精品解析：广东省深圳市南山外国语学校（集团）高新中学2025-2026学年九年级开学考数学试卷

2025-2026学年度高新中学九年级九月学业质量检测数学 （试卷满分：100分 时间：90分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2，1，5 B. 2，1， C. 2，0， D. 2，0，5 5. 如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B及线段的中点O，以下操作和判断不正确的是（ ） A. 过点O作任意直线（除直线）交纸条两边于点C，D，得到平行四边形 B. 过点O作的垂线交纸条两边于点C，D，得到菱形 C. 分别过点A，B作对边的垂线，交对边于点C，D，得到矩形 D. 在点A，B所在边的对边分别取C，D两点，使得，得到平行四边形 6. 若，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即送给一张，也送给一张）．已知全组共赠送了306张卡片，则该小组一共有多少名成员？（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 8. 如图，边长为8的等边三角形中，E是对称轴上的一个动点，连接将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，则在点E运动过程中，的最小值是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题．（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 一元二次方程的一个解为，则_______． 10. 如图，的周长为，，相交于点，交于点，则的周长为_______． 11. 在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在2023年初，有一块质量为500克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到2025年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至405克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，根据题意，可列出一元二次方程为：______．（只列方程，不需求解） 12. 如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______． 13. 如图， 在四边形 中， ，， 连接 、 ，若 平分 ，，， 则 ______． 三、解答题（共7小题，共61分．） 14. 解下列方程： （1）； （2）． 15. 先化简，再从、0、1、2中选择一个合适的数作为的值代入求值． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，请画出； （2）将绕坐标原点按顺时针方向旋转90°得到，请画出； （3）若将绕点旋转可得到，则点的坐标为_______． 17. 如图，在中，对角线，交于点，点，分别是，的中点，连接、、、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形，，，求的长； （3）尺规作图：过点作直线，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价） 类别 价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣 进货价（元/件） 30 25 销售价（元/件） 45 37 （1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数； （2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ （3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？ 19. 阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． （1）【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程（）的正确构图是________．（从序号①②③中选择） （2）【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程________________________，解得原方程的一个根为________； （3）【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解． 已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数________，________，求得方程的正根为________． 20. 【定义学习】 定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”． 【判断尝试】 （1）在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“对直四边形”的是__________；（填序号） （2）如图1，四边形是对直四边形，若，，，，则边的长是_________； 【操作探究】 如图2，在菱形中，，，于点，请在边上找一点，使得以点、、、组成的四边形为“对直四边形”，直接写出的长是_________； 【拓展延伸】 如图3，在正方形中，，点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒1、1、2个单位长度的速度，分别沿正方形的边、、方向运动（保持），再分别过点、作、的垂线交于点，连结、．试说明：四边形为对直四边形． 【实践应用】 某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中米，米，，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余．请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高新中学九年级九月学业质量检测数学 （试卷满分：100分 时间：90分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 2. 若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质求解判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故A选项正确； B、∵， ∴，故B选项错误； C、∵， ∴， ∴，故C选项错误； D、∵， ∴，故D选项错误； 故选：A． 3. 下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，判断每个选项是否将多项式化为几个整式的积的形式．本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题的关键． 【详解】解：选项A，，是对单项式的拆分，不是因式分解，故该选项不符合题意； 选项B，，是整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； 选项C，，是因式分解，故该选项符合题意； 选项D，，不是整式，原变形不是因式分解，故该选项不符合题意． 故选：C． 4. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2，1，5 B. 2，1， C. 2，0， D. 2，0，5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式：（，，是常数且）中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，1，． 故选：B． 5. 如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B及线段的中点O，以下操作和判断不正确的是（ ） A. 过点O作任意直线（除直线）交纸条两边于点C，D，得到平行四边形 B. 过点O作的垂线交纸条两边于点C，D，得到菱形 C. 分别过点A，B作对边的垂线，交对边于点C，D，得到矩形 D. 在点A，B所在边的对边分别取C，D两点，使得，得到平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定．根据题意画出图形，根据平行四边形、菱形及矩形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A．如图，过点O作任意直线（除直线）交纸条两边于点C，D， ， ，， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 故A选项说法正确，不合题意； B．如图，过点O作的垂线交纸条两边于点C，D， 同理可证四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故B选项说法正确，不合题意； C．如图，分别过点A，B作对边的垂线，交对边于点C，D， ，，， ， 四边形是矩形， 故C选项说法正确，不合题意； D．如图，在点A，B所在边的对边分别取C，D两点，使得， 根据，，不能判定四边形是平行四边形， 故D选项说法错误，符合题意， 故选D． 6. 若，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ， ， 故选：． 7. 初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即送给一张，也送给一张）．已知全组共赠送了306张卡片，则该小组一共有多少名成员？（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设该小组有人，每两个同学都相互赠送一张卡片，即一个人送出张，依题意列方程，计算即可． 【详解】解：设该兴趣小组的人数为人，则每个同学需送出张卡片， 依题意，得：． 解得或（舍去）， 即该小组一共有18名成员， 故选：C． 8. 如图，边长为8的等边三角形中，E是对称轴上的一个动点，连接将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，则在点E运动过程中，的最小值是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键，连接，证明，进而得到，得到点在以为顶点，一边为的30度角的另一边上运动，根据垂线段最短，得到当时，最短，根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由旋转可得，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵边长为8的等边三角形中，E是对称轴上的一个动点， ∴， ∴， 即点F的运动轨迹为直线， ∴当时，最短， 此时，， ∴的最小值是2， 故选：C． 二、填空题．（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 一元二次方程的一个解为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，把一元二次方程的解代入方程中，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：一元二次方程的一个解为， ， 解得：． 故答案为：. 10. 如图，的周长为，，相交于点，交于点，则的周长为_______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，中垂线的性质，根据平行四边形的性质，推出垂直平分，，进而得到，推出的周长为的长，即可得出结果． 【详解】解：∵的周长为， ∴，， ∴， ∵交于点， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长为； 故答案为：30． 11. 在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在2023年初，有一块质量为500克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到2025年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至405克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，根据题意，可列出一元二次方程为：______．（只列方程，不需求解） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据平均变化率的等量关系，列出方程即可． 【详解】解：设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，由题意，可列出一元二次方程为； 故答案为：． 12. 如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为， 由题意得，， 同理得， 解得或（舍去）， ∴小路的宽为， 故答案为：． 13. 如图， 在四边形 中， ，， 连接 、 ，若 平分 ，，， 则 ______． 【答案】13 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，旋转变换，全等三角形的判定和性质等知识，关键是根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质解答． 将顺时针旋转到，连接，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：将顺时针旋转到，连接，如图， 则是等腰直角三角形，且，， ∵且平分， ∴， ∴， ∴均在同一条直线上， ∵ ∴ 又 ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴ 又 ∴ 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：13． 三、解答题（共7小题，共61分．） 14. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程和分式方程，熟练掌握解一元二次方程的方法以及解分式方程的步骤，是解题的关键： （1）直接开方法解方程即可； （2）去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得，； 【小问2详解】 原方程两边都乘得： ， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为； 15. 先化简，再从、0、1、2中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，3；当时， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，原式先把括号内的通分计算，再把除法转换为乘法，约分化简得最简结果，再从、0、1、2中选择一个合适的数作为的值代入求值即可． 【详解】解： ． 根据题意得 的值可以为1或． 当时，原式． 当时，原式． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，请画出； （2）将绕坐标原点按顺时针方向旋转90°得到，请画出； （3）若将绕点旋转可得到，则点的坐标为_______． 【答案】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求． （3） 如图，若将绕点旋转可得到，则点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移与旋转，熟练掌握平移和旋转的性质，是解题的关键： （1）根据点的对应点的坐标为，确定平移规则，进而画出即可； （2）根据旋转的性质，画出； （3）根据旋转中心在对应点连线的中垂线上，进行求解即可． 【小问1详解】 解：解：点的对应点的坐标为， 先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 如图，在中，对角线，交于点，点，分别是，的中点，连接、、、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形，，，求的长； （3）尺规作图：过点作直线，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， 点，分别是，的中点， ，， ， 四边形是平行四边形； （2） （3） 如图所示，直线即为所求（作同位角相等或内错角相等均可）． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，尺规作图—作平行线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，得到，，中点推出，即可得证； （2）矩形的性质，得到，进而得到，勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可； （3）根据同位角相等，两直线平行，作即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 略 18. 2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价） 类别 价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣 进货价（元/件） 30 25 销售价（元/件） 45 37 （1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数； （2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ （3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？ 【答案】（1）A、B两款钥匙扣分别购进20件和10件 （2）购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元 （3）销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元 【解析】 【分析】(1)设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，根据“用850元购进A、B两款钥匙扣共30件”列出二元一次方程组即可求解； (2)设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，根据“进货总价不高于2200元”列出不等式求出；设销售利润为元，得到，随着m的增大而增大，结合m的范围由此即可求出最大利润； (3)设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，由“平均每天销售利润为90元”得到(4+2a)(12-a)=90，求解即可． 【小问1详解】 解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件， 由题意可知： ， 解出：， 故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件． 【小问2详解】 解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件， 由题意可知：， 解出：， 设销售利润为元，则， ∴是关于m的一次函数，且3＞0， ∴随着m的增大而增大， 当时，销售利润最大，最大为元， 故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元． 【小问3详解】 解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元， 由题意可知：(4+2a)(12-a)=90， 解出：a1=3，a2=7， 故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数增减性求利润最大问题及一元二次方程的应用，属于综合题，读懂题意是解决本题的关键． 19. 阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． （1）【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程（）的正确构图是________．（从序号①②③中选择） （2）【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程________________________，解得原方程的一个根为________； （3）【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解． 已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数________，________，求得方程的正根为________． 【答案】（1）② （2），， （3），3，1或3 【解析】 【分析】（1）根据题意，变形为，根据图示分别算出每个图形中长方形的面积，进行比较即可求出答案． （2）根据材料提示，进行计算即可求出答案． （3）先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，，分类讨论，由此即可求出答案． 【小问1详解】 解：变形为， 图①一个长方形的面积为：； 图②一个长方形的面积为：； 图③一个长方形的面积为：； ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 故选：②； 【小问2详解】 解：第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程，解得原方程的一个根为； 【小问3详解】 解：， ， ∴四个小矩形的面积为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， 由条件可知，， 解得，， 当时，， ， 解得，即方程的一个正根为； 当时，， ， 解得，即方程的一个正根为； 综上，方程的一个正根为或． 20. 【定义学习】 定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”． 【判断尝试】 （1）在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“对直四边形”的是__________；（填序号） （2）如图1，四边形是对直四边形，若，，，，则边的长是_________； 【操作探究】 如图2，在菱形中，，，于点，请在边上找一点，使得以点、、、组成的四边形为“对直四边形”，直接写出的长是_________； 【拓展延伸】 如图3，在正方形中，，点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒1、1、2个单位长度的速度，分别沿正方形的边、、方向运动（保持），再分别过点、作、的垂线交于点，连结、．试说明：四边形为对直四边形． 【实践应用】 某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中米，米，，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余．请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是_______． 【答案】判断尝试：（1）②④；（2）；操作探究：；拓展延伸：见解析；实践应用：或或或 【解析】 【分析】【判断尝试】（1）矩形和正方形的对角是直角； （2）连接，根据勾股定理求得结果； 操作探究：连接，则，是等边三角形，故取的中点，进而得出结果； 拓展延伸：延长，交于，可证得，从而，进而得出，进一步得出结论； 实践应用：分四种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：【判断尝试】 （1）矩形和正方形的四个角都是直角， 矩形和正方形是“对直四边形”， 故答案为：②④； （2）如下图， 连接， ∵四边形是对直四边形，， ， ， ， ， 故答案为：； 【探究操作】 解：如下图， 在菱形中，，，， ∴，， ∴均为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接， 则：，同理：， ∴， ∴四边形是“对直四边形”，为等边三角形， ∴， 故答案为：； 【拓展延伸】 证明：如图，     延长，交于， 四边形是正方形， ，， ，， ， 四边形是矩形， 点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒、、个单位长度的速度运动， ， 四边形 是正方形， ， ， 同理可得：四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形为对直四边形； 【实践应用】 解：如下图， 作于，作于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰三角形， ， 如下图， 作于，作于， 同上可知：，四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰三角形，， 如下图， 作，交于，作于，则四边形是“对直四边形”， 由上知：， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； 如下图， 以为底边作等腰直角三角形，连接，作，交的延长线于点，交于， ，，四边形是“对直四边形”， ，， ， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 和是边长相等的等腰三角形， ， ， 综上所述：等腰三角形的腰长为：或或或． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是掌握新定义和分类讨论的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $