精品解析：30届世界奥林匹克数学竞赛中国区八年级初赛试卷

第30届WMO融合创新讨论大会（初测） 八年级试卷 （满分120分，时间90分钟） 须知： 1．测评期间，不得使用计算工具或手机． 2．选择题共10小题，共40分；填空题共6小题，共30分；解答题共5题，共50分；共120分． 3．请将答案写在本卷上，测评结束时，本卷及草稿纸会被收回． 4．若计算结果是分数，请化至最简． 一、单选题（每小4分，共40分） 1. 下列数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 卡西尼卵形线 C. 赵爽弦图 D. 费马螺线 2. 下列说法正确的是（ ） A. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件 B. 将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移4个单位得到抛物线 C. 数据4，5，5，4，5，3，4中没有众数 D. 若两组数据的平均数相同，，则B组数据较稳定 3. 在一个不透明的袋子里装有个黑球和若干白球，它们除颜色外都相同．在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中白球数，采用如下办法：随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，记下颜色，…不断重复上述过程．小明共摸次，其中次摸到黑球．根据上述数据，小明估计口袋中白球大约有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 一个立体图形的三视图如图所示，根据图中数据求得这个立体图形的表面积（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，分别为的内接正方形、内接正三角形的边，是圆内接n边形的一边，则n等于（ ）． A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 6. 我们发现：，，一般地，对于正整数a，b，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面，是一组完美方根数对．则下面5个结论：①是完美方根数对；②是完美方根数对；③若是完美方根数对，则；④若是完美方根数对，则点在抛物线上；⑤对于任意一个正整数a，均存在一个正整数b使组成一组完美方根数对．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 7. 如图，AB，CD相交于点E，且AB=CD，试添加一个条件使得△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：①∠A=∠C;②∠B=∠D;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB．其中符合要求有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8. 若正方形按如图所示的方式放置．点在直线l上，直线l与x轴的夹角为和点在x轴上，已知点，则的坐标是（ ）． A. B. C. D. 9. 已知正整数a，b，c，d满足，且，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（ ）． ①是该四元方程的一组解； ②连续的四个正整数一定是该四元方程的解； ③若，则该四元方程有21组解； ④若，则该四元方程有505组解． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 已知一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还多180°，则这个多边形的边数为________． 12. 已知数m使关于x的不等式组至少有一个非负整数解，且使关于x的分式方程有不大于7的整数解，则所有满足条件的整数m的个数是_______个． 13. 如图，在平面直角坐标系中，，P是在以Q为圆心，3为半径的上一动点，设P点的横坐标为x，、，连接，则的最大值是_______． 14. 如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点D落在上，连结．若，则的面积为_______． 15. 如图，在中，，，，点是平面内到点的距离等于的任意一点，点是的中点，则的取值范围是______． 16. 如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张（），如果要选用上述3类卡片共6张拼成一个大长方形（拼接时不可重叠，不可有缝隙）、且卡片全部用上，则不同的选取方案有_______种． 三、解答题（共5小题，共50分） 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 九年级某班的两位学生对本班的一次数学成绩（分数取整数，满分为100分）进行了一次初步统计．看到80分以上（含80分）有16人，但没有满分，也没有低于30分的．为更清楚了解本班考试情况，他们分别用两种方式进行了统计分析，如图1和图2所示， 请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）班级共有多少名学生参加了考试？参加考试的学生中70分到79分的学生有多少人？ （2）参加考试的学生中85分到89分的学生有多少人？ （3）若全校九年级共有1500名学生，则九年级成绩在69.5~89.5分的约有多少名学生？ 19. 若一个四位数M的百位数字与千位数字的差恰好是个位数字与十位数字的差的2倍，则将这个四位数M称作“星耀重外数”．例如：，，是“星耀重外数”；又如，，不是“星耀重外数”． （1）判断2023，7532是否是“星耀重外数”，并说明理由； （2）一个“星耀重外数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，且满足，记，当是整数时，求出所有满足条件的M． 20. 如图，抛物线与x轴交于两点和，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，过点D作x轴的垂线，与直线相交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）当点D在直线下方的抛物线上运动时，线段的长度是否存在最大值？存在的话，求出其最大值和此时点D的坐标； （3）若以为顶点的四边形为平行四边形，求点D的所有坐标． 21. 如图，在四边形中，，对角线平分．点P是边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为；点Q是上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为．设点P，Q同时出发，移动时间为（）．连接，以为直径作． （1）求的长． （2）当t为何值时，与相切？ （3）当t为何值时，线段被截得的线段长恰好等于的半径？ （4）当t为_______时，圆心O到直线的距离最短，最短距离为_______．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第30届WMO融合创新讨论大会（初测） 八年级试卷 （满分120分，时间90分钟） 须知： 1．测评期间，不得使用计算工具或手机． 2．选择题共10小题，共40分；填空题共6小题，共30分；解答题共5题，共50分；共120分． 3．请将答案写在本卷上，测评结束时，本卷及草稿纸会被收回． 4．若计算结果是分数，请化至最简． 一、单选题（每小4分，共40分） 1. 下列数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 卡西尼卵形线 C. 赵爽弦图 D. 费马螺线 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； B既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求； C不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求； D不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件 B. 将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移4个单位得到抛物线 C. 数据4，5，5，4，5，3，4中没有众数 D. 若两组数据的平均数相同，，则B组数据较稳定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，抛物线的平移，众数及方差，根据随机事件，抛物线的平移，众数的定义及方差逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件，正确，故选项符合题意； B、将抛物线向右平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线，故选项不符合题意； C、数据4，5，5，4，5，3，4中众数为5，4，故选项不符合题意； D、方差越小数据越稳定，组数据较稳定，故选项不符合题意； 故选：A． 3. 在一个不透明的袋子里装有个黑球和若干白球，它们除颜色外都相同．在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中白球数，采用如下办法：随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，记下颜色，…不断重复上述过程．小明共摸次，其中次摸到黑球．根据上述数据，小明估计口袋中白球大约有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了可能性大小，分式方程的应用，根据可能性大小，得到摸到白球的可能性约为，设白球为个，根据题意得，然后求解并检验即可，熟练掌握样可能性大小，解分式方程是解题的关键． 【详解】解：∵小明共摸了次，其中次摸到黑球， ∴有次摸到白球， ∴摸到白球的可能性大小为， 设白球为个， 根据题意得， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 故选：． 4. 一个立体图形的三视图如图所示，根据图中数据求得这个立体图形的表面积（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由三视图确定立体图形的形状，以及圆锥表面积的计算．先根据三视图判断出立体图形是圆锥，再分别计算圆锥的底面积和侧面积，最后将它们相加得到表面积． 【详解】解：由三视图可知：该立体图是圆锥， ∵从俯视图可知圆锥底面圆的直径为， ∴圆锥的底面半径为， 从主视图可知圆锥的高， 根据勾股定理求圆锥的母线长：， 圆锥底面积公式为， 圆锥侧面积公式为， 圆锥表面积，即， 故选：D． 5. 如图，分别为的内接正方形、内接正三角形的边，是圆内接n边形的一边，则n等于（ ）． A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正多边形和圆．求出，即可得到． 【详解】解：如图，连接， 分别为的内接正方形、内接正三角形的边， ， ， ， 故选B． 6. 我们发现：，，一般地，对于正整数a，b，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面，是一组完美方根数对．则下面5个结论：①是完美方根数对；②是完美方根数对；③若是完美方根数对，则；④若是完美方根数对，则点在抛物线上；⑤对于任意一个正整数a，均存在一个正整数b使组成一组完美方根数对．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义，因式分解法解一元二次方程，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先充分理解完美方根数对的定义，再分析，，即可判断①和②；结合是完美方根数对，得出，再解得，因为是完美方根数对，则，整理得；因为是完美方根数对，则点在抛物线上，当时，，不满足b为正整数，即可作答． 【详解】解：依题意，， 是完美方根数对； 故①正确； ， 不是完美方根数对； 故②不正确； 若是完美方根数对，则， 即， 解得或， a是正整数， 则， 故③正确； 若是完美方根数对，则， ， 即， 故④正确； 若是完美方根数对，则点在抛物线上， 当时，，不满足b为正整数， ⑤不正确． 故选B 7. 如图，AB，CD相交于点E，且AB=CD，试添加一个条件使得△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：①∠A=∠C;②∠B=∠D;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB．其中符合要求有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】延长DA、BC使它们相较于点F ，首先根据AAS证明△FAB≌△FCD，然后根据全等三角形的性质即可得到AF=FC，FD=FB，进而得到AD=BC，即可证明△ADE≌△CBE，可判断①、②的正误；根据SAS证明△ADE≌△CBE，即判断③、④的正误；连接BD，根据SSS证明△ADB≌△CBD，根据全等三角形的性质得到∠A=∠C，结合①即可证明⑤． 【详解】延长DA、BC使它们相较于点F ∵∠DAB=∠DCB，∠AED=∠BEC ∴∠B=∠D 又∵∠F=∠F，AB=CD ∴△FAB≌△FCD ∴AF=FC，FD=FB ∴AD=BC ∴△ADE≌△CBE，即①正确； 同理即可证明②正确； ∵AE=CE，AB=CD ∴DE=BE 又∵∠AED=∠BEC ∴△ADE≌△CBE，③正确； 同理即可证明④正确； 连接BD， ∵AD=CB，AB=CD，BD=BD ∴△ADB≌△CBD ∴∠DAB=∠BCD ∴△ADE≌△CBE，⑤正确； 故选D． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，主要包括：SSS、SAS、AAS、ASA，难点在于添加辅助线来构造三角形全等，关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等． 8. 若正方形按如图所示的方式放置．点在直线l上，直线l与x轴的夹角为和点在x轴上，已知点，则的坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律问题，正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．求出直线解析式为，然后求出，，的坐标，探究规律后即可解决问题． 【详解】直线l与x轴的夹角为，点， ∴直线l与x轴交点坐标为 设直线l解析式为：，代入点 解得： ∴直线l解析式为， 四边形是正方形， 把代入，得 的坐标为 同理，的坐标为 坐标为 的坐标为 故选：A． 9. 已知正整数a，b，c，d满足，且，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（ ）． ①是该四元方程的一组解； ②连续的四个正整数一定是该四元方程的解； ③若，则该四元方程有21组解； ④若，则该四元方程有505组解． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】将，，，代入到四元方程中看等式两边是否相等即可判断①；设，然后代入四元方程即可判断②；先证明，同理得到，即可推出得到，据此即可判断③；根据③所求可以推出，由此即可判断④． 本题主要考查了因式分解的应用，二元一次方程的解，解题的关键在于能够正确理解题意，以及方程的解得含义． 【详解】解：①当时，方程左边，方程右边， ∴方程左右两边相等， 是四元方程的一组解，故①正确； ②设， ， ， ∴当，四元方程左右两边相等， ∴连续的四个正整数一定是该四元方程的解，故②正确； ③，且c、d均为正整数， ， ， 同理， ， 又， ， ， 时，或或或或或或， 同理时，或或或或或， 时，或或或或， …， 时，， ∴当，该四元方程一共有组解，故③错误； ④由③得， ， ， ， a，c都是正整数，且， ∴当时，， 当时，， …， 当时，， ∴满足题意的a、b、c、d的值有505组， ∴若，则该四元方程有505组解，故④正确； 故选C． 10. 如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、中位线的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是利用手拉手模型构造辅助线． 分别以、为边在下方构造等边三角形、，分别取、中点，连接，先证得，可得，由中位线可得，由等边三角形性质可得，当三点共线时即可求得的最小值，最终求出的最小值． 【详解】解：分别以为边在下方构造等边三角形、，分别取中点E、F，连接，如图所示， 取中点E、F， ， 等边三角形， 等边三角形， ， ， ， ， ， 当A、P、F三点共线时最小， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故选：C 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 已知一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还多180°，则这个多边形的边数为________． 【答案】7##七 【解析】 【分析】根据题意设多边形边数为，结合多边形内角和定理与多边形外角和定理，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得： ， 解得：， 即这个多边形的边数为7． 12. 已知数m使关于x的不等式组至少有一个非负整数解，且使关于x的分式方程有不大于7的整数解，则所有满足条件的整数m的个数是_______个． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组，分式方程，掌握相关知识是解决问题的关键．分别解不等式组的两个不等式，根据“不等式组至少有一个非负整数解”，得到关于的一元一次不等式，求出解集；解分式方程，结合“该分式方程有不大于7的整数解”，得到关于的不等式，求出解集；经判断后即可得到的值，即可得到答案． 【详解】解：解不等式得： ， 解不等式得： ， 关于x的不等式组至少有一个非负整数解， ， 解得：， 解分式方程得： ，且， ∵关于x的分式方程有不大于7的整数解， 且，且为整数， 解得：且且满足是4的整数倍， 则符合要求的m的值为：9，13，17，21共4个， 故答案为：4． 13. 如图，在平面直角坐标系中，，P是在以Q为圆心，3为半径的上一动点，设P点的横坐标为x，、，连接，则的最大值是_______． 【答案】356 【解析】 【分析】本题考查了两点之间距离公式，圆外一定点到圆上一动点的最值问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 设，则，而当点P处于延长线与圆的交点时，最大，即取得最大值，再由求解即可． 【详解】解：设， ， ， ， ， 当点P处于延长线与圆的交点时，最大， ， ， ∴的最大长度为：， 最大值为， 故答案为：356． 14. 如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点D落在上，连结．若，则的面积为_______． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，正确添加辅助线是解题的关键． 过点E作于点H，过点E作，垂足为E，交FG的延长线于点K．先证，推出，，再证，推出，进而证明四边形是正方形，设正方形的边长为x，用勾股定理解求出x的值，再证，推出，最后根据即可求解． 【详解】解：过点E作于点H，过点E作，垂足为E，交FG的延长线于点K． ， 在正方形中，，， 正方形中，， ， 四边形是矩形， 在和中， ， ， ， ， ， B、A、G三点同在一条直线上， ， ， 与中， ， ， ，， 四边形是正方形， 设正方形的边长为x， 则， ，， ， ， （舍去）， ， ， ， 与中， ， ， ， ， ． 故答案为：32． 15. 如图，在中，，，，点是平面内到点的距离等于的任意一点，点是的中点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，取中点，连接，则，由勾股定理得，则，然后根据即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张（），如果要选用上述3类卡片共6张拼成一个大长方形（拼接时不可重叠，不可有缝隙）、且卡片全部用上，则不同的选取方案有_______种． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要是考查了根据几何图形列代数以及分解因式的知识，解答此题需要注意分类讨论的思想． 设A类卡片x张，B类卡片y张，C类卡片z张，且x、y、z为正整数，，拼接成的大长方形的长和宽为和，其中m、n、s、t为正整数，则根据面积相等有：，得，且m、n与s、t具有对称性，先固定长方形的一条边，去讨论另一条边，如此依次分类讨论即可． 【详解】解：设A类卡片x张，B类卡片y张，C类卡片z张，且x、y、z为正整数，，拼接成的大长方形的长和宽为和，其中m、n、s、t为正整数，则根据面积相等有：， 展开：， 即有：， 即，且m、n与s、t具有对称性， 先固定长方形的一条边，去讨论另一条边，如此依次分类讨论： ①当时，由，得， 当时，，即， 此时A类卡片1张，B类卡片2张，C类卡片3张； 当时，，即， 此时A类卡片2张，B类卡片1张，C类卡片3张； ②当时，由，得， 当时，，即， 此时A类卡片1张，B类卡片2张，C类卡片3张；（重复，舍去） ③当时，由，得， 当时，，即， 此时A类卡片2张，B类卡片1张，C类卡片3张；（重复，舍去） 综上：共计有2种方案， 故答案为：2． 三、解答题（共5小题，共50分） 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查多项式乘法，完全平方公式． 根据运算法则，对原式进行化简，代入字母的值，计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 18. 九年级某班的两位学生对本班的一次数学成绩（分数取整数，满分为100分）进行了一次初步统计．看到80分以上（含80分）有16人，但没有满分，也没有低于30分的．为更清楚了解本班考试情况，他们分别用两种方式进行了统计分析，如图1和图2所示， 请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）班级共有多少名学生参加了考试？参加考试的学生中70分到79分的学生有多少人？ （2）参加考试的学生中85分到89分的学生有多少人？ （3）若全校九年级共有1500名学生，则九年级成绩在69.5~89.5分的约有多少名学生？ 【答案】（1）50，14 （2）4 （3）750 【解析】 【分析】本题考查了频数分布与频率的综合应用（结合分数段频数和占比计算总人数及各段人数），扇形统计图，解题的关键是利用“频率频数总人数”的关系，以及各分数段频数之和等于总人数，结合图1的频数数据和图2的频率数据逐步推导． （1）先根据图1计算分以下的频数，结合图2中该段的频率求总人数；再用总人数减去分以下、、分以上的频数，得到分人数，进而减去的频数得分人数； （2）先根据图2中分的频率求该段总人数，减去、分的人数得分人数，再用的频数减去分人数，得分人数； （3）先算本班分的人数占比，再乘以全校九年级总人数． 【小问1详解】 解：（人）， 故班级共有名学生参加了考试，位于70分至79分的人数为：（人）； 【小问2详解】 分：， 所以，含有（人）， 又有（人）， 则分至分的有（人）， 故参加考试的学生中分到分的学生有4人． 【小问3详解】 在抽样调查中分的频率为：， 若全校九年级共有名学生，则九年级成绩在分的约有学生：（人）． 19. 若一个四位数M的百位数字与千位数字的差恰好是个位数字与十位数字的差的2倍，则将这个四位数M称作“星耀重外数”．例如：，，是“星耀重外数”；又如，，不是“星耀重外数”． （1）判断2023，7532是否是“星耀重外数”，并说明理由； （2）一个“星耀重外数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，且满足，记，当是整数时，求出所有满足条件的M． 【答案】（1）2023不是“星耀重外数”，7532是“星耀重外数”，理由如下： ， ∴2023不是“星耀重外数”； ， 是“星耀重外数” ∴2023不是“星耀重外数”，7532是“星耀重外数”． （2）4477或4678或． 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减运算等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）新定义运算求解即可； （2）根据新定义，找出的关系，再根据整除的意义求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：一个“星耀重外数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，， ，且a，b，c，d均为正整数， ， ， ， 由题意可得：为整数， 又是整数， 是24的整数倍， ， 又， ， ∴有以下几种情况： 当时，即， ， 解得：， 此时M为4477或4678， 当时，即，不符合题意， 当时，即， ∴ ， ∴， 此时为， 综上所述，满足条件的M的值为4477或4678或． 20. 如图，抛物线与x轴交于两点和，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，过点D作x轴的垂线，与直线相交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）当点D在直线下方的抛物线上运动时，线段的长度是否存在最大值？存在的话，求出其最大值和此时点D的坐标； （3）若以为顶点的四边形为平行四边形，求点D的所有坐标． 【答案】（1） （2）存在，，； （3）或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2） 设点D的坐标为，则点E的坐标为，，根据二次函数的性质即可求解； （3）分点D在上方和下方两种情况进行解答即可． 本题是二次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及平行四边形的判定与性质等知识点，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 【小问1详解】 解：把点、代入，得： ， 解得， ∴抛物线的解析式是； 【小问2详解】 解：存在． 对于二次函数， 令，则， 点C的坐标为， 设直线的解析式为， 把点代入，得： ， 解得， ； 设点D的坐标为，则点E的坐标为， ， ∴当时，取最大值4， 此时， 点D的坐标为； 【小问3详解】 解：①当D在E下方时， 由（2）得：， 点C的坐标为， ， ， 当时，四边形为平行四边形， 则， 解得， 此时点D的坐标为； ②当D在E上方时，， 同理，当时，四边形为平行四边形， 即， 解得， ∴此时或， 综上所述，点D的坐标是或或时，都可以使O，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 21. 如图，在四边形中，，对角线平分．点P是边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为；点Q是上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为．设点P，Q同时出发，移动时间为（）．连接，以为直径作． （1）求的长． （2）当t为何值时，与相切？ （3）当t为何值时，线段被截得的线段长恰好等于的半径？ （4）当t为_______时，圆心O到直线的距离最短，最短距离为_______．（直接写出结果） 【答案】（1） （2） （3）或 （4）， 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解； （2）当与相切时，，求出、，用含的式子表示出，即可求解； （3）分两种情况画出图形，根据直角三角形的性质用含的式子表示出，即可求解； （4）过圆心作于点，则的长为到的距离，延长交于点，过点作于点，根据矩形的判定和性质，相似三角形判定和性质，得出用表示的式子，根据的取值范围以及一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：过点D作于点M，如图1， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，解得（负值舍去）， 平分，， ， ； 【小问2详解】 当与相切时，，如图2， 由题意得：， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 时，与相切； 【小问3详解】 第一种情况：如图3，当时满足条件， 在中， ， ， ， 过作交于， 则， ， ， 即，解得； 第二种情况：如图4，当时满足条件， 在中，， 又， ， ， 即，解得； 综上，或； 【小问4详解】 如图5，过圆心O作于点H，则的长为O到的距离，延长交于点K，过点Q作于点R， 则四边形是矩形，， ， ∵， ， ， ， ， 点O是的中点， ， ， ， 当时，有最小值，最小值为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，勾股定理的逆定理，切线的判定，直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，解题时注意分类思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $