12.2 全等三角形的判定（第1课时 全等三角形的判定条件）（6大基础题型+1大巩固提升）（题型专练）数学新教材华东师大版八年级上册

12.2 全等三角形的判定 （第1课时 全等三角形的判定条件） 题型一：全等三角形的概念 1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．全等的两个三角形的面积相等 B．两个等腰直角三角形全等 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形是全等三角形 2．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 3．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 C．两个等边三角形一定是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列四组三角形中一定是全等三角形的是（　　） A．两条边对应相等的两个锐角三角形 B．面积相等的两个钝角三角形 C．周长相等的两个等边三角形 D．斜边相等的两个直角三角形 6．（24-25八年级下·黑龙江双鸭山·开学考试）如图，，则（    ） A． B． C． D．无法确定 题型二：利用全等三角形的性质求角度 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，，点在边上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，分别是边，上的点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，，，垂足分别为E，F，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，绕点旋转到，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型三：利用全等三角形的性质求线段长度 1．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，≌，若，，则的长为（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．6 2．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，点E，F在线段上，，，，那么的长度是（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知，若，，则的长度为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在边上，与交于点F．如果，，则线段的长是 ． 5．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，，，，，，则的长是 ． 6．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）如图，C、D、B在同一直线上，A、B、E在同一直线上，，若，，则的长为 ． 7．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，点在上，，若，，则 ． 8．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，其中点A，E，B，D在一条直线上，若，，则的长为 ． 题型四：利用两三角形全等判断选项是否正确 1．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，延长交于点，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，将绕点A旋转后得，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，与相交于点M，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，且点E与点F，点A与点B是对应点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江·三模）如图，将绕点顺时针旋转得到，，的对应点分别为，，的延长线分别交，于点，，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，若，则下列结论中不成立的是（    ） A． B． C．平分 D． 7．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）如图，在中，，，沿过点B的直线折叠三角形，使顶点C落在边上的点E处，折痕为，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，将沿所在直线向左平移得到，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 题型五：全等三角形中二元一次方程问题 1．（2024八年级上·全国·期末）一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是，若这两个三角形全等，则的值是 或 ． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）一个三角形的三条边的长分别是，另一个三角形的三条边的长分别是．若这两个三角形全等，则的值分别是 ． 3．（24-25八年级下·江苏南通·开学考试）一个三角形的三条边长分别为4、7、x，另一个三角形的三条边分别为y、4、6，若这两个三角形全等，则＝ ． 4．（23-24八年级上·河南商丘·期中）已知的三边长为x，2，6，的三边长为5，6，y，若与全等，则 ． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，，．若这两个三角形全等，求的值． 题型六：全等三角形综合（解答题） 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知和是对应角，，，，，．求： (1)及的长． (2)的度数． 2．（20-21八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，，其中点A，B，C，D在同一条直线上． (1)若，，求的大小； (2)若，，求的长． 3．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，点D、E分别在边、上，连接、交于点F，且． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若，，求四边形的面积． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知，点A、C、D在同一条直线上． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求线段的长． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 6．（24-25七年级下·全国·期末）如图，已知，点在上，与相交于点，若，，， (1)求线段的长． (2)求的度数． 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，且点E，B，D，F在一条直线上． (1)试判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)试判断与的数量关系，并证明你的结论． 8．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，已知，点E在边上，与交于点F． (1)若，求线段的长； (2)若，求的度数． 9．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，，和，和是对应边，点E在边上，与交于点F．写出图中所有与相等的角，并说明理由． 题型一：两三角形全等综合应用之动点问题 1．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为 秒． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，，，，如果点P在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则t的值是 ． 3．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为 s时，与全等． 4．（24-25七年级下·广东深圳·期末）两个全等的三角形按如图方式摆放，其中．此时B，E重合，B，C，D在同一直线上．现将沿射线向右平移．在平移过程中，直线与交于点的平分线与直线交于点，则 （用含的代数式表示）． 5．（24-25八年级上·四川广安·阶段练习）如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，当的值为 ，可以使与全等． 6．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，同时停止运动．过分别作直线的垂线段，垂足分别为．设运动时间为，当与全等时， s． 7．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图①，在中，，，，，动点从点出发；沿着边运动，回到点停止，速度为；设运动时间为． (1)当时，用含的代数式表示的长； (2)当为何值时，的面积等于面积的？ (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中，某一时刻恰好与全等，点的运动速度为___________． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，中，，，．点P从点A出发沿路径向终点B运动；点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q分别以和的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动．在某一时刻，分别过点P，Q作于点E，于点F．若与全等，则点P运动了多长时间？ 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点F、A、D、C在同一直线上，，，则的长为（　　） A． B．6 C． D．7 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，，点共线，和交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江台州·期中）如图，将两个完全相同且面积为的直角三角形按如图摆放，点B、C、D在同一直线上，点E在上，，，若，则长为（　　） A． B． C． D．cm 5．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在长方形中，，，E为的中点，若点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点C向点B匀速运动，当与全等时，则点Q的运动速度是（    ） A． B．6或 C．或6 D． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，若，且，，则的度数是 ． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知点在上，点在上，，且，若，则 ． 9．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图， ，E是延长线上一点，平分，若， ，则 ．（用含的式子表示） 10．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，在中，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．若，则形状为 ． 11．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在边上，，，则的度数为 ． 12．（24-25八年级上·全国·期中）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，？ 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）把四边形纸片沿折叠，使点C落在四边形内部的点处，如图所示，试探究与之间的数量关系． 14．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，已知，，，，． (1)求的度数及的长； (2)与平行吗？说明理由． 15．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图所示，已知于 D． (1)已知，求的长． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 16．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.2 全等三角形的判定 （第1课时 全等三角形的判定条件） 题型一：全等三角形的概念 1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．全等的两个三角形的面积相等 B．两个等腰直角三角形全等 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形是全等三角形 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理以及性质是解题关键．根据全等三角形的性质和判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、全等的两个三角形的面积相等，说法正确，符合题意； B、两个等腰直角三角形角度相等，三边不一定相等，所以不一定全等，说法错误，不符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，说法错误，不符合题意； D、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，说法错误，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，熟练寻找全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形中的对应边、对应角的定义依次判定即可． 【详解】解：由得： ①与是对应边，故①不符合题意； ②与是对应边，故②符合题意； ③与是对应角，故③符合题意； ④与是对应角，与是对应角，故④不符合题意； 故正确的有②③， 故选：B． 3．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 【详解】∵， ∴∠的对应角是， 故选：． 4．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 C．两个等边三角形一定是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 【答案】D 【分析】根据全等三角形的定义进行判断作答即可． 【详解】解：两个面积相等的图形，不一定是全等图形，A错误，故不符合要求； 若两个图形周长相等，则它们不一定是全等图形，B错误，故不符合要求； 两个等边三角形不一定是全等图形，C错误，故不符合要求； 能够完全重合的两个图形是全等图形，D正确，故符合要求； 故选：D． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列四组三角形中一定是全等三角形的是（　　） A．两条边对应相等的两个锐角三角形 B．面积相等的两个钝角三角形 C．周长相等的两个等边三角形 D．斜边相等的两个直角三角形 【答案】C 【分析】由全等三角形的概念可判断A，B，D，由三边对应相等的两个三角形全等可判断C，从而可得答案． 【详解】解：两条边对应相等的两个锐角三角形不一定全等，故A不符合题意； 面积相等的两个钝角三角形不一定全等，故B不符合题意； 周长相等的两个等边三角形满足三边对应相等，所以一定全等，故C符合题意； 斜边相等的两个直角三角形不一定全等，故D不符合题意； 故选C． 6．（24-25八年级下·黑龙江双鸭山·开学考试）如图，，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和和全等三角形的性质，根据三角形的内角和求出的度数，然后根据全等三角形的对应角相等解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 题型二：利用全等三角形的性质求角度 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理．根据全等三角形的性质得出对应角相等，，在中，根据三角形内角和为，可得，通过角的和差关系求的度数． 【详解】解：由题可知，， ， ，， ，， ， ． 故选：B． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，，点在边上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质推出，由三角形的外角性质得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 3．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，可得，，再根据平角的定义求解． 【详解】解：，，， ，， 点在同一条直线上， ， 故选C． 4．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，分别是边，上的点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理； 先根据全等三角形的性质求出，，进而可得，然后可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，，，垂足分别为E，F，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，三角形内角和定理，根据全等三角形的性质得出，然后结合垂直定义和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选∶A． 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查全等三角形的性质，由三角形全等得到，即可推出． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， 故选：B． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，绕点旋转到，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质和全等三角形的性质的应用，根据旋转的性质得，继而得到，根据三角形内角和定理求出，即可求出答案．掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵绕点旋转到，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的度数是． 故选：A． 题型三：利用全等三角形的性质求线段长度 1．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，≌，若，，则的长为（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是根据全等三角形的性质得到边长相等． 根据全等三角形的性质可得，，，再根据边长的关系求解即可． 【详解】解：∵≌， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 即的长为4． 故选：C ． 2．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，点E，F在线段上，，，，那么的长度是（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟知全等三角形的性质是正确解题的关键． 根据全等三角形的性质求出，进而求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知，若，，则的长度为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，，根据，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故选：C 4．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在边上，与交于点F．如果，，则线段的长是 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，根据，得出，，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：20． 5．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，，，，，，则的长是 ． 【答案】5 【分析】此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应边相等”是解题的关键．根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】解：， ， ， 即， ，， ， ， 故答案为：5 6．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）如图，C、D、B在同一直线上，A、B、E在同一直线上，，若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质推出，，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：6． 7．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，点在上，，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 由全等三角形的性质推出，即可求出的长． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，其中点A，E，B，D在一条直线上，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据得到，从而得到，结合，即可求得答案． 【详解】解：，，， ， ，即， ， ． 故答案为：2． 题型四：利用两三角形全等判断选项是否正确 1．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，延长交于点，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 设交于点H，根据旋转的性质，可得，，再利用全等三角形的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点H， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴，，，故B选项错误，不符合题意； ∴， ∴，即，故D选项正确，符合题意； ∵， 而题中未给出的度数， ∴无法得到与的大小关系， ∴无法判定是否平行于，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴， 而题中未给出的大小， ∴无法判断与的大小关系，故C选项错误，不符合题意； 故选：D 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，将绕点A旋转后得，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了旋转的性质和全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和全等三角形的性质．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等． 根据旋转的性质和全等三角形的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵将绕点A旋转后得， ∴， ∴，， 故A选项正确，不符合题意； ∵， ， 故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，即， 故D选项正确，不符合题意； 由已知条件无法证明出， 故B选项错误，符合题意． 故选：B． 3．（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，与相交于点M，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，全等三角形的对应角相等、对应边相等、对应边上的高对应相等、对应角的角平分线相等、对应边上的中线相等，全等三角形面积和周长相等，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 直接根据全等三角形的性质进行逐项分析即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴选项D正确； 无法判断选项A， B，C， 故选：D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，且点E与点F，点A与点B是对应点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质，平行线的判定定理判断即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∵ ∴ ∴，故B正确，不符合题意； ∵ ∴，，和不一定相等，故C错误，符合题意； ∴，故D正确，不符合题意． 故选：C． 5．（2025·浙江·三模）如图，将绕点顺时针旋转得到，，的对应点分别为，，的延长线分别交，于点，，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质、三角形内角和定理，由旋转的性质可知，根据全等三角形的性质可得：，根据对顶角相等可得：，根据三角形内角和定理可证，所以可知． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ， ， 但是不能确定与是否相等， 故A选项错误； 由全等的性质可得：， 但是不能确定与是否相等， 故B选项错误； ， ， 又， 在和中， ，， ， 旋转角是， ， ， 故C选项正确； 点在上， 与相交， 故D选项错误． 故选：C． 6．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，若，则下列结论中不成立的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 所以不是的平分线； ∵， ∴， ∴． 则A，B，D正确，C不正确． 故选：C． 7．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）如图，在中，，，沿过点B的直线折叠三角形，使顶点C落在边上的点E处，折痕为，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了折叠的性质，全等三角形的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 根据折叠的性质得到，，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，连接 ∵沿过点B的直线折叠三角形，使顶点C落在边上的点E处 ∴，，故A，B正确； ∴ ∵ ∴故C正确； ∴ ∴ ∴，故D错误． 故选：D． 8．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，将沿所在直线向左平移得到，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是平移的性质、全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握平移的性质． 由平移性质可得，，则可排除、选项；根据全等三角形性质可证，可排除选项． 【详解】解：根据平移性质可得：，， 、选项说法正确，不符合题意； ， ， 即， 选项说法正确，不符合题意； 如果，则可证， 但题中未给该条件，无法证明， 选项说法错误，符合题意． 故选：． 题型五：全等三角形中二元一次方程问题 1．（2024八年级上·全国·期末）一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是，若这两个三角形全等，则的值是 或 ． 【答案】 7 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质， 根据全等三角形的对应边相等得或，求出解即可. 【详解】解：∵这两个三角形全等， ∴或， 解得或， 则或， 所以的值是7.5或7. 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）一个三角形的三条边的长分别是，另一个三角形的三条边的长分别是．若这两个三角形全等，则的值分别是 ． 【答案】，或， 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解二元一次方程组，掌握全等三角形的性质是解题的关键．利用全等三角形对应边相等列出关于的二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：由题意得，或， 解得或， ∴的值分别是，或，， 故答案为：，或，． 3．（24-25八年级下·江苏南通·开学考试）一个三角形的三条边长分别为4、7、x，另一个三角形的三条边分别为y、4、6，若这两个三角形全等，则＝ ． 【答案】13 【分析】本题考查全等三角形的性质、代数式求值，根据全等三角形的对应边相等求得x、y值，进而相加即可求解． 【详解】解：∵三条边长分别为4、7、x的三角形与三条边分别为y、4、6的三角形全等， 当，， ∴． 当，时两个三角形不全等，舍去． 故答案为：13． 4．（23-24八年级上·河南商丘·期中）已知的三边长为x，2，6，的三边长为5，6，y，若与全等，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质并准确识图是解题的关键．根据全等三角形对应边相等解答即可求出． 【详解】解：因为与全等，的三边长为x，2，6，的三边长为5，6，y， ∴， ∴所， 故答案为：7． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，，．若这两个三角形全等，求的值． 【答案】的值是8或9 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，代数式求值，分两种情况讨论：当时和当时，分别求出x、y的值，再代入代数式，求出结果即可． 【详解】解：分以下两种情况讨论： ①当时， 解得， ； ②当时， 解得， ． 综上所述，的值是8或9． 题型六：全等三角形综合（解答题） 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知和是对应角，，，，，．求： (1)及的长． (2)的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的外角的性质； （1）由全等三角形的性质可得，再进一步求解即可； （2）由全等三角形的性质可得，再进一步利用三角形的外角的性质求解即可. 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， . 2．（20-21八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，，其中点A，B，C，D在同一条直线上． (1)若，，求的大小； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查三角形全等的性质，垂直的定义，正确理解图形中的对应关系是解题的关键. （1）根据垂直的定义及全等三角形的性质得到，即可求出的大小； （2）利用推出，再根据已知得出，即可求出答案. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴. （2）∵， ∴， ∴，即. ∵，， ∴， ∴. 3．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，点D、E分别在边、上，连接、交于点F，且． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰直角三角形，关键是由全等三角形的性质推出，． （1）由全等三角形的性质推出,,由邻补角的性质得到, 求出, 推出是等腰直角三角形； （2）求出的面积的面积, 得到的面积的面积,即可求出四边形的面积. 【详解】（1）证明: ∵, ∴,, ∵, ∴, ∴是等腰直角三角形； （2）解：， ∴的面积的面积, ∵, ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积的面积． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知，点A、C、D在同一条直线上． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)7 【分析】本题考查全等三角形的性质，平行线的判定，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等；内错角相等，两直线平行． （1）由全等三角形的性质推出，判定； （2）由全等三角形的性质推出，求出，即可得到的长． 【详解】（1）解： ，理由如下： ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键； （1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， 与的周长和为 ． 6．（24-25七年级下·全国·期末）如图，已知，点在上，与相交于点，若，，， (1)求线段的长． (2)求的度数． 【答案】(1)3 (2)130° 【分析】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角和对应边相等分析． （1）根据全等三角形的性质解答即可； （2）根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解： ， ，， ； （2）， ，， ． 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，且点E，B，D，F在一条直线上． (1)试判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)试判断与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，能熟记全等三角形的性质是解题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）根据全等三角形的性质得出，求出，根据平行线的判定得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，即可求出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 证明：∵， ∴ ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 证明：∵， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，已知，点E在边上，与交于点F． (1)若，求线段的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)14 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质． （1）利用全等三角形对应边相等，先得出，再结合已知的长度求出，进而得到； （2）利用全等三角形对应角相等求出，再结合已知角求出，最后根据三角形外角性质求出． 【详解】（1）解∶∵， ， ， ； （2）解∶∵， ， ， ， 。 9．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，，和，和是对应边，点E在边上，与交于点F．写出图中所有与相等的角，并说明理由． 【答案】，，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，由全等三角形的性质得到，，根据角的和差即可得到，根据三角形的内角和定理可得． 【详解】解：与相等的角有，，理由如下： ∵， ∴，， ∴， 即． ∵， ， ∴． 题型一：两三角形全等综合应用之动点问题 1．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为 秒． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的性质．和全等，分两种情况，①当时，，则，②当时，，则，即可解答． 【详解】解：和全等， 分两种情况， ①当时，即当点P在上运动时， 此时， 则， ∴； ②当时，即当点P在上运动时， 此时， 则， ∴， ∴， 即首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为5秒； 故答案为：5． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，，，，如果点P在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则t的值是 ． 【答案】1或2/2或1 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当和②当时，利用全等三角形对应边相等，列出方程即可求解，利用全等三角形对应边相等，列出方程是解题的关键． 【详解】解：由题意知，，， ， ①当时， ∴， ， ； ②当时， ∴， ， ， 综上，当的值是1或2时，能够使与全等， 故答案为：1或2． 3．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为 s时，与全等． 【答案】2或4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，以及一元一次方程的应用，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据题意分为P在上，Q在上和当P、Q都在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】解：作于E，作于F． 分以下情况：①如图1，P在上，Q在上，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即 ； ②当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图3，   ， ． 综上所述，点运动时间为2或4，与全等， 故答案为：2或4． 4．（24-25七年级下·广东深圳·期末）两个全等的三角形按如图方式摆放，其中．此时B，E重合，B，C，D在同一直线上．现将沿射线向右平移．在平移过程中，直线与交于点的平分线与直线交于点，则 （用含的代数式表示）． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形的全等的性质，角平分线的定义，平行线的性质， 根据角平分线的定义求出，利用，得，可得， 根据平行线的性质，分三种情况求解即可， 【详解】解：当交点H在线段上时， 平分， ， ， ， ， ， ， 当交点H在直线上且在点E下方时， ， ， 当交点H在直线上且在点F上方时， ， ， 平分， ， ， ， 综上，的度数为． 故答案为：或或． 5．（24-25八年级上·四川广安·阶段练习）如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，当的值为 ，可以使与全等． 【答案】2.4或2 【分析】本题考查了全等三角形的判定．分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴． 当，时，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为2.4或2． 故答案为：2.4或2． 6．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，同时停止运动．过分别作直线的垂线段，垂足分别为．设运动时间为，当与全等时， s． 【答案】1或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质．分四种情况讨论，由与全等，，①当点在上，点第一次从上时，则；当点在上，点从上时，则；当点在上，点从上时，则；当点在上，点第二次从上时，则，分别解方程并检验即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 当点在上，点第一次从上时， ∵与全等， ， ， ， 当点在上，点从上时， ∵与全等， ， ， 当点在上，点从上时， ∵与全等，， ， ， （舍）； 当点在上，点第二次从上时， ∵与全等，， ， ， 综上所述：t的值为1或或； 故答案为：1或或． 7．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图①，在中，，，，，动点从点出发；沿着边运动，回到点停止，速度为；设运动时间为． (1)当时，用含的代数式表示的长； (2)当为何值时，的面积等于面积的？ (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中，某一时刻恰好与全等，点的运动速度为___________． 【答案】(1)当时，；当时， (2)或6 (3)或或或 【分析】（1）分两种情况：当时，点P在边上，当时，点P在边上，即可求解； （2）分两种情况：当点P在边上时，当点P在边上时，即可求解； （3）根据题意可得点A和点D为对应点，设点Q的运动速度为，然后分类讨论： 若，此时，当点P在边，点Q在边时，；当点Q在边，点P在边时，；若，此时，当点P在边，点Q在边时，；当点Q在边，点P在边时，，结合全等三角形的性质，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：点P到达点C所用的运动时间为，到达点B所用的运动时间为，到达点A所用的运动时间为， 当时，点P在边上，此时； 当时，点P在边上，此时； 综上所述，当时，；当时， ； （2）解：∵，，， ∴， 如图，当点P在边上时，， 此时， ∵的面积等于面积的， ∴， 解得：； 如图，当点P在边上时，过点C作于点K，， 此时， ∵， ∴，即， ∴， ∵的面积等于面积的， ∴， 解得：； 综上所述，当或6时，的面积等于面积的； （3）解：∵， ∴点A和点D为对应点， 设点Q的运动速度为， 若，此时， 如图，当点P在边，点Q在边时，， ∴， ∴， 此时， 即点Q的运动速度为； 如图，当点Q在边，点P在边时，， ∴， ∴， 此时， 即点Q的运动速度为； 若，此时， 如图，当点P在边，点Q在边时，， ∴， ∴， 此时， 即点Q的运动速度为； 如图，当点Q在边，点P在边时，， ∴， ∴， 此时， 即点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的运动速度为或或或． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，中，，，．点P从点A出发沿路径向终点B运动；点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q分别以和的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动．在某一时刻，分别过点P，Q作于点E，于点F．若与全等，则点P运动了多长时间？ 【答案】点P运动了或或 【分析】本题主要考查动点与几何图形的变换．根据点的运动规律，设点运动秒时，以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等，分类讨论，①如图1，在上，在上，则，；②如图2，在上，在上，则，；③如图3所示，当都在上时；④当到点停止，在上时，；⑤和都在上的情况；图形结合，根据三角形全等的判定方法即可求解． 【详解】解：设点运动秒时，以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等，分为五种情况： ①如图1，在上，在上，则，，    ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； ②如图2，在上，在上，则，，    由①知：， ∴， ∴； ∵此时， ∴此种情况不符合题意； ③当都在上时，如图3，   ， ∴； ④当到点停止，在上时，， ∴时，解得； ⑤∵的速度是每秒，的速度是每秒， ∴，， ∵， ∴和都在上的情况不存在； 综上所述，点P运动了或或时，与全等． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点F、A、D、C在同一直线上，，，则的长为（　　） A． B．6 C． D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形对应边相等易得，然后求出的长度，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质推出，，阴影的面积的面积．由全等三角形的性质推出，，得到，求出的面积，得到阴影的面积的面积 【详解】解：， ，， 的面积， 的面积的面积， 阴影的面积的面积 故选：A． 3．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，，点共线，和交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，由全等三角形的性质可得，，即可得，再根据三角形外角性质即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 4．（24-25七年级下·浙江台州·期中）如图，将两个完全相同且面积为的直角三角形按如图摆放，点B、C、D在同一直线上，点E在上，，，若，则长为（　　） A． B． C． D．cm 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 根据题意得，根据全等三角形的性质、平角定义求出，，，再结合三角形面积公式及线段的和差求解即可． 【详解】和完全相同， ， ，，， 点、、在同一直线上， ， ， ， ， 的面积为， ， 解得（负值已舍）， ，， ， 故选：C． 5．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，延长交于，由全等三角形的性质可得，，，，再由三角形内角和定理得出，即，即可得解． 【详解】解：如图，延长交于， ∵， ∴，，，，故选项A、C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故选项B正确，不符合题意； 和不一定相等，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在长方形中，，，E为的中点，若点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点C向点B匀速运动，当与全等时，则点Q的运动速度是（    ） A． B．6或 C．或6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 根据四边形是长方形可得，设运动的时间为，点Q的运动速度是，根据题意分别表示出，，，再根据全等三角形的对应边相等分两种情况讨论，当时，当时，分别建立方程组求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵E为的中点， ∴， 设运动的时间为t秒，点Q的运动速度是， 依题有：，，， ①当时，， 解得：； 即点Q的运动速度为时，与全等， ②当时，， 解得：； 即点Q的运动速度为时，与全等， 综上可得，点Q的运动速度为或时，与全等， 故选：B． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，若，且，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质．根据全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，结合已知条件和角度的计算即可求得． 【详解】解：， ， 即， ， ， ． ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知点在上，点在上，，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，设，，则，由，则，，所以，根据三角形内角和定理可得，求出，最后通过三角形外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图， ，E是延长线上一点，平分，若， ，则 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、角平分线的性质和三角形的内角和等知识点，解决此题的关键是熟练运用角平分线的性质； 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为： 10．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，在中，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．若，则形状为 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质．由全等三角形的性质可得，，再由垂直可得，则有，从而得，即可求得，即可判定． 【详解】解：， ，， 直线， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 11．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在边上，，，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解题关键．由全等得到，，进而得到，再根据等边对等角的性质与三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·全国·期中）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，？ 【答案】(1)见解析 (2)为直角 【分析】本题考查了全等三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，，再结合，即可得证； （2）由平行线的性质结合全等三角形的性质可得，再结合平角的定义求出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即当满足为直角时，． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）把四边形纸片沿折叠，使点C落在四边形内部的点处，如图所示，试探究与之间的数量关系． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，根据折叠，得到，得到，利用平角的定义和三角形的内角和定理，即可得出结论． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 14．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，已知，，，，． (1)求的度数及的长； (2)与平行吗？说明理由． 【答案】(1)，6 (2)平行，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可； （2）由全等得到，即可得到． 【详解】（1）， ，， 在中，， ， ， ； （2）， 理由：， ， ． 15．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图所示，已知于 D． (1)已知，求的长． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)3 (2)；理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，结合线段的和差关系进行求解即可； （2）根据全等三角形的性质，推出，进而得到，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）， 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即． 16．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】(1)或 (2)点Q的运动速度为或 【分析】本题考查三角形面积的求法，三角形中线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用．理解题意，利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可求出，分类讨论：①当点P在上时；②当点P在上时；③当点P在上时，分别列方程求解即可； （2）分类讨论：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时，结合全等三角形的性质分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∴． 分类讨论：①当点P在上时，不存在； ②当点P在上时，此时，如图， ∴， ∴； ③当点P在上时，此时，如图， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴． 综上可知当或时，的面积等于面积的一半； （2）解：∵， ∴只存在两种情况：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时． 设点Q的运动速度为， ①当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为． 综上可知点Q的运动速度为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$