第一章 预备知识：集合、常用逻辑用语、不等式（知识清单）数学北师大版2019必修第一册

第1章 预备知识 知识点一、集合 一、元素与集合的相关概念 1.集合的基本概念 （1）集合:一般地,一定范围内某些对象的全体组成一个集合,通常用大写拉丁字母来表示集合. （2）元素:集合中的称为该集合的元素,简称元.通常用小写拉丁字母表示. （3）集合相等:如果两个集合所含的元素,那么称这两个集合相等. （4）集合中元素的特性:确定性、互异性和无序性. 特性 含义 确定性 集合的元素必须是确定的.因此,不能确定的对象不能组成集合,即给定一个集合,任何对象是不是这个集合的元素,应该可以明确地判断出来 互异性 对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的.因此,集合中的任意两个元素必须都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素 无序性 集合中的元素可以任意排列 2. 常见的数集及符号表示 数集 自然数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 3. 元素与集合的关系 （1）属于:如果a是集合A的元素,那么就记作,读作“a属于A”. （2）不属于:如果a不是集合A的元素,那么就记作或,读作“a不属于A”. 4. 列举法 将集合的元素,并置于花括号“{　}”内,用这种方法表示集合,元素之间要用逗号分隔,但列举时与元素的次序. 5. 描述法 将集合的都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x｜p(x)}的形式.{x｜p(x)}中为集合的代表元素,指元素x具有的性质. 6. Venn图 为了直观地表示集合,常画一条的曲线,用它的内部来表示一个集合,称为Venn图. 7. 集合的分类 按照集合中元素的个数分类 (1)有限集:含有个元素的集合称为有限集; (2)无限集:含有个元素的集合称为无限集; (3)空集:把元素的集合称为空集,记作⌀. 2、 集合的基本关系和基本运算 1. 集合的基本关系 子集 真子集 概念 如果集合A的元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集,记作或,读作“集合A集合B”或“集合B包含集合A” 如果,并且,那么集合A称为集合B的真子集,记为或,读作“”或“” 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集,即; (2)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么; (3)规定⌀⊆A,即空集是任何集合的子集 (1)若A⫋B且B⫋C,则AC; (2)若A⊆B且A≠B,则AB; (3)空集是任何非空集合的真子集 2.集合的基本运算 （1）.全集 ①概念:如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的,那么就称这个集合为全集; ②记法:通常记作. （2）补集 文字语言 设A⊆S,由S中不属于集合A的组成的集合称为S的子集A的补集,记作(读作“A在S中的补集”) 符号语言 ∁SA＝ 图形语言 （3）交集 文字语言 由所有属于集合A属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的交集,记作(读作“”) 符号语言 A∩B＝ 图形语言 运算性质 A∩B＝,A∩A＝,A∩⌀＝⌀∩A＝,A∩∁UA＝⌀,A∩B⊆A,A∩B⊆B,A⊆B⇔A∩B＝A （4）并集 文字语言 由所有属于集合A属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的并集,记作(读作“”) 符号语言 A∪B＝ 图形语言 运算性质 A∪B＝,A∪A＝,A∪⌀＝⌀∪A＝,A∪∁UA＝U,A⊆A∪B,B⊆A∪B,A⊆B⇔A∪B＝B 3、 有限集合的子集真子集个数 对于集合A的子集我们有如下结论： 集合A A的所有子集 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 ∅, 1 0 ∅,,, 3 2 ∅,,,,, ,, 7 6 猜想：A= 特别说明：有限集A中有n个元素，则集合A的子集有2n个，则集合A的非空子集有2n－1个， 集合A的真子集有2n－1个.集合A的非空真子集有2n－2个 知识点二、常用逻辑用语 一、命题及基本概念 1.命题的定义:可的陈述句叫作命题. 2.命题的条件和结论:数学中,许多命题可表示为“如果p,那么q”或“若p,则q”的形式,其中叫作命题的条件,叫作命题的结论. 3.命题的分类:判断为真的命题叫作真命题,判断为假的命题叫作假命题 二、充分条件、必要条件、充要条件 1.定义 如果命题“若，则”为真(记作)，则是的 ；同时是的 . 2.从逻辑关系上看 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； ②若p⇒q，且qp，则p是q的 ； ③若pq且q⇒p，则p是q的 ； ④若p⇔q，则p是q的 ； ⑤若pq且qp，则p是q的 ． 3.集合关系看充分必要条件 设集合. （1） 若是的充分条件()，是的必要条件⇔则 （2）若，则是的必要条件，是的充分条件则⇔ （3）若是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且 ⇔则 （4）若是的必要不充分条件，是p的充分不必要条件，即且 ⇔则 （5）若与互为充要条件⇔则 特别说明：关于数集间的充分必要条件满足：“小范围大范围”. 三、全称量词及全称命题、存在量词及特称命题 1、全称量词及全称命题 （1）全称量词：短语含有“所有、一切、任意、全部、每一个等”在逻辑中通常叫做全称量词．并用符号表示. （2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．表示为：“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”． 2、存在量词及特称命题 （1）存在量词：短语含有“存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等”在逻辑中通常叫做存在量词。 （2）含有存在量词的命题，叫做特称命题．表示为“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”． 四、命题的否定及含量词命题的否定 （1） 命题的否定：命题的条件 ，只否定命题的 ； （2）量词命题的否定：先否定量词，再否定结论；全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． 全称量词命题的否定为，. 存在量词命题的否定为. （3）“或”的否定为：“非且非”；“且”的否定为：“非或非”． 知识点三、不等式 一、等式与不等式 1、不等式关系与不等式 （1）不等式的概念：用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式． （2）常见文字语言与符号语言的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 2、实数大小比较的依据 实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大，所以实数可以比较大小，如下表所示： 文字语言 符号语言 如果，那么是正数； 如果，那么等于零； 如果，那么是负数． 反之亦然 ； ； 3、等式的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 4、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 二、基本不等式 1、基本不等式 （1）定理：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． （2）推论：如果，，那么，当且仅当时，等号成立． 【说明】叫做正数的 ，叫做正数的 ． 上述定理与推论中的不等式通常称为基本不等式． 2、最值定理 （1）最值定理：已知都是正数， ①若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为． ②若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2． 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大． （2）在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等． ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三相等：含变数的各项均相等，取得最值． 3、基本不等式的变式与拓展 （1）基本不等式链 或． 当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 （2）基本不等式的拓展 ①三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． ②元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 知识点四、一元二次函数与一元二次不等式 一、 一元二次不等式及其解法 1、三个“二次”的关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 2、解一元二次不等式的一般步骤 （1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值； （2）求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解． （3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时）， 并画出开口向上的抛物线示意图； （4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集． 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间 3、含参一元二次不等式的讨论依据 （1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； （2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； （3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集． 4、一元高次不等式的解法 如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： （1）标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； （2）分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； （3）求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）； （4）穿线：从数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则（即经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧），简称“击过偶不过”； （5）写解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间． 5.分式不等式的解法 （1） （2） （3） （4） 6.绝对值不等式的解法 （1） （2）； ； （3） 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解 二、一元二次不等式成立问题 1．一元二次不等式恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足. （5）)对于ax2＋bx＋c>0不等式恒成立时，最高次数的系数含参要考虑为零情况。 2．区间恒成立问题. 函数在某区间恒成立时，若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解． 设f(x)的最大值为M，最小值为m. (1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m. (2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M. 【易错点一】01 在解含参数集合问题时忽视空集 辨析：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合就有可能忽视了，导致解题结果错误．尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况．考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面． 【典例1】已知集合，，若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知集合，集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 故选：A. 【易错点二】02 多次使用同向相加性质，扩大了取值范围 辨析： 在多次运用不等式性质时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了取值范围．为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等式． 【典例1】已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知，，求的取值范围为 . 【易错点三】03 忽视基本不等式应用条件 辨析：基本不等式取等号的条件是“一正，二定，三相等”．在解题过程中，一定要先检查取等的三个条件是否成立．常见的技巧是①如果积或和不是定值，则构造“定值”；②若是不能保证，可构造“正数”；③若等号不能成立，可根据“对勾函数”图象，利用函数的单调性求解． 【典例1】已知实数满足，则（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值6 D．有最大值6 【典例2】下列命题中错误的是（ ） A．当时， B．当时，的最小值为2 C．当时， D．当时， 重难点01 利用元素与集合的关系求参数 （1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值； （2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． 1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 2．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，且，则 ． 3．（25-26高一上·全国·课堂例题）不包含， 0， 1的实数集A满足条件：若，则．如果，用列举法表示集合A. 4．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（    ） A． B． C． D． 重难点02 集合相等求参数 由集合相等可知两集合元素完全相同，列出所有可能的元素对应等式组。解方程组得到参数值后，代入集合检验，确保两集合元素完全一致且满足互异性，剔除导致集合元素重复的解。 5．（2025高二下·浙江·学业考试）设集合，，若，则（   ） A．1 B． C．0 D．2 6．（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，则 . 7．（24-25高一上·北京房山·期中）已知，集合，且，则 . 重难点03 集合的表示方法 1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然. 2、描述法，注意代表元素. 8．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3，1，4构成的集合是{1，2，3，1，4} B．满足的构成的集合是 C．全体实数构成的集合是{x|x是实数} D．抛物线上的所有点的坐标构成的集合是 9．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）用要求的方法表示下列集合： (1)列举法表示“小于10的自然数组成的集合”． (2)列举法表示集合 (3)描述法表示偶数集 重难点04 集合基本关系的判断 判断集合间关系的三种方法 列举法 根据题中限定条件把集合元素列举出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系 结构法 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断 数轴法 在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系 11．（24-25高一上·天津·阶段练习）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，，，则的关系为（   ） A． B． C． D． 13．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A． B． C． D． 重难点05 根据集合的包含关系求参数 利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围.常采用数形结合的思想，借助数轴解答. 14．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）设集合，若，则 ． 15．（24-25高一下·云南·阶段练习）已知集合，，若MN，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高一上·云南·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 17．（24-25高一上·广东清远·阶段练习）已知集合，，且，求实数m的取值范围. 18．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合满足Ü，则满足条件的有 个． 重难点06 子集、真子集个数的求法 求集合子集、真子集的步骤 19．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是    （    ） A．6 B．7 C．14 D．15 20．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知集合，，，则集合C的子集有（   ） A．64个 B．63个 C．16个 D．15个 重难点07 根据子集、真子集个数求参数 根据子集、真子集的个数求参数，可按以下策略进行：​ 首先，明确子集、真子集个数与集合元素个数的关系：若集合有n个元素，则子集个数为2ⁿ，真子集个数为2ⁿ-1。据此可由已知的子集或真子集个数反推集合元素个数n。​ 其次，根据集合元素个数的要求，分析集合的构成。若集合由方程的根组成，需分方程是一次还是二次等情况讨论，结合判别式等确定参数取值；若集合含不等式等，需根据元素个数列出关于参数的不等式，求解参数范围。​ 最后，对求出的参数值或范围进行验证，确保集合元素个数符合由子集、真子集个数推出的结果，保证逻辑一致性。 21．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）若有且仅有2个子集，则实数k的值是 . 22．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是 ． 重难点08 集合的基本运算 集合运算的基本类型 （1）具体集合的运算：具体集合（给出或可以求出集合中元素的具体值（范围））的交、并、补运算，其解法是化简集合，利用列举法或借助数轴、Venn图等求解； （2）抽象集合的运算：没有给出具体元素的集合间关系的判断和运算，解决此类问题的途径有二：一是利用特殊值法将抽象集合具体化；二是利用Venn图化抽象为直观. 23．（2025高二下·山东青岛·竞赛）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 24．（江西省宜春市九师联盟2024-2025学年高二下学期7月摸底考试数学试卷）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高二下·吉林长春·期末）设全集，则（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高一上·安徽黄山·期末）已知集合，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 27．（2026高三·全国·专题练习）设集合，，为整数集，则（   ） A． B． C． D． 重难点09 集合的基本运算求参数 利用集合的运算求参数的方法 （1）若已知集合的运算结果（实质是集合间的关系）求参数的值（范围），一般先确定不同集合间的关系，即元素之间的关系，再列方程或不等式求解.在求解过程中要注意空集的讨论，避免漏解； （2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化. 28．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的值是 . 29．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合若，则实数的取值范围是 . 30．（22-23高一上·四川广安·阶段练习）已知集合或，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高二下·浙江温州·期末）设全集，集合，若，则 ． 32．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 . 重难点10 集合新定义题 在集合新定义问题中，出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算。解题时，要抓住两点：（1）分析新定义的特点，把新定义中所叙述的问题的本质弄清楚，并且能够应用到具体的解题过程中；（2）集合中元素的特性及集合的基本运算是解题的突破口，要熟练掌握。 33．（2025高一上·全国·专题练习）设设，是两个非空集合，定义且，已知，，则（ ） A． B．或 C． D． 34．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）集合是实数集的子集，定义，叫做集合的对称差．若集合，，则 ， ． 35．（2023·安徽蚌埠·二模）对于数集，，定义， ，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A．5 B． C． D． 36．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）在中学阶段，对许多特定集合（如实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容.现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：.则 . 重难点11 充分条件、必要条件、充要条件的判断 判断充要条件的三种方法 (1) 定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2) 集合法：利用集合的包含关系判断．小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系． (3) 传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 37．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 38．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）命题A：是无理数，命题B：是无理数，则命题A是命题B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 39．（24-25高三下·陕西商洛·阶段练习）“一元二次方程有实数根”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 40．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）设，，则“且”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 重难点12 充分条件、必要条件的探求 探求充分条件、必要条件的方法 （1）寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p，即p⊆q； （2）寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p，即q⊆p； （3）寻求q的充要条件p，即寻求使q成立的条件p（p⇒q），同时又要寻求以q为条件可推出p成立（q⇒p），即p＝q. 41．（24-25高一下·广东揭阳·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 42．（24-25高二下·江西赣州·期末）设，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高一上·安徽合肥·期末）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D．或 44．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 重难点13 充分条件、必要条件求参数的范围 应用充分、必要条件求解参数范围的方法 （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（不等式组）求解； （2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号取决于端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 45．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 46．（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 47．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知全集，集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 48．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 49．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知． (1)若是的充要条件，求的值； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 50．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数 ． 重难点14 根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参 由命题的真假求参数的策略 （1）巧用三个转化：①全称量词命题可转化为恒成立问题；②存在量词命题可转化为存在性问题；③全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真. （2）准确计算：通过解方程或不等式（组）求出参数的值或范围. 51．（24-25高一上·黑龙江绥化·阶段练习）若命题“存在，使”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 52．（24-25高一上·广西钦州·阶段练习）已知命题. (1)若命题p为真命题，求m的取值范围； (2)若命题p为假命题和命题q为真命题.求m的取值范围. 53．（24-25高一上·四川成都·期末）已知集合，非空集合 (1)若“命题”是真命题，求的取值范围； (2)若“命题”是真命题，求的取值范围. 重难点15 全称量词命题和存在量词命题的否定 对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法 （1）改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； （2）否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可. 54．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知命题p：，，则命题p的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 55．（24-25高三下·江苏宿迁·阶段练习）若命题p：，则为（   ） A． B． C． D． 56．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知命题，则为（   ） A． B． C． D． 57．（2025·广西柳州·模拟预测）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 58．（22-23高一上·海南儋州·期中）已知命题：，总有，则命题的否定为（   ） A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 重难点16 不等式的性质及应用 判断不等式的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证． (2)利用特殊值法排除错误选项． (3)作差法． (4)构造函数，利用函数的单调性． 59．（24-25高二下·江西·期末）已知，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 60．（24-25高二下·北京昌平·期末）已知 ，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 61．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 62．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 63．（24-25高一上·新疆和田·期末）已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 64．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 65．（24-25高一上·湖南郴州·期末）已知实数满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 66．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 重难点17 基本不等式及应用 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 67．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 68．（2025高三·北京·专题练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D．不存在 69．（2025高二上·北京·学业考试）已知，且，则的最大值是（   ） A． B． C．1 D． 70．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．5 71．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 72．（22-23高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 73．（21-22高一下·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．14 D．16 74．（24-25高二下·陕西西安·期末）设，，，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 75．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知为正数，，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D． 76．（2025·广东汕头·模拟预测）已知，，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 77．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 78．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 79．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 80．（24-25高一上·山东青岛·期中）若，不等式恒成立，则实数的（    ） A．最大值是4 B．最大值是6 C．最小值是4 D．最小值是6 重难点18 一元二次不等式解法 解一元二次不等式的4个步骤 1．变——把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． 2．判——计算对应方程的判别式． 3．求——求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． 4．写——利用“大于取两边，小于取中间”的方法，写出不等式的解集． 81．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 82．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 83．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 重难点19 含参一元二次不等式解法 解含参数的一元二次不等式的步骤 1．若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． 2．判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的大小关系． 3．当确定方程无根时，可直接写出解集；当确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集． 84．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若关于的不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围． 85．（23-24高一上·甘肃白银·期中）解下列不等式. (1)； (2). 86．（24-25高一上·江西·开学考试）解关于x的不等式： 重难点20 由一元二次不等式的解确定参数 1．一元二次方程的根就是相应的一元二次函数的零点，也是相应的一元二次不等式解集的端点值． 2．如果给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应的二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用根与系数的关系求待定系数． 87．（2026高三·全国·专题练习）若不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C．10 D．14 88．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为（   ） A． B． C．｛或｝ D． 89．（24-25高一上·天津·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 重难点21 一元二次不等式的恒成立问题 一元二次不等式恒成立问题求参数的策略 （1）弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数； （2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论. 90．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 91．（2025高二下·陕西·学业考试）命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 92．（24-25高一上·江西·开学考试）当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 93．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 12 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 预备知识 知识点一、集合 一、元素与集合的相关概念 1.集合的基本概念 （1）集合:一般地,一定范围内某些　确定的　、　不同的　对象的全体组成一个集合,通常用大写拉丁字母来表示集合. （2）元素:集合中的　每一个对象　称为该集合的元素,简称元.通常用小写拉丁字母表示. （3）集合相等:如果两个集合所含的元素　完全相同　,那么称这两个集合相等. （4）集合中元素的特性:确定性、互异性和无序性. 特性 含义 确定性 集合的元素必须是确定的.因此,不能确定的对象不能组成集合,即给定一个集合,任何对象是不是这个集合的元素,应该可以明确地判断出来 互异性 对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的.因此,集合中的任意两个元素必须都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素 无序性 集合中的元素可以任意排列 2. 常见的数集及符号表示 数集 自然数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 3. 元素与集合的关系 （1）属于:如果a是集合A的元素,那么就记作　a∈A　,读作“a属于A”. （2）不属于:如果a不是集合A的元素,那么就记作　a∉A　或　a⋷A　,读作“a不属于A”. 4. 列举法 将集合的元素　一一列举出来　,并置于花括号“{　}”内,用这种方法表示集合,元素之间要用逗号分隔,但列举时与元素的次序　无关　. 5. 描述法 将集合的　所有元素　都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x｜p(x)}的形式.{x｜p(x)}中　x　为集合的代表元素,　p(x)　指元素x具有的性质. 6. Venn图 为了直观地表示集合,常画一条　封闭　的曲线,用它的内部来表示一个集合,称为Venn图. 7. 集合的分类 按照集合中元素的个数分类 (1)有限集:含有　有限　个元素的集合称为有限集; (2)无限集:含有　无限　个元素的集合称为无限集; (3)空集:把　不含任何　元素的集合称为空集,记作⌀. 2、 集合的基本关系和基本运算 1. 集合的基本关系 子集 真子集 概念 如果集合A的　任意一个　元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集,记作　A⊆B　或　B⊇A　,读作“集合A　包含于　集合B”或“集合B包含集合A” 如果　A⊆B　,并且　A≠B　,那么集合A称为集合B的真子集,记为　A⫋B　或　B⫌A　,读作“　A真包含于B　”或“　B真包含A　” 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集,即　A⊆A　; (2)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么　A⊆C　; (3)规定⌀⊆A,即空集是任何集合的子集 (1)若A⫋B且B⫋C,则A　⫋　C; (2)若A⊆B且A≠B,则A　⫋　B; (3)空集是任何非空集合的真子集 2.集合的基本运算 （1）.全集 ①概念:如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的　所有元素　,那么就称这个集合为全集; ②记法:通常记作　U　. （2）补集 文字语言 设A⊆S,由S中不属于集合A的　所有元素　组成的集合称为S的子集A的补集,记作　∁SA　(读作“A在S中的补集”) 符号语言 ∁SA＝　{x｜x∈S,且x∉A}　 图形语言 （3）交集 文字语言 由所有属于集合A　且　属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的交集,记作　A∩B　(读作“　A交B　”) 符号语言 A∩B＝　{x｜x∈A,且x∈B}　 图形语言 运算性质 A∩B＝　B∩A　,A∩A＝　A　,A∩⌀＝⌀∩A＝　⌀　,A∩∁UA＝⌀,A∩B⊆A,A∩B⊆B,A⊆B⇔A∩B＝A （4）并集 文字语言 由所有属于集合A　或者　属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的并集,记作　A∪B　(读作“　A并B　”) 符号语言 A∪B＝　{x｜x∈A,或x∈B}　 图形语言 运算性质 A∪B＝　B∪A　,A∪A＝　A　,A∪⌀＝⌀∪A＝　A　,A∪∁UA＝U,A⊆A∪B,B⊆A∪B,A⊆B⇔A∪B＝B 3、 有限集合的子集真子集个数 对于集合A的子集我们有如下结论： 集合A A的所有子集 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 ∅, 1 0 ∅,,, 3 2 ∅,,,,, ,, 7 6 猜想：A= 特别说明：有限集A中有n个元素，则集合A的子集有2n个，则集合A的非空子集有2n－1个， 集合A的真子集有2n－1个.集合A的非空真子集有2n－2个 知识点二、常用逻辑用语 一、命题及基本概念 1.命题的定义:可　判断真假　的陈述句叫作命题. 2.命题的条件和结论:数学中,许多命题可表示为“如果p,那么q”或“若p,则q”的形式,其中　p　叫作命题的条件,　q　叫作命题的结论. 3.命题的分类:判断为真的命题叫作真命题,判断为假的命题叫作假命题 二、充分条件、必要条件、充要条件 1.定义 如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件. 2.从逻辑关系上看 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； ②若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件； ③若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件； ④若p⇔q，则p是q的充要条件； ⑤若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件． 3.集合关系看充分必要条件 设集合. （1） 若是的充分条件()，是的必要条件⇔则 （2）若，则是的必要条件，是的充分条件则⇔ （3）若是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且 ⇔则 （4）若是的必要不充分条件，是p的充分不必要条件，即且 ⇔则 （5）若与互为充要条件⇔则 特别说明：关于数集间的充分必要条件满足：“小范围大范围”. 三、全称量词及全称命题、存在量词及特称命题 1、全称量词及全称命题 （1）全称量词：短语含有“所有、一切、任意、全部、每一个等”在逻辑中通常叫做全称量词．并用符号“”表示. （2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．表示为：“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”． 2、存在量词及特称命题 （1）存在量词：短语含有“存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等”在逻辑中通常叫做存在量词。 （2）含有存在量词的命题，叫做特称命题．表示为“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”． 四、命题的否定及含量词命题的否定 （1） 命题的否定：命题的条件不变，只否定命题的结论； （2）量词命题的否定：先否定量词，再否定结论；全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． 全称量词命题的否定为，. 存在量词命题的否定为. （3）“或”的否定为：“非且非”；“且”的否定为：“非或非”． 知识点三、不等式 一、等式与不等式 1、不等式关系与不等式 （1）不等式的概念：用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式． （2）常见文字语言与符号语言的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 2、实数大小比较的依据 实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大，所以实数可以比较大小，如下表所示： 文字语言 符号语言 如果，那么是正数； 如果，那么等于零； 如果，那么是负数． 反之亦然 ； ； 3、等式的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 4、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 二、基本不等式 1、基本不等式 （1）定理：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． （2）推论：如果，，那么，当且仅当时，等号成立． 【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 上述定理与推论中的不等式通常称为基本不等式． 2、最值定理 （1）最值定理：已知都是正数， ①若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为． ②若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2． 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大． （2）在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等． ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三相等：含变数的各项均相等，取得最值． 3、基本不等式的变式与拓展 （1）基本不等式链 或． 当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 （2）基本不等式的拓展 ①三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． ②元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 知识点四、一元二次函数与一元二次不等式 一、 一元二次不等式及其解法 1、三个“二次”的关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 2、解一元二次不等式的一般步骤 （1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值； （2）求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解． （3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时）， 并画出开口向上的抛物线示意图； （4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集． 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间 3、含参一元二次不等式的讨论依据 （1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； （2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； （3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集． 4、一元高次不等式的解法 如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： （1）标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； （2）分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； （3）求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）； （4）穿线：从数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则（即经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧），简称“击过偶不过”； （5）写解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间． 5.分式不等式的解法 （1） （2） （3） （4） 6.绝对值不等式的解法 （1） （2）； ； （3） 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解 二、一元二次不等式成立问题 1．一元二次不等式恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足. （5）)对于ax2＋bx＋c>0不等式恒成立时，最高次数的系数含参要考虑为零情况。 2．区间恒成立问题. 函数在某区间恒成立时，若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解． 设f(x)的最大值为M，最小值为m. (1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m. (2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M. 【易错点一】01 在解含参数集合问题时忽视空集 辨析：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合就有可能忽视了，导致解题结果错误．尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况．考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面． 【典例1】已知集合，，若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，知，因为，， 若，则方程无解，所以满足题意； 若，则， 因为，所以，则满足题意； 故实数取值的集合为. 故选：D. 【典例2】已知集合，集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，满足； 当时，若，只需，解得 综上，的取值范围是 故选：A. 【易错点二】02 多次使用同向相加性质，扩大了取值范围 辨析： 在多次运用不等式性质时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了取值范围．为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等式． 【典例1】已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 所以，解得，即可得， 因为，， 所以， 故选：A． 【典例2】已知，，求的取值范围为 . 【答案】 【解析】设， 则，解得， 所以， 因为，， 所以，， 所以． 则的取值范围为． 【易错点三】03 忽视基本不等式应用条件 辨析：基本不等式取等号的条件是“一正，二定，三相等”．在解题过程中，一定要先检查取等的三个条件是否成立．常见的技巧是①如果积或和不是定值，则构造“定值”；②若是不能保证，可构造“正数”；③若等号不能成立，可根据“对勾函数”图象，利用函数的单调性求解． 【典例1】已知实数满足，则（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值6 D．有最大值6 【答案】C 【解析】，(当且仅当，即时，取等号） 故选:C. 【典例2】下列命题中错误的是（ ） A．当时， B．当时，的最小值为2 C．当时， D．当时， 【答案】B 【解析】利用基本不等式可判断选项A；利用对勾函数的性质可判断选项B；利用基本不等式可判断选项C；利用基本不等式可判断选项D．对于A，当时，，当且仅当时取等号，正确； 对于B，当时，，错误； 对于C，当时，，当且仅当，即时取等号，正确； 对于D，当时，，，当且仅当时取等号，正确； 故选：B 重难点01 利用元素与集合的关系求参数 （1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值； （2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． 1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【答案】B 【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案. 【详解】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B 2．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，且，则 ． 【答案】 【分析】由，可得或，然后分情况求出的值，再利用集合中的元素的互异性判断即可 【详解】由，可得或， 由，解得，经过验证，不满足条件，舍去. 由，解得或，经过验证：不满足条件，舍去. ∴. 故答案为：. 3．（25-26高一上·全国·课堂例题）不包含， 0， 1的实数集A满足条件：若，则．如果，用列举法表示集合A. 【答案】 【分析】利用迭代法，将所得的数依次代入，即可求解. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 开始循环， 综上，． 4．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论，根据题意列出关系式求解即可. 【详解】根据集合中元素的互异性可得：，且. 当集合时，集合的最大元素为；当集合时，集合的最大元素为； 根据题意可得：集合的所有元素之和为. 且或， 解得：. 故选：B. 重难点02 集合相等求参数 由集合相等可知两集合元素完全相同，列出所有可能的元素对应等式组。解方程组得到参数值后，代入集合检验，确保两集合元素完全一致且满足互异性，剔除导致集合元素重复的解。 5．（2025高二下·浙江·学业考试）设集合，，若，则（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】利用集合相等的定义即可求解. 【详解】，，， 此时集合，，故， . 故选：C. 6．（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，则 . 【答案】1 【分析】根据集合相等结合集合的互异性可得，，即可得结果. 【详解】因为，可知， 可得，则，解得， 若，则，不合题意； 若，则，符合题意； 综上所述：，. 所以. 故答案为：1. 7．（24-25高一上·北京房山·期中）已知，集合，且，则 . 【答案】 【分析】根据题意结合集合相等分析求解即可. 【详解】因为，显然， 则，即，可得， 此时，可得，所以. 故答案为：. 重难点03 集合的表示方法 1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然. 2、描述法，注意代表元素. 8．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3，1，4构成的集合是{1，2，3，1，4} B．满足的构成的集合是 C．全体实数构成的集合是{x|x是实数} D．抛物线上的所有点的坐标构成的集合是 【答案】C 【分析】根据集合中元素满足互异性即可求解A，根据集合的描述法表示即可求BC. 【详解】对于A,根据集合中的元素满足互异性，可知构成的集合为{1，2，3, 4},故A错误， 对于B, 满足的构成的集合是，故B错误， 对于C, 全体实数构成的集合是{x|x是实数},C正确， 对于D, 抛物线上的所有点的坐标构成的集合是，故D错误， 故选：C 9．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，结合得的值即可求解. 【详解】由得，，即， 又，∴ 故. 故选：C. 10．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）用要求的方法表示下列集合： (1)列举法表示“小于10的自然数组成的集合”． (2)列举法表示集合 (3)描述法表示偶数集 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由列举法的定义写出集合即可； （2）由列举法的定义写出集合即可； （3）由描述法的定义写出集合即可. 【详解】（1）列举法表示“小于10的自然数组成的集合”为：； （2）列举法表示集合：； （3）描述法表示偶数集为：. 重难点04 集合基本关系的判断 判断集合间关系的三种方法 列举法 根据题中限定条件把集合元素列举出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系 结构法 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断 数轴法 在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系 11．（24-25高一上·天津·阶段练习）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系、集合间的基本关系逐一判断即可. 【详解】①根据子集定义可知，①错误； ②集合与集合相等，满足子集定义，②正确； ③空集是任何集合的子集，③正确； ④空集中不含任何元素，集合中有一个元素，空集与集合不相等，④错误； ⑤集合中有两个元素，集合中有一个元素，元素形式不一致，⑤错误； ⑥是元素，是集合，元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，应该为，⑥错误. 故选：B. 12．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，，，则的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将集合中元素化为统一形式，然后进行判断即可. 【详解】， , ， 故 故选：B. 13．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出集合，，由集合间关系即可求解. 【详解】由题意得，所以． 故选：C 重难点05 根据集合的包含关系求参数 利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围.常采用数形结合的思想，借助数轴解答. 14．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）设集合，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据包含关系分，，三种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，所以．当，即时，有相同元素，不符合； 当，即时，，，符合； 当，即时，有相同元素，不符合． 综上所述：. 故答案为：. 15．（24-25高一下·云南·阶段练习）已知集合，，若MN，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据真子集列出不等式即可求解. 【详解】因为，，且MN， 所以， 故选：A 16．（24-25高一上·云南·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)的值为或 (2) 【分析】（1）由条件可得，代入计算，然后检验，即可得到结果； （2）化简集合，分，以及讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，所以，将代入中的方程， 得，解得或， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件， 综上，的值为或. （2）对于集合，. 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，要想使，则， 此时，该方程组无解， 综上的取值范围是. 17．（24-25高一上·广东清远·阶段练习）已知集合，，且，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】分，讨论即可得解. 【详解】当，即时，，满足题意； 当，即时，由可知， 解得. 综上，实数m的取值范围为. 18．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合满足Ü，则满足条件的有 个． 【答案】7 【分析】根据子集和真子集的概念求解即可. 【详解】由题意可知，集合中一定包含元素, 且是的真子集， 所以或或或或或或， 即满足条件的集合有7个. 故答案为：7. 重难点06 子集、真子集个数的求法 求集合子集、真子集的步骤 19．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是    （    ） A．6 B．7 C．14 D．15 【答案】B 【分析】根据真子集的个数公式即可求解. 【详解】由题意可得，故集合A的所有真子集的个数为. 故选：B. 20．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知集合，，，则集合C的子集有（   ） A．64个 B．63个 C．16个 D．15个 【答案】C 【分析】根据题意，求得集合，结合集合子集个数的计算方法，即可求解. 【详解】由集合，，且， 因为，，可得集合，所以集合的子集有个. 故选：C. 重难点07 根据子集、真子集个数求参数 根据子集、真子集的个数求参数，可按以下策略进行：​ 首先，明确子集、真子集个数与集合元素个数的关系：若集合有n个元素，则子集个数为2ⁿ，真子集个数为2ⁿ-1。据此可由已知的子集或真子集个数反推集合元素个数n。​ 其次，根据集合元素个数的要求，分析集合的构成。若集合由方程的根组成，需分方程是一次还是二次等情况讨论，结合判别式等确定参数取值；若集合含不等式等，需根据元素个数列出关于参数的不等式，求解参数范围。​ 最后，对求出的参数值或范围进行验证，确保集合元素个数符合由子集、真子集个数推出的结果，保证逻辑一致性。 21．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）若有且仅有2个子集，则实数k的值是 . 【答案】或或 【分析】根据集合子集的个数，确定集合中元素的个数，再分类讨论求的值. 【详解】因为集合有且只有2个子集，所以集合中有且只有1个元素， 即方程有且只有1解. 若，则原方程可化为：，有且只有1解，符合题意； 若，由或. 故答案为：或或. 22．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据或为单元素集，分情况讨论，结合判别式即可求解. 【详解】由于集合至多有1个真子集，则集合中的元素个数至多为1，故或为单元素集，分情况讨论： ①当时，且，解得； ②当为单元素集时，中只有一个元素， 若，则，符合题意， 若，则，解得． 综上，的取值范围是或， 故答案为：或 重难点08 集合的基本运算 集合运算的基本类型 （1）具体集合的运算：具体集合（给出或可以求出集合中元素的具体值（范围））的交、并、补运算，其解法是化简集合，利用列举法或借助数轴、Venn图等求解； （2）抽象集合的运算：没有给出具体元素的集合间关系的判断和运算，解决此类问题的途径有二：一是利用特殊值法将抽象集合具体化；二是利用Venn图化抽象为直观. 23．（2025高二下·山东青岛·竞赛）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解一元二次不等式得到，再结合交集的定义求解即可. 【详解】令，解得，又因,则， 而，得到，故D正确. 故选：D 24．（江西省宜春市九师联盟2024-2025学年高二下学期7月摸底考试数学试卷）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式，根据并集运算得解. 【详解】因为， 所以． 故选：A 25．（24-25高二下·吉林长春·期末）设全集，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合的补运算求集合即可. 【详解】由，则. 故选：A 26．（24-25高一上·安徽黄山·期末）已知集合，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】应用集合交补混合运算求新集合即可. 【详解】由题设， 所以或. 故选：C 27．（2026高三·全国·专题练习）设集合，，为整数集，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】因为整数集， 又， 且， 且， 所以, 故选：A. 重难点09 集合的基本运算求参数 利用集合的运算求参数的方法 （1）若已知集合的运算结果（实质是集合间的关系）求参数的值（范围），一般先确定不同集合间的关系，即元素之间的关系，再列方程或不等式求解.在求解过程中要注意空集的讨论，避免漏解； （2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化. 28．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的值是 . 【答案】0或1或 【分析】由题可知，则或即可求解. 【详解】由题易得，，， 或，或. 故答案为：0或1或. 29．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据并集结果得到，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】因为，所以 ①若，则， ②若，则 综上 故答案为： 30．（22-23高一上·四川广安·阶段练习）已知集合或，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，解得，即. 故选：D 31．（24-25高二下·浙江温州·期末）设全集，集合，若，则 ． 【答案】4 【分析】根据补集定义求出集合A，然后由韦达定理可得. 【详解】因为，，所以， 所以和是方程的两根，故，经检验满足题意. 故答案为：4 32．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【详解】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 重难点10 集合新定义题 在集合新定义问题中，出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算。解题时，要抓住两点：（1）分析新定义的特点，把新定义中所叙述的问题的本质弄清楚，并且能够应用到具体的解题过程中；（2）集合中元素的特性及集合的基本运算是解题的突破口，要熟练掌握。 33．（2025高一上·全国·专题练习）设设，是两个非空集合，定义且，已知，，则（ ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先求出和，再根据的定义写出运算结果. 【详解】因为， 所以，， 又且， 所以或， 故选：B 34．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）集合是实数集的子集，定义，叫做集合的对称差．若集合，，则 ， ． 【答案】 【分析】先求解化简集合，再根据定义，结合集合并集运算求解即可. 【详解】， ， 则，， . 故答案为：；. 35．（2023·安徽蚌埠·二模）对于数集，，定义， ，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的新定义求出和，即可求出元素之和. 【详解】根据新定义，集合，则， 则 ，则可知所有元素之和为． 故选：D 36．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）在中学阶段，对许多特定集合（如实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容.现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：.则 . 【答案】 【分析】根据题设定义，结合条件，即可求解. 【详解】由题设定义知， 故答案为：. 重难点11 充分条件、必要条件、充要条件的判断 判断充要条件的三种方法 (1) 定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2) 集合法：利用集合的包含关系判断．小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系． (3) 传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 37．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】化简和，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】化简可得或， 化简可得， 因为是或的子集， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 38．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）命题A：是无理数，命题B：是无理数，则命题A是命题B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件判断即可. 【详解】是无理数，不一定是无理数，如，；而是无理数，一定是无理数， 故命题A是命题B的必要不充分条件. 故选：B 39．（24-25高三下·陕西商洛·阶段练习）“一元二次方程有实数根”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若一元二次方程有实数根，则且， 所以充分性成立； 由推不出，即推不出方程一定为一元二次方程，故必要性不成立； 所以“一元二次方程有实数根”是“”的充分不必要条件. 故选：A 40．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）设，，则“且”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由且，根据不等式性质可以知道，故充分性成立； 但是，得不到且， 如且，满足，显然不成立，故必要性不成立； 所以“且”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 重难点12 充分条件、必要条件的探求 探求充分条件、必要条件的方法 （1）寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p，即p⊆q； （2）寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p，即q⊆p； （3）寻求q的充要条件p，即寻求使q成立的条件p（p⇒q），同时又要寻求以q为条件可推出p成立（q⇒p），即p＝q. 41．（24-25高一下·广东揭阳·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，即， 当时，取，则， 所以“”是“”的一个充分不必要条件，故A正确； 对于B，即，“”是“”的充要条件，故B错误； 对于C，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误． 故选：A． 42．（24-25高二下·江西赣州·期末）设，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用必要不充分条件，逐项验证即可. 【详解】对于A：当时，，由，所以当时，，所以是的既不充分也不必要条件，故A错误； 对于B：由于在上为增函数，由有，当时，，所以是的充要条件，故B错误； 对于C：由有，所以或，所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D：由有，当时，，即，所以是必要不充分条件，故D正确. 故选：D. 43．（24-25高一上·安徽合肥·期末）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据充分不必要条件的判定可得 【详解】各选项中，只有为或的真子集，其余均不为真子集， 故“”是“或”的一个充分不必要条件， 故选:C 44．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 【答案】A 【分析】变形给定的等式，再利用充要条件的定义判断即可. 【详解】由题意， 则和中至少有一个为0，即，中至少有一个为1， 所以“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”. 故选：A. 重难点13 充分条件、必要条件求参数的范围 应用充分、必要条件求解参数范围的方法 （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（不等式组）求解； （2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号取决于端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 45．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分不必要条件可得集合的包含关系，即可得到答案. 【详解】根据题意，或， 是的充分不必要条件， 所以且， 则. 故选：D 46．（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当且时求出的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案. 【详解】由题可知且，解得， 所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集， 因为只有选项A中的是的真子集， 故选：A 47．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知全集，集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】(1)当时，求出集合利用补集和交集的运算可求得集合； (2)由必要不充分条件的定义可知且，再利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由得，即， 所以集合. 又全集，所以， 当时，集合， 所以. （2）若“”是“”的必要不充分条件，则且. 所以或，解得. 故实数的取值范围为. 48．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分别求出，，再根据集合的交集运算即可； （2）由于是的必要不充分条件，可知是的真子集，再根据集合关系求出的范围即可． 【详解】（1）， 当时，或． ． （2）因为，或． 是的必要不充分条件，所以或， 所以或． 49．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知． (1)若是的充要条件，求的值； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据充要条件知，不等式的解集相同，建立方程得解； （2）由充分不必要条件可化为，解不等式得解. 【详解】（1）因为是的充要条件， 所以， 解得. （2）因为是的充分不必要条件， 所以， 即，解得， 所以的取值范围. 50．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数 ． 【答案】5 【分析】根据充要条件列出等式求解即可. 【详解】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5 重难点14 根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参 由命题的真假求参数的策略 （1）巧用三个转化：①全称量词命题可转化为恒成立问题；②存在量词命题可转化为存在性问题；③全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真. （2）准确计算：通过解方程或不等式（组）求出参数的值或范围. 51．（24-25高一上·黑龙江绥化·阶段练习）若命题“存在，使”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特称量词命题的真假结合判别式求解，即得答案. 【详解】由题意知命题“存在，使”是真命题， 即有实数解， 故， 即实数的取值范围是， 故选：B 52．（24-25高一上·广西钦州·阶段练习）已知命题. (1)若命题p为真命题，求m的取值范围； (2)若命题p为假命题和命题q为真命题.求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，根据一次函数的性质求出的最小值，即可得解； （2）求出命题q为真命题时参数的取值范围，即可得解. 【详解】（1）命题为真命题，即， 因为在上单调递增，所以当时取得最小值， 所以，即m的取值范围. （2）若命题为真命题，则， 解得或， 若命题p为假命题，则， 因为命题p为假命题且命题q为真命题，所以， 即m的取值范围为. 53．（24-25高一上·四川成都·期末）已知集合，非空集合 (1)若“命题”是真命题，求的取值范围； (2)若“命题”是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据且列不等式组求解； （2）由求解． 【详解】（1）解得，则， “命题”是真命题，且， ，解得; （2）； 由为真，则， . 重难点15 全称量词命题和存在量词命题的否定 对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法 （1）改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； （2）否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可. 54．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知命题p：，，则命题p的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据含有一个量词的否定得到答案即可. 【详解】命题p：，，则命题p的否定为，, 故选：D. 55．（24-25高三下·江苏宿迁·阶段练习）若命题p：，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将存在量词命题否定为全称量词命题即可. 【详解】因为命题p：， 所以为. 故选：A 56．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知命题，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由命题的否定的定义即可得解. 【详解】已知命题，则为. 故选：B. 57．（2025·广西柳州·模拟预测）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全称命题的否定是将任意改存在并否定原结论，即可得. 【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为. 故选：C 58．（22-23高一上·海南儋州·期中）已知命题：，总有，则命题的否定为（   ） A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 【答案】B 【分析】根据全称命题和特称命题的否定规则进行求解即可. 【详解】全称命题的否定规则为：全称命题：，它的否定. 所以对于命题：，总有，根据全称命题的否定规则， 它的否定是：，使得. 故选：B. 重难点16 不等式的性质及应用 判断不等式的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证． (2)利用特殊值法排除错误选项． (3)作差法． (4)构造函数，利用函数的单调性． 59．（24-25高二下·江西·期末）已知，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过特殊值排除ABD选项，利用不等式的性质证明C选项. 【详解】对于A，当时，不等式不成立，所以A错误． 对于B，当时，满足，但，所以B错误． 对于C，因为，所以，则，所以C正确． 对于D，当时，，不符合，所以D错误． 故选：C. 60．（24-25高二下·北京昌平·期末）已知 ，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两个分子相同的分数，分母越大，分数值越小，以及不等式两边同时乘一个正数，不等号方向不变，不等式两边同时乘一个负数，不等号方向改变，再结合不等式的传递性，进行大小比较即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 综上，，因此选项A错误，选项B正确； 因为，所以， 因为，所以， 综上，和无法判断正负，故选项C错误，选项D错误. 故选：B. 61．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 【答案】D 【分析】利用不等式的性质和作差法来进行不等式变形即可得到判断，对于不成立的不等式可通过举反例来判断. 【详解】对于A；由，可知，所以，故A正确； 对于B；由可得：，因为，所以，故B正确； 对于C；由可得：，又因为所以，故C正确； 对于D；取，则故D错误； 故选：D. 62．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出每个数的取值范围，再结合不等式的性质可得出各数的大小关系． 【详解】因为，所以，，． 由于，故在不等式上同时乘以a得，即， 因此，． 故选：C 63．（24-25高一上·新疆和田·期末）已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 64．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式性质得到，. 【详解】，故， 又，所以 故选：D 65．（24-25高一上·湖南郴州·期末）已知实数满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式性质得到，得到答案. 【详解】，又， 故，即. 故选：D 66．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求得，再根据不等式的性质求解即可. 【详解】设， 则， 所以， ， 因为， 所以， 所以，即， 故选：C. 重难点17 基本不等式及应用 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 67．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分必要条件的定义判断． 【详解】成立时，可以有，此时不成立，不充分， 成立时，，因此有，必定成立，因此是必要的， 所以是必要不充分条件， 故选：B． 68．（2025高三·北京·专题练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】根据基本不等式，可得答案. 【详解】由于，则， 故， 当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故选：A. 69．（2025高二上·北京·学业考试）已知，且，则的最大值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由基本不等式求最值即可. 【详解】因为， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：D 70．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】由题意有，利用均值不等式即可求解. 【详解】由，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 71．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式“1”的妙用，根据展开，利用基本不等式即可得到. 【详解】， 当时取等，所以的最小值为. 故选：C. 72．（22-23高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】A 【分析】由基本不等式求解， 【详解】 因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为， 故选：A 73．（21-22高一下·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．14 D．16 【答案】A 【分析】利用基本不等式可求解. 【详解】因为，所以.因为，所以，所以，即， 当且仅当时，等号成立，故的最小值是6. 故选：A 74．（24-25高二下·陕西西安·期末）设，，，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用乘“1”法，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 75．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知为正数，，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】，然后根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可. 【详解】因为为正数，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 76．（2025·广东汕头·模拟预测）已知，，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：C 77．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最大值为. 故选：C. 78．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式得到，解不等式，求出答案. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 令，则，解得或． 因为，所以（取等号）． 故的取值范围是． 故选：A 79．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据基本不等式“1”的妙用先求得的最小值，进而转化问题为，解不等式即可求解. 【详解】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 要使恒成立，则， 解得，即实数的取值范围为. 故选：A. 80．（24-25高一上·山东青岛·期中）若，不等式恒成立，则实数的（    ） A．最大值是4 B．最大值是6 C．最小值是4 D．最小值是6 【答案】B 【分析】利用基本不等式，结合不等式恒成立问题的解法即可得解. 【详解】因为， ， 当且仅当，即时取等号， 又不等式恒成立，所以，即， 所以实数的最大值6，没有最小值，故B正确. 故选：B. 重难点18 一元二次不等式解法 解一元二次不等式的4个步骤 1．变——把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． 2．判——计算对应方程的判别式． 3．求——求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． 4．写——利用“大于取两边，小于取中间”的方法，写出不等式的解集． 81．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先解不等式，然后根据充分条件、必要条件的定义判断即可 【详解】由或，， 若或成立，则不一定成立，故充分性不成立， 若成立，则或一定成立，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 82．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由题有转化为求方程的根即可求解. 【详解】由题意有，方程有两个根，即和1， 则的解集为或， 即不等式的解集为或. 故选：C. 83．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求集合A，可知集合是集合A的真子集，进而逐项分析判断. 【详解】因为集合，且， 可知集合是集合A的真子集，故AC错误，B正确， 且，故D错误. 故选：B. 重难点19 含参一元二次不等式解法 解含参数的一元二次不等式的步骤 1．若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． 2．判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的大小关系． 3．当确定方程无根时，可直接写出解集；当确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集． 84．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若关于的不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先分情况讨论不等式的解集，再根据解集包含整数的个数确定的取值范围. 【详解】不等式可化为. 若即，则原不等式的解集为，由解集恰有两个整数，可得； 若即，则原不等式可化为，无解； 若即，则原不等式的解集为，由解集恰有两个整数，可得. 综上可得：实数的取值范围为：. 85．（23-24高一上·甘肃白银·期中）解下列不等式. (1)； (2). 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案, （2）分，和三种情况求解. 【详解】（1）不等式可化为， ∴ 不等式的解集是. （2）原不等式可化为， 若时，解为, 若时，解为， 若时，解为. 86．（24-25高一上·江西·开学考试）解关于x的不等式： 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况求解即可. 【详解】当时，不等式为，解得， 当时，由不等式，可得， 所以， 若，则，解不等式得或， 若，则，不等式的解集为若， 若，解得时，解不等式得或， 当时，由不等式，可得， 所以， 解得， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 重难点20 由一元二次不等式的解确定参数 1．一元二次方程的根就是相应的一元二次函数的零点，也是相应的一元二次不等式解集的端点值． 2．如果给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应的二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用根与系数的关系求待定系数． 87．（2026高三·全国·专题练习）若不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C．10 D．14 【答案】A 【分析】由题意得，是方程的两个根，代入求解即可. 【详解】因为，是方程的两个根，所以，解得，所以. 故选：A. 88．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为（   ） A． B． C．｛或｝ D． 【答案】C 【分析】依题意可得是方程的两根，利用韦达定理可得与的关系，再代入目标不等式，解出即可. 【详解】不等式的解集为， 则，即， 由得， 即，解得或. 故选：C. 89．（24-25高一上·天津·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求得，然后解一元二次不等式即可求解. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以的两个根为1，2， 所以由韦达定理有，解得， 所以不等式，即不等式或. 故选：A. 重难点21 一元二次不等式的恒成立问题 一元二次不等式恒成立问题求参数的策略 （1）弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数； （2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论. 90．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和，结合二次不等式解集的形式求参数的取值范围. 【详解】若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为， 所以. 综上可得：. 故选：B 91．（2025高二下·陕西·学业考试）命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据原命题的否定命题为真命题可将问题转化为二次函数恒成立为题，利用二次函数的性质进行求解即可. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 即对恒成立， 因为，所以. 故选：A 92．（24-25高一上·江西·开学考试）当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由一元二次不等式恒成立的条件可得结果. 【详解】由一元二次不等式，可得， 从而，解得：. 故选：A. 93．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 12 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $$