的充分不必要条件； (5)若AB，则p是q的必要不充分条件； (6)若AB且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 总结：小推大，大不可推小． 6．常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于(＝) 大于(>) 小于(<) 是 否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多有一个 至少有一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少有两个 一个也没有 7.命题否定真假的判断 因为命题p与非p的真假性相反，所以不管是全称量词命题还是存在量词命题，当其真假不易判断时，可先判断其否定的真假． 8.有关倒数的性质 (1)a>b，ab>0⇒<；a>b，ab<0⇒>. (2)a>b>0，0<c<d⇒>. (3)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 9.有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 (1)<；>(a－m>0)． (2)>；<(b－m>0)． 10.常用的几个重要不等式 (1)a＋b≥2(a>0，b>0)． (2)ab≤(a，b∈R)． (3)≤(a，b∈R)． (4)＋≥2(a，b同号)． (5)≤(a>0，b>0)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 11．轮换对称不等式 12．三元基本不等式 ≤，其中a>0，b>0，c>0，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 13.一元二次不等式恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足. (5)对于ax2＋bx＋c>0不等式恒成立时，最高次数的系数含参要考虑为零情况。 13.区间恒成立问题 函数在某区间恒成立时，若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解． 设f(x)的最大值为M，最小值为m. (1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m. (2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M. 题型01 元素与集合的综合应用 【典例1-1】(2025·广东清远模拟)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，则C＝{x|x＝2a＋b，a∈A，b∈B}中的元素个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由题意，x＝2a＋b，当a＝1，b＝5时，x＝7；当a＝1，b＝3时，x＝5；当a＝2，b＝5时，x＝9；当a＝2，b＝3时，x＝7；当a＝3，b＝5时，x＝11；当a＝3，b＝3时，x＝9.由集合中的元素满足互异性，可得C＝{5，7，9，11}．故选B. 【典例1-2】(多选)若2∈{m－1，2m，m2－1}，则实数m的可能取值为(　　) A．3 B. C．1 D．－ 【答案】ABD 【解析】①若m－1＝2，则m＝3，此时集合中的元素为2，6，8，满足题意．②若2m＝2，则m＝1，此时m2－1＝m－1＝0，不满足集合中元素的互异性．③若m2－1＝2，则m＝±，当m＝时，集合中的元素为－1，2，2，满足题意；当m＝－时，集合中的元素为－－1，－2，2，满足题意．故选ABD. 【典例1-3】已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}． （1）若集合A＝∅，则实数a的取值集合为________； （2）若集合A中只有一个元素，则实数a的取值集合为________． 【答案】（1）　（2） 【解析】（1）若A＝∅，则关于x的方程ax2－3x＋2＝0无实根，当a＝0时，A＝，不符合题意；当a≠0时，由Δ＝9－8a<0，得a>.综上，实数a的取值集合为. （2）集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，当a＝0时，可得x＝，集合A中只有一个元素；当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0只有一个解，即Δ＝9－8a＝0，可得a＝.综上，实数a的取值集合为. 理解集合的含义的两个关注点 (1)明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合． (2)看集合的构成元素满足的限制条件是什么． 注意：利用集合元素的限制条件或元素与集合的关系求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 【变式1-1】（2025高三·全国·专题练习）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，例：0.3333……就是一个无限循环小数，可记为，同理：……，若集合，则A中所有元素的和为（   ） A．44 B．110 C．132 D．143 【答案】D 【分析】由无限循环小数可写成等比数列的无穷项和，可得分数形式，再由列举法可得集合，求和可得所求． 【详解】因为， 所以，所以， 所以n可以为1，3，9，11，33，99， 所以可以为 因为a和b是不同的数字，所以可以为， 此时，所以A中所有元素的和为. 故选：D. 【变式1-2】（多选）（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）下列四个命题中正确的是（   ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 【答案】BC 【分析】利用绝对值的意义，去绝对值符号，即可判定A；解不等式得到x的取值范围，用列举法表示出整数解的集合即可判定B；由，，，用列举法可判定C；用试根的方式找出满足条件的元素可判断D. 【详解】解：对于选项A， 当都是正数时，原式 当都是负数时，原式 当两正一负时，原式 当两负一正时，原式故A错误； 对于选项B，由，得， 所以符合条件的整数解的集合为，故B正确； 对于选项C，由，，， 可以得到符合条件的数对有，，，故C正确； 对于选项D，当时，；当时， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以集合A含有四个元素2，1，0，，故D错误. 故选：BC. 【变式1-3】（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）集合中的所有元素中最大的元素为 ，最小的元素为 . 【答案】 7 【分析】利用基本不等式，结合不等式的性质即可求解. 【详解】由知，，当，时，得最大元素， 又，当时，得最小元素. 【变式1-4】（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 题型02 集合基本关系的综合应用 【典例2-1】(2025·四川成都诊断考试)集合M＝{x|x＝5k－2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n＋3，n∈Z}，S＝{x|x＝10m＋3，m∈Z}的关系是(　　) A．S⊆P⊆M B．S＝P⊆M C．S⊆P＝M D．P＝M⊆S 【答案】C 【解析】任取a∈M，则a＝5k1－2＝5(k1－1)＋3，k1∈Z，所以a∈P，所以M⊆P；任取b∈P，则b＝5n1＋3＝5(n1＋1)－2，n1∈Z，所以b∈M，所以P⊆M，所以M＝P；任取c∈S，则c＝10m1＋3＝5×2m1＋3，m1∈Z，所以c∈P，所以S⊆P，又8∈P，8∉S，所以S≠P，所以S⊆P＝M.故选C. 【典例2-2】（2025·河南·二模）已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解集合，然后根据列不等式组即可求解. 【详解】由题意可得，又，， 所以，解得. 故选：B. 1．判断两集合间关系的三种方法 2．由集合间的关系求参数的解题策略 (1)若集合元素是一一列举的，则将集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，此时注意集合中元素的互异性． (2)若集合表示的是不等式的解集，常借助数轴转化为区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，此时需注意端点值能否取到． 提醒：题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论． 【变式2-1】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，，，则的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将集合中元素化为统一形式，然后进行判断即可. 【详解】， , ， 故 故选：B. 【变式2-2】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合相等的概念判断四个选项即可. 【详解】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. 【变式2-3】（2025·河南·模拟预测）已知集合，，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分和两种情况进行讨论，结合集合中元素的特性即可得答案. 【详解】①当时，解得，此时，满足题意， ②当时，解得，此时，满足题意， 故选：C. 【变式2-4】（2025·全国·模拟预测）已知集合，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式不等式求解集合A及，然后按照和分类讨论，根据集合的关系列不等式组求解即可. 【详解】因为，所以，所以或， 所以或，所以， 当时，，解得，满足； 当时，要使，则，解得， 综上，，即的取值范围是. 故选：D 题型03 集合间的综合运算 【典例3-1】设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交并补的运算逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，， 所以，所以，所以A错误， 对于B，因为，所以或， 因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以或，所以C错误， 对于D，因为，所以， 因为，所以，所以D正确. 故选：D 【典例3-2】已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)＝(　　) A．∅ B．M C．N D．R 【答案】B 【解析】解法一：∵∁RM⊆N，∴M⊇∁RN，据此可得M∪(∁RN)＝M.故选B. 解法二：如图所示，设矩形区域ABCD表示全集R，矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合∁RM，矩形区域CDFG表示集合N，满足∁RM⊆N，结合图形可得M∪(∁RN)＝M.故选B. 集合综合运算的求解策略 (1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算． (2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验． (3)解决抽象集合(没有给出具体元素的集合)间的关系判断和运算问题的途径有两条：一是利用特殊值法将抽象集合具体化；二是利用图形化抽象为直观． 【变式3-1】（多选）设U为全集，下面三个命题中为真命题的是（    ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 【答案】ABD 【分析】利用集合间的基本关系及交并补的概念与运算计算即可. 【详解】对于A，若，则成立，即A正确； 对于B，若，则成立，即B正确； 对于C，不妨设，有，但不成立，即C错误； 对于D，若，则集合A、集合B中均没有元素，即D正确. 故选：ABD 【变式3-2】设全集，集合，，则 ． 【答案】 【分析】由全集，可得，然后根据集合混合运算的法则即可求解． 【详解】，， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-3】已知集合，或. (1)若全集，求、； (2)若全集，求. 【分析】（1）（2）利用并集、补集、交集的定义直接求解即可. 【详解】（1）集合，或，则或， 或，所以或. （2）由或，得， 所以. 题型04 由集合的运算求参 【典例4-1】已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，再依据已知条件和即可得解. 【详解】解得或，故， 又，， 所以.故选：A. 【典例4-2】已知集合A＝{x∈Z|－1<x<3}，B＝{x|3x－a<0}，且A∩(∁RB)＝{1，2}，则实数a的取值范围为(　　) A．(0，4) B．(0，4] C．(0，3] D．(0，3) 【答案】C 【解析】由集合A＝{x∈Z|－1<x<3}＝{0，1，2}，B＝{x|3x－a<0}＝，可得∁RB＝，因为A∩(∁RB)＝{1，2}，所以0<≤1，解得0<a≤3，即实数a的取值范围是(0，3]．故选C. 根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到． (2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解． (3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围． 【变式4-1】（2025·江西萍乡·三模）已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合有3个真子集可得中有两个不同的元素，故求出的范围后可得正确的选项. 【详解】因为有3个真子集，所以中有2个元素，故中有两个元素， 故且，则， 解得且. 故选：C. 【变式4-2】（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解一元二次不等式求解集合，再根据集合间的关系得出参数范围即可. 【详解】因为， ，所以，所以. 故选：C. 【变式4-3】（2025·重庆九龙坡·三模）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式求得，由已知可得，进而可求实数 的取值范围. 【详解】由，可得，解得， 所以，由，可得， 又，所以， 所以实数 的取值范围是. 故选：A. 题型05 集合中的新定义题 【典例】 (2025·山东青岛模拟)若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”．对于集合A＝，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则a的值为________． 【答案】0或1或4 【解析】因为B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若a＝0，则B＝∅，满足B为A的子集，此时A与B构成“全食”；若a>0，则B＝＝.若A与B构成“全食”或“偏食”，则＝1或＝，解得a＝1或a＝4.综上，a的值为0或1或4. 解决以集合为背景的新定义问题要抓住的两点 (1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． (2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质． 【变式5-1】（24-25高三·辽宁辽阳·模拟）我们将集合S的子集为元素的集合称为S的一个子集族.例如集合有3个子集族：.若集合B中有3个元素，则B的不同子集族有（    ） A．128个 B．127个 C．256个 D．255个 【答案】D 【分析】我们定义全子集族为：子集族内的集合加上空集本身，先得出集合的子集个数，类比可得不同全子集族、不同子集族个数. 【详解】我们定义全子集族为：子集族内的集合加上空集本身， 一般地，设集合中有个元素，则它有个子集， 我们对所有子集按元素个数分类为：， 则集合不同的全子集族个数为个， 从而集合不同的子集族个数为个， 若集合B中有3个元素， 从而B的不同子集族有个. 故选：D. 2．（23-24高一上·北京·期中）定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 . 【答案】 / 【分析】空1：根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可；空2：代入得到，再根据区间长度大于，得到关于的不等式组，解出即可. 【详解】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是； 若，， 要使集合的“长度”大于，故或 即或又，故. 题型06 充分、必要条件的判断 【典例6-1】已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】通过特例，结合充分必要条件的判定方法即可判断. 【详解】，而 同样，而，所以充分性、必要性都不成立. 故选：D 【典例6-2】已知集合，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【分析】若求出的取值，当时判断是否正确，判断时，是否可能为. 【详解】若，则且， 所以或，故当时有， 而时，不一定是， 故是的充分而不必要条件. 故选：A. 判断充分、必要条件的两种方法 (1)定义法 (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母取值范围的推断问题. 【变式6-1】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】应用特殊值法结合既不充分也不必要条件定义判断即可. 【详解】当时，,所以是的不充分条件； 当时，,所以是的不必要条件. 故选：D. 【变式6-2】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先将等式变形化简，再分析推出关系可得. 【详解】， 又，即， 但，如时满足，但. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式6-3】已知，，则是的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充要也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式表示的范围大小得出和的包含关系，即可得出结论. 【详解】易知集合是集合的真子集， 即可得，所以是的充分而不必要条件. 故选：A 题型07 由充分、必要条件求参 【典例7】已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}． (1)若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为________； (2)若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则m的取值范围为________． 【答案】(1)[0，3]　(2)[9，＋∞) 【解析】由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}． (1)若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则S⊆P，∴解得0≤m≤3，故m的取值范围为[0，3]． (2)若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则PS，∴或解得m≥9，故m的取值范围为[9，＋∞)． 由充分、必要条件求参数范围的策略 (1)巧用转化求参数：把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形； (2)端点值慎取舍：在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍. 【变式7-1】（多选）（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的可能取值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由题意可得根据题意推出是A的真子集，分，讨论，即可求得实数的可能取值范围，从而得结论． 【详解】由题意集合，， 因为“”是“”的必要不充分条件，故是A的真子集， 当时，则，即时，符合题意， 当时，则，所以， 综上，实数的范围为，结合选项可知AB符合题意. 故选：AB． 【变式7-2】（24-25高三上·山东潍坊·阶段练习）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的所有取值组成的集合是 . 【答案】 【分析】用列举法表示集合，利用充分不必要条件的定义，借助集合的包含关系分类求解即得. 【详解】依题意，，，显然， 由“”是“”的充分不必要条件，得， 当时，，符合题意，当时，方程的根为和， 显然，否则，不符合题意，因此，解得，此时，符合题意， 所以实数的所有取值组成的集合是. 题型08 全称量词命题与存在量词命题 【典例8-1】(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【解析】对于p，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，是真命题．对于q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，是假命题．综上，綈p和q都是真命题．故选B. 【典例8-2】(2025·陕西渭南模拟)已知a∈R，命题p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若命题p，q均为真命题，则实数a的取值范围是________． 【答案】(－∞，－2]∪{1} 【解析】若命题p为真命题，则∀x∈[1，2]，a≤x2恒成立，又当x∈[1，2]时，x2的最小值为1，所以a≤1；若命题q为真命题，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1，所以实数a的取值范围是(－∞，－2]∪{1}． 1．判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路 2．由命题的真假求参数取值范围的策略 （1）全称量词命题可转化为恒成立问题，存在量词命题可转化为存在性问题 （2）含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，转化为函数的最值解决 【变式8-1】（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由题意可得出，由此可求得实数的取值范围. 【详解】因为命题“，使”是假命题， 所以，解得或， 故实数的取值范围是或. 故选：A. 【变式8-2】（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知命题p：，；q：，.均为真命题，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，分和，结合开口方向，根的判别式得到不等式，求出为真命题，需满足，再利用根的判别式得到为真命题，需满足，求交集得到答案. 【详解】恒成立， 当时，，满足要求， 当时，需满足，解得， 故为真命题，需满足， ，，则，解得， 故为真命题，需满足， 综上，的取值范围为 故选：D 【变式8-3】（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）已知命题，命题，若为假命题且为真命题，求实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】假命题的否定是真命题，二次不等式求解借助二次函数的开口方向和判别式来建立不等关系，得出范围；最高项系数含参的二次型函数要注意分类讨论参数. 【详解】依题意，是假命题，所以，是真命题， 则，解得或. 又因为是真命题， 所以当时，，不合题意； 当时，，所以 当时，函数的图象开口向上，一定存在满足条件的 综上，或. 综上，的取值范围是. 题型09 不等式性质及应用 【典例9-1】下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】选项A、C、D可有反例推导错误；选项B利用不等式性质推导可得. 【详解】选项A：当时，，故A错误； 选项B：因，，所以，得，故B正确； 选项C：当时，满足，，但，故C错误； 选项D：当时，满足，，但，故D错误， 故选：B 【典例9-2】已知－1<x＋y<4且2<x－y<3，则z＝2x－3y的取值范围是________(用区间表示)． 【答案】(3，8) 【解析】解法一：设2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，对应系数相等，则⇒∴2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)∈(3，8)． 解法二：令∴∴2x－3y＝2×－3×＝－＋b∈(3，8)． 1．用不等式性质求代数式取值范围的两个注意点 (1)注意题设和结论中代数式的关系，设计求解步骤． (2)正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除． 2．利用待定系数法求代数式的取值范围 已知M1<f1(x，y)<N1，M2<f2(x，y)<N2，求g(x，y)的取值范围． (1)设g(x，y)＝pf1(x，y)＋qf2(x，y)． (2)根据恒等变形求得待定系数p，q. (3)根据不等式的同向可加性即可求得g(x，y)的取值范围． 【变式9-1】已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对ABD举反例即可判断，对C利用作差法即可判断. 【详解】对A，当时，不等式不成立，所以A不正确； 对B，当时，满足，但，所以B不正确； 对C，因为，因为，且，可得，所以，所以C正确； 对D，举例，则，则，所以D不正确. 故选：C. 【变式9-2】(多选)已知6<a<60，15<b<18，则下列结论正确的是(　　) A.∈ B．a＋b∈(21，78) C．a－b∈(－9，42) D.∈ 【答案】AB 【解析】因为6<a<60，15<b<18，所以<<，－18<－b<－15，所以<<，6＋15<a＋b<60＋18，6－18<a－b<60－15，即<<4，21<a＋b<78，－12<a－b<45.于是＝＋1∈.故A，B正确，C，D错误． 题型10 基本不等式的综合应用 【典例10-1】（2025·河南·模拟预测）若，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】对目标式合理变形，再利用基本不等式求解即可． 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 【典例10-2】（多选）（2025·河北张家口·三模）已知，，且，若，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式判断BC，根据，转化为函数关系，转化为根据定义域问题求值域，判断AD. 【详解】A.由条件可知，，，则，故A错误； B.由题意可知，，则，当时等号成立， 则的最小值为，故B正确； C. ，当，即时等号成立， 则的最小值为，故C正确； D.， 当，均单调递增，且时，， 则在区间上单调递增， ∴当时取得最大值5，且时，， 所以的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 利用基本不等式求最值的条件和配凑方法 提醒：注意配凑过程要进行等价变形；明确目标，即配凑出和或积为定值． 【变式10-1】（多选）（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，由基本不等式建立不等式，可得其正误；对于B，由等量关系可得函数解析式，根据二次函数的性质，可得其正误；对于C，利用基本不等式隐藏“1”的妙用，可得其正误；对于D，由等量关系可得函数解析式，利用基本不等式，可得其正误. 【详解】对于A，，当且仅当，等号成立，则，故A正确； 对于B，由，则，由，则， 所以，故B错误； 对于C，，当且仅当，等号成立，故C正确； 对于D，由B易知，当且仅当，等号成立，则，故D正确. 故选：ACD. 【变式10-2】（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】方法一，利用换元法，然后根据基本不等式“1”的妙用求解.方法二，直接根据基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】方法一 设，，则， ， ， 当且仅当，，即，时取等号， ． 方法二，， ， 当且仅当，时取等号，． 故答案为： 【变式10-3】（2025高三上·全国·专题练习）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由于，当且仅当，即时取等号，而不等式有解，所以，即，解得或． 题型11 解含参的一元二次不等式 【典例11】（1）解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax； （2） 解关于x的不等式<1(a>0)． 【解析】（1）原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0， 即(ax－2)(x＋1)≥0. ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0， 解得x≤－1. ②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0， 解得x≥或x≤－1. ③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0. 当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时， 解得x＝－1满足题意； 当<－1，即－2<a<0时，解得≤x≤－1. 综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a>0时，原不等式的解集为； 当－2<a<0时，原不等式的解集为； 当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当a<－2时，原不等式的解集为. （2）<1⇔<0 ⇔[(a－1)x＋1](x－1)<0. ①当a＝1时，容易解得x<1； ②当a>1时，原不等式可化为(x－1)<0， 解得<x<1； ③当0<a<1时，－1＝>0， 所以>1， 原不等式可化为(x－1)>0， 解得x<1或x>. 综上，当0<a<1时，原不等式的解集为； 当a＝1时，原不等式的解集为{x|x<1}； 当a>1时，原不等式的解集为. 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法 (1)当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系． (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 【变式11-1】（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【详解】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 故选：C 【变式11-2】（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】当时，不等式化为；当时，可化为 ，后讨论与4的大小可得答案. 【详解】当时，不等式化为； 当时，. 当时，若，不等式解为或； 若，不等式解为； 若，不等式解为或； 当时，此时，， 不等式解为. 综上，时，不等式解为；时，不等式解为或； 时，不等式解为；时，不等式解为或； 时，不等式解为. 题型12 利用三个二次关系求参 【典例12-1】（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】AB 【分析】一元二次不等式的解集可判断AB：用表示代入可判断CD. 【详解】不等式的解集为， 所以是的两个根，且，故A正确； 对于B，所以， 可得， 所以， 所以不等式的解集是，故B正确； 对于C，因为，， 可得，故C错误； 对于D，因为， 即解，解得，故D错误. 故选：AB. 【典例12-2】已知关于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a＜0(a＜0)的解集是(x1，x2)(x1＜x2)，且x2－x1＝10，则a＝________． 【答案】－16 【解析】因为关于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a＜0(a＜0)的解集是(x1，x2)(x1＜x2)，所以x1，x2是一元二次方程x2－2x－8＋a＝0的两个根，所以x1＋x2＝2，x1x2＝a－8，所以x2－x1＝＝2＝10，解得a＝－16. 利用三个二次关系求参数的值或取值范围 (1)一元二次方程的根就是对应一元二次函数值为0时的x的值，也是对应一元二次不等式解集的端点值． (2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了对应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用根或根与系数的关系求待定系数． 【变式12-1】（多选）已知不等式，则下列说法正确的是（    ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式的解集为，则 C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为， 【答案】ABD 【分析】对于A解一元二次不等式即可判断，对于BC根据不等式的解集可知对应一元二次方程的根，由根与系数的关系求解即可判断，对于D，根据根与系数的关系及绝对值不等式即可判断. 【详解】对于A，时，不等式，即，即，解得，所以不等式的解集为，A正确； 对于B，若不等式的解集为，则二次函数的图象开口向下，即， 且方程的两根为，故，所以，B正确； 对于C，若不等式的解集为，则二次函数的图象开口向下，即， 且方程的两根为，故，C错误； 对于D，若不等式的解集为，则二次函数的图象开口向下，即， 且方程的两根为，故， 所以， 当且仅当时，等号成立，D正确. 故选：ABD. 【变式12-2】（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类时，分别得出解析计算求参. 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4，5，6，所以； 当时，不等式的解集为，此时不符合题意； 当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以． 综上可知，实数的取值范围是． 故选：C． 【变式12-3】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知关于的不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)，都有，求实数的取值范围 (3)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）由题意可得是方程的两根，结合韦达定理求解即可； （2）由（1）可知，求出在上的最小值，即可得答案； （3）结合（2）求出在上的最大值，即可得答案 【详解】（1）由题意可得是方程的两根， 由韦达定理可得， 解得; （2）因为， 所以， 当时，则的最小值为， 所以， 所以实数的取值范围为； （3）由（2）可知当时，则的最大值为， 所以实数的取值范围为. 题型13 不等式恒成立及能成立问题 【典例13-1】（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】分离参数变为在上恒成立，利用基本不等式求解最值得，即可得解. 【详解】，恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则实数的最大值为. 故选：C 【典例13-2】（23-24高二上·浙江·期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值为（   ） A．9 B．6 C． D．5 【答案】D 【分析】问题化为在区间上有解，应用基本不等式求右侧最小值，即可求参数范围. 【详解】关于x的不等式在区间上有解， 等价于在区间上有解，即在区间上有解， 又，当且仅当时，取最小值6. 故，可得. 故选：D 1.一元二次不等式在R上恒成立 这类题型一般转化为根的判别式的大小关系求解 2.在给定区间上的恒成立问题的求解方法 (1)若y>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式y>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)． (2)转化为函数最值问题，y≥a恒成立⇒ymin≥a，即m≥a；y≤a恒成立⇒ymax≤a，即n≤a. (3)对于以下两种题型，可以利用二次函数在端点m，n处的取值特点确定不等式求范围． ①ax2＋bx＋c<0(a>0)对x∈[m，n]恒成立； ②ax2＋bx＋c>0(a<0)对x∈[m，n]恒成立． 3.解决不等式能成立（有解）问题的策略 一般是转化为函数最值，即a>y能成立⇒a>ymin；a≤y能成立⇒a≤ymax. 【变式13-1】（24-25高三上·安徽池州·期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分离变量法整理不等式，构造函数解析式，求得新函数在给定区间上的最值，可得答案. 【详解】由题，，，即，即在上有解， 设，则，， 易知函数在上随x的增大而增大，在上随的增大而减小， 当x=1时，，则，所以. 故选：B. 【变式13-2】（24-25高三下·上海·阶段练习）若不等式对任意恒成立，则实数m的值为 【答案】/ 【分析】通过二次函数的性质和方程的根，列出不等式求出结果. 【详解】解：若，则当趋于时，趋于，不满足题意； 当时，是方程的一个根， 不等式对任意恒成立， 且方程的两根不相等， 所以是方程的根， ， ，得， 此时原不等式等价于，显然时恒成立， 实数m的值为， 【变式13-3】已知函数f(x)＝x2－4x－4.若f(x)<1在区间(m－1，－2m)上恒成立，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【解析】∵f(x)＝x2－4x－4且f(x)<1，即x2－4x－5<0，解得－1<x<5，即x∈(－1，5)．∵f(x)<1在区间(m－1，－2m)上恒成立，∴(m－1，－2m)⊆(－1，5)，∴解得0≤m<，即实数m的取值范围是. 一、单选题 1．(2025·鄂豫皖五十三校联考)已知命题p：有些实数的相反数是正数，则是(　　) A．∀x∈R，－x<0 B．∀x∈R，－x≤0 C．∃x∈R，－x≤0 D．∃x∈R，－x<0 【答案】B 【解析】已知命题p：有些实数的相反数是正数，即p：∃x∈R，－x>0，则：∀x∈R，－x≤0.故选B. 2．（2025·山西临汾·三模）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集、并集的定义计算可得. 【详解】因为全集，，， 所以，则. 故选：A 3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解分式不等式得集合B，再由交集的概念及运算可得结果. 【详解】. 由，可得，所以. 所以. 故选：C. 4．（2025·福建泉州·模拟预测）设，，若是的充分条件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分条件在集合中的表示方法，判断集合的包含关系即可. 【详解】由题意，得，因为是的充分条件， 所以即， 已知二次函数，开口向上，与轴交于， 仅当满足． 故选：D． 5．若a，b∈(0，＋∞)，且＋＝9，则b＋的最小值为(　　) A．9 B．3 C．1 D. 【答案】C 【解析】∵a，b∈(0，＋∞)，且＋＝9，·＝b＋4＋1＋＝5＋b＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝时，等号成立，∴9≥9，故b＋≥1，即b＋的最小值为1.故选C. 6.(2025·山西太原模拟)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A.≤(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C.≥(a>0，b>0) D.≥(a>0，b>0) 【答案】C 【解析】根据图形，利用射影定理得CD2＝DE·OD，又OD＝AB＝(a＋b)，CD2＝AC·CB＝ab，所以DE＝＝.由于OD≥CD，所以≥(a>0，b>0)．由于CD≥DE，所以≥＝(a>0，b>0)． 7．(2025·云南名校联考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|2a－1<x<a＋3}．若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围为(　　) A．[－1，0] B．(－1，0) C．[4，＋∞) D．(4，＋∞) 【答案】A 【解析】由x2－x－2<0，解得－1<x<2，则A＝{x|－1<x<2}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集，所以且等号不同时成立，解得－1≤a≤0，所以a的取值范围为[－1，0]． 8．调查了100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是(　　) A．最多人数是55 B．最少人数是55 C．最少人数是75 D．最多人数是80 【答案】B 【解析】设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合B.又设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则x∈[0，20]，以上两种药都带的人数为y.根据题意列出Venn图，如图所示．由图可知，x＋75＋80－y＝100，∴y＝55＋x.∵0≤x≤20，∴55≤y≤75，故最少人数是55.故选B. 二、多选题 9．（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 【答案】BCD 【分析】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，且， 则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误； 对于B选项，，，所以，故B正确； 对于C选项，，，故C正确； 对于D选项，， 所以，，则， 其的子集的个数为，故D正确． 故选：BCD. 10．（多选）（2025·河北张家口·三模）已知，，且，若，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式判断BC，根据，转化为函数关系，转化为根据定义域问题求值域，判断AD. 【详解】A.由条件可知，，，则，故A错误； B.由题意可知，，则，当时等号成立， 则的最小值为，故B正确； C. ，当，即时等号成立， 则的最小值为，故C正确； D.， 当，均单调递增，且时，， 则在区间上单调递增， ∴当时取得最大值5，且时，， 所以的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 11．(2025·福建福州模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c－1<0的解集为{x|α<x<β}，且β－α<1，若x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个不等实根，则下列关系式正确的是(　　) A．a<0 B．β－x1＝x2－α C．|x1－x2|<1 D．|β2－x|>|α2－x| 【答案】BC 【解析】由题意得a>0，A错误；因为将二次函数y＝ax2＋bx＋c－1的图象上的所有点向上平移1个单位长度，得到二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，所以α＋β＝x1＋x2＝－，即β－x1＝x2－α，B正确；如图，因为0<β－α<1，所以|x1－x2|<|β－α|<1，C正确；当α<β<0，x1<x2<0时，|β－x2|＝|α－x1|，|β＋x2|<|α＋x1|，所以|β2－x|＝|(β－x2)·(β＋x2)|<|(α－x1)(α＋x1)|＝|α2－x|，D错误．故选BC. 三、填空题 12．（2025·河南·模拟预测）已知集合，非空集合，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合题意确定集合非空，再转化为集合包含问题，建立不等式组求解参数范围即可. 【详解】由题意得，又因为， 所以，解得． 13．（2025·山西·二模）设集合，，在集合的所有元素中，绝对值最小的元素是 . 【答案】 【分析】由集合交集运算易得结果. 【详解】，， 显然集合的所有元素中，绝对值最小的元素是. 14．(2025·四川绵阳模拟)若关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是________． 【答案】[－3，－2)∪(6，7] 【解析】不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0，即(x－2)(x－m)＜0，当m＞2时，不等式的解集为(2，m)，此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是3，4，5，6，故6＜m≤7；当m＝2时，不等式的解集为∅，此时不符合题意；当m＜2时，不等式的解集为(m，2)，此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是－2，－1，0，1，故－3≤m＜－2，故实数m的取值范围是[－3，－2)∪(6，7]． 四、解答题 15．（24-25高二下·山西运城·期末）设命题，使得不等式恒成立；命题使得不等式成立. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)①写出命题q的否定； ②若命题q为假命题，求实数x的取值范围. 【分析】（1）将问题转换为，即可. （2）①由命题的否定的定义即可得解；②将问题转换为，即可. 【详解】（1）若p为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可. 由于函数在区间上单调递增， 所以时，，则. （2）①q的否定为：，不等式成立 ②若q为假命题，则“，不等式成立”为真命题， 那么对于，即可. 由于，， ∴，解得 16．设全集为实数集，集合， (1)当时，求； (2)若命题，命题，且是的充分且不必要条件，求实数的取值范围． 【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根据并集的定义计算可得； （2）依题意可得集合是集合的真子集，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）由可得，解得， 所以， 当时，， 所以； （2）由（1）知，而必为非空集合， 因为是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 所以（等号不同时成立），解得． 17．某企业用1960万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋x(x≥8)层，每层2800平方米的楼房，经测算，该楼房每平方米的平均建筑费用为565＋70x(单位：元)． (1)若该楼房每平方米的平均综合费用不超过2000元，则该楼房最多建多少层？ (2)当该楼房建多少层时，每平方米的平均综合费用最少？最少为多少元？ 注：综合费用＝建筑费用＋购地费用． 【解析】(1)设该楼房每平方米的平均综合费用为y元， 则y＝＋565＋70x＝＋70x＋565. 因为＋70x＋565≤2000，结合x≥8，得2x2－41x＋200≤0，即(2x－25)(x－8)≤0，解得8≤x≤12.5. 因为x∈Z，所以该楼房最多建12层． (2)由(1)可知，该楼房每平方米的平均综合费用y＝＋70x＋565， 因为＋70x≥2×700＝1400，当且仅当＝70x，即x＝10时，等号成立，所以当该楼房建10层时，每平方米的平均综合费用最少，为1400＋565＝1965元． 18．（2025河南开封高一上联考）已知函数 (1)若的解集为，求的取值范围； (2)当时，解不等式． 【分析】（1）根据题意，求得，得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，化简不等式为，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 因为的解集为，可得，解得， 所以，则， 因为，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的取值范围为. （2）解：由且，即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式，此时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19．（24-25高一下·北京·期中）已知为自然数集的子集，将从小到大排序后依次记为，定义是由，，，为元素组成的集合，给定正整数m，若，则称A为连续生成数集． (1)判断是否为连续生成数集？说明理由； (2)数集是否为连续生成数集？说明理由； (3)若数集为连续生成数集，求正整数的最大值． 【分析】（1）根据连续生成数集的定义判断即可； （2）根据连续生成数集的定义判断即可； （3）先证是连续生成数集，进而，再证不是连续生成数集，即可求解正整数的最大值. 【详解】（1），， ∵，∴不是连续生成数集. （2）若为连续生成数集，则， 又中最多有10个元素， 则，从而， ∴， 即， ∵，∴为偶数， 而55为奇数，不能成立， ∴数组不是连续生成数集. （3）当时，，，，，，，，是连续生成数集，所以， ∵中至多有10个元素，∴， 假设是连续生成数集，不妨设 ， 当时，中至多有7个元素，不成立， 若，因为是中最小的元素，此时，不成立， 因此必有，为使，必有， 此时，，所以，， ∵中至多有10个元素，， ∴， ， 即不成立. ∴假设不成立，不是连续生成数集. 假设是连续生成数集，则是连续生成数集，矛盾， 所以假设不成立.结合（2）结论，可知的最大值为7. 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$