12.2 全等三角形的判定（第3课时 全等三角形的判定“ASA”或“AAS”）（9大基础题型+4大巩固提升）（题型专练）数学华东师大版2024八年级上册

12.2 全等三角形的判定 （第3课时 全等三角形的判定“ASA”或“AAS”） 题型一：利用“ASA”或“AAS”作为判断依据 1．（2024七年级下·广东梅州·期末）如图，小飞在设计的“风筝”图案中，已知，，，那么与相等．小飞直接证明，他的证明依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形判定方法是解题的关键．根据已知，证出即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，为了测量B点与河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，得到，所以测得的长就是A、B两点间的距离，这里判定的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键，根据已知条件推出全等三角形的判定方法即可． 【详解】解：∵，，且， ∴； 故选C． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，从C地看A，B两地的视角是锐角，从C地到A，B两地的距离相等．A地到路段的距离与B地到路段的距离相等．原因是，全等的依据是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的全等判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和性质是解题的关键． 利用证明，即可得证． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点、的距离，可以在的垂线上取两点，使．再作出的垂线，使三点在一条直线上，通过证明，得到的长就等于的长，这里证明三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据题意可得，再由，即可利用证明，则． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴证明三角形全等的依据是． 故选：C． 5．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图是一段双向等宽道路，点，，是马路两边正对面的两个公交站牌，点是隔离带中的一个花坛，．小田所在点，学校门口和花坛在同一条直线上．小田测量出点A，C之间的距离是，就可知道学校门口与公交站牌之间的距离为．此方案的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可判定，进而可得．本题主要考查了全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点A和B，在岸边标记目标点C、D，使，并利用测角仪测得．此时，利用三角形全等的性质，测量长度即可得到河宽．要说明两个三角形全等最恰当的理由是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 直接利用全等三角形的判定方法（），进而判断得出即可． 【详解】解：在和中， ，，（对顶角相等 ）， ∴． 故选：B ． 7．（2025·河北张家口·二模）为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．由全等三角形的判定定理或均可证得图中两个三角形全等，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴淇淇证明全等用到的依据可能是， 故选：B． 题型二：破碎玻璃修复问题 1．（23-24八年级下·河南安阳·期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（　　）去配 A．① B．② C．③ D．①和② 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定，已知两角及其夹边，就可以确定一个三角形， 本题考查了全等三角形的判定方法：， 要求学生要对常用的几种方法熟练掌握 【详解】解：第③块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块不能配一块与原来完全一样的； 第②块只保留了原三角形的部分边，根据这两块中的任意一块均不能配一块与原来完全一样的； 第①块不仅保留了原三角形的两个角还保留了一边，则可根据来配一块与原来一样的玻璃. 故选A． 2．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）小明不小心把一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），为了能配一块与原来完全一样的三角形，小明应该带（    ）去玻璃商店． A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．解题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的判定定理：、、、、．本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故选：B． 3．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（   ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意配制的三角形与原三角形应该全等，故带去的碎块必须要保留原三角形的三个完整条件，通过观察即可发现：第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃． 【详解】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法； 第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行； 第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去． 故选：C． 4．（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？ 如果可以，带哪块去合适？（　　） A．1 B．2 C．3 D．任意一块 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的判定方法结合图形即可得出答案，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 【详解】解：由图形可知，号有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形；号没有完整的边或角，号只有一个完整的角，根据全等三角形的判定方法，号和号都不可以作出与原三角形全等的三角形， 故选：． 5．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）九年班小颖同学不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有、、 、的四块），他只拎第块去玻璃店，他这么做的数学原理是（  ） A．第块面积最大 B．三角形具有稳定性 C．有两个角相等并且这两个角的夹边也相等的两个三角形全等 D．三角形内角和为度 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 根据全等三角形的判定定理即可得解． 【详解】解：由图得：第块含有三角形的两个角和被两个角夹住的边， 则根据全等三角形的判定原理可知，通过“角边角”可找到一块一模一样的三角形． 故选：． 6．（2025·河北沧州·模拟预测）下图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确的是（   ） A．只有Ⅰ可以 B．只有Ⅰ、Ⅱ可以 C．作出三角形Ⅱ的依据是 D．作出三角形Ⅲ的依据是 【答案】B 【分析】本题为关于全等三角形判定定理，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，是否满足三角形的判定定理是解答本题的关键．根据“”可判断Ⅰ，根据“” 可判断Ⅱ． 【详解】解：Ⅰ可以根据“”来作出完全相同的三角形，Ⅱ可以根据“”来作出完全相同的三角形． 故选：B． 7．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，小明不慎把三角形玻璃打碎成四块，他只要带哪一块去即可定制出和原来一样的三角形玻璃？（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理进行判定即可． 【详解】解：①只能确定一个角，不能确定全等三角形； ②边和角都不能确定，故不能确定全等三角形； ③能确定两个角及其夹边，能确定全等三角形； ④边和角都不能确定，故不能确定全等三角形； 根据全等三角形的判定定理，进行判定即可定制出和原来一样的三角形玻璃． 故选C． 题型三：添加一个条件使得三角形全等（AAS或ASA） 1．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，已知，要判断，若根据“”，则还需要的一个条件是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定（），解题关键是掌握全等三角形的判定（）． 根据全等三角形的判定（），添加条件即可． 【详解】解：，， 添加或， 可根据“”， 判断， 故答案为：或． 2．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，，只需补充条件 ，就可以根据“”得到． 【答案】 【分析】此题考查三角形全等的判定定理，根据已知条件确定一个角和一组公共边相等，利用添加条件即可． 【详解】解：补充条件， ∵， ∴． 故答案为． 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知，，要利用“”判定，应添加的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案． 【详解】解：在和中 ∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图，，若利用证明，需添加的条件是 ．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．利用可得出，（答案不唯一）进而证明，即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ， 利用证明，需添加的条件是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 5．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知：，，请写出一个与点D有关的正确结论： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由已知条件，加上是公共角，可得三角形全等，根据全等三角形的性质即可得出，题目是一道开放结论的试题，它有利于考查学生的发散思维能力和创新意识． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 题型四：利用“AAS或ASA”简单证明三角形全等（解答题） 1．（2024八年级上·北京·期末）中，，是中点，于点，于，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵，是中点， ∴，． ∵于，于， ∴ 在和中， ， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，点A，B，D在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．利用平行线的性质求得，再利用证明，即可求证． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ． 3．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，四边形的对角线与相交于点，∥，平分线段，过点任作一条线段交于，交于，求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定等知识点，能求出是解此题的关键． 根据推出，由全等三角形的性质可得，根据推出，由全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】证明：， ， 平分线段， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ． 4．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，，，，垂足分别为A、B．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．根据“”证明，得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 5．（2025·福建泉州·模拟预测）如图，在中，点D是的中点，E是边上一点，过点C作交的延长线于点F．求证：点D是的中点． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，由可得，进而证明，推出，即可证明点D是的中点． 【详解】证明：∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D是的中点． 6．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，、相交于点E，，．求证． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，再根据定理即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，的顶点在的边上，且，已知和全等吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】先利用平行线性质得角相等，再由线段相等推出边相等，最后根据判定三角形全等．本题主要考查了全等三角形的判定（），熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ ，即 在和中， ∴ . 8．（24-25八年级上·山西阳泉·期中）已知：如图，，，，垂足分别为、、，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了垂直、三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先根据垂直的定义可得，再证出，然后根据定理即可得证． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 9．（23-24八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，点O是直线l上一点，点A，B位于直线l的两侧，且，，分别过A，B两点作于点C，于点D．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质等知识，解题的关键是∶ （1）根据余角的性质可得出，然后根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，然后代入即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， （2）证明∵， ∴，， ∴． 10．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，直角顶点A在直线l上，，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形,熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键．根据已知易得：，再利用垂直定义可得，从而可得，然后利用同角的余角相等可得，从而利用证明，即可解答． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 题型五：利用“AAS或ASA”证明三角形全等求角度 1．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，平分交于点，，过点作交于点，延长至点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，平行线的性质． 根据题意证明得出，根据邻补角互补得出,根据三角形内角和定理得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识点，根据三角形的知识求出相应各个角的度数是解题的关键． 根据三角形的内角和求出，再求出，然后通过证明、并利用全等三角形的性质，再利用外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴. 故选：B． 3．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在中，点D，E，F分别是上的点．若，则 °． 【答案】92 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，先通过已知条件证明，得到，再利用三角形内角和定理求出，最后求出． 【详解】解：在和中， ， ， ∴， ∵，且 ， ∴， 又， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：92． 4．（2025·陕西西安·一模）如图，在正五边形中，于点，连接，交于点，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】连接，，先证明，得到，再利用等腰三角形的三线合一性质，三角形内角和定理，三角形外角性质解答即可． 【详解】解：连接，， ∵正五边形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型六：利用“AAS或ASA”证明三角形全等求线段长度 1．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，于点E，于点D，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据同角的余角相等，得到，证明，进而得到，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，平分交于D，若，则的长为（    ） A．9 B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用平方根解方程，正确构造全等三角形是解题的关键．延长至点，使得，连接，延长交于点，先证明，再证明，得到，设，则，由，得到，再根据平方根的意义解方程求出，即可求解． 【详解】解：延长至点，使得，连接，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分 ∴，而， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：（舍负）， ∴； 故选：B． 3．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在中，D是边上的一点，交于点E，，，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．利用“”证明，得到，即可求出的长． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，于点，点是上一点，连接，若，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解答的关键．证明，利用全等三角形的对应边相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 5．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，点，，，在同一直线上，已知，，，连接交于点，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，先求出，根据 “”可证得，推出，然后结合已知条件求出的值，进而可得答案． 【详解】解：∵， ， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 6．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，，，，，垂足分别是点、，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，余角性质，由已知可得，进而由余角性质得到，即可得到，得到，，再根据线段的和差关系可求出的值，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， ． ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 故选：． 7．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，中，是的平分线，，垂足为E．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，由角平分线的定义得到，证明，得到，则． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．（24-25七年级下·重庆大渡口·期末）如图，在中，点是边上一点，点是边的中点，过作，交的延长线于点，若，则的长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，由点是边的中点，得到，由平行线的性质得到，再证明，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：C． 题型七：利用“AAS或ASA”证明三角形全等求面积 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知的面积为平分，且于，则的面积是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的转化，解题的关键是通过延长线段构造全等三角形，将的面积与的面积建立等量关系． 延长交于点利用平分和证明得出且与面积相等；由可知与面积相等；通过面积转化可得的面积是面积的2倍，进而求出的面积． 【详解】延长交于点G． ∵ 平分 ∴． ∵ ∴． 在和中， ∴． ∴ ． ∵ ∴和等底同高（以、为底，高均为点C到的距离）， ∴． ∵ 且 ∴ ∵ ∴即． 故选：C． 2．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中白色部分的面积为（   ） A．54 B．60 C．100 D．110 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，如图，延长交于M，证明出，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可． 【详解】解：如图，延长交于M，其他字母标注如图示：根据题意，，，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可证， ∴， ∴． 空白部分的面积长方形面积三个正方形的面积和． 故选：B． 3．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，，点是上一点，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．24 B．30 C．42 D．48 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据平行线的性质，结合，可由判定，进而得到阴影部分的面积与的面积相等，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， ∵在中，，，， ∴阴影部分的面积． 故选：A． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，点E、F在边上，点P在四边形的内部，且，，，若，，，则四边形的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，作于点G，可证明，得，，而，所以，再证明，得，所以，求得，于是得到问题的答案，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：作于点G，则， ∵， ，，， ∴， 四边形是梯形， ， ∴， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知中，平分，于点．若，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中线，延长交于点，易证，得到，根据三角形的中线平分面积推出，进而求出即可，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：延长交于点， ∵平分，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 6．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形中，，，，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，作，证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【详解】解：过点D作，交的延长线于点H， ， ∴， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 的面积， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，和均为直角三角形，，，连接，与交于点，且恰好为的中点，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】证明得，，，求出，再推出，可得结论． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ， 即的面积为． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定．延长交于点，根据题意，证，因为和同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出． 【详解】解：如图所示，延长，交于点， ， ， ∵是的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ∵和同底等高， ， ， ， 故答案为： ． 9．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，，为平面上一点，，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 过点作于点，证明和全等得，再根据三角形的面积公式即可得出的面积． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 的面积为：． 故答案为：． 题型八：全等三角形的判定综合 1．（23-24八年级上·重庆潼南·期中）如图，点A，B，C，D在同一直线上，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据平行线的性质，证明即可得证； （2）根据题意，得，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，线段的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得， ∴， 又∵， ∴， ∴． 2．（24-25九年级下·海南三亚·阶段练习）如图，，，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解答该题的关键是证明三角形全等. （1）根据平行线得出，再由全等三角形的判定定理即可证明； （2）根据可得，即可求解. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴. （2）解：∵， ∴， ∴， ∴. 3．（24-25八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在中，是上一点，，是外一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，解题的关键是通过角的关系证明三角形全等，再利用全等性质和内角和定理求解． （1）通过角的和差关系得到相等角，结合已知边和角，利用全等三角形判定定理证明三角形全等，进而得出对应边相等． （2）先利用全等三角形对应角相等，，再根据三角形内角和定理出的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ，， ． 4．（24-25八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长，交于点F． (1)求证：； (2)若平分，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，垂直的定义． （1）利用证得即可得出结论； （2）利用（1）中的结论证得，再根据证，即可得出，从而求出的长，即可得出的长． 【详解】（1）证明：∵是边上的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 5．（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质． （1）先证明，，然后根据，再结合已知条件可得结论； （2）根据，，得出，根据得出，，最后根据和差间的关系，得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴． 6．（24-25八年级下·云南丽江·期末）如图，在等腰中，，直线经过点，且于点，于点． (1)如图①，当直线在外部时，可得，请说明理由； (2)如图②，当直线经过内部且点在内部时，判断（1）中结论是否成立？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据垂线性质得到，证明，得到，进而得出结论； （2）通过证明，得到，结合，得到，从而得出（1）中结论不成立． 【详解】（1）解：于点，于点， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）（1）中结论不成立，理由如下： ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ． 则不成立． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，，点在边上，和相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据即可证明两三角形全等； （2）由（1）可知，根据平角的定义求出的度数，从而可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵AE和BD相交于点O， ． 在和中， ， ． 又， ， ∴，即． 在和中， ， ． （2）解：由（1）知， ， ， ， ， ． 8．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：． (2)若，，则的长为______． 【答案】(1)见解析； (2)4 【分析】本题考查的是角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题中条件证明，推出，再证明，可得； （2）由（1）知，，，可得，由，，推出． 【详解】（1）平分， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ， 又，， ， ． （2）由（1）知，，， 由得，， ，， 两式相减，可求得 ． 故答案为：4． 9．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，在和中，、、、四点在同一条直线上，，． (1)和全等吗？请说明你的理由； (2)若，求的值． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由平行线得到，再由证明即可； （2）根据全等三角形的对应边相等即可求解． 【详解】（1）解：和全等，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型九：全等三角形的判定实际应用 1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，小敏和小彬玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置上升时，这时小彬离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，先证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：如图， 在与中， ， ， ， 小彬离地面的高度是， 故选：A． 2．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，为了测量点到河对岸的目标之间的距离，在与点同侧的河岸上选择了一点，测得，然后在处立了标杆，使，测得的长是20米，的长是30米，则，两点间的距离为（    ） A．10米 B．15米 C．20米     D．30米 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据已知得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， 米， ∴A，B两点间的距离为米， 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是一段斜坡，是水平线，欢欢为了测斜坡上一点C的竖直高度，他在点C处立上一根竹竿，竹竿垂直于斜坡，在竿顶点D处垂下一根绳子，与斜坡的交点是E．当时，测得，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得，，得到，于是得到，再证明，得到，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，深刻理解垂下的意义，得到平行线成为解题的关键性突破口． 【详解】解：根据题意，得，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）课间，小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题．若柱子上每块砖的厚度，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的应用，理解题意并证明三角形全等是解题的关键． 证明≌，得到，，进而求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 在与中， ，∴≌， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C ． 5．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．已知妈妈与爸爸到的水平距离，分别为1.3和1.8，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ） A．1 B．1.3 C．1.5 D．1.8 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，由可判定，由全等三角形的性质得，，即可求解；掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ，，， ， ，， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ； 故选：C． 6．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图所示，是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点O是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，当小明到水平线的距离为时，小颖（点B）到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：由题意得， 在与中， ， ∴， ∴， ∴小颖到地面的距离为， 故选：D． 7．（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图是一个可调节平板支架，其结构示意图如下，已知平板宽度为，支架脚的长度为，当时，可测得，保持此时的形状不变，当平分时，点B到的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，求三角形的高，过点B作于D，于E，可证明得到，再由等面积法得到，则． 【详解】解：如图所示，过点B作于D，于E， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B到的距离是， 故选：D． 题型一：全等三角形中最值问题 1．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，点C是的角平分线上的一点，于点D，，，动点P在射线OB上运动，它到点C的最小距离为（   ） A．2 B．5 C．3 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等、垂线段最短的性质．熟记全等三角形的判定是解题的关键．当时，根据三角形全等可得，再根据全等的性质解答即可． 【详解】解：根据垂线段最短可知：当时距离最小， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，在的内部有一点，过点作与角的两边，分别交于点，，下列四种作法中，面积最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质．构造全等三角形，结合三角形面积进行判断即可． 分①，②，③，三种情况比较与大小，均得到，即得． 【详解】解：如图①，当时， 过点E作交于点M， 则 ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； 如图②，当，延长线交于点时， 过点E作于点M， 则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； 如图③，当，延长线交于点时， ∵， ∴， ∴是钝角， 过点F作，垂足为点M， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ 综上，面积最小的是A选项， 故选：A． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，E为的中点，D为上一点，交的延长线于点F．若，与之间的距离为5，则四边形的周长的最小值是 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，将问题转化为求的最小值是解答本题的关键，由已知条件可证，则有，则四边形FBCD的周长为，由此只需最小即可得到最小的周长，由垂线段最短可知，当，即时，四边形FBCD的周长最短，据此即可解答． 【详解】解：E为的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 当时最短，此时四边形的周长取最小值， 与之间的距离为5，， 当时，， ∴四边形周长的最小值为． 故答案为：16． 4．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，在中，，，，AD平分交BC于点D，过点D作交AB于点E，点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，轴对称，角平分线的定义，过点D作于H，并延长，先判断出，再判断出，在上取一点，使，连接，进而判断出，得出，即可判断出时，最小，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作于H，并延长， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴（假设点Q是定点，点共线时，取最小）， ∵点Q是动点， ∴当时，即点与点H重合，的最小值为， 故答案为：10． 题型二：全等三角形中动点问题 1．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，，与交于点O，．点M从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点N从点D出发，沿方向以的速度运动，当点M回到点A时，M，N两点同时停止运动． （1） ； （2）连接，当线段经过点O时，点M的运动时间为 s． 【答案】 16 或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，分情况讨论． （1）证，可得答案； （2）设运动时间为，当线段经过点O时，证明，推出，分点M沿方向运动和沿方向运动两种情况，分别列式求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为： 16 ． （2）设运动时间为， 当线段经过点O时，如下图所示： 在和中， ， ∴， ∴， 当点M沿方向运动时， ∵，， ∴， ∴， 解得； 当点M沿方向运动时， ∵，， ∴， ∴， 解得； 综上可知，t的值为或． 故答案为： 或． 2．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，与相交于点，，，．点和点同时出发，点以的速度从点出发，沿向运动，到位置后，立刻以相同的速度沿向运动；点从点出发，沿以的速度向运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为．当三点在同一条直线上时，的值为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质构造一元一次方程，分类讨论是解题的关键． 先证明和全等得依题意得 根据点的运动速度和方向有以下两种情况：①当点从点向点运动时，依题意得 此时，当点，，三点在同一条直线上时，证明和全等得，则由此解得；②当点从点向点运动时，依题意得此时，当点，，三点在同一条直线上时，同理证明和全等得，则由此解得，综上所述即可得出答案． 【详解】解：， ，， 在和中， ，，， ， ， 点从点出发，沿以的速度向运动， ， 根据点的运动速度进而方向有以下两种情况： ①当点从点向点运动时， 依题意得： 此时， 当点，，三点在同一条直线上时， 在和中， ，，， ， ， ， 解得：； ②当点从点向点运动时， 依题意得：此时， 当点，，三点在同一条直线上时， 同理证明：， ， ， 解得：， 综上所述：当，，三点在同一条直线上时，的值为或． 故答案为：或． 3．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，为边上的高． (1)若，求的度数． (2)点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线，交直线于点，当时，求点在直线上移动的时间． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用直角三角形的两个锐角互余，先找出与的关系，再计算的度数． （2）先利用勾股定理求出的长度，再分点在上和点在的延长线上两种情况，根据以及三角形的性质求出的长度，最后结合速度求出移动时间． 【详解】（1）在中，， ． ． ， ； （2）解： 设当点E运动t秒时，， ①如图，当点E在射线上移动时， ， ， ∵， ， 在与中，， ， ， ， ； ∴当点E运动5秒时，， ②当点E在射线上移动时，， 在与中， ， ， ， ， ， ∴当点E运动2秒时，， 综上所述，当点E在射线上移动或时，， 题型三：全等三角形中多结论问题 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分中，正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的性质，熟练掌握证明三角形全等的方法是解题的关键． 由证明得出，，可判定②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，可判定①正确；作于，于，如图所示：则，利用全等三角形对应边上的高相等，得出，由角平分线的判定方法得出平分，可判定④正确；假设平分，则，由全等三角形的判定定理可得，得，而，所以，而，故可判定③错误；即可得出结论． 【详解】解：，，，， ， 即， 在和中， ， ， ，， 故结论②正确，符合题意； （已证）， ， 由三角形的外角性质得： ， ， 故结论①正确，符合题意； 作于，于，如图， 则， ， ， ∵，， （全等三角形对应边的高相等）， 平分， 故结论④正确，符合题意； 假设平分，则， 平分， ， ， 则， 即， 在与中， ， ， ， ， ， 而， 故结论③错误，不符合题意； 正确的个数有3个； 故选：C． 2．（24-25八年级上·海南海口·期中）如图，，，于点，于点D．下面四个结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，对顶角的性质，三角形内角和定理及边角关系，首先由与中分别有两个直角及对顶角可判断①；证明可判断②④；再根据直角三角形中，斜边最长可判断③，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵于点，于点， ∵， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴ ∵， ∴， 又∵，， ∴，故②正确； ∴，， ∵在直角三角形中，斜边最长， ∴，， ∴，故③错误； ∵，， ∴，故④正确； ∴正确的序号是①②④， 故选：． 3．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，中，，G为的中点，连接并延长交于点E，作，垂足为H，交于点下列判断；；；，所有正确结论的序号为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及三角形中线的性质，准确找到判定三角形全等条件是解题的关键， ①依据题中条件，可以判定，根据全等三角形性质可得； ②由①中，可得； ③根据三角形中线平分面积的性质进行判断； ④若④结论成立，那么D需为的中点，进而判断④错误． 【详解】解：① 在和中， ， ， ，故①正确； ②由①得， ，故②正确； ③是的中点， 是的中线， ，故③正确； ④由图可知，， 但点D题中未说明是的中点， ， ， 故④错误； 综上，正确的结论为①②③， 故选： 4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，是中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线，全等三角形的判定和性质，根据中线的定义可判断①；证明，可判断②③；证明，根据平行线的性质得出，可判断④；根据得出，结合，可判断⑤． 【详解】解：是中线， ，故①正确； ，， ，， ，， ， 又，， ， ，，故②③正确； ，， ， ，故④错误； ， ， ， ，故⑤正确； 综上可知，正确的有① ② ③ ⑤，共4个， 故选C． 5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．现有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∵分别平分、， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③错误； 又∵， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的是①②④个． 故答案为：①②④． 6．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，为的角平分线，点是上的一点，于，于，为上另一点，连接，，则下列结论：①；②；③；④，正确的是 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义．证明，由全等三角形的性质可推出，证明，由全等三角形的性质可推出．，，则可得出答案． 【详解】解：①∵为角平分线， ∴， ∵于点D，于点E， ∴°， ∵， ∴， ∴． 故①正确； ②∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故②正确； ③∵， ∴， 故③正确； ④∵， ∴， 故④正确． 故答案为：①②③④． 题型四：全等三角形中解答题压轴 1．（25-26八年级上·重庆渝中·开学考试）中，，，过点作，连接，，为平面内一动点． (1)如图1，点在上，连接，，过点作于点，为中点，连接并延长，交于点． ①若，，则______； ②求证：． (2)如图2，连接，，过点作于点，且满足，连接，，过点作于点，若，，，请求出线段的取值范围． 【答案】(1) 证明过程见解析； (2)线段的取值范围是． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角形三边之间的关系，三角形全等的判定和性质． （1）证明，可得，将已知数据代入三角形的面积公式计算即可；证明，可得，，证明，可得，由等量代换结合线段之间的关系，即可证得结论； （2）证明，可得，由，可得，从而可得的长度，根据三角形三边之间的关系，即可得线段的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为：． 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）问题情境：如图①，在直角三角形中，于点D，可知：（不需要证明）． 特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点于点D．证明：； 归纳证明：如图③，点在的边上，点在内部的射线上，分别是的外角．已知．求证：； 拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积计算，三角形的外角性质等知识点的综合应用，判断出两三角形全等是解本题的关键． （1）根据图②，求出，根据证两三角形全等即可； （2）根据图③，运用三角形外角性质求出，根据证两三角形全等即可； （3）根据图④，由的面积为15，可求出的面积为5 ，根据，得出与的面积之和等于的面积，据此即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图②，∵， ， ， ， 在和中，， ． （2）证明：如图③， ， ， ， ，   在和中， ， ． （3）如图④，∵的面积为， ∴的面积， 由（2）可得， 即：， ， 即与的面积之和等于的面积5 ， 故答案为：5． 3．（24-25八年级上·全国·期中）（1）如图（1），在中，，，是过点A的一条直线，且点，在的异侧，于点，于点．求证：． （2）若直线AE绕点A旋转到图2的位置时（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明． 【答案】（1）证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题考查直角三角形的性质、余角的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题属于几何变换综合题． （1）根据已知条件证明，且根据全等三角形的判定可证明，根据各线段的关系即可得结论； （2）．根据全等三角形的判定可证明，根据各线段的关系即可得结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； 又，， ， 在和中， ， ； ，； ， ； （2）解：结论：． 理由：， ， ， ， ； 又， ， 在和中， ， ， ，； ， ． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E． (1)求证：； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据同角的余角相等可得，，从而即可得出； （2）根据同角的余角相等可得，，从而即可得出，由全等三角形的性质即可得解； （3）根据同角的余角相等可得，，从而即可得出，由全等三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ，， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ，， ∴， ，， ． （3）解：， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ，， ． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，是经过顶点C的一条直线，，点E，F是直线上两点，且．若直线经过的内部，且点E，F在射线上，请解决下面两个问题： (1)如图1，若，问，成立吗？说明理由． (2)如图2，将（1）中的已知条件改成，，问仍成立吗？说明理由． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质； （1）由判定，由全等三角形的性质得，，即可得证； （2）由判定，由全等三角形的性质得，，即可得证． 【详解】（1）解：成立，理由如下： ， ， ， ， ， （）， ，， ． （2）解：成立，理由如下： ， ， ， ， ． ， ， ， （）， ，， ． 6．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在中，，，直线经过点，，，垂足分别为． (1)如图（）， 求证：； (2)如图（） 将（）中的条件改为：在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立， 请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)仍然成立，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等，三角形内角和定理，垂直定义，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键． （）根据，得，而，根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断，则，，进而即可得到结论； （）由，则，得出，然后根据“”可证得，再利用全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）解：仍然成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 7．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）【模型建立】 （1）如图1，在与中，，，，试说明：； 【模型应用】 （2）如图2，在与中，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，且点为中点，过点作于点． ①求的度数； ②若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）① ；② 4 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）由，得，根据可证； （2）①同（1）可证，推出，通过导角可得； ②证明，可得． 【详解】（1）证明：， ，即， 在与中， ， ； （2）解：①， ，即， 在与中， ， ， ， ， ； ②， ， 点为中点， ， 在与中， ， ， ． 8．（24-25八年级上·山东济宁·期末）（1）问题：如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是14，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，，； （2）同理（1）证明即可； （3）同理（2）可得，，则，设的底边上的高为，则的底边上的高为，，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】（1）证明：直线，直线， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：结论成立；理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：同理（2）可得，， ∴， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ∴，， ， ∴， ∴， ∴与的面积之和为． 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，E是上一点，，于点D，若．则的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积及全等三角形的判定与性质，能根据全等三角形的判定与性质得出的长是解题的关键． 过点E作的垂线，垂足为M，根据全等三角形的判定与性质得出的长即可解决问题． 【详解】解：过点E作的垂线，垂足为M， ∵，， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴． 又∵， ∴． 故选：D． 2．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，分别是边上的点，相交于点，若，，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． 利用线段的和差可判断A，证明，可判断B，证明，可判断D，选项C无法判断． 【详解】解：A、由，得，即，故本选项不符合题意； B、由，得，可得，故本选项不符合题意； C、根据题中条件，无法推出，故本选项符合题意； D、由可得，又， 可得，所以，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】此题考查了折叠的性质、角平分线的定义，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的性质和折叠的性质是解决问题的关键．延长和相交于点，根据翻折的性质可以证明，可得，再证明，可得． 【详解】解：如图，延长和相交于点， 由翻折可知：，， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ． 故选：C． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．证明，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴． 故选：B 5．（24-25七年级下·山东·期末）数学兴趣小组计划用一根米的标杆测量旗杆的高度．他们的方案如下：如图，在旗杆前空地上选取一点P，使点P到旗杆底端B的水平距离为米，此时测得，然后前后移动标杆（在移动过程中始终保持点B，P，C在同一条直线上），使得，此时测得标杆底端C到旗杆底端B的水平距离为米．根据以上信息，可求得该旗杆的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．21米 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ， ， ， 在和中 ， ， 米， 答：该旗杆的高度是米， 故选：A． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，，，，如果的面积，那么的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形面积公式，同角的补角相等，作于，于，则有，根据同角的补角相等得出，从而证明，则有，然后通过三角形面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：作于，于，如图， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 故选：． 7．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据是的高，，结合是的角平分线， 平分，得到即可得到，判断①正确；先证明再证明即可，可判定②正确；根据得到，结合得到，结合，等量代换即可得到，可判定④正确；；延长交于点N，得到，得到，可以判断③错误，解答即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， 平分， ∴， ∴， 故①正确； ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，是的角平分线， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④正确； 延长交于点N， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵，是钝角， ∴， ∴， 故不成立， 故③错误， 故选：B 8．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，小明要测量河岸相对的两点A，B的距离，他先在的垂线上取两点C，D，使，再过点D作的垂线，使A，C，E三点在同一条直线上．你认为此时测量的长度就等于的长，理由是依据 ，可以证明 ，由全等三角形对应边相等得出． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键． 根据全等三角形的判定定理，由角边角来分析即可． 【详解】解：因为，， 所以． 已知． 由于，，在一条直线上， 所以和是对顶角， 可得． 综上，在和中， 有， 所以． 所以． 故答案为：，． 9．（24-25八年级上·全国·期中）如图，，，，于D，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，根据证明，可得，再结合得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，为边的中点，，过点作直线交于点，交于点，若，则 cm． 【答案】11 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是证明．先证，得出，那么就可求的长． 【详解】解：∵， ∴， 又∵E是中点， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴， 故答案为11． 11．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点处停有一艘游艇．他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点，然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点．测得C，D两点的距离是，那么A，S两点之间的距离为 m． 【答案】50 【详解】本题考查的是全等三角形在实际生活中的运用，由全等三角形的判定定理证得是解决问题的关键． 先根据全等三角形的判定定理证得，再根据全等三角形的性质定理即可求得结论． 【解答】解：根据题意得，在与中， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：50． 12．（24-25七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B 恰好落在左侧书籍的上方边沿，点A、B、C、D、E在同一平面内． 已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，找出全等三角形是解题关键．根据题意证明出即可求解． 【详解】解：每本书长，厚度为， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：24． 13．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，在中，点D是边上一点，点E是边延长线上一点，，点F为外一点，连接，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据线段的和差求出，根据平行线的性质求出，利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 14．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和性质． 先通过角度关系推导，再结合、，用证，利用全等性质得、，最后结合及，求出． 【详解】解：， ， ． 在和中， ， ，． ， ． 15．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是关键． （1）证明，结合已知条件即可证明； （2）证明，则，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴ 在和中 ∴ （2）∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ 16．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，中，，，点为直线上一动点，连接，作且．（位于的上方） (1)在线段上时， 如图，过点作交于点，求证：，并写出和的数量关系； 如图，连接交于点，若，求证：点为中点； (2)连接与直线交于点，若，请直接写出的值．（用含的代数式表示） 【答案】(1)证明见解析，；证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）通过全等三角形的对应边相等，可得结论； 过点作交于点，根据（）中结论可得，即可证明，可得，根据，推出，，即可解题； （）过作于点，根据全等三角形的性质得到，进行求解. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，且， ∴； 证明: 如图，过点作交于点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为的中点； （2）解：如图中，过作于点，，， 由（）（）知：，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 105 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.2 全等三角形的判定 （第3课时 全等三角形的判定“ASA”或“AAS”） 题型一：利用“ASA”或“AAS”作为判断依据 1．（2024七年级下·广东梅州·期末）如图，小飞在设计的“风筝”图案中，已知，，，那么与相等．小飞直接证明，他的证明依据是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，为了测量B点与河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，得到，所以测得的长就是A、B两点间的距离，这里判定的理由是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，从C地看A，B两地的视角是锐角，从C地到A，B两地的距离相等．A地到路段的距离与B地到路段的距离相等．原因是，全等的依据是（       ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点、的距离，可以在的垂线上取两点，使．再作出的垂线，使三点在一条直线上，通过证明，得到的长就等于的长，这里证明三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图是一段双向等宽道路，点，，是马路两边正对面的两个公交站牌，点是隔离带中的一个花坛，．小田所在点，学校门口和花坛在同一条直线上．小田测量出点A，C之间的距离是，就可知道学校门口与公交站牌之间的距离为．此方案的依据是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点A和B，在岸边标记目标点C、D，使，并利用测角仪测得．此时，利用三角形全等的性质，测量长度即可得到河宽．要说明两个三角形全等最恰当的理由是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河北张家口·二模）为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 题型二：破碎玻璃修复问题 1．（23-24八年级下·河南安阳·期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（　　）去配 A．① B．② C．③ D．①和② 2．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）小明不小心把一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），为了能配一块与原来完全一样的三角形，小明应该带（    ）去玻璃商店． A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 3．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（   ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 4．（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？ 如果可以，带哪块去合适？（　　） A．1 B．2 C．3 D．任意一块 5．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）九年班小颖同学不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有、、 、的四块），他只拎第块去玻璃店，他这么做的数学原理是（  ） A．第块面积最大 B．三角形具有稳定性 C．有两个角相等并且这两个角的夹边也相等的两个三角形全等 D．三角形内角和为度 6．（2025·河北沧州·模拟预测）下图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确的是（   ） A．只有Ⅰ可以 B．只有Ⅰ、Ⅱ可以 C．作出三角形Ⅱ的依据是 D．作出三角形Ⅲ的依据是 7．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，小明不慎把三角形玻璃打碎成四块，他只要带哪一块去即可定制出和原来一样的三角形玻璃？（    ） A．① B．② C．③ D．④ 题型三：添加一个条件使得三角形全等（AAS或ASA） 1．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，已知，要判断，若根据“”，则还需要的一个条件是 ． 2．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，，只需补充条件 ，就可以根据“”得到． 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知，，要利用“”判定，应添加的条件是 ． 4．（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图，，若利用证明，需添加的条件是 ．（写出一种即可） 5．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知：，，请写出一个与点D有关的正确结论： ． 题型四：利用“AAS或ASA”简单证明三角形全等（解答题） 1．（2024八年级上·北京·期末）中，，是中点，于点，于，求证：． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，点A，B，D在同一条直线上，，，．求证：． 3．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，四边形的对角线与相交于点，∥，平分线段，过点任作一条线段交于，交于，求证：． 4．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，，，，垂足分别为A、B．求证：． 5．（2025·福建泉州·模拟预测）如图，在中，点D是的中点，E是边上一点，过点C作交的延长线于点F．求证：点D是的中点． 6．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，、相交于点E，，．求证． 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，的顶点在的边上，且，已知和全等吗？为什么？ 8．（24-25八年级上·山西阳泉·期中）已知：如图，，，，垂足分别为、、，且，求证：． 9．（23-24八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，点O是直线l上一点，点A，B位于直线l的两侧，且，，分别过A，B两点作于点C，于点D．求证： (1)； (2)． 10．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，直角顶点A在直线l上，，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：． 题型五：利用“AAS或ASA”证明三角形全等求角度 1．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，平分交于点，，过点作交于点，延长至点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在中，点D，E，F分别是上的点．若，则 °． 4．（2025·陕西西安·一模）如图，在正五边形中，于点，连接，交于点，则的度数为 ． 题型六：利用“AAS或ASA”证明三角形全等求线段长度 1．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，于点E，于点D，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，平分交于D，若，则的长为（    ） A．9 B．6 C．3 D． 3．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在中，D是边上的一点，交于点E，，，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，于点，点是上一点，连接，若，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，点，，，在同一直线上，已知，，，连接交于点，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，，，，，垂足分别是点、，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，中，是的平分线，，垂足为E．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·重庆大渡口·期末）如图，在中，点是边上一点，点是边的中点，过作，交的延长线于点，若，则的长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 题型七：利用“AAS或ASA”证明三角形全等求面积 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知的面积为平分，且于，则的面积是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 2．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中白色部分的面积为（   ） A．54 B．60 C．100 D．110 3．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，，点是上一点，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．24 B．30 C．42 D．48 4．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，点E、F在边上，点P在四边形的内部，且，，，若，，，则四边形的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 5．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知中，平分，于点．若，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形中，，，，则的面积为 ． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，和均为直角三角形，，，连接，与交于点，且恰好为的中点，若，，则的面积为 ． 8．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于 ． 9．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，，为平面上一点，，若，则的面积为 ． 题型八：全等三角形的判定综合 1．（23-24八年级上·重庆潼南·期中）如图，点A，B，C，D在同一直线上，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 2．（24-25九年级下·海南三亚·阶段练习）如图，，，． (1)求证：． (2)若，求的长． 3．（24-25八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在中，是上一点，，是外一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 4．（24-25八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长，交于点F． (1)求证：； (2)若平分，，求的长． 5．（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 6．（24-25八年级下·云南丽江·期末）如图，在等腰中，，直线经过点，且于点，于点． (1)如图①，当直线在外部时，可得，请说明理由； (2)如图②，当直线经过内部且点在内部时，判断（1）中结论是否成立？并说明理由． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，，点在边上，和相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 8．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：． (2)若，，则的长为______． 9．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，在和中，、、、四点在同一条直线上，，． (1)和全等吗？请说明你的理由； (2)若，求的值． 题型九：全等三角形的判定实际应用 1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，小敏和小彬玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置上升时，这时小彬离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，为了测量点到河对岸的目标之间的距离，在与点同侧的河岸上选择了一点，测得，然后在处立了标杆，使，测得的长是20米，的长是30米，则，两点间的距离为（    ） A．10米 B．15米 C．20米     D．30米 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是一段斜坡，是水平线，欢欢为了测斜坡上一点C的竖直高度，他在点C处立上一根竹竿，竹竿垂直于斜坡，在竿顶点D处垂下一根绳子，与斜坡的交点是E．当时，测得，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）课间，小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题．若柱子上每块砖的厚度，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．已知妈妈与爸爸到的水平距离，分别为1.3和1.8，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ） A．1 B．1.3 C．1.5 D．1.8 6．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图所示，是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点O是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，当小明到水平线的距离为时，小颖（点B）到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图是一个可调节平板支架，其结构示意图如下，已知平板宽度为，支架脚的长度为，当时，可测得，保持此时的形状不变，当平分时，点B到的距离是（    ） A． B． C． D． 题型一：全等三角形中最值问题 1．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，点C是的角平分线上的一点，于点D，，，动点P在射线OB上运动，它到点C的最小距离为（   ） A．2 B．5 C．3 D．无法确定 2．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，在的内部有一点，过点作与角的两边，分别交于点，，下列四种作法中，面积最小的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，E为的中点，D为上一点，交的延长线于点F．若，与之间的距离为5，则四边形的周长的最小值是 ． 4．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，在中，，，，AD平分交BC于点D，过点D作交AB于点E，点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则的最小值为 ． 题型二：全等三角形中动点问题 1．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，，与交于点O，．点M从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点N从点D出发，沿方向以的速度运动，当点M回到点A时，M，N两点同时停止运动． （1） ； （2）连接，当线段经过点O时，点M的运动时间为 s． 2．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，与相交于点，，，．点和点同时出发，点以的速度从点出发，沿向运动，到位置后，立刻以相同的速度沿向运动；点从点出发，沿以的速度向运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为．当三点在同一条直线上时，的值为 ． 3．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，为边上的高． (1)若，求的度数． (2)点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线，交直线于点，当时，求点在直线上移动的时间． 题型三：全等三角形中多结论问题 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分中，正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·海南海口·期中）如图，，，于点，于点D．下面四个结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 3．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，中，，G为的中点，连接并延长交于点E，作，垂足为H，交于点下列判断；；；，所有正确结论的序号为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，是中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．现有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为 ． 6．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，为的角平分线，点是上的一点，于，于，为上另一点，连接，，则下列结论：①；②；③；④，正确的是 ．（填序号） 题型四：全等三角形中解答题压轴 1．（25-26八年级上·重庆渝中·开学考试）中，，，过点作，连接，，为平面内一动点． (1)如图1，点在上，连接，，过点作于点，为中点，连接并延长，交于点． ①若，，则______； ②求证：． (2)如图2，连接，，过点作于点，且满足，连接，，过点作于点，若，，，请求出线段的取值范围． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）问题情境：如图①，在直角三角形中，于点D，可知：（不需要证明）． 特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点于点D．证明：； 归纳证明：如图③，点在的边上，点在内部的射线上，分别是的外角．已知．求证：； 拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为 ． 3．（24-25八年级上·全国·期中）（1）如图（1），在中，，，是过点A的一条直线，且点，在的异侧，于点，于点．求证：． （2）若直线AE绕点A旋转到图2的位置时（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E． (1)求证：； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，是经过顶点C的一条直线，，点E，F是直线上两点，且．若直线经过的内部，且点E，F在射线上，请解决下面两个问题： (1)如图1，若，问，成立吗？说明理由． (2)如图2，将（1）中的已知条件改成，，问仍成立吗？说明理由． 6．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在中，，，直线经过点，，，垂足分别为． (1)如图（）， 求证：； (2)如图（） 将（）中的条件改为：在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立， 请给出证明；若不成立，请说明理由． 7．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）【模型建立】 （1）如图1，在与中，，，，试说明：； 【模型应用】 （2）如图2，在与中，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，且点为中点，过点作于点． ①求的度数； ②若，求的长． 8．（24-25八年级上·山东济宁·期末）（1）问题：如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是14，求与的面积之和． 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，E是上一点，，于点D，若．则的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，分别是边上的点，相交于点，若，，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（　　） A． B． C．2 D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，平分，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·山东·期末）数学兴趣小组计划用一根米的标杆测量旗杆的高度．他们的方案如下：如图，在旗杆前空地上选取一点P，使点P到旗杆底端B的水平距离为米，此时测得，然后前后移动标杆（在移动过程中始终保持点B，P，C在同一条直线上），使得，此时测得标杆底端C到旗杆底端B的水平距离为米．根据以上信息，可求得该旗杆的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．21米 6．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，，，，如果的面积，那么的面积为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 8．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，小明要测量河岸相对的两点A，B的距离，他先在的垂线上取两点C，D，使，再过点D作的垂线，使A，C，E三点在同一条直线上．你认为此时测量的长度就等于的长，理由是依据 ，可以证明 ，由全等三角形对应边相等得出． 9．（24-25八年级上·全国·期中）如图，，，，于D，，，则 ． 10．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，为边的中点，，过点作直线交于点，交于点，若，则 cm． 11．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点处停有一艘游艇．他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点，然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点．测得C，D两点的距离是，那么A，S两点之间的距离为 m． 12．（24-25七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B 恰好落在左侧书籍的上方边沿，点A、B、C、D、E在同一平面内． 已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为 ． 13．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，在中，点D是边上一点，点E是边延长线上一点，，点F为外一点，连接，，，，求证：． 14．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 15．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)求证：． 16．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，中，，，点为直线上一动点，连接，作且．（位于的上方） (1)在线段上时， 如图，过点作交于点，求证：，并写出和的数量关系； 如图，连接交于点，若，求证：点为中点； (2)连接与直线交于点，若，请直接写出的值．（用含的代数式表示） 1 / 105 学科网（北京）股份有限公司 $$